裂项相消法例题10道

裂项相消法例题10道（共3篇）

篇1：裂项相消法例题10道

裂项相消法专题 1．（2014•成都模拟）等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{}的前n项和． 【答案】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a32=9a2a6有a32=9a42，∴q2=． 由条件可知各项均为正数，故q=． 由2a1+3a2=1有2a1+3a1q=1，∴a1=． 故数列{an}的通项式为an=．（Ⅱ）bn=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，∴数列{}的前n项和为﹣．, 2，（2013•江西）正项数列{an}满足﹣（2n﹣1）an﹣2n=0．（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn． 【答案】（1）由正项数列{an}满足：﹣（2n﹣1）an﹣2n=0，可有（an﹣2n）（an+1）=0 ∴an=2n．（2）∵an=2n，bn=，∴bn= = =，Tn= = =． 数列{bn}的前n项和Tn为． 3．（2013•山东）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{bn}满足=1﹣，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn． 【答案】（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1有：，解有a1=1，d=2． ∴an=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由已知++…+=1﹣，n∈N*，有：

当n=1时，=，当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，∴，n=1时符合． ∴=，n∈N* 由（Ⅰ）知，an=2n﹣1，n∈N*． ∴bn=，n∈N*． 又Tn=+++…+，∴Tn=++…++，两式相减有：Tn=+（++…+）﹣ =﹣﹣ ∴Tn=3﹣． 4.（2010•山东）已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26．{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；

（Ⅱ）令（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn． 【答案】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴有，解有a1=3，d=2，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1；

Sn==n2+2n；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n+1，∴bn====，∴Tn===，即数列{bn}的前n项和Tn=． 5.（2008•四川）在数列{an}中，a1=1，．（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）令，求数列{bn}的前n项和Sn；

（Ⅲ）求数列{an}的前n项和Tn． 【答案】（Ⅰ）由条件有，又n=1时，故数列构成首项为1，公式为的等比数列．∴，即．（Ⅱ）由有，两式相减，有：，∴．（Ⅲ）由有． ∴Tn=2Sn+2a1﹣2an+1=． 6.（2010•四川）已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=（4﹣an）qn﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn． 【答案】（1）设{an}的公差为d，由已知有 解有a1=3，d=﹣1 故an=3+（n﹣1）（﹣1）=4﹣n；

（2）由（1）的解答有，bn=n•qn﹣1，于是 Sn=1•q0+2•q1+3•q2+…+n•qn﹣1． 若q≠1，将上式两边同乘以q，有 qSn=1•q1+2•q2+3•q3+…+n•qn． 上面两式相减，有（q﹣1）Sn=nqn﹣（1+q+q2+…+qn﹣1）=nqn﹣ 于是Sn= 若q=1，则Sn=1+2+3+…+n= ∴，Sn=． 7.（2010•四川）已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n﹣1+2（m﹣n）2（1）求a3，a5；

（2）设bn=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{bn}是等差数列；

（3）设cn=（an+1﹣an）qn﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{cn}的前n项和Sn． 【答案】（1）由题意，令m=2，n=1，可有a3=2a2﹣a1+2=6 再令m=3，n=1，可有a5=2a3﹣a1+8=20（2）当n∈N*时，由已知（以n+2代替m）可有 a2n+3+a2n﹣1=2a2n+1+8 于是[a2（n+1）+1﹣a2（n+1）﹣1]﹣（a2n+1﹣a2n﹣1）=8 即bn+1﹣bn=8 ∴{bn}是公差为8的等差数列（3）由（1）（2）解答可知{bn}是首项为b1=a3﹣a1=6，公差为8的等差数列 则bn=8n﹣2，即a2n+1﹣a2n﹣1=8n﹣2 另由已知（令m=1）可有 an=﹣（n﹣1）2． ∴an+1﹣an=﹣2n+1=﹣2n+1=2n 于是cn=2nqn﹣1． 当q=1时，Sn=2+4+6++2n=n（n+1）当q≠1时，Sn=2•q0+4•q1+6•q2+…+2n•qn﹣1． 两边同乘以q，可有 qSn=2•q1+4•q2+6•q3+…+2n•qn． 上述两式相减，有（1﹣q）Sn=2（1+q+q2+…+qn﹣1）﹣2nqn =2•﹣2nqn =2• ∴Sn=2• 综上所述，Sn=． 8.（2009•湖北）已知数列{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16 1）求数列{an}的通项公式；

