第一章统计法基础知识

第一篇：第一章统计法基础知识

第一章 统计案例教案

第一章

统计案例

1.教学目标

通过典型案例的探究，进一步了解回归分

析的基本思想、方法及其初步应用。

通过典型案例的探究，了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其初步应用。 2.回归分析模型(4学时)

a. 比《数学3》中“回归”增加的内容 数学3——统计

画散点图

了解最小二乘法的思想

求回归直线方程y=bx+a

用回归直线方程解决应用问题 选修1-2——统计案例

引入线性回归模型y=bx+a+e

了解模型中随机误差项e产生的原因 了解相关指数 R2 和模型拟合的效果之间的关系

了解残差图的作用

利用线性回归模型解决一类非线性回归问题

正确理解分析方法与结果 b.函数模型与“回归模型”的关系

函数模型：ybxa不能提供选择模型的准则

回归模型：ybxae可以提供选择模型的准则 c.回归分析知识结构图 d.教学建议

案例1：女大学生的身高与体重 散点图;

ˆ0.849x85.172 回归方程：y通过探究“身高172 cm 的女大学生的体重一定是60.23 kg吗?”引入线性回归模型。此处可以引导学生们体会函数模型与回归模型之间的差别。

使学生理解：在回归模型中，预报变量(因变量)是解释变量(自变量)与残差变量共同作用的结果。 解释残差变量的来源(可以推广到一般)：

• 其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素;

• 用线性回归模型近似真实模型所引起的误差; • 身高 y 的观测误差。

使学生正确理解相关指数的含义，他是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，他代表自变量刻画预报变量的能力。 在线性模型中，(yi1niˆiy)(yiyˆi)2并不要求学生掌握偏差平方和分解公式可以y)(y22i1i1nn直接由相关指数的定义理解其含义

⑦ 使学生了解残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择;若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域;对于远离横轴的点，要特别注意。 身高与体重残差图

异常点

错误数据

模型问题

⑧ 在教学的过程中，要注意把所蕴含的统计思想提炼出来。如在本例结尾提到“用身高预报体重时，需要注意下列问题：……”，这些论述适用于所有的回归模型。

模型适用的总体;模型的时间性;样本的取值范围对模型的影响;模型预报结果的正确理解。 ⑨ 教科书上所列“建立回归模型的基本步骤”，不仅适用于线性回归模型，也适用于一般回归模型的建立。

案例2：红铃虫的产卵数与温度 ① 散点图：从散点图中可以看出产卵数和温度之间的关系并不能用线性回归模型来很好地近似。这些

1 散点更像是集中在一条指数曲线或二次曲线的附近。

② 令

，则 x 与

z 的散点图为 x 和 z 之间的关系可以用线性回归模型来拟合

zaxb-----yc1eax

③ 令

，则 t 与

y 的散点图为

散点并不集中在一条直线的附近，因此用线性回归模型拟合他们的效果不是最好的。 ④ 教师在此处可以引导学生体会应用统计方法解决实际问题需要注意的问题： 对于同样的数据，有不同的统计方法进行分析， 要用最有效的方法分析数据。

现在有三个不同的回归模型可供选择来拟合红铃虫的产卵数与温度数据，他们分别是：

yaxb,yc1ec2x,yx2.可以利用直观(散点图和残差图)、相关指数来确定哪一个模型的拟合效果更好。 4.两个分类变量的 独立性检验

3课时

a.反证法原理与假设检验原理

反证法原理： 在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立。

假设检验原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立。

例. 数学家庞加莱每天都从一家面包店买一块1000g 的面包，并记录下买回的面包的实际质量。一年后，这位数学家发现，所记录数据的均值为950g。于是庞加莱推断这家面包店的面包分量不足。

• 推断过程：假设“面包分量足”，则一年购买面包的质量数据的平均值应该不少于1000g ; • “平均值不大于950g”是一个与假设“面包分量足”矛盾的小概率事件; • 这个小概率事件的发生使庞加莱得出推断结果。

b.假设检验问题

假设检验问题由两个互斥的假设构成，其中一个叫做原假设，用H0表示;另一个叫做备择假设，用H1表示。

例如，在前面的例子中，原假设为：H0：面包分量足， 备择假设为：H1：面包分量不足。

这个假设检验问题可以表达为： H0：面包分量足

←→ H1：面包分量不足 c.求解假设检验问题

考虑假设检验问题：H0←→ H1

问题：判断应该是H0 还是H1正确? 求解思路：

1. 在H0成立的条件下，构造与H0矛盾的小概率事件;

2. 如果样本使得这个小概率事件发生，就能以一定把握断言H1成立;否则，断言没有发现样本数据与H0相矛盾的证据。

d. 独立性检验

只取两个值的变量

检验两个分类变量 x 和 y 之间是否有关系，即回答假设检验问题： H0： x 和 y 之间没有关系

←→

H1： x 和 y 之间有关系 f.教学建议

案例1. 吸烟与肺癌

① 确定所涉及的变量是否为二值分类变量;

①

根据样本数据制作列联表：通过图形直观判断两个分类变量是否相关：

④ 推导统计量K2 (用于构造有利于H成立的小概率事件) ，使同学了解： K2越大， H成立的可能性就越大。

2 zc2xb

y t ④ 在“吸烟与患肺癌没有关系”成立的条件下，可以估算出：PK6.6350.01

在教学过程中可以指出估算需要很多的概率统计知识，为学生指明还有更多的知识需要学习。在教学过程中强调：只有在此条件下，才能得到这个近似公式。

④ 推导统计量K2 (用于构造有利于H成立的小概率事件) ，使同学了解： K2越大， H成立的可能性就越大。 ④ 在“吸烟与患肺癌没有关系”成立的条件下，可以估算出：PK6.6350.01 当 n→∞ 时，变为等号。在实际应用中，当mina,b,c,d5,近似的效果才可接受。

④ 推导统计量K2 (用于构造有利于H成立的小概率事件) ，使同学了解： K2越大， H成立的可能性就越大。 ④ 在“吸烟与患肺癌没有关系”成立的条件下，可以估算出：PK6.6350.01 注：④⑤隐含了构造与原假设H0矛盾的小概率事件DK6.635

的思想，基础好的学生可以深入体会。

⑥ 由列联表中的数据计算随机变量K2的值：k54.721用k是为了区分随机变量与其观测值

⑦ 结果的解释：k≈54.721>6.635解释为有99%的把握断定“吸烟与患肺癌有关” 。若按如下规则进行判断，则把“吸烟与患肺癌没有关系”错判断成“吸烟与患肺癌有关系”的可能性不超过0.01 。 规则：若K2≥6.635，就断定“吸烟与患肺癌有关”

2222nadbc两个分类变量独立性检验的基本思想：当

K很大时(小概率事件发

abcdacbd22生)，就认为两个变量有关系;否则就认为没有充分的证据显示两个变量有关系。

在前面案例中，由 k≈54.721>6.635 可得结论：有99%的把握断定“吸烟与患肺癌有关”。 评判规则是在获取样本数据之前确定的。

规则一：如果随机变量的观测值大于或等于6.635就认为“吸烟与患肺癌有关系” 。

另一方面，由 k≈54.721>10.828 还可得结论：有99.9%的把握断定“吸烟与患肺癌有关”。 规则二：如果随机变量的观测值大于或等于10.828就认为“吸烟与患肺癌有关系” 。 问题：二者矛盾吗?不矛盾，他们是对两个不同评判规则的结论。 例1.秃头与患心脏病

① 在解决实际问题时，可以直接计算K2的观测值k进行独立检验，而不必写出K2的推导过程 。 ② 本例中的边框中的注解，主要是使得学生们注意统计结果的适用范围(这由样本的代表性所决定)。 因为这组数据来自住院的病人，因此所得到的结论适合住院的病人群体. 例2.性别与喜欢数学课

① 本例主要是使学生理解独立性检验的原理。 ① 在教学过程中向同学们说明：在掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后，就可以模仿例1中的计算解决实际问题，而没有必要画相应的图形。

图形可帮助向非专业人士解释所得结果;也可以帮助我们判断所得结果是否合理

第二篇：高中数学第一章统计3统计图表教案

§3 统计图表

整体设计

教学分析

在义务教育阶段,学生已经通过实例,学习了象形统计图、条形统计图、折线统计图、扇形统计图、茎叶图,并能解决简单的实际问题.(由于义务教育阶段《大纲》中对统计部分的要求与《标准》的要求相差较大,若是承接现行《大纲》的话,建议先补充《标准》中第三学段相应部分的内容)在这个基础上,高中阶段还将进一步学习茎叶图,并在学习中不断地体会它们各自的特点,在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的图表. 通过问题1和问题2,一方面让学生通过具体的实例,初步体会总体及其分布的含义,同时为后面理解总体分布的意义、用样本的频率分布估计总体的分布作一个铺垫;另一方面复习义务教育阶段已经学过的一些统计图,并进一步发展学生从统计图表中获取信息的能力. 三维目标

1.通过实例初步体会分布的意义和作用,在表示样本数据的过程中,掌握条形统计图、折线统计图、扇形统计图,体会它们各自的特点,提高学生的画图能力;

2.能根据实际需要选择适当的统计图表来分析数据,进一步发展学生从统计图表中获取信息的能力. 重点难点

教学重点：条形统计图、折线统计图、扇形统计图、茎叶图及其应用. 教学难点：根据实际需要选择适当的统计图表. 课时安排 1课时

教学过程

导入新课

思路1.下面是权威机构公布的一组反映世界人口的数据：1957年世界人口30亿,17年后(即1974年)增加了10亿,即达40亿;又过13年达到50亿;到1999年全世界总人口达到60亿.以此速度,人口学专家预测到2025年,世界人口将达到80亿;而到2050年人口将超过90亿,其中亚洲人口最高,将达到52.68亿,北美洲3.92亿、欧洲8.28亿、拉丁美洲及加勒比地区8.09亿,非洲17.68亿.那么怎样看出世界人口的总体变化情况呢?教师点出课题：统计图表. 思路2.前面我们学习了科学的抽样方法,那么抽出样本后,怎样用图表来分析所得数据呢?教师点出课题：统计图表. 推进新课 新知探究 提出问题

1.什么叫条形统计图?有什么特点? 2.什么叫折线统计图?有什么特点? 3.什么叫扇形统计图?有什么特点? 4.什么叫茎叶图?有什么特点? 讨论结果：

1.用一定的单位长度表示一定的数量,并根据数据的多少画出长短不同的直条,然后把这些直条按照一定的顺序排列起来,这样的统计图叫作条形统计图.条形统计图可以表示同类指标在不同地区、不同时间、不同条件的对比关糺.也可以表示总体的结构及其在时间上的变化.从条形统计图上很容易看出各种数量的多少.

