函数及其性质

函数及其性质（精选十篇）

函数及其性质 篇1

文[1]主要讨论了极值点与最值点、稳定点和拐点之间的相互关系和区别。文[2-3]主要对函数的性质尤其对函数极值和拐点有了进一步的研究。文[4-5]主要讨论了三次函数存在极值点和拐点的条件,给出了极值点和拐点的计算公式。文[6]主要讨论了四次函数及其曲线的性质,得出了极值点和拐点的存在条件,给出了极值点和拐点计算公式。本文主要在它们的基础上对五次函数

进行了研究,由x的各次幂的系数a,b,c,d,e,f来确定函数f(x)的极值点数目以及曲线y=f(x)存在拐点的条件,给出了求极值点和拐点的计算公式。

1 主要定理及其证明

定理1设五次函数:

(1)若Δ>0时,曲线y=f(x)的拐点数目与函数系数有关,

当M≠0,N≠0,c≠0,有三个拐点x姨1,f x姨1姨姨,x姨2,f x2姨姨姨,姨x3,f x3姨姨姨

当M≠0,N=0,c≠0,有两个拐点x姨1,f x姨1姨姨,x姨2,f x2姨姨姨当M≠0,N=0,c=0,有一个拐点x姨2,f x2姨姨姨

当M=0,N≠0,c≠0,有两个拐点x姨1,f x姨1姨姨,x姨3,f x3姨姨姨当M=0,N≠0,c=0,有一个拐点x姨3,f x3姨姨姨

当M≠0,N≠0,c=0,有两个拐点x姨2,f x姨2姨姨,x姨3,f x3姨姨姨当M=0,N=0,c=0,函数无拐点。

(2)若Δ=0时,曲线y=f(x)的拐点数目与函数系数有关,

当H≠0,c≠0时,有两个拐点x姨1,f x姨1姨姨,x姨2,f x2姨姨姨———————————————————————

当H≠0,c=0时,有一个拐点x姨2,f x2姨姨姨当H=0,c≠0时,有一个拐点x姨1,f x1姨姨姨当H=0,c=0时,函数无拐点。

(3)若Δ<0时,曲线y=f(x)的拐点数目与系数c有关,当c=0时,曲线无拐点,当c≠0时,曲线有一个拐点x姨1,f x1姨姨姨,

其中x1=0,x2=-6b+姨Δ,x3=-6b-姨Δ

20a20a

证明为了方便起见,不妨设y=f(x)=ax5+bx4+cx3+ex+f(a>0)对f(x)求导得

再求导得

f苁(x)=6×姨10ax2+4bx+c姨(1)若Δ>0时,则

f″(x)=20ax3+12bx2+6cx=2x×姨10ax2+6bx+3c姨,

有三个根x1=0,x2=-6b+姨Δ,x3=-6b-姨Δ,而

20a20a

f苁(x1)=6c,f苁(x2)=6×4-12b2+4b姨0aΔ+Δ+40ac

=6×10a6b2-20ac-b姨Δ

同理求得f苁x3姨姨=6×10a6b2-20ac+b姨Δ。从而

当M≠0,N≠0,c≠0,有三个拐点x姨1,f x姨1姨姨,x姨2,f x2姨姨姨,姨x3,f x3姨姨姨

当M≠0,N=0,c≠0,有两个拐点x姨1,f x姨1姨姨,x姨2,f x2姨姨姨当M≠0,N=0,c=0,有一个拐点x姨2,f x2姨姨姨

当M=0,N≠0,c≠0,有两个拐点x姨1,f x姨1姨姨,x姨3,f x3姨姨姨当M=0,N≠0,c=0,有一个拐点x姨3,f x3姨姨姨

当M≠0,N≠0,c=0,有两个拐点x姨2,f x姨2姨姨,x姨3,f x3姨姨姨当M=0,N=0,c=0,函数无拐点。

(2)若Δ=0时,则f″(x)=20ax有三根x1=0,x2=x3=-3b

3

+12bx,且f苁x1

2

6 cx=2x×10ax2+6bx+3c=0

10a

=6c f苁x2

=60a×9b

2

2+24b×100a

-3b10a

+6c=54b

2

10a

-72b

2

10a

6×10ac-3b+6c=

2

10

易知:

当H≠0,c≠0时,有两个拐点x1,f x1当H≠0,c=0时,有一个拐点x2,f x2当H=0,c≠0时,有一个拐点x1,f x1当H=0,c=0时,函数无拐点。

,x2,f x2

(3)若Δ<0时,则

f″(x)=20ax

3

+12bx

2

+6cx=2x×10ax2+6bx+3c=0

有一个根x1=0。因为10ax≠0,当c=0时,f苁x1

2

+6bx+3c>0恒成立,当c≠0时,f苁

x1

=0。则当c=0时,曲线无拐点,当c≠0时,。

曲线有一个拐点x1,f x1

定理2设五次函数为y=f(x)=ax-60ac

5

+bx

4

+cx

3

+d(a≠0),令Δ=16b,y极小值=f x2,其中x1=

2

1)若Δ>0,函数有极值,且y极大值=f x1-4a-姨Δ,x2=-4a+姨Δ。

10a

10a

2)若Δ=0,函数的极值应根据函数的幂系数而定。3)若Δ<0,函数无极值。

证明为了方便起见,不妨设曲线

y=f(x)=ax求导得y′=x

5

+bx

4

+cx

3

+d(a>0)+4bx+3c=0

2

5ax-60ac

2

取Δ=16b

2

(1)当Δ>0时,y′=x x0=0,x1=-4b-姨Δ

2

5ax2+4bx+3c=0有四根。,x2=-4b+姨Δ

1 0 a

1 0 a

,其中x0为二重根。

根据极值的第一充分条件易知:当x∈-∞,x1

时,y′>0,当x∈x1,x2;

时,y′<0,即f(x)在x1点

处取得极大值f x1

当x∈x2,0,y′>0,即f(x)在x2处能取极小值f x1

。

(2)当Δ=0时,y′=x

2

5ax2+4bx+3c=0有三个根,x0=0,x3=-5a2b

(x0为二重根),此时函数的极值要根据具体的幂系数而确定。

(3)若Δ<0,y′=x

2

5ax2+4bx+3c=0根据引理3易知f(x)无极值。

2小结

综上所述,定理1主要是针对二次幂系数为零的特殊五次函数的拐点以及极值点的探讨,定理2主要是针对一次幂和二次幂系数为零的特殊五次函数拐点和极值点的探讨,对于其一般情况还有待于进一步的研究。

摘要：本文通过对三次函数和四次函数及其曲线性质的研究,利用各次幂的系数来确定五次函数的极值点以及拐点的存的条件,并给出了求拐点和极值的计算公式。

关键词：五次函数及其曲线,极值,拐点

参考文献

[1]张怀德.极值点与最值点、稳定点及拐点的关系[J].甘肃高师学报,2005,10(5):11-12.

[2]华东师范大学数学系编.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,2001.

[3]杜红春.关于拐点的几点思考[J].新疆石油教育学院学报,2005,(6):57-58.

[4]万淑香.关于一元函数的实根与极值[J].邢台学院学报,2006,21(4):97-98.

[5]李富强,王东霞.关于三次函数及其的性质[J].高等数学研究,2004,7(5):27-28.

