幂函数的性质

幂函数的性质（精选14篇）

篇1：幂函数的性质

幂函数的性质

正值性质

当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都经过点(1,1)(0,0);

b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数;

c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大;α=1时，导数为常数;0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0(函数值递增);

负值性质

当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都通过点(1,1);

b、图像在区间(0，+∞)上是减函数;(内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间(-∞，0)上单调递增。其余偶函数亦是如此)。

c、在第一象限内，有两条渐近线(即坐标轴)，自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

零值性质

当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：

a、y=x0的`图像是直线y=1去掉一点(0,1)。它的图像不是直线。

篇2：幂函数的性质

对于yx幂函数来说具有以下性质:

1.如果a是奇数,函数就是奇函数,如果a是偶数,函数就是偶函数

2,如果a>0,函数定义域能取0,如果a<0,函数定义域就取不到0

aq

pa3.如果,即a是最简分数时,(1).P是x的开方数,当P是偶数时,x≧0

当P是奇数时,x∈R

(2).q是x的多少次,当q是奇数时,函数就是奇函数

当q是偶数时,函数就是偶函数

4.幂函数在第一象限的图像规律:

a>1,函数是增函数,增得快

0

篇3：关于指对幂函数的性质应用

一、比较大小

例1：已知a=2.10.5, b=2.30.6, c=2.10.2，试比较a、b、c的大小.

分析：比较幂的值的大小，主要依据是指数函数和幂函数的单调性。当底数相同而指数不同时，考虑利用指数函数的单调性;当底数不同且指数相同时，考虑利用幂函数的单调性;当底数、指数均不同时，可考虑用幂函数过渡到指数函数，即寻找到合适的中间值后，再比较大小。

解：因为幂函数上是增函数，所以a=2.10.5<2.30.5;因为指数函数y=2.3x在R上是增函数，所以2.30.5<2.30.6=b;因为指数函数y=2.1x在R上是增函数，所以c=2.10.2<2.10.5=a.综上，c

变式1：已知，则a、b、c的大小关系为_______.

解:因为指数函数y=0.4x在R上是减函数, 所以, 而因为指数函数y=2.5x在R上是增函数, 所以.综上, b

说明：本题中比较大小，都可以看作指数函数来考察，而b、c底数不同且指数也不同，这里是通过和中间值1比较大小，这个中间值根据题目需要而定，但通常都是和0或1比较。

二、解方程和不等式

例2：若A={x|3≤33-x<27, x∈Z}，B={x||log2x|>1, x∈R}，则A∩(CRB)的元素个数为______.

分析：首先要利用指数函数、对数函数的单调性确定集合，在进行集合的运算，要注意对数的真数大于0。

解：由3≤33-x<27，得到1≤3-x<3，即01，得到log2x<-1或log2x>1，即或x>2，所以，所以，所以A∩(CRB)={1, 2}.故A∩(CRB)的元素个数为2.

变式2:函数的定义域为_______.

分析：求定义域通常都是使表达式本身有意义，即本题是保证根号里的数大于等于零，同时还要保证对数式里德真数大于零即可。

解:由题意得到, 解不等式组得x≥log36, 即函数的定义域为[log36, +∞) .

三、综合问题

例3：已知函数f (x)=loga (ax-1) (a>0, a≠1)，求函数f (x)的定义域，并讨论函数f (x)的单调性(需利用定义进行证明)。

分析：先利用对数的真数大于0，求出函数的定义域，然后结合定义域分析单调性，并严格按照单调性的定义进行证明。要注意对指数函数和对数函数的底数的范围进行讨论。

解：要使函数有意义，则ax-1>0，则ax>a0.

(1)当a>1时，可有ax>a0，解得x>0，即函数的定义域为(0，+∞).这时，

f (x)=loga (ax-1)在(0，+∞)上是增函数，下面进行证明.

设0

因为01，所以ax2>ax1>1，则ax1-1>0, ax2-ax1>0,

所以f (x)=loga (ax-1)在(0，+∞)上是增函数。

(2)当0

变式3：已知函数f (x)=ax+loga (x+2)在[0, 1]上的最大值与最小值之和为a，则实数a的值为_______.

分析：本题主要是利用复合函数的单调性来解决的，因为h (x)=ax和g (x)=loga (x+2)在定义域上都是单调增函数，所以(x)=ax+loga (x+2)也是单调增函数，利用单调性很容易求出参数a的值。

解：由复合函数的单调性可知，函数f (x)=ax+loga (x+2)在[0, 1]上是单调增函数，所以有f (0)+f (1)=a，即a0+loga (0+2)+a1+loga (1+2)=a，解得

变式4：已知函数f (x)=lg (3x-b) (b为常数)，若x∈[1，+∞)时，f (x)≥0恒成立，求实数b的取值范围.

解：由lg (3x-b)≥0得到3x-b≥1，所以x∈[1，+∞)时，f (x)≥0恒成立，即当x∈[1，+∞)，3x-b≥1恒成立，即当x∈[1，+∞)，b≤3x-1恒成立.令g (x)=3x-1，则b≤g (x) min, x∈[1，+∞)，而当x∈[1，+∞)，g (x) min=2，所以b≤2.即b的取值范围为(-∞，2].

篇4：幂函数的性质

1. 函数y=12|x+1|的值域是.

2. 方程lg(x2-4)=lgx+lg3的解是.

3. 已知幂函数f(x)=x-14，若f(2a+3)＜f(1-a)，则a∈.

4. 已知f(x)=1, x＞0，0, x=0，-1,x＜0，则方程x+1=(2x-1)f(x)的解为.

5. 已知函数f(x)满足f2x+|x|=log2x|x|，则f(x)的解析式是 .

6. 设f∶x→x2是集合A到集合B的映射，如果B={1,4},则A∩B等于

7. 49-12-lg5+lg22-lg4+1-31-log32=.

8. 已知函数f(x)=(2a-1)x+7a-2,x＜1,ax,x≥1在(-∞,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是.

9. 已知函数f(x)=log2(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则实数a的取值范围是.

10. 在y=2x,y=log2x,y=x2这三个函数式中，当0＜x1＜x2＜1时，使fx1+x22＜f(x1)+f(x2)2恒成立的函数个数是.

11. 已知函数f(x)=x2-2x+a，x∈［0,3］,它的任意三个函数值总可以作为一个三角形的三边长，则a的取值范围是.

12. 有下列命题：

（1） 定义在R上的函数f(x)，若f(-1)=f(1),且f(-2)=f(2)，则f(x)是偶函数;

（2） 定义在R上的函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)在R上不是减函数;

（3） 定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0］上是单调减函数，在区间(0,+∞)上也是单调减函数，则f(x)在R上是单调减函数;

（4） 既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个.

其中真命题有 .

二、 解答题

13. 已知f(x)=x13-x-132,g(x)=x13+x-132.

（1） 计算f(4)-2f(2)g(2)和g2(2)-f2(2)的值；

（2） 概括出函数f(x)和g(x)对所有不为零的实数都成立的两个恒等式.

14. 已知函数f(x)=x+log2m+x1-x（m为常数）的

图象关于原点对称.

（1） 求m的值；

（2） 若x∈-1,13，f(x)是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.

15. 已知正数a,b,c满足条件：(lgab)·(lgbc)=-1，求ca的取值范围.

16. 定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23，且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).

（1） 求证：f(x)为奇函数；

（2） 若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围.

17. 已知函数f(x)=1x-1.

(1) 作出函数f(x)的图象；

(2) 若集合A=y|y=f(x)，12≤x≤2，B=［0,1］，试判断A与B的关系；

(3) 若存在实数a,b(a＜b)，使得集合{y|y=f(x)，a≤x≤b}=［ma,mb］，求实数m的取值范围.

（参考答案见第43页）



巩固练习参考答案

《形影不离的单调性与定义域》

1. (-∞,0)及（0，+∞） 2. a∈(1,2)

3. (-∞,-3) 4. 存在，a∈(1,+∞)

5. x∈12,43

《函数奇偶性判断的常见误区》

1. D

2.f(x)=1, x＞0，0, x=0，-1,x＜0.