1 2.用一定单位长度表示一定的数量,根据数量多少描出各点,然后把各点用线段顺次连接起来,形成折线,用折线的升降来表示数量之间的关系及变化趋势的图形叫作折线统计图.折线统计图可以表示一种数量的增减变化情况,也可以表示几种数量的相互依存和发展变化的趋势或情况. 3.用圆和扇形分别表示关于总体和各个组成部分数据的统计图叫作扇形统计图(或称饼形图),特点是能直观地、生动地反映各部分在总体中所占的比例. 4.当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫作茎叶图.茎叶图的特征：(1)用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示.(2)茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据,两个以上的数据虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰.(3)当总体中的个体取值很少时,用茎叶图估计总体的分布;当总体中的个体取值较多时,将样本数据恰当分组,用各组的频率分布描述总体的分布,方法是用频率分布表或频率分布直方图. 应用示例

思路1 例1 我们对50人的智商情况进行了调查,如果按照区间[80,85),[85,90),„,[115,120)进行分组,得到的分布情况如图1所示.

图1 (1)有多少人的智商在90—105之间? (2)有多少人的智商低于100? (3)有多少人的智商不低于100? 你还能从图中获得其他的信息吗? 解：(1)38人的智商在90—105之间; (2)29人的智商低于100; (3)21人的智商不低于100. 点评：由于已经学习过一些统计图表的知识,学生在回答上面几个问题时可能比较容易,教师还可以鼓励学生从这个统计图中获取更多的信息,并通过该问题初步体会分布的含义. 变式训练

1.丁文静是集邮爱好者,她每年都要对自己收藏的邮票进行整理.到2006年年底,她收藏的邮票达到了100张;当2007年年底到了的时候,她发现自己收藏的邮票已经有200张了.她用图2来表示自己的收藏成果,这样的描述合适吗?

丁文静的邮票收藏情况

图2

3解：从高度看,上图中第二个正方体确实是第一个正方体的2倍;但从体积上看,却是2(即8)倍.这样就会使读者产生错误的印象,以为2007年丁文静收藏的邮票比2006年多得多，所以这样的描述不合适. 2.有许多人认为鹌鹑蛋比鸡蛋更有营养,是不是这样呢?

检测发现,每100克鹌鹑蛋和鸡蛋的可食部分中各种维生素B的含量分别为：维生素B1约0.18毫克和0.15毫克;维生素B2约0.79毫克和0.31毫克;维生素B6约0.02毫克和0.12毫克. 学生甲用以下两幅条形图比较两种蛋的各种维生素B含量,如图3.

图3 学生乙用一幅条形图比较两种蛋的各种维生素B含量,如图4.

图4 问：这两位同学谁画得较好? 解：甲同学制作的两幅条形图采用的单位长度不一致,很难比较两种蛋的各种维生素B的含量,乙同学的直方图采用了同一单位长度,把三种维生素含量放在一起比较,准确直观容易区

3 分,所以乙同学的条形图较好. 例2 下面是关于某个总体包含的所有学生的身高分布的几种表述,其中哪一种表述反映的总体信息较多? (1)身高在160 cm以下的学生数占50%,不低于160 cm的学生数占50%(如图5(a)). (2)身高在150 cm以下、150—160 cm之间、不低于160 cm的学生数分别占10%、40%、50%(如图5(b)). (3)身高在150 cm以下、150—160 cm之间、160—170 cm之间、不低于170 cm的学生数分别占10%、40%、40%、10%(如图5(c)).

(a) (b)

(c) 图5 解：从该总体包含的所有学生的身高分布的几种表述(包括文字和统计图)来看,不难发现：从(1)—(3),反映的总体信息依次增多. 就这个问题而言,说“身高在160 cm以下的学生数占50%,不低于160 cm的学生数占50%”,是身高分布一种很粗略的表述;说“身高在150 cm以下、150—160 cm之间、不低于160 cm的学生数分别占10%、40%、50%”,则相对精确一些;而说“身高在150 cm以下、150—160 cm之间、160—170 cm之间、不低于170 cm的学生数分别占10%、40%、40%、10%”,表述就更精确了. 点评：对于同样的数据,可以用不同的方式来表示. 变式训练

1.某中学在一次健康知识竞赚活动中,抽取了一部分同学测试的成绩为样本,绘制的成绩统计图如图6,请结合统计图回答下列问题： (1)本次测试中,抽样的学生有多少人?

(2)分数在90.5—100.5这一组的频率是多少? (3)这次测试成绩的众数落在哪个小组内?

(4)若这次测试成绩80分以上(含80分)为优秀,则优秀率约为多少?

图6 解：(1)2+3+4+41=50(人); (2)频率=频数4=0.08; 总数50(3)众数落在80.5—90.5这一小组内; (4)这次测试成绩的优秀率约为90%. 2.2003年11月,中国女排以11连胜的战绩夺回了阔别17年的世界冠军,重振了“敢于拼搏,敢于创新,团结起来,在不利的条件下赢得最大的胜利”的中国女排精神.其中11月12日的中美之战是关键的一战,中国女排在1∶2局数落后的不利情况下,顽强拼搏,最后反败为胜,以3∶2击败夺冠道路上的主要竞争对手. 项目 中国 美国 发球得分 3 7 一攻得分 37 35 防守反击得分 29 25 拦网得分 13 13 因对方失误得分 27 22 总得分 109 102 上表是中美两国比赛的技术数据统计,如图7,学生甲用两幅条形图比较中美两国比赛的得分情况,学生乙用一幅条形图比较中美两国比赛的得分情况,哪一个效果好?从统计表中你能获取哪些信息?

学生甲制作

学生乙制作

图7 解：学生甲的方案由于纵轴单位刻度不同,不容易对两国排球赛的得分情况进行比较;而学生乙将两张图合并成一张图,可以一目了然地看出两国排球赛的得分情况的差异,因此,乙的效果更好. 分析表中的数据我们可以大概地了解到,中国队战胜美国队的主要因素是失误较少,防守反击比较成功,而中国队发球的威力不大,这是需要提高的. 例3 有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机中分别随机抽取了16台,记录下上午8：00—11：00间各自的销售情况(单位：元)：

甲：18,8,10,43,5,30,10,22,6,27,25,58,14,18,30,41; 乙：22,31,32,42,20,27,48,23,38,43,12,34,18,10,34,23. 你能用不同的方式分别表示上面的数据吗? 解：从上面的数据不易直接看出各自的分布情况,为此,我们可以先将以上的数据按照不同的方式进行表示. 上述的数据可以用如图8所示的图形来表示,横线下面的数字表示销售额的十位数,上面的数字分别表示各自销售额的个位数.

图8 也可以用条形统计图(图9)将上图进行简化：

图9 点评：根据实际需要选择适当的统计图表来分析数据. 变式训练

6 某地农村某户农民年收入如下(单位：元)：

土地收入 打工收入 养殖收入 其他收入 4 320 3 600 2 350 850 请用不同的统计图来表示上面数据. 分析：题意的要求是将此四个数据用统计图展示出来,在所有的统计图中,可利用条形统计图、折线统计图、扇形统计图来表示. 解：用条形统计图表示,如图10所示.

图10 用折线统计图表示,如图11所示.

图11 用扇形统计图表示,如图12所示.

图12 思路2 例1 下面是跃进厂各车间男、女工人数统计表：

根据表中数据,制成条形统计图. 解：步骤是：

①根据图纸的大小,画出两条相互垂直的射线.(注意水平射线下面和垂直射线左面必须留有一定空白,注明直条数量和统计的内容) ②在横轴上确定直条的位置. ③在纵轴上根据数量的多少确定单位长度. ④根据数据的多少画出长短不同的直条. 画直条的步骤：

1°先在纵轴上找到80(一车间的男工有80人),用铅笔过此点作横轴的平行线. 2°用三角板的直角边对齐一车间的直条位置画两条与横轴垂直的平行线,画到与水平线相交为止,涂上阴影或涂色均可.(注意：直条的宽窄要一致,长短要准确,条与条之间间隔要均等) 3°在直条上方标明数量的多少. 4°依次画出其他直条. ⑤在图的上方写标题. 统计图如图13所示.

跃进机床厂各车间男、女数统计图

图13 点评：条形统计图比统计表更形象、直观、具体,使人看了统计图以后,对事物在数量方面的变化与发展,以及事物总体与部分之间的关系等情况,留下了深刻的印象. 变式训练

观察如图14所示的条形统计图,你知道了什么?