对数函数及其性质教学反思 篇2

富县高级中学

王晓广

前段时间学校组织了这次“同课异构”活动，我接到通知有我后，紧张的撰写教案、制作课件后，我终于完成了前期的准备工作。端详着自己的教案，品味其中预设的高潮和亮点，走向了课堂。一定要上出自己的水平，让学生体验一下多媒体教学的魅力。

我这节课讲的是“对数函数及其性质”，有人说“课堂教学是学术研究的实践活动，既像科学家进入科学实验室，有像艺术家登上艺术表演的舞台，教学是一种创造的艺术，一种遗憾的艺术。”回顾这节课有成功之处，也有遗憾之处。通过这节课我有以下三点收获；

1.运用对媒体画出函数图像，让学生更直观的观察出对数函数的图像。对突破本节课的重、难点起了很大的帮助。

2.通过选取不同的底数a的对数图像，让学生类比研究指数函数图像及其性质分组探究对数函数的图像和性质。这个环节让学生合作学习，合作学习让学生感受到学习过程中的互助。还能让学生自己建构知识体系，没有传授也没有灌输。分类的思想学生在小学和初中就已经接触了很多，应该不陌生，但是要将其变成自己的学习方法、甚至能灵活运用，却不太容易。旧知要经常温习，已有的思想方法也要经常回顾。不同数学内容之间的联系和类比，有助于学生了解与中学数学知识有关的扩展知识及内在的数学思想，促使学生认真思考其中的一些问题，加深对其理解。

3.课件上重点内容的“强调”与“闪烁”。使用多媒体课件后，课堂教学的容量会大大增加，概念的呈现、过程的演示、例题的讲解将会变得得心应手。但千万别忘记对于重要的知识点、关键的词语要用特殊的字体、特别的颜色或制作特效加以强化。不过，“强调”与“闪烁”应该少而精，如果对呈现的内容都辅以特效，那么重点的内容就会在特效中淹没，所以特效的使用不宜太多。

通过这节课我也有以下几点遗憾;1.我明知课件的设计要注意整体性，即整个课件要保留“重要的板书”。无论课件的进程如何，都应能较好地体现教者的教学思路，同时让学生时刻能够看到重要的教学内容，让学生有“板书”可记。只有这样，我们的课件才起到既能代替传统意义的黑板，又能增加大量教学信息的作用。而自己制作课件的能力太差，课件都是拼凑起来的。

2.几何画板还不会用，函数的一些图像只能下载后再编辑。例如指数函数与对数函数图像的关系，达不到自己思路的效果。

3.多媒体操作不熟练。例如最后小结时，我本想由“记住对数函数的图像和性质”这句话链接到具体内容，但是操作过快而结束了。再播放时又从头开始了。

经过思考我觉得《对数函数的图像和性质》这节课按以下思路来讲：

一、导课。导入新课用复习指数函数的图像和性质，采用老师问学生答的方式。

二、画图像。讲授新课时先让学生画出对数函数的图像，学生肯定是用描点法，老师再用图像变换法（几何画板）给学生演示。

三、研究性质。得到函数图像以后，老师给出学生问题（定义域，值域，定点，单调性，对称性），要求学生按问题去研究性质。然后让学生逐个回答问题，老师最后总结性质。

四、应用。老师出示例题，检查学生对性质是否掌握。例题1求对数型复合函数的定义域。例题2比较同底数的两个对数的大小。例题3比较两个不同底数也不同真数的对数的大小。然后学生做同一类型练习题。

五、小结。让学生自己小结本节课的内容，老师补充。最后老师点出本节课所用的数学思想，让学生体验感受。

原函数及其性质讨论 篇3

关键词原函数;连续性;奇偶性;周期性

原函数与导数、不定积分、定积分有着紧密联系，原函数和定积分的关系问题是数学分析的基础之一.由于平时一般只重视计算，容易造成对一些概念和理论的误解和疏忽，这样不利于进一步学习和研究，因而正确理解原函数及其性质对于学习数学分析有着重要意义。

一、相关定义和定理

定义1设函数 与 在区间I上都有定义.若 则称 为 在区间I上的一个原函数.

定义2函数 在区间I上的全体原函数称为 在I上的不定积分，记作 .

定理1若函数 在区间I上连续,则 在I上存在原函数 ，即

定理2设 是在区间I上的一个原函数,则：

（ⅰ）F+C也是f在I上的原函数，其中C为任意常数；

（ⅱ）f在I上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数.

二、原函数及其检验

1.由定义1可以得到:原函数 在区间I上每一点都可导.也就是说在每一点都要可导,否则 就不是 的原函数.

例1 :当 时, 当 时,

但 就不是 在 上的原函数,由于在 是不可导的.我们只能得到:是 在 上的原函数.

2.在求原函数时,区间是不可加的. 即由 是 在 和 上的原函数,不能推出 一定是 在 上的原函数.

我们从已知只能得到 ，而不能说 . 因为 可能不存在，即使存在也不一定 ，也就说在x=b点不一定可导.

3.当定义域为若干个分离的区间时,任意两个原函数之间不能断定就差一个常数.

例2 :已知 是 在 上的一个原函数;

且 也是在 上的一个原函数;

但 并非为一个常数.

4.原函数的检验

通过定义2我们知道函数 的不定积分是 的原函数的全体，而对被积函数 的恒等变换的公式不同，或所用的求积分方法不同，求出的结果其形式就可能不同.可见函数 的原函数不但不唯一，而且其形式也可能各种各样.平时在检验时一般有两种检验方法.方法一，将函数求导，若得到的是函数 ，则该函数就是 的原函数.方法二，由定理2可知原函数，只可能相差一个常数，所以如果能将其中一个函数通过恒等变换化为与另一函数只相差一个常数，则若其中一个函数是 的原函数，则另一个函数也是原函数.

例3 :判断以下函数是否为 的原函数

①②③

解: 方法一：对三个函数求导后都是 ，故全部都是 的原函数;

方法二：对①求导，得 ，故①是 的原函数

①，②，③都是 的原函数.

三、原函数的区间及其连续性

由定义1看出原函数与指定的区间有关，往往在求原函数时，忽略了原函数的定义区间从而造成在积分计算时发生错误.

例如， 因为 ，所以 显然计算是错误的.原因就在 并不是 在区间 的原函数.我们有这样一个定理：

定理3设 在 上连续，a

证明：在 上连续由定理1可知 在 上原函数存在且连续

令 则 是 的一个原函数，从而存在常数 使得：

又 在 处连续

上 的不定积分为：

回头看 在 上是 的原函数.

由牛顿——莱布尼茨公式算得：

若函数 在 上连续，而 被分成若干小区间，又 在每一小区间上的原函数是已知的，则也可用上述方法求出 在 上的原函数.

例4 :求 在 上的原函数

解:

.

其中， 所以在

上 有原函数

令

则 是 在 上的一个原函数，且 .

在 上 和 同是 的原函数.

⑴ ,

对任意整数n,由 在 的连续性及⑴有

⑵

在⑴中取 即 因此

从而由⑵我们得到

这样我们就得到 在 上的不定积分是

其中

四、原函数的若干性质

性质1在区间I上，奇函数的原函数是偶函数

证明：设 是奇函数， 则 为 的原函数， 的任一原函数

则 （C为常数）

得证

性质2在区间I上，偶函数的原函数等于一个奇函数与一任意常数之和

证明：设 是偶函数

即 为奇函数

由 性质2得证

性质3 若 是 上的连续周期函数， 是 的一个原函数，且 也是周期函数，则 与 有相同的周期

证明：设 的周期为T， 的周期为G，则 在 上连续，从而存在最大最小值分别设为 ；令 ，则在 上有

有

对任意自然数n成立，故

得 T是 的周期

又 G是 的周期

与 有相同的周期

性质4 若 是 上连续的周期函数，其周期为T， 是它的一个原函数则 可以表示为一个周期函数与一个线性函数的和

证明：设 则 是一个周期函数，且周期为T

又 有

即 = ，由a的任意性,所以 是以T为周期的周期函数，性质4得证.

参考文献：

[1]华东师范大学数学系编.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,2004.

[2]张秋光.高等数学[M].长沙:湖南科学技术出版社,2002.

[3]四川大学高等数学教研组.高等数学[M].北京:人民教育出版社,1979.

[4]樊映川等.高等数学讲义[M].北京:人民教育出版社,1977.

积分上限函数的形式、性质及其应用 篇4

一、定义

设函数f ( t) 在[a, b]上可积, x ∈[a, b], 则变上限定积分是上限变量x的函数, 称为积分上限函数, 记为:

讨论: ( 1) 积分上限函数 Φ ( x) 的标准形式中的被积函数f ( t) 的自变量t也是积分变量; 当它们不一致时, 要通过换元变成一致, 并同时要变积分上、下限.

( 2) 积分上限函数 Φ ( x) 的标准形式中的自变量是积分上限x; 当积分上限是x的函数 φ ( x) 时, 则积分上限函数Φ ( φ ( x) ) 是x的复合函数.

二、性质

1.如果函数f (x) 在闭区间[a, b]上连续, 则当x∈[a, b]且x→a时, 积分上限函数为无穷小量.

证明∵ 函数f ( x) 在闭区间[a, b]上连续, 则由积分中值定理知, 在闭区间[a, b]上至少存在一个点 ξ, 使

又由闭区间上连续函数的性质知, f ( x) 在闭区间[a, b]上有界, 即f ( ξ) 在闭区间[a, x]上有界, 故当x ∈[a, b]且x→ a时, f ( ξ) ( x - a) 为无穷小量, 即积分上限函数为无穷小量.