3. f(x)是在（-1，1）上的奇函数.

4. 令x=y=0，得f(0)=0；再令y=-x，得f(-x)+f(x)=f(0)=0，得证.

《在错误中提升方法》

1. 0＜a＜1,b≤0；

2. (1) a=1;(2) 略.

3. ［2，+∞）.

4. 设x1＜x2＜0，

则y1-y2=2x1+12x1-2x2+12x2=(2x1-2x2)+12x1-12x2=(2x1-2x2)(2x1+x2-1)2x12x2.

因为x1＜x2＜0，所以0＜2x1＜2x2,x1+x2＜0，2x1+x2-1＜0,所以y1-y2＞0,

所以函数y=2x+12x在（-∞，0）上是单调减函数.

《对数函数学习过程中的关注点》

1. A

2. 由已知得lga,lgb是方程x2+(lg7+lg5)x+lg7·lg5=0的两根，

所以lga+lgb=-(lg7+lg5)=lg135，所以ab=135.

3. 设u=2-ax，则y=logau，由已知a＞0,a≠1，所以u=2-ax在区间［0,1］单调递减，因此要使函数y=loga(2-ax)在［0,1］上是x的减函数，则a＞1,且u=2-ax＞0在区间［0,1］上恒成立.可得1＜a＜2.

4. （1） 由x+x2+1＞x+x2=x+|x|≥0，可得函数f(x)=lg(x+x2+1)的定义域是R；

（2） 由f(x)=lg(x+x2+1)，可得f(-x)=lg(-x+x2+1)，

所以f(-x)+f(x)=lg(-x+x2+1)+lg(x+x2+1)=lg(-x2+x2+1)=lg1=0，所以f(-x)=-f(x)，即函数f(x)=lg(x+x2+1)是奇函数.

（3） 略.

《幂函数的概念、图象和性质》

1. D 2. C 3. 12008

4. （1） k=0或k=1，f(x)=x2;（2） 存在q=2满足题意.

《比较指数式大小的常用方法》

1. a1.2＞1a-0.3.

2. 1.40.1＞0.93.1.

3. 因为-233为负数，4313大于1，3412大于0小于1,所以4313＞3412＞-233.

4. B

5. ① x＞6:当a＞1时，有a4x-5＞33x+1;当0＜a＜1时，则有a4x-5＜33x+1.

② x=6时，a4x-5=a3x+1.

③ x＜6:当a＞1时，有a4x-5＜a3x+1;当0＜a＜1时，则有a4x-5＞a3x+1.

单元测试参考答案

1. (0,1］ 2. x=4 3. -23,1

4. 0,2,-1-174

5. f(x)=-log2x 6.{1}或7. 0 8. 38,12 9. (1,2) 10. 2

11. (5,+∞) 12. 2

13. (1)0和1;(2) f(x2)-2f(x)g(x)=0，g2(x)-f2(x)=1.

14. (1)m=1;(2)先证明f(x)单调递增，f(x)max=f13=43.

15. 已知式可化为关于lgb的方程lg2b+(lga+lgc)lgb+lgalgc+1=0.

由Δ≥0得：(lga-lgc)2≥4，所以lgca≤-2或lgca≥2,

所以ca∈0,1100∪［100,+∞).

16. (1) 略.

(2) 因为f(x)在R上是单调函数，且f(3)=log23>f(0),

所以f(x)在R上单调递增.

又f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0,即f(k·3x)＜-f(3x-9x-2)=f(9x-3x+2),所以9x-3x+2＞k·3x，即9x-(k+1)3x+2＞0对x∈R恒成立.

所以k+1≤0或k+1＞0，-k+122+2＞0，解得k＜22-1.

17. (1)

(2) A=［0，1］=B.

(3) 因为a＜b，ma＜mb，所以m＞0.

又f(x)≥0,所以ma≥0，又a≠0，所以a＞0.

① 0＜a＜b≤1，由图象知，f(x)在x∈［a，b］上递减，所以1a-1=mb，1b-1=maa=b，与a＜b矛盾.

② 0＜a＜1＜b，这时f(1)=0，而ma＞0,也与题设不符；

③ 1≤a＜b，f(x)在x∈［a,b］上递增,

所以1-1a=ma，1-1b=mb，可知mx2-x+1=0在［1,+∞)内有两不等实根.

由Δ＞0，12m＞1，解得0＜m＜14

篇5：关于幂函数的教案

(1)理解幂函数的概念，会画五种常见幂函数的图像;

(2)结合幂函数的图像，理解幂函数图像的变化情况和性质;

(3)通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。

教学重点：

常见幂函数的的概念、图像和性质。

教学难点：

幂函数的单调性及比较两个幂值的大小。

教具准备：

多媒体课件、投影仪、打印好的作业。

教学情景设计

问题

? 师生活动 设计意图 问题1：如果张红购买了1元/千克的蔬菜x千克，那么她需要付的钱数y(元)和购买的蔬菜量x?(千克)之间有何关系?

问题2：如果正方形的边长为x，那么正方形面积y=?

问题3：如果正方体的棱长为x，那么正方体体积y=

问题4：如果正方形场地的面积为x，那么正方形的边长?y=?

问题5：如果某人x秒内骑车行进1千米，那么他骑车的平均速度y=(千米/秒) 引导学生探索发现：

通过生活实例，引出幂函数的概念，使学生体会到数学在生活中的应用，激发学生的学习兴趣。 你能发现这几个函数解析式有什么共同点吗?

? 引导学生归纳结论

(1)?指数为常数.

(2)?右边均是以自变量为底的幂的形式; 认识五种常见的幂函数。 给出幂函数的定义：一般地，形如? 的函数称为幂函数，其中x为自变量，α为常数. 例1：在函数 ， ， ， 中，哪几个函数是幂函数? 引导学生依据幂函数定义及特征头判断;

1、 即 (是)

2、 (不是)

3、 (不是)

4、 (是) 正确认识幂函数 请在同一坐标系内画出以上五个幂函数的图像 指导学生画出图像，多媒体呈现图像 训练学生的作图、识图能力。 观察以上图像将你发现的结论填入性质表?

定义域

篇6：指数函数、对数函数、幂函数教案

1．形如yax(a0,a0)的函数叫做指数函数，其中自变量是x，函数定义域是R，值域是(0,)．

2.指数函数yax(a0,a0)恒经过点(0,1)． 3.当a1时，函数yax单调性为在R上时增函数； 当0a1时，函数yax单调性是在R上是减函数．

二、对数函数 1． 对数定义：

一般地，如果a（a0且a1）的b次幂等于N, 即abN，那么就称b是以a为底N的对数，记作 logaNb，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。

b 着重理解对数式与指数式之间的相互转化关系，理解，aN与blogaN所表示的是a,b,N三个量之间的同一个关系。2.对数的性质：

（1）零和负数没有对数；（2）loga10；（3）logaa1

这三条性质是后面学习对数函数的基础和准备，必须熟练掌握和真正理解。3.两种特殊的对数是：①常用对数：以10作底 log10N简记为lgN ②自然对数：以e作底（为无理数），e= 2.718 28……，loge4.对数恒等式（1）logaabb；（2）alogaNN简记为lnN．

N

b 要明确a,b,N在对数式与指数式中各自的含义，在指数式aN中，a是底数，b是指数，N是幂；在对数式blogaN中，a是对数的底数，N是真数，b是以a为底N的对数，虽然a,b,N在对数式与指数式中的名称不同，但对数式与指数式有密切的联系：求b对数logaN就是求aN中的指数，也就是确定a的多少次幂等于N。

