第二章小结范文

总结是一次反思过程，是一种记录工作情况、回顾工作不足的重要方式，在总结写作的过程中，我们需要全面化的分析工作情况，这有利于我们的工作成长。怎么写出有效的总结呢？下面是小编为大家整理的《第二章小结范文》，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

第一篇：第二章小结范文

第二章 广告信息 本章小结

01.信息的三个特点是(1)信息是人类认识不确定性的减小或消除;(2)信息是系统组织性、有序性的量度;(3)信息不遵从守恒定律。

02.广告信息是一种商业信息，它有以下三个特征(1)目的性;(2)时效性;(3)传输性。

03.凯·戴维斯信息沟通的“六步说”：(1)Ideation——传递信息者有要传递某种意念或事实的意向;(2)Encoding——对要传播出去的意念或事实进行语言编码;(3)Transmission——信息传递;(4)Receiving——接收传达来的信息;(5)Decoding——信息接收者对送达信息做出解析;(6)Action——信息接收者在解析判断信息的基础上做出反应行为。

04.詹姆斯·克里宾和詹姆斯·李“信息沟通改善的主、客体形象论”的形象分别是：(1)信息发送者的自我形象;(2)信息接收者的自我形象;(3)信息发送者对信息接收者的形象;(4)信息接收者对信息发送者的形象;(5)信息接收者认为信息发送者应具有的自我形象;(6)信息发送者认为信息接收者应具有的自我形象。

05.申农用电路的流动过程类比了人的信息传播的一般过程，在这个模式中，一共有七个核心概念，他们分别是信源、信宿、信道、编码、译码、反馈与噪声。

06.广告信源即广告信息的来源，其含义有二：(1)广告信息的生成者或发出者。(2)在广告活动中所需的其他信息来源。

07.广告信源有以下几个特点：(1)经济性;(2)能动性;(3)形式的丰富性;(4)关系的多样性。

08.信宿是指信息的接收者，广告信宿就是广告信息的接收者。广告信宿的特点有：(1)群体性与广泛性;(2)个体性与差异性;(3)偶然性或机缘性。

09.从信宿本身来分析，影响广告信息接收的因素主要有：(1)信息接收者的信息意识与需求;(2)信息接收者的知识修养;(3)信息接收装置的接收能力。

10.信道，顾名思义就是信息传播的渠道，它主要涉及传输容量、保真度、时间差与视听通道的“冷”与“热”等方面的问题。

11.信息量即对信息大小的度量，其计算公式为X = log 2 M;

12.广告信息传输的失真度可用“信道误码率”来计算，公式是：信道误码率 = 失真的信息元 / 传输的总信息元;

13.广告信息传输的及时性，是指信息在广告信道运动中的快慢程度，用时间差△T表示，计算公式为：△T =Tr — Td 。

14.将输出端(信宿)的信息作为“信息源”重新返回到输入端(信源)，再做信息加工的过程叫做“反馈”。

15.广告信息反馈的基本要求有以下几点：(1)缩短信息反馈时间;(2)提高反馈信息利用率;(3)拓宽信息反馈的渠道;(4)做好二次反馈或多次反馈。

16.广告信息系统包括两个方面：从硬件结构来看的广告信息的技术设备，从软件结构来看广告信息的设计与传播技术。广告信息系统的硬件结构，可再分解为信息处理、信息编码、信息发布三大部分。广告信息系统的软件结构，是指广告信息的设计、制作与传播技术。

17.数据库营销的核心内容有：(1)建立数据库;(2)数据贮存和数据挖掘;(3)数据库处理;(4)数据库维护。

18.顾客数据库是含有顾客与企业营销管理密切相关信息的数据集合，当今的信息时代，它是企业最有价值的资产之一。对数据使用先进的统计手段和模型分析以找到“有用的形式和关系”就叫做数据挖掘。

