欧式期权定价论文题目

欧式期权定价论文题目（精选7篇）

篇1：欧式期权定价论文题目

Vasicek利率模型下欧式未定权益定价方法

文章在利率服从Vasicek模型的假设条件下,对欧式未定权益的定价方法进行探讨.综合考虑到利率的动态变化性,在推导未定权益定价的方程时,对标的.物价格,时间和利率3个变量同时进行求导,最后得到关于欧式未定权益定价的新的偏微分方程.

作 者：张燕 杜雪樵 ZHANG Yan DU Xue-qiao 作者单位：合肥工业大学,理学院,安徽,合肥,230009刊 名：合肥工业大学学报(自然科学版) ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF HEFEI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY(NATURAL SCIENCE)年，卷(期)：200730(6)分类号：O211.63关键词：Vasicek利率 欧式未定权益 It(o)公式 Black-Scole偏微分方程

篇2：有限体积法定价欧式看跌期权

近年来, 有限体积法也被众多学者应用于期权定价问题的计算中, 并且受到了广泛的关注和研究[2,3,4,5,6]。其中, 文献[2,3]采用的是一种被称之为“Fitted finite volume method”的离散方法对期权定价模型进行离散, 最后得到期权的价格。而文献[4]对“stochastic volatility”模型的对流项和扩散项分别采用有限体积法和有限元法离散, 并结合惩罚函数法得到期权的价格。然而“Fitted”有限体积法并没有直接建立在有限元空间上的离散, 因此该方法并不是真正意义上经典的有限体积法, 其更像是积分插值法的特殊改进。经典的有限体积法定价美式期权可以参考文献[5,6]。

虽然欧式期权有着显示的定价公式, 但是很多时候人们更愿意采用先进的数值方法结合计算机技术进行科学计算。因此, 本文详细讨论了一类经典的、更加简单直接的有限体积法求解欧式看跌期权的定价模型, 并建立了两种稳定的全离散有限体积元格式。最后用数值实验表明该方法具有非常高的数值精度和计算效率。

1 欧式看跌期权模型

欧式期权的初边值问题, 求使得:

对于欧式看跌期权, 边界条件是:

终止条件是:

其中, 收益函数为:

E代表敲定价格。

2 有限体积格式

边界条件仍为 (2) 式。

经有限体积元离散, 则半离散有限体积格式 (5) 对应的矩阵形式为:

其中,

或者等价于:

其中,

3 数值实验

由表1可知, 两种全离散有限体积格式的计算都是精确的, 数值结果都随着网格剖分数的增大而变得更加精确, 而Crank-Nicolson格式的数值效果要好于隐式欧拉格式。

4 结语

本文考虑了欧式看跌期权定价模型的两种稳定的全离散有限体积格式, 采用了超松弛 (SOR) 迭代法来求解离散后的代数系统。

数值实验的结果表明, 我们所构造的有限体积格式在期权定价中是稳定且高效的, 而Crank-Nicolson格式的数值效果要优于隐式欧拉格式。由于线性有限体积元法的检验函数空间取为分片常数函数空间, 因此其计算量明显少于有限元方法, 并具有较高的数值精度, 数值实验也验证了这一点, 因此该方法是期权定价中的一种很好的数值离散方法。

参考文献

[1]Li R H, Chen Z Y, Wu W.Generalized difference methods for differential equations:Numerical analysis of finite volume methods[M].New York:Marcel Dekker, 2000.

[2]Huang C S, Huang C H, Wang S.A fitted finite volume method for the Valuation of Options on Assets with Stochastic Volatilities[J].Comput, 2006, 77 (3) .

[3]Zhang K, Wang S.Pricing options under jump diffusion processes with fitted finite volume method[J].Appl.Mathe.Comput, 2008, 201 (4) .

[4]Zvan R, Forsyth P A, Vetzal K R.Penalty methods for American options with stochastic volatility[J].J.Comput.Appl.Mathe, 1998, 91 (2) .

[5]甘小艇, 殷俊锋.有限体积法定价美式期权[J].应用数学与计算数学学报, 2014, 28 (3) .

篇3：欧式期权定价论文题目

关键词 跳扩散过程;交换期权;随机微分方程

中图分类号 O211．6 文献标识码 A

Pricing of European Exchange Options on Jump Diffusion Process Model

HUANG Shuangshuang1,HE Zhanbing2

( College of Mathematics, Physics and Information Engineering,Jiaxing University,Jiaxing 314001,China;

2.Hunan Mass Media Vocational Technical College,Changsha,Hunan 410100,China)

Abstract The problem of pricing european exchange options on a jumpdiffusion model was considered. This paper assumes that the stock price is driven by jumpdiffusion process, and the jump process is a homogenous poisson process. The differential equation of option value was derived with noarbitrage theory. By using the method of numeraire conversion, the exact formula for pricing exchange option was obtained.

Key words jumpdiffusion process , exchange option , stochastic differential equation

1 引 言

交换期权是一种期权持有人在到期日有权但不必须以一种资产交换另一种资产的合约［1］. Margrabe在1978年首次给出了在扩散模型中交换期权的闭式解［2］，他的工作是在BlackScholes模型的假设下完成的，而大量的金融统计数据表明，这样的假设与实际情形有很大偏差. 为了减小偏差，较之Margrabe的扩散模型，Merton的跳扩散模型［3］更符合实际，该模型把股票价格的运动过程分为两部分：其一是正常的连续价格波动，即因一些细小的信息的到达使得股票价格进行一些小波动，用布朗运动来刻画；其二是“非正常”的不连续的价格波动，即因一些比较重大的信息的到达使得股票价格进行较大的波动，用泊松过程来刻画.在服从泊松过程的跳扩散模型基础上，金融衍生资产定价问题是一个热点问题，文献［4］基于此模型用期权定价的鞅方法得出了障碍期权的定价公式. 本文假定股票价格过程遵循带有强度参数都为λ的时齐泊松过程的跳扩散过程，在文献［3］的基础上进行了扩展，借鉴了文献［3］和［5］中利用无套利理论的方法推导出期权满足的微分方程，然后运用文献［6］中变换计价单位的方法求解无套利条件下期权满足的随机微分方程，并与扩散模型进行了比较.