三、幂函数

1．幂函数的概念：一般地，我们把形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数；

注意：幂函数与指数函数的区别． 2.幂函数的性质：

（1）幂函数的图象都过点(1,1)；

（2）当0时，幂函数在[0,)上单调递增；当0时，幂函数在(0,)上 单调递减；

（3）当2,2时，幂函数是 偶函数 ；当1,1,3,时，幂函数是 奇函数 ．

四、精典范例 例

1、已知f(x)=x·（31311)； x221(1)判断函数的奇偶性；(2)证明：f(x)>0.【解】：(1)因为2－1≠0，即2≠1，所以x≠0，即函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}.x

x11x32x1)=·x又f(x)=x(x，2212123(x)32x1x32x1··f(－x)==f(x)，22x122x1所以函数f(x)是偶函数。

x32x10.(2)当x>0时，则x>0，2>1，2－1>0，所以f(x)=·x2213

x

x又f(x)=f(－x),当x<0时，f(x)=f(－x)>0.综上述f(x)>0.a·2xa2(xR),若f(x)满足f(－x)=－f(x).例

2、已知f(x)=x21(1)求实数a的值；(2)判断函数的单调性。

【解】：(1)函数f(x)的定义域为R，又f(x)满足f(－x)= －f(x)，所以f(－0)= －f(0)，即f(0)=0.所以

2a20，解得a=1，22(2x12x2)2x112x21(2)设x1

3、已知f(x)=log2(x+1)，当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动时，点(，)在函数y=g(x)的图象上运动。(1)写出y=g(x)的解析式；

(2)求出使g(x)>f(x)的x的取值范围；

(3)在(2)的范围内，求y=g(x)－f(x)的最大值。【解】：(1)令

xy32xys,t，则x=2s,y=2t.32因为点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动，所以2t=log2(3s+1)，11log2(3s+1)，所以g(x)= log2(3s+1)221(2)因为g(x)>f(x)所以log2(3x+1)>log2(x+1)

2即t=3x1(x1)23即0x1(3)最大值是log23－

2x10x2.例

4、已知函数f(x)满足f(x－3)=lg2x62(1)求f(x)的表达式及其定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；

(3)当函数g(x)满足关系f[g(x)]=lg(x+1)时，求g(3)的值.解：(1)设x－3=t，则x=t+3, 所以f(t)=lg2

t3t3lg

篇7：幂函数教案

教材地位：幂函数是中学教材中的一个基本内容，即是对正比例函数、反比例函数、二次函数的系统总结，也是对这些函数的概况和一般化、

教学重点：幂函数的图像与性质、

教学难点：以幂函数为背景的图像变换、

二、教学目标设计

能描绘常见幂函数的图像，掌握幂函数的基本性质;理解幂函数图像的演进及单调性质;理解幂函数图形特征与代数特征的对称联系，在函数性质的应用中体会它的价值。能以幂函数为背景进行基本的函数图像的平移和对称变换、

三、教学流程设计

设置情境→探索研究→总结提炼

→尝试应用→练习回馈→设置评价

五、教学过程设计

1、情境设置

指导学生描画一些典型的幂函数的图像，回忆并归纳幂函数的性质、

2、探索研究

问题：如图所示的分别是幂函数①，②，③，④，⑤，⑥，⑦在坐标系中第一象限内的图像，请尽可能精确地将指数的范围分别确定出来

3、总结提炼

揭示幂函数图像特征与底数的依赖关系、师生共同整理出规律性结论、

4、尝试应用

①(1)研究函数的图像之间的关系;

(2)在同一坐标中作上述函数的图像;

(3)由所作函数的图像判断最后一个函数的奇偶性、单调性、

②已知函数

(1)试求该函数的零点，并作出图像;

(2)是否存在自然数，使=1000，若存在，求出;若不存在，请说明理由、

③作函数的大致图像、

5、练习回馈

课本第83页练习4、1(2)

六、教学评价设计

习题4、1——

篇8：幂函数的性质

章节:第二章第4节

课题:幂函数的图像与性质 (二)

教材分析:

幂函数作为一类重要的函数模型, 是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。本课的教学重点是任意幂函数的图像和性质, 难点是利用任意幂函数的图像和性质, 解决实际问题。幂函数模型在生活中是比较常见的, 学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数y=x, y=x2, y=x3, y=x-1, y=x12。组织学生画出他们的图像, 根据图像观察、总结幂函数16字口诀。

学生已经有了学习指数函数和对数函数的学习经历, 这为研究幂函数的性质做好了方法上的准备。因此, 学习过程中, 引入常见幂函数之后, 尝试放手让学生自己进行合作探究学习。

一、教学目标

1. 基础知识目标

(1) 了解幂函数的概念, 利用口诀, 会画幂函数的图像。

(2) 根据幂函数的图像, 掌握幂函数图像的变化情况和性质。

(3) 掌握几个常见幂函数的性质, 能灵活利用其性质解决数学问题。

2. 能力训练目标

(1) 通过观察、总结幂函数的性质, 培养学生概括抽象和识图能力。

(2) 使学生进一步体会数形结合的思想。

3. 情感态度与价值观

利用计算机, 了解幂函数图像的变化规律, 使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用, 从而激发学生的学习欲望。

二、重点、难点

重点:任意幂函数的图像和性质。

难点:利用任意幂函数的图像和性质, 解决实际问题。

学情分析:本班学生的现状因素:高中学生的录取分数就决定了其基础知识和基本技能的水平。我校是四星级高中, 近几年由于生源萎缩, 学校都是通过调剂或降分完成每年的招生计划, 进校的大部分学生基础都不好, 而我所任教的是普通班, 对数学学习的要求较高。这一矛盾的尖锐点是学生数学知识储备量严重不足;从数学学习的角度看, 数学认知结构中缺少与新知识相关的旧知识, 直接影响其后继知识学习上的记忆能力、理解能力和思维能力, 导致机械学习;从数学教学角度讲, 后续教育在认知结构缺乏相应的知识储备的影响下, 丧失了应有的成效, 这也许就是高中生数学学习困难最主要的原因。因此, 如果我们在幂函数教学中, 一味追求理论深度, 反复强调细枝末节, 这无疑是扼杀学生学习数学的兴趣, 也不能让学生死记硬背常见函数的图像及性质, 遇到类似问题生搬硬套, 激化教学双方矛盾, 因此本节课可以利用“十六字口诀”, 化难为简, 轻松掌握。

三、教学活动

四、教学反思

本课采用在《新课程标准》指导下的实验探究学习过程与信息多媒体新技术的整合的教学方式。教师以初中常见的幂函数图像创设问题, 激发学生内在积极性、创造性、主动性为目的。以探究作出幂函数的图像实质依据为主线, 既抓住重点, 又突出学生的主体地位。这样处理适合学生的认知特点, 使学生对研究幂函数的性质的学习有了生长点, 便于学生快速掌握。

1. 教学手段

本节课是以Smart电子白板为教学平台, 在课程的设计与实施过程都中用到白板的如下功能:

改变字体 (粗体下划线斜体)

设置对象属性 (颜色线条宽度线样式填充动画透明度)

锁定对象属性和位置

无限克隆选定对象

更改页面背景颜色

组合、取消组合、翻转

选择对象

选择笔、魔术笔、橡皮擦

表格、单元格阴影、屏幕遮罩等

教师在本节课中充分发挥了交互式电子白板的优势, 不仅使学生能够深刻理解所学知识, 还能够灵活运用, 举一反三, 而且使整个课堂都是在活跃的互动气氛中开展。白板的应用达到预期的教学效果, 尤其是使用白板的色笔、魔术笔功能, 进行批注、圈点、相关重点。运用这些功能一方面可以大大激发学生积极主动的学习热情, 使学生思维活跃、兴趣盎然地参与教学活动, 培养他们积极思考发展思维、探索发现能力;另一方面可以把课堂教学的教师以教为主变成学生以学为主, 从而提高教学质量, 优化教学过程, 增强教学效果。鲜艳的色彩、多变的图像, 有利于刺激学生的多种感官, 创设各种教学情境, 唤起学生的情感活动, 促使他们发挥学习主动性与积极性。把交互式电子白板技术融入到高中数学学科教学中去, 就像使用黑板、粉笔、纸和笔一样自然、流畅, 使原本抽象的数学知识形象化、生活化, 使学生不仅掌握数学知识, 而且喜欢这门学科。运用交互式电子白板教学可以取得传统教学无法取得的一些效果。

