函数的性质总结

函数的性质总结（共10篇）

篇1：函数的性质总结

函数的性质知识点总结

一次函数

一、定义与定义式：

自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx+b

则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx （k为常数，k≠0）

二、一次函数的性质：

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数）

2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：

1．作法与图形：通过如下3个步骤

（1）列表；

（2）描点；

（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；

当b=0时，直线通过原点

当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：

已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②

（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

六、常用公式：（不全，希望有人补充）

1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)

2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）

二次函数

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax^2+bx+c

（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]

交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A（x? ，0）和 B（x?，0）的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x= -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为

P( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即ax^2+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式 顶点坐标对 称 轴

y=ax^2(0，0) x=0

y=a(x-h)^2(h，0) x=h

y=a(x-h)^2+k(h，k) x=h

y=ax^2+bx+c(-b/2a，[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a

当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．

3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．

4．抛物线y=ax^2+bx+c的`图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=

(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?|

当△=0．图象与x轴只有一个交点；

当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

6．用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax^2+bx+c(a≠0)．

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．

7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．

反比例函数

形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数图像性质：

反比例函数的图像为双曲线。

由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。

另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。

如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像。

当K＞0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

当K＜0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数

反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。

知识点：

1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |。

2.对于双曲线y＝k／x ，若在分母上加减任意一个实数 (即 y＝k／（x±m）m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）

对数函数

对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数 的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。

（2）对数函数的值域为全部实数集合。

（3）函数总是通过（1，0）这点。

（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

（5）显然对数函数无界。

指数函数

（1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

（2） 指数函数的值域为大于0的实数集合。

（3） 函数图形都是下凹的。

（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。

（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。

（7） 函数总是通过（0，1）这点。

（8） 显然指数函数无界。

奇偶性

注图：（1）为奇函数（2）为偶函数

1．定义

一般地，对于函数f(x)

（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。

（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

2．奇偶函数图像的特征：

定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。

f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称

点（x,y）→（-x,-y）

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

3.奇偶函数运算

(1). 两个偶函数相加所得的和为偶函数.

(2). 两个奇函数相加所得的和为奇函数.

(3). 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

(4). 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

(5). 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

(6). 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

定义域

（高中函数定义）设A,B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；

值域

名称定义

函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合

常用的求值域的方法

（1）化归法；（2）图象法（数形结合），

（3）函数单调性法，

（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法等

关于函数值域误区

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。

“范围”与“值域”相同吗？

“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合（即集合中每一个元素都是这个函数的取值），而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都满足这个条件）。也就是说:“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。

篇2：函数的性质总结

二元函数连续的几何意义

二元函数可偏导与连续问题

可微的几何意义

要使得有切面，则要求在曲面的相应点处，所有通过这一点的曲线在该点处都有唯一的不与xoy平面垂直的切线，由于这些切线都与切点处的法线垂直，因此这些切线都在一张平面上，这张平面就是曲面在该点处的切平面。

全微分的几何意义

可微与可导的关系

可微要求在某个邻域内连续光滑，所以可微必然在该邻域内连续，也必然在该邻域内可导

篇3：函数的性质总结

一、第一环节“巩固概念,加深理解”

我们先来巩固一下对数函数的概念,请大家一起来填空。一般地,把函数___称为对数函数,其中是自变量,函数的定义域为。

通常研究函数的性质需要借助于直观的工具———函数的图像。今天这节课我们就要画出对数函数的图像,并通过“看图说话”探究对数函数的性质。请问:如何作出对数函数的图像?作图分为哪3个步骤?

二、第二环节“动手操作,画出图像”

教师请学生按照“列表、描点、连线”这三个步骤分别画出下列两组对数函数的图像。

学生画好后,教师请学生将画好的图像给全班同学做一个展示,并让学生谈一谈作图的关键,接着让学生自纠或相互纠正错误,最后达成共识。

三、第三环节“看图说话,探究性质”

教师活动:教师引导学生观察画好的图像,从图像上升或下降的趋势上看,对数函数的图像按照底数可以分成哪两类?仔细观察这两类对数函数的图像,“看图说话”说说你能发现对数函数的哪些性质?试着从以下几方面观察并完成下表。

