上学期数学试卷分析

上学期数学试卷分析（精选6篇）

篇1：上学期数学试卷分析

南良沟小学：牛伯敏

本次测试题依据大纲和教材,覆盖面广，重视了基础知识、基本技能、解决问题能力的考查,主客观性试题设置合理。有一定的综合性和灵活性，难易适度。题型新颖丰富，依次呈现的是填空、判断、选择、计算、思考并解决、解决生活的问题这几个部分。内容灵活综合，各部分分数比例适中。

一、成绩分析

本班参加考试学生47名。平均分88.28，优秀率89%，及格率100%ё詈蟮梅95.5分

二、学生答题情况主要表现在以下几方面

1大题填空题：失分较多的题主要集中在第9和14小题错误较多，学生圆面积与钟表的联系不理解，导致错误。圆的直径与正方形的边长相等，谁的面积大由于不认真分析，出现错误。其他

2、判断题的失分主要在第7题。三角形的三个内角的比5:3:2这个三角形一定是锐角三角形，判断失误。8小题一个圆的半径是2厘米，它的周长和面积相等判断错误较多。

3、选择错误比较多的是3小题。选择错误较多。

4、计算。1小题直接写出得数，2题求比值错误较少。3小题求未知数X最后一道小题部分学生有错误：有个别学生计算错误。其它题对率比较高。

5、思考并解决。这道大题是探索圆面积的推导公式，推导过程能够写出来，运用什么方法解决多部分学生填空错误。造成丢分。

6、解决生活中的问题。其中2.6题错误多，2题18K黄金学生不理解，4小题3.2GB的文件的不懂”这些专业用词学生有一点难度，学生分析有困难，错误比较多。其它题错误较少。

三、从本次考试可以看出本班双基掌握不够扎实，运用已学知识灵活解决变化实际问题的能力，还有待提高。大部分学生计算能力不强，解题技巧不灵活，因此总是全班及格率、平均分都比较低。

今后，我在教学中应该重视基础知识的落实。基础知识一定要让学生切实掌握，尤其是学困生，教学不能浮在知识表层，一定要深挖，体现思想。教学更讲究学习方法和策略。遇到不同类型的习题，让学生找到更合适的解决方法和策略来提高解题能力，最终建立解题模型，发展学生的思维能力。在课堂教学中培养学生的全面系统知识体系，落实各个知识点，充分发挥知识的作用，开展思维训练，一定要让学生切实经历知识的习得过程。

.3.9

篇2：上学期数学试卷分析

一、试题的评价

这次八年级数学试卷，以新课标为依据，题型较新，较好地体现了新课程基本理念，有利于促进初中数学课堂教学改革和新课程的实施。试卷考查的知识点分散、覆盖面广，体现八年级学生所学知识的重点内容。试题内容丰富，贴近生活，灵活性强，从不同角度对学生所掌握的数学基础知识和运用数学知识分析问题、解决问题的能力进行了全面的考查。今年的数学试卷具有如下几个亮点：

1、突出考查八年级数学的主要内容

全卷共26题，总分120分，代数部分约占60％，几何部分约占40％。着重考查了代数运算、几何证明、函数方程等重点知识，以及数形结合、逻辑推理等基本数学思想方法，并注重了灵活运用知识解决问题的能力的考查。

2、面向全体，注重基础

基本题以常规题型为主，并以基本要求为考查目的，强调知识的直接应用，问题表述简洁明了，例如避免了繁难的数值计算，降低了几何证明中的难度与推理过程。

3、重视与实际生活的联系，考查数学应用能力

全卷设置了9个与现实生活有关的实际问题，分值占70分。这些试题贴近学生的生活实际，体现了数学与生活的联系，在考查中引导学生经历解决实际问题的过程，体验运用数学知识解决实际问题的情感。

4、注重灵活运用知识和探求能力的考查

如3、4、5、6小题，考查学生观察图形、图像的能力，灵活运用知识与方法的能力；第15题考查学生通过阅读分析探求规律的能力；23题与24、25、26题具有开放性、探索性，考查不同层次的学生分析、探求、解决问题的能力，具有较好的区分度。

5、试卷体现新课程理念

有些试题较好地考查了学生的创新能力、探究能力。另外，试题还从另一个侧面反映了数学内容来源于现实生活，数学是解决现实生活中的实际问题的一门学科，如第3、4、5、6、7、23、24、25、26题，从不同层次和角度考查学生的分析问题能力和解决问题能力。

这些，对我们今后的教学工作起到了较好的导向作用，有利于教师引导学生从题海中解放出来，自觉体验和探究现实生活中的数学规律，使学生的数学学习融入现实生活，数学教学达到培养学生学习数学的兴趣的目的，同时也使学生明确了学习数学的方向，从现实生活中学会观察、探究和总结数学规律，把生活常识与所学数学知识联系起来，从而能够学好初中数学。

二、学生的答题情况

这次的100份试卷，最高分120分（3人），最低分为6分，平均71.59分，优秀46人（96分以上），及格52人（72分以上）

第一大题 选择题10个小题，每小题2分，共20分，平均得16.22分。

第1题考查了分解因式的知识。

第2题主要考查全等三角形的判定，(ASS)不能判定三角形全等，有些同学错误的认为（AAS）也不能判断三角形全等。

第3题三角形的玻璃被打碎成三块，只有第③块符合(ASA)，其他两块均不能判断。

第4、6题是生活与数学相结合的题，只有生活知识或只有数学知识是无法作出正确选择的，判断时需有一个转化过程。

第5题有些同学根本没有找到对称轴就下结论，因此出现错误。第7题消费各项所占百分比在其他学科也有应用，学生出错较少。

第8题涉及简单的单项式运算及幂运算，出错较少，只有个别学生没有做对。第9题失分多，原因是不知道什么数的零次幂等于1，属概念不清。

第10题在已知两三角形有两边相等时，若要判断其全等，只有两种可能，或（SAS）或（SSS），这道题不可能用（SSS），很多学生没有选择（SAS），失分的较多。第二大题 填空题10个小题，每小题3分，共30分，平均得18.5分。第11题出错原因大多是没考虑系数的符号。