第二篇：第二章立体几何小结

第二章小结

-----本章主要问题方法总结

1、证线在面上：

⑴公理1 数学符号

⑵面面垂直的性质2 数学符号

2、确定一个平面的方法：公理2及其三个推论

公理2： 推论1 推论2 推论3

3、证点在线上的方法：公理3 数学符号

4、空间两直线平行的证明方法：

⑴公理4 数学符号

⑵线面平行的性质定理 数学符号

⑶面面平行的性质定理 数学符号 ⑷线面垂直的性质定理 数学符号

5、证明线面平行的方法：

⑴线面平行的定义

⑵线面平行的判定理 数学符号

⑶面面平行的性质定理补充定理：两平面平行，其中一个平面内的任意直线平行与另一个平面。

数学符号 6:、证线面相交得方法：

⑴定义法：

⑵反证法：

7、证面面平行的方法：

⑴面面平行的定义即两个平面没有公共点。

⑵面面平行的判定定理

数学符号

⑶面面平行的判定定理推论：一个平面内的两相交直线分别平行于另一个平面内的两 1 相交直线那么着两个平面平行。

数学符号 ⑷垂直于同一条直线的两平面平行。

数学符号

⑸平行于同一个平面两平面平行。

数学符号

8、线面垂直的判定方法：

⑴定义法

⑵线面垂直的判定定理

数学符号

⑶两直线平行，其中一条直线垂直一个平面另一条直线也垂直于这个平面。

数学符号 ⑷面面垂直的性质定理

数学符号

9、求空间角的问题：异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角。

一般步骤： A、找出或作出有角的图形 B、证明它符合定义

C、计算角的大小(解三角形)

⑴求异面直线所成角两条思维途径：

第一条：以两条异面直线四个顶点中的一个端点为顶点作角。

第二条：以两条异面直线所在的两个平面的交线上的一点为顶点作角 说明：第一条是本质，第二条是第一条的特殊情况。

⑵直线与平面所成的角

作角的关键：通常取斜线上某个特殊点作平面的垂线段，连接垂足和斜足，是产生线面所成角的关键。作垂线时常在这个面的垂面内作垂线。 ⑶二面角的求法： 定义法

垂面法 垂线法

2 回顾性练习：

练习1 如图，三棱锥S-ABC四个面都是正三角形，已知E、F分别是棱SC、AB的中点，试求异面直线EF和SA所成的角。

SECFA

B

练习2 已知ABCD-A1B1C1D1是长方体，且ABCD是边长为a的正方形，E是D D1的中点，O是正方形ABCD的中心，直线EO与B1D1所成的角是45度，如图，求直线EO与BC1所成的角。

D1A1EB1C1DOA

CB

练习3 如图 ,∠BAD=90度的等腰三角形⊿ABD与底面正⊿CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成的角是多少?

ABEC

练习4 如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E两点，又SA=AB,SB=BC.求二面角E-BD-C的大小.

D

SEADBC

第三篇：高一数学《第二章小结(3)》

第二章 小结

(三)

一、教学目标

1、知识与技能

(1)使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识;

(2)通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。

2、过程与方法

利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记;同时凸现数学知识的发展和联系。

3情态与价值

学生通过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。

二、教学重点、难点

重点：各知识点间的网络关系;

难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。

三、教学设计

(一)知识回顾，整体认识

1. 异面直线所成角;2. 直线与平面所成角;3. 两平面所成角.

(二)应用举例，深化巩固

例1. 已知空间四边形ABCD中，P、Q分别是AB、CD的中点，且PQ=3，AC=4，BD=2 求AC与BD所成角的大小.

例2. 已知四面体ABCD的各棱长均相等，E、F分别为AB、CD的中点，求EF与AC所成角的大小.

例3. 在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD为等边三角形，CD⊥BD，∠DBC=30o. (1) 求二面角A-DC-B的大小;

(2) 求二面角A-BC-D的平面角的正切值; (3) 求二面角D-AB-C的平面角的正切值.

5 ， 例4. 圆台上、下底面半径分别为

2、4，O1A

1、OB分别为上、下底面的半径，二面角A1-OO1-B是60o，o圆台母线与底面成60角. (1) 求A1B和OO1所成角的正切值; (2) 求圆台的侧面积及体积.

o例5. 在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点，求CD与平面ADMN所成角的正弦.

(三)课后作业

1. 教材P.78A组第7题;

2. 《学案》P.63第16题、P.64第19题、P.65第21题.