学生活动:学生可以借助自己绘制的图像观察,也可以观察教师投影上给出的图像,可以自己观察、探索,也可以同位间或前后位间相互交流、讨论。

教师活动:教师要引导学生充分发表意见,或者教师提出观察角度让学生去描述,然后再让学生将图像的几何特征(几何角度)翻译为函数的性质(代数角度)。

教师活动:再仔细观察这两类对数函数的图像,你还有其他新发现吗?(提示:1这两类对数函数的图像都经过哪一个共同的点?2函数值的变化情况如何?当01时,y值又如何? )

学生活动:请学生把自己总结出来的对数函数的图像和性质“整合”一下,将这两类对数函数的图像和性质一般化并尝试完成表格,学生完成后教师投影展示。

四、第四环节“运用性质,解决问题”

比较同底对数值的大小:log21.2与log22.2、log0.21.8与log0.22.8、loga5与loga7。

题后反思:如何利用对数函数的单调性比较同底对数值的大小?1构造一个同底的对数函数,利用它的单调性直接判断。2当底数不确定时,要对底数与1的大小进行分类讨论。

五、第五环节“归纳小结,强化思想”

1画出对数函数的图像,探究对数函数的性质;2利用对数函数单调性,比较同底对数值大小;3蕴含了数形结合思想,分类讨论等数学思想。

六、第六环节“课后作业,巩固拓展”

篇4：函数的性质总结

1. 函数y=12|x+1|的值域是.

2. 方程lg(x2-4)=lgx+lg3的解是.

3. 已知幂函数f(x)=x-14，若f(2a+3)＜f(1-a)，则a∈.

4. 已知f(x)=1, x＞0，0, x=0，-1,x＜0，则方程x+1=(2x-1)f(x)的解为.

5. 已知函数f(x)满足f2x+|x|=log2x|x|，则f(x)的解析式是 .

6. 设f∶x→x2是集合A到集合B的映射，如果B={1,4},则A∩B等于

7. 49-12-lg5+lg22-lg4+1-31-log32=.

8. 已知函数f(x)=(2a-1)x+7a-2,x＜1,ax,x≥1在(-∞,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是.

9. 已知函数f(x)=log2(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则实数a的取值范围是.

10. 在y=2x,y=log2x,y=x2这三个函数式中，当0＜x1＜x2＜1时，使fx1+x22＜f(x1)+f(x2)2恒成立的函数个数是.

11. 已知函数f(x)=x2-2x+a，x∈［0,3］,它的任意三个函数值总可以作为一个三角形的三边长，则a的取值范围是.

12. 有下列命题：

（1） 定义在R上的函数f(x)，若f(-1)=f(1),且f(-2)=f(2)，则f(x)是偶函数;

（2） 定义在R上的函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)在R上不是减函数;

（3） 定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0］上是单调减函数，在区间(0,+∞)上也是单调减函数，则f(x)在R上是单调减函数;

（4） 既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个.

其中真命题有 .

二、 解答题

13. 已知f(x)=x13-x-132,g(x)=x13+x-132.

（1） 计算f(4)-2f(2)g(2)和g2(2)-f2(2)的值；

（2） 概括出函数f(x)和g(x)对所有不为零的实数都成立的两个恒等式.

14. 已知函数f(x)=x+log2m+x1-x（m为常数）的

图象关于原点对称.

（1） 求m的值；

（2） 若x∈-1,13，f(x)是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.

15. 已知正数a,b,c满足条件：(lgab)·(lgbc)=-1，求ca的取值范围.

16. 定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23，且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).

（1） 求证：f(x)为奇函数；

（2） 若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围.

17. 已知函数f(x)=1x-1.

(1) 作出函数f(x)的图象；

(2) 若集合A=y|y=f(x)，12≤x≤2，B=［0,1］，试判断A与B的关系；

(3) 若存在实数a,b(a＜b)，使得集合{y|y=f(x)，a≤x≤b}=［ma,mb］，求实数m的取值范围.

（参考答案见第43页）

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巩固练习参考答案

《形影不离的单调性与定义域》

1. (-∞,0)及（0，+∞） 2. a∈(1,2)

3. (-∞,-3) 4. 存在，a∈(1,+∞)

5. x∈12,43

《函数奇偶性判断的常见误区》

1. D

2.f(x)=1, x＞0，0, x=0，-1,x＜0.

3. f(x)是在（-1，1）上的奇函数.

