混沌系统的脉冲控制与同步研究

2022-12-05

如今, 脉冲控制混沌同步方法已受到广泛的重视, 并取得了一定程度的进展, 但应当注意的是, 其在实际系统中的应用仍多多少少受到一定程度的限制。鉴于此, 本文重点就混沌系统的脉冲控制与同步进行了研究。

1 混沌系统的相关概述

通常而言, 对于混沌系统而言, 其可被通过以下多项式进行描述:

其中, x (t) =[x1, x2, …, xn]T∈Rn, 而A (x (t) ) 为x (t) 相关的多项式矩阵, 为N×1维的一个列向量, 而所有有关x (t) 单项式为其元素, 当且仅当x (t) =0时, 其符合假设x軇 (x (t) ) =0。

为了对混沌系统进行有效的控制, 本文借助了脉冲控制器, 其不仅结构简单, 而且容易实现, 其可在离散脉冲时刻进行控制, 从而实现了连续系统状态的改变。我们假定离散时间的序列{tk}满足如下条件:0

由于在离散脉冲tk时刻时状态变量会跳变, 因此, 受到控制的混沌系统可采用如下方式进行表述:

2 结果分析

为了上文所提到的目标, 提出了如下方面的定理:以多项式模型为基础的混沌系统渐近稳定, 若有常数α>0, 1>βk>0以及γ>1, 则对称矩阵P∈RN×N符合如下几个条件:v1T (P-ε1 (x) I) v1是SOS;-v2T{AT (x) TT (x) P+PT (x) A (x) -αP}是SOS;-v3T{ (I+Bk) TP (I+Bk) -βkP}v3是SOS;α△k+ln (γβk) ≤0。其中, v1、v2及v3———同x相独立的任意向量, △k=tk+1-tk———脉冲间距, T (x) ∈RN×n———多项式矩阵。若x≠0, 则ε1 (x) >0, 若x=0, 则ε1 (x) =0。

其证明过程如下:首先, 选取以下条件的Lyapunov函数:。首先, 确保矩阵P为正定的, 因此, 在x≠0时, V (t) >0。此时, t∈[tk-1, tk], k∈N, 经混沌系列轨迹求导得:

对于定理而言, 若所有k∈N均对应△k=△和βk=β, 则第四个条件可简化为:α△+ln (γβ) ≤0。这表明所选脉冲控制增益是常矩阵, 也就是说Bk=B, 而脉冲间距△=tk-tk-1是正常数。此选取方式对于脉冲控制器的有效控制较为有利。此外, 还可根据上文求出脉冲间距△上界估计值:。而脉冲间距越大说明脉冲控制频率越低, 控制过程的能耗较小, 可以有效降低计算量, 且易于实现。但是α与β不可以任意进行取值, 其还要满足定理的要求。因而可采用如下算法进行确定: (1) 初始化的α应大于0, 而1>β>0; (2) 以定理为依据在SOS条件下对矩阵P进行求解; (3) 若P存在, 可设β=β-△β; (4) 假设α=α-△α, 且将β重置为初始值; (5) 若α, β均为初始值, 则算法失败, 退出。

3 数值的仿真

通过如下实例来对上文所提出的方法进行验证。仿真过程采用的是Runge-Kutta算法对脉冲方程进行了求解, 步长选取的是0.001s。而脉冲增益矩阵以及脉冲间距等的选择以定理及算法为依据。Lorenz系统如下:

其中, ɑ、b、c均为系统的参数, 若ɑ、b、c分别取值10、28及8/3时, 此系统处于混沌状态。脉冲增益矩阵的选择如下:Bk=B=diag ([-0.8, -0.5, -0.7]) , 则经计算可求出α=25, β=0.4。

其脉冲间距, 由仿真结果可知, 其状态的初始值x=[-2.5, 2, 2]T。若采用T-S模糊模型及LMI优化算法可得最大脉冲间距值为0.0014s, 本文结果为其的25倍。

4 结语

本文以混沌系统的多项式模型为基础, 提出了一种SOS脉冲控制法, 结果发现, 此脉冲控制方法使得混沌系统状态逐渐趋于稳定, 此外, 还提出了一种迭代算法, 因而得出了脉冲间距上界估计值。经仿真实验结果可知:同LMI优化算法相比, SOS脉冲控制法的结果所得到的脉冲间距更大, 因而较大程度地降低了系统的保守性。

摘要：近些年来, 随着混沌同步研究的不断深入, 其应用逐渐由物理领域扩展到了生物、信息及保密通信等多个领域, 因而应用前景十分广阔。鉴于此, 本文重点就混沌系统的脉冲控制机同步进行了研究, 希望能为推动混沌同步研究的不断发展略尽绵力。

关键词：混沌系统,脉冲控制,同步