第12题出错原因是不能正确利用同底数幂的运算法则，或忽视负数的奇数次幂为负数。第13题出错大部分是基础差的学生，不清楚正比例关系中k值的求法。

第14题为较常见的一次函数应用题，程度好的学生能正确写出关系式，部分学生不能正确写出x的取值，程度较差的学生不能写出正确的关系式，也有关系式中带着单位（cm）(kg)的。

第15题是一个先去括号再进行多项式的加减运算题，出错的主要原因是括号外带“—”号的去括号后不能将各项都变号，或找不出同类项和不能正确合并同类项。

第16题是一个典型的配方问题，此方法在初三时会常用到，近几年高考也是常用到的，可以说是一种重要的数学方法，此题出错者较多，主要是对完全平方公式的各项关系不完全清楚。第17题出错较少，出错者多是猜想出来的，缺少依据，因为根本找不到△PMN的边与CD上部分线段的等量关系。

第18题是由学生添加条件再进行证明，添加条件可以是AD=BC用(SSS)也可是∠CAB=∠DBA(SAS)大部分学生可以选择其中一个条件，也有部分学生选择不符合三角形全等的条件如（SSA）。

第19题有一定的综合性，需由条件将两个函数转化成方程组解出k、b的值，学生出错较多的原因是不知道函数图象上的点满足函数关系式，因此得不到关于k、b的二元一次方程组。第20题属代数、几何的综合性题目，需根据一次函数先求出与坐标轴的交点，再由三点确定三角形，最后求三角形面积。用到的几何知识少而且简单，出错原因与19题相似，19题做错者20题基本上没能做对，可见学生对函数与图像之间的“数、形”关系没有很好的掌握。第21题是多项式运算中较为简单的问题，但抽样的100份试卷中竟有40名学生为0分。有没做的，也有没做对的，做错者多为完全平方公式与平方差公式用错或去括号时出现错误，也有在加减运算中出错的。

第22题是用提取公因式法分解因式的问题，虽然题目较为简单，但抽样中有52名学生为0分，出错原因是有当成计算题去做的，也有提取公因式时需将括号内外变号时出错的（内变外不变或外变内不变），教学中应引起重视。

第23题与18题有共同之处，属较开放性命题，需自己添加条件，已知两三角形一角及一角所在的边对应相等，可添加条件：另一边对应相等或还有一组对应角相等，也可添加条件为△EFC≌△DFA。出错者添加条件的一边符合（SSA）情况无法判断全等，也有添加∠A＝∠C这两个角都不是单个的角，应表示为∠BAE=∠BCD,可能是学生心里明白但表示不正确导致错误，也有证法不规范被扣分者，这与教师的要求有直接关系。

第24题是叫找出一对全等三角形，实际上只有一对全等，大部分同学能够找出并正确证明；也有一部分学生只能找到这对全等三角形，不能给出正确的证明；另有一部分学生不能正确的找出这对全等三角形；还有少部分学生此题没做。证明时有的学生不用三角形符号“△”表示三角形，如（ACE≌BCD)，还有用“＝”号表示全等的，应引起老师们的重视。第25题是利用函数图象上点的坐标满足函数关系式的特点求出函数关系式的题，并能根据一个变量的变化情况确定另一个变量的变化范围。有近一半学生能正确解答，有41名学生完全没有做对。主要原因是不能利用点的坐标列出方程组，也有能列出方程组但不能正确的解出方程组，从而使得出的函数关系式错误，这也就导致了后一问的错误，也有不会列方程组的或空白没做的。26题是利用函数关系解决实际问题的应用题类，空白不做者较多。有些同学虽没有计算数据，但从图像上可以看出用30元钱租书卡租用的时间长(如果不提任何依据还是不得分)，此题正确求出两个函数关系式是关键，后面的问题都是以函数关系式为依据来解的，有的学生第一问就解错了，直接影响后面的得分，因此认真解题，每步不出错误是得分关键。从答题情况看，如何使学生能把会做的题做对，是今后摆在广大教师面前的一个大问题，这个问题其实就是学生的数学基础的问题，也是因材施教的问题，需要我们全体数学教师的努力。

三、今后教学的建议

1、要立足基础。初中阶段的数学教学必须面向全体学生，立足基础，教学过程中要落实基础知识、基本技能和基本数学思想方法的要求，特别要关心数学“学困生”的学习，通过学习兴趣的培养和学习方法的指导，使他们达到学习的基本要求，提高合格率。

2、要加强培养学生的数学的应用意识和建模能力。不少试题体现了数学应用思想、实践与操作、过程与方法、探究学习等新课程理念。新课程标准非常注重学生的动手操作和实践探究，数学的学习过程是学生不断探究、不断实践的自主学习过程。因此，在今后的教学过程中应以新课程理念为指导，必须重视学生的动手操作和实践探究能力的培养，要经常从所熟悉的实际生活中和相关学科的实际问题出发，引导学生通过观察、猜想、测量、探究，归纳抽象出数学概念和规律，让学生不断体验数学与生活的联系，提高学习兴趣的同时，培养应用意识和建模能力，帮助学生走出死读书题海战术的困境，提高教学效果。

3、培养学生的数学语言表述能力。学生在答题中，由于书写表达的不规范或是表达能力的欠缺，也是造成失分的原因。如解答过程的阐述不清等。表述是一种重要的数学交流能力，因此，教学中要重视训练，培养学生良好的数学语言表述能力，尽量减少由于书写表述不清造成的失分。

4、要重视学生自主获取知识的教学。传统的教学是教师怎样教，学生跟着怎样学，学生的学习完全处于被动接受的状态，而新课程标准要求学生的学习是尝试探究、合作交流、主动获取知识。因此，教师在教学过程中要很好地把握好教授的“度”，也就是说，教师的任务不仅仅是传授知识，更重要的是传授学习数学的方法。

篇3：上学期数学试卷分析

一、选择题

1.已知集合A={x| x2+y2=1}, B={y| y=x}, 则

2.设集合A={-1, 2, 3}, B={a+2, a2+2}, A∩B={3}, 则实数a= ( ) .