4. 令x=y=0，得f(0)=0；再令y=-x，得f(-x)+f(x)=f(0)=0，得证.

《在错误中提升方法》

1. 0＜a＜1,b≤0；

2. (1) a=1;(2) 略.

3. ［2，+∞）.

4. 设x1＜x2＜0，

则y1-y2=2x1+12x1-2x2+12x2=(2x1-2x2)+12x1-12x2=(2x1-2x2)(2x1+x2-1)2x12x2.

因为x1＜x2＜0，所以0＜2x1＜2x2,x1+x2＜0，2x1+x2-1＜0,所以y1-y2＞0,

所以函数y=2x+12x在（-∞，0）上是单调减函数.

《对数函数学习过程中的关注点》

1. A

2. 由已知得lga,lgb是方程x2+(lg7+lg5)x+lg7·lg5=0的两根，

所以lga+lgb=-(lg7+lg5)=lg135，所以ab=135.

3. 设u=2-ax，则y=logau，由已知a＞0,a≠1，所以u=2-ax在区间［0,1］单调递减，因此要使函数y=loga(2-ax)在［0,1］上是x的减函数，则a＞1,且u=2-ax＞0在区间［0,1］上恒成立.可得1＜a＜2.

4. （1） 由x+x2+1＞x+x2=x+|x|≥0，可得函数f(x)=lg(x+x2+1)的定义域是R；

（2） 由f(x)=lg(x+x2+1)，可得f(-x)=lg(-x+x2+1)，

所以f(-x)+f(x)=lg(-x+x2+1)+lg(x+x2+1)=lg(-x2+x2+1)=lg1=0，所以f(-x)=-f(x)，即函数f(x)=lg(x+x2+1)是奇函数.

（3） 略.

《幂函数的概念、图象和性质》

1. D 2. C 3. 12008

4. （1） k=0或k=1，f(x)=x2;（2） 存在q=2满足题意.

《比较指数式大小的常用方法》

1. a1.2＞1a-0.3.

2. 1.40.1＞0.93.1.

3. 因为-233为负数，4313大于1，3412大于0小于1,所以4313＞3412＞-233.

4. B

5. ① x＞6:当a＞1时，有a4x-5＞33x+1;当0＜a＜1时，则有a4x-5＜33x+1.

② x=6时，a4x-5=a3x+1.

③ x＜6:当a＞1时，有a4x-5＜a3x+1;当0＜a＜1时，则有a4x-5＞a3x+1.

单元测试参考答案

1. (0,1］ 2. x=4 3. -23,1

4. 0,2,-1-174

5. f(x)=-log2x 6.{1}或7. 0 8. 38,12 9. (1,2) 10. 2

11. (5,+∞) 12. 2

13. (1)0和1;(2) f(x2)-2f(x)g(x)=0，g2(x)-f2(x)=1.

14. (1)m=1;(2)先证明f(x)单调递增，f(x)max=f13=43.

15. 已知式可化为关于lgb的方程lg2b+(lga+lgc)lgb+lgalgc+1=0.

由Δ≥0得：(lga-lgc)2≥4，所以lgca≤-2或lgca≥2,

所以ca∈0,1100∪［100,+∞).

16. (1) 略.

(2) 因为f(x)在R上是单调函数，且f(3)=log23>f(0),

所以f(x)在R上单调递增.

又f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0,即f(k·3x)＜-f(3x-9x-2)=f(9x-3x+2),所以9x-3x+2＞k·3x，即9x-(k+1)3x+2＞0对x∈R恒成立.

所以k+1≤0或k+1＞0，-k+122+2＞0，解得k＜22-1.

17. (1)

(2) A=［0，1］=B.

(3) 因为a＜b，ma＜mb，所以m＞0.

又f(x)≥0,所以ma≥0，又a≠0，所以a＞0.

① 0＜a＜b≤1，由图象知，f(x)在x∈［a，b］上递减，所以1a-1=mb，1b-1=maa=b，与a＜b矛盾.

② 0＜a＜1＜b，这时f(1)=0，而ma＞0,也与题设不符；

③ 1≤a＜b，f(x)在x∈［a,b］上递增,

所以1-1a=ma，1-1b=mb，可知mx2-x+1=0在［1,+∞)内有两不等实根.