(1) 保存板书, 节省时间、空间

整个教学中, 教师根据实际情况, 随时对所实施的内容进行批注、讲解。改变了以往的教学完成后, 不能在黑板上保存的弊端。这样既省时, 也不会引起学生的厌烦情绪, 而且使已有知识再次得到巩固。而在教学的后续阶段, 教师只需将它调出进行反思研究, 无需回忆, 方便省力。

(2) 整合资源、亲身体验

互动演示平台将白板和Power Point演示文稿整合起来, 在演示文稿中制作的图形运动效果, 可以通过白板展示出来。整个课堂也因此而活起来。除此之外, 还可以和多种形式的文件整合, 给人以鲜明直观的感受, 学生也可以直接参与到教学中, 起到优势互补的作用。

(3) 扬长避短、提高效率

交互式电子白板具有普通黑板全部的功能, 同时又具有更多普通黑板不具有的功能;同时基于交互白板的信息技术环境支持教学中对各种媒体资源灵活调用, 支持所有的课堂教学行为, 将以往一些由教师到学生的单向信息传输模式改变为两者之间的双向交流, 加大了课堂的信息量, 增强了课堂活动的交互性, 提高了课堂效率。

2. 教学方法

教学中, 教师应用“问题——研究——归纳——应用”模式教学, 展示了“数学教学是数学活动的教学”。教师是活动的组织者、指导者、协作者和调控者, 学生是数学建构活动的真正主人。教师既注重知识教学, 又关注思想方法教学。教师创设情境提出问题, 学生围绕问题观察、思考、分析、综合、概括, 应用问题解决达成对新知识的理解。教师给学生创设多种素材, 学生归纳总结, 思维灵活多变, 有利于知识的迁移和发散性思维的培养。

教学设计不是用传统的“复习—例题—练习”模式教学, 而是把问题的研究当作是一种情境, 引发学生去操作、活动、讨论、反思。把例题与练习纳入问题研究的学习情境之中。摆脱原来那种讲完概念, 就进入例题学习, 练习巩固的孤立做法。而是应用教学原理将研究活动的过程设计成题组, 让学生在数学探究中加深对幂函数图像与性质问题的理解。

本节课中心环节是幂函数的图像与性质, 并用其来解决应用问题。幂函数的草图如何作出是至关重要的。课后需要继续加强训练, 加深口诀的应用。让学生们在学习知识的同时, 掌握数形结合的思想方法。

本节课课堂气氛热烈, 一扫沉闷, 改变了“教师讲、学生听”的状况, 较好地体现了学生学习主体性。教师指导协作成为课堂教学的灵魂, 学生成为课堂活动的积极探索者, 成为活动主体。实现传统教学中, 师生角色的转换。培养了学生自主合作学习的能力, 绝大多数的学生都参与了知识发生与发展过程, 通过总结归纳, 得出16字口诀, 在教学过程中, 表现出浓厚的学习兴趣, 课后的反馈检测效果不错。

3. 设计思想

由于幂函数的图像千姿百态, 其性质随幂指数的轻微改变会出现较大的变化, 因此要学生在一节课中像指数函数和对数函数那样完全掌握这类函数的性质是比较困难的, 因此本人采用了从特殊到一般、再从一般到特殊的方法安排教学:先重点研究了几个常见的幂函数的图像和性质, 然后通过四组幂函数的图像的比较、归类, 让学生归纳幂函数性质随幂指数改变的变化情况, 总结出16字口诀, 最后再通过的课堂练习, 巩固今天所学内容, 让学生检测自己探索成果的有效性, 体验成功, 享受学习的乐趣。

篇9：幂函数的概念、图象和性质

一、 幂函数的概念

要想真正把握好幂函数概念的内涵和外延，需将它和其他基本初等函数加以区分.

1. 幂函数和指数函数

函数

内容

项目幂函数指数函数定义形如y=xα（α∈R）的函数叫幂函数，其中α为常数形如y=ax（a＞0且a≠1），x∈R的函数叫指数函数

特点1. 是幂的形式2. 幂的底数是x ——自变量3. 幂的指数是α ——常数4. α∈R（中学阶段只研究α为有理数）

1. 是幂的形式2. 幂的底数是a ——a＞0且a≠1的常数3. 幂的指数是x ——自变量

4. x∈R（定义域）

2. 幂函数和正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数

形如y=kxα的函数,k,α是常数：

① 当且仅当k≠0且α=1时为正比例函数.

② 当且仅当k≠0且α=-1时为反比例函数.

③ 当且仅当k≠0且α=1时为一次函数.

④ 当且仅当k≠0且α=2时为二次函数.

⑤ 当k=1时为幂函数.

另外，并非所有的正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数都是幂函数，比如：y=2x，y=2x，y=x+1，y=x2-x等均不是幂函数.

3. 幂函数和复合函数

幂函数作为一种基本初等函数，它可成为被复合的一分子，但它不是复合函数.如：y=x12+1是由一次函数y=u+1和幂函数u=x12组成的复合函数，但y=x12+1不是幂函数.

例1 已知函数f（x）=（m2+2m）xm2+m-1，m为何值时，f（x）是：

（1） 正比例函数；

（2） 反比例函数；

（3） 二次函数；

（4） 幂函数.

解析 本题考查四种基本初等函数，关键是根据各自定义列出等式或不等式，求出m的取值.

（1） m2+2m≠0,m2+m-1=1,解得m=1.

（2） m2+2m≠0,m2+m-1=-1,解得m=-1.

（3） m2+2m≠0,m2+m-1=2,解得m=-1±132.

（4） m2+2m=1,解得m=-1±2.

二、 幂函数的图象

图1

1. 以y=x，y=x2，y=x3，y=x12，y=x-1五种函数的图象，通过列表——描点——连线（三步作图法）得到,如图1.

2. 幂函数y=xα，x∈［0，+∞）的图象因α值不同而不同.如图2，以y=x，y=x0和在x=1右侧分为三个区域：

图2

在Ⅰ区中，y=xα（α＜0）；

在Ⅱ区中，y=xα（0＜α＜1）；

在Ⅲ区中，y=xα（α＞1）.

利用图2，可弄清在第一象限中幂函数y=xα的图象分布与α的关系，且在x=1右侧的每一区域中，都是越往上对应的α值越大.

例2 图3是幂函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象，则（）

A. -1＜n＜0＜m＜1

图3

B. n＜-1,0＜m＜1

C. -1＜n＜0,m＞1

D. n＜-1,m＞1

解析 在（1，+∞）内取一值x0，作直线x=x0，它与这两个幂函数的图象均有交点，则“点低指数小”，故选B.

3. 幂函数图象的特点

① 一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内；

② 最多只能同时出现在两个象限内；

③ 是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；

④ 如果图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

三、 幂函数的性质

幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出在第一象限内的图象，然后根据它的奇偶性就可作出在定义域内完整的图象；反过来，只要图象明确了，性质也就清晰无误了.

例3 已知幂函数y=xm2-2m-3（m∈N）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足(a+1)-m3＜(3-2a)-m3的a的取值范围.

解析 由题意，可得m2-2m-3＜0，即-1＜m＜3.

又m∈N，所以m=0，1，2.

当m=0或m=2时，y=x-3是奇函数，不合题意,舍去.

当m=1时，y=x-4满足条件.

所以m=1.

对于（a+1）-13＜(3-2a)-13,考察幂函数y=x-13的单调性：在（-∞，0）和（0，+∞）上是减函数,

所以a+1＞0,3-2a＞0,a+1＞3-2a,或a+1＜0,3-2a＜0,a+1＞3-2a,或3-2a＞0,a+1＜0,

解得a＜-1或23＜a＜32.

故a的取值范围是（-∞，-1）∪23,32.