2 基本模型及假设

考虑一个具有3项资产（B(t),S1(t),S2(t)）的无摩擦金融市场，假定市场无套利，其中B(t)为无风险债券的价格过程，满足方程dB(t)=rB(t)dt，常数r为银行利率；Si(t)(i=1,2)为第i项风险资产（股票）的价格过程，其不确定性包含扩散和跳跃，假定不支付红利，其在t时刻的价格S1(t)和S2(t)分别满足随机微分方程［3］：

dS1(t)S1(t)=(μ1－λk1)dt+σ1dW1(t)+X1dN(t),(1)

dS2(t)S2(t)=(μ2－λk2)dt+σ2dW2(t)+X2dN(t),(2)

其中,常数μi(i=1,2)是第i个股票的期望收益率，常数σi(i=1,2)是没有跳跃发生时第i个股票收益的波动率；Wi(t)(i=1,2)是标准布朗运动，其相关系数为ρ；N(t)是强度参数为常数λ的时齐泊松过程；常数ki≡E(Xi)(i=1,2)，其中Xi（Xi＞－1，否则会出现非正价格）是第i个泊松过程发生跳跃时第i个股票价格的相对跳跃高度且服从独立同分布；W1(t)，W2(t)，N(t)，X1j，X2j相互独立，Xij(i=1,2)是第i个股票第j次的相对跳跃高度，是独立同分布的，且Xi0＝0；E(•)是无条件期望算子.

引理1随机微分方程（1）和（2）的解［7］分别为：

S1(t)=S1(0)exp ((μ1－λk1－12σ21)t

+σ1W1(t))∏Ntj=0(1+X1j),(3)

S2(t)=S2(0)exp ((μ2－λk2－12σ22)t

+σ2W2(t))∏Ntj=0(1+X2j),(4)

即在服从泊松跳过程的跳扩散模型下，股票价格的显示公式.

3 期权价值微分方程

记联系两种股票的交换期权在t时刻的价值为V(t)，设V(t)＝F(S1,S2，t)，其中F关于t一次连续可微，关于S1,S2二次连续可微，则由交换期权的定义，有

F(S1,S2,T)=(S2－S1)+，(5)

其边值条件为

F(S1,0,t)=0 .(6)

由式(1)和式(2)及It引理，期权的收益率可写成：

dV(t)V(t)=(μv－λk1v－λk2v)dt+σ1vdW1(t)

+σ2vdW2(t)+X1vdN(t)+X2vdN(t), (7)

其中,μv是期权的期望收益率；(σ1v,σ2v)是没有跳跃发生时期权收益的波动率； kiv=∑(Xiv) (i=1,2)，其中Xiv是服从独立同分布的第i个过程发生跳跃时期权的相对跳跃高度.

引理2(广义It公式)［8］设有跳扩散过程dx=adt+ bdW+ydq, 另有函数f(t,x)关于t一阶连续, 关于x二阶连续可导, 则

df=(ft+afx+12fxxb2)dt+bfxdW+Ydq,

其中Y=f(t,x+y)－f(t,x).

定理1 设由跳产生的风险为非系统风险，F(S1,S2,t)是联系于股票S1和股票S2在t时刻的交换期权价值，S1和S2分别满足式(1)和式(2)，则F(S1,S2,t)满足微分方程组：

Ft+12σ21S21F11+12σ22S22F22+ρσ1σ2S1S2F12 +(r－λk1)S1F1+(r－λk2)S2F2－rF+

λE(F(S1(1+X1),S2(1+X2),t)－

F(S1,S2,t))=0，F(S1,S2,T)=(S2－S1)+. (8)

证明：由It引理，有：

μv=［Ft+12σ21S21F11+12σ22S22F22+

ρσ1σ2S1S2F12+(μ1－λk1)S1F1+(μ2－

λk2)S2F2+λE(F(S1(1+X1),S2(1+X2),t)－

F(S1,S2,t))］/F(S1,S2,t).(9)

σ1v=σ1S1F1(S1,S2,t)F(S1,S2,t),(10)

σ2v=σ2S2F2(S1,S2,t)F(S1,S2,t), (11)

X1v=F(S1(1+X1),S2,t)－F(S1,S2,t)F(S1,S2,t), (12)

X2v=F(S1,S2(1+X2),t)－F(S1,S2,t)F(S1,S2,t),(13)

其中F的下标表示偏微分，E(•)是无条件期望算子.

考虑一个包含两种股票S1,S2和期权V的资产组合，令其比例分别为Δ1、Δ2和Δ3，Δ1+Δ2+Δ3=1，记P(t)为组合在t时刻的价值，那么组合的期望收益率可以写成：

dP(t)P(t)=(μp－λk1p－λk2p)dt+σ1pdW1(t)+

σ2pdW2(t) +X1pdN(t)+X2pdN(t) , (14)

其中，μp是组合的期望收益率；(σ1p,σ2p)是没有跳跃发生时组合收益的波动率；kip=∑(Xip)(i=1,2)，Xip是服从独立同分布的第i个过程发生跳跃时组合的相对跳跃高度.

由式(1)、(2)及式(9)式，有：

μp=Δ1μ1+Δ2μ2+Δ3μv , (15)

σ1p=Δ1σ1+Δ3σ1v,(16)

σ2p=Δ2σ2+Δ3σ2v ,(17)

X1p=Δ1X1+Δ3F(S1(1+X1),S2,t)－F(S1,S2,t)F(S1,S2,t),(18)

X2p=Δ2X2+Δ3F(S1,S2(1+X2),t)－F(S1,S2,t)F(S1,S2,t). (19)

选取Δ1=Δ*1，Δ2=Δ*2和Δ3=Δ*3,使得Δ*1σ1+Δ*3σ1v=0和Δ*2σ2+Δ*3σ2v=0. 记此时组合的价值为P*，把式(16)、(17)代入式(14)，得此组合的期望收益率：

dP*(t)P*(t)=(μ*p－λk*1p－λk*2p)dt+X*1pdN(t)+

X*2pdN(t). (20)

如果由跳产生的风险为非系统风险，由资本资产定价理论，组合的期望收益率等于无风险利率r，即μ*p=r，因此得到方程组:

Δ*1μ1+Δ*2μ2+Δ*3μv=r,Δ*1σ1+Δ*3σ1v=0,Δ*2σ2+Δ*3σ2v=0.(21)

将式(9)~(11)代入方程组(21)，得到F满足微分方程：

Ft+12σ21S21F11+12σ22S22F22+ρσ1σ2S1S2F12+

(r－λk1)S1F1+(r－λk2)S2F2－rF+

λE(F(S1(1+X1),S2(1+X2),t)－

F(S1,S2,t))=0. (22)

证毕.

注1 如果λ=0，微分方程组(8)即股票价格服从连续过程的资产交换期权价值方程组：

Ft+12σ21S21F11+12σ22S22F22+

ρσ1σ2S1S2F12+rS1F1+rS2F2－rF=0,

F(S1,S2,T)=(S2－S1)+.(23)

4 交换期权定价公式

定理2 在股票价格过程服从式(1)~(2)的跳扩散模型中，由式(5)定义的交换期权的定价公式为

F(S1,S2,t)

=∑+

n=0e－λ(T－t)(λ(T－t))nn!E［S2e－λk2(T－t)Φ(d1)

•∏nj=0(1+X2j)－S1e－λk1(T－t)Φ(d2)∏nj=0(1+X1j)］, (24)

其中E(•)是期望算子，

d1=1σ2(T-t)［ln（S2S1e-λ(k2-k1)(T-t)•

∏nj=01+X2j1+X1j)+12σ2(T-t)］,

d2=d1－σ2(T－t),(25)

其中σ2=σ21－2ρσ1σ2+σ22.