(A) 1或-1 (B) 1 (C) -1 (D) 2

3.“x≥1”的一个充分不必要条件是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})x>1(\text{B})x\ge 1\\ (\text{C})\left|x\right|>1(\text{D})\left|x\right|\ge 1\end{array}$

4.设集合$A=\{x|a-1\le x<a+1\}‚B=\left\{x|1<x\le 2,x\in \mathbf{R}\right\}$, 若A∩B=∅, 则实数a 的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\{a|0\le a\le 3\}\\ (\text{B})\left\{a|0\le a<3\right\}\\ (\text{C})\left\{a|a\le 0\text{或}a>3\right\}\\ (\text{D})\left\{a|a<0\text{或}a>3\right\}\end{array}$

5.“若x, y∈R且x2+y2=0, 则x, y全为0”的否命题是 ( ) .

(A) 若x, y∈R且x2+y2≠0, 则x, y全不为0

(B) 若x, y∈R且x2+y2≠0, 则x, y不全为0

(C) 若x, y∈R且x, y全为0, 则x2+y2=0

(D) 若x, y∈R且x, y不全为0, 则x2+y2≠0

6.已知命题p:所有有理数都是实数, 命题q:正数的对数都是负数, 则下列命题中为真命题的是 ( ) .

(A) (¬p) ∨q (B) p∧q

(C) (¬p) ∧ (¬q) (D) (¬p) ∨ (¬q)

二、填空题

7.命题“若x>1, 则x2>1”的否定是.

8.若a, b为实数, 则“0<ab<1”是“$a<\frac{1}{b}$或$b>\frac{1}{a}$”的______ 条件.

9.已知集合$A=\{x|x{}^2-5x+6=0\}‚B=\{x|mx-1=0\}$, 且A∩B=B, 则实数m=______.

三、解答题

10.已知$A=\{x|-1<x<4\}‚B=\{x|2a\le x\le a+3\}.$

(Ⅰ) 若A∪B=A, 求实数a的取值范围.

(Ⅱ) 是否存在实数a满足A∩B=A?若存在, 求a的取值范围;若不存在, 请说明理由.

参考答案

1.【错解】集合A表示以原点为圆心的单位圆, 集合B表示过原点的直线, 它们有两个交点, 故选A.

【分析】集合A中的元素为x的取值范围, B中的元素为y的取值范围, 而非曲线上的点, 故A∩B为两个区间的公共部分而不是两曲线的交点.

【解】D.由题意可得$A=\{x|-1\le x\le 1\}‚B=\mathbf{R}$, 于是$A{\displaystyle \cap B}=\{x|-1\le x\le 1\}$, 故选D.

【点拨】正确理解集合所研究的对象 (元素) 是处理集合的起点与关键, 如将集合B换为$B=\{(x,y)|y=x\}$, 则A∩B=∅, 结果差异甚大.

2.【错解】由A∩B={3}, 得3∈B,

∴ (1) 当a+2=3时, a=1;

(2) 当a2+2=3时, 得a=-1或a=1.

∴a=1或-1.故选A.

【分析】事实上, 当a=1时, B={3, 3}出现重复元素, 不符合题意, 应舍去.

【解】C.由A∩B={3}, 可得3∈B,

∴ (1) 当a+2=3时, 即a=1, 这时B={3, 3}, 不符合题意, 应舍去;

(2) 当a2+2=3时, 解之, 得a=-1或a=1 (舍去) , 而当a=-1时, B={1, 3}满足题意.

∴a=-1.

【点拨】集合中不能出现重复元素, 这是集合的一个特征, 需引起注意.

3.【错解$】x\ge 1\Rightarrow \left|x\right|\ge 1$, 而$\left|x\right|\ge 1/\Rightarrow x\ge 1$, 故选D.

【分析】原题问的是“?”是“x≥1”的一个充分不必要条件, 也即“?”⇒“x≥1”, 且“x≥1” /⇒“?”, 而并非错解中的理解.

【解】A. x>1⇒x≥1, 而x≥1 /⇒x>1, 故选A.

【点拨】一般而言, 若A⊂B, 则说明x∈A是x∈B的一个充分不必要条件, 若A=B, 则说明x∈A是x∈B的充要条件.不要将关系搞反了.

4.【错解】由A∩B=∅, 在数轴上表示如图所示, 则有a+1<1或a-1>2, 即a<0或a>3, 故D.

【分析】本解由于所画的数轴过于粗糙, 没有细致标明区间端点值的空与实而出现了错解, 其实, 当a=0时, $A=\{x|-1\le x<1\}$, 也有A∩B=∅.

【解】C. 由题意可得$A=\{x|a-1<x<a+1\}$, 在数轴上表示如图所示, 则有a+1≤1或a-1>2, ∴a≤0或a>3.

【点拨】在用数轴处理集合问题时, 需特别注意端点值的考虑, 必要时可作特殊的检验.

5.【错解】原命题的否命题为“若x, y∈R且x2+y2≠0, 则x, y全不为0”, 故选A.

【分析】“x, y全为0”意义为“x=0且y=0”, 其否定为“x≠0或y≠0”, 也即“x, y不全为0”.上面的错误是对关键词的否定不准确所致.