第四篇：九年级数学第二章 小结与复习

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

第二章 小结与复习

【教学目标】

1. 了解命题的概念，知道什么是命题，真命题、假命题、逆命题，能区分命题的题设和结论，会把一个命题写成“如果„„，那么„„”的形式。

2. 了解定义、公理、定理的概念以及公理与定理的区别，能举例将所学过的定理、公理进行说明，能较准确地表达学过的定义、定理等。

3. 了解证明的必要性、公理的方法，综合证明的格式，理解推理中要步步有据，会根据题意画出图形，写出已知、求证，并完成一个简单命题的证明。

4. 通过举反例判定一个命题是假命题，能掌握用反证法证明的思想方法。

二. 重点、难点： 1. 教学重点：

理解证明的必要性;了解定义、命题的概念并会判断真假命题，理解本节所给出的公理及相关定理。 2. 教学难点：

对证明的逻辑推理过程要熟练掌握，并能较严密地写出证明过程。 3. 思想方法：

经历探索、猜测、证明的过程，体会证明的必要性，发展学生初步的演绎推理能力;分析、解决问题时强调转化的思想、化难为易、转化的方式有代换转化，已知与未知的转化、特殊与一般的转化等。

三. 主要内容：

(一)本章知识结构图

定义 综合法 真 公理 推 出 命题 定理 依据 方法 分析法 反证法 证明 假 举反例

(二)基本内容

1. 理解推理证明的必要性 2. 定义：

对一个概念的特征本质的描述，称为它的定义。

3. 命题：

(1)定义：判断一件事情的句子，叫做命题。

(2)结构：每个命题都由条件和结论两部分组成。

命题一般可以写作“如果„„，那么„„”或“若„„，则„„”的形式。

(3)分类：命题包括真命题和假命题两类。 4. 公理、定理、证明：

人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，称为公理。

通过推理论证、判断其为真命题，称为定理。

推理的过程叫做证明。 5. 命题与逆命题：

两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。

其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

任何一个命题都有其逆命题，但一个真命题的逆命题不一定是真命题，所以，不是所有的定理都有其逆定理。 6. 证明的一般步骤：

(1)弄清题意，能正确画出图形。

(2)根据题意和图形，写出“已知”和“求证”。

(3)条理清晰地写出证明过程。

(4)检查表达过程是否正确、完善。

【典型例题】

例1. 请写出下列命题的逆命题，并判断是真命题还是假命题。

(1)直角都相等。

(2)如果两个数中有一个数是正数，那么这两个数之和是正数。

(3)对角相等的平行四边形是矩形。

分析：写逆命题应先弄清命题的条件和结论。

解：(1)相等的角是直角。(假命题)

(2)如果两个数之和是正数，那么两个数中有一个数是正数。(真命题)

(3)矩形是对角相等的平行四边形。(假命题)

说明：一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。

例2. 有一次四人游泳比赛，比赛前，四名选手A、B、C、D进行预测性会谈，A说：“我肯定得第一名”，B说：“我绝对不会得最末名”，C说：“我不可能是第一名，也不会得最后一名”，D说：“那只有我是最末的!”。经过比赛成绩揭晓，发现他们之中只有一位预测错误，请指出是哪一位选手?

分析：我们先将四人谈话内容列出表格，再来讨论。 A B C D 第一名 √ √ 第二名 √ √ 第三名 √ √ 第四名 √

解：从表中可看出D没有估计错误。

如果D预测错误，那么自然另有一个选手预测错了，否则就不会出现最末名;如果C预测错误，则他在这次比赛中应得第一名或第四名，但在此情况下，第一名和第四名已分别由A和D占据;如果B预测错误，则他只能是第四名，这里D也成了预测者，但按条件，预测错误的只有一人。

因此预测错误的只能是A，他应是第二名或第三名。

这样，名次可能是：

(1)第一名：B，第二名：A，第三名：C，第四名：D;

(2)第一名：B，第二名：C，第三名：A，第四名：D。

这类题型主要是训练同学们的逻辑推理能力，让同学们看到逻辑推理在解决问题的价值，同时体验到用逻辑思维方法成功的快乐。

例3. 有一矩形钢板ABNM，现加工成零件形状，如图，按规定∠ADE、∠BCE应分别是45°和55°，检验工人量得∠DEC=95°，就非常肯定地判定这个零件不合格，你能说明这是为什么吗?

