第10章重积分小结

总结是一次反思过程，是一种记录工作情况、回顾工作不足的重要方式，在总结写作的过程中，我们需要全面化的分析工作情况，这有利于我们的工作成长。怎么写出有效的总结呢？下面是小编为大家整理的《第10章重积分小结》，仅供参考，大家一起来看看吧。

第一篇：第10章重积分小结

第10章 制定产品战略 章节小结

产品(Products)策略是4P营销策略的核心，是企业市场营销活动的支柱和基石，是其他价格策略、分销策略和促销策略的基础。

这次总结将主要整理产品战略部分的知识点，包括产品特征和分类、产品关系、新产品开发以及产品生命周期四个部分，并根据广告学专业本身的专业特点，将其与跟本专业相关的品牌的知识进行合并与整合，以求简洁明了的地该部分内容进行总结。

一、产品层次和分类

1、产品的定义

产品，是指提供给市场以满足需要或需求的任何东西，包括有形产品、服务、体验、事件、资产、组织、信息和创意。

2、产品层次。

人们在生活中通常所说的产品一般是指狭义的产品定义，也即可以被人所看见的物化的具体产品。然而在营销中，产品被更加完整、系统、科学地表述，它应该既包括具有物质形态的产品实体，又包括非物质形态的利益，依照产品增加顾客价值多少的不同，被具体地分为了五个层次，即是产品层次。

这五个产品层次包括核心利益、基本产品、期望产品、增值产品以及潜在产品。 核心利益，是指消费者通过消费产品和服务来满足其基本的需求与欲望。

基本产品，是指产品的基本外观，包括对于其功能来说绝对必要的那些属性特征，但不是显著的特性。这是一个基本的、朴素的、能够圆满地实施产品功能的产品外观。

期望产品，是指购买者在购买产品时，期望能获得的一系列产品属性或特征。 增值产品，是指产品区别于竞争对手的其他属性、利益，或与之相关的服务。 潜在产品，是指产品最终将要经历的各种延伸和转变。

在某些说法中，产品层次被简化为核心产品、外围产品以及外延产品三个层次，而外围产品与外延产品之间的区分有一个明确的标准，即是是否超过了顾客购买产品前对产品的期望。两种说法之间存在的联系在于，基本产品与期望产品提供了最基本的价值与顾客期望的价值与利益，即是外围产品，而增值产品和潜在产品提供或即将提供超过了顾客期望的价值与利益，即是外延产品。

1 就许多市场而言，最主要的竞争发生在增值产品这一层次，因为大多数企业能够在期望产品层提供满意的产品。

3、产品分类

产品根据耐久性、有形性以及用途三个基本特征进行分类，并与不同的营销组合战略对应。 (1)将产品分为耐用品和非耐用品 (2)将产品分为有形商品和无形服务 (3)将产品分为消费品和工业品

二、产品组合

产品组合，又称产品搭配，是指特定的生产商提供给市场以供销售的一系列产品或项目，而公司的产品组合可以通过广度、长度、深度和一致性等术语进行描述。

在讨论产品组合的概念时，有必要介绍“产品层级”的有关知识。产品层级是从人的基本需要开始，一直延伸到能够满足这些需要的具体项目，包括六个层级：需求类型、产品门类、产品种类、产品线、产品类型、产品项目。

1、产品线

产品线广度是指公司具有多少不同的产品线。产品线长度是指产品组合中的产品品类书。产品线深度是指产品线中每种产品的种类。产品线一致性是指各条产品线在最终用途、生产条件、分销渠道或者其他方面相互关联的程度。

2、产品线延伸

产品线延伸是指公司延长其产品线的行为，主要有向上延伸、向下延伸和双向延伸。

(1)向下延伸。企业原来生产高档产品，后来决定增加低档产品。在企业原有的高档产品的销售增长缓慢、企业的高档产品受到激烈竞争等情况下，可以采用这种策略。

(2)向上延伸。原来生产低档产品，后来决定增加高档产品。在高档产品市场需求大、销售增长快、利润率较高，高档产品市场上的竞争者比较弱，同时企业又想自己成为生产种类全面的企业等情况下，企业可以采用这种策略。

2 (3)双向延伸。原来定位为中档产品市场的企业在控制了中档产品的市场后，决定向产品大类的上下两个方向延伸，扩大产品的市场阵地。

三、立体产品-品牌构架图

图表 1立体产品组合架构图

左边的图表1解释的是产品层级与产品组合的关系。产品层级中，需求类型决定了产品门类在整个产品集合的位置;而企业自身的能力(财务状况、人才配置等)决定了产品线能够覆盖的范围，也即是产品线广度;在产品门类中进行划分不同的产品种类，而每一个种类便形成了一条产品线，而产品集合的半径便是产品线的深度，平均半径乘与产品线的广度就是产品线的长度;在一条产品线上可以根据产品的定位、风格、价格等特色进行产品类型的划分，将产品线划分为不同的数段;每个产品类别下有数个产品项目，用产品型号进行表示;而产品线的延伸实际上便是产品线深度的向外扩展、向内扩展与双向扩展，或者是对其中进行补缺，这是相对于另外一种延伸方式——品类延伸——也即是向不同的品类进行延伸，可能是在本来的产品门类中进行创造，也有可能是超出了原来决定的产品门类，而产品线的延伸与品类延伸共同构成了品牌的延伸。

可以说，整个图表的是以产品层级为基准，确定了企业的整个

产品战略的制定。

图表 2立体产品-品牌架构图

同时，立体产品构架图也可以用来解释企业产品与品牌的关系，如图表2 立体产品-品牌架构图。企业根据自身实力的不同与产品组合规模的不同可以采用4种不同的品牌架构，分别是单一品牌结构、复合品牌架构、多品牌架构以及分类品牌架构，前三个分别以图表中的企业类型1~3进行表示，而分类品牌架构则是企业拥有多种不同门类的产品，也即是整个企业规模由多个企业类型1的部分组合而成。

四、新产品开发

首先，这里的新产品已经超出了字面上的以及传统意义上的解释，也即是不止是因科学技术在某一领域的重大发现所产生的新产品，它还包括了以下六种：新问世产品、新产品线、现有产品线的补充产品、现有产品的改进/改变、市场再定位、成本降低。新产品的开发对企业有至关重要的作用，它保证了企业的生存与发展，提高了企业的竞争力与经济效益，同时对于消费者而言，新产品往往满足了新的物资与文化需求。