证明 为了求解微分方程组(8)，做一个变换，令Z=S2S1,

U(Z,t)=F(S1,S2,t)S1.(26)

即引进新的概率测度Q，满足dQdP=S1(t)S1(0)B(t)，则有

FS1=U－ZUZ，

FS2=UZ，

2FS21=Z2S1•2UZ2，

2FS22=1S1•2UZ2，

2FS1S2=－ZS12UZ2.

为了简化，记

F1=U－ZUz，

F2=Uz，

F11=Z2S1Uzz，

F22=1S1Uzz，

F12=－ZS1Uzz,(27)

其中F的下标与U的下标表示偏微分. 将式(26)~(27)代入方程组(22)，容易验证U(Z,t)满足一维随机微分方程组：

Ut+σ22Z2UZZ－λ(k2－k1)ZUz+

λ(1+k1)E(U(1+X21+X1Z,t)－U(Z,t))=0,U(Z,T)=(Z－1)+, (28)

其中，σ2=σ21－2ρσ1σ2+σ22. 将方程组(28)与文献［3］中关于跳扩散模型中的欧式期权定价方程比较，易知可以把U(Z,T)看作是以虚拟资产Z(t)为标的资产的、敲定价格为1的欧式期权的价格，且在该虚拟市场中利率r=0，虚拟资产Z(t)的波动率为σ，泊松过程的强度参数为λS1=λ(1+k1)，且发生跳跃时组合的相对跳跃高度为X2－X11+X1.则由文献［3］中相应的定价公式，即知微分方程(28)的解为：

U(Z,T)=∑+

n=0e－λ(1+k1)(T－t)(λ(1+k1)(T－t))nn!•

EQ［Ze－λ(k2－k1)(T－t)∏nj=01+X2j1+X1jΦ(d1)－Φ(d2)］

=∑+

n=0e－λ(T－t)(λ(T－t))nn!E［Ze－λk2(T－t)Φ(d1)•

∏nj=0(1+X2j)－e－λk1(T－t)Φ(d2)∏nj=0(1+X1j)］,(29)

其中,Φ(x)=12π∫x－

et22dt，约定∏0j=1Xij=1，EQ(•)是在以S1(t)为新的计价单位的概率测度Q下的期望算子，E(•)是原给定概率测度P中的期望算子，且d1，d2分别为

d1=1σ2(T－t)［ln (S2S1e－λ(k2－k1)(T－t)•

∏nj=01+X2j1+X1j)+12σ2(T－t)］,

d2=d1－σ2(T－t),

其中σ2=σ21－2ρσ1σ2+σ22.

综合式(26)、式(29)，得到结论：在股票价格过程服从式(1)、式(2)的跳扩散模型中，由式(5)定义的交换期权的定价公式为

F(S1,S2,t)=∑+

n=0e－λ(T－t)(λ(T－t))nn!•

E［S2e－λk2(T－t)Φ(d1)∏nj=0(1+X2j)－

S1e－λk1(T－t)Φ(d2)∏nj=0(1+X1j)］,

其中E(•)是期望算子，d1,d2由式（25）定义.

证毕.

注2 如果λ=0，即模型简化为扩散模型，则期权定价公式简化为

F(S1,S2,t)=S2Φ(d1)－S1Φ(d2)，(30)

其中

d1=1σ2(T－t)［ln S2S1+12σ2(T－t)］，

d2=d1－σ2(T－t).

此即Margrabe在文献［2］中得到的结果.

4 结 论

本文在不支付红利的前提下，求解了股票价格服从带时齐泊松跳的跳扩散模型的交换期权定价问题，运用了无套利理论推导出期权价值的微分方程，利用变换计价单位的方法把交换期权的定价问题转化成单个的期权定价问题，从而得到交换期权的显示定价公式.但在现实金融市场中，股票价格可能是支付红利的，股票价格的跳可能并不一定是泊松跳过程，波动率也可能不是常数，很多更为复杂的情形还有待于进一步去研究.

参考文献

［1］ 姜礼尚. 期权定价的数学模型和方法［M］. 北京：高等数学教育出版社，2003.

［2］ William Margrabe. The value of an option to exchange one asset for another［J］. The Journal of Fiance, 1978, 33(1): 177-186.

［3］ Robert C Merton. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous［J］. Journal of Financial Economics, 1976,(3):125-144.

［4］ 王莉, 杜雪樵.跳扩散模型下的欧式障碍期权的定价［J］. 经济数学, 2008, 25(3): 248-253.

［5］ 姚小义，邹捷中，陈超. 股票价格服从跳-扩散过程的资产交换期权定价模型［J］.长沙铁道学院学报，2002, 20(1)：4-9.

［6］ 钱晓松. 跳扩散模型中交换期权的定价［J］. 扬州大学学报:自然科学版，2004, 7(1)：9-12.

［7］ Knut K Aase. Contingent claims valuation when the security price is combination of an ito process and a random point process［J］. Stochastic processes and their Applications, 1988, 28(2):185-220.

［8］ 张利兵, 潘德惠. 标的股票价格服从跳跃-扩散过程的期权套期保值率确定［J］.系统工程理论方法应用, 2005, 14(1): 23-27.

篇4：欧式期权定价论文题目

1 模型假设

1.1 随机利率模型。 在等价鞅测度Q下, 我们认为市场是风险中性的, 于是我们假设利率方程:

其中{W (t) :0 #t T}为Q下的标准Brown, 与是独立的。k, a为常数, a代表长期均衡利率水平, k刻画的是短期利率偏离均衡利率水平时靠近均衡利率水平的趋势, σr是描绘利率随机性参数 (漂移项) , 利率偏移平均值距离与漂移的大小成比例[3]。

1.2指数O-U过程模型 (有红利支付情况) 。考虑一个完备金融市场, 是满足交易时间连续, 交易形式不存在套利的市场, 在这个市场中存在一种风险证券 (如股票) , 在t时刻价格过程S (t) 满足随机微分方程:

同样过引理的测度变换, 求得股票的价格在测度Q下,

Ф (x) 为标准正态分布的累积概率密度。

引理2设则对任意的实数a, b, c, d, k有下式成立

2 欧式期权定价公式

定理1利率模型为短期Vasicek利率模型 (1) , 股票价格模型为O-U过程模型 (2) , 协议价格为K, 到期日为的欧式看涨期权价格公式为

证明由欧式看涨期权在T时刻的收益由无套利定价理论

由引理1得

由引理2得

定理得证。

定理2利率模型为短期Vasicek利率模型 (1) , 股票价格模型为O-U过程模型 (2) , 协议价格为K, 到期日为的欧式看跌期权价格公式为

3结论

本文主要讨论了利率模型为Vasicek利率模型, 股票价格模型为指数O-U过程模型的条件下, 考虑到在实际的交易中, 股票投资者会得到一部分股票红利, 同时还要支付一定的交易费用, 即有红利支付的条件下, 利用鞅方法, 在风险中性的假设前提下, 得到欧式期权的价格公式。此结果可以为研究其他新型期权提供一定的理论参考。同时, 也为金融市场的不断穿行开辟新的思路, 更加符合现实的金融市场, 对提高证券公司的现实竞争力和风险管理水平, 具有重要的现实意义。

摘要：本文讨论了在利率模型为Vasicek利率模型下, 股票价格选择了遵循反应股票预期收益率波动变化指数O-U过程模型, 在风险中性的假设前提下, 利用Girsanov定理找到指数O-U过程模型的唯一等价鞅测度, 利用金融数学及随机分析中的相关知识, 得到了在考虑红利支付的条件下欧式看涨和看跌期权的定价公式。

关键词：Vasicek利率,指数O-U过程,Girsanov定理,风险中性原理

参考文献

[1]Black F, Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy, 1973, 81 (3) :637-654.

[2]孙丽娟.随机利率下基于O-U过程的欧式期权定价[J].荆楚理工学院, 2011, 26 (2) :47-51.

[3]叶中行, 王桂兰, 林建忠.金融数学-衍生产品定价理引论[M].北京:人民邮电出版社, 2006.

[4]林建华, 王福昌, 冯敬海.股价波动的指数O-U过程模型[J].经济数学, 大连理工大学, 2000, 17 (4) :29-32.

[5]杨建奇, 蒋艳秋.O-U过程模型下定额期权的定价[J].湖南科技学院学报, 2009, 30 (4) :18-21.

[6]刘凤波.基于Vasicek随机利率下具有幂型支付的期权保险精算定价方法[D].哈尔滨:哈尔滨工程大学, 2009:68-70.

篇5：欧式期权定价论文题目

关键词 混合分数布朗运动，欧式期权，期权定价

中图分类号 F830.91 文献标识码 A

Pricing European Option in the Mixed Fractional

Brownian Motion Environment

CHEN Feiyue1，2，YANG Yong2，GONG Haiwen3

（1.School of business， Central South University，Changsha， Hunan 410083， China；

2. Insurance Professional College， Changsha， Hunan 410114， China； 3. School of mathematics and Computational Science，

Changsha University of Science and Technology， Changsha， Hunan 410114， China）

Abstract Assuming that the process of stock price follows the mixed fractional Brownian motion，this paper constructed the pricing model for European option of stock paying continuous dividend under mixed fractional Brownian motion environment. The problem of pricing European option of stock paying continuous dividend was changed into the question of partial differential equation by using mixed fractional It formula. The pricing formula of European call option of stock paying continuous dividend in mixed fractional Brownian motion environment was obtained by solving partial differential equation.

Key words mixed fractional Brownian motion；European option；option pricing

1 引 言

欧式期权是一种以股票或其他金融资产为标的资产的合约，其持有者有权利但并非有义务在合约规定的某一特定时间以约定价格买入或卖出某种标的资产.期权具有非线性收益的特征，并兼顾了投资、保值和避险的功能.

期权权定价研究一直是金融工程的核心课题.自从1973年BlackScholes[1]期权定价模型出现以来，其定价理论得到了空前的发展，并取得了丰硕的成果.然而近年来，对资本市场的大量实证研究表明，金融资产（如股票）的对数收益率并非服从正态分布，而是服从一种“尖峰厚尾”的分布，而且金融资产价格也并非随机游走，而是存在着长期相关性.由于分数布朗运动（此后记为FBM）是一种高斯过程，其所具有的加法不变性，自相似性、厚尾性以及长期相关性等性质使得FBM成为较好的刻画金融资产变化过程的工具[2].Duncan[3]等建立了一个关于分数布朗运动的基于Wick乘积的随机积分，称为分形It积分，在该积分下，Necula[4]给出了分数布朗运动环境下欧式期权在任意时刻的定价公式.Hu[5]等对Hurst指数H∈（1/2，1）的FBM情形进行了研究，获得了FBM下的Girsanov公式、ClarkOcone混沌展开公式以及It公式等.Xiao[6]使用等价鞅测度方法研究了带跳扩散的分数布朗运动下的欧式汇率期权定价问题，并获得了欧式汇率期权的解析定价公式.我国学者在分数布朗运动下的期权定价研究方面也作出了不少贡献.肖艳清、邹捷中[7]将经典模型中的计价单位变换方法推广到分数布朗运动市场环境，给出了分数布朗运动下期权定价公式的新的推导方法.梅正阳、杨玉孔[8]研究了一类Hurst指数H∈（1/2，1）的分数布朗运动模型，通过鞅测度变换获得了分数布朗运动下的期权定价控制方程和欧式期权的解析公式.张卫国、肖炜麟、徐伟军、张惜丽[9]应用风险偏好和均衡定价方法，研究了标的资产服从分数布朗运动下的汇率期权定价问题，给出了分数欧式汇率期权的闭式解.林汉燕[10]运用偏微分方程方法推导了分数布朗运动下支付红利的欧式看跌期权价格的显式解.

然而，Bjrk和Hurt[11]研究表明分数布朗运动在刻画金融资产价格的波动时仍存在一些不足，如基于Wick积分的分数布朗运动在金融中的应用会受到限制，同时定义一个合适的关于分数布朗运动的随机积分是比较困难的.另外，在金融中应用分数布朗运动的主要问题是分数布朗运动不是一个半鞅.为了避免这些问题，并考虑金融资产价格过程的长记忆特性，使用混合分数布朗运动来刻画金融资产的波动是合理的[12，13].混合分数布朗运动是一族高斯过程，它是布朗运动与分数布朗运动的线性组合.当参数H>1/2时，混合分数布朗运动是一个特殊的长记忆过程.在经济学中首次使用混合分数布朗运动的学者是P.Cheriditio[14].最近，Sun[15]研究了混合分数布朗环境中的欧式汇率期权的定价问题，而且实证研究和模拟结果表明混合分数布朗运动定价模型是一个合理的模型.孙玉东、师义民[16]运用混合分数布朗运动的It公式，通过偏微分方程求解获得了几何平均型亚式期权看涨期权的定价公式.