M N D F C E A B

分析：这也是一道训练逻辑思维的题目，零件是否合格、取决于角度之间是否相等。

即若∠ADE+∠BCE=∠DEC，则零件合格，否则零件不合格。

解：过E作EF∥AD ∴∠ADE=∠FED 又AM∥BN，∴EF∥BC ∴∠FEC=∠ECB ∴∠DEC∠ADE∠ECB55451009

5现量得∠DEC=95°

∴这个零件不合格

oooo

例4. 如图，已知AB∥CD，EF交CD于H，交AB于I，EG⊥AB，垂足为G，若∠GHE=125°，求∠FEG的度数。

E A I G B C H D F

分析：略

解：∵AB∥CD，∠CHE=125°(已知)

∴∠AIE=∠CHE=120°

又EG⊥AB(已知)

∴∠EGI=90°(垂直定义)

又∠AIE是△EIG的一个外角

∴∠AIE=∠FEG+∠EGI ∴∠FEG∠AIE∠EGI1259035

例5. 证明：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形。

已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC⊥BD。

求证：四边形EFGH是矩形。

D G C H F 1 2 A E B ooo

分析：要证四边形EFGH是矩形，先需证明它是平行四边形。

由于E、F、G、H分别是各边中点。

由三角形中位线定理易证EFGH是平行四边形，再根据AC⊥BD去证明EFGH中有一个角为直角即可。

证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点(已知)

∴EF//11AC，HG//AC(三角形中位线定理) 22 ∴EF//HG(等量代换)  ∴四边形EFGH是平行四边形

又∵AC⊥BD，EF∥AC ∴∠1=90°

又EH∥BD(三角形中位线定理)

∴∠2+∠1=180°

即∠2=90°

∴四边形EFGH是矩形

例6. 先阅读第(1)问的题目及证明过程，然后完成(2)问的问题。

(1)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，E为CD中点。

求证：AE⊥BE

A D F E B C

证明：过点E作EF∥BC交AB于F ∵E是CD的中点

∴F是AB的中点

∴EF是梯形ABCD的中位线

∴EF1ADBC21

∵ABADBC

∴EF1AB22

∵EF是ABE的边AB上的中线 ∴ABE是直角三角形，从而AEBE3

4

(2)在第(1)题的证明过程中，第_________步(填写(1)题中证明步骤中的序号)，我们用到了定理：“如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。”

现在请你证明这个定理(要求写出已知、求证和证明)。

解：本题(1)中第<4>步的理由是定理“如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。”，证明如下：

已知：如图ABC中，CD是AB上的中线，且CD 求证：△ACB是直角三角形。

1AB。 2 C 1 2 A B D

分析：略

证明：∵CD是AB边上的中线

∴ADBD ∵CD1AB 21AB，∴ADBDCD 2 ∴∠1∠A，∠2∠B

又∠1∠2∠A∠B180

∴∠1∠290

即∠ACB=90°

∴△ACB是直角三角形

说明：这类阅读理解题近年来越来越常见，主要考查同学们阅读理解和自学能力，希望同学们加强这方面的训练。

【模拟试题】(答题时间：70分钟) 一. 选择题。

1. 给出下列语句：

(1)连结AB并延长到C;

(2)对顶角不相等;

(3)求线段AB的长度;

(4)全等三角形的周长相等。

其中是命题的有( ) A. 仅有(4) B. (2)(4) C. (2)(3)(4) D. (1)(2)(3)(4)

2. 下列命题中是真命题的是( ) A. 同位角相等

B. 两条直线或者相交，或者平行 C. 同旁内角相等，两直线平行

D. 在同一平面内，过一点能作且只能作一条直线与已知直线垂直 3. 下列命题正确的有( )

(1)若a//b，b//c，则a//c; oo (2)若∠1=30°，∠2=30°，则∠1=∠2;

(3)若∠1∠390，∠2∠390，则∠1=∠2;

(4)两条直线相交，有且只有一个交点。

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

4. “两直线相交成直角，称这两条直线互相垂直”是( ) A. 公理 B. 定理 C. 定义 D. 命题 5. 下列命题的逆命题是假命题的是( ) A. 平行四边形的对角线互相平分

B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C. 若ab，则a2b2

D. 矩形的对角线相等

6. 如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，AB∥CD，则∠AEC的度数为( )