【解】B.原命题的否命题为“若x, y∈R且x2+y2≠0, 则x, y不全为0”, 故选B.

【点拨】需掌握如下一些关键词的否定:都是 (不都是) , 至少一个 (一个也没有) , 至多一个 (至少两个) , 至少n个 (至多n-1个) , 至多n个 (至少n+1个) , 且 (或) , 或 (且) .

6.【错解1】由题意可得命题p, q均为真命题, 于是p∧q为真命题, 故选B.

【错解2】由题中条件可得命题p为真命题, 命题q为假命题, 则¬p为假命题, ¬q为真命题, 则命题 (¬p) ∧ (¬q) 为真命题, 故选C.

【分析】错解1由于错判了命题q的真假性而出错, 其实对于正数x, 其对数logax∈R (a>0且a≠1) 可以为任意数, 故q为假命题;错解2是对复合命题真假性的概念模糊所致.

【解】D.由题意可得命题p为真命题, 命题q为假命题, 则¬p为假命题, ¬q为真命题, 于是 (¬p) ∨q, p∧q, (¬p) ∧ (¬q) 均为假命题, 只有 (¬p) ∨ (¬q) 为真命题, 故选D.

【点拨】复合命题的真假性如下: (1) p∨q为真⇔p, q至少一个为真 (一真一假或两真) , p∨q为假⇔p, q均为假; (2) p∧q为真⇔p, q均为真 (两真) , p∧q为假⇔p, q至少一个为假 (一真一假或两假) ; (3) ¬p为真⇔p为假, ¬p与p必一真一假; (4) p∨q为真, p∧q为假⇔p, q一真一假 (p真q假或p假q真) .

7.【错解1】若x≤1, 则x2≤1.

【错解2】若x>1, 则x2≤1.

【分析】错解1将命题的否定错误地理解为否命题致错, 错解2是不深入理解所给命题的意义所致.事实上, “若x>1, 则x2>1”的意思为“对于任意x>1, 则x2>1”, 属于全称命题, 其否定为“不是任意的x>1, 使得x2>1”, 即“存在x>1, 使得x2≤1”.

【解】存在x>1, 使得x2≤1.

【点拨】“否命题”与“命题的否定”的区别:

(1) 否命题:既否定条件, 也否定结论, 如“若p, 则q”的否命题是“若¬p, 则¬q”, 多用于考虑“若p, 则q”形式的否命题;

(2) 命题的否定:只否定结论, 简记为“非p” (即¬p) , 如“若p, 则q” 命题的否定是“若p, 则¬q”, 多用于考虑“∀x, 使p”或“∃x, 使p”形式的命题的否定.

8.【错解】由0<ab<1知, a, b同号, 若a>0, b>0, 则$a<\frac{1}{b}$且$b<\frac{1}{a}$;若a<0, b<0, 则$a>\frac{1}{b}$且$b>\frac{1}{a}$, 即“0<ab<1”⇒“$a<\frac{1}{b}$或$b>\frac{1}{a}$”.反之也行, 故“0<ab<1”是“$a<\frac{1}{b}$或$b>\frac{1}{a}$”的充要条件.

【分析】其实反之是不行的, “$a<\frac{1}{b}$或$b>\frac{1}{a}$”⇔“$\frac{ab-1}{b}<0$或$\frac{ab-1}{a}>0$”取a<0, b>0, 则$\frac{ab-1}{a}>0$, 这时ab<0, 得不到0<ab<1.

【解】充分不必要条件.结合上面的错解与分析知, 前者是后者的充分不必要条件.

【点拨】对于充要条件的推断, 需要严格实行双向的推导, 不能草率地下“反之也行”的结论, 除非确实可行.在直接论证有困难时, 可考虑给出反例, 给予否定.

9.【错解】由题意可得A={2, 3}, 而由A∩B=B可知, B⊆A, 于是B={2}或B={3}.

当B={2}时, 由m×2-1=0, 得$m=\frac{1}{2}$;

当B={3}时, 由m×3-1=0, 得$m=\frac{1}{3}.$

∴实数$m=\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}.$

【分析】以上解法只注意到B≠∅的情形, 事实上, B=∅时, 仍满足A∩B=B.

【解$】m=\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$或0.

(1) 当B≠∅时, 由上述可知, $m=\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$;

(2) 当B=∅时, 由mx-1=0无实数根, 得m=0.

故实数m的值为$m=\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$或0.

【点拨】空集与全集是两个比较特殊的集合, 充分考虑这两个集合才不易出现漏解、错解.

10.【错解】 (Ⅰ) 由A∪B=A知, B⊆A, 有解之, 得$-\frac{1}{2}<a<1.$

∴a的取值范围是$(-\frac{1}{2},1).$

(Ⅱ) 由A∩B=A知, B⊆A, 同 (Ⅰ) 得a的取值范围是$(-\frac{1}{2},1).$

【分析】由于只注意到B≠∅的情形而致错;而 (Ⅱ) 由A∩B=A得B⊆A, 错判了A, B的关系而出错, 其实A∩B=A⇒A⊆B,

【解】 (Ⅰ) 由A∪B=A知, B⊆A.

(1) 当B≠∅时, 由上述解法, 得$-\frac{1}{2}<a<1.$

(2) 当B=∅时, 由2a>a+3, 得a>3,

∴a的取值范围是$(-\frac{1}{2},1){\displaystyle \cup (}3,+\infty ).$

(Ⅱ) 由A∩B=A知, A⊆B, 有

此不等式无解,

故不存在实数a满足A∩B=A.

【点拨】 (1) 在考虑集合之间的关系时, 需要特别关注空集的情形; (2) 由集合的运算判断集合之间的关系时, 可结合韦恩图予以直观表示, 不难得到如下一些结论:①A∪B=A⇒B⊆A;②A∩B=A⇒A⊆B;③A∪B=A∩B⇒A=B.