由Δ＞0，12m＞1，解得0＜m＜14

篇5：高一数学二次函数图像性质总结

1二次函数图像

2二次函数性质

二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax²+bx+c=0(a≠0)

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=ax²，y=ax²+k，y=a(x-h)²，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同。

2.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b²]/4a).

3.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大。若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小.

4.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);

(2)当△=b²-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c=0

(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x2-x1|另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由2x|A+b/2a|(A为其中一点的横坐标)

当△=0.图象与x轴只有一个交点;

当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.

5.抛物线y=ax²+bx+c的最值(也就是极值)：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b²)/4a.

顶点的横坐标，是取得极值时的自变量值，顶点的纵坐标，是极值的取值.

6.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax²+bx+c(a≠0).

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0).

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).

7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中高考的热点考题，往往以大题形式出现。

篇6：函数的基本性质

连续性

在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的.变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数(或者说具有不连续性)。

篇7：函数的性质总结

一、学情分析:

1、学习过指数函数和对数函数；

2、学习过周期函数的定义；

3、学习过正弦函数、余弦函数0,2上的图象。

二、教学目标： 知识目标：

1、正弦函数的性质；

2、余弦函数的性质； 能力目标：

1、能够利用函数图象研究正弦函数、余弦函数的性质；

2、会求简单函数的单调区间； 德育目标：

渗透数形结合思想和类比学习的方法。

三、教学重点

正弦函数、余弦函数的性质

四、教学难点

正弦函数、余弦函数的性质的理解与简单应用

五、教学方法

通过引导学生观察正弦函数、余弦函数的图象，从而发现正弦函数、余弦函数的性质，加深对性质的理解。（启发诱导式）

六、教具准备

多媒体课件

七、教学过程

1、复习导入

(1)我们是从哪个角度入手来研究指数函数和对数函数的？(2)正弦、余弦函数的图象在0,2上是什么样的？

2、讲授新课

（1）正弦函数的图象和性质（由教师讲解）

通过多媒体课件展示出正弦函数在2,2内的图象，利用函数图象探究函数的性质：

ⅰ 定义域

正弦函数的定义域是实数集R ⅱ 值域

从图象上可以看到正弦曲线在1,1这个范围内，所以正弦函数的值域是1,1 ⅲ 单调性

结合正弦函数的周期性和函数图象，研究函数单调性，即：

在2k,2 k  (k上是增函数；











Z)

222k

在





,2 k  

(k 

Z)上是减函数；

223ⅳ 最值

观察正弦函数图象，可以容易发现正弦函数的图象与虚线的交点，都是函数的最值点，可以得出结论：

当

x k 



,k

 Z 时，y max



1当

x k  ,k

时，y min

  1

 Z22

ⅴ 奇偶性

正弦函数的图象关于原点对称，所以正弦函数的奇函数。ⅵ 周期性

正弦函数的图象呈周期性变化，函数最小正周期为2。（2）余弦函数的图象和性质（由学生分组讨论，得出结论）

通过多媒体课件展示出余弦函数的图象，由学生类比正弦函数的图象及性质进行讨论，探究余弦函数的性质： ⅰ 定义域

余弦函数的定义域是实数集R ⅱ 值域

从图象上可以看到余弦曲线在1,1这个范围内，所以余弦函数的值域是1,1 ⅲ 单调性

结合余弦函数的周期性和函数图象，研究函数单调性，即：

在,2 k  (k

2 k 

 



Z)上是增函数；

 2 k,2 k  

 (k 

Z)上是减函数；

在ⅳ 最值

观察余弦函数图象，可以容易发现余弦函数的图象与虚线的交点，都是函数的最值点，可以得出结论：

min 当

x

k  , k 

Z 时，y max

 1

当

x

 2 k 



 , k 

Z 时，y



 1

ⅴ 奇偶性

余弦函数的图象关于y轴对称，所以余弦函数的偶函数。ⅵ 周期性

余弦函数的图象呈周期性变化，函数最小正周期为2。

3、例题讲解：

例：求函数 y



sin（)的单调递增区间。

x23分析：采用代换法，利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间。

1u 的单调递增区间是 解：令 u



x 

.函数 y

 sin

3[



k , 



2k 

Z

k  ],222

x  2由k 





k ,2321

得：

54kx4k,kZ.33

5x4k,4k(kZ)

)的单调增区间是 所以函数

y 

sin（

3323

4、练习：

 3求函数 y

sin(x )的单调减区间。

4k8,k8(kZ)