新产品的开发需要一个漫长的过程，企业需要花费大量的成本在新产品的开发决策，通过提出创意、创意筛选、概念开发、概念测试、营销战略、商业分析、产品开发、市场测试，最终进行商业化。

新产品的开发总是有巨大的风险，而企业必须要做的便是根据内部企业自身的因素市场营销能力、财务状况、技术实力，以及外部的政府、法规、市场情况、组织文化等因素评估这一风险，以此决定开发新产品的种类与具体的战略和方案。

企业总是想要降低新产品开发与引入上的风险，而不得不提的便是于此相关的品牌战略，因为品牌的目的是表达差异性，并且消费者对品牌忠诚度的作用，而利用品牌这一工具能够更加真切的向消费者传达新产品应该有的，也是消费者所关心的新特性。

当公司推出一种新产品时，在品牌战略上一般会有三种方式可供选择，一是单独为新产品开发一个新品牌(也即是形成多品牌架构)，二是以某种方式使用现有的某个品牌，三是将新品牌与一个现有品牌结合使用，后两者便是所谓的品牌延伸。这一做法有两大优点，其优点一是可以增加新产品的可接受性，如降低了消费者的风险感知、增加了分销和试销的可能性、提高了促销费用的使用效率、降低产品导入及后续营销活动的成本等，这主要体现了品牌在从营销战略到最终商业化等新产品开发过程各个步骤所起的优势与作用;二是为母品牌和公司提供反馈利益，更多的是增效了新产品开发对于企业本身的意义。

五、产品生命周期

产品生命周期可以说是一个拟人的说法，将成品的整个生命周期具体的划分为导入、成长、成熟与衰退四大阶段，而产品生命周期划分的最大意义在于企业可以根据产品各个方面特点如销售、成本、利润、顾客以及竞争者的具体情况，确定这一产品进入到了哪个生命周期阶段中，并以此来确定产品的营销目标以及营销战略，用时间上的阶段与具体的特点、目标和战略两个维度进行划分，简单并且容易操作。

产品生命周期对于企业更多是一种参考意义，因为对产品生命周期的阶段划分，以及判定产品是否到达了这一周期阶段，这一做法本身有一定的难度，划分标准上也难以确认，而一旦判定错误，企业将损失对这一产品的优势。

第二篇：微积分知识点小结

第一章 函数

一、本章提要

基本概念

函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数

第二章 极限与连续

一、本章提要

1.基本概念

函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点(可去间断点，跳跃间断点)，第二类间断点.

2.基本公式

(1) limsin口口1口口01，

(2) lim(1口0)口e(口代表同一变量). 3.基本方法

⑴ 利用函数的连续性求极限; ⑵ 利用四则运算法则求极限; ⑶ 利用两个重要极限求极限; ⑷ 利用无穷小替换定理求极限;

⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求

00形式的极限;

⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求形式的极限;

⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限; ⑻ 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4.定理

左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质.

第三章 导数与微分

一、本章提要

1. 基本概念

1 瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分.

2. 基本公式

基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式.

3. 基本方法

⑴ 利用导数定义求导数;

⑵ 利用导数公式与求导法则求导数; ⑶ 利用复合函数求导法则求导数; ⑷ 隐含数微分法; ⑸ 参数方程微分法; ⑹ 对数求导法;

⑺ 利用微分运算法则求微分或导数.

第四章 微分学的应用

一、 本章提要 1. 基本概念

未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水平渐近线,铅直渐近线.

2. 基本方法

⑴ 用洛必达法则求未定型的极限; ⑵ 函数单调性的判定; ⑶ 单调区间的求法;

⑷ 可能极值点的求法与极大值(或极小值)的求法; ⑸ 连续函数在闭区间上的最大值及最小值的求法; ⑹ 求实际问题的最大(或最小)值的方法; ⑺ 曲线的凹向及拐点的求法; ⑻ 曲线的渐近线的求法; ⑼ 一元函数图像的描绘方法. 3. 定理

柯西中值定理,拉格朗日中值定理,罗尔中值定理, 洛必达法则,函数单调性的判定定理,极值的必要条件,极值的第一充分条件,极值的第二充分条件,曲线凹向的判别法则.

第五章 不定积分

一、 本章提要

1. 基本概念 原函数，不定积分. 2. 基本公式

2 不定积分的基本积分公式(20个);分部积分公式.

3.基本方法

第一换元积分法(凑微分法);第二换元积分法;分部积分法;简单有理函数的积分方法.

第六章 定积分

一、本章提要

1.基本概念

定积分，曲边梯形，定积分的几何意义，变上限的定积分，广义积分，无穷区间上的广义积分，被积函数有无穷区间断点的广义积分. 2.基本公式 牛顿-莱布尼茨公式. 3.基本方法

积分上限函数的求导方法，直接应用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的方法，借助于换元积分法及分部积分法计算定积分的方法，两类广义积分的计算方法. 4.定理

定积分的线性运算性质，定积分对积分区间的分割性质，定积分的比较性质，定积分的估值定理，定积分的中值定理，变上限积分对上限的求导定理.

第七章

定积分的应用

一、本章提要

1. 基本概念

微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数.

2. 基本公式 平面曲线弧微元分式.

3. 基本方法

(1) 用定积分的微元法求平面图形的面积， (2) 求平行截面面积已知的立体的体积， (3) 求曲线的弧长， (4) 求变力所作的功， (5) 求液体的侧压力， (6) 求转动惯量，

(7) 求连续函数f(x)在a,b区间上的平均值， (8) 求平面薄片的质心，也称重心.

第八章

常微分方程

一、 本章提要

1. 基本概念

微分方程，常微分方程，微分方程的阶数，线性微分方程，常系数线性微分方程，通解，特解，初始条件，线性相关，线性无关，可分离变量的方程，齐次线性方程，非齐次线性方程，特征方程，特征根.

2. 基本公式

一阶线性微分方程

yP(x)yQ( x)的通解公式:

yP(x)dxdxCeP(x)dx. Q(x)e3. 基本方法

分离变量法，常数变易法，特征方程法，待定系数法，降阶法. 4. 定理

齐次线性方程解的叠加原理，非齐次线性方程解的结构.