二、函数与微积分部分

一、选择题

1.函数y=f (x) 的图象与直线x=a的交点个数为 ( ) .

(A) 至少有一个 (B) 至多有一个

(C) 必有一个 (D) 有一个或两个

2.函数f (x) = (a-2) x2+2 (a-2) x-4的定义域为R, 值域为 (-∞, 0], 则实数a的取值范围是 ( ) .

(A) (-∞, 2) (B) (-∞, -2)

(C) {-2} (D) [-2, 2]

3.设函数f (x) =xsinx, 若$x{}_1,x{}_2\in [-\frac{\text{π}}{2},\frac{\text{π}}{2}]$, 且f (x1) > f (x2) , 则下列结论正确的是 ( ) .

(A) x1>x2 (B) x1+x2>0

(C) x1<x2 (D) x${}_1^2$>x${}_2^2$

4. (2011年娄底模拟卷) ∫${}_2^4$$\frac{1}{x}dx$等于 ( ) .

(A) -2ln2 (B) 2ln2 (C) -ln2 (D) ln2

5. (2011年枣庄月考卷) 由曲线y=x2, y=x3围成的封闭图形的面积为 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\frac{1}{12}(\text{B})\frac{1}{4}\\ (\text{C})\frac{1}{3}(\text{D})\frac{7}{12}\end{array}$

6. (2010年全国卷) 设a=log32, b=In$2,c=5{}^{\frac{1}{2}}$, 则 ( ) .

(A) a<b<c (B) b<c<a

(C) c<a<b (D) c<b<a

7. (2010年全国文科卷) 已知函数f (x) =|lgx|.若a≠b, 且f (a) =f (b) , 则a+b的取值范围是 ( ) .

(A) (1, +∞) (B) [1, +∞)

(C) (2, +∞) (D) [2, +∞)

8. (2011年豫南四市一模卷) 设$F(x)=f(x)+f(-x),x\in \mathbf{R}‚[-\text{π},-\frac{\text{π}}{2}]$是函数 F (x) 的单调递增区间, 将F (x) 的图象按向量a= (π, 0) 平移得到一个新的函数 G (x) 的图象, 则下列区间必定是G (x) 的单调递减区间的是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})[-\frac{\text{π}}{2},0](\text{B})[\frac{\text{π}}{2},\text{π}]\\ (\text{C})[\text{π},\frac{3\text{π}}{2}](\text{D})[\frac{3\text{π}}{2},2\text{π}]\end{array}$

二、填空题

9.函数$f(x)=(1-x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$是_______ (填“奇函数”或“偶函数”或“既是奇函数, 又是偶函数”或“非奇非偶函数”) .

10.若函数y=loga (2x+1) 恒为正值, 则x的取值范围是_______.

11.方程sinx=x的解的个数为_____.

12.函数f (x) =2x3-6x2-3的单调递增区间为_____.

13.已知y=f (x) 是偶函数, y=g (x) 是奇函数, x∈[0, π]上的图象如图所示, 则不等式$\frac{f(x)}{g(x)}<0$的解集是____.

三、解答题

14. (2011年襄阳模拟卷) 求∫${}_0^{2\text{π}}$$|\sin \theta |d\theta .$

15. 已知函数f (x) =x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10, 求a.b的值.

16.已知曲线$y=\frac{1}{3}x{}^3+\frac{4}{3}$, 求曲线过点P (2, 4) 的切线方程.

17.已知函数f (x) =ax3+3x2-x+2在R上是减函数, 求a的取值范围.

18.求曲线$f(x)=\sqrt[3]{x}$在原点处的切线方程.

19.已知函数f (x) 的定义域为R, 对任意x1, x2都满足 f (x1) +f (x2) =f (x1+ x2) .当x>0时, f (x) >0, 又f (cos2θ-3) + f (4m-2mcosθ) >0, 对所有$\theta \in [0,\frac{\text{π}}{2}]$均成立.求实数m的取值范围.

20.已知抛物线C1:y=x2+2x 和C2:y=-x2+a, 如果直线l同时是C1和C2的切线, 称l是C1和C2的公切线.问a取什么值时, C1和 C2有且仅有一条公切线?写出公切线的方程.

21.判断命题“当a>1时, 关于x的方程ax=logax没有实数解” 的真假.

22.求函数$f(x)=(x-1){}^{2}x{}^{\frac{2}{3}}$的极小值及取得极小值时相应的x值.

23.已知函数f (x) = (x+1) lnx-x+1.

(Ⅰ) 若xf′ (x) ≤x2+ax+1, 求a的取值范围;

(Ⅱ) 证明: (x-1) f (x) ≥0.

参考答案

1.【错解】A、C或D.

【分析】对函数的定义理解得不透彻.函数是从非空数集A到非空数集B的映射, 故定义域内的一个x值只能对应一个y值.

【解】B.

2.【错解】函数f (x) = (a-2) x2+2 (a-2) x-4的值域为 (-∞, 0) , 即f (x) ≤0恒成立,

解之, 得-2≤a≤2, 故选D.

【分析】值域为 (-∞, 0]与f (x) ≤0恒成立等价吗?事实上, 值域为 (-∞, 0]是指f (x) 的最大值为0, 从而a=2.

【解】C.

【评析】数学语言是非常简练而又多姿多彩的, 对数学语言的准确理解是解题的基础, 若发生词义上的错觉, 必会在解题之道上迷失方向.

3. 【错解】函数y=x与y=sinx在$[-\frac{\text{π}}{2},\frac{\text{π}}{2}]$上都是递增的, 从而f (x) =xsinx在$[-\frac{\text{π}}{2},\frac{\text{π}}{2}]$上也递增, 故由f (x1) > f (x2) , 可得x1>x2, 故选A.