例如x→0时, 积分上限函数都是无穷小量.

2. 如果函数f ( x) 在闭区间[a, b]上连续, 则积分上限的函数在闭区间[a, b]上可导, 并且它的导数为 ( a ≤ x ≤ b) . ( 此性质已在[1]中证明) .

讨论 (1) 上面的是针对于积分上限函数Φ (x) 的标准形式x∈[a, b]而对积分上限x求导的, 故求导前要先将其化成标准形式.

例1设f ( x) 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上连续, 已知 Φ ( x) =∫0xf ( x - t) dt, 求 Φ' ( x) .

三、应用举例

1. 在利用洛必达法则求不定式0/0型的极限中, 经常要用到积分上限函数的两个性质.

2. 在导数的应用方面, 如判别单调性, 也经常要用到积分上限函数的第二个性质, 即积分上限函数的求导公式.

例4设f ( x) 在[0, + ∞ ) 内连续, 且f ( x) > 0. 证明在 (0, +∞) 内为单调递增函数.

∴ F ( x) 在 ( 0, + ∞ ) 内为单调递增函数.

摘要：从定义出发来考察积分上限函数的标准形式, 从而探讨积分上限函数的性质及其应用.

指数函数及其性质教案 篇5

一、教学目标： 理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。

二、教学重点、难点：教学重点：指数函数的概念、图象和性质。

教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。

三、教学过程：

（一）创设情景

问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x次后,得到的细胞分裂的个数 y与 x之间,构成一个函数关系,能写出 x与 y之间的函数关系式吗？

学生回答: y与 x之间的关系式,可以表示为y＝2x。

问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示。

学生回答: y与 x之间的关系式,可以表示为y＝0.84x。引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。1．指数函数的定义

一般地，函数yaa0且a1叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.x问题：指数函数定义中，为什么规定“a0且a1”如果不这样规定会出现什么情况？

(1)若a<0会有什么问题？（如a2,xx1则在实数范围内相应的函数值不存在）2(2)若a=0会有什么问题？（对于x0,a无意义）

(3)若 a=1又会怎么样？（1x无论x取何值,它总是1,对它没有研究的必要.）师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定a0且 a1.练1：指出下列函数那些是指数函数：

1(1)y4x(2)yx4(3)y4x(4)y4(5)yx(6)y

xx练2：若函数

是指数函数，则a=------2．指数函数的图像及性质

1在同一平面直角坐标系内画出指数函数y2与y的图象（画图步骤：列表、2xx1描点、连线）。由学生自己画出y3x与y的函数图象

3 然后，通过两组图象教师组织学生结合图像讨论指数函数的性质。

x

特别地，函数值的分布情况如下：

（四）巩固与练习

例1： 比较下列各题中两值的大小

教师引导学生观察这些指数值的特征，思考比较大小的方法。

（1）（2）两题底相同，指数不同，（3）（4）两题可化为同底的，可以利用函数的单调性比较大小。

函数及其性质 篇6

运用几何画板软件的作图功能、动态演示功能、反射功能，突出学习重点，突破学习难点。首先，设计“动手实践1”，运用作图功能帮助学生在同一坐标系中绘出多个指数函数图象，提高学生动手实践能力，加深对指数函数定义的认识，突出学习重点。其次，设计“动手实践2”，运用动态演示功能，呈现指数函数图象随底数的变化情况，验证底数取定义范围内任意值时，指数函数所具备的性质，增强学生对图象的直观感知，突破学习难点。

运用极域电子教室系统的“屏幕广播”“文件分发”“学生演示”功能，实现图象共享，提高学习效率，突破学习难点。教学中，学生设计解析式，小组汇总，使用“几何画板”绘图，小组讨论性质，代表发言。如果没有极域电子教室系统，学生所绘图象只能呈现在自己的计算机上，无法实现共享，正是由于“学生演示”功能的使用，使得全班同学快速共享大量图象，提高了学生对研究过程的参与程度，学习效率明显提高。

教材分析

本节课是普通高中课程标准实验教科书·数学（必修1）人教A版第二章第一节第二课《指数函数及其性质》。本节课的内容在教材中起承上启下的关键作用。一方面，指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数性质的基础上进行研究的第一个重要的基本初等函数，是在初中正比例函数、一次函数和二次函数掌握的前提下推出的。作为基本初等函数，它是高中函数概念及性质的第一次应用。另一方面，指数函数是后续学习对数函数和幂函数的基础，在研究方法上起到示范作用。因此，指数函数是本章的重点内容之一。

学情分析

从学生的知识上看，他们已经学习了函数的概念和函数的基本性质，对函数的性质和图象的关系已经有了一定的认识，但对如何研究一个新的函数，还需要教师在方法上进行引导。从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与理解，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，初步具备了抽象、概括的能力。同时，学生掌握了“几何画板”的基本操作。因此，通过教师启发式引导，学生能够自主探究完成本节课的学习。

教学目标

知识与技能目标：通过具体实例了解指数函数模型的实际背景;初步理解指数函数的概念，能根据图象探究指数函数的性质。

过程与方法目标：借助“几何画板”绘制指数函数图象，加深对定义的认识，增强对图象的直观感知;学生观察指数函数图象，通过小组讨论、代表发言等活动，探究指数函数性质;通过对指数函数的研究，体会数形结合、由具体到一般、分类讨论思想。

情感态度与价值观目标：通过小组讨论、代表发言活动，培养合作交流意识。

教学环境与准备

教学环境：多媒体网络教室。

技术准备：几何画板课件、PPT课件、极域电子教室系统。

教学过程

教师应用极域电子教室软件，通过教师程序端口，向学生传送几何画板课件“动手实践1”“动手实践2”，供学生上课时使用。

环节1：归纳定义

教师引导学生观察三个事例（如图1）。

设计意图：课上播放PPT动画，呈现指数函数模型的实际背景，归纳概括指数函数的定义，同时使学生体会到数学来源于生活。

问题1：上述观察事例中的三个函数解析式有什么共同特征？

学生活动：学生思考得出，三个函数解析式结构都是幂的形式，底数是常数，指数是变量，定义域为N*。

教师呈现指数函数的定义，师生共同分析定义要点。

设计意图：通过对三个观察事例中函数解析式的分析，突出对底数a取值的认识，引导学生把解析式概括为y=ax的形式，为形成指数函数定义作铺垫。

问题2：为什么要规定底数大于0且不等于1呢？如果a取这个范围外的数，会有什么结果？

在教师引导下，学生得出结论：

设计意图：引导学生仔细理解定义，展开师生、生生间的交流，达到攻克难点的目的，并通过练习来加深学生对指数函数定义的认识。

环节2：绘制图象

问题3：我们研究函数的基本思路是什么？

教师启发学生思考：归纳定义，画出图象，观察图象，总结性质，继而进行性质的应用。

设计意图：指数函数作为基本初等函数，是高中函数概念及性质的第一次应用，引导学生按照研究函数的基本思路来研究指数函数。

教师要求作图1：参照表1用描点法画出函数y=2x的图象。

师生活动：学生独立在坐标纸上作图，教师巡视个别辅导，总结作图要点。

设计意图：描点法作图是画函数图象的基本方法，设计作图1能够培养学生画图的基本功，个别辅导能够有针对性地规范学生的画法。

师：刚刚我们用描点法画了指数函数y=2x的图象，为了研究指数函数的性质，我们需要更多的图象作为基础。下面进行“作图2：自主选择底数绘制指数函数的图象”。对桌的6位同学为一组（或5个同学），共五组。同学们打开桌面上的几何画板课件“动手实践1（如下页图2）”，这里有两个任务，对于任务1，小组中每位同学都给出一个底数，确定一个具体的指数函数解析式并汇总，组中每位同学都在同一坐标系中，绘制这些指数函数的图象。完成任务1后，进行任务2，观察图象，总结特征，概括性质，小组讨论，推选代表发言。

设计意图：学生使用几何画板课件“动手实践1”，在同一坐标系中，绘制多个指数函数图象，在绘制过程中，可以更加直观地感知底数对指数函数图象的影响，能更好地观察图象特征，总结函数性质，同时提高学生的动手实践能力。设计任务2是将本节课的重点以任务形式呈现，使任务1的实施更具方向性，使课堂教学更具灵活性和机动性。