2）数列{an}和数列{bn}满足等式an=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn． 【答案】（1）设等差数列{an}的公差为d，则依题意可知d＞0由a2+a7=16，有，2a1+7d=16① 由a3a6=55，有（a1+2d）（a1+5d）=55② 由①②联立方程求，有 d=2，a1=1/d=﹣2，a1=（排除）∴an=1+（n﹣1）•2=2n﹣1（2）令cn=，则有an=c1+c2+…+cn an+1=c1+c2+…+cn+1 两式相减，有 an+1﹣an=cn+1，由（1）有a1=1，an+1﹣an=2 ∴cn+1=2，即cn=2（n≥2），即当n≥2时，bn=2n+1，又当n=1时，b1=2a1=2 ∴bn= 于是Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6，n≥2，． 《机关公文常用词句集锦》一一 1、常用排比：

新水平、新境界、新举措、新发展、新突破、新成绩、新成效、新方法、新成果、新形势、新要求、新期待、新关系、新体制、新机制、新知识、新本领、新进展、新实践、新风貌、新事物、新高度；

重要性，紧迫性，自觉性、主动性、坚定性、民族性、时代性、实践性、针对性、全局性、前瞻性、战略性、积极性、创造性、长期性、复杂性、艰巨性、可讲性、鼓动性、计划性、敏锐性、有效性；

法制化、规范化、制度化、程序化、集约化、正常化、有序化、智能化、优质化、常态化、科学化、年轻化、知识化、专业化、系统性、时效性；

热心、耐心、诚心、决心、红心、真心、公心、柔心、铁心、上心、用心、痛心、童心、好心、专心、坏心、爱心、良心、关心、核心、内心、外心、中心、忠心、衷心、甘心、攻心；

政治意识、政权意识、大局意识、忧患意识、责任意识、法律意识、廉洁意识、学习意识、上进意识、管理意识；

出发点、切入点、落脚点、着眼点、结合点、关键点、着重点、着力点、根本点、支撑点；

活动力、控制力、影响力、创造力、凝聚力、战斗力；

找准出发点、把握切入点、明确落脚点、找准落脚点、抓住切入点、把握着重点、找准切入点、把握着力点、抓好落脚点；

必将激发巨大热情，凝聚无穷力量，催生丰硕成果，展现全新魅力。

审判工作有新水平、队伍建设有新境界、廉政建设有新举措、自身建设有新发展、法院管理有新突破；

不动摇、不放弃、不改变、不妥协；

政治认同、理论认同、感情认同；

是历史的必然、现实的选择、未来的方向。

多层次、多方面、多途径；

要健全民主制度，丰富民主形式，拓宽民主渠道，依法实行民主选举、民主决策、民主管理、民主监督 2、常用短语：

立足当前，着眼长远，自觉按规律办事 抓住机遇，应对挑战:量力而行，尽力而为 有重点，分步骤，全面推进，统筹兼顾，综合治理，融入全过程，贯穿各方面，切实抓好，减轻，扎实推进，加快发展，持续增收，积极稳妥，落实，从严控制严格执行，坚决制止，明确职责，高举旗帜，坚定不移，牢牢把握，积极争取，深入开展，注重强化，规范，改进，积极发展，努力建设，依法实行，良性互动，优势互补，率先发展，互惠互利，做深、做细、做实、全面分析，全面贯彻，持续推进，全面落实、实施，逐步扭转，基本形成，普遍增加，基本建立，更加完备(完善)，明显提高(好转)，进一步形成，不断加强(增效,深化)，大幅提高，显着改善(增强)，日趋完善，比较充分。