某小学2003年—2006年购买图书统计图

2007年1月制

图14 答案：该小学2006年购买图书最多,比购买图书最少的2003年多300本. 例2 某地2007年每月的月平均气温如下表：

月份 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一平均气温(℃) 2 5 10 16.5 22 28 32 32.5 26 19 11.5 根据上表中的数据,制成折线统计图. 解：制作步骤：

(1)根据图纸的大小,画出两条互相垂直的射线. (2)适当分配各点的位置,确定各点的间隔. (3)在与水平射线垂直的射线上,根据数据大小的具体情况,确定单位长度表示多少. (4)按照数据的大小描出各点,再用线段顺次连接起来. 折线统计图如图15所示.

图15 点评：折线统计图不但可以表示数量的多少,还可以反映数量增减的变化趋势. 变式训练

1.如图16所示的条形统计图,你知道了什么?

2001—2004年国产与进口54厘米彩电平均零售价统计图

图16

十二 5 9

答案：从折线统计图中可以看出国产与进口彩电降价的情况.在这场持续的价格大战中,消费者无疑是最大的受惠者. 2.如图17是一张某居民区水箱水位统计图,请你根据图中的变化情况编一段这个居民区的故事.

图17 答案：根据统计图的曲线变化情况,可以编出各种故事,如：8点钟居民们都开始洗菜、洗车等,是个用水高峰期,因此统计图上水位开始下降.9点到10点用水的人越来越少,水箱开始放水进来,因此10点钟水又满了.11点时水箱的水位变成0,可能是水箱破了,水都漏光了. 说明：没有标准的答案,只要有道理,就可以算好故事. 例3 某学校有50名学生,对出行使用的交通工具,统计数据如下： ①步行：20人; ②骑自行车：15人; ③坐公交：10人; ④其他：5人. 根据以上数据,制成扇形统计图. 解：画图步骤： (1)画一个圆. (2)按各组成部分所占的比例算出各个扇形的圆心角度数. 交通工具 人数 比例 圆心角度数 步行 20人 40% 144° 骑自行车 15人 30% 108° 坐公交 10人 20% 72° 其他 5人 10% 36°

(3)根据算出的各圆心角的度数画出各个扇形,并注明相应的百分比,各比例的名称可以注在图上,也可用图例表明. 扇形统计图如图18所示.

图18 注意：不用彩色,也可用白色、涂黑、斜线、网状等表示,学会动手画出扇形统计图. 点评：扇形统计图是用整个圆面积表示总数(100%),用圆内的扇形面积表示各部分所占总数的百分数.总之,用统计图来表示数量关系更生动形象、具体,使人一目了然.

10 变式训练

1.如图19所示的条形统计图,你知道了什么?

大王村青年养禽场养的鸡、鸭、鹅数量统计图

图19 答案：大王村养禽养的鸡最多,其次是鸭,再就是鹅. 2.下面两幅统计图(如图20、图21),反映了某市甲、乙两所中学学生参加课外活动的情况.请你通过图中信息回答下面的问题. 甲、乙两校参加课外活动的学生 2003年甲、乙两校学生参加 人数统计图(1997—2003年) 课外活动情况统计图

图20 图21 (1)通过对图20的分析,写出一条你认为正确的结论; (2)通过对图21的分析,写出一条你认为正确的结论;

(3)2003年甲、乙两所中学参加科技活动的学生人数共有多少?

解：(1)1997年至2003年甲校学生参加课外活动的人数比乙校增长得快; (2)甲校学生参加文体活动的人数比参加科技活动的人数多; (3)2 000×12%+1 100×10%=350.

例4 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场得分情况如下：

甲 12 15 24 25 31 31 36 36 37 39 44 49 50 乙 8 13 14 16 23 26 28 33 38 39 51 9 17 (1)用茎叶图表示上面的数据. (2)根据你所画的茎叶图,分析甲、乙两名运动员的得分情况. 解：(1)如图22所示的茎叶图中,中间的数字表示两位运动员得分的十位数,两边的数字分别表示两个人各场比赛得分的个位数.

图22 (2)从茎叶图上可以看出：

11 甲运动员的得分比较集中在茎为3的一行,且大致关于这一行对称,中位数是36; 乙运动员的得分主要分散在四行,中位数是23. 所以甲运动员的发挥比较稳定,总体得分情况比乙运动员好. 点评：如果茎叶图中的数据大致集中在一行,说明这些数据比较稳定;如果收集到的是两组不连续的数据,并且是一位或两位数的整数,并且需要对比,那么可以先考虑使用茎叶图来统计. 变式训练

1.已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图(如图23所示),则甲、乙两人得分的中位数之和是( )

图23 A.62 B.63 C.64 D.65 分析：利用茎叶图可得甲得分的中位数是

2826=27,乙得分的中位数是36,所以甲、乙两2人得分的中位数之和是63. 答案：B 2.某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习10组,每组罚球10个.命中个数的茎叶图如图24.则罚球命中率较高的是____________.

图24 分析：观察茎叶图可知,甲运动员的呼中个数与乙相比位于茎叶图的下方,也就是说甲罚球命中率较高. 答案：甲

3.下图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图,据图25可知( )

图25 A.甲运动员的成绩好于乙运动员 B.乙运动员的成绩好于甲运动员 C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异 D.甲运动员的最低得分为0分 答案：A

12 知能训练

1.下面哪种统计图没有数据信息的损失,所有的原始数据都可以从该图中得到( ) A.条形统计图 B.茎叶图 C.扇形统计图 D.折线统计图

分析：所有的统计图中,仅有茎叶图完好无损地保存着所有的数据信息. 答案：B 2.当收集到的数据量很大或有多组数据时,需要比较各种数量的多少,用哪种统计图较合适( ) A.茎叶图 B.条形统计图 C.折线统计图 D.扇形统计图 分析：由于需要比较各种数量的多少,并且收集到的数据量很大或有多组数据,符合条形统计图的特点. 答案：B 3.2007年某市居民的支出构成情况如下表所示：

家庭设备用交通和通教育文化杂项商品食品 衣着 医疗保健 居住

品及服务 讯 娱乐服务 和服务

40.4% 4.2% 8.9% 5.0% 8.9% 17.7% 11.5% 3.4% 用下列哪种统计图表示上面的数据较合适( ) A.都一样 B.茎叶图 C.扇形统计图 D.折线统计图

分析：扇形统计图和条形统计图均可以将统计中的所有数据所占整体百分比直观显示出来,但最佳的统计图表应当是扇形统计图,其显示得更为直观一些. 答案：C 4.下表给出了2006年A、B两地的降水量.(单位：mm)

1112 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月

月 月

106.54.128.26.10.A 9.2 4.9 5.4 18.6 38.0 62.9 73.6

3 4 9 2 6 41.53.178.273.384.432.67.228.201.147.28.19.B 4 3 8 5 9 4 5 5 4 3 0 1 为了直观表示2006年A、B两地的降水量的差异和变化趋势,适当的统计图是__________. 答案：条形统计图和折线统计图 拓展提升

在第28届奥运会上,中国运动员奋力拼搏共夺得32块金牌,其分布如下：

射击 球类 水上项目 力量型项目 田径 体操 4 8 8 9 2 1 画出扇形统计图,从扇形统计图中看出中国在什么项目上有优势呢? 解：扇形统计图如图26：

第28届奥运会中国金牌分布统计图

图26 从扇形统计图中看出中国在力量型项目、水上项目和球类项目上有优势. 课堂小结

本节课复习巩固了用条形统计图、折线统计图、扇形统计图、茎叶图来分析数据. 作业

习题1—3

1、2.

设计感想

本节依据学生的认知特点,首先复习了条形统计图、折线统计图、扇形统计图、茎叶图的定义,再举例说明了其适用范围.实际教学时,可以针对学生的实际,选择使用本节的例题和练习题.

第三篇：概率论与数理统计 第一章

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第一章 概率论的基本概念

【基本要求】

1、理解随机事件和样本空间的概念，熟练掌握事件之间的关系与基本运算;

2、理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性;

3、理解古典概率的定义，了解概率的定义

4、掌握概率的基本性质，会应用这些性质进行概率计算;

5、理解条件概率的概念，掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式，并会应用这些公式进行概率计算;

6、理解事件独立性的概念，会应用事件的独立性进行概率计算。

【本章重点】理解概率的定义、性质;掌握概率的计算及事件的独立性

【本章难点】判别事件概率的类型;注意‘有放回抽样’与‘无放回抽样’的区别;条件概率、全概率公式及贝叶斯公式的应用

【学时分配】16学时 【授课内容】 引言

1.确定性现象与不确定性现象(随机现象)：

在自然界与人类社会生活中，存在着两类截然不同的现象：一类是确定性现象。例如：早晨太阳必然从东方升起;在标准大气压下，纯水加热到100摄氏度必然沸腾;边长为a，b的矩形，其面积必为ab等。对于这类现象，其特点是：在试验之前就能断定它有一个确定的结果，即在一定条件下，重复进行试验，其结果必然出现且唯一。另一类是随机现象。例如：某地区的年降雨量;打靶射击时，弹着点离靶心的距离;投掷一枚均匀的硬币，可能出现“正面”，也可能出

1 辽宁石油化工大学

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现“反面”，事先不能作出确定的判断。因此，对于这类现象，其特点是可能的结果不止一个，即在相同条件下进行重复试验，试验的结果事先不能唯一确定。就一次试验而言，时而出现这个结果，时而出现那个结果，呈现出一种偶然性。