环节3：图象研究

教师活动：小组讨论时，教师巡视，倾听学生讨论结果，相互交流。

学生活动：学生代表发言，其他学生倾听，思考。

师生活动：教师根据学生选择底数的不同，调整小组发言顺序，在学生代表发言过程中，适时发问、点拨，引导学生总结，进行师生、生生互动交流。

结：图象过定点（0，1）;值域（0，+∞）;底数互为倒数的两个指数函数图象关于y轴对称。

五组学生通过自主探究，从图象位置、特殊点、图象变化趋势等方面总结出图象特征，并概括其性质，如下页表2所示。

设计意图：学生通过观察具体指数函数图象，应用数形结合思想，归纳概括性质。小组讨论活动提高了学生的参与度。同时，应用极域电子教室软件的“学生演示”功能，逐个呈现每组学生的作图结果，快速、大量地共享图象，加深了学生对指数函数图象特征的认识，有助于攻克教学难点，并提高教学效率。

学生小组代表发言，还得出以下猜想：

猜想1：当底数a>1时，底数越大，图象越接近y轴，当底数0

教师在提出“问题4”之后，使用几何画板课件“动手实践2”，在验证了指数函数性质的同时，对学生猜想1进行验证，在总结性质后对猜想2进行验证。

问题4：刚才各组同学观察了自己所绘的具体指数函数图象，归纳概括了具体指数函数的性质，同时猜想了a>1和0

教师操作几何画板课件展开“动手实践2”（如图3），通过拖动点A，改变底数a的大小，得到y=ax（a>0且a≠1）指数函数的图象，验证底数a取定义范围内任意值时，指数函数的性质。

设计意图：几何画板课件的动态演示，使得学生更直观地观察到指数函数图象随底数a的变化情况，明确为什么要把底数分为a>1和0

学生活动：学生在教师集中授课后，打开几何画板课件“动手实践2”中，亲自拖动点A，亲身体验图象随底数的变化情况，归纳性质，并填写相应表格（如图4）。

设计意图：学生亲身体验，增强了对图象的直观感知;学生总结性质，培养了归纳概括能力，并加深了对性质的理解。

教师活动：教师使用几何画板课件，对上述猜想2进行验证。

设计意图：比大小问题是指数函数单调性的应用，其中①用到数形结合思想;③用到分类讨论思想。

师生活动：①教师引导讲解，示范解答过程;②③学生利用正投进行讲解。

设计意图：通过学生正投讲解题目做法，培养学生学习数学的信心和勇气。

教学反思

1.设计问题系列，驱动教学

问题是数学的心脏，本节课以问题为主线贯穿始终，以问题解决为教学线索，在教师的主导与计算机的辅助下，使学生思维由问题开始，由问题深化，学生积极思考，主动回答。

2.注重数学思想方法的渗透

本节课注重渗透数学思想方法。教学中，借助函数图象归纳性质，渗透数形结合思想方法;从具体的指数函数入手，引导学生通过观察图象，发现指数函数的图象规律，从而归纳指数函数的一般性质，渗透了具体到一般的数学思想方法;自主探究时，将指数函数的底数分类研究，渗透分类讨论思想方法。

3.借助信息技术突出重点、突破难点

本节课的教学重点是指数函数的概念、图象和性质;教学难点是用数形结合方法从具体到一般的探索，并概括指数函数性质。我为突出重点、突破难点，结合了以下技术。

在探究指数函数的概念时，课上播放PPT动画，学生总结三个“观察事例”中函数解析式的共同特征，并形成概念，突出学习重点。

在绘制指数函数的图象时，学生动手画图，初步感知指数函数图象的特点，我个别辅导，正投展示，总结作图要点，培养学生作图基本功。在“动手实践1”环节中，全体学生参与，自选底数绘制指数函数图象，加深了学生对定义的认识，增强了其对图象的直观感知，突出了学习重点。

在探究指数函数性质时，我在“动手实践2”环节中，运用几何画板的动态演示功能，验证底数a取定义范围内任意值时，指数函数的性质。学生亲身体验，拖动点A，改变底数a的值，观察指数函数图象随底数a的变化情况。同时，极域电子教室系统的“文件分发”“学生演示”功能实现了图象共享，促使学生小组代表的发言活动得以有效开展，这既提高了学生参与研究的积极性，又有效地突破了教学难点。

本课教学也存在很多欠缺与不足。例如，教学中，我虽努力关注全体学生，但是学生的层次较为明显，在问题的设疑过程中，预留给学生思考或计算的时间不足，一些后进生很难实现预设的结果，导致部分学生的综合能力没有得到很好的提高和发展，教学效果未能达到极致。

点  评

本课教学为我们展示了几何画板及多媒体电子教室在数学教学中的应用。在以教师为辅、学生为主的课堂上，师生展开了多样化的人机交互，并给数学课堂带来了新的变化。从信息技术与教学融合的角度上看，亮点有二：

一是合理地运用了几何画板软件。指数函数的图象和性质是本节课的重点，为了帮助学生建立指数函数的概念，画出指数函数的图象，初步了解指数函数的性质，邢老师设计了活动“动手实践1”，并运用几何画板的作图功能，让学生在同一坐标系中绘出多个指数函数的图象，这提高了学生的动手实践能力，加深了他们对指数函数定义的认识，也增强了对图象的直观感知，并突出了本节课的重点。同时，为了突破教学难点，邢老师设计了“动手实践2”，利用几何画板课件的动态演示功能，使学生更直观地观察到了指数函数图象随底数a的变化情况，理解了为什么要把指数函数的底数分为a>1和0

二是很好地运用了电子教室系统的“屏幕广播”“学生演示”功能，实现了图象共享，提高了课堂效率，突破了教学难点。

函数及其性质 篇7

◇运用几何画板软件的作图功能、动态演示功能、反射功能,突出学习重点、突破学习难点。设计“动手实践1”,运用作图功能,使学生在同一坐标系中绘出多个对数函数图像,提高学生动手实践能力,加深对对数函数定义的认识,突出学习重点;设计“动手实践2”,运用动态演示功能,呈现对数函数图像随底数的变化情况,验证底数取定义范围内任意值时,对数函数所具备的性质,增强学生对图像的直观感知,突破学习难点;设计课件,运用反射功能,验证函数y=loga x与函数图像间的对称性。

◇运用学霸机房管理系统,借助“广播教学”、“文件分发”、“学生演示”功能,实现图像共享,提高学习效率,突破学习难点。“广播教学”功能,实现教师集中授课与学生自主学习相结合;“文件分发”功能,将教师机课件分发至学生机D盘,快速便捷,避免一一拷贝;“学生演示”功能是小组代表发言活动得以实施的关键。如果没有学霸机房管理系统,学生所绘图像只能呈现在自己的计算机上,无法实现共享,而“学生演示”功能的使用,使得全班同学能快速共享大量图像,提高了学生对研究过程的参与程度,学习效率明显提高。

●教材分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学1(必修)》(人教A版)第二章第一节第二课《对数函数及其性质》。本节课的内容在教材中起到了承上启下的关键作用。一方面,对数函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数性质的基础上,进行研究的第一个重要的基本初等函数。作为基本初等函数,它是继指数函数之后对高中函数概念及性质的又一次应用;另一方面,对数函数是后续学习幂函数的基础,对于研究幂函数及其他基本初等函数,在研究方法上起到示范作用。

●学生分析

从学生的知识上看,学生已经学习了函数的定义、图像、性质,对函数的性质和图像的关系已经有了一定的认识。学生已经熟悉研究函数的一般过程和方法,会用此来研究对数函数。

从学生现有的学习能力看,通过初中对函数的认识与理解,学生已具备了一定的观察事物的能力,积累了一些研究问题的经验,初步具备了抽象、概括的能力。通过教师启发式引导,学生能自主探究完成本节课的学习,会进行几何画板的基本操作。

●教学目标

知识与技能目标:1通过具体实例了解对数函数模型的实际背景;2初步理解对数函数的概念、图像和性质。

过程与方法目标:1借助几何画板绘制对数函数图像,加深对定义的认识,增强对对数函数图像的直观感知;2学生观察对数函数图像,通过小组讨论,代表发言等活动,探究对数函数性质;3通过对对数函数的研究,体会数形结合、由具体到一般及类比思想。

情感态度与价值观目标:通过小组讨论、代表发言活动,培养合作交流意识。

●教学环境与准备

多媒体网络教室、几何画板课件、学霸机房管理软件。

●教学过程

1.创设情境

观察事例1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……依此类推,一个细胞分裂x次后,得到的细胞个数为个,思考y与x的函数解析式:;指数式化对数式:,用x表示自变量

观察事例2:一根1米长的绳子,第一次剪掉绳长的一半,第二次剪掉剩余绳长的一半,……剪了x次后,剩余绳子的长度为y米,思考y与x的函数解析式:;指数式化对数式:,用x表示自变量:

观察事例3:已知一个正方形S的面积是1,第一次取其四分之一生成正方形1S ,再取2S的四分之一生成S3 ,以此类推,求第x次取后生成的正方形xS的面积与截取次数x之间的函数解析式:;指数式化对数式:,用x表示自变量:

设计意图:课上播放PPT动画,回顾“指数函数及其性质”一节的三个观察示例:“细胞分裂”、“剪绳动画”、“截纸动画”,引出对数函数定义,同时使学生体会到对数函数与指数函数的联系。

2.探究新知

(1)归纳定义

问题1:上述观察事例中的三个函数解析式有什么共同特征?