巩 固 练 习

1. 下列函数是幂函数的是（）

A. y=xx

B. y=3x12

C. y=(x-1)2

D. y=x-2

2. 右图为幂函数y=xα在第一象限的图象，则C1，C2，C3，C4的大小关系为（）

A. C1＞C2＞C3＞C4

B. C2＞C1＞C4＞C3

C. C1＞C2＞C4＞C3

D. C1＞C4＞C3＞C2

3. 设函数f1(x)=x12，f2(x)=x-1，f3(x)=x2.求：f1(f2(f3(2008)))=.

4. 已知函数f(x)=x-k2+k+2(k∈Z)满足f(2)＜f(3).

（1） 求k及其相应的f(x)的解析式；

（2） 对于（1）中得到的函数f(x)，试判断是否存在q（q＞0），使函数g（x）=1-qf(x)+（2q-1）x在区间［-1，2］上的值域为-4,178？若存在，求出q；若不存在，说明理由.

篇10：幂函数教学反思

幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本初等函数。学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成。因此，在本节课开头，我先引入几个实例，通过几个具体的幂函数，归纳出这类函数的共同特征，引出幂函数的概念，之后，为了强化概念，做了几个有针对性的练习。在引入图像和性质时，尝试放手让学生自己进行合作探究学习，让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，通过研究y=x，y=x2，y=x3，y=x―1，y=x1/2等函数的图象和性质，让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下，幂函数的共性：当幂指数a>0时，幂函数的图象都经过点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单调递增；当幂指数a<0时，幂函数的图象都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为淅近线，在方法上，我指导学生注意从特殊到一般进行类比研究幂函数的性质，并强调与指数函数进行对比。

华附的高一学生起点高，数学思维好，这节课内容对他们来讲是比较容易接受的。从图象归纳性质，或引导学生应用画函数的性质画图象等方面，学生都能达到预期目标。通过几何画板软件动态演示幂函数的图象（在第一象限）随幂指数连续变化情况，让学生归纳幂函数性质随幂指数改变的变化情况（其他象限内的情况，可结合奇偶性得到），最后再通过改变画板中的幂函数的幂指数（用参数的方法），让学生预测将要出现什么样的图象，让学生检测自己探索成果的有效性，体验成功，享受学习的乐趣。

篇11：幂函数教学反思

-沈浩

学期初,学校安排我上一节导学案模式下的公开课,结合教学进度,我定下教学内容为必修一第二章第五节简单的幂函数第一课时，在自己的精心准备和同事的热情帮助下,这节公开课上的非常成功，当然也有一些需要改进的地方,下面就本节课简单反思如下。

这节课我选择主体借助导学案，多媒体辅助的教学模式。

在教学的知识目标中我确定为:了解幂函数的概念，观察图像归纳其性质.而把函数奇偶性放入第二课时，这即使得本节课突出了幂函数概念的中心，也降低了整体难度,合适数量的知识点，对一节公开课来说是有必要的。

教学内容的安排上，首先多媒体给出生活中五个生活实例，学生由此提取出高中阶段常见的五个幂函数模型,由此引出幂函数定义，这样做符合由特殊到一般的认知规律,实际效果也挺好，分析幂函数概念时还是要更慢些，仔细些，概念毕竟是图像、性质的基础。最好由同学们先观察特点总结，充分调动学生的积极主动性。掌握定义后，我安排了一个名为火眼金睛的快速小练环节。紧接着是学以致用。由抽签决定的四组同学上台展示，这是本节课与传统课堂不同之处，也是体现学生参与效果的重要一环。四组用了大概6分钟的时间完成所有要展示的内容，板书工整，旁边有方法、数学思想、注意事项的旁白，这体现出前两周训练的成果。然后各组代表依次完成展示，期间教师结合学生讲解补充解疑。

我考虑导学案刚开始试行，还在摸索成长阶段，一些典型例题教师还是可以适当讲解的。所以，我结合多媒体补充了两个与导学案相似且有联系的典例。最后多媒体给出本节课的总结。

篇12：简单的幂函数(教学设计)

交大二附中

刘正伟

一、课标三维目标：

1．知识技能：了解简单幂函数的概念；通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.2．过程与方法：通过作函数图像，让学生体会幂函数图像的特点，会利用定义证

明简单函数的奇偶性，了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法。

3．情感、态度、价值观：进一步渗透数形结合与类比的思想方法；培养从特殊归

纳出一般的意识，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性。

二、教学重点与难点：

重点：幂函数的概念，函数奇、偶性的概念。

难点：判断函数的奇偶性。

三、学法指导：

通过数形结合，类比、观察、思考、交流、讨论，理解幂函数的概念和函数的奇偶性。

四、教学方法：

对奇偶性要求不高，题目不需要过难，尽量用多媒体和计算机画函数的图像，重在从图上看出图像关于谁对称，着重从对称的角度应用这一性质，培养学生自己归纳总结的能力。

五、教学过程：

（一）创设情境（生活实例中抽象出几个数学模型）

1.如果张红购买每千克1元的蔬菜x千克,那么她需要付的钱数 p=x元,这里p是s的函数.2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数

4.如果正方形场地的面积为S,那么正方形的边长a=S1/2,这里a是S的函数.5.如果某人t s内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度 v=t-1km/s,这里v 是t的函数.【思考】上述函数解析式有什么形式特征？具有什么共同点？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，板书课题并归纳幂函数的定义。）

（二）探究幂函数的概念、图象和性质

1．幂函数的定义

如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y = x，这样的函数称为幂函数．如

α【练】为了加深对定义的理解，让学生判别下列函数中有几个幂函数？

212x2(1)y=x+x(2)y=(3)y=2(4)y=2(5)y=2x(6)y=x3xx 22.幂函数的图象和性质

【1】通过几何画板演示让学生认识到，幂函数的图象因a的不同而形状各异 【2】引导学生从5个具体幂函数的图象入手，研究幂函数的性质

① 画出yx,yx,yx,yx,yx1的图象（重点画y=x3和y=x1/2的图象----学生画，再用几何画板演示）

2312

学生活动：1.学生自己说出作图步骤，交流讨论单调性。

学生活动:2.观察交流，分析图像还有那些特点？

3.观察函数值和自变量取值有什么特点？

我们还可以看到，f(x)=x3 的图像关于原点对称．并且对任意的x，f(-x)=(-x)3=-x3，即f(-x)=-f(x)．

（三）奇函数、偶函数的定义

一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数,即f(-x)=-f(x);反之，满足f(-x)=-f(x)的函数y=f(x)一定是奇函数。

2学生通过类比，自己找出偶函数的定义，可以建议利用y=x的图像特征？

一定是偶函数。

当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性。例1:画出下列函数的图像，判断奇偶性.（1）f(x)=-3x-1;

(2)f(x)= x2，x∈﹙-3,3〕

（3）f(x)= x2-3

；（4）f(x)= 2（x+1）2+1 图像关于y轴对称的函数叫作偶函数，即f(-x)=f(x)；反之，满足f(-x)=f(x)的函数y=f(x)学生活动：思考讨论：

1.总结奇偶性对函数定义域的要求.2.总结利用图像法判断函数奇偶性

（四）根据定义法判断奇偶性

例2．判断f(x)=-2x5 和g(x)= x4 +2的奇偶性．

由于从图像上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格的说，它需要根据奇偶函数的定义进行证明。

学生自己先动手证明，教师一旁指导。要注意书写规范，并讨论交流定义法证明的步骤。

例3学生活动：动手实践

在图2-28 中，只画出了函数图象的一半，请你画出它们的另一半，并说出画法的依据．

结论：

在研究函数时，如果知道其图像具有关于原点或y轴对称的特点，那么我们可以先研究它的一半，再利用对称性了解另一半，从而可以减少工作量．

六．归纳小结：（学生自己交流总结）

1.本节课学习的主要知识是什么？

2.如何确定函数的奇偶性，其定义域有何特征？

3．思考讨论填写常用幂函数规律表。

七．作业：课本第50页A组1（2），2，3（1）（2），4

选做：B组、第2题

八．板书设计：

简单的幂函数

α一． 定义：形如y = x，α是常量.二． 奇、偶函数的定义： 三． 定义证明奇偶性。（教师板演）

篇13：《幂函数》的教学设计与反思

教学目标:

知识与技能:了解幂函数的概念, 会画几个常见幂函数的图像, 并能结合图像, 简单了解其变化情况, 概括函数性质.