第九章

空间解析几何

一、本章提要

1.基本概念

空间直角坐标系，向量，向量的模，单位向量，自由向量，向径，向量的坐标与分解，向量的方向余弦，向量的点积与叉积，平面的点法式与一般式方程，直线的点向式及一般式方程，球面，柱面，旋转面，二次曲面，空间曲线在坐标面上的投影，失函数的导数，失函数的积分.

2.基本公式

两点间的距离公式，向量模与方向余弦公式，点积与叉积坐标公式，点到平面的距离公

式，平面与直线间的夹角公式. 3.方程

直线的点向式方程，直线的参数方程，直线的一般式方程，平面的点法式方程，平面的一般式方程.

第十章

多元函数微分学

一、 本章提要

1.基本概念

多元函数，二元函数的定义域与几何图形，多元函数的极限与连续性，偏导数，二阶偏导数，混合偏导数，全微分，切平面，多元函数的极值，驻点，条件极值，方向导数，梯度.

2.基本方法

二元函数微分法：利用定义求偏导数，利用一元函数微分法求偏导数，利用多元复合函

4 数求导法则求偏导数.

隐函数微分法：拉格朗日乘数法. 3.定理

混合偏导数与次序无关的条件，可微的充分条件，复合函数的偏导数，极值的必要条件，极值的充分条件.

第十一章

多元函数积分学

一、本章提要

1. 基本概念

二重积分，三重积分，曲线积分，曲面积分，微元法，柱面坐标系，球面坐标系，积分与路径无关. 2. 基本公式

(1) 格林公式：PdxQdyLQPxydxdy;

DRdVz(2) 高斯公式：PxQyPdydzQdzdxRdxdy.

3. 基本方法

将二重积分化为二次积分，关键是确定积分的上下限：有直角坐标系下的计算方法和极坐标系下的计算方法;计算三重积分，有直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系的计算方法;计算对坐标的曲线积分，有基本法，格林公式法，与路径无关法;计算对坐标的曲面积分，有对坐标的曲面积分法，高斯公式法.

4. 定理

格林公式定理，积分与路径无关定理，高斯公式定理.

第十二章 级数

一、本章提要

1.基本概念

正项级数，交错级数，幂级数，泰勒级数，麦克劳林级数，傅里叶级数，收敛，发散，绝对收敛，条件收敛，部分和，级数和，和函数，收敛半径，收敛区间，收敛域.

2.基本公式

(1)f(x)在xx0处的泰勒级数系数：a0f(x0)，akf(k)(x0)k!;

(2)傅里叶系数： an1πππf(x)cosnxdx(n0,1,2,),bn1πππf(x)sinnxdx(n1,2,).

3.基本方法

比较判别法，比值判别法，交错级数判别定理，直接展开法，间接展开法.

4.定理

比较判别定理，比值判别定理，交错级数判别定理，求收敛半径定理，幂级数展开定理，傅里叶级数展开定理.

第三篇：七年级数学上册《第三章 用字母表示数 第10课时 小结与思考》学案 苏科版

第10课时 小结与思考

一、选择题

1、下列各式：x1，3，92，A、5

B、4

xy1，Sab，其中代数式的个数是( )

2xy

D、2

( )

C、3

2、以下代数式书写规范的是

A、(ab)2 B、6y 5C、1x

D、xy厘米

( )

1

33、在下列各组的两个式子中，是同类项的是

A、2ab与3abc B、1211mn与mn2 C、0与 D、3与c 222

( )

233B、2a3a5a C、3mn3nm0 D、7x5x2

4、下列合并同类项中，正确的是

A、3x3y6xy

5、当x=2时，下列代数式中与代数式2x1的值相等的是 A、1x

2( )

B、3x1

C、3xx

2D、x1

( )

26、代数式23xy3的系数与次数分别是

A、2，4 B、6，3 C、2，3 D、8，4

7、长方形的周长为10，它的长是a，那么它的宽是

( ) A、10-2a B、10-a C、5-a D、5-2a

9、你喜欢吃拉面吗?拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸再捏合，再拉伸„„反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，这样捏合到第5次时可拉出细面条

( ) A、10根 B、20根

C、5根 D、32根

10、已知做某件工作，每个人的工效相同，m个人做n天可完成，如果增加a人，则完成工作所需天数为

( ) A、mn

maB、na

C、mna

D、na

二、填空题

11、设x表示一个数，用代数式表示“比这个数的平方小3的数”是______ 。

12、化简：[(2ab)]=___________ 。

13、填空(6x27x5)( )5x22x3。

14、矩形的一边长为a-2b，另一边比第一边大2a+b，则矩形的周长为__________ 。

16、一辆汽车以x千米/时行驶d千米路程，若速度加快10千米/小时，则可少用________小时。

17、已知2x-y=3，1-4x+2y的值为 。

18、已知a+2ab=-10，b+2ab=16，则a+4ab+b2=_____;a-b2=__ _ 。

19、定义ab=2222ab，则2(22)= 。 ab220、观察下列各式：13121 24222 35323

„„

请你将猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示出来__________________ 。

三、解答题

21、化简

(1)(2a2-1+2a)-3(a-1+a2)

22222(2)2(x-xy)-3(2x-3xy)-2[x-(2x-xy+y)]

22、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x1，求代数式abx

22b1，Ba25ab7b2，

23、已知A3a6abb，其中a1，求3A2B222cdx的值。

的值。

24、若3x5ay4与5x3yb1是同类项，求代数式3b6ab4b2ba的值。

25、已知多项式32x3x3x5xx7. (1)当x

26、已知代数式2x2axy62bx23xy1的值与字母x,y的取值无关，求22243431时，求这个多项式的值;(2)当x为何值时，求这个多项式的值是-1? 2131a2b2a33b2的值。 3

427、若3x1y与2xy是同类项，3x项，„„3xnk1n1n21y与2x2y是同类项，3xn31y与2x3y是同类

111的值。 „„n1n2n2n3n99n100 y与2xky是同类项，试求

第四篇：第十章____重积分(高等数学教案)

高等数学教案

重积分

重积分

【教学目标与要求】

1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。 2.掌握二重积分的(直角坐标、极坐标)计算方法。

3.掌握计算三重积分的(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)计算方法。

4.会用重积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等)。

【教学重点】

1.二重积分的计算(直角坐标、极坐标);

2.三重积分的(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)计算。 3.二、三重积分的几何应用及物理应用。