学生思考得出,三个函数解析式,结构都是对数的形式,自变量在真数位置,定义域为(0,+∞)。

设计意图:通过对三个实例函数解析式的分析,突出对底数a取值的认识,引导学生把解析式概括为y=logax的形式,为形成对数函数定义作铺垫。

对数函数的定义:一般地,形如y=loga x( a>0且a≠1)的函数叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域为 (0,+∞)。

师生共同分析定义要点:1定义域为(0,+∞);2对数函数是形式化的定义;3a>0且a≠1。教师引导学生将指数函数定义与对数函数定义作对比。

练习1:根据对数函数定义,判断下列函数是否为对数函数。

设计意图:通过题目判断加深学生对对数函数定义的认识和理解,为学生自主选择底数,应用几何画板绘制对数函数图像作铺垫。

(2)作图探究

问题2:我们研究函数的一般过程是什么?

教师启发学生思考:归纳定义,画出图像,观察图像,总结性质,继而进行性质应用。

设计意图:对数函数作为基本初等函数,是继指数函数后对高中函数概念及性质的再次应用,学生已经熟悉研究函数的一般过程和方法,会用此来研究对数函数。

作图1:画出函数y=log2 x的图像。

学生独立在坐标纸上作图,教师巡视个别辅导,正投对比展示学生作图结果,总结作图要点,规范列表、描点、连线的每一步。

设计意图:描点法作图是画函数图像的基本方法,用正投呈现学生作图结果,培养学生画图基本功。

作图2:自主选择底数绘制对数函数的图像。

教师:为了研究对数函数性质,我给同学们传送了几何画板课件“动手实践1”,在D盘,这里有两个任务,请相继完成。对于任务1,全班同学分为6组,小组中每位同学设想一个具体的对数函数解析式,小组汇总,每位同学在同一坐标系中,绘制每组所确定的对数函数的图像,之后完成任务2(如图1)。

设计意图:设计任务1,是为了加深学生对对数函数定义的认识,增强对图像的直观感知。设计任务2,是将本节课的重点以任务形式呈现,使任务1的实施更具方向性,使课堂教学更具灵活性和机动性。

每位学生自主选择底数,确定一个对数函数解析式,小组汇总。

设计意图:学生自选底数,确定对数函数解析式,加深对对数函数定义的认识。

学生小组讨论之后,每位同学打开D盘,双击进入几何画板课件“动手实践1”,在同一坐标系中,绘制每组确定的对数函数图像。

设计意图:学生通过几何画板课件“动手实践1”,在同一坐标系中,绘制多个对数函数图像,在绘制过程中,可以更加直观地感知底数对对数函数图像的影响,能更好地观察图像特征,总结图像性质。

学生自主选择底数,绘制对数函数图像,完成“任务1”之后,思考、讨论“任务2”,各小组根据所绘制的对数函数图像,观察图像特征,总结性质,每组自荐一名代表发言。

教师适时发问、点拨,引导学生总结,师生、生生互动交流。

设计意图:应用学霸机房管理系统,“学生演示”功能,逐个呈现每组学生作图结果,快速大量共享图像,加深学生对对数函数图像特征的认识,有助于攻克教学难点,课堂效率明显提高。

小组学生发言,师生交流过程中,解决问题3、问题4和问题5。

问题3:观察图像,你认为如何对对数函数进行分类研究?

各小组学生共提出两类标准:1按图像上升和下降分两类;2按底数0<a<1, a>1分两类。经教师引导,学生发现这两类标准可以统一:a>1与图像上升统一;0<a<1与图像下降统一。

问题4:你能结合屏幕上所呈现的对数函数图像,观察它们的图像特征,并总结其性质吗?

各组学生从图像位置、特殊点、图像变化趋势等方面总结图像特征,概括性质如表1。

设计意图:学生通过观察具体对数函数图像,应用数形结合思想,归纳概括性质。

问题5:函数(a >0且a≠1)的图像之间有什么关系?

有的小组 作出的图像,观察、猜想两个函数图像关于x轴对称;有的小组作出3对对数函数图像(如图2),观察猜想图像关于x轴对称,进而猜想(a >0且a≠1)关于x轴对称。

对于学生 猜想的图像关于x轴对称,教师引导学生从坐标角度理解,并用几何画板进行验证。在函数图像和函数的图像上,分别取横坐标相同的两个点,点M和M'随之运动,观察纵坐标关系,发现纵坐标相反,点M'和M关于x轴对称,所以和的图像关于x轴对称。继而,教师操作课件验证:当a取定义范围内的任意值时,图像间的对称关系(如图3)。

设计意图:通过具体底数的两个对数函数图像间的关系,观察、归纳、概括一般的两个对数函数图像间关系,体会由特殊到一般思想的应用。

各小组总结图像特征,概括函数性质之后,教师总结呈现整理结果。

问题6:我们由具体对数函数分析出它们的图像特征和所具备的性质,所有的对数函数都具备这样的性质吗?

教师操作几何画板软件,通过拖动点,改变底数a的大小,得到y=loga x(a >0且a≠1)的对数函数的图像,验证底数a取定义范围内所有值时,对数函数的性质。

在几何画板课件“动手实践2”中,学生自己拖动点“a”,亲身体验图像随底数的变化情况,进而归纳性质(如图4)。

设计意图:通过几何画板课件的动态演示,学生更直观地观察到对数函数图像随底数a的变化情况,以及为什么要把底数分为a >1和0 <a<1两类,有利于学生由图像归纳性质,从而突破本节课的难点。

(3)归纳性质

学生观察图像,讨论总结性质,如下页表2。

设计意图:学生总结性质,培养学生归纳概括能力。

师生共同对学习内容进行总结:1研究函数的一般过程是:定义→图像→性质→应用。2借助图像研究性质,应用了数形结合思想;由具体对数函数入手,到一般对数函数总结性质,应用由特殊到一般思想方法;对数函数对底数分类进行研究性质,应用了分类讨论思想,类比指数函数研究对数函数,应用了类比思想。

3.例题讲解

师:刚才我们共同探究得出性质,下边看性质应用。

例1 :比较下列 各组中两个值的大 小 :

设计意图:通过例题使学生体会对数函数单调性应用,设计三题,使学生体会分类讨论思想。

第一题教师引导讲解,示范解答过程,第二题、第三题学生正投讲解。

设计意图:通过学生正投讲解题目做法,培养学生学习数学的信心和勇气,同时,对于出现的错误及时纠错,起到示范作用。

4.归纳总结

◇这节课你学到哪些知识?

◇这节课你体会到哪些数学思想方法?

5.分层作业

◇必做题:P73,2、3;

◇选作题 :函数y=ax和y=logax (a>0,a≠1)的图像间 有何关系?