A B E C D oo

A. 70° B. 80° C. 180°

D. 90° 7. 正方形具有而菱形没有的性质有( ) A. 对角线互相平分

B. 每一条对角线平分一组对角 C. 对角线相等 D. 对边相等

8. 已知：如图，∠ADB=∠ACB=90°，AD=BC，AC与BD交于O，有下列结论：

(1)AC=BD;(2)∠DBC=∠CAD;

(3)AO=BO;(4)AB∥CD。

其中正确的是( )

D C O A B

A. (1)(2)(3)

B. (2)(3)(4) C. (1)(2)(4)

D. (1)(2)(3)(4)

9. 如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于E，给出三个论断：

(1)DE=EF;(2)AE=CE;(3)FC∥AB 以其中一个论断为结论，另两个论断为条件，可得出三个命题，其中正确的命题个数是( )

A D E F B C

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

10. 如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰在DC上，下面的结论：(1)AP⊥BP;(2)PD=PC;(3)点P到直线AD、BC的距离相等。其中正确的结论是( )

A D P B C

A. (1)(2)(3)

B. (1)(3) C. 仅(1)

D. 仅(3)

二. 填空题。

1. 把命题“平行四边形两组对边分别相等”改写成“如果„„，那么„„”的形式是_____________________________。

2. 命题“邻补角的平分线互相垂直”的条件是_____________________________，结论是_________________________________。 3. 给出定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：________________ ____________________________________________。

4. 如图，△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A=70°，则∠BEC=___________。

A E B C

5. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，ACE，则△CDE的周长为___________。

3，∠A30o，D为AB的中点，DE⊥AC于

B D C E A

6. 已知正数a和b，有下列命题：

(1)若ab2，则ab1;

(2)如果ab3，则ab3; 2 (3)如果ab6，则ab3。

根据以上三个命题所提供的规律写出一个命题：

若ab15，则ab___________，这个命题是__________命题(填“真”或“假)。

三. 解答题。

1. 举反例说明下列命题是假命题。

(1)两个无理数的和仍是无理数。

(2)互补的两个角一个是锐角，一个是钝角。

2. 求证：等腰三角形两腰上的高的交点与底边两端的距离相等。

3. 如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC延长线于G，DE⊥AG于E，且DE=DC，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。

A D E B F C G

4. 用反证法证明：一个三角形中，不能有两个角是直角。

5. A、B、C三人在一起争论一个问题时，A指责B说谎话，B指责C说谎话，C指责A和B都说谎话，现请你推测一下，到底谁说真话?谁说谎话?

6. 用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，把一个含60°角的三角尺与菱形ABCD叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A逆时针旋转。

(1)当三角尺两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时[如图(1)]，通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论?并证明你的结论。 A D F B E C 图(1)

(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时[如图(2)]，你在(1)中得到的结论还成立吗?简要说明理由。

F A D B C E 图(2)

试题答案

一. 选择题。

1. B 2. D

3. D

4. C

5. D 6. D 7. C

8. D

9. D

10. A 二. 填空题。

1. 如果一个四边形是平行四边形，那么它的两组对边分别相等。 2. 条件：两个角是邻补角，结论：它们的平分线互相垂直。

3. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 4. 125° 5. 33 2 6. 15，真 2三. 解答题。

1. (1)如：两个无理数分别为5和5，则550，是有理数。

(2)如：90o90o180o，但这两个角为直角。

2. 已知：如图△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于点O。

求证：OB=OC

A E D O B C 

提示：先证△BCE≌△CBD，得∠OBC=∠OCB即可。

3. 提示：△ADE≌△FAB(DE=DC=AB，∠AED=∠B=90°，∠DAE=∠BFA，利用AD∥BC可得。)

4. 已知：△ABC中

求证：△ABC中不能有两个直角

证明：假设△ABC中能有两个角是直角

不妨设∠A=∠B=90°，则∠A+∠B=180°

∴∠A+∠B+∠C>180°

这与“三角形三内角和等于180°”相矛盾。

∴假设△ABC中能有两个角是直角不成立

∴△ABC中不能有两个直角 5. B说真话，A和C说谎话。 6. (1)如图(1)，BE=CF

提示：证△ABE≌△ACF(ASA) (2)如图(2)，BE=CF 证明：∵△ABC、△ACD为等边三角形

∴AC=AD，∠ACB=∠ADC=60°

∴∠ACE=∠ADF=120°

又∠CAD=∠EAF=60°

∴∠CAE=∠DAF(等量减等量)

∴△ACE≌△ADF(ASA)

∴CE=DF ∴CE+BC=DF+CD 即BE=CF

第五篇：29-第二章 平面向量小结与复习(2)

第二章平面向量章末复习(第2课时)

教学目标

重点：平面向量数量积的定义及其坐标表示;数量积的几何意义、向量法在平面几何中的应用. 难点：用向量法解决平面几何问题时，如何建立平面几何与平面向量之间的联系.