过程与方法:通过作图并观察、总结幂函数的性质, 培养学生的作图能力, 观察、分析、归纳总结的能力, 体会类比在研究问题中的作用, 渗透数形结合的思想.

情感态度与价值观:通过师生、生生彼此之间的讨论、互动, 培养学生合作、交流、探究的意识品质, 同时让学生在探索、解决问题过程中, 获得学习的成就感.

教学重点:

从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质.

教学难点:

将函数图像的感性认识上升到理性认识, 归纳概括出函数的性质.

教学过程:

一、实例观察, 问题引入

问题:

1.某人买了每千克1元 的苹果 , 则其需付的钱数p (元 ) 和购买的苹果的量 (千克) w之间的有何关系?

2.正方形的面积S和它的边长之间有何关系?

3.正方体的边长V和它的边长之间有何关系?

4.问题2中, 边长是S的函数吗?

5.某人在t秒内骑车行进了1千米, 那么他骑车行进的平均速度v为多少?

全体学生: 这六个关系式 (都是函数关系式) 分别是

师:这六个函数关系式从结构上看有什么共同的特征吗?

这时, 学生观察可能有些困难, 老师提示, 可以用x表示自变量, 用y表示函数值, 上述函数式变成:

生:底数都是自变量, 指数都是常数.

师补充:它们都是形如y=xα的函数, 其中α为常数 (投影幂函数的定义) .今天这节课, 我们就来研究幂函数.

【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结 , 从而自然引出幂函数的一般特征, 帮助学生明晰概念, 引入课题.

二、类比联想, 探究新知

1.幂函数的定义

一般地, 我们把形如y=xα的函数叫做幂函数, 其中x为自变量, α为常数.

【深化认知】判断下列函数哪几个是幂函数?

思考:幂函数与指数函数有什么联系和区别?

生:幂函数的底数是自变量, 指数是常数;指数函数的指数是自变量, 底数是常数.

【设计意图】加深对幂函数定义的理解, 巩固概念, 幂函数与指数函数的概念学生容易弄混, 理解新知识的同时, 巩固复习旧知识.

2.探究五个常见幂函数的图像与性质

师引导生回答:

有了幂函数的概念后, 我们接下来做什么? ———研究幂函数的性质.

通过什么方式来研究? ———画函数的图像.

为使作图高效, 我们可先做点什么———分析函数的定义域、奇偶性、单调性.

【动手实践】请同学们画出下列五个常见幂函数的图像, 并将你发现的结论填入表格. (1) y=x; (2) y=x2; (3) y=x-1; (4) y=x1/2; (5) y=x3 (投影显示表格)

师:由于前三个函数初中已经学习过, 因此请三个同学到黑板上画出它们的图像并写出性质. 全体同学小组间合作讨论, 在同一直角坐标系中画出这五个函数的图像并完成表格.

全体学生小组讨论合作完成, 同学之间对照修整.教师巡视学生完成情况, 并发现学生所存在的问题并及时给予指导.

师: 通过刚才同学们的动手实践发现y=x, y=x2, y=x-1这三个函数的图像与性质基本上没问题, 都能完成好.而y=x1/2, y=x3这两个函数大家就感觉陌生, 下面我们就重点研究y=x1/2的函数图像和性质, 为了作图的高效, 我们先根据这个函数的解析式研究它的性质, 然后根据性质并结合描点法作出相应的图像.

师提问:哪位同学能说出y=x1/2的定义域、值域、奇偶性及单调性?

生1:先将y=x1/2写成的形式, 然后易知定义域和值域都是[0, +∞) , 由此可以知道它的定义域不具有对称性, 所以它是非奇非偶函数.又因为y是随x的增大而增大的, 所以它是增函数.

师:回答得很好, 掌声鼓励! 但是生1只是依据定义简单地判断出它是一个增函数, 那么你能不能证明在[0, +∞) 上是增函数?

学生回顾单调性证明的一般步骤并相互讨论, 教师巡堂指导, 生2上黑板板书证明过程.师生一起指出生2的证明过程中所出现的问题并订正.

证明:任取x1, x2∈[0, +∞) , 且x1<x2, 则

因为0≤x1<x2, 所以x1-x2<0, 所以f (x1) <f (x2) ,

即幂函数在[0, +∞) 上的增函数.

教师强调教材中此例题的地位和作用: (1) 复习用定义证明单调性的过程. (2) 幂函数的单调性很容易观察, 强调严格判断的时候要用定义法进行证明. (3) 幂函数的单调性很容易观察, 以至于在证明中直接用到了单调性, 如直接判断而此函数则是利用分子有理化这种方法技巧进行判断的.

师:好了, 我们研究清楚了y=x1/2的性质, 就可以利用描点法及结合它的性质特点画出y=x1/2的图像了.同理y=x3也可以根据它的性质得到完整的图像, 同学们自己课后思考并证明其单调性.

学生继续在同一直角坐标系中完成好这五个幂函数的图像, 教师投影展示学生作品, 并在多媒体上动画演示这五个常见幂函数的标准函数图像.

【设计意图】培养学生的作图能力投影展示学生作品 , 调动学生的学习积极性, 增强学生学好数学的信心.

3.探究幂函数的基本性质

观察上面表格及图像的变化规律, 学生分组讨论, 根据这五个幂函数的性质总结出幂函数的基本性质.

师引导:类比指数函数与对数函数性质的探究过程, 主要探究幂函数的哪些性质? 比如:定义域、值域、定点、奇偶性及单调性.

经过教师的提示, 学生小组合作讨论, 得到的结论有:

1.幂函数在 (0, +∞) 上有定义, 并且图像都过定点 (1, 1) ;

2.当α为奇数时, 幂函数是奇函数 ;当α是偶数时, 幂函数是偶函数;

3.在第一象限内, 当α>0时, 在 (0, +∞) 内是增函数;当α<0时, 在 (0, +∞) 内减函数, 且向右无限接近轴, 向上无限接近轴.

师总结: 幂函数不同于指数函数和对数函数拥有共同的定义域, 所以幂函数的性质不可能全部总结清楚, 但我们在探索性质的过程中知道了研究方法:指数是分数则化为根式, 指数为负数则化为分式, 这样对于定义域、值域、单调性、奇偶性都可以很容易看出来, 不过要严格判断单调性和奇偶性还要用定义证明.

【设计意图】渗透数形结合的数学思想, 激发学生的思维, 培养学生的识图能力及总结归纳的能力. 并在新知探究的过程中自然形成一般方法的呈现, 使学生易于领悟和接受.

三、新知应用

例1:已知幂函数y=f (x) 的图像过点试求出这个函数的解析式.

分析:已知函数类型求函数解析式, 利用待定系数法.

解:设所求的幂函数为y=xα,

∴所求的幂函数为y=x1/2.

例2:比较下列各组数中两个值的大小.

(1) 3-0.9和0.8-0.9 (2) (1/6) 0.5和 (1/2) 0.5

师:在指数函数性质的应用那一节中, 我们已经分析过这种比较同指数不同底数的两个幂的大小, 请同学们回顾一下当时所讲的方法. 那么根据我们今天所学的内容还有没有其他方法比较这两个值的大小呢?

学生小组讨论, 教师引导分析, 之前是利用指数函数的图像比较这两组值的大小的, 今天我们可以利用幂函数的单调性比较大小.

解: (1) y=x-0.9在 (0, +∞) 上是减函数, ∵3>0.8, ∴3-0.9<0.8-0.9.

(2) y= x0.5在 (0, +∞) 上是增函数, ∵1/6<1/2, ∴ (1/6) 0.5< (1/2) 0.5.