●教学反思

1.设计问题系列,驱动教学

问题是数学的心脏,本节课以6个问题为主线贯穿始终,以问题解决为教学线索,在教师的主导与计算机的辅助下,学生思维由问题开始,由问题深化。

2.借助信息技术突出重点、突破难点

本节课的学习重点是对数函数的概念、图像和性质;学习难点是用数形结合方法从具体到一般地探索概括对数函数性质,为突出重点、突破难点,使用了以下信息技术:

◇探究对数函数概念:课上播放“细胞分裂”、“剪绳动画”、“截纸动画”三个PPT课件,学生总结三个“观察事例”中函数解析式的共同特征,概括到y=loga x的形式,从而形成概念,突出学习重点。

◇绘制对数函数图像:作图1,学生动手画图,初步感知对数函数图像,教师个别辅导,正投展示,对比分析作图结果,纠正作图错误,总结作图要点,培养学生作图基本功;作图2,设计课件,全体学生参与,自选底数绘制对数函数图像,从而加深了学生对定义的认识,增强了对图像的直观感知,突出学习重点。

◇探究对数函数性质:对数函数性质的获得,需要借助对数函数图像。设计“动手实践2”,教师运用几何画板的动态演示功能,验证底数a取定义范围内所有值时,对数函数的性质,学生操作课件“动手实践2”,通过拖动点“a”,改变底数a的值,观察对数函数图像随底数a的变化情况,学生的亲身体验,提高了对研究过程的参与程度,有效突破学习难点。

◇运用学霸机房管理系统,其“广播教学”“文件分发”“学生演示”功能,使得大量图像共享成为可能,使得学生小组代表发言活动得以实施。学霸机房管理系统的使用,提高了学生对研究过程的参与程度,使得学习效率明显提高,更为有效地突破学习难点。

点评

从信息技术与教学融合的角度上看,邢晓燕老师教学中最大的亮点有两个:

◇放手让学生使用几何画板画出对数函数的图像、探索对数函数的性质,实现了常规教学手段无法达到的教学效果。为了帮助学生建立对数函数的概念,画出对数函数的图像,初步了解对数函数的性质,邢老师设计了“动手实践1”环节,运用几何画板的作图功能,让学生在同一坐标系中绘出多个对数函数图像,帮助学生提高动手实践能力,加深对对数函数定义的认识,突出了学习重点;从具体到一般地探索概括对数函数性质是本课的教学难点,为突破难点,邢老师设计了“动手实践2”,通过课件的动态演示,学生更直观地观察到对数函数图像随底数a的变化情况,以及为什么要把底数分为a >1和0<a<1两类,有利于学生由图像归纳性质,从而突破本课的教学难点。

◇很好地运用了学校网络机房管理系统的“广播教学”“文件分发”“学生演示”功能,实现图像共享,提高课堂教学效率,突破学习难点。这里值得一说的是“学生演示”功能,该功能能够任意调用任何小组学生所绘图像到大屏幕上,实现小组学习情况全班分享,使得学习效率明显提高。

这节课的教学,如果能够考虑将教室里的交互式电子白板利用起来,师生充分运用白板功能结合几何画板等一起使用,也许教学效果会更好。

函数及其性质 篇8

运用几何画板软件的作图功能、动态演示功能、反射功能, 突出学习重点, 突破学习难点。首先, 设计“动手实践1”, 运用作图功能帮助学生在同一坐标系中绘出多个指数函数图象, 提高学生动手实践能力, 加深对指数函数定义的认识, 突出学习重点。其次, 设计“动手实践2”, 运用动态演示功能, 呈现指数函数图象随底数的变化情况, 验证底数取定义范围内任意值时, 指数函数所具备的性质, 增强学生对图象的直观感知, 突破学习难点。

运用极域电子教室系统的“屏幕广播”“文件分发”“学生演示”功能, 实现图象共享, 提高学习效率, 突破学习难点。教学中, 学生设计解析式, 小组汇总, 使用“几何画板”绘图, 小组讨论性质, 代表发言。如果没有极域电子教室系统, 学生所绘图象只能呈现在自己的计算机上, 无法实现共享, 正是由于“学生演示”功能的使用, 使得全班同学快速共享大量图象, 提高了学生对研究过程的参与程度, 学习效率明显提高。

教材分析

本节课是普通高中课程标准实验教科书·数学 (必修1) 人教A版第二章第一节第二课《指数函数及其性质》。本节课的内容在教材中起承上启下的关键作用。一方面, 指数函数是在学生系统学习了函数概念, 基本掌握了函数性质的基础上进行研究的第一个重要的基本初等函数, 是在初中正比例函数、一次函数和二次函数掌握的前提下推出的。作为基本初等函数, 它是高中函数概念及性质的第一次应用。另一方面, 指数函数是后续学习对数函数和幂函数的基础, 在研究方法上起到示范作用。因此, 指数函数是本章的重点内容之一。

学情分析

从学生的知识上看, 他们已经学习了函数的概念和函数的基本性质, 对函数的性质和图象的关系已经有了一定的认识, 但对如何研究一个新的函数, 还需要教师在方法上进行引导。从学生现有的学习能力看, 通过初中对函数的认识与理解, 学生已具备了一定的观察事物的能力, 积累了一些研究问题的经验, 初步具备了抽象、概括的能力。同时, 学生掌握了“几何画板”的基本操作。因此, 通过教师启发式引导, 学生能够自主探究完成本节课的学习。

教学目标

知识与技能目标:通过具体实例了解指数函数模型的实际背景;初步理解指数函数的概念, 能根据图象探究指数函数的性质。

过程与方法目标:借助“几何画板”绘制指数函数图象, 加深对定义的认识, 增强对图象的直观感知;学生观察指数函数图象, 通过小组讨论、代表发言等活动, 探究指数函数性质;通过对指数函数的研究, 体会数形结合、由具体到一般、分类讨论思想。

情感态度与价值观目标:通过小组讨论、代表发言活动, 培养合作交流意识。

教学环境与准备

教学环境:多媒体网络教室。

技术准备:几何画板课件、PPT课件、极域电子教室系统。

教学过程

教师应用极域电子教室软件, 通过教师程序端口, 向学生传送几何画板课件“动手实践1”“动手实践2”, 供学生上课时使用。

环节1:归纳定义

教师引导学生观察三个事例 (如图1) 。

设计意图:课上播放PPT动画, 呈现指数函数模型的实际背景, 归纳概括指数函数的定义, 同时使学生体会到数学来源于生活。

问题1:上述观察事例中的三个函数解析式有什么共同特征?

学生活动:学生思考得出, 三个函数解析式结构都是幂的形式, 底数是常数, 指数是变量, 定义域为N*。

教师呈现指数函数的定义, 师生共同分析定义要点。

设计意图:通过对三个观察事例中函数解析式的分析, 突出对底数a取值的认识, 引导学生把解析式概括为y=ax的形式, 为形成指数函数定义作铺垫。

问题2:为什么要规定底数大于0且不等于1呢?如果a取这个范围外的数, 会有什么结果?

在教师引导下, 学生得出结论:

(1) 若a<0, 在y= (-1) x中, 对于x取, 在实数范围内没有意义;

(2) 若a=0, 当x>0时, ax=0;对x≤0, ax无意义;

(3) 若a=1, y=1x=1恒成立, 图象是与x轴平行的直线, 已经研究过了。

师:为了避免上述各种情况的发生, 所以规定a>0, 且a≠1。接下来, 请同学们完成练习1。 (学生完成并提交结果)

设计意图:引导学生仔细理解定义, 展开师生、生生间的交流, 达到攻克难点的目的, 并通过练习来加深学生对指数函数定义的认识。

环节2:绘制图象

问题3:我们研究函数的基本思路是什么?

教师启发学生思考:归纳定义, 画出图象, 观察图象, 总结性质, 继而进行性质的应用。

设计意图:指数函数作为基本初等函数, 是高中函数概念及性质的第一次应用, 引导学生按照研究函数的基本思路来研究指数函数。

教师要求作图1:参照表1用描点法画出函数y=2x的图象。

师生活动:学生独立在坐标纸上作图, 教师巡视个别辅导, 总结作图要点。

设计意图:描点法作图是画函数图象的基本方法, 设计作图1能够培养学生画图的基本功, 个别辅导能够有针对性地规范学生的画法。

师:刚刚我们用描点法画了指数函数y=2x的图象, 为了研究指数函数的性质, 我们需要更多的图象作为基础。下面进行“作图2:自主选择底数绘制指数函数的图象”。对桌的6位同学为一组 (或5个同学) , 共五组。同学们打开桌面上的几何画板课件“动手实践1 (如下页图2) ”, 这里有两个任务, 对于任务1, 小组中每位同学都给出一个底数, 确定一个具体的指数函数解析式并汇总, 组中每位同学都在同一坐标系中, 绘制这些指数函数的图象。完成任务1后, 进行任务2, 观察图象, 总结特征, 概括性质, 小组讨论, 推选代表发言。