概率论就是研究随机现象的统计规律性的一门数学分支。 其研究对象为：随机现象

研究内容为：随机现象的统计规律性。 2.随机现象的统计规律性：

以前，由于随机现象事先无法判定将会出现那种结果，人们就以为随机现象是不可捉摸的，但是后来人们通过大量的实践发现：在相同条件下，虽然个别试验结果在某次试验或观察中可以出现也可以不出现，但在大量试验中却呈现出某种规律性，这种规律性称为统计规律性。例如：在投掷一枚硬币时，既可能出现正面，也可能出现反面，预先作出确定的判断是不可能的，但是假如硬币均匀，直观上出现正面与出现反面的机会应该相等，即在大量的试验中出现正面的频率应接近50%，这正如恩格斯所指出的：“在表面上是偶然性在起作用的地方，这种偶然性始终是受内部的隐藏着的规律支配的，而问题只是在于发现这些规律。”因此，人们买彩票经常不能中奖，总是抱怨运气不好，其最主要的原因就是没有进行大量的重复试验，从而也就不能发现其内部隐藏着的规律。

§1.1 随机试验

下面具一些试验的例子：

E1：抛一枚硬币，观察正面H，反面T出现的情况。

E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H，反面T出现的情况。

E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。

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E5：电话总机在单位时间内接到的呼唤次数

E6：在一批灯泡中任意抽取一次，测试它的寿命。 E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。

上面举出了七个试验的例子，它们有着共同的特点。例如，试验E1有两种可能的结果，出现H 或者出现T，但在抛掷之前不能确定出现H还是出现T ，这个试验可以在相同的条件下重复地进行。又如试验E6，我们知道灯泡的寿命(以小时计)t0，但在测试之前不能确定它的寿命有多长。这一试验也可以在相同的条件下重复进行。概括起来，这些试验具有以下的特点：

① 可以在相同的条件下重复进行;

② 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果; ③ 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

在概率中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验。简而言之，就是对随机现象的一次观察或试验。通常用大写的字母‘E’表示。本书中以后提到的试验都是指随机试验。

我们是通过研究随机试验来研究随机现象的。

§1.2 样本空间.随机事件

(一)样本空间

由随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S. 样本空间的元素，即..E的每个结果，称为样本点。

下面写出§1.1中试验Ek(k1,2,,7)的样本空间Sk： {H，T｝ S1：{HHH，HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT｝ S2：{0, 1, 2, 3｝ S3：{1, 2, 3, 4, 5, 6｝ S4：

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S5:{0,1,2,3,} {t|t0｝ S6：{(x,y)|T0xyT1｝，这里x表示最低温度，y表示最高温度。并设这一地区的温度S7：不会小于T0也不会大于T1. 注：①样本空间是一个集合，它是由样本点构成。其表示方法，可以用列举法，也可以用描述法。

②在样本空间中，样本点可以是一维的，也可以是多维的;可以是有限个，也可以是无限个。

③在同一试验中，当试验的目的不同时，样本空间往往是不同的，但通常只有一个会提供最多的信息。例如，在E2和E3中同时将一枚硬币连抛三次，由于试验的目的不一样，其样本空间也不一样。

(二)随机事件

我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。用字母A，B，C等表示。显然它是由部分样本点构成的。

如在上面试验E2中，若我们关心出现一次正面的情况，满足这一条件的样本点组成S2的一个子集A={HTT， THT， TTH}，那么A称为试验E2的一个随机试验。

下面了解以下几个概念：

1.事件发生：在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。 2.基本事件：由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。例如，试验E1有两个基本事件{H}和{T};E2有8个基本事件。

3.必然事件：样本空间S所包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。

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4.不可能事件：空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。

例如，在上述掷骰子的试验中，“点数小于7”是必然事件，“点数大于6”是不可能事件。 注：严格来讲，必然事件与不可能事件反映了确定性现象，可以说它们并不是随机事件，但为了研究问题的方便，我们把它们作为特殊的随机事件。

有了上述讨论，可见事件与集合之间建立了一定的对应关系，从而可用集合的一些术语、符号去描述事件之间的关系与运算。

(三)、事件间的关系 1.事件的包含：

当事件A发生时必然导致事件B发生，则称A包含于B或B包含A， 记为AB或BA。

即AB{若A,则B}，用文(Venn)图表示为： 反之，BA若B不发生，则必然A也不会发生。

显然，对任意事件A有：⑴AA;⑵A;⑶若AB，BC，则AC。 2.事件的相等：

若事件A的发生能导致B的发生，且B的发生也能导致A的发生，则称A与B相等。记为A=B，

即A与B有相同的样本点。 显然有A=BAB且BA

3.事件的互斥(互不相容)：若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥， 记为AB=。

显然有：⑴基本事件是互斥的;⑵与任意事件互斥。

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(四)、事件的运算(和、差、积、逆运算) 1.事件的和(并)：

两个事件A、B中至少有一个发生的事件，称为事件A与 事件B的并(或和)，记为AB(或A+B)。

即AB={ω/ωA或ωB｝

显然有：⑴AAA;⑵AAB，BAB;

⑶若AB，则ABB。特别地，A,AA。

2.事件的积(交)：

两个事件A与B同时发生的事件，称为事件A与事件B的积(或交)。 记为AB(或AB)

即AB/A且B。 显然有：⑴ABA，ABB;

⑵若AB，则AB=A，特别地A=A; ⑶若A与B互斥，则AB=，特别地A=。

注：事件之间的和、积运算可以推广到有限个和可列无穷多个事件的情形。

Ak1k1nnkA1A2An/A1或A2或或An} A1A2An/A1或A2或或An A1A2An/A1且A2且...且An} A1A2An/A1且A2且且An Ak1kAAk1kk3.事件的差：

事件A发生而事件B不发生的事件，称为事件A与事件B的差，记为A-B。 即AB{A而B}。

6 辽宁石油化工大学

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显然有：⑴不要求AB，才有AB，若AB，则A-B;

⑵若A与B互斥，则A-B=A，B-A=B;

A-BA-AB且A-ABA-B)⑶A-B=A-AB(证明：利用;

⑷A(BC)ABC(左边为A的子事件，而右边不是)。

4.事件的逆(对立事件)：

若事件A与事件B满足AB=且AB=，则称B为A的逆，记为B=A。 即A/A，} 显然有：⑴AA=，AA=

⑵A-B=AB(证明：A-B=A-AB=A(-B)=AB)

注：互逆事件与互斥事件的区别：互逆必定互斥，互斥不一定互逆;互逆只在样本空间只有两个事件时存在，互斥还可在样本空间有多个事件时存在。

例如，在抛硬币的试验中，设A={出现正面}，B={出现反面}，则A与B互斥且A与B互为对立事件;而在掷骰子的试验中，设A={出现1点}，B={出现2点}，则A与B互斥，但A与B不是对立事件。

(五)、事件的运算性质(规律)

由前面可知，事件之间的关系与集合之间的关系建立了一定的对应法则，因而事件之间的运算法则与布尔代数中集合的运算法则相同。 1.交换律：ABBA，AB=BA 2.结合律：A(BC)(AB)C,A(BC)(AB)C

3.分配律：A(BC)(AB)(AC),ABC)(AB)(AC) 4.德莫根(对偶)定律：①AiAi (和的逆=逆的积)

i1i1nn 7 辽宁石油化工大学

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②AiAi (积的逆=逆的和)

i1i1nn(六)、举例

例1：设A、B、C为任意三个事件，试用A、B、C的运算关系表示下列各事件：

①三个事件中至少一个发生 ABC

②没有一个事件发生 ABCABC(由对偶律) ③恰有一个事件发生 ABCABCABC ④至多有两个事件发生(考虑其对立事件)

(ABCABCABC)(ABCABCABC)(ABC)ABCABC ⑤至少有两个事件发生 ABCABCABCABCABBCCA

§1.3 频率与概率

随机事件在一次试验中，可能发生也可能不发生，具有偶然性。但是，人们从实践中认识到，在相同的条件下，进行大量的重复试验中，试验的结果具有某中内在的规律性，即随机事件发生的可能性大小是可以比较的，是可以用一个数字进行度量的。例如，在投掷一枚均匀的骰子试验中，事件A‘掷出偶数点’，B‘掷出2点’，显然事件A比事件B发生可能性要大。

对于一个随机试验，我们不仅要知道它可能出现哪些结果，更重要的是研究各种结果发生的可能性的大小，从而揭示其内在的规律性。为此，首先引入频率，它描述了事件发生的频繁程度，进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数——概率。

(一)频率

(1)定义：在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，比值

nA为事件A发生的频率，记为fn(A)。 n8 辽宁石油化工大学

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(2)频率的性质：

⑴非负性：对任意A，有1fn(A)0

⑵规范性：fn(S)1

⑶可加性：若A1,A2,,Ak是两两不相容的事件，则

fn(A1A2Ak)fn(A1)fn(A2)fn(Ak). (3)频率的稳定性：

在大量的重复试验中，频率常常稳定于某个常数，称为频率的稳定性。

通过大量的实践，我们还容易看到，若随机事件A出现的可能性越大，一般来讲，其频率fn(A)也越大。由于事件A发生的可能性大小与其频率大小有如此密切的关系，加之频率又有稳定性，故而可通过频率来定义概率。

(二)概率

(1)定义：设E是随机试验，S是它的样本空间.对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下列条件：

1.非负性：对任意A， P(A)0 2.规范性：P(S)1

3.可列可加性(完全可加性)：设A1，A2，„，是两两互不相容的事件，即对于 ij,AiAj,i,j1,2,，则有P(Ai)=P(Ai)

i1i1(2)概率的性质 ①P()0

证明：......，

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由公理1，P()P()P()，P()为非负实数，P()0

②有限可加性：若A1，A2，„，A.n两两互不相容，即AiAj(ij)，

则有P(Ai)=P(Ai)

i1nni1证明：因为Ai=Ai...，利用公理一有

i1i1nnP(Ai)P(Ai)P(A1)P(An)P()P(Ai)

i1i1i1nnn③对任意事件A，有P(A)1P(A)

证明：因为AA,AA,所以P(A)P(A)P(AA)P()1 ④P(AB)P(A)P(AB)。特别，若BA，则P(A-B)=P(A)P(B)。 证明：因为A=(AB)AB且(AB)AB=

所以P(A)=P((AB)AB)P(AB)P(AB)，即证。 推论：(单调性)若BA,则P(B)P(A)。

=P(AB)0 证明：P(A)P(B)⑤加法公式：对任意的事件A、B有：P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)

特别，若A与B互斥，则有P(AB)P(A)P(B)

证明：因为ABA(BAB)且A(B-AB)=

所以P(AB)P(A)P(B-AB)=P(A)P(B)-P(AB)(因为ABB)

例:从数字

1、

2、„、9中有放回地取出n个数字，求取出这些数字的乘积能被10整除的概率?