师小结:比较同指数不同底数的两个幂的大小, 还可以利用幂函数的单调性来判断.

跟踪练习:比较下列各组数的大小.

拓展练习:若 (m+4) -1/2< (3-2m) -1/2, 求m的取值范围.

【设计意图】增强学生对新知的应用能力 , 从而达到能力的转型和对知识理解的深化.

四、课堂小结, 归纳提升

先请学生说说本节课学到了什么知识和思想, 然后师生共同总结得到共识:要想系统认识幂函数的性质, 必须从它的图像着手, 重点抓住幂函数在第一象限内的图像特征, 然后根据奇偶性作出其他象限内的图像, 因而对函数的定义域、单调性和奇偶性的分析很重要.

五、教学反思

《幂函数》教学反思

本节课是数学必修1第二章《函数》第三节幂函数的第1课时. 这节课是在学完指数函数和对数函数后高中阶段接触的第三种初等函数幂函数, 因此在教学过程中, 类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程和方法, 研究幂函数的图像和性质. 通过本节课的学习可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识, 使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法, 并且为以后学习三角函数、导数相关的内容做好准备.

本班一些学生数学基础较差, 理解能力、运算能力、思维能力等参差不齐;一些学生学数学的自信心不强, 学习积极性不高.针对这种情况, 在教学安排上, 我注意面向全体, 发挥学生的主体性, 引导学生积极地观察问题, 分析问题, 激发学生的求知欲和学习积极性, 指导学生积极思维、主动获取知识, 养成良好的学习方法.回顾这节课, 心中有很多感想, 也有以下思考.

1.反思教学中的设计

(1) 这节课是在学生系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本初等函数. 学生已经学习了指数函数和对数函数的图像和性质, 幂函数概念的引入以及图像和性质的研究较易接受.因此这节课从引入幂函数的概念, 然后逐个画出五个具体幂函数的图像及分析、探究各自的性质, 再归纳出幂函数的基本性质, 每一个环节都是以教师引导, 以学生的自主探究为主完成是符合学情的.

(2) 设计“探究y=x, y=x2, y=x3, y=x1/2, y=x-1五个函数的图像2和性质”及“根据五个函数的性质归纳幂函数的基本性质”这两个探究问题, 学生通过观察图像、自主探究、主动思考达到对知识的发现和接受, 改变过去机械接受和死记结论的状况, 符合新课改的理念, 同时也完成了这节课的主要教学任务.

(3) 在探究完幂函数的概念和性质之后都分别设置了一组练习, 通过练习能及时反馈学生对所探求到的知识的掌握程度, 便于及时调整课堂教学行为.从课后作业情况看学生对这些知识的掌握是比较好的.

(4) 这节课的学习对函数研究方法和步骤的总结及从特殊到一般进行类比、数形结合思想的运用将对后续学习新的函数起到了重要的示范作用.

设计中不足的地方:在“根据五个函数的图像来归纳幂函数的共同性质”的设计中, 我的最初目的是想让学生观察五个函数在同一直角坐标系中的图像, 然后归纳出幂函数在第一象限的共同性质即定点、奇偶性和单调性.个人觉得有了图, 从图中就可以读出性质, 然后让学生进行讨论, 总结归纳其性质.没有考虑到学生基础差, 对已学过的知识没有一个连贯性, 课前也没有预习, 所以导致大部分学生不知道函数的性质具体有哪些, 不知道这个问题从何处出发, 需要老师的引导才能作答;而一小部分思维活跃的学生所回答的性质超出了我所设计的范围之内 (如有的学生回答的是第一象限的图像特征及幂指数的大小与图像的关系等之类的问题) , 从而浪费了一些时间, 课堂显得有些混乱.因此针对我们这种基础的学生, 在设计这个探究时应该像探究前面的五个具体幂函数的性质一样通过表格或者填空的形式, 把函数所要探究的性质列举出来, 然后让学生对号入座填空就可以了, 例如:

问题:通过图像及表格, 你能总结出幂函数都有哪些共同性质并说明理由?

(1) 幂函数在____上有意义, 并且图像都过定点____;

(2) 当_____时, 幂函数是奇函数;当_________时, 幂函数是偶函数;

(3) 在第一象限内 , 当__________时是增函数 ;当________时是减函数, 且向右无限接近______轴, 向上无限接近________轴.

这样可以节省不少时间, 激活学生的思维.因此今后在备课中要多从学生角度出发, 既备知识又备学生.

2.反思教学过程

在整个教学过程中, 始终体现以学生为本的教育理念.在学生已有的认知基础上进行设问和引导关注学生的认知过程, 重视探究问题习惯的培养和养成.因此对整个教学过程我做了以下反思。

(1) 首先我由生活中的五个实例引入 , 概念过渡自然 , 学生易于接受. 然后引导学生从实例出发类比指数函数的定义自己观察、归纳、总结概括出幂函数的定义.在概念理解上, 用步步设问、课堂讨论、练习加深理解.由于之前对指数函数和对数函数的识别已经理解得比较透彻, 因此根据幂函数的定义识别幂函数就显得比较容易, 但还是有部分学生容易把幂函数和指数函数混为一谈, 因此特别强调了幂函数和指数函数的区别, 并从另外一个角度 (例1) 让学生认识幂函数.在这个环节上, 学生都处理得比较好, 达到了预期目的.

(2) 幂函数中重点研究了五个具体函数, 通过研究它们了解幂函数的性质.先逐个画出五个函数的图像, 从定义域、值域、奇偶性、单调性等方面进行分析、探究得到各自的性质.其中, 学生在初中已学习了y=x, y=x2, y=x-1这三个简单的幂函数, 对它们的图像和性质已经有了一定的感性认识, 很容易根据图像归纳出性质, 所以不需要做过多的解释和重复.由于学生的基础参差不齐, 为了让所有的学生都能掌握好这些基本的知识点, 我强调得太多, 这里就显得有些啰唆, 浪费时间, 导致后面教学过程稍显仓促, 学生自主探究的时间不够, 影响了教学任务的完成.而对于y=x1/2和y=x3这两个幂函数, 我换了一种方式探究它们的性质, 直接根据理论知识得到定义域、值域, 利用定义判断奇偶性及证明其单调性, 然后根据函数所具有的性质再结合描点法画出函数的图像. 这种处理方式打破了学生直接用描点法作图的思维方式, 通过以性定图, 这样作图显得更高效, 也为后续的利用导数探索高次函数的图像做了准备.在利用五部曲证明“函数y= x1/2在 (0, +∞) 内是增函数”这个环节中, 通过学生的板演和巡堂, 暴露出了学生常见直接判断的错误, 然后师生共同分析出错误的原因, 这样学生就能从反面吸取经验教训, 迅速从错误中走出来, 从而增强辨别错误的能力, 同时也提高分析问题和解决问题的能力.

(3) 在“根据五个具体幂函数的性质归纳出幂函数的共同性质”的教学过程中, 主要目的是让学生小组合作、讨论交流, 观察在同一直角坐标系中五个函数的图像, 找出它们的共同特征, 然后从定点、奇偶性、单调性等方面探究幂函数的性质.这既是本节课的重点又是难点, 因此在这个内容的处理上, 也存在一些不足之处.

①由于在之前探究五个具体幂函数的图像和性质时花费的时间比较多, 因此这个难点的探究时间比较紧, 原本设计的小组讨论、合作交流就没办法充分开展, 最后主要是我做引导, 学生跟着我的思路探究发现.因此学生的主动性体现得不够, 大部分学生还是有疑惑, 需要下节课的巩固和课后练习的补充.

②要探究函数的性质必须数形结合.由于我教学经验尚浅不会几何画板的使用, 学校也没有图形计算器, 因此没法通过改变幂指数的大小观察多个图形的动态变化, 只能观察PPT上那五个幂函数图像的静态变化. 这样一方面学生很难从感性认识上升到理性认识, 另一方面很难训练学生的发散思维, 培养学生的学习兴趣和探索精神, 更重要的是不易充分调动学生的积极性, 课堂氛围略显沉闷.没有将《新课标》倡导的自主探索, 发挥学生的主动性, 让学生体验数学发现、创造的历程真正落实好.因此, 学习几何画板刻不容缓.