设计意图:学生使用几何画板课件“动手实践1”, 在同一坐标系中, 绘制多个指数函数图象, 在绘制过程中, 可以更加直观地感知底数对指数函数图象的影响, 能更好地观察图象特征, 总结函数性质, 同时提高学生的动手实践能力。设计任务2是将本节课的重点以任务形式呈现, 使任务1的实施更具方向性, 使课堂教学更具灵活性和机动性。

环节3:图象研究

教师活动:小组讨论时, 教师巡视, 倾听学生讨论结果, 相互交流。

学生活动:学生代表发言, 其他学生倾听, 思考。

师生活动:教师根据学生选择底数的不同, 调整小组发言顺序, 在学生代表发言过程中, 适时发问、点拨, 引导学生总结, 进行师生、生生互动交流。

第一组学生绘制了指数函的图象, 并总结:图象过定点 (0, 1) ;底数互为倒数的两个指数函数图象关于y轴对称;当底数0<a<1时, 指数函数单调递减。

第二组学生绘制了指数函数的图象, 并总结:指数函数图象在x轴上方;图象过定点 (0, 1) ;底数互为倒数的两个指数函数图象关于y轴对称;当a>1时, 底数越大, 图象越接近y轴;当0<a<1时, 底数越小, 图象越接近y轴。

第五组学生绘制了指数函数y =2x、y=3x、y=4x、y=5x、y=6x的图象, 并总结:指数函数图象在x轴上方;函数单调递增;随着底数的增大, 图象越来越接近y轴。

师生互动:教师根据学生发言适时抛出问题:将底数分为a>1和0<a<1两类, 是如何考虑的?

学生代表发言:从图象看函数单调性不同, 猜想分为a>1和0<a<1两类。

教师引导学生思考, 从指数函数定义出发, 底数a>0, 且a≠1, 将底数分为a>1和0<a<1两类。

师:图象在x轴上方, 函数值有何特征?

生:值域 (0, +∞) 。

师追问:如何从解析式看出? (学生思考后回答, 教师总结用到数形结合思想)

师生交流的过程中, 解决了预设问题4——你认为如何对指数函数进行分类研究?

结合教师的引导与代表发言, 学生得出分类标准: (1) 按图象从左到右上升和下降分两类; (2) 按底数0<a<1和a>1分两类。这两类标准可以统一:a>1与图象从左到右上升统一;0<a<1与图象从左到右下降统一。

第三组学生绘制了指数函数的图象, 并总结:底数互为倒数的两个指数函数图象关于y轴对称。

第四组学生绘制了指数函数的图象, 并总结:图象过定点 (0, 1) ;值域 (0, +∞) ;底数互为倒数的两个指数函数图象关于y轴对称。

五组学生通过自主探究, 从图象位置、特殊点、图象变化趋势等方面总结出图象特征, 并概括其性质, 如下页表2所示。

设计意图:学生通过观察具体指数函数图象, 应用数形结合思想, 归纳概括性质。小组讨论活动提高了学生的参与度。同时, 应用极域电子教室软件的“学生演示”功能, 逐个呈现每组学生的作图结果, 快速、大量地共享图象, 加深了学生对指数函数图象特征的认识, 有助于攻克教学难点, 并提高教学效率。

学生小组代表发言, 还得出以下猜想:

猜想1:当底数a>1时, 底数越大, 图象越接近y轴, 当底数0<a<1时, 底数越小, 图象越接近y轴。

猜想2:猜想函数y=ax与函数图象之间关于y轴对称。

教师在提出“问题4”之后, 使用几何画板课件“动手实践2”, 在验证了指数函数性质的同时, 对学生猜想1进行验证, 在总结性质后对猜想2进行验证。

问题4:刚才各组同学观察了自己所绘的具体指数函数图象, 归纳概括了具体指数函数的性质, 同时猜想了a>1和0<a<1时指数函数的性质, 那我们的猜想是否正确呢?

教师操作几何画板课件展开“动手实践2” (如图3) , 通过拖动点A, 改变底数a的大小, 得到y=ax (a>0且a≠1) 指数函数的图象, 验证底数a取定义范围内任意值时, 指数函数的性质。

设计意图:几何画板课件的动态演示, 使得学生更直观地观察到指数函数图象随底数a的变化情况, 明确为什么要把底数分为a>1和0<a<1两类, 有利于学生由图象归纳性质, 从而突破本节课的难点。

学生活动:学生在教师集中授课后, 打开几何画板课件“动手实践2”中, 亲自拖动点A, 亲身体验图象随底数的变化情况, 归纳性质, 并填写相应表格 (如图4) 。

设计意图:学生亲身体验, 增强了对图象的直观感知;学生总结性质, 培养了归纳概括能力, 并加深了对性质的理解。

教师活动:教师使用几何画板课件, 对上述猜想2进行验证。

对于学生猜想, 教师引导学生从坐标角度理解, 先验证函数y=2x和的图象关于y轴的对称性, 再验证当a取定义范围内的任意值时, 函数y=ax与函数图象之间的对称性。

师生活动:师生共同对指数函数性质的研究过程进行总结。

环节4:效果检测

教师出示例1:比较下列各组中两个值的大小: (1) 1.9-2.5与1.92.1; (2) 0.6-2.5与0.62.1; (3) a-2.5与a2.1。

设计意图:比大小问题是指数函数单调性的应用, 其中 (1) 用到数形结合思想; (3) 用到分类讨论思想。

师生活动: (1) 教师引导讲解, 示范解答过程; (2) (3) 学生利用正投进行讲解。

设计意图:通过学生正投讲解题目做法, 培养学生学习数学的信心和勇气。

教学反思

1.设计问题系列, 驱动教学

问题是数学的心脏, 本节课以问题为主线贯穿始终, 以问题解决为教学线索, 在教师的主导与计算机的辅助下, 使学生思维由问题开始, 由问题深化, 学生积极思考, 主动回答。

2.注重数学思想方法的渗透

本节课注重渗透数学思想方法。教学中, 借助函数图象归纳性质, 渗透数形结合思想方法;从具体的指数函数入手, 引导学生通过观察图象, 发现指数函数的图象规律, 从而归纳指数函数的一般性质, 渗透了具体到一般的数学思想方法;自主探究时, 将指数函数的底数分类研究, 渗透分类讨论思想方法。

3.借助信息技术突出重点、突破难点

本节课的教学重点是指数函数的概念、图象和性质;教学难点是用数形结合方法从具体到一般的探索, 并概括指数函数性质。我为突出重点、突破难点, 结合了以下技术。

在探究指数函数的概念时, 课上播放PPT动画, 学生总结三个“观察事例”中函数解析式的共同特征, 并形成概念, 突出学习重点。

在绘制指数函数的图象时, 学生动手画图, 初步感知指数函数图象的特点, 我个别辅导, 正投展示, 总结作图要点, 培养学生作图基本功。在“动手实践1”环节中, 全体学生参与, 自选底数绘制指数函数图象, 加深了学生对定义的认识, 增强了其对图象的直观感知, 突出了学习重点。

在探究指数函数性质时, 我在“动手实践2”环节中, 运用几何画板的动态演示功能, 验证底数a取定义范围内任意值时, 指数函数的性质。学生亲身体验, 拖动点A, 改变底数a的值, 观察指数函数图象随底数a的变化情况。同时, 极域电子教室系统的“文件分发”“学生演示”功能实现了图象共享, 促使学生小组代表的发言活动得以有效开展, 这既提高了学生参与研究的积极性, 又有效地突破了教学难点。

本课教学也存在很多欠缺与不足。例如, 教学中, 我虽努力关注全体学生, 但是学生的层次较为明显, 在问题的设疑过程中, 预留给学生思考或计算的时间不足, 一些后进生很难实现预设的结果, 导致部分学生的综合能力没有得到很好的提高和发展, 教学效果未能达到极致。

点评

本课教学为我们展示了几何画板及多媒体电子教室在数学教学中的应用。在以教师为辅、学生为主的课堂上, 师生展开了多样化的人机交互, 并给数学课堂带来了新的变化。从信息技术与教学融合的角度上看, 亮点有二:

一是合理地运用了几何画板软件。指数函数的图象和性质是本节课的重点, 为了帮助学生建立指数函数的概念, 画出指数函数的图象, 初步了解指数函数的性质, 邢老师设计了活动“动手实践1”, 并运用几何画板的作图功能, 让学生在同一坐标系中绘出多个指数函数的图象, 这提高了学生的动手实践能力, 加深了他们对指数函数定义的认识, 也增强了对图象的直观感知, 并突出了本节课的重点。同时, 为了突破教学难点, 邢老师设计了“动手实践2”, 利用几何画板课件的动态演示功能, 使学生更直观地观察到了指数函数图象随底数a的变化情况, 理解了为什么要把指数函数的底数分为a>1和0<a<1两类, 这既帮助了学生由图象归纳得出性质, 又突破了教学难点。

二是很好地运用了电子教室系统的“屏幕广播”“学生演示”功能, 实现了图象共享, 提高了课堂效率, 突破了教学难点。

当然, 本课教学中, 教师如果能够将交互式电子白板与几何画板的各功能结合起来, 那么教学效果一定会更加出彩。

函数及其性质 篇9

一、第一环节“巩固概念,加深理解”

我们先来巩固一下对数函数的概念,请大家一起来填空。一般地,把函数___称为对数函数,其中是自变量,函数的定义域为。

通常研究函数的性质需要借助于直观的工具———函数的图像。今天这节课我们就要画出对数函数的图像,并通过“看图说话”探究对数函数的性质。请问:如何作出对数函数的图像?作图分为哪3个步骤?