3、常用动词：

推进，推动，健全，统领，协调，统筹，转变，提高，实现，适应，改革，创新，扩大，加强，促进，巩固，保障，方向，取决于，完善，加快，振兴，崛起，分工，扶持，改善，调整，优化，解决，宣传，教育，发挥，支持，带动，帮助，深化，规范，强化，统筹，指导，服务，健全，确保，维护，优先，贯彻，实施，深化，保证，鼓励，引导，坚持，深化，强化，监督，管理，开展，规划，整合，理顺，推行，纠正，严格，满足，推广，遏制，整治，保护，健全，丰富，夯实，树立，尊重，制约，适应，发扬，拓宽，拓展，规范，改进，形成，逐步，实现，规范，坚持，调节，取缔，调控，把握，弘扬，借鉴，倡导，培育，打牢，武装，凝聚，激发，说服，感召，尊重，包容，树立，培育，发扬，提倡，营造，促进，唱响，主张，弘扬，通达，引导，疏导，着眼，吸引，塑造，搞好，履行，倾斜，惠及，简化，衔接，调处，关切，汇集，分析，排查，协商，化解，动员，联动，激发，增进，汲取，检验，保护，鼓励，完善，宽容，增强，融洽，凝聚，汇集，筑牢，考验，进取，凝聚，设置，吸纳，造就 4、常用名词 关系，力度，速度，反映，诉求，形势，任务，本质属性，重要保证，总体布局，战略任务，内在要求，重要进展，决策部署，结合点，突出地位，最大限度，指导思想，科学性，协调性，体制机制，基本方略，理念意识，基本路线，基本纲领，秩序，基本经验，出发点，落脚点，要务，核心，主体，积极因素，水平，方针，结构，增量，比重，规模，标准，办法，主体，作用，特色，差距，渠道，方式，主导，纽带，主体，载体，制度，需求，能力，负担，体系，重点，资源，职能，倾向，秩序，途径，活力，项目，工程，政策，项目，竞争力，环境，素质，权利，利益，权威，氛围，职能，作用，事权，需要，能力，基础，比重，长效机制，举措，要素，精神，根本，地位，成果，核心，精神，力量，纽带，思想，理想，活力，信念，信心，风尚，意识，主旋律，正气，热点，情绪，内涵，管理，格局，准则，网络，稳定，安全，支撑，局面，环境，关键，保证，本领，突出，位置，敏锐性，针对性，有效性，覆盖面，特点，规律，阵地，政策，措施，制度保障，水平，紧迫，任务，合力。

5、其它：

以求真务实的态度，积极推进综合调研制度化。

以为领导决策服务为目的，积极推进xx正常化。

以体现水平为责任，积极推进xx工作程序化。

以畅通安全为保障，积极推进xx工作智能化。

以立此存照为借鉴，积极推进xx工作规范化。

以解决问题为重点，积极推进xx工作有序化。

以服务机关为宗旨，积极推进xx服务优质化 以统筹兼顾为重点，积极推进xx工作常态化。

以求真务实的态度，积极参与综合调研。

以为领导决策服务为目的，把好信息督查关。

以体现xx水平为责任，进一步规范工作。

以畅通安全为保障，全力指导机要保密工作。

以立此存照为借鉴，协调推进档案史志工作。

以安全稳定为基础，积极稳妥做好信访工作。

以服务机关为宗旨，全面保障后勤服务。

以整体推进为出发点，协调做好xx工作。

以周到服务为前提，xx工作迅速到位。

以提高服务水平为目标，开始推行xx。

一.求真务实，积极推进xx工作制度化 二.建立体系，积极推进xx工作正常化。

三.规范办文，积极推进xx工作程序化。

四.各司其职，积极推进xx工作有序化。

五.注重质量，积极推进xx服务规范化。

六.统筹兼顾，积极推进xx工作正常化。

一是求真务实，抓好综合调研。

二是提高质量，做好信息工作。

三是紧跟进度，抓好督查工作。

四是高效规范，抓好文秘工作。

五是高度负责，做好保密工作。

六是协调推进，做好档案工作。

七是积极稳妥，做好信访工作。

八是严格要求，做好服务工作。

一、创思路，订制度，不断提高服务水平二、抓业务，重实效，开创工作新局面（一）着眼全局，充分发挥参谋助手作用（二）明确分工，充分搞好统筹协调工作 三、重协调，强进度，信息化工作有新成果 四、抓学习，重廉洁，自身素质取得新提高 一、注重学习，自身素质取得新提高 二、围绕中心，不断开创工作新局面 1.着眼全局，做好辅政工作。