【教学难点】

1.利用极坐标计算二重积分; 2.利用球坐标计算三重积分; 3.物理应用中的引力问题。

【教学课时分配】 (10学时) 第1 次课

§1

第2 次课

§2

第3 次课

§3 第4 次课

§4

第5次课

习题课

【参考书】

[1]同济大学数学系.《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南(下)》，第六版.高等教育出版社

高等数学教案

重积分

§10 1 二重积分的概念与性质

【回顾】定积分

设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 求直线xa、xb、y0 及曲线yf (x)所围成的曲边梯形的面积

(1)分割：用分点ax0x1x2   xn1xn b把区间[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ] 记xixixi1 (i1 2     n)

(2)代替：任取i[xi1 xi] 以[xi1 xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为

f(i)xi (i1 2     n)

(3)作和：曲边梯形面积A的近似值为

Af()x iii1nn (4)取极限：记max{x1 x2   xn } 所以曲边梯形面积的精确值为

Alim0f()x

iii1则

baf(x)dxAlimf(i)xi0i1n§10 1 二重积分的概念与性质

一、引例

1 曲顶柱体的体积V 设有一立体 它的底面是xOy面上的闭区域D 其侧面为母线平行于z轴的柱面 其顶是曲面zf(x y)非负连续 称为曲顶柱体

若立体的顶是平行于xoy面的平面。

体积=底面积高

现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积

(i)分割：用任意曲线网把D分成n个小区域 ：

 1  2      n 

分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于z轴的柱面 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体 高等数学教案

重积分

(ii)代替：在每个 i中任取一点( i   i) 以f ( i   i)为高而底为 i的平顶柱体的体积为

f ( i   i) i

(i1 2     n )

(iii)近似和： 整个曲顶柱体体积V

Vf(i,i)i

i1n分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确值V, 若分割得"无限细", 则右端近似值会无限接近于精确值V. (iv)取极限： 记 max{i的直径},1in

其中i的直径是指i中相距最远的两点的距离。 则

Vlimf(i,i)i 其中(i,i)i

0i1n2 平面薄片的质量

当平面薄板的质量是均匀分布时,

质量 = 面密度×面积. 若平面薄板的质量不是均匀分布的. 这时, 薄板的质量不能用上述公式算, 应如何算该薄板的质量M? 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 它在点(x y)处的面密度为(x,y) 这里(x,y)非负连续 现在要计算该薄片的质量M

(i)分割：用任意一组曲线网把D分成n个小区域：

 1  2      n 

(ii)代替：把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量

mi( i   i) i 

(iii)近似和： 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值

M(i,i)i

i1n高等数学教案

重积分

将分割加细 取极限 得到平面薄片的质量 (iv)取极限：

记 max{的直径},i1in

则

Mlim(i,i)i

0i1n两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同：

“分割, 代替, 近似和,取极限”

(2) 所求量的结构式相同

曲顶柱体体积:

Vlimf(i,i)i

0i1n平面薄片的质量:

Mlim(i,i)i

0i1n

二、二重积分的定义及可积性

定义： 设f(x y)是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域D任意分成n个小闭区域

 1  2      n 

其中 i表示第i个小区域 也表示它的面积 在每个 i上任取一点( i i) 作和

f(i,i)i

i1n如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在闭区域D上的二重积分 记作

f(x,y)d 即

D

limf(i,i)i f(x,y)d0i1Dnf(x y)被积函数 f(x y)d被积表达式 d面积元素 x y积分变量 D积分区域 积分和

直角坐标系中的面积元素

如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D 那么除了包含边界点的一些小闭区域外 其余的小闭区域都是矩形闭区域 设矩形闭区域i的边长为xi和yi 则ixiyi 因此在直角坐标系中 有时也把面积元素d 记作dxdy 而把二重积分记作 高等数学教案

重积分

f(x,y)dxdy

D其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素

二重积分的几何意义 如果f(x y)0 被积函数f(x y)可解释为曲顶柱体的在点(x y)处的竖坐标 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积 如果f(x y)是负的 柱体就在xOy 面的下方 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积 但二重积分的值是负的

说明：当函数f(x y)在闭区域D上连续时 则f(x y) 在D上的二重积分必存在。于是我们总假定函数f(x y)在闭区域D上连续，所以f(x y) 在D上的二重积分都是存在的。 例1.利用二重积分定义计算：三. 二重积分的性质

设D为有界闭区域，以下涉及的积分均存在。 性质1 xydxdy，其中D{(x,y)|0x1,0y1}。

D[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d

DDD性质2 设k为常数，则性质3 kf(x,y)dkf(x,y)d

DD1dd|D|，其中(|D|为D的面积)

DD性质4 设DD1D2，且D1,D2无公共内点，则

f(x,y)df(x,y)df(x,y)d

DD1D2性质5.若在D上 f(x y)g(x y) 则

f(x,y)dg(x,y)d

DD特殊：(1)若在D上f(x,y)0，则

f(x,y)d0

D

(2) |f(x,y)d||f(x,y)|d

DD

这是因为|f(x,y)|f(x,y)|f(x,y)|

性质6 设M、m分别是f(x y)在闭区域D上的最大值和最小值 |D|为D的面积 则

高等数学教案

重积分

m|D|f(x,y)dM|D|

D

性质7(二重积分的中值定理) 设函数f(x y)在闭区域D上连续  为D的面积 则在D上至少存在一点(,)D，使

例2.比较下列积分的大小：f(x,y)df(,)

D(xy)d，(xy)d，

DD23其中D{(x,y)|(x2)2(y1)22}

小结

1.二重积分的定义：

nf(,)f(x,y)dlimD0iii1i) ，(ddxdy2. 二重积分的性质(与定积分性质相似)

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意二重积分的定义，性质以及应用，并且要与定积分的定义、性质进行比较，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1.比较下列积分值的大小关系：I12xy1|xy|dxdy，I22|x||y|1|xy|dxdy，I31111|xy|dxdy

22(sinxcosy)d2，其中D为0x1,0y1。 D2.证明：1讲课提纲、板书设计

作业 P137: 4(1)(3)，5(1)(4)

§10 2 二重积分的计算法 高等数学教案

重积分

一、利用直角坐标计算二重积分

X型区域

D 

1(x)y2(x) axb 

Y 型区域 D 

1(x)y2(x) cyd 

混合型区域

设f(x y)0

D{(x y)| 1(x)y2(x) axb}

此时二重积分柱体的体积

对于x0[a b]