【分析】受“增+增=增, 减+减=减”的影响, 错误地认为“增×增=增, 减×减=减”也成立, 导致错误.搞清复合函数及组合函数性质成立的前提条件, 才能避免错误的发生.

【解】D.由于f (x) =xsinx在$[-\frac{\text{π}}{2},\frac{\text{π}}{2}]$上是偶函数, 因此f (x1) > f (x2) 等价于f (|x1|) > f (|x2|) , 而y=xsinx在$[0,\frac{\text{π}}{2}]$上是单调递增函数, 故|x1|>|x2|.故选D.

4.【错解】, 故选C.

【分析】将定积分的上、下限搞错导致错误.这是对定理、公式的使用不当而出错.

【解】, 故选D.

5. 【错解】B、C或D.

【分析】不知道两曲线所围成的封闭图形是什么, 无法确定定积分的上限与下限, 导致失误.

【解】A.画图可知曲线y=x2, y=x3围成的封闭图形面积为, 故选A.

6. 【错解】A、B或D.

【分析】由于对指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则等的综合应用出现失误导致错选.

【解$】\text{C}.\because a=\log {}_{3}2=\frac{1}{\log {}_{2}3},b=\ln 2=\frac{1}{\log {}_2\text{e}}$, 而log23>log2e>1, ∴a<b.而$c=5{}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}},\sqrt{5}＞2=\log {}_{2}4＞\log {}_{2}3,\therefore c<a$, 综上c<a<b, 故选C.

7. 【错解】D.

【分析】忽视了a≠ b这一条件, 利用均值不等式直接推出了$a+b=a+\frac{1}{a}\ge 2$, 从而错选D, 忽视已知条件出错.

【解】C.∵ f (a) =f (b) , 即|lga|=|lgb|, ∴ a=b (舍) 或$b=\frac{1}{a}‚a+b=a+\frac{1}{a}$.又a >0, 令$f(a)=a+\frac{1}{a}$, 由“对号函数”的性质知, 函数f (a) 在a∈ (0, 1) 上为减函数, 在 (1, +∞) 上为增函数, ∴f (a) >f (1) =1+1=2, 即a+b的取值范围是 (2, +∞) . 当然, 我们也可以利用线性规划知识求解.

8. 【错解】D.由于$[-\text{π},-\frac{\text{π}}{2}]$是函数F (x) 的单调递增区间, 将F (x) 的图象按向量a= (π, 0) 平移后, 得$[0,\frac{\text{π}}{2}]$是新的函数G (x) 的单调递增区间, 由于原函数是偶函数, 因而$[-\frac{\text{π}}{2},0]$必定是G (x) 的单调递减区间 , 故选A.

【分析】受原函数强信息的影响, 不注意变换后的函数已发生了变化, 仍把原函数的奇偶性迁移到新函数中, 从而形成了错觉.搞清新旧函数之间的关系, 是正确求解的不二法门.

【解】D.函数G (x) 的图象由函数F (x) 平移得到, 它们的奇偶性并不一致.事实上, 由于$[-\text{π},-\frac{\text{π}}{2}]$是函数F (x) 的单调递增区间, 因此, $[\frac{\text{π}}{2},\text{π}]$是F (x) 的单调递减区间, 而它的图象通过向量a= (π, 0) 平移后, 相应地, $[\frac{3\text{π}}{2},2\text{π}]$必为函数G (x) 的单调递减区间, 故选D.

9. 【错解$】\because (1-x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=\sqrt{1-x{}^2},$

∴函数$f(x)=(1-x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$是偶函数.

【分析】判断函数奇偶性时, 首先要看函数的定义域是否关于原点对称, 上述解法恰恰忽略了这一点, 对函数奇偶性理解有误.

【解】由$\frac{1+x}{1-x}\ge 0$, 得函数的定义域为[-1, 1) , 不关于原点对称, 故f (x) 为非奇非偶函数.

10. 【错解】由y=loga (2x+1) >0, 得2x+1>1, 即x>0.

【分析】没有全面理解对数函数的性质, 缺乏分类讨论意识, 从而导致错误. 这是对对数函数的性质理解有误.

【解】当a>1时, 由y=loga (2x+1) >0, 得2x+1>1, 即x>0;当0<a<1时, 函数的值恒大于零, 则0<2x+1<1, 即$-\frac{1}{2}<x<0$.故x的取值范围:当a>1时, x>0;当0<a<1时, $-\frac{1}{2}<x<0.$

11. 【错解】在同一坐标系中画出y=sinx和y=x的草图, 观察图形可得y=sinx和y=x有两个解, 故方程sinx=x的解有3个.

【分析】学生画的草图不细致, 在画图过程中脱离了代数思考, 没有真正在思维上实现代数与图形的结合.

【解】由题意易知, 当$0<x<\frac{\text{π}}{2}$时, 0<sinx<x, 于是, 图象应如下图所示, 故方程只有一个解x=0.答案为1.

12. 【错解】f ′ (x) = 6x2-12x, 令f ′ (x) >0, 解之, 得x<0或x>2, 故f (x) 的单调增区间是 (-∞, 0) ∪ (2, +∞) .

【分析】上述解答错在单调增区间的结论表达上.首先, (-∞, 0) ∪ (2, +∞) 不是一个区间, 从而不是单调增区间;其次, 这两个区间没有公共点, 也不能合并;再就是, 由于f (x) 是连续函数, 且f (0) > f (2) , 故f (x) 在 (-∞, 0) ∪ (2, +∞) 上也不是单调递增.

【解】f (x) 的单调增区间是 (-∞, 0) , (2, +∞) 或 (-∞, 0], [2, +∞) .