答案：









5、小结：

（1）探究正弦函数、余弦函数的性质的基本思路是什么？（2）求正弦函数、余弦函数的单调区间的基本步骤是怎样的？

6、作业：

习题1.4

篇8：函数的性质总结

类型一：f (x+y）=f (x）+f (y)

辅助函数模型：f (x)=ax (a≠0)

性质1：设函数f (x)是定义在上的函数，满足f (x+y)=f (x)+f (y)，则有： (1) f (0)=0; (2) f (x)在R上是奇函数; (3) 若x≠0时f (x)≠0，则f (x)在R上是单调函数。

解析:对于初学者来说, 理解形如“f (x+y) =f (x) +f (y) ”的条件 (这种条件我们一般称之为函数方程) 确有困难, 此时通过辅助熟悉的函数模型, 可以加深对该类问题的理解。

类型二:f (x+y) =f (x) f (y)

辅助函数模型:f (x) =a x (a>0且a≠1)

性质2:设函数f (x) 是定义在R上的函数, 满足f (x+y) =f (x) f (y)

且f (0) ≠0, 当x>0时恒有f (x) >1或f (x) <1, 则有: (1) f (x) >0且f (0) =1; (2) f (-x) f (x) =1; (4) f (x) 在R上是单调函数。

解析:

(2) 令y=-x, 则f (x-x) =f (x) f (-x) =f (0) =1。

(3) 令y=-y′, 则f (x-y′) =f (x) f (-y′) , 由 (2) 知

类型三:f (xy) =f (x) +f (y)

辅助函数模型:f (x) =logax (a>0, a≠1)

性质3:设函数f (x) 是定义在 (0, +∞) 上的函数, 满足f (xy) =f (x) +f (y) , 当x>1时恒有f (x) >0或f (x) <0, 则有: (1) f (1) =0; (4) f (x) 在 (0, +∞) 上是单调函数。

解析:略 (读者可仿前例证明) 。

类型四:f (xy) =f (x) f (y)

辅助函数模型:f (x) =x n (x>0, n∈Q)

性质4:设函数f (x) 是定义在 (0, +∞) 上的函数, 满足f (xy) =f (x) f (y) 且f (x) ≠0, 当x>1时恒有f (x) >1或f (x) <1, 则有: (1) f (1) =1; (2) 当x>0时, f (x) >0; (3) f (x) 在 (0, +∞) 上是单调函数。

解析:略 (读者可仿前例证明) 。

类型五:f (x+y) +f (x-y) =2f (x) f (y)

辅助函数模型:f (x) =cosx

性质5:设函数f (x) 是定义在R上的函数, 满足f (x+y) +f (x-y) =2f (x) f (y) 且f (0) ≠0, 则有: (1) f (0) =1; (2) f (x) 在R上是偶函数; (3) 若f (π/2) =0, 则f (x) 在R上是以2π为周期的周期函数。

解析:

(1) 证略。

篇9：可测函数的性质

关键词：可测函数 简单函数 可测函数的逼近 可测函数的性质

中图分类号：O174.1 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）10（b）-0138-02

实变函数论的核心内容是建立在可测函数类上的Lebesgue积分理论，而可测函数是借助于测度论定义的。因此，三者关系能体现出可测函数是实变函数论的基本概念，理解与掌握它是学好Lebesgue积分理论的关键。由于通常将一般可测函数的L积分定义为它的正部与负部两个非负可测函数L积分的差（要求其中至少一个积分值有限），因此研究非负可测函数L积分的定义具有重要意义。该文将研究非负可测函数L积分的定义方法，文中可测集与可测函数均指L可测集与L可测函数。

1 可测函数的定义

1.1 可测函数

（1）定义：设是定义在可测集的实函数，如果对于任何有限实数，[都是可测集，则称为定义在上的可测函数。

（2）定理：设是定义在可测集上的实函数，下列任一条件都是在上可测的充要件：（1）对任何有限实数，都可测；（2）对任何有限实数，都可测；（3）对任何有限实数，都可测；（4）对任何有限实数，都可测。