目前，运用混合分数布朗运动模型研究期权定价问题的文献还很少，特别是在国内还尚未有学者做过关于混合分数布朗运动环境下支付红利的股票期权定价方面的研究.本文探讨了股票价格遵循混合分数布朗运动下支付连续红利的欧式期权定价问题，首先利用混合分数布朗运动的It公式，将股票支付连续红利的欧式期权的定价问题转化为一个偏微分方程，然后通过偏微分方程求解获得了混合分数布朗运动环境下支付连续红利的欧式看涨期权的定价公式.

2 预备知识

2.1 定义

5 结论与展望

本文采用混合分数布朗运动刻画股票价格的变化过程，研究了混合分数布朗运动环境下支付连续红利的欧式看涨期权的定价模型，通过求解偏微分方程得到了期权定价公式的显示解，从而将分数布朗运动的期权定价模型进行了改进.但是，本文提出的模型仍然没有脱离BlackScholes理论框架，为了简化模型而所作的一些假设显然与现实有出入，且模型中没有考虑金融市场中人的行为等因素，证券市场实际存在的一些约束条件如存在涨跌停板限制以及送股、配股等因素也没有在模型中体现出来，所以模型有待进一步改进和修正.如何将更多的因素统一到定价模型中期待更多的学者深入研究.目前，国外已有学者尝试采用随机模糊理论对期权等金融衍生品进行定价，从而为期权定价开辟了新的方法途径.

参考文献

[1] F BLACK， M SCHOLES.The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy，1973，81（3）：637-659.

[2] E FAMA.The behavior of stock market prices [J].The Journal Business， 1965，38（1）：34-105.

[3] T E DUNCAN， Y HU， P B DUNCAN.Stochastic calculus for fractional Brownian motion. I： Theory[J].SIAM Journal Control Optim，2000，38（2）：582-612.

[4] C NECULA. Option pricing in Brownian motion environment[R].Working Paper of the Academy of Economic Studies，Bucharest，2002，27（4）：8079-8089.

[5] Y HU，B KSENDAL B. Fractional white noise calculus and applications to finance [J]Infinite Dimensional AnalysisQuantum Probability and Related Topics，2003，1（6）：1-32.

[6] Weilin XIAO. Pricing currency option in a fractional Brownian motion with jumps [J].Economic Modeling， 2010， 27（8）：935-942.

[7] 肖艳清，邹捷中等.分数布朗运动环境下的期权定价与测度变换[J].数学的实践与认识，2008，38（20）：58-62.

[8] 梅正阳，杨玉孔等.基于鞅方法的分数Brown运动模型的期权定价[J].应用数学，2008，21（4）：727-730.

[9] 张卫国，肖炜麟，徐伟军，张惜丽等.分数布朗运动下欧式汇率期权的定价[J].系统工程理论与实践，2009，29（6）：68-76.

[10]林汉燕.分数次布朗运动模型下欧式期权定价偏微分方程推导法[J].桂林航天工业高等专科学学报，2010，571（1）：1l0-112.

[11]T BJRK， H HULT， A note on Wick products and the fractional BlackScholes model [J].Finance Stock.2005，32（9）：197-209.

[12]C EI-NOUTY， The fractional mixed fractional Brownian motion [J]. Statistics Probability Letters，2003， 65：111-120.

[13]Y MISHURA. Stochastic calculus for fractional Brownian motions and related processes[M].Berlin：Springer Press， 2008.

[14]P CHERIDITIO，Mixed fractional Brownian motion[J].Bernoulli 2001，41（J）：913-934.

[15]Lin SUN. Pricing currency options in the mixed fractional Brownian motion [J]. Physica A， 2013，392： 3441-3458.

[16]孙玉东，师义民.混合分数布朗运动下亚式期权定价[J].经济数学，2011，28（1）：49-51.

[17]M ZILI. On the mixed fractional Brownian motion[J].Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysts，2006（32435），1-9.

篇6：欧式期权定价论文题目

1 关于Scaled-t分布

定义1 (Scaled-t分布密度函数) 设ζ为一随机变量, 若它的密度函数为:

undefined

则称ζ服从参数μ, σ2和自由度v的Scaled-t分布, 记为ζ～ts (μ, σ2, v) , 其中Γ为伽马函数。

特别地, 当μ=0, σ=1时, 称其服从标准Scaled-t分布。

定义2 (Scaled-t分布的累积分布函数) 若ζ服从标准Scaled-t分布, 则称函数

undefined

为Scaled-t分布的累积分布函数。

由上述定义, 易得以下定理:

定理1 若ζ～ts (μ, σ2, v) , 则Eζ=μ, Dζ=σ2。

定理2 若ζ～ts (μ, σ2, v) , 则当v→∞时, ζ趋向于正态分布。

定理3 若ζ～ts (μ, σ2, v) , 则标准化变量undefined。

定理4 若ζ～ts (μ, σ2, v) , 则:

undefined

其中t (x) 为自由度为v的t分布的累积分布函数。

定理5 T (-x) =1-T (x) 。

2 基于Scaled-t分布的欧式看涨期权定价公式

2.1 模型假设

注意到若ζ～ts (μ, σ2, v) , 则当v→∞时, ζ趋向于正态分布, 且Eζ=μ, Dζ=σ2为此我们仍然采用Black-Scholes公式的一些假设, 并采用相同的参数, 只不过改动一下股票价格的分布。

(1) 股票价格的对数收益率服从参数μ, σ2和自由度v的Scaled-t分布 (这里先假设为一般字母, 后面再统一改为Black-Scholes公式的参数) ;

(2) 不存在交易成本或税负;

(3) 期权属于欧式期权;

(4) 股票的预期收益率和收益的标准偏差或易变性σ在整个期权有效期内是恒定的;

(5) 交易是连续进行的, 所得证券是完全可分的, 在衍生产品有效期内, 不存在股息或红利;

(6) 不存在无风险套利机会, 在衍生产品有效期内, 无风险利率r为常数, 期权的执行价格X也已知。

2.2 模型建立

设时间起点为0, 终点为t, S0为股票初始时刻价格, St为期权到期日的股票价格, 根据假设undefined, 则, 即St～elnS0+ts (μ, σ2, v) , 即St～ets (μ+lnS0, σ2, v)

期权到期日的预期价格为Ct=E[max (St-X, 0) ], X为执行价格。

令ζ=lnSt, 则St=eζ, 其中ζ～ts (μ+lnS0, σ2, v) 。则

undefined

其中f (x) 为ζ的密度函数。

对价格进行折现后C=e-rtCt。先看C2, 据定理4和定理5可得:

undefined

若用Black-Scholes公式中的参数代替上面的参数, 即μ→μt, σ2→σ2t, 且变换后undefined, 则:

undefined

其中undefined。

我们再看C1, 可知:

遗憾的是, 可以看出在固定自由度时, 积分值为无穷大, 这显然与期权价格上限为S0矛盾.原因在于Scaled-t分布具有厚尾特点, 使得矩母函数∫+∞-∞eyf (y) dy无界。但是我们应该注意到积分中的y代表的是股票价格的对数, 股票价格不可能趋向于无穷大, 只不过我们认为它可以而已。

为了给出C1的一个表达式, 我们比较一下:

Black-Scholes公式为C=e-rtCt=e-rt[S0ertN (d1) -X·N (d2) ], 上面结果C=e-rt[C1-X·T (d2) ]。这样我们不妨令C1=S0ertT (d1) 。最终得到基于Scaled-t分布的欧式看涨期权定价公式:

undefined

其中undefined。

上述模型建立的过程中把正态分布改为Scaled-t分布, 结合Black-Scholes公式的概率论推导方法, 并类比Black-Scholes公式得出了类似于Black-Scholes公式的欧式看涨期权定价公式。由于该分布对股票的对数收益率具有很好的拟合效果, 因此给出的公式可以弥补正态分布的缺陷;另外可以看到上面的定价公式满足C≤S0的上限条件;根据定理2, 当v→∞时, 它即为Black-Scholes公式, 所以这种处理是可行的, 下面的例子也说明了这一点。

3 实例

我们最终得到的期权定价公式中有一个参数, 即自由度v, 对于中国市场v一般取值为5～9。下面利用美国在线6月份到期的买入期权合约价格数据, 取v=7计算本文定价公式的结果, 并和Black-Scholes定价公式、二项式期权定价的结果比较一下。

已知美国在线6月份到期的买入期权合约有如下信息: (1) 股票初始价格S0=125.9375; (2) 执行价格X=125; (3) 无风险利率r=4.56%, 但要以连续复利收益率的形式表达, rc=ln (1+0.0456) =0.0446; (4) 波动率σ=0.83; (5) 期权时长t=0.0959。

以上数值若代入我们所给的定价公式中, 用Matlab计算结果为16.4184, 文献[5]计算的Black-Scholes公式结果为13.21, 另外它还给出了二项式期权定价模型 (单期) 的结果为16.75, 而期权合约的实际价格为13.55。

我们给出的结果与实际结果相差不是很大, 比Black-Scholes给出的结果要大, 与二项式模型差不多.大量事实表明Black-Scholes公式的结果比实际价格要低, 而我们给出的定价公式可能高估了实际价格.现在我们看看自由度v→∞时有什么结果, 比如取v=108, 计算结果为13.5503, 这与实际结果吻合, 而且随着v的增大, 定价也稳定在13.55.从这一方面可以看出我们给出的例子可能更倾向于正态分布。

4 结论

本文把正态分布改为Scaled-t分布, 结合Black-Scholes公式的概率论推导方法, 并类比Black-Scholes公式给出了类似于Black-Scholes公式的欧式看涨期权定价公式, 它可以克服尖峰厚尾问题.当自由度v趋向于无穷大时, 模型的结果变为Black-Scholes公式。文中的实例给出了Black-Scholes定价、二项式定价与本文定价公式的定价结果, 三者与实际结果相吻合.上面的定价公式不一定Black-Scholes公式更好, 但却是期权定价的一个参考。

参考文献

[1]林美艳, 薛宏刚, 赵凤群等.上证综合指数收益率的统计分析[J].运筹与管理, 2005, 14 (2) :115-119.

[2]苏军, 赵选民, 王雪峰.Black-Scholes期权定价模型的一种改进方法[J].西南民族大学学报, 2005, 31 (4) :504-505.

[3]黄德龙, 杨晓光.中国证券市场股指收益分布的实证分析[J].管理科学学报, 2008, 11 (1) :68-75.

[4]邓乐斌.Black-Scholes期权定价公式的两种简化推导[J].中国水运 (理论版) , 2006, 4 (5) :164-165.

篇7：欧式期权定价论文题目

关键词 欧式期权; 开关模式; 分形 Black-Scholes市场; 分数布朗运动; Wick积, 分形It 公式

中图分类号 O211.6;F830. 9 文献标识码 A

European Option Pricing in a Fractional Regime-Switching Model

SHI Ya-feng1, 2， TAO Xiang-xing2， ZHANG Song-yan3

(1. School of Science, Ningbo University, Ningbo,Zhejiang 315211, China;

2. School of Science, Zhejiang University of Science & Technology, Hangzhou,Zhejiang 310023, China

3. School of Economics & Management, Zhejiang University of Science & Technology, Hangzhou,Zhejiang 310023, China)

Abstract The European option pricing problem was investigated under the model that the underlying asset price change follows Geometric Fractional Brownian Motion but its Hurst index switches between H1 and H2 (H1 ＜ a ＜ H2) with Poison process. The formula of European call option pricing under this model and a simple analysis for the results were given.

Key words European option;regime-switching;fractional Black-scholes market ;fractional Brownian motion ; Wick product;fractional It formula

1 引 言

自从20世纪70年代初 Black-Scholes 期权定价公式［1］ 被提出后, 这一公式被广泛地应用于金融市场的定价分析. 但这一传统定价公式是建立在许多理想假设之上的. 为了克服这些不足许多学者对 Blach-scholes 公式进行了修正［2-7］. 这些修正都在有效市场假设之上的. 近年来, 对股票市场的大量实证研究结果表明, 股票市场价格变化并不符合正态分布. 而是呈现一种“尖峰肥尾”的分布; 同时股价之间也不是随机游走的, 而是存在长期相关, 自相似等特征. 根据这一现象有学者提出了分形市场假设 ［8-14］.

鉴于实证表明在“牛市”向“熊市”转变或“熊市”向“牛市”转变的那个时间段 Hurst 指数会比较小. 这也是情理之中的, 因为Hurst 指数度测着市场的记忆性. Hurst指数越大, 市场的记忆性就越强. 居于这一事实和受DiMasi, Kabanov 和Runggaldiar［11］ 所提出的开关式波动率的启发. 本文在分形 Black-scholes 市场中假定其Hurst 指数H在两种状态(H1＜a＜H2)之间以Poisson过程随机的转换, 并在此假设下研究欧式期权的定价问题， 其中(12＜a＜1)根据不同市场而定, 如上交所取a=0.55 较为合适.

2 基本模型假设

2.1 基本记号

1) αt是取值为1,-1的随机过程. 表示Hurst指数所处的状态, αt不同的取值表示不同的状态, 其关系见式(1)

2) V(St,t,αt) 是到期日为T, 敲定价格为K 的看涨期权的价值.

2.2 基本假设

αt是一个跳过程dαt=－2αtdqt，其中

dqt=1,ω1(αt);0,ω2(αt).

ω1(αt),ω2(αt)分别表示在状态αt上“跳” 和“不跳”事件.