2.高效规范，做好文秘工作。

3.紧跟进度，做好督查工作。

4.提高质量，做好信息工作。

5.周密细致，做好协调工作。

6.协调推进，做好档案工作。

一是建章立制，积极推进xx管理制度化。

二是规范办文，积极推进xx工作程序化。

三是建立体系，积极推进xx督查正常化。

四是注重质量，积极推进xx工作规范化。

五是各司其职，积极推进xx工作有序化。

首先要树立正确的群众利益观，坚持把实现好、维护好、发展好最广大人民群众的根本利益作为促进社会和谐的出发点，在全社会形成和谐社会人人共享的生动局面。

其次，是要树立正确的维护稳定观，坚持把确保稳定作为人民法院促进社会和谐的生命线。

第三，是要树立正确的纠纷解决观，坚持把调判结合作为有效化解不和谐因素、增加和谐因素的有效途径。

第四，是要树立正确的司法和谐观，最大限度地实现法律效果与社会效果的高度统一。

机关公文常用词汇集锦 动词一字部：

抓，搞，上，下，出，想，谋 动词二字部：

分析，研究，了解，掌握，发现，提出，推进，推动，制定，出台，完善，建立，健全，加强，强化，增强，促进，加深，深化，扩大，落实，细化，突出，建设，营造，开展，发挥，发扬，创新，转变，发展，统一，提高，提升，保持，优化，召开，举行，贯彻，执行，树立，引导，规范，整顿，服务，协调，沟通，配合，合作，支持，加大，开拓，拓展，巩固，保障，保证，形成，指导 名词：

体系，机制，体制，系统，规划，战略，方针，政策，措施，要点，重点，焦点，难点，热点，亮点，矛盾，问题，建设，思想，认识，作风，整治，环境，秩序，作用，地方，基层，传统，运行，监测，监控，调控，监督，工程，计划，行动，创新，增长，方式，模式，转变，质量，水平，效益，会议，文件，精神，意识，服务，协调，沟通，力度，领域，空间，成绩，成就，进展，实效，基础，前提，关键，保障，动力，条件，环节，方法，思路，设想，途径，道路，主意，办法，力气，功夫，台阶，形势，情况，意见，建议，网络，指导，指南，目录，方案 形容词一字部：

多，宽，高，大，好，快，省，新 形容词二字部：

持续，快速，协调，健康，公平，公正，公开，透明，富强，民主，文明，和谐，祥和，优良，良好，合理，稳定，平衡，均衡，稳健，平稳，统一，现代 副词一字部：

狠，早，细，实，好，很，较，再，更 副词二字部：

加快，尽快，抓紧，尽早，整体，充分，继续，深入，自觉，主动，自主，密切，大力，全力，尽力，务必，务求，有效 副词三字部：进一步 后缀：化，型，性 词组：

统一思想，提高认识，认清形势，明确任务，加强领导，完善机制，交流经验，研究问题，团结协作，密切配合，真抓实干，开拓进取，突出重点，落实责任，各司其职，各负其责，集中精力，聚精会神，一心一意，心无旁骛，兢兢业业，精益求精，一抓到底，爱岗敬业，求真务实，胸怀全局，拓宽视野。

篇2：几种不寻常的裂项相消法

1 直接裂项

例1(2015年安徽省文科18题)已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

解法1易求an=2n-1,Sn=2n-1,所以

解法2由题意

解法1按部就班,中规中矩;解法2挖掘隐含条件an+1=Sn+1-Sn,就能独辟蹊径,两种方法有异曲同工之妙.

解析容易想到

而现有分子中含有2n-1,可知是与3n中的“3”有关,因此

从这里也可看出,为了有“相消”的效果,“裂成”的前后项一定有f(n)与f(n+1)的关系,所以

解得最小正整数n=8.

(1)求数列{an}的通项公式;

所以

会增加裂项的难度甚至一筹莫展,所以在计算时要掌握尺寸,否则会破坏裂项的规律,使解题陷入困境.

2 先变形,后裂项

解析此题就是将cn表达式作了整理,一时半会难找出裂项的规律,受例3的启发,期间也要对代数式多次尝试恒等变形,不断调整才能成功裂项.