③学生的基础比较差, 函数的内容对学生来讲一直都是难点, 而一节课只有40分钟, 由于时间关系, 在讨论完幂函数性质之后预期准备的一组练习就没办法完成, 这给本节课带来一丝遗憾.因此为了能把更多的时间留给学生讨论, 尽可能地考虑到学生的接受能力, 内容应该安排两课时教学.

④在课堂教学过程中, 应该尽量放手让学生自己解决问题.本节课我自己讲得还是偏多, 学生的主体地位体现得还不够.课堂评价更多关注了对个人的评价, 而忽略了对小组合作的评价, 并且评价方式也不够多样.

3.反思学生的学习过程

学生在课堂上不够兴奋, 课堂气氛显得沉闷, 学生的参与度不高, 这可能跟我的引导及调动课堂气氛的能力有关.

篇14：第6讲 幂函数与函数图象

图象是函数刻画变量之间的函数关系的一个重要途径，是研究函数性质的一种常用方法，是数形结合的基础和依据.在图象变换和方程零点中经常涉及图象问题，是高考热点题型，通常直接考查为一个小题5分，也会在其它题目中用到图象，分值就更多.预计高考中还会加大对图象的考查力度.对于幂函数的考查主要是其定义和常见的几种幂函数图象和性质.

命题特点

纵观近几年高考题，主要有以下几种题型：（1）知图选式和知式选图，图象变换.（2）基本初等函数的图象特征和图象变换.（3）利用数形结合解决方程根的个数问题和求参数范围问题.（4）幂函数定义及y=x，y=[x12]，y=x2，y=x-1，y=x3的图象和基本性质.

1. 知图选式和知式选图：这种题要求根据图象抓本质体现函数关系，根据式子和函数性质确定图象.

例1 （1）函数[f（x）=x-12]的大致图象是 （ ）

[O][y][x] [O][y][x] [O][y][x] [O][y][x]

A B C D

（2）函数[y=cos6x2x-2-x]的图象大致为 （ ）

[O][y][x] [O][y][x] [O][y][x] [O][y][x] [A][B][C][D]

（3）函数f（x）=axm（1-x）n在区间[0，1]上的图象如图所示，则m，n的值可能是 （ ）

[y][x] [O][0.5][0.5][1]

A. m=1，n=1 B. m=1，n=2

C. m=2，n=1 D. m=3，n=1

解析 （1）简单考查幂函数的图形，可直接选出答案.

（2）函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A，令[y=0]得[cos6x=0]，所以[6x=π2+kπ]，[x=π12+k6π]，函数零点有无穷多个，排除C项，且[y]轴右侧第一个零点为[（π12，0）]，又函数[y=2x-2-x]为增函数，当[00]，[cos6x>0]，所以函数[y=cos6x2x-2-x>0]，排除B项，选D.

（3）本题由图选式，考查导数在研究函数单调性中的应用，代入验证.当m=1，n=2时，通过求导得到单调性和最值与图象相符.

答案 （1）A （2）D （3）B

点拨 由解析式选函数图象除了要熟悉基本初等函数图象特征外，还要从函数的性质上加以分析，诸如单调性、奇偶性、对称性、与坐标轴的交点等，都是我们解题的重要手段.函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的周期性，判断图象的循环往复.

2. 通过图象变换作图：这部分题型主要由熟悉的初等函数图象和图象变换规律作函数图象.

例2 画出下列函数的图象：

（1） y=x2-2x[，x>1；]

（2） f（x）=[1x；]

（3） y=x|2-x|.

解析 （1）∵[x>1]，∴x<-1或x>1，图象是两段曲线，如图①.

（2） [fx=1x，x>0，-1x，x<0，]图象如图②.

（3） ∵y=x|2-x|=[x2-2x，x≥2，-x2+2x，x<2，]∴图象由两部分组成，如图③.

[O][y][x] [O][y][x]

① ②

[O][y][x]

③

点拨 作图一般有两种方法：描点法、图象变换法.特别是图象变换法，有平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律.

备考指南

1. 作图的前提要能熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数图象等.

2. 熟悉图象变换的基本规律，如平移变换、对称变换、翻折变换等.

3. 能有效实现形与数的相互转化.

限时训练

1. 如图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象. 已知n取±2，±[12]四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为 （ ）

[y][x][O][1][1][C1][C2][C3][C4]

A. -2，-[12]，[12]，2 B. 2，[12]，-[12]，-2

C. -[12]，-2，2，[12] D. 2，[12]，-2，-[12]

2. 若函数y=f（x）的图象如图所示，则y=-f（x+1）的图象大致为 （ ）

[1] [y][x][O]

[y][x][O][1] [y][x][O][-1] [-2] [A][B]

[C][D] [1][2] [y][x][O] [y][x][O][1][-1]

3. 已知函数f（x）=kax-a-x（a>0且a≠1）在R上是奇函数，且是增函数，则函数g（x）=loga（x-k）的大致图象是

（ ）

[y][x][O][1] [2] [y][x][O][1] [-1] [y][x][O][1] [2] [y][x][O][1] [-1]

A B C D

4. 当a≠0时，y=ax+b与y=（ba）x的图象大致是 （ ）

[y][x][O][1] [y][x][O][1] [y][x][O][1] [y][x][O][1] [A][B][C][D]

nlc202309032056

5. 已知f（x）= [x+3，x≤1，-x2+2x+3，x>1，]则函数g（x）=f（x）-ex的零点个数为 （ ）

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

6.函数[y=x2-2sinx]的图象大致是 （ ）

[O][y][x] [O][y][x]

A B

[O][y][x] [O][y]

C D

7. 已知函数f（x）=[4x+2-1]的定义域是[a，b]（a，b∈Z），值域是[0，1]，则满足条件的整数对（a，b）共有 （ ）

A. 2对 B. 5对

C. 6对 D. 无数对

8. 设a是方程[1x]-log2x=0的实数根，则有 （ ）

A. a<0 B. 1

C. 02

9. 已知函数f（x）=[1ex]-tanx，[-π2

A. 大于1 B. 大于0

C. 小于0 D. 不大于0

10. 如图，正方形ABCD的顶点A[0，22]，B[22，0]，顶点C，D位于第一象限，直线l：x=t（[0≤t≤2]）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数S=f（t）的图象大致是 （ ）

[y][x][O] [A][D][C][B][l] [S][t][O] [S][t][O] [S][t][O] [S][t][O]

A B C D

11. 函数y=[x-2x+2]的图象关于 对称.

12. 设函数f（x）=|x+2|+|x-a|的图象关于直线x=2对称，则a的值为 .

13. 函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可以找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，xn，使得[f（x1）x1=][f（x2）x2=…=f（xn）xn]，则n的取值集合是 .

[y][x][O][a][b]

14. 函数y=[11-x]的图象与函数y=2sinπx（-2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于 .

15. 已知函数f（x）=|x2-4x+3|.

（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；

（2）求集合M={m|使方程f（x）=m有四个不相等的实根}.

16. 设函数f（x）=x+[1x]，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）的图象为C1，C1关于点A（2，1）的对称的图象为C2，C2对应的函数为g（x）.

（1）求函数y=g（x）的解析式，并确定其定义域；

（2）若直线y=b与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点的坐标.

17. 设函数f（x）=[1，1≤x≤2，x-1，2

（1）求函数h（a）的解析式；

（2）画出函数y=h（x）的图象并指出h（x）的最小值.

18. 已知函数f（x）=ax3-3ax，g（x）=bx2+clnx，且g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为2y-1=0.

（1） 求g（x）的解析式；

（2） 设函数G（x）= [fx，x≤0，gx，x>0，]若方程G（x）=a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围.