解：“符号化” 令A={取出的数字中含5}，B={取出的数字中含偶数}，

3n5n4n则 P(AB)1P(AB)1P(AB)1P(A)P(B)P(AB)=1nnn

999课后作业：

1、仔细阅读P1-12;

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2、作业：P29 2, 4，5，6，7，8;

3、预习P12-2

4§1.4 等可能概型(古典概型)

古典概率(其产生的源泉是古典型随机试验) 1.古典概型：一个随机试验若满足：

①样本空间中只有有限个样本点(有限性) ②样本点的发生是等可能的(等可能性)

则称该随机试验为等可能概型。它在概率论发展初期曾是主要的研究对象，所以也称为古典概型。等可能概型的一些概念具有直观容易理解的特点，有着广泛的应用。 2.古典概率的计算公式：

设古典型随机试验的样本空间S{e1,e2,...,en}，若事件A中含有

k(kn)个样本点，则称k为A发生的概率，记为 nP(A)kA包含的基本事件数。 nS中基本事件的总数3.古典概率的性质：

⑴非负性：对任意A，P(A)0 ⑵规范性：P()1

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⑶可加性：若A和B互斥，则P(AB)P(A)+P(B) ⑷P()0 ⑸P(A)1P(A)

例1：从标号为1，2，„,10的10个同样大小的球中任取一个，求下列事件的概率：A:‘抽中2号’， B:‘抽中奇数号’， C:‘抽中的号数不小于7’。

解：令i表示“抽中i号”，i1,2,10，则{1,2,3,...10}，所以

P(A)154,P(B),P(C) 101010例2：从6双不同的鞋子中任取4只，求：⑴其中恰有一双配对的概率;⑵至少有两只鞋子配成一双的概率。

解：⑴分析：先从6双中取出一双，两只全取;再从剩下的5双中任取两双，每双中取到一

12211只，则⑴中所含样本点数为C6C2C5C2C2 412211所以所求概率P=C6C2C5C2C2/C12=

16 33⑵设B表示‘至少有两只鞋子配成一双’，则：

4.1111P(B)1P(B)1-C64.C2C2C2C2/C12=

1717412112，或=[C6= C5C2C2C6]/C123333122【注】：不能把有利事件数取为C6从而出现重复事件。这是因为，若鞋子标有号码1，2，„，C2C10，

216时，C6可能取中第i号鞋，此时C10可能取中j号一双，此时成为两双的配对为(i,j);但也2存在配对(j,i)，(i,j)与(j,i)是一种，出现了重复事件，即多出了C6个事件。

例3：将n只球随机地放入N(Nn)个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限)

解：设A={每个盒子至多有一只球}

nN(N1)(Nn1)ANn

p(A)NnN例4：设有N件产品，其中有D件次品，今从中任取n件，问其中恰有k(kD)件次品的概12 辽宁石油化工大学

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率是多少?

解：设A={其中恰有k件次品} DNDknk

P(A)Nn上式即所谓超几何分布的概率公式。

例5：将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生，问(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3名优秀生分配在同一班级的概率是多少?

解：(1)设A={ 每一个班级各分配到一名优秀生}

3!12!3!CCC25p(A)4!4!4!0.2747

15!91CCC5!5!5!444128455515105 (2)设B={ 3名优秀生分配在同一班级}

312!3CCC6p(B)2!5!5!0.0659

15!91CCC5!5!5!2551210555515105例6：某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的。

(反证法)假设接待站的接待时间是没有规定的。A={12次接待都是在周二和周四进行的}

212p(A)120.0000003

7 人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上是几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。现在概率很小(只有千万分之三)的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由怀疑假定的正确性。 从而推断接待站不是每天都接待来访者。即认为其接待时间是有规定的。

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§1.5条件概率

设A、B为任意两个事件，假设事件B已发生，前面我们已经研究了P(B)，而在实际问题往往需要我们去研究此时A发生的概率，为区别起见，我们把这种情况下的概率记为P(A/B)，称为事件B已经发生条件下事件A发生的条件概率。

例1：考虑有两个孩子的家庭：{(b,b),(b,g),(g,b),(g,g)}

3 43B：‘家中至少有一个女孩’，则P(B)=

4212P(AB)而P(AB) 所以P(A/B)4

323P(B)4A：‘家中至少有一个男孩’，则P(A)=这就有了：

(一)、条件概率

1、定义：设A，B是两个随机事件，且P(B)0，称P(A/B)P(AB)/P(B)为在事件B发生条件下事件A发生的条件概率。

注：①P(B)0时，条件概率无意义。(即条件不能是不可能事件)

②P(A/)P(A)/P()P(A)。(即P(A)是特殊的条件概率)

2、条件概率亦是概率，具有概率的某些性质：

①P(/B)0

②P(A/B)1P(A/B)

③P(A1A2/B)P(A1/B)P(A2/B)P(A1A2/B)

例2：设10件产品中有3件次品，现进行无放回地从中取出两件，求在第一次取到次品的条件下，第二次取到的也是出次品的概率。

解：(符号化)令Ai表示‘第i次取到次品’，i=1,2则要求的概率为

3232P(A2/A1)P(A1A2)/P(A1)()()/

10910914 辽宁石油化工大学

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(二)、乘法公式

由条件概率的定义：P(A/B)P(AB)/P(B)P(AB)P(B)P(A/B) (P(B)0)

P(B/A)P(AB)/P(A)P(AB)P(A)P(B/A)

(P(A)0)

定理1(乘法公式)：一般地，对任意n个事件A1,...,An，若P(A1...An)>0，则 P(A1...An)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)...P(An/A1...An1) (*)

证明：因为A1A2...AnA1...An1...A1A2A1

由概率的性质4的推论(单调性)有：P(A1)P(A1A2)...P(A1A2...An1)0 又由条件概率的定义有： (*)式右=P(A1)P(A1A2)/P(A1)P(A1A2A3)...P(A1A2...An)/P(A1A2...An1)

P(A1A2)P(A1A2...An)左

例3：设袋子中有r只红球，t只白球，从中任取一球，观察颜色后放回，并加进同颜色的a个球，再到第二次，方法同上，如此进行下去，求：①第

一、二次取到红球，第

三、四次取到白球的概率

解：令Bi={第i次取到白球};Rj={第j次取到红球} 则P(R1R2B3B4)P(R1)P(R2R1)P(B3R1R2)P(B4R1R2B3)rratta trtratr2atr3a①注意这个答案只与白球及红球出现的次数有关，而与出现的顺序无关，这个模型曾被Polya用来作为描述传染病的数学模型。这是很一般的摸球模型，特别取a0，则是有放回摸球，取a1，则是不放回摸球。

例4：袋中有a只白球，b只黑球，从中任意取一球，不放回也不看，再取第二次，求第二次取到白球的概率。

解：设B={第二次取到白球},则要求P(B)

15 辽宁石油化工大学

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令A={第一次取到白球}，则A={第一次取到黑球} AA,BBB(AA)BABA且BABA

P(B)P(BABA)P(BA)P(BA)P(A)P(BA)P(A)P(BA)

aa1baa

abab1abab1ab(依次类推，第n次摸到白球与第一次摸到白球的概率相等，这就是抓阄的科学性)

(三)、全概率公式和贝叶斯公式(Bayes)

定义：完备事件组：设A1,A2,..,An是S的一组事件，若AiS，且AiAj(ij)，

i1n则称A1,A2,..,An为S的一个完备事件组或一个分割。 显然，任一事件A与A就是一个完全事件组。

定理(全概率公式)：设A1,A2,..,An是S的一个完备事件组，且P(Ai)0(i=1,2,„,n)则对任一事件B有 P(B)P(Ai)P(B/Ai)

i1n证明：由BBSB(Ai)AiB且(AiB)(AjB)(AiAj)B,ij

i1i1nnAiB)P(AiB)P(Ai)P(BAi) 由有限可加性及乘法公式有P(B)P(i1i1i1nnn例5：某工厂有三个车间生产同一产品，第一车间的次品率为0.05，第二车间的次品率为0.03，第三车间的次品率为0.01，各车间的产品数量分别为2500，2000，1500件，出厂时，三车间的产品完全混合，现从中任取一产品，求该产品是次品的概率。 解：设B={取到次品}，Ai={取到第i个车间的产品}，i=1,2，3 则有A1A2A3S，且A1A2，A1A3，A2A3 利用全概率公式得

P(B)P(Ai)P(BAi)P(A1)P(BA1)P(A2)P(BA2)P(A3)P(BA3)

i1316 2500200015005%3%1%3.3% 600060006000辽宁石油化工大学

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定理 贝叶斯公式(Bayes)(逆全概率公式)：设A1,A2,..,An是S的一个完备事件组，且P(Ai)0(i=1,2,„,n)。若对任一事件B，P(B)>0， 则有：P(Aj/B)P(Aj)P(B/Aj)P(A)P(B/A)iii1n j=1,2，„，n 证明：由条件概率公式P(AjB)P(AjB)P(B)P(Aj)P(BAj)P(A)P(BA)iii1nj1,2.,n

例6：某机器由A、B、C三类元件构成，其所占比例分别为0.1，0.4，0.5，且其发生故障的概率分别为0.7，0.1，0.2。现机器发生了故障，问应从哪个元件开始检查? 解：设D‘发生故障’;A‘元件是A类’;B‘元件是B类’;C‘元件是C类’ 则 P(D)P(A)P(D/A)P(B)P(D/B)P(C)P(D/C)

0.10.70.40.10.50.20.21

所以P(A/D)=P(AD)P(D)=7/21;P(B/D)=4/21;P(C/D)=10/21， 故应从C元件开始检查。

例7：对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少?