并设在［t, t+dt］时间段"跳" 与"不跳" 发生的概率为

Prob(ω1) = λ(αt),Prob(ω2) = 1-λ(αt).

并设

H(αt)=H1,αt=－1;H2,αt=1，

其中 0＜H1＜a＜H2＜1，(1)

λ(αt)=λ1,αt=－1；λ2,αt=1.

V(St,t,αt)=V1(St,t),αt=－1；V2(St,t)αt=1.(2)

接下来介绍本文要考虑的开关式Hurst 指数分形Black-scholes市场,即

假设1 市场有两种可投资资产, 一种为无风险资产M(t), 满足dM(t) = rM(t)dt, 其中r 为常数表示无风险利率. 另一种为风险资产(即股票) , 其价值S(t) 满足方程

dS(t)=S(t)(μdt+σdWH(αt)(t)).(3)

其中μ,σ≠0为常数,WH(αt)(t)为Hurst指数为H(αt)的分数布朗运动, 为Wick积, 其定义请参阅文献［8］.

注 本文中所用的积分∫f(x)dWH(t)为Wick It Skorohod积分, 其具体的定义和性质和对标的资产价值的更多描述请参阅文献［8］ 和［12］ , 在文献［8］ 中作者证明了此类市场无强套利且完备.

假设2 分形Black-scholes市场假设就是指市场有两种可投资资产, 一种为无风险资产M(t), 满足

dM(t) = rM(t)dt,

其中r为常数表示无风险利率. 另一种为风险资产(即股票) , 其价值S(t)满足方程

dS(t)=S(t)(μdt+σdWH(t)), (4)

其中,μ,σ≠0为常数,WH(t)为Hurst指数为H的分数布朗运动，为Wick积.

3 准备知识

引理1 如果X(t)满足方程dX(t)=X(t)•(μdt+σdWH(t)),f∈C21(R×R+),12＜H＜1,则

df(X(t),t)=(ft+Hσ2t2H－1X2(t)2fX2+

μX(t)fX)dt+σX(t)fX•dWH(t).

证明请参阅文献［9］引理1.6和定理4.3的证明.

引理2 在分形Black-scholes市场中, 12＜H＜1, 基于风险资产S(t), 到期日为T, 敲定价格为K的欧式看涨期权在时刻［9］

t∈［0,T］的价格为:

CH(S(t),t)=S(t)N(d1)－Ke－r(T－t)N(d2)，(5)

其中

d1=ln S(t)K+r(T－t)+σ22(T2H－t2H)σT2H－t2H,

d2=d1－σT2H－t2H,

引理3 在引理2的假设下, 期权价格CH(S(t),t)满足PDE［9］:

Ct+Hσ2t2H－1S22CS2+rSCS－rC=0,C(S,T)=(S(T)－K)+.(6)

由于在下面的定理中要用到式(6)的解, 所以下面引理给出方程的基本解.

引理4 方程

Ct+Hσ2t2H－1S22CS2+rSCS－(λ+r)C=0 (7)

的基本解G(S,t;ξ,T)=e－(λ+r)(T－t)ξ2π(T2H－t2H).

exp {－［ln Sξ+r(T－t)+σ22(T2H－t2H)］22σ2(T2H－t2H)}.

证明 要求方程(7)的基本解,即求下列方程的定解问题.

ut+Hσ2t2H－1S22uS2+rSuS－(λ+r)u=0,u(S,T)=δ(S－ξ).

令 x=lnSξ,并设u=e(λ+r)tW, 上式可转换为

Wt+Hσ2t2H－12Wx2+(r－Hσ2t2H－1)Wx=0W(x,T)=e－(λ+r)Tξδ(x). (8)

最后用Fourier变换的方法求解(8), 可得基本解. 证毕.

4 主要结论

定理1 在假设1下, H1≥12时, 到期日为T, 敲定价格为K的欧式看涨期在t∈［0,T］时刻的价格

Vi(S,t)=Vi,0(S,t)+ui(S,t).

其中Vi,0(S,t)=e－λi(T－t)CHi(S,t), CHi(S,t)见(2.1)， (9)

ui(S,t)=i(S,t)+∑

n=1(λ1λ2)n∫Ttdζ•

∫

0K(n)i(S,t;θ,ζ)i(θ,ζ)dθ(i=1,2).

1(S,t)=f1(S,t)－

λ1∫Ttdτ∫

0G1(S,t;ξ,τ)f2(ξ,τ)dξ•

2(S,t)=f2(S,t)－

λ2∫Ttdτ∫

0G2(S,t;ξ,τ)f1(ξ,τ)dξ. (10)

f1(S,t)=－λ1∫Ttdτ∫

0G1(S,t;ξ,τ)V2,0(ξ,τ)dξ,

f2(S,t)=－λ2∫Ttdτ∫

0G2(S,t;ξ,τ)V1,0(ξ,τ)dξ. (11)

K(n)i(S,t;θ,ζ)

=∫ζtdτ∫∞0Ki(S,t;ξ,τ)K(n-1)i(ξ,τ;θ,ζ)dξ(n＞1),

K1(S,t;θ,ζ)=∫ζtdτ∫∞0G1(S,t;ξ,τ)G2(ξ,τ;θ,ζ)dξ,

K2(S,t;θ,ζ)=∫ζtdτ∫∞0G1(S,t;ξ,τ)G2(ξ,τ;θ,ζ)dξ,

K(1)i=Ki(i=1,2).(12)

证明 先考虑H1＞12时的情况.

构造投资组合 ∏(t)=Vt－ΔtS(t).(13)

寻找Δt使得在［t,t+dt］时间段内

Eα(d∏(t))=r∏(t)dt. (14)

在［t,t+dt］时间段内,若没有发生“跳”，则由引理1可得

d∏1(t)=dV－ΔtdS(t)=

(Vt+H(αt)σ2t2H(αt)－1S22VS2+μSVS－

μΔtS)dt+σS(VS－Δt)dWH(αt)(t).

当在［t,t+dt］时段内,”跳”发生时

d∏2(t)=V(S(t+dt),t+dt,－αt)－

V(S(t),t,αt)－ΔtdS(t)=［Vt+

H(-αt)σ2t2H(-αt)－1S22VS2+μSVS－

Δt)］dt+σS(VS－Δt)dWH(-αt)(t)+

V（S（t),t,-αt)-V(S(t),t,αt).