所以

例5(2011年安徽省文科21题)在数1和100之间插入n个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记做Tn,再令an=lg Tn,n≥1.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)设bn=tan an·tan an+1,求数列{bn}的前n项和Sn.

所以有

解析分母中显示了每个括号变化规律,关键是n个括号相乘的裂项不曾经历过,前面提及到要有f(n)与f(n+1)的分式出现,通过分子变式,约去一个括号,从而使裂项成功.

所以

解析分母中的3个括号唯一中间括号中的两个根号内的被开方式相差2,而分子中含有2,这其实就是一个暗示,先分母有理化,约去中间一个括号,再裂项就方便了.

由已知

所以

此题很容易想到如下一道裂项题:

但两者有显著的区别.

解析(Ⅰ)由已知易证数列{ln(an-1)}是等比数列,也易求数列{an}的通项公式为:an=22n-1+1,结果误导大家第(Ⅱ)题用前面结果来求得bn,再求和,但无法进行下去.此处要用到高超的代数式恒等变形能力和裂项预判能力.

从而

3 先放缩,后裂项

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

解析此类题在数列综合题中占很大份量,各类数学期刊上有大量介绍方法的文章,本文仅举一例.变形整理后还是无法裂项情形下,如果题目不是求确定的范围和具体值,可考虑先放缩,放缩到好裂项为止,但要考虑放缩的尺度,否则达不到解题的效果.

(Ⅰ)略解得,

篇3：高招、自招、竞赛中的裂项相消法

例1已知数列{an}是公差为d（d≠0），首项为a1的等差数列，求其前n项和Sn.

解析an=12d（anan+1-an-1an），令a0=a1-d，则

Sn=12d[（anan+1-an-1an）+（an-1an-an-2an-1）+…+（a1a2-a0a1）]

=12d（anan+1-a0a1）=12d[（a1+（n-1）d）（a1+nd）-（a1-d）a1]=na1+n（n-1）2d.

例2已知数列{an}是公比为q（q≠1），首项为a1的等比数列，求其前n项和Sn.

解析qn=1q-1（qn+1-qn），则

Sn=a1+a2+…+an=a1（1+q+q2+…+qn-1）=a1+a1（q+q2+…+qn-1）

=a1+a1q-1（q2-q+q3-q2+…+qn-qn-1）=a1+a1q-1（qn-q）=a1（qn-1）q-1.

评注等差数列、等比数列的求和公式在教学的过程中一般来说分别是用倒序相加法、错位相减法进行处理，这里给出两个公式的裂项求和方法，旨在让学生体会就是对通项的分解组合的思维的把握，只要是能将通项或求和的式子写成连续的项或有间隔的项的差就可以了，我们还可以将其推广到“差比型”数列的求和，如：

例3（2013年高考山东卷理科第20题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（1）求数列{an}的通项公式.

（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn+an+12n=λ（λ为常数）.令cn=b2n（n∈N*），

求数列{cn}的前n项和Rn.

解析（1）略，an=2n-1，n∈N*.

（2）由题意知：Tn=λ-n2n-1，所以，当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=n-22n-1，

故cn=b2n=2n-222n-1=（n-1）（14）n-1，n∈N*，所以，令f（n）=（rn+s）（14）n，cn=f（n）-f（n-1）因为c1=0，c2=14故r=-43，s=-49，

Rn=c1+c2+…+cn=f（n）-f（0）=（-43n-49）（14）n-（-49）=19（4-3n+14n-1）.

本题的解法基于对于“差比型”数列通项与前n项和形式上的认识：即都是一次函数和指数函数的乘积，且指数部分与原来一样，可令f（n）-f（n-1）=（an+b）qn（n∈N*），

f（n）=（rn+s）qn（r，s为待定系数）可以通过特殊值求出r，s，进而采用裂项的方法求解.2 三角函数中的裂项求和

例4已知an=tan（3n-1）tan（3n+2），求数列{an}的前n项和Sn.

解析tan[（3n+2）-（3n-1）]=tan（3n+2）-tan（3n-1）1+tan（3n+2）tan（3n-1）=tan3，

所以an=1tan3[tan（3n+2）-tan（3n-1）]-1，

所以Sn=a1+a2+…+an=1tan3[tan（3n+2）-tan2]-n.