能力点：在运用向量方法解决平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题过程中，进一步发展学生的运

算能力和解决实际问题的能力.

教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构.

自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻.

易错点：(1)忽视两向量垂直的概念是针对两非零向量的而致错;

(2)对两向量夹角的定义理解不清致错;

(3)把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上而致错;

(4)混淆点的坐标与向量的坐标致错.

学法与教具

1.学法：讲授法、讨论法.2.教具：投影仪.

二、【知识梳理】

1.平面向量的数量积

(1)数量积的定义

已知两个非零向量a与b，我们把数量abcos叫做a与b的数量积(inner product)(或内积)，记作ab，即ab=abcos，其中是a与b的夹角.

(2)数量积的几何意义

数量积ab等于a的长度a与b在a方向上的投影bcos的乘积，或等于b的长度b与a在b方向上的投影acos的乘积.

(3)数量积的性质

b0. ①aba

②当a与b同向时，ab=ab;当a与b反向时，ab=ab;特别地，aa=a，所以

2a记作a2. aa

③abab

(4)数量积的运算律

已知向量a、b、c和实数，则：

bba; ①a

②(a)b(ab)a(b); ③(ab)cacbc. (5)数量积的坐标表示

已知两个非零向量a(x1,y1)，b(x2,y2)，则abx1x2y1y2. 由此可得：

2

2①a

x1y1或a

②abx1x2y1y20; ③设为a、b

的夹角，则cos

ab



|a||b|2.平面几何中的向量方法

用向量法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系.

在上述步骤中，把平面几何问题转化为向量问题是解决问题的关键一步，转化方法大致有两种思路：第一，选取恰当的基向量;第二，建立坐标系.

3.向量法在物理中的应用

向量有丰富的物理背景，向量的物理背景是位移、力、速度等，向量的数量积的物理背景是力所做的功.因此，用向量可以解决一些物理问题.向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获的结果解释物理现象.用向量法解决物理问题时，应作出相应的图形，以帮助我们建立数学模型.

三、【范例导航】



例1(2012•天津)在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2.设点P，Q满足 APAB，



CP2，则 AQ1AC,R.若BQ

2

2【分析】由题意可知ABAC0，根据BQCP(1)ACAB2，解方程可以求得的

值.



c0，

【解答】如图，设ABb ，ACc，则b1，c2，b



又BQBAAQb(1)c，CPCAAPcb，

由BQCP2得，

[(1)]()(14(1)2，

即32,所以

2.

3【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题.

2

变式训练1(2011·江苏卷10)已知e1,e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2,bke1e2, 若







ab0，则k的值为

答案：

5

4

2解析：abe12e2keeke12kee2ek12kcos0， 12212

13

解得k

. 4

例2(2012·江苏9)如图，在矩形ABCD

中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD

上，若ABAFAEBF的值是.【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，求出要用的向量的模，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量的数量积等于0，得到结果.





【解答】因为AFADDF，



ABAFABADDFABADABDFABDF







DF1CF1. 所以，

AEBFABBEBCCFABCFBEBC1)12 所以





【点评】本题主要考查平面向量的数量积的运算.解题的关键是要把要用的向量表示成已知向量的和的形式.

变式训练2(2012·湖南文15)如图4，在平行四边形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足为P，AP3且APAC=

答案：18



解析：设ACBDO，则AC2ABBO，



所以，

2

APACAP2ABBO2APAB2APBO2APAB2APAPPB2AP18



例3.证明：对于任意的a

1、a

2、b

1、b2R，恒有不等式a1b1a2b2a1a

2

b

2

12b2.

【分析】此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关

【解答】设a(a1,a2)，b

(b1,b2),

222

则a，bb1b2 ba1b1a2b2，aa12a2

22

因为abab，

ba所以a

22

b

所以a1b1a2b2a1a2



b

2b2.【点评】

变式训练3.如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点A(cos,sin)，B(cos,sin)，试用A、B两点的坐标表示AOB的余弦值.