解：设A={产品合格} B={机器调整得良好} 已知 P(A)0.9,P(A)0.3,P(B)0.75P(B)0.25 BB由贝叶斯公式

P(A)P(B)BP(B)AP(A)P(B)P(A)P(B) BB0.90.750.90.90.750.30.25

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这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整良好的概率是0.9，概率0.75是由以往的数据分析得到的，叫做先验概率。而在得到信息(即生产出的第一件产品是合格品)之后在重新加以修正的概率(即0.9)叫做后验概率。有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解。

例7：医学上用某方法检验“非典”患者，临床表现为发热、干咳，已知人群中既发热又干咳的病人患“非典”的概率为5%;仅发热的病人患“非典”的概率为3%;仅干咳的病人患“非典”的概率为1%;无上述现象而被确诊为“非典”患者的概率为0.01%;现对某疫区25000人进行检查，其中既发热又干咳的病人为250人，仅发热的病人为500人，仅干咳的病人为1000人，试求：

(1)该疫区中某人患“非典”的概率;

(2)被确诊为“非典”患者是仅发热的病人的概率。

A{既发热又干咳的病人}，B{仅发热的病人}，}，D{无明显症状的人}解：(1)设 C{仅干咳的病人则易知A，B，C，D构成了一完备事件组，由全概率公式得：

P(E)P(A)P(E/A)P(B)P(E/B)P(C)P(E/C)P(D)P(E/D)2505001000232505%3%1%0.01%0.00159325000250002500025000

E={确诊患了“非典”}

(2)由贝叶斯公式知：

5003%P(B)P(E/B)25000P(B/E)0.37665P(E)0.001593

全概率公式和Bayes公式是概率论中的两个重要公式，有着广泛的应用。若把事件Ai理解为‘原因’，而把B理解为‘结果’，则P(B/Ai)是原因Ai引起结果B出现的可能性，P(Ai)是各种原因出现的可能性。全概率公式表明综合引起结果的各种原因，导致结果出现的可能性的大小;而Bayes公式则反映了当结果出现时，它是由原因Ai引起的可能性的大小，故常用于可靠性问题。18 辽宁石油化工大学

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如：可靠性寿命检验、可靠性维护、可靠性设计等。 课后作业：

1、仔细阅读P12-25;

2、作业：P32 26, 27, 28, 29, 34;

3、预习P25-28

§1.6 独立性

一般来说，P(A/B)P(A),P(B)0)这表明事件B的发生提供了一些信息影响了事件A发生的概率。但是有些情况下，P(A/B)=P(A)，从这可以想象得到这必定是事件B的发生对A的发生不产生任何影响，或不提供任何信息，也即：事件A与B是‘无关’的。从概率上讲，这就是事件A、B相互独立。

1.定义：若两事件A，B满足P(AB)P(A)P(B)，则称A与B相互独立。 注：①定义中，当P(B)0或P(B)1时，仍然适用，即,与任何事件相互独立;

②事件的独立与事件的互不相容是两个不同的概念：前者是相对于概率的概念，但可以同时发生;而后者只是说两个事件不能同时发生，与概率无关。

例1：投掷两枚均匀的骰子一次，求出现双6点的概率。

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解：设 A‘第一枚骰子出现6’;B‘第二枚骰子出现6’ 则P(AB)P(A)P(B)111 6636我们知道，对于分别掷两颗骰子，其出现6点相互之间能有什么影响呢?不用计算也能肯定它们是相互独立的。在概率论的实际应用中，人们常常利用这种直觉来肯定事件的相互独立性，从而使问题和计算都得到简化，但并不是所有的问题都是那么容易判断的，看下面一个例子：

例2：一家中有若干个小孩，假定生男生女是等可能的， 令A={家中男、女孩都有}，B={家中至多有一女孩} ①考虑三个孩子的家庭：

(b,b,b),(b,b,g),(b,g,b),(g,b,b),(g,b,g),(g,g,b),(b,g,g),(g,g,g)， 则P(AB)3/864P(A)P(B)A、B相互独立。 88②考虑两孩子的家庭：

(b,b),(b,g),(g,b),(g,g)，

则P(AB)2/4，P(A)2/4，P(B)3/4，P(AB)P(A)P(B)A、B不相互独立。

定理1：若P(B)>0，则A、B相互独立P(A/B)=P(A)。 结论：若A、B独立，则A与B， A与B，A与B也相互独立　。例3：甲、乙二人同时向同一目标射击一次，甲击中率为0.8，乙击中率为0.6， 求在一次射击中，目标被击中的概率。

解：设A={甲击中}，B={乙击中}，C={目标被击中}，则C=AB P(C)P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B) 0.80.60.80.60.92

或P(C)1P(C)1P(AB)1P(AB)1P(A)P(B)1(10.8)(10.6)0.92

思考：若P(A)>0，P(B)>0，且P(A/B)P(A/B)1,则A、B相互独立。

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2.多个事件的独立

定义1：对于三个事件A、B、C，若下列四个等式同时成立

P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)， P(ABC)=P(A)P(B)P(C)， 则称A、B、C相互独立。

注：①对于两个以上的事件时，事件的两两独立不能推出总起来相互独立。

反例1：有四张同样大小的卡片，上面标有数字，从中任抽一张，每张被抽到的概率相同。分析：令Ai={抽到卡片上有数字i}, i=1,2,3，则： P(Ai)=2/4=1/2，即P(A1)=P(A2)=P(A3)

而P(A1A2)=1/4=P(A1)P(A2);P(A1A3)=1/4=P(A1)P(A3); P(A2A3)=1/4=P(A2)P(A3)

可见Ai两两之间是独立的，但是总起来看P(A1A2A3)1/4P(A1)P(A2)P(A3)1/8 并不相互独立。

②对于两个以上的事件时，总起来相互独立也不能推出事件的两两独立。

反例2：八张同样大小的卡片，任抽一张。 分析：P(Ai)4/81/2,i1,2,3.P(A1A2A2)1/8P(A1)P(A2)P(A3) 但P(A1A2)3/8P(A1)P(A2)

因此对多个事件的独立性要求比较严格。

定义2：对任意n个事件，A1,A2,..,An， 若： P(AiAj)P(Ai)P(Aj),1ijn

P(AiAjAk)P(Ai)P(Aj)P(Ak),1ijkn

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

P(A1A2...An)P(A1)P(A2)...P(An)(共2nn1个式子) 均匀成立，则称A1,A2,..,An相互独立。

例4：用步枪射击飞机，设每支步枪命中率均为0.004，求：①现用250支步枪同时射击一次，飞机被击中的概率;②若想以0.99的概率击中飞机，需要多少支步枪同时射击? 解：①Ai‘第i支击中’,则要求P(A1A2...An) 而P(A1A2...An)1P(A1A2...An)1P(A1A2...An)

1P(A1)P(A2)...P(An) =1-0.9962500.63 ②由10.996n0.99n1150

五、独立性在系统可靠性中的应用

元件的可靠性：对于一个元件，它能正常工作的概率称为元件的可靠性。 系统的可靠性：对于一个系统，它能正常工作的概率称为系统的可靠性。

例5：设构成系统的每个元件的可靠性均为r，0r1且各元件能否正常工作是相互独立的，求下面附加通路系统的可靠性：

解：每条通路正常工作，当且仅当通路上各元件 正常工作，其可靠性为

RcP(A1A2...An)P(A1)P(A2)...P(An)rn，即每条通路发生故障的概率为1rn; 由于系统是由两条通路并联而成，则两通路同时发生故障的概率为(1rn)2， 所以上述系统的可靠性为Rs1(1rn)2rn(2rn)Rc(2Rc)Rc2Rc，

2Rc1RsRc

故附加通路能使系统的可靠性增加。

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课后作业：

1、仔细阅读P25-28;

2、作业：P32 30, 31, 32, 33;

3、预习P34-44 23

第四篇：第9章第一章统计学案例分析案例解答

第9章案例解答

1、为什么我们的感受与国家统计局公布的CPI不一致?