曲顶柱体在xx0的截面面积为以区间[1(x0) 2(x0)]为底、以曲线zf(x0 y)为曲边的曲边梯形 所以这截面的面积为

A(x0)2(x0)10f(x,y)d在几何上表示以曲面zf(x y)为顶 以区域D为底的曲顶D(x)1f(x0,y)dy

根据平行截面面积为已知的立体体积的方法 得曲顶柱体体积为

V即

V可记为

aA(x)dxa[(x)b2(x)a1(x)bb2(x)f(x,y)dy]dx

f(x,y)d[Dbf(x,y)dy]dx

f(x,y)dadx(x)D12(x)f(x,y)dy

类似地 如果区域D为Y 型区域

D  1(x)y2(x) cyd 

则有

f(x,y)ddyDcd2(y)1(y)f(x,y)dx

例1 计算xyd 其中D是由直线y

1、x2及yx所围成的闭区域

D

解 画出区域D

方法一

可把D看成是X型区域 1x2 1yx  于是

422y2x1xx1293[]

[x]dx(xx)dxxyd[xydy]dx1112112428212x2D注 积分还可以写成xyddxxydyxdxydy

D11112x2x高等数学教案

重积分

解法2 也可把D看成是Y型区域 1y2 yx2  于是

422y3x22y29xyd1[yxydx]dy1[y2]ydy1(2y2)dy[y8]18 222D

例2 计算yD1x2y2d 其中D是由直线y

1、x1及yx所围成的闭区域

解

画出区域D 可把D看成是X型区域 1x1 xy1 于是

11[(1x2y2)2]1dx11(|x|31)dx y1xyddxy1xydyx1x3131221122D31

21 (x31)dx

302

也可D看成是Y型区域：1y1 1x

y1x2y2dydyD1D1y11x2y2dx

例3 计算

2xyd 其中D是由直线yx2及抛物线yx所围成的闭区域



解 积分区域可以表示为DD1+D2

其中D, xyx D2: 1x4, 2yx 于是 1: 0x1

xyddxD021xxxydydx14xx2xydy

积分区域也可以表示为D 1y2 y2xy2 于是

xyd1dyyDy222x12[y(y2)2y5]dy

2xydx[y]y2dyy122126y443152y2

[y2y]15

24368讨论积分次序的选择

例

4求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积

解

设这两个圆柱面的方程分别为

x2y2 2及x2z2 2 高等数学教案

重积分

利用立体关于坐标平面的对称性 只要算出它在第一卦限部分的体积V1 然后再乘以8就行了

第一卦限部分是以D{(x y)| 0yR2x2, 0x}为底 以zR2x2顶的曲顶柱体

于是

V8DRxd8dx022RR2x20R2x2dy8[R2x2y]0R0R2x2dx

16R3

22(Rx)dx03 二

利用极坐标计算二重积分

8R

有些二重积分 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便 且被积函数用极坐标变量 、 表达比较简单

这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分

limf(i,i)i

f(x,y)d 按二重积分的定义f(x,y)d0DnDi

1下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式

以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域 小闭区域的面积为

111222(ii)iiiii

i2其中i表示相邻两圆弧的半径的平均值

在i内取点( i , i ) 设其直角坐标为( i  i)

则有

i(ii)2ii2i(2ii)ii

ii cosi ii sini

limf(i cosi,i sini)i ii

f(i,i)i0i1i1nn于是 lim0即

f(x,y)df(cos,sin)dd

DD若积分区域D可表示为 1() 2()

 高等数学教案

重积分

则

f(cos,sin)dddD2()1()f(cos,sin)d

讨论如何确定积分限?

f(cos,sin)ddd0D2D0()f(cos,sin)d

f(cos,sin)dddxeD2()0f(cos,sin)d

例5 计算域 y2dxdy 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区

解

在极坐标系中 闭区域D可表示为

0a  0 2 

于是 exD2y2adxdyedd[ed]d [1e]0d

0002D22a22

2 (1ea)

注 此处积分

122022d(1ea)

dxdy

2exD22y2dxdy也常写成

x2y2a2exy2

利用x2y2a2xey2dxdy(1ea)计算广义积分exdx

022

设D1{(x y)|x2y2R2 x0 y0} D2{(x y)|x2y22R2 x0 y0}S{(x y)|0xR 0yR}

显然D1SD2 由于ex

2y20 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式

2exD12y2dxdyexSy2dxdyexD22y2dxdy

因为

exS2y2dxdyexdxeydy(exdx)2

000R2R2R2又应用上面已得的结果有 高等数学教案

重积分

exD12y2dxdy(1eR)

42exD22y2dxdy(1e2R)

42于是上面的不等式可写成(1eR2)(Rex2dx)2(1e2R2)

404令R 上式两端趋于同一极限

 从而ex2dx

4 02

例6 求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积

解

由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍

V4D4a2x2y2dxdy

其中D为半圆周y2axx2及x轴所围成的闭区域

在极坐标系中D可表示为

02a cos  0于是

V4 

22acos2d00D4add4224a22d

32322

a22(1sin3)da2()

03323

小结

1.二重积分化为累次积分的方法;

2. 积分计算要注意的事项。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意二重积分化为累次积分的方法：分直角坐标和极坐标，以及在计算时要注意事项，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1. 设f(x)C[0,1]，且f(x)dxA，求Idxf(x)f(y)dy。

00x1112. 交换积分顺序I22dacos0f(r,)dr，(a0)

讲课提纲、板书设计 高等数学教案

重积分

作业 P154: 1 (2), (4); 2 (1), (3); 6 (2), (4); 12 (1), (3); 13 (3), (4); 14 (1), (2);15(1)(2)