【评析】一般地, ①如果函数f (x) 在区间 (a, b) 上是单调函数, 且函数图象在闭区间[a, b]上是连续不断的, 则函数f (x) 在闭区间[a, b]上也是单调函数, 此时的单调区间写成开区间和闭区间都正确.②函数单调区间能合并的充要条件是:相邻区间的单调性相同且在公共点处连续.如y=x3在 (-∞, 0) 和 (0, +∞) 上都是增函数且在x=0处连续, 故y=x3的增区间是 (-∞, +∞) .若相邻两区间在公共端点处不连续或无公共点, 则两区间不能合并, 只能用“逗号”或“和”字隔开.

13. 【错解】由题图可知, 不等式$\frac{f(x)}{g(x)}<0$的解集为$(\frac{\text{π}}{3}‚\text{π}).$

【分析】同学们没有真正关注“y=f (x) 是偶函数, y=g (x) 是奇函数”这一条件, 想当然认为函数的定义域就是[0, π].

【解】根据对称性, 只要画出两个函数在同一周期内的草图, 易得不等式的解集为$(-\frac{\text{π}}{3}‚0){\displaystyle \cup (}\frac{\text{π}}{3}‚\text{π}).$

14.【错解】原式

【分析】由于没有考虑绝对值符号, 直接使用积分公式导致出错. 对被积分函数中含有的绝对值处理有误.

【解】原式

$\begin{array}{l}15.【\text{错}\text{解}】f{}^{\prime }(x)=3x{}^2+2ax+b,\\ \because \{\begin{array}{l}f{}^{\prime }(1)=0,\\ f(1)=10,\end{array}\therefore \{\begin{array}{l}2a+b=-3,\\ 1+a+b+a{}^2=10.\end{array}\end{array}$

解之, 得或

【分析】上述解答错在没有弄清“f ′ (1) =0是可导函数 f (x) 在x=1处有极值的必要不充分条件, 忽视验证充分性.

【解】求出两组a, b值的过程同上.∵当a=-3, b=3时, f ′ (x) =3 (x-1) 2≥0, ∴f (x) 在x=1处不存在极值, 应舍去;而当a=4, b=-11时, f ′ (x) =3x2+8x-11= (x-1) (3x+11) , 易知在x=1处有极小值, 符合题意.故正确答案为a=4, b=-11.

16. 【错解】∵f ′ (x) =x2, ∴切线的斜率k= f ′ (2) =4, 所求切线方程为y-4=4 (x-2) , 即4x-y-4=0.

【分析】导致错误的原因是概念不清, 误把曲线在点P处的切线当成曲线过点P的切线求解.

【解】设曲线与过点P的切线与曲线相切于点$Q(x{}_0,\frac{1}{3}x{}_0^3+\frac{4}{3}).\because f{}^{\prime }(x)=x{}^2,\therefore$切线的斜率k=f ′ (x0) =x${}_0^2$, 切线方程为$y-(\frac{1}{3}x{}_0^3+\frac{4}{3})=x{}_0^2(x-x{}_0).①$又∵点P (2, 4) 在切线上, $\therefore 4-(\frac{1}{3}x{}_0^3+\frac{4}{3})=x{}_0^2(2-x{}_0)$, 即 (x0-2) 2 (x0+1) =0, 解之, 得x0=2或x0=-1.代入①化简后, 得到所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.

【评析】事实上, 曲线y=f (x) 在点P (x1, y1) 处的切线, 是指以点P为切点的切线, 若存在, 只有一条, 其方程为y- y1= f ′ (x1) (x- x1) ;而曲线y=f (x) 过点P的切线, 其切点不一定是点P, 其切线也不一定只有一条.此时无论点P是否在曲线y=f (x) 上, 一般解法是:先设切点为Q (x2, f (x2) ) , 切线方程为y- f (x2) = f ′ (x2) · (x- x2) .① 再把点P坐标代入方程①化简, 进而可得所求的切线方程.

17.【错解】f ′ (x) =3ax2+6x-1 .∵f (x) 在R上是减函数, ∴f ′ (x) <0对x∈R恒成立, ∴a<0, 且Δ=36+12a<0, 故a<-3即为所求.

【分析】f ′ (x) <0是f (x) 为减函数的充分不必要条件, 本题忽视了f ′ (x) =0的特殊情形.

【解】f ′ (x) =3ax2+6x-1.

① 当f ′ (x) <0 (x∈R) 时, f (x) 是减函数, 3ax2+6x-1<0 (x∈R) ⇔a<0, 且Δ=36+12a<0⇔a<-3, ∴当a<-3时, 由f ′ (x) <0知, f (x) (x∈R) 是减函数;

②当a=-3时, $f(x)=-3x{}^3+3x{}^2-x+2=-3(x-\frac{1}{3}){}^3+\frac{17}{9}$, 由函数y=x3在R上的单调性可知, 当a=-3时, f (x) (x∈R) 是减函数;

③当a>-3时, 在R上存在一个区间, 其上有 f ′ (x) >0, ∴当a>-3时, 函数 f (x) (x∈R) 不是减函数.

综上所述, a的取值范围是 (-∞, -3].

我们还可以采用下面更简捷的解法:

由题设易得f ′ (x) =3ax2+6x-1. ∵f (x) 在R上是减函数且 f ′ (x) 在R的任意子区间上不恒为0, ∴f ′ (x) ≤0 对x∈R恒成立, 即a<0, Δ=36+12a≤0, ∴a≤-3即为所求.

【评析】一般地, 可导函数f (x) 在区间 (a, b) 上是增 (减) 函数的充要条件:对任意的x∈ (a, b) 都有f ′ (x) ≥0 (f ′ (x) ≤0) , 且f ′ (x) 在 (a, b) 的任何子区间内都不恒等于0.特别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时, 要注意等号是否成立.