例如，区间[]上的连续函数及单调函数都是可测函数。

1.2 简单函数

定义：设的定义域可分为有限个互不相交的可测集，，使在每个上都等于某常数，则为简单函数。

例如，在区间[0，1]上的狄利克雷函数便是一简单函数。

2 可测函数的性质

2.1 基本性质

（1）性质1：若是上的可测函数，可测，则限制在上也是可测函数；反之，若，限制在上是可测函数，则在上也是可测函数。

引理：设与为上的可测函数，则都是可测集。

（2）性质2：设，在上可测，则下列函数（假定它们在上有定义）也在上可测：

①+；②||；③1/；④.；⑤都在上可测。

（3）性质3：{}是上一列可测函数，则，也在上可测，特别当存在时，它也在上可测。

证明（略）。

例：上的可微函数的导函数是可测函数。

注意：函数列收敛与函数列收敛于之间的不同。

（4）性质4：R中的可测子集E上的单调函数必为可测函数。

定义：（几乎处处成立）设是一个与集合的点有关的命题，如果存在的子集，适合，使得在＼上恒成立，也就是说，＼[成立]=零测度集，则我们称在上几乎处处成立，或说a.e.于成立。

2.2 可测函数的收敛性关系与区别

定义：（依测度收敛）设是上的一列a.e.有限的可测函数，若有上a.e.有限的可测函数满足下列关系：对任一有，则称函数列依测度收敛于，或度量收敛于。记为：

改用说法：对任意>0及，存在整数，使时，。

测度收敛和我们熟知的处处收敛或几乎处处收敛概念是有很大区别的。

尽管两种收敛区别很大，一种收敛不能包含另一种收敛，但是下列定理反映出它们还是有密切联系的。

定理1：（里斯）设在上测度收敛于，则存在子列在上a.e.收敛于。

定理2：（勒贝格）设（1）；（2）是上a.e.有限的可测函数列；（3）在上a.e.于a.e.有限的函数，则。

上面定理说明a.e.收敛的函数列在何时成为以测度收敛的。要注意，这个条件是不能去掉的。再结合例1，在条件下，测度收敛弱于a.e.收敛。

定理3：设，，则在上几乎处处成立。

证明（略）。

2.3 可测函数的逼近

在数学分析中知道，一致收敛是函数列很重要的性质，它能保证极限过程和一些运算的可交换性。但一般而言，一个收敛的函数列在其收敛域上是不一定一致收敛的。例如在[]上不一致收敛。但是只要从[]的右端点去掉任何小的一段成为[]，则{}在其上就一致收敛了。其实这一现象在某种意义下是带有普遍性的。但有两个问题是必须考虑的：（1）什么样的函数可以用好的函数按某种收敛意义逼近？（2）几种收敛性的关系如何？这就是下面要讲的Egoroff定理。

引理：设，上的一列几乎处处有限的可测函数，a.e.于，且||a.e.于，则对任意和任意正整数n，作，我们有

推论：设，上一列a.e.收敛于一个a.e.有限的函数的可测函数列，则对任意有。

定理：（Egoroff）设，是上一列a.e.收敛于一个a.e.有限的函数的可测函数，则对任意，存在子集，使在上一致收敛，且。

3 结语

本文章先给出了可测函数定义，讨论了它的性质，逐步进入了并讨论了一般函数、简单函数、可积函数以及它们之间的关系。这个定理告诉我们，凡是满足定理假设的a.e.收敛的可测函数列，即使不一致收敛，也是“基本上”（指去掉一个测度可任意小的某点集外）一致收敛的。

参考文献

[1]程其蘘，张奠宙，魏国强，等.实变函数与泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]江泽坚，吴智泉，纪友清.实变函数论[M].北京：高等教育出版社，2007.

篇10：§2函数极限的性质

§2 函数极限的性质

教学章节：第三章函数极限——§2 函数极限的性质

教学目标：使学生掌握函数极限的基本性质.教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等.教学重点：函数极限的性质及其计算.教学难点：函数极限性质证明及其应用.教学方法：讲练结合.教学过程：

引言

在§1中我们引进了下述六种类型的函数极限：

1、limf(x)；

2、limf(x)；

3、limf(x)；

4、limf(x);

5、limf(x)；

6、limf(x).xxxxx0xx0xx0

它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以limf(x)为代表来叙述并证明这些性质.至

xx0

于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可.一、函数极限的性质

性质1（唯一性）如果xa

limf(x)xalimf(x)存在，则必定唯一.证法一设A，xalimf(x)B,则

0,10,当0|xa|1时，|f(x)A|,(1)