§103

三重积分

一、三重积分的概念

定义 设f(x y z)是空间有界闭区域上的有界函数 将任意分成n个小闭区域：

v1 v2     vn

其中vi表示第i个小闭区域 也表示它的体积 在每个vi上任取一点(i i i) 作乘积f(

i  i  i)vi(i1 2    n)并作和

f(i,i,i)vi 如果当各小闭区域的直径中的最大值i1n趋于零时

这和的极限总存在

则称此极限为函数f(x y z)在闭区域上的三重积分 记作f(x,y,z)dv

即

高等数学教案

重积分

limf(i,i,i)vi

f(x,y,z)dv0i1n

三重积分中的有关术语 ——积分号

f(x y z)——被积函数

f(x y z)dv——被积表达式

dv体积元素

x y z——积分变量

——积分区域

在直角坐标系中 如果用平行于坐标面的平面来划分 则vixi yizi  因此也把体积元素记为dv dxdydz 三重积分记作

f(x,y,z)dvf(x,y,z)dxdydz



当函数f (x y z)在闭区域上连续时 极限limf(i,i,i)vi是存在的

0i1n因此f(x y z)在上的三重积分是存在的 以后也总假定f(x y z)在闭区域上是连续的

三重积分的性质 与二重积分类似

比如

[c1f(x,y,z)c2g(x,y,z)]dvc1f(x,y,z)dvc2g(x,y,z)dv



12f(x,y,z)dvf(x,y,z)dvf(x,y,z)dv

12

dvV 其中V为区域的体积

二、三重积分的计算

1 利用直角坐标计算三重积分

三重积分的计算 三重积分也可化为三次积分来计算 设空间闭区域可表为

z1(x y)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb

则

f(x,y,z)dv[z(x,y)D1z2(x,y)f(x,y,z)dz]d

dxbay(x)[z(x,y)11by2(x)z2(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz

dxay(x)1y2(x)dyz2(x,y)z1(x,y)高等数学教案

重积分

即 f(x,y,z)dvdxaby2(x)y1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

其中D : y1(x) y y2(x) axb 它是闭区域在xOy面上的投影区域

提示 设空间闭区域可表为

z1(x y)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb

计算f(x,y,z)dv

基本思想

对于平面区域D

y1(x)yy2(x) axb内任意一点(x y) 将f(x y z)只看作z的函数 在区间[z1(x y)

z2(x y)]上对z积分 得到一个二元函数F(x y)

F(x,y)z2(x,y)1z(x,y)f(x,y,z)dz

然后计算F(x y)在闭区域D上的二重积分 这就完成了f(x y z)在空间闭区域上的三重积分

F(x,y)d[DD1z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]ddxaby2(x)y1(x)[z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy

则 f(x,y,z)dv[z(x,y)Dz2(x,y)f(x,y,z)dz]d

z2(x,y)

1dxbay(x)[z(x,y)1by2(x)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz

f(x,y,z)dz

dx即

ay(x)1y2(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dvadxy(x)dyz(x,y)11by2(x)z2(x,y)其中D : y1(x) y y2(x) axb 它是闭区域在xOy面上的投影区域

例1 计算三重积分域

解 作图 区域可表示为:

0z1x2y 0y(1x) 0x1 xdxdydz 其中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区12高等数学教案

重积分

于是

xdxdydz 0dx11x1x2y2dyxdz 00

0xdx11x2(1x2y)dy0

111

(x2x2x3)dx4048

讨论 其它类型区域呢?

有时 我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分 设空间闭区域{(x y z)|(x y)Dz c1 zc2} 其中Dz是竖坐标为z 的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域 则有

f(x,y,z)dvcdzf(x,y,z)dxdy

1c2Dz2y2z2x

例2 计算三重积分zdxdydz 其中是由椭球面2221所围成的空间闭

abc2区域

解 空间区域可表为: x2y21z

2 2 c zc

ab2c2于是

2zzdxdydz zdzdxdyab(12)z2dz4abc3

cc15cD2c2zc

练习：

例3 将三重积分If(x,y,z)dxdydz化为三次积分 其中

(1)是由曲面z1x2y2 z0所围成的闭区域

(2)是双曲抛物面xyz及平面xy10 z0所围成的闭区域

(3)其中是由曲面zx22y2及z2x2所围成的闭区域

例4 将三重积分If(x,y,z)dxdydz化为先进行二重积分再进行定积分的形式

其中由曲面z1x2y2 z0所围成的闭区域

2 利用柱面坐标计算三重积分

设M(x y z)为空间内一点 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P(  ) 则这样的三个数、 、z就叫做点M的柱面坐标 这里规定、 、z的变化范围为 高等数学教案

重积分

0< 0 2  

坐标面0   0 zz0的意义

点M 的直角坐标与柱面坐标的关系

xcos

xcos ysin zz  ysin

zz

柱面坐标系中的体积元素 dvdddz

简单来说 dxdydd  dxdydzdxdydzdd dz

柱面坐标系中的三重积分

f(x,y,z)dxdydzf(cos,sin,z)dddz



例5利用柱面坐标计算三重积分围成的闭区域

解 闭区域可表示为

2z4 02 02

于是

zdxdydz 其中是由曲面zxy与平面z4所

2

2zdxdydzzdddz

1d(164)d ddzdz0020201164

2[826]2026

324222

3 利用球面坐标计算三重积分

设M(x y z)为空间内一点 则点M也可用这样三个有次序的数r、、 来确定 其中 r为原点O与点M间的距离 为OM与z轴正向所夹的角 为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段OP的角 这里P为点M在xOy面上的投影 这样的三个数r、 、 叫做点M的球面坐标 这里r、、 的变化范围为

0r< 0< 0 2

坐标面rr0 0 0的意义， 点M的直角坐标与球面坐标的关系

xrsincos

xrsincos yrsinsin zrcos  yrsinsin

zrcos高等数学教案

重积分

球面坐标系中的体积元素

dvr2sindrdd 

球面坐标系中的三重积分

f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd



例6 求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积

解 该立体所占区域可表示为

0r2acos 0 02

于是所求立体的体积为

Vdxdydzr2sindrdddd22acos000r2sindr

20sind2acos0r2dr

316a

33034cossind4a(1cosa)

3提示 球面的方程为x2y2(za)2a2 即x2y2z22az 在球面坐标下此球面的方程为r22arcos 即r2acos

小结

1.三重积分的定义和计算; 2. 换元积分公式。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意三重积分的定义和计算以及换元积分公式的应用，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1. 将If(x,y,z)dv用三次积分表示，其中由六个平面x0,x2,y1,x2y4,zx,z2所围成，f(x,y,z)C()。

2. 设由锥面z2I(xyz)dv x2y2和球面x2y2z24所围成，计算讲课提纲、板书设计

作业 P164: 4，5，7，9(1) 高等数学教案

重积分

§10 4 重积分的应用

一、曲面的面积

设曲面S由方程 zf(x y)给出 D为曲面S在xOy面上的投影区域 函数f(x y)在D上具有连续偏导数fx(x y)和fy(x y) 现求曲面的面积A 

在区域D内任取一点P(x y) 并在区域D内取一包含点P(x y)的小闭区域d 其面积也记为d 在曲面S上点M(x y f(x y))处做曲面S的切平面T 再做以小区域d的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面 将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值 记为dA 又设切平面T的法向量与z轴所成的角为  则

dAd1f2(x,y)f2(x,y)d

xycos这就是曲面S的面积元素

于是曲面S 的面积为 AD1fx2(x,y)fy2(x,y)d 高等数学教案

重积分

或

AD1(z)2(z)2dxdy

xy

设dA为曲面S上点M处的面积元素 dA在xOy面上的投影为小闭区域d M在xOy面上的投影为点P(x y) 因为曲面上点M处的法向量为n(fx fy 1) 所以

dA|n|d1fx2(x,y)fy2(x,y)d

提示 dA与xOy面的夹角为(n^ k) dAcos(n^ k)d

nk|n|cos(n^ k)1 cos(n^ k)|n|1

讨论 若曲面方程为xg(y z)或yh(z x) 则曲面的面积如何求?