答：我们的感受与国家统计局公布的CPI不一致，原因有以下几方面：第一，由于我国城乡人口有13亿，这13亿消费者中有乡村居民有城市居民，有收入高的也有收入低的，有生活在东南沿海的居民也有生活在内地的居民，所以我们说CPI是13亿人平均水平的CPI。因而，当某个人谈对CPI的感受时是他(她)的个体感受，个体感受肯定会与平均水平的CPI有差异。打个比方，我国有世界是最高的高原─青藏高原，有世界海拔最高的山峰─珠峰，而东南沿海大多地区海拔较低。那么，如果您生活在东南沿海就会感到平均海拔高了，而如果您生活在青藏高原就会感到海拔低了;第二，国家统计局公布CPI时，公布的大多是总指数和类指数，因此消费者作比较时，一般是用自身感受的某种具体商品或服务项目价格的变动情况与CPI总指数或某类指数比较，从而得出CPI走势与感受不一致的结论。比方说，国家统计局公布的某月份CPI同比上涨1.5%(但居住类商品和服务项目却上涨了5%)，如果这段时间您正好装修房子，买的建筑材料价格上涨了许多，当您看到1.5%的价格涨幅时，肯定感到国家统计局公布的CPI低了;第三，不希望价格上涨的潜意识在起作用。我们每个人都希望自己的生活蒸蒸日上、日子一天比一天好，因此总是希望市场价格不涨或者下降才好。在这种愿望下，一种情况是我们一般对市场上商品或服务项目价格的下降不敏感或者没什么反映，但对商品或服务项目价格的上涨比较敏感(比如说前几年来，猪肉、鸡蛋的价格下降不少，大家没什么反映，而对医疗服务项目价格上涨较多反映强烈);另一种情况是，有些商品价格下降很大，但大家日常生活中不常消费这些商品，所以对这些商品价格的下降就不敏感，而对我们日常生活中经常消费的商品或服务项目价格的上涨反映强烈(比如说，近几年来手机、彩电大幅度降价，但这些商品我们不经常消费，所以就不敏感，而水、电、燃气价格大幅度上，而这些商品我们天天要消费，所以我们感受强烈);第四，收入水平和消费水平的不同导致了对价格指数感受的不同。改革开放以来，我国的国民经济有了巨大发展，人民生活水平也有了极大提高，但高收入者毕竟只是少数，绝大多数城乡居民收入水平和消费水平还不高。一般来说，收入水平和消费水平的高低会造成对价格指数感受的差异。高收入者消费水平高消费内容广，对价格上涨的承受能力强;反之，低收入者消费水平低、消费面窄，收入主要用于吃、穿、医疗和子女的教育等方面上，对价格上涨的承受能力低。近几年来，一些生活必需品不断涨价，因此低收入者居民反映敏感，感觉实际消费价格上涨的幅度应该比公布的CPI数据高。

2、我们的日常感受与国家统计局公布的CPI不一致属正常吗?

答：实事求是地说，居民的日常感受与国家统计局公布的CPI不一致是很正常的。首先，CPI反映的是居民用于消费支出的一揽子商品、服务价格在一定时期的综合平均水平。国家统计局公布的CPI是对全国各地、各类商品和服务价格的整体情况的反映，是通过对成百上千种不同的代表性商品或服务项目的价格变动进行加权平均计算出来的，反映了各类商品或服务项目的总体价格的平均变动情况。其中，既有高档的商品或服务，也有低档的商品或服务，更多的是中档的商品或服务。所以CPI常常会与某个地方、某个人对某种商品价格的具体感受不一致;其次，必须看到也有我们的统计本身的体制原因，公众感受涨得比较高的一些价格，比如资产价格、房地产价格，本身不在CPI构成内，这就必然使个别感受与总体平均状况存在差异;再次，由于各个居民家庭的消费结构及其支付模式不尽相同，每个家庭用于某类支出的比重也不同，因而对不同商品及服务价格变动的承受能力和实际感受就会有一定差异，使得同样的价格变动对不同居民家庭的实际影响是不一样的。

3、上述媒体在报道时犯了什么错误?

答：上述媒体在报道时犯了偷换比较对象的逻辑错误，也就是用总指数与个体指数相比。实际上，价格统计表明，虽然中国2000年以来CPI的涨幅不高，但水、电、煤气价格却是大幅度上涨。作者把价格上涨与生活压力混为一谈也是错误的，因为价格上涨不是生活压力大的唯一原因。所以，我们在使用价格指数时，一定要了解各种价格指数的内涵，正确地运用价格指数，以免发生误解。在实际使用中，如果要了解消费的商品、服务项目涨价了多少，就要看CPI的细项，比如关心自来水的价格涨了多少，就要看国家统计局公布的CPI中的水价涨了多少。

第五篇：第一章 周易基础

第一章

周易基础

一、周易释名

《周易》又称《易》，是一部古代占筮(shì)用书，又是一部关于宇宙变化的古代哲学名著，汉以后尊为《易经》，位列儒家群经之首。

《周易》是一部古代筮书。古时人以为自然界和人世间事物的发展变化，在冥冥之中有一种神奇的决定性力量在支配，人可以通过卜筮而预知吉凶趋避。所以，每当遇事不能决定如何处理，常以龟甲占卜，以蓍(shī)草(锯齿草)占筮，根据卜筮的结果判断如何趋吉避凶。近代安阳殷墟出土的甲骨卜辞是以龟甲占卜的记录，古代三易——夏代《连山》、商代《归藏》、周代《周易》则是以蓍草占筮的记录。今仅存《周易》。古代占筮和后来寺院庙堂对“灵签簿”没有本质的不同。

《周易》又是一部古代哲学著作。为什么命名为《周易》?“周”，一说周普，一说周代;一说“易”是飞鸟的形象，一说“易”是蜥蜴的形象，飞鸟的姿态和蜥蜴的颜色都不时变化，用以象征宇宙事物的千变万化。也有的说，“易”由“日”“月”二字组成，日为阳，月为阴，用以象征宇宙的阴阳二元。东汉经学家郑玄认为，《周易》的“易”有“变易”、“不易”、“简易”三种含义：自然界和人类社会的万事万物都在不停变化，所以说“变易”;宇宙变化有一定的法则，所以说“不易”;宇宙变化的法则可以认识、遵循、运用，所以说“简易”。简而言之，《周易》又是一部古老的关于宇宙变化的充满哲理的哲学著作。

我们现在读《周易》，不是把它当作筮书来用，而是把它当作古老的哲学著作和珍贵的社会史料，从中了解古代智慧与社会。

二、周易体例

1、 易经和易传

《周易》包括《易经》和《易传》两部分。 (1)《易经》。

《易经》有卦画和文字两部分。

卦画：基本卦画或卦形是“—”(阳)和“- -”(阴)两个符号，《易㻏》中的全部卦象都由阴阳两个符号构成。两个符号连为三叠而成八卦;八卦一卦自重或两卦互重，构成六十四卦。每卦有六画，一画为一爻，“—”(阳)画为阳爻，“- -”(阴)画为阴爻;六十四卦共有三百八十四爻。

文字：经文。由卦辞和爻辞组成。一共四百五十条，四千九百多字。

(2)《易传》。

《易传》是对《易经》的解说和论述。

由于《易经》文字简约古奥、晦涩难解，东周以后逐渐出现了七种十篇对它的解说，称为《易传》，也称《十翼》。翼有辅助之意。人们以《易传》十篇为辅助《易经》之作，故名为《十翼》。

《十翼》：《彖(tuàn)》上下，《象》上下，《系辞》上下，《文言》，《序卦》，《说卦》，《杂卦》。

《彖》上下解释卦和卦辞，断定卦和卦辞的基本观念。

《象》上下解释卦爻的象征意义，分卦象和爻象。解释卦的象征意义称“大象”，通常的方式是结合卦辞解释上三画象征什么，下三画象征什么，二者重叠又象征什么。解释爻的象征意义称“小象”，通常的方式是结合爻辞解释爻的基本观念。

《系辞》上下总论《易经》的基本意义，将《易经》由卜筮上升到哲学。

《文言》解释乾坤两卦的卦辞和爻辞，将这两卦的《彖》和《象》作进一步的推衍和解说，着重阐扬儒家的伦理道德思想。

《说卦》总说八卦所象征的物象及其重叠推衍成六十四卦的原理。 《序卦》对六十四卦排列顺序的说明。 《杂卦》杂论卦与卦之间的关系，将性格相反、性格交错的两卦并列，论述刚柔相济的道理。

历代都有人解说《易经》，《易传》是最古老的、系统的、有参考价值的解说。

2、 卦爻

(1)卦。

八卦：阴(- -)阳(—)符号中的一个自重为三叠，或两个符号一多一少互连为三叠，所形成的八种形状。

八卦的形状和名称依次是：乾、坤、震、巽(xùn)、坎、离、艮、兑。记忆口诀：“乾三连，坤三断，震仰孟，巽下断，坎中满，离中虚，兑上缺，艮覆碗。”

八卦的象征意义依次是：天、地、雷、风、水、火、山、泽。

八卦的阴阳奇偶：八卦依次分为四组：乾(卦一)坤(卦二)，震(卦三)巽(卦四)，坎(卦五)离(卦六)，艮(卦七)兑(卦八)。每组一阳一阴，单数卦为阳类，偶数卦为阴类。

六十四卦：八卦一卦自重或两卦互重，又构成六十四卦。 六十四卦各有一个名称，自重的用原名，互重的另起名。 六十四卦分编为上下经，上经三十卦，下经三十四卦。

上经三十卦依次是：乾、坤、屯(zhūn)、蒙、需、讼、师、比、小畜(xù)、履、泰、否(pǐ)、同人、大有、谦、豫、随、蛊(gǔ)、临、观、噬嗑(shìhé)、贲(bì)、剥、复、无妄、大畜、颐、大过、坎、离。

下经三十四卦依次是：咸、恒、遯(dùn)、大壮、晋、明夷、家人、睽(kuí)、蹇(jiǎn)、解、损、益、夬(guài)，姤(gîu)，萃，升，困，井，革，鼎，震，艮，渐，归妹，丰，旅，巽(xùn)，兑，涣，节，中孚，小过，既济，未济。

(2)爻。

每卦有六画，一画为一爻。“—”(阳)画为阳爻，“- -”(阴)画为阴爻。六十四卦共有三百八十四爻。

每卦六爻都有名称。阳爻称“九”，阴爻称“六”。六爻自下而上分别称初、

二、

三、

四、

五、上。初、上在

九、六的前面，如初

九、上六;