20,当0|xa|2时，|f(x)B|.(2)

min1,2取

因而有，则当0xa时（1）和（2）同时成立.AB(f(x)A)(f(x)B)f(x)Af(x)B2,(3)

由的任意性，（3）式只有当

AB0

时，即AB时才成立.AB

2证法二反证,如xa

0xa

limf(x)

A，xa

limf(x)B

且AB，取

0，则0，使当

时，f(x)A0,f(x)B0,即

AB2

A0f(x)B0

AB2

矛盾.性质2（局部有界性）若limf(x)存在，则f在x0的某空心邻域内有界.xx0

limf(x)A

1xx0证明取, 由 , 0, 当0xx0时, 有f(x)A1,即

f(x)Af(x)AA

1，A1

说明f(x)在U0(x0;)上有界，就是一个界.limf(x)b

xa

性质3（保序性）设，xa

limg(x)c

.0xa00

1）若bc，则0，当时有f(x)g(x)；

0xa0

2）若

00，当

时有f(x)g(x)，则bc.（保不等式性）

证明1）取

0

bc2

即得.2）反证，由1）即得.注若在2）的条件中, 改“f(x)g(x)”为“f(x)g(x)”,未必就有

AB.以 f(x)1x,g(x)1,x00

举例说明.推论（局部保号性）如果xa

号.limf(x)b

0xa00

且b0，则0使当时f(x)与b同

性质4（迫敛性）设limf(x)limh(x)A，且在某U0(x0;)内有f(x)g(x)h(x)，xx0

xx0

则limh(x)A.xx0

证明0, 由xx

limh(x)A

limf(x)A，10，使得当0xx01时，有f(x)A，即 Af(x)A.又由

xx0，20，使得当0xx02时，有h(x)A，即Ah(x)A.令min(1,2)，则当0xx0时，有Af(x)g(x)h(x)A

limg(x)A

即g(x)A，故 xx.性质6（四则运算法则）若limf(x)和limg(x)都存在，则函数fg,fg当xx0时极限

xx0

xx0

也存在，且 1）limf(x)g(x)limf(x)limg(x)；2）limf(x)g(x)limf(x)limg(x).xx0

xx0

xx0

xx0

xx0

xx0

又若limg(x)0，则

xx0

fg

当xx0时极限也存在，且有 3）lim

f(x)g(x)

xx0



xx0

limf(x)

xx0

limg(x)

.3）的证明 只要证有

xx0

lim

1g(x)

B2



1B，令

0

B2

0，由

xx0

limg(x)B

B2

0xx01，10使得当时，B2

g(x)B，即

g(x)Bg(x)BB

.g(x)B

B2

0,仍然由

xx0

limg(x)B

20, 使得当0xx02时，有



.0xx0

取min(1,2)，则当时，有

1g(x)

1B

g(x)Bg(x)B



2B

g(x)B

2B



B2



即

xx0

lim

1g(x)



1B.二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限

利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限.已证明过以下几个极限：

limCC,limxx0,limsinxsinx0,limcosxcosx0;

xx0

xx0

xx0

xx0

lim

1x

x

0,limarctgx

x



.（注意前四个极限中极限就是函数值）

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1 求limx.x0

x

1

例2 求lim

(xtgx1).x

例3 求lim（1x1

x1



3x3

1).例4lim

5x3x73x3

2x2

5

.x

注关于x的有理分式当x时的极限.参阅[4]P37.7

例5lim

x1n

x

10利用公式x1

1

.[a1(a1)(a

n1

a

n2

a1)

].例6lim

x2x21x1

x2

x2

.例7lim

2x

3x1

x

3x5

.例8lim

xsin(2xx10)

32x

.x

例9lim

x1.x0

x1

例10已知 lim

x16A参阅[4]P69.x3

x3

B.求 A和B.作业教材P51—521-7，8(1)(2)(4)(5)； 2

补充题已知lim

xAxB7.求A和B.(A

16x2

x24

B3,B

203

.)

例11lim2x2axb

0.x1x

求a和b.

2解法一

2x

axax

1x

ax

2x1x



(a1)x2

ax2

1x

b,(x).a10,a1;又 ab,b1.解法二2x2

1xaxbx  2x2ab

，xx

2x 由x且原式极限存在，

2x2xx

ab

x0，即 alim2x2b