二、第二环节“动手操作,画出图像”

教师请学生按照“列表、描点、连线”这三个步骤分别画出下列两组对数函数的图像。

学生画好后,教师请学生将画好的图像给全班同学做一个展示,并让学生谈一谈作图的关键,接着让学生自纠或相互纠正错误,最后达成共识。

三、第三环节“看图说话,探究性质”

教师活动:教师引导学生观察画好的图像,从图像上升或下降的趋势上看,对数函数的图像按照底数可以分成哪两类?仔细观察这两类对数函数的图像,“看图说话”说说你能发现对数函数的哪些性质?试着从以下几方面观察并完成下表。

学生活动:学生可以借助自己绘制的图像观察,也可以观察教师投影上给出的图像,可以自己观察、探索,也可以同位间或前后位间相互交流、讨论。

教师活动:教师要引导学生充分发表意见,或者教师提出观察角度让学生去描述,然后再让学生将图像的几何特征(几何角度)翻译为函数的性质(代数角度)。

教师活动:再仔细观察这两类对数函数的图像,你还有其他新发现吗?(提示:1这两类对数函数的图像都经过哪一个共同的点?2函数值的变化情况如何?当01时,y值又如何? )

学生活动:请学生把自己总结出来的对数函数的图像和性质“整合”一下,将这两类对数函数的图像和性质一般化并尝试完成表格,学生完成后教师投影展示。

四、第四环节“运用性质,解决问题”

比较同底对数值的大小:log21.2与log22.2、log0.21.8与log0.22.8、loga5与loga7。

题后反思:如何利用对数函数的单调性比较同底对数值的大小?1构造一个同底的对数函数,利用它的单调性直接判断。2当底数不确定时,要对底数与1的大小进行分类讨论。

五、第五环节“归纳小结,强化思想”

1画出对数函数的图像,探究对数函数的性质;2利用对数函数单调性,比较同底对数值大小;3蕴含了数形结合思想,分类讨论等数学思想。

六、第六环节“课后作业,巩固拓展”

函数及其性质 篇10

一、寻根溯源找函数模型

高考中的多数函数问题是以具体函数为模型,如一次函数、反比例函数、二次函数、分式型函数、指数对数函数、幂函数、高次多项式函数等都是常涉及的函数,因此,解题时根据抽象函数的性质,通过猜想它可能为某种基本函数找出抽象函数的原型,在不需解题过程的填空、选择题中, 可直接用原型函数求解得到答案.

例1( 2009山东) 已知定义在R上的奇函数f( x) 满足f( x +2) = - f( x) ,则f( 6) 的值为() .

A. - 1B. 0C. 1D. 2

分析本题是求抽象函数值问题. 由条件易知,f( x) 的原型函数是f( x) = sinπ/2x,当x = 6时,f( 6) = sin3π = 0. 答案选B.

例2 ( 2009天津) 设函数f( x) 在R上的导函数为f'( x) ,且2f( x) + xf'( x) > x2,下面的不等式在R上恒成立的是() .

A. f( x) > 0B. f( x) < 0C. f( x) > xD. f( x) < x

分析本题主要考查导函数与函数模型的应用. 解决问题的关键是用特例法.

解可取f( x) =1/ 2x2+1 /2,则f( x) 满足条件,验证各个选项,得B,C,D都不恒成立. 答案选A.

例3 ( 2010安徽) 设 ,则a,b,c的大小关系是( ) .

A. a > c > bB. a > b > c C. c > a > bD. b > c > a

解析因为a,c的指数相同底数不同,选用幂函数y = x 2/ 5 ,在x > 0时是增函数,则a > c,而b,c的底数同指数不同,选用指数函数y =(2/5) x在R上是减函数,则c > b. 答案选A.

二、抓住函数性质

例4 ( 2012重庆理7) 已知f( x) 是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f( x) 为[0,1]上的增函数”是“f( x) 为 [3,4]上的减函数”的() .

A. 既不充分也不必要的条件B. 充分而不必要的条件

C. 必要而不充分的条件D. 充要条件

答案D.

解析因为f( x) 为偶函数,所以当f( x) 在[0,1]上是增函数,则f( x) 在[-1,0]上则为减函数,又函数f( x) 的周期是4,所以在区间[3,4]也为减函数. 若f( x) 在区间[3,4] 为减函数,根据函数的周期可知f( x) 在[-1,0]上则为减函数,又函数f( x) 为偶函数,根据对称性可知,f( x) 在[0,1]上是增函数. 综上可知,“f( x) 在[0,1]上是增函数”是“f( x) 为区间[3,4]上的减函数”成立的充要条件,选D.

例5 ( 2009辽宁) 已知偶函数f( x) 在区间[0,+ ∞ ) 上单调递增,则f ( 2x - 1) < f(1/3)的x的取值范 围是( ) .

A.(1/3,2/3)B.[1/3,2/3)C.(1/2,2/3)D.[1/2,2/3)

答案A.

分析本题解题关键是利用偶函数性质f( x) = f( - x) = f( | x | ) 建立正确的不等式求出x的取值范围,学生往往只建立正数范围的不等式而漏掉负数范围.

解由已知有︱2x -1 ︱<1 /3,即 -1 /3< 2x - 1 <1/ 3,解得1/ 3< x <2 /3. 选A.

例6 ( 2012山东) 定义在R上的函数f( x) 满足f( x + 6) = f( x) . 当 - 3≤x < - 1时,f( x) = - ( x + 2)2,当 -1≤x≤3时,f ( x) = x. 则f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + … + f ( 2012 ) = () .

A. 335B. 338C. 1678D. 2012

分析由条件f( x +6) = f( x) 挖掘出函数的周期性质, 解题时注意题目给出的两个区间的对称性.

解由f( x + 6) = f( x) ,可知函数的周期为6,所以f( - 3) = f( 3) = - 1,f( - 2) = f( 4) = 0,f( - 1) = f( 5) = - 1,f( 0) = f( 6) = 0,f( 1) = 1,f( 2) = 2,所以在一个周期内有f( 1) + f( 2) + … + f( 6) = 1 + 2 - 1 + 0 - 1 + 0 = 1,所以f( 1) + f( 2) + … + f( 2012) = f( 1) + f( 2) + 335×1 = 335 + 3 = 338. 选B.

三、巧用数形结合

数形结合思想方法是重要的数学思想方法,借助函数图像的研究寻找问题的解决途径,用数形结合解题直观,便于发现问题,启发思考,特别是选择题、填空题,灵活应用此法可达到事半功倍的效果.

例7 ( 2011天津理7) 已知

A. a > b > c B. b > a > c C. a > c > b D. c > a > b

答案C.

分析本题借助函数图像能迅速比较指数的大小.

解析令m = log23. 4,n = log43. 6,l = log3 10/3 ,在同一坐标系下作出三个函数的图像,由图像可得m > l > n.

数形结合思想方法还能贯穿到三角函数、平面解析几何中,例如: 如果实数x,y满足等式( x -2)2+ y2= 3,求y /x的最大值. 解析: 解题抓住已知等式( x -2)2+ y2= 3表示的图形是以点( 2,0) 为圆心 为半径的圆,作出图形,所求的y/ x表示这个圆上的点和原点连线的斜率,由图形能很快求出y/ x的最大值.