二、

三、

四、五在

九、六的后面，如九

二、六三。

六爻位置分阴阳。自下而上，奇数为阳，偶数为阴，即第

一、

三、五位为阳，第

二、

四、六位为阴。

(3)卦辞和爻辞。 卦有卦辞，爻有爻辞。

卦辞定义每卦的意义，一共六十四条。 爻辞定义每爻的意义，一共三百八十六条。 高亨《周易筮辞分类表》将卦爻辞分为四类：

(1)记事，包括记叙古代故事，记录占筮，直叙某事。 (2)取象，用具体的事物表达抽象的道理。 (3)论说，提出作者的思想主张。数量较少。

(4)断占，向占筮者论断休咎。如同抽签，抽到哪根签就看与哪根签相对应的文辞，该文辞断吉凶福祸，解逢凶化吉、福禄如意之道。

3、 阴阳五行

(1)阴阳。

原初含义：背日为阴，向日为阳，引申为寒暖、暗明等。 《说文》：“阴者见云不见日，阳者云开而见日。” 后用以指两种互相对立的气或气的状态。

进而抽象为一切事物的两个互相对立的方面或属性，成为具有哲学意义的概念。《老子》：“万物负阴而抱阳。”《易传》：“一阴一阳之谓道。” 《易经》中无“阳”字，“阴”字仅一见。

《易传》中“阴阳”对举凡十六见，均为抽象概念;单独各三见。

(2)五行。

《尚书·洪范》最早提出金、木、水、火、土之“五行”，又称“五材”。 西周末年史伯提出“以土与金、木、水、火杂，以成万物”。 春秋末年史墨提出“水胜火”。墨家提出五行交胜说和相丽说。邹衍提出五德终始说，认为历史按照土、木、金、火、水的顺序终而复始地运行。

汉代董仲舒提出五行相生说。

三、周易作者和成书年代

1、 《易经》是何人作于何时

这个问题在先秦时代已经是个疑案，至今尚无定论。

关于卦画。相传八卦始于伏羲氏这个无可信考的传说人物。传说伏羲开天辟地，太极开而生八卦。又相传神农氏、夏禹将八卦演为六十四卦。《系辞下》。司马迁《史记·周本纪》说周文王“益《易》之八卦为六十四卦”，也没有说出什么根据来。

有一点可以肯定：“—”“--”符号产生在有文字以前。近年来，从殷虚甲骨、周原甲骨、西周青铜器、湖北江陵天星观楚简，以及江苏海安县清墩遗址出土的骨甲柶(sì)和鹿甲枝，都发现一种由六个数字组成的符号。1980年，李政烺(lǎng)教授公布研究结果，肯定这些符号就是原始卦爻形式。这是考古界的重要成果之一。由此推论，《易经》的卦画不过是原始社会沿传下来的占筮的标记而已。

关于卦辞爻辞。是否周文王所作，成于战国时期的《系辞下》持存疑态度。司马迁《太史公自序》、《日者列传》却持肯定态度。班固《汉书·艺文志》及以后的汉儒大都承袭此说。对这些说法，历代都有人怀疑。二十世纪二十年代末至三十年代，以及六十年໣初，我国学术界曾就《周易》作者和时代问题展开了两次较大规模的讨论，仍然迄今无定论。

现在比较普遍的看法是： 其一，《周易》是周代筮书，非一时之作，非一人之作; 其二，《周易》是西周初年在夏代筮书《连山》、商代筮书《归藏》的基础上重新编选和修定而成;

其三，《周易》主要作者是太卜或筮史，具体无考。

2、 《易传》的作者和年代

这个问题也是两千多年来不断讨论的问题。 汉唐儒家学派认为《易传》是孔子所作。 司马迁《史记·孔子世家》。 班固《汉书·艺文志》。

“周易三圣”说。即伏羲画卦、文王作卦爻辞、孔子作十翼。

“周易四圣”说，即伏羲画卦、文王作卦辞、周公作爻辞、孔子作十翼。 北宋欧阳修著《易童子问》，开始怀疑伏羲画卦、文王作卦爻辞，但仍然肯定孔子作《十翼》。

清代姚际恒著《易传通论》，康有为著《新学伪经考》，断言《易传》全非孔子所作。这一说法得到拥护。

二十世纪二三十年代、六十年代、八十年代三次《周易》大讨论，主要有两方面的论点。(1)沿袭司马迁的记载和观点。如范文澜、任继愈、匡亚明、郭沫若。(2)否定孔子的著作权。如冯友兰、李镜池、钱玄同、高亨。

斟酌取舍，《易传》基本上成书于春秋末年至战国后期，再经西汉学者编订，不成于一人，不成于一时。具体来说，《彖》上下大约产生在春秋末期，《象》上下大约完成于战国中晚期，《系辞》上下大约形成于春秋末至战国晚后期，《文言》大约作于战国晚后期，《说卦》、《序卦》、《杂卦》约为西汉前期所补充。

四、周易研究

1、 版本

现传版本有两个。

一是通行的《十三经注疏》收的《周易》本，分上、下经，上经始于乾卦，终于离卦，共三十卦;下经始于咸卦，终于未济卦，共三十四卦。

二是长沙马王堆三号汉墓出土的抄写于汉文帝初年的帛书本，首卦为乾，次卦为否，终于益卦，经、传分开，与传世各家《周易》均不同，是现存《周易》中最早的别本。

2、 注本

古今解《易》者多达数百家，影响较大和具有特色的注本有：魏王弼、晋韩康伯《周易注》，唐孔颖达《周易正义》，唐李鼎祚《周易集解》，宋程颐《伊川易传》，宋朱熹《周本义》等。

3、 易学史

(1)先秦原始《周易》。

先秦《易经》和《易传》各自分立，无《周易》或《易》，只有《易经》。 战国魏襄王墓出土竹书《周易》，分上、下篇，只有经，没有传。 1973年湖南长沙马王堆三号汉墓出土帛书《周易》，有经，另外有部分传。 先秦已经有对《易》象的解说和研究。《易传》更是战国时期《易》学研究资料的汇编。 秦代焚书，《周易》因为是筮书，不在被焚之列，得以完整保存和流传。

(2)汉儒象数学派。

象数是《周易》中象与数的合称。象指图象、形象、象征，有卦象、爻象两类。数指气数，即阴阳五行生克制化之理决定的自然、人类、社会的命运，如《易传》讲的天地之数、大衍之数。

易学学派分为两大派：象数学派和义理学派。象数学派是以图象和数解说《周易》，阐发《周易》象数的学派。主要代表汉代有孟喜、京房、焦赣等人，宋代有陈抟(tuán)、邵雍、周敦颐、刘牧等人，其特点是借象数立论，常常流于附会，与方士术数有种种关系。

汉代重视《易经》占筮，重视《易传》哲学和社会政治思想，易学相应发达。 西汉，《周易》尊为“群经之首”。《汉书·艺文志》记录有十三家易学流派。孟喜、京房、焦赣等今文易学立为博士，成为官学;费直、高相等古文易学未立学官，在民间流传。今文易学重在象数。或严守师法，章句趋向烦琐;或讲阴阳灾异，融入方士术数;或二者兼之。古文易学重在义理，无章句，根据《易传》解说经意，在民间广为流传。

东汉，今文易学与谶纬迷信结合，逐渐衰微，大儒都学费氏《易》;郑玄《周易注》基本依据费氏《易》，并开始把《易传》中的《彖》和《象》同经文编在一起(即在各卦卦辞后面附《彖》和《象》，在各爻爻辞后面附《象》)，同时吸取今文易学的象数之论，实施经传合并、今古文合流。以后又陆续有人把《文言》附在《乾卦》和《坤卦》后面，把《系辞》上下、《说卦》、《序卦》、《杂卦》附在整个经文的后面。

汉魏之际，《周易》已经包括《易经》和《易传》。

(3)魏晋玄学派。 魏晋玄学兴盛。

魏王弼和晋韩康伯依费氏旧本，吸取老庄学说，援道入儒，将《十翼》分开与《易经》合为一书，成《周易注》。《周易注》渐次取代汉儒诸家易学，与《老子》、《庄子》合称“三玄”。

入唐后，孔颖达为之《正义》，颁为官方定本，并成为通行《十三经注疏》所收之本。该书的出现，是易学史上的一个转折点。它从易学中廓清了汉代灾异谶纬等迷信内容，把道家玄理融进儒家哲学，开后世易学义理派先河。

(4)宋学图书学派和义理学派。

宋学反汉学，易学也大变。学者众多，派别众多，但主要是图书学派和义理学派。 图书学派是特别推崇河图与洛书，以河图与洛书为《周易》的根源，并以这两个图式来解释《周易》原理的象数易学派。

图书学派的创始人是宋初道士陈抟。他融合儒道佛，创作《易龙图》。《系辞上》：“河出໣，洛出书，圣人则之。”伏羲、黄河、龙马、龙图;夏禹、洛水、神龟、纹书。图书学和图书学派即由“河图洛书”而得名。

图书学派有三家。(1)以邵雍《先天八卦图》、《后天八卦图》为代表的“先天图学”。(2)以周敦颐《太极图说》为代表的“太极图说”。(3)以刘牧《易数钩引图》为代表的“河图洛书学”。

义理学派是专主阐发《周易》哲学大义，与卜筮易和象数易相对的易学学派。历代代表人物和代表作有先秦孔子《易传》，魏晋王弼《周易注》，宋代程颐《伊川易传》、朱熹《周易本义》等。

(5)现代易学。

尚秉和《周易尚氏学》。 高亨《周易古经今注》、《周易大传今注》。 李镜池《周易通义》。 朱伯昆《易学哲学史》。