钟表指针夹角的计算

【问题引入】

钟表指针 (时针与分针) 夹角问题是初中数学中比较常见而又棘手的问题。教学时, 我们往往采取数形结合的办法先画出图形, 再根据具体的数据, 经过观察容易得出整点、半点时指针的夹角度数。然而, 倘若要求出任意时刻时针与分针的夹角, 比如7点过4分这一时刻时针与分针的夹角, 通过观察就没办法了。能不能用一个公式来解决这一问题呢?答案是肯定的。

【探索讨论】

下面我们来探讨一般性的解决方法:

我们知道, 钟表表面 (如图) 共有12个大格, 每格所对的圆心角为30°, 分针60分钟 (1小时) 旋转一周360°, 每分钟旋转6°;时针60分钟 (1小时) 旋转一格30°, 每分钟旋转0.5°。

现在我们将问题一般化处理:分针走n分钟, 旋转 (6n) °, 时针走n分钟旋转 (0.5n) °。假设12点时指针夹角为0°, 那么m点n分时刻时针旋转了[ (60m+n) ×0.5]°, 而分钟旋转了[ (60m+n) ×6]°, 设m点n分这一时刻时针与分针得夹角为β, 则β=| (60m+n) ×0.5- (60m+n) ×6|°=|330m-5.5n|°。由于330°与30°互为周角, 所以β=|330m-5.5n|°=|30m-5.5n|°。至此, 我们可以求任意时刻钟表指针夹角问题了。不过, 在实际运用过程中需要注意:β有可能大于平角, 而我们所探讨的角一般是小于180°的。如7点过4分这一时刻, 时针与分针的夹角β=|30×7-5.5×|°=188°。这时, 我们要求另一夹角β′=360°-188°=172°。所以, 当所求夹角大于180°时, 就取=360°-|30m-5.5n|°。最后, 我们把钟表指针 (时针与分针) 夹角公式完整表述为:β=|30m-5.5n|°, 当β大于180°时, 夹角是360°-|30m-5.5n|°。其中, m代表小时, n代表分钟。

【实际运用】

时钟是测量时间的工具, 时间的长与短, 多与少都可以通过指针的指向来加以判断, 在几何中, 机械时钟的指针还给了我们角的直观形象, 那么你能求出以下几个时刻时钟的分针与时针的夹角有多大吗?

(1) 3点整; (2) 4点10分; (3) 5点54分; (4) 1点46分

解: (1) 由公式得, β′=|30×3-5.5×0|=90°

(2) 由公式得, β′=|30×4-5.5×10|=65°

(3) 由公式得, β′=|30×5-5.5×54|=147°

(4) 由公式得, β′=|30×1-5.5×46|=223°, 由于我们通常研究的角小于平角, 故取360°-223°=137°。

以上关于时钟指针夹角计算问题的例子是七年级数学新教材中的一个难点, 解题时, 只需机械的运用公式, 难题也就不难解决了!

【牛刀小试】

1、请计算下列各时刻时钟的时针与分针的夹角分别有多大?

(1) 、下午2:15; (2) 、中午11:45; (3) 、晚上9:30。

2、在下列哪一组时刻中, 时钟指针的夹角恰好分别为锐角、钝角、直角和平角? ()

A、2:00、3:00、6:10、6:00;B、2:00、6:10、3:00、6:00;C、3:00、2:00、6:10、6:00;D、6:00、3:00、2:00、6:10。

(参考答案:1、 (1) 22.5° (2) 82.5° (3) 105°;2、B。)

【归纳小结】

将钟表指针夹角问题公式化处理, 使问题轻而易举地得到解决。学生只需记住公式, 就可很快解决问题, 既丰富了学生的数学知识, 又活跃了课堂气氛, 提高了数学课堂效率。当然, 教学时, 不要将问题复杂化, 可以让学生自主探索, 教师只做引导, 不要越俎代庖, 而要让学生在探索过程中感受成功的喜悦, 收到既鱼又渔的双重功效。