例5证明：对任一自然数n及任意实数x≠mπ2k（k=0，1，2，…，n，m∈Z），有

1sin2x+1sin4x+…+1sin2nx=1tanx-1tan2nx.

解析1sin2x=2cos2x-cos2xsin2x=2cos2x2sinxcosx-cos2xsin2x=1tanx-1tan2x，

同理：1sin4x=1tan2x-1tan4x，…，1sin2nx=1tan2n-1x-1tan2nx，

累加得：1sin2x+1sin4x+…+1sin2nx=1tanx-1tan2nx.

评注对于三角变换中的裂项求和问题，主要是找到正弦、余弦、正切之间的联系，及和角，差角，倍角，半角，切割化弦等公式中的差值关系，适当变形达到裂项的效果，一些常见的结论也需记忆如：

已知数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，则

（1）bn=kcosancosan+1=ksind（tanan+1-tanan）；

（2）bn=ksinansinan+1=ksind（1tanan-1tanan+1）.3 无理式、阶乘中的裂项求和

例6（2006年上海交大）已知ak=k+2k！+（k+1）！+（k+2）！，则数列{an}的前100项和为.解析ak=1（k+1）！-1（k+2）！，S100=a1+a2+…+a100=102！-2！2×102！.

例7（2007年上海交大）1·1！+2·2！+3·3！+…+n·n！=.

解析n·n！=（n+1）！-n！，

原式=2！-1！+3！-2！+…+（n+1）！-n！=（n+1）！-1.

例8（2008年上海交大）数列{an}的通项公式为an=1nn+1+（n+1）n，则这个数列的前99项和为.解析an=1n-1n+1，

S99=a1+a2+…+a99=11-12+12-13+…+199-1100=1-110=910.

评注对于此类的问题主要是要对无理式进行分母或分子有理化，构造差值形式，对阶乘及组合数，排列数中的差值关系也需要了解并能给予证明，又如：

例9（2003年复旦）数列{an}的前n项和为Sn，其中an=1（n-1+n）（n-1+n+1）（n+n+1），求S2003.

解析2an=2（n-1+n）（n-1+n+1）（n+n+1）=n+1-n-1（n-1+n）（n+n+1），

所以an=12（1n-1+n-1n+n+1），Sn=12（1-1n+1+n）=12（1-n+1+n），

所以S2003=12（1-2004+2003）.

技巧掌握关于裂项的问题，技巧性很强，学生要有很好的知识储备，掌握一些变换技巧，比如常见的裂项形式如：

（1）an=An2+Bn+Cqn+1型裂项，如：an=n2+n-22n+1=（n+1）（n+2）2n-（n+2）（n+3）2n+1

（2）an=1an2+bn+c型裂项，其中a≠0，Δ=b2-4ac=k2a2（k∈N*）如：

an=14n2+8n+3=14·1（n+1）2-14=14·（1n+1-12-1n+1+12）=14·（1n+12-1n+32）

.（3）an+1=1ka2n+an型裂项，如：an+1=a2n+an=an（an+1），则1an+1=1an-1an+1，

所以有1an+1=1an-1an+1.

追根溯源裂项求和问题对学生来说最重要的是要能从面目全非的式子中提炼命题人使用的母题，例如：已知an=（n+1）3-n3，求数列{an}的前n项和Sn.此问题比较简单，但是如果命题人将an化简后得到an=3n2+3n+1后让大家求和，难度明显加大了，很多类似的难题都是这样改编过来，比如我们想构造出两组裂项求和的题目，我们可以构建出这样的数列通项：

an=4（1n+2-1n+4）+8（1n+3-1n+4）这个数列求和分组后裂项就可以了，但是我们在生成题目的时候可以将其化简后的形式给出，即变为an=8（2n+5）（n+2）（n+3）（n+4），难度明显提升，又如我们设想an=（2n+1）3-（2n-1）32然后将其化简整理变形得：an=（2n+1-2n-1）[（2n+1）2+2n+12n-1+（2n-1）2]2=4n+4n2-12n+1+2n-1，此时，如果不能揣摩出命题人的意图，或是找到原先未变形的形式，很难解决问题，当然，如果想要降低难度，可以在题目的设置中用特殊形式给出，给学生一定的提示，考查其类比，总结归纳能力.