单缝衍射明条纹中心的准确位置

通过基尔霍夫衍射积分公式可以得到夫琅和费单缝衍射光强的准确分布。由于该方法比较复杂, 在大学工科物理教学中, 一般很少使用, 而是采用较为简单的菲涅耳半波带法或者旋转矢量法。但是这两种方法得到的结果是不准确的。

本文以旋转矢量法为基础, 建立新的数学模型, 用较为简单的方法求得各级衍射明条纹的中心的准确分布。

1 传统旋转矢量图解法及其不足

设一束平行光入射单逢, 缝宽为a, 入射光波长λ, 衍射光路如图1所示。

将单缝处波面AB沿缝宽方向分成一系列等宽的狭长波带, 即图中的A A1, A1A2, A2A3等。设缝上露出波面被分成的波带数为n。显然αsinφ=BC=nλ/2。由于各波带等宽, 可认为每个波带对屏上任一点P的振幅相等。而任意两相邻波带上对应点到P点的光程差相等, 那么对应子波到达P点的位相差也都相等。我们要求得P点的光强, 即是各个波带引起光振动在P点的矢量和。按照旋转矢量法, 各波带引起的振动矢量叠加, 将构成一正N边形的一部分。当分割的份数n足够多, 即是n→∞时, 将构成一段圆弧。我们求得的明纹中心位置, 即是当这段圆弧首末正好构成一个半圆时在屏上所对应的点。由此我们求得明纹中心的位置满足公式

这里选择正好构成半圆的情况作为极值条件, 是因为圆中最长的弦就是直径。但是这里忽略了一个问题, 在衍射角φ增大的过程中, 光振动矢量构成的圆的半径实质上在连续的变小。考虑到这种情况, 明条纹的中心位置将不是对应旋转矢量构成半圆的地方, 而是应该更靠前一点。

2 建立新的数学模型

我们可以用这样一个情况来形象的表示旋转矢量法的求解过程:

用一根定长的绳子绕圈, 求衍射明条纹中心位置, 即是求绳始末位置连线的极值条件。

在这里总的绳长就相当于狭缝所包含的光束的总光强, 也就是对应于总的振幅。它是一个定值, 对应于绳长固定。衍射角φ即是绳总共绕过的角度。绳长固定的情况下, 它绕成的圆的半径会随着φ变大而减小, 最后我们所求的屏上某点光强就等效于求始末位置的距离。

我们可以用图2来表示这个模型。

图2中, A为起点, D为末点, A D即为振幅叠加后的结果, 用b来表示, 夹角用θ来表示, 它表示绕过N圈之后的夹角。绳长即是振幅a, 我们用这样一个式子表示:

(N为正整数) (1)

而分振幅叠加后的总的矢量和b表示为:

我们所求的明纹中心即是满足 (1) 式的条件下 (2) 式的极值条件。即是求解:

由图1可以得到: (4) 考虑到绳子绕过N圈, 因此图1中的衍射角φ跟图2中的θ角有如下关系:

这里我们定义。

(3) 式没有解析解。用计算机编程进行数值求解, 很容易求出θ的各个取值。结果如下:

3 结语

从以上讨论可以看出, 旋转矢量法最简单, 但只能粗略的计算出明条纹的中心位置。积分法结果最准确, 但计算过程很复杂。而我们在旋转矢量法的基础上适当的加以修正, 简单直观, 易于理解。计算出的各级明条纹极大值分布位置也非常精确。

摘要：对于夫琅和费单缝衍射, 我们一般可以用半波带法或者旋转矢量法求解其衍射条纹分布。这两种方法较为简单易懂, 但是得到的结果不够精确。本文将用对旋转矢量法做出适当修改, 求解夫琅和费单缝衍射条纹的准确分布。

关键词：夫琅和费单缝衍射,旋转矢量法,菲涅耳半波带法

参考文献

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[2] 王红梅, 黄琳, 王智民.用半波带法研究夫琅和费单缝衍射[J].陕西师范大学学报, 1997, 25 (2) :107～108.

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