答案：cosAOBcoscossinsin

解析：因为A(cos,sin),B(cos,sin),



所以OA(cos,sin)，OB(cos,sin)

OAOB

那么，cosAOBcoscossinsin.OAOB

四、【解法小结】

1.准确把握平面向量数量积的重要性质：设a(x1,y1)，b(x2,y2)

(1)aba b0x1x2y1y20，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算;

a=a2a

与a(2)a

转化.

(3)cos

ab

a、b的夹角，也可用来求

|a||b|直线的夹角(向量的夹角与向量所在直线的夹角有区别)，还可利用夹角的取值情况建立方程或不等式

用于求参数的值或范围.

2.向量解决几何问题就是把点、线、平面等几何元素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果 翻译成关于点、线、平面的相应结果，可以简单表述为“形到向量向量的运算数到形”.3.明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识：

(1)力、速度、加速度、位移的合成、力的分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成; (2)动量mv是数乘向量;

(3)功即是力F与所产生的位移s的数量积.五、【布置作业】

必做题： 1.(2012·辽宁卷)已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则下面结论正确的是() A.a∥bB.a⊥bC.|a|=|b|D.a+b=a-b

π2.(2012·上海卷) 在平行四边形ABCD中，∠AAB、AD的长分别为

2、1.若M、N

分别是边

→→|BM||CN|→→

BC、CD，则AM·AN的取值范围是________.

→→|BC||CD|

→→→→

3.(2012·北京卷)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为__ __.DE·DC的最大值为________.

4.在边长为1的正三角形ABC中，则ABBCBCCACAAB________..必做题答案：

1.因为|a+b|=|a-b|⇔(a+b)2=(a-b)2⇔a·b=0，所以a⊥b，答案选B.

点评：本小题主要考查向量的数量积以及性质.解题的突破口为对于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方.

→→→→→→→→→

2.令BM=nBC(0≤n≤1)，则DN=(1-n)DC，在平行四边形ABCD中，AM=AB+nAD，AN=AD+(1-→→→→→→→n)AB，所以AM·AN=(AB+nAD)·[AD+(1-n)AB]=-n2-2n+5，

→→而函数f(n)=-n2-2n+5在[0,1]上是单调递减的，其值域为[2,5]，所以AM·AN的取值范围是[2,5]. →→3.以D为坐标原点，DC与DA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，可知E(x,1)，0≤x≤1，→→→→所以DE=(x,1)，CB=(0,1)，可得DE·CB=x×0+1×1=1.

→→→→→因为DC=(1,0)，所以DE·DC=x，因为1≥x≥0，所以(DE·DC)max=1.



CACAAB= 4.ABBCBC

311100

ABBCcos120BCCAcos120CAABcos1200

2222

点评：利用数量积的定义求解时，务必要注意两向量夹角的大小.两向量夹角的定义前提是两向量的起

00

点要重合，对于本题要特别注意：向量AB与BC,BC与CA,CA与AB的夹角不是60，而是120.

选做题：



1.已知向量a是以点A(3，-1)为起点，且与向量b=(-3，4)垂直的单位向量，求a的终点坐标.

2.如图，在ABC中，ADDB，AEEC，CD与BE交于F，证明：CF2FD. 选做题答案：

1.设a的终点坐标为(m,n),则a=(m,n),



3(m3)4(n1)0由题意 2

2(m3)(n1)

1由①得：n=

① ②

12

(3m-13)代入②得25m-15Om+2O9=O

41911m,m,192118152

5或解得∴a的终点坐标是(,)或(,)

5555n2.n8.

1255

点评：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，

2.本题选自《学生自主学习丛书·数学》P122，例2.

六、【教后反思】

1.本教案的亮点是：(1)用结构图呈现本章知识，直观简明;(2)知识梳理部分十分详实且分类明晰;(3)例题具有典型性且解法总结到位，变式练习有效，讲练结合教学效果明显;(4)在作业的布置上，选择了部分高考题，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用.

2.本教案的弱项是：(1)有关平面向量数量积的应用涉及题目较少，如夹角的计算、模的计算等;(2)向量法在物理中的应用没有涉及到，有待于进一步补充.