ADyz1(x)2(x)2dydz

yz1(y2y2)()dzdx

zx或

ADzx其中Dyz是曲面在yOz面上的投影区域

Dzx是曲面在zOx面上的投影区域

例1 求半径为R的球的表面积

提示

yzxzzzR  1()2()2

222222222xyxyRxyRxyRxy

解 球面的面积A为上半球面面积的两倍

上半球面的方程为zR2x2y2 而

yzxz 

222222xyRxyRxy所以

A22xy2R21(z)2(z)2

xy2RdR dxdy2Rd2222200RRxyR0

22xy2R2

4RR22 4R2

例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星 距地面的高度为h36000km 运行的角速度与高等数学教案

重积分

地球自转的角速度相同 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R6400km)

二、质心

设有一平面薄片 占有xOy 面上的闭区域D 在点P(x y)处的面密度为(x y) 假定(x y)在D上连续 现在要求该薄片的质心坐标

在闭区域D上任取一点P(x y) 及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为

dMxy(x y)d dMyx(x y)d

平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为

Mxy(x,y)d Myx(x,y)d

DD

设平面薄片的质心坐标为(x, y) 平面薄片的质量为M 则有

xMMy yMMx 

于是

xMyMx(x,y)dD(x,y)dD yMxMy(x,y)dD(x,y)dD

提示 将P(x y)点处的面积元素d看成是包含点P的直径得小的闭区域 D上任取一点P(x y) 及包含的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为

讨论 如果平面薄片是均匀的 即面密度是常数 则平面薄片的质心(称为形心)如何求?

求平面图形的形心公式为

xd

xDyd

yDdDdD

例3 求位于两圆2sin 和4sin 之间的均匀薄片的质心

解 因为闭区域D对称于y轴 所以质心C(x, y)必位于y轴上 于是x0 高等数学教案

重积分

因为

2ydsinddsindDD4sin02sin2d7

d22123

Dyd所以yDD77 所求形心是C(0, 7)

3d3

3类似地 占有空间闭区域、在点(x y z)处的密度为(x y z)(假宽(x y z)在上连续)的物体的质心坐标是

x1M1 x(x,y,z)dvyM1 y(x,y,z)dvzMz(x,y,z)dv



其中M(x,y,z)dv



例4 求均匀半球体的质心

提示

 0ra 0 02

22a

3 dv22d00drsindr2sinddr2dr2a

00003a2zdv02d0242a1a132drcosrsindrsin2ddrdr2

0002420a2

三、转动惯量

设有一平面薄片 占有xOy面上的闭区域D 在点P(x y)处的面密度为(x y) 假定(x y)在D上连续 现在要求该薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量

在闭区域D上任取一点P(x y) 及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量的元素分别为

dIxy2(x y)d  dI yx2(x y)d 

整片平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量分别为

Ixy2(x,y)d Iyx2(x,y)d

DD高等数学教案

重积分

例5 求半径为a 的均匀半圆薄片(面密度为常量)对于其直径边的转动惯量

解 取坐标系如图 则薄片所占闭区域D可表示为

D{(x y)| x2y2a2 y0} 而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix 

Ixy2d2sin2dd

DD



其中M0sin d02a4a2dsin d

4031a41Ma2

4241a2为半圆薄片的质量

2类似地 占有空间有界闭区域、在点(x y z)处的密度为(x y z)的物体对于x、y、z轴的转动惯量为

Ix

Iy

Iz(y2z2)(x,y,z)dv

22(zx)(x,y,z)dv (x2y2)(x,y,z)dv



例6 求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量

解 取球心为坐标原点 z轴与轴l重合 又设球的半径为a 则球体所占空间闭区域

{(x y z)| x2y2z2a2}

所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量Iz 

Iz(x2y2) dv



(r2sin2 cos2r2sin2 sin2)r2sindrdd



8a52a2M

4rsindrdddsin drdr0005154323a其中M4a3为球体的质量

3提示

x2y2r2sin2cos2r2sin2 sin2r2sin2

四、引力

我们讨论空间一物体对于物体外一点P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力问题 高等数学教案

重积分

设物体占有空间有界闭区域 它在点(x y z)处的密度为(x y z) 并假定(x y z)在上连续

在物体内任取一点(x y z)及包含该点的一直径很小的闭区域dv(其体积也记为dv) 把这一小块物体的质量dv近似地看作集中在点(x y z)处 这一小块物体对位于P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力近似地为

dF(dFx,dFy,dFz)

(G其中(x,y,z)(xx0)r3dv,G(x,y,z)(yy0)r3dF

dv,G(x,y,z)(zz0)r3dv)

dFx、dFy、dFz为引力元素

在三个坐标轴上的分量

r(xx0)2(yy0)2(zz0)2 G为引力常数 将dFx、dFy、dFz在上分别积分 即可得Fx、Fy、Fz 从而得F(Fx、Fy、Fz)

例7设半径为R的匀质球占有空间闭区域{(x y z)|x2y2z2R2) 求它对于位于点M0(0 0 a) (a>R)处的单位质量的质点的引力

解 设球的密度为0 由球体的对称性及质量分布的均匀性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z轴的分量为

FzG0zadv

[x2y2(za)2]3/

2 G0RRRR(za)dzdxdy 2223/2[xy(za)]x2y2R2z22R2z22

G0(za)dzd0Rd[(za)]23/20

2G011(za)()dz R22azR2aza1R(za)dR22aza2]

aR32R

2G0(2R2R2)

3a4R31GM

G 023aa2

2G0[2R高等数学教案

重积分

其中M4R30为球的质量

3上述结果表明 匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力

小结

1.曲面面积的计算;

2. 质心的计算;

3. 转动惯量的定义和求解。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意曲面面积的计算，质心的计算，转动惯量的定义和求解，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计 1.