由于

Eα(d∏)=(1－λ(αt)dt)d∏1(t)+

λ(αt)dtd∏2(t),(15)

所以取Δt=VS消去随机项, 略去dt 的高阶量, 则由式(13)~(15)得

V(αt)t+H(αt)σ2t2H(αt)－1S22V(αt)S2+

rSV(αt)S+λ(αt)［V(－αt)－V(αt)］=0,V(S,T,αt)=(S(t)－K)+

取αt=±1得

V1t+H1σ2t2H1－1S22V1S2+rSV1S+

λ1［V2－V1］=0,V2t+H2σ2t2H2－1S22V2S2+rSV2S+

λ2［V1－V2］=0.V1(S,T)=V2(S,T)=(S(t)－K)+.

令ui(S,t)=Vi(S,t)-Vi,0(S,t)(i=1,2), (16)

代入式(16)并结合引理3可得

u1t+H1σ2t2H1－1S22u1S2+rSu1S－

(r+λ1)u1=－λ1(u2－V2,0),u2t+H2σ2t2H2－1S22u2S2+rSu2S－

(r+λ2)u2=－λ2(u1－V1,0),u1(S,T)=u2(S,T)=0.

应用引理4和齐次化原理可得

u1=－λ1∫Ttdτ∫

0G1(S,t;ξ,τ)u2(ξ,τ)dξ+

f1(S,t), (17)

u2=－λ2∫Ttdτ∫

0G2(S,t;ξ,τ)u1(ξ,τ)dξ+

f2(S,t),(18)

其中f1(S,t),f2(S,t)见式（11）;

Gi(S,t;ξ,T)=e－(λi+r)(T－t)ξ2π(T2Hi－t2Hi)•

exp {－［ln Sξ+r(T－t)+σ22(T2Hi－t2Hi)］22σ2(T2Hi－t2Hi)}

表示方程 uit+Hiσ2t2Hi－1S22uiS2+rSuiS－(λ+r)ui=0的基本解.

将式(17)和式(18)相互代入可得

u1=λ1λ2∫Ttdτ∫

0K1(S,t;ξ,τ)u1(ξ,τ)dξ+

1(S,t),

u2=λ1λ2∫Ttdτ∫

0K2(S,t;ξ,τ)u2(ξ,τ)dξ+

2(S,t).

其中i(S,t),Ki(S,t;ξ,τ)见式(10)和式（12）.

上式积分方程通过迭代并结合式（16）可得Vi(S,t).

对于H1=12时的情况,由于WH1(t)为标准布朗运动, 由于应用It公式与应用引理1再令H1=12有同样的结果. 故此时结论也是成立的.所以定理得证.证毕.

由于λ1, λ2 一般是小量, 实际上λ1λ2. 若略去λ2 二阶以上的小量, λ1 三阶以上的小量, 由定理1可得此模型下欧式看涨期权的定价Vi(S, t) (i= 1,2) 有渐近表达式.

推论1 在定理1 的假设下，若λ1 ,λ2 是小量，且λ1λ2, 则

V1(S,t)≈CH1(S,t)－λ1(T－t)CH1(S,t)+

∫Ttdτ∫

0G1(S,t;ξ,τ)V2,0(ξ,τ)dξ+

λ212(T－t)2CH1(S,t)+

λ1λ2∫Ttdτ∫

0K1(S,t;ξ,τ)V1,0(ξ,τ)dξ+

λ21λ2∫Ttdτ∫

0K*(S,t;ξ,τ)V1,0(ξ,τ)dξ,

V2(S,t)≈CH2(S,t)－λ2［(T－t)CH2(S,t)+

∫Ttdτ∫

0G2(S,t;ξ,τ)V1,0(ξ,τ)dξ］+

λ1λ2∫Ttdτ∫

0K2(S,t;ξ,τ)V2,0(ξ,τ)dξ，

其中K*(S,t;ξ,τ)=∫τtdθ∫

0K1(S,t;ζ,θ)G1(ζ,θ;ξ,τ)dζ.

从上述的估计式可以看出当λ1, λ2 是小量时对于开关式Hurst 指数分形Black-scholes市场模型, 欧式期权看涨期权价格可以由分形Black-scholes公式进行修正, 他们的修正项可由上式给出, 可以看得出来V1 的修正项要比V2要多. 这是情理之中的, 因为V1表示在市场状态为H1 的期权价格, 在此状态的市场比较不稳定, 所以风险比较大, 故此时期权价格比较高.

5 结 论

本文主要结合开关模式和分形Black-Scholes 市场假设, 对欧式期权定价问题研究进行一种新的尝试. 进行这种尝试的目的是为了克服由股票收益分布呈现出“尖峰肥尾”和存在相关性等特征和一个市场的Hurst指数不是不变的特点所带来的困难. 希望这种尝试有助于期权定价问题研究的发展. 当然本文所考虑的是比较简单的情况. 若考虑把模型中的两种状态(H1,H2) 推广到有限状态(Hi,0＜i＜N)或考虑H1∈(13,12］的情况都是比较有意义的.

参考文献

［1］ F Black F,M Scholes. The pricing of options and corporate liabilities［J］.J Pol Econ,1973, 81：637-665 .

［2］C Merton Robert. Continuous-time finance,Blackwell Publishers Inc［M］.2版,北京:中国人民大学出版社,2005.

［3］ H E Leland. Option pricing and replication with transaction costs［J］.Journal of Finance, 1985,40（5）: 1283-1301.

［4］ P Carr,H Geman,DMadan,et al. Stochastic volatility for Lèvy processes［J］. Math Financ,2003,13（3）:345-382.

［5］J Wiggina,Option values under stochastic volatility theory and empirical estimates［J］.Journal of Financial Economics,1987, 19:351-372.

［6］L C Evans. Partial differential equations graduate studies in mathematics［M］. AMS, Providence,1998.

［7］J P Fouque,G Papanicolaou,R Sircar. Derivatives in financial markets with stochastic volatility［M］.Cambridge:Cambridge University Press, 2000.

［8］Y Hu,B Oksendal．Fractional white noise calculus and applications to finance［J］．Infinite Dim Anal Quantum Prob Related Topics, 2003,6:1-32.

［9］C Necula ．Option pricing in a fractional Brownian motion environment［R］．Working Paper of the Academy of Economic Studies, Bucharest(Romania)2002,27:8079-8089.

［10］E Peters.分形市场分析将混沌理论应用到投资与经济理论上［M］.北京: 经济科学出版社 2002.

［11］G B Di Masi, Y M Kabanov,W J.Runggaldier, Mean variance hedging of option stocks with Markov volatility［J］.Theory of Probability and Applications, 1994, 39: 173-181.

［12］F Biagini, Y Hu, BoKsendal, T Zhang , Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Applications［M］.New York:Springer.2008.

［13］姜礼尚, 徐承龙, 任学敏,等. 金融衍生产品定价的数学模型与案例分析［M］. 北京:高等教育出版社, 2008.

［14］姜礼尚, 陈亚浙, 刘西垣, 等.数学物理方程讲义［M］.3版 , 北京:高等教育出版社, 2007 .