设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程2(x2y2)，设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 已知体积减少的速率与侧zh(t)h(t)面积成正比(比例系数 0.9 ), 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要多少小时? (2001考研) 讲课提纲、板书设计 作业 P175: 1，2，4(1)，7(1)

高等数学教案

重积分

习题课

一、重积分计算的基本方法

—— 累次积分法

1. 选择合适的坐标系

使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序

积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 3. 掌握确定积分限的方法

图示法;列不等式法(从内到外: 面、线、点)

二、重积分计算的基本技巧 1. 交换积分顺序的方法

2. 利用对称性或重心公式简化计算 3. 消去被积函数绝对值符号 4. 利用重积分换元公式

三、重积分的应用 1. 几何方面

面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心 2. 物理方面

质量, 转动惯量, 质心, 引力

3. 其它方面

四、例题分析

1.在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个薄片的重心恰好落在圆心上 ,问接上去的均匀矩形薄片的另一边长 高等数学教案

重积分

度应为多少? 2.计算积分3. (xy)d，其中D由yD2x2y222x，xy4，xy12所围成。

计算二重积分

DI(xxye)dxdy, 其中

(1)D为圆域 x2y21;(2)D由直线yx,y1,x1围成 P182

2 ; 6;

8 (1), (3)

第五篇：10月小结

一路远航，蓄势雄飞

团支书签名

金秋十月，果然又是一个收获的季节。稻田里，一片片金灿灿的稻谷;湛师里，一个个红彤彤的笑脸。因为喜收佳绩，所以我们欣喜;因为果实硕大，所以我们若狂;因为相聚一堂，所以我们总是面带喜色。

白驹过隙，忙碌而又充实的十月稍众即逝。在这激情十月，10科本团支部谨听从上级安排，锲而不舍地开展各项工作，支部运作在大家的积极配合下井然有序，支部在各方面取得了很好的成绩。十月份我支部主要开展了如下的工作：

一、思想建设方面

1、魏冰教授谈科学：10月10日，澳门大学魏冰教授来校指导科本专业的教学工作，并在图书馆报告厅为科本、物本专业的同学们开展了名为“新时代里谈科学”的专业讲座，为大家讲解了当代科学的相关动向，并讲述了自己的奋斗史。同学们受到了很大的鼓舞，激发了大家学习的无限动力，对科本专业良好的就业前景也更加充满信心。

2、10月13日，党校动员大会。为了培养新一批的入党积极分子，为党建提供优秀人才，学院为院里各支部推选出来的优秀团员们举办了一次党校动员大会。会上，团员了解到了党员们的优秀作风，党委的先进性所在。优秀团员又一次领略到党的魅力，被党深深地吸引住，也更加坚定了他们入党的信念。

3、入党申请书：10月1日至17日，本支部团干积极动员本支部成

1 员书写入党申请书。通过入党申请书的书写，同学们对中国共产党有了更深入的了解，同时也激发了同学们加入中国共产党的热情，增加团员的精神支柱，使同学们有源源不断的动力，让大家在思想上有了更大的提升。

4、党课培训：10月23日，支部内顺利通过10月19日入党考试的优秀团员参加了这一期的党校培训课程。亲身的领略到党员风采，在老党员几个小时的熏陶下，深受党思想的感染，真可谓受益匪浅。

二、组织建设方面

1、10月10日，本支部在教三204进行“支部推选优秀团员参与党校培训会议”，并在团委干部、挂靠党员和同学间公平、公正、公开的监督下完满结束。本次会议实行民主投票，推选出张丽凤等6名同学参加本期党校培训，发展更多的先进团员为支部党建做贡献。借此也激发其余同学继续努力学习党章知识，提高自身素质，不断发展自我，争取早日加入中国共产党。

2、10月15日，物理院在物理楼302进行了学院的“推优总结大会”。会上，本支部的推选对象对于党建评委的问题对答如流，可见推优对象对于党的信息相当了解，下午填写推优表也顺利进行。为党建推举优秀人才的工作更进一步地得到落实。

3、10月20日，物理院新生军训正式开始。为了教授师弟师妹们军训经验，我支部组织了支部内同学探望军训中的师弟师妹。让他们在军训的艰苦条件下，感受科本大家庭的温暖。同时也促进了班级间的团结，加深了大家的友谊。

三、校园文化建设方面

1、 机电杯：10月9日、10月12日，本支部组织了六名成员和11科本的师弟联队参加机电杯足球比赛。在这两场对阵09地理和09机电的比赛中，由于欠缺经验，我们没能取胜，但我们一直秉着友谊第一比赛的二的宗旨，与师兄师姐们结下了深厚的友谊。同时我们也体会到了，只有团队团结一心，才能将力量往一个方向使，才能达到共同目标。

2、三下乡回访：12月22日，支部内所有三下乡队员返乡与学生交流。学生们为我们准备了他们自己做的煎饼、花生、饮料，还给我们送上了小手绳，大家甚是感动。此次活动虽然经历了重重阻碍，但面对自己的第一批学生，我们深刻地体会到浓浓的师生情谊。相信大家也会从三下乡活动后不断地改进自己，向优秀教师靠拢。

3、10月11日，梁锦仁等六位成员带领湛师幼儿园的学生到物理楼408科教实验室进行参观讲解。此次讲解，大大加深了支部成员对实验室实验仪器的了解与熟悉，也为湛师幼儿园科学教育课程提供了很大的帮助。

4、10月

13、14日，广州、深圳幼儿园知名老师来校参加科技研讨会。支部内成员秉承科本好学的优良学风，在课余时间到研讨会上学习幼儿园的科普教学。体验科学对不同人群的讲解方法，从而为日后就业提供筹码。 寄语：

回首这个月，在我支部全体成员共同努力下，各项大大小小的活

3 动开展得相当顺利，取得了较为令人满意的成绩，我相信在以后的日子里我们继续远行，越做越好;我们放眼未来，永不止步;我们养精蓄锐，指日待爬山枝头，再创雄飞!

让我们为下一月份呐喊加油吧!

10科本团支部 2011年10月26日