18. 【错解$】f{}^{\prime }(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x{}^2}}‚\because f{}^{\prime }(0)$不存在,

∴曲线在原点处切线不存在.

【分析】曲线在某点的导数不存在, 只能说明此处切线的斜率不存在, 而不能说切线不存在.

【解】由切线的定义——割线的极限位置可知, 所求的切线方程为x=0, 即y轴.

19. 【错解】由题意知, 对任意x1, x2都满足 f (x1) +f (x2) =f (x1+ x2) , ∴f (cos2θ-3) + f (4m-2mcosθ) = f (cos2θ-2mcosθ+4m -3) , 且当x>0时, f (x) >0.于是, 原不等式转化为$\cos 2\theta -2m\cos \theta +4m-3>0‚\therefore m>\frac{\cos {}^2\theta -2}{\cos \theta -2}=\cos \theta -2+\frac{2}{\cos \theta -2}+4$.由基本不等式可知, $\cos \theta -2+\frac{2}{\cos \theta -2}+4$在$\theta \in [0,\frac{\text{π}}{2}]$上的最大值为$4-2\sqrt[]{2}$, 故m的取值范围为$[4-2\sqrt[]{2}‚+\infty ).$

【分析】“f (cos2θ-3) + f (4m-2mcosθ) = f (cos2θ-2mcosθ+4m -3) ”这一步没有错, 但在“脱去” f时, 犯了转化不等价的错误.尽管已知条件中告诉我们“当x>0时, f (x) >0”, 但并没有说反之亦然, 即“当f (x) >0时, x>0”, 我们不能想当然地认为它是正确的, 这个结论需要证明.

【解】解题的关键是如何从f (cos2θ-3) + f (4m-2mcosθ) >0中合理地“剥离”出一个关于m的不等式.令x1=x2=0, 则f (0) =0.又令x1=-x2, 则f (-x2) =-f (x2) , ∴函数f (x) 是奇函数, 于是, 当x<0时, f (x) <0.从而得到结论:当f (x) >0时, x>0.以下解题过程同上.

20.【错解】如图, 当曲线 C1和曲线 C2有且仅有一个交点时, 只有一条公切线.于是联立方程组:y=x2+2x和y=-x2+a , 得到2x2+2x-a=0, 令Δ=4+8a=0, 求得$a=-\frac{1}{2}$.此时, $x=-\frac{1}{2},y=-\frac{3}{4}$, 故公切线方程为$y=x-\frac{1}{4}.$

【分析】当两直线只有一个交点 (即公共交点) 时, 存在公切线, 并且最多只有一条, 但并不说明“只有一个交点”等价于“只有一条公切线”, 上述错解犯了逻辑推理上的不等价转换方面的隐性错误.尽管a的值及切线方程没有错, 但解题过程是错误的.

【解】设l切 C1于P1 (x1, y1) , l切C2于 (x2, y2) , 则切线方程为y- ( x${}_1^2$+2 x1) = (2 x1+2) (x-x1) 和y- (-x${}_2^2$+a) =-2 x2 (x- x2) .因为l是一条公切线, 以上两切线的斜率相等, 即2 (x1+1) = -2 x2, 且-x${}_1^2$= x${}_2^2$+a, 于是, 2x${}_1^2$+2x1+1+a=0.由Δ=0推得$a=-\frac{1}{2}$, 以下解题过程略.

其实由两个曲线方程通过加减消元法得到两个曲线的公共弦方程$y=x+\frac{a}{2}$, 可以从公共弦的角度处理.读者可以试一下.

21. 【错解】当a>1时, 函数y=ax与函数y=logax关于直线y=x对称, 并且分布在直线的两侧, 所以关于x的方程ax=logax没有实数解.

【分析】由于学生受平时画草图的影响, 时常将函数y=ax与函数y=logax (a>1) 画在直线y=x的两侧, 犯了作草图不合格的毛病.

【解】命题为假.事实上, 当$a=\sqrt{2}$时, 函数y=ax与y=logax显然有一个公共点 (2, 2) .

22. 【错解$】f{}^{\prime }(x)=2(x-1)x{}^{\frac{2}{3}}+\frac{2}{3}(x-1){}^{2}x{}^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}x{}^{-\frac{1}{3}}(x-1)(4x-1).$

∵ f ′ (0) 不存在, ∴f (0) 不是f (x) 的极小值.

又当x∈ (1, +∞) 时, f ′ (x) >0, 当$x\in (\frac{1}{4},1)$时, f ′ (x) <0, 故当x=1时, f (x) 有极小值0.

【分析】由f ′ (0) 不存在直接判定f (0) 不是f (x) 的极小值, 从而导致错误.

【解$】f{}^{\prime }(x)=2(x-1)x{}^{\frac{2}{3}}+\frac{2}{3}(x-1){}^{2}x{}^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}x{}^{-\frac{1}{3}}(x-1)(4x-1).\because f(x)$的定义域为R, 而当x∈ (-∞, 0) 时, f ′ (x) <0, f (x) 为减函数, 当$x\in (0,\frac{1}{4})$时, f ′ (x) >0, f (x) 为增函数.故f (x) 在x=0处有极小值f (0) =0;当x=1时, f (x) 也有极小值0.故当x=0或x=1时, 函数有极小值0.

【评析】许多人认为“f ′ (x0) =0是函数f (x) 在 x0处有极值的必要不充分条件”, 其实结论并不正确.必要不充分的例子:f (x) =x3在x=0处 f ′ (0) =0, 但 f (x) 在R上单调递增无极值;充分不必要的例子: f (x) =|x|在 x=0处有极小值0, 但因为当Δx无限趋近于0时, $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\frac{f(0+\text{Δ}x)-f(0)}{\text{Δ}x}=\frac{|\text{Δ}x|}{\text{Δ}x}$不无限趋近于一个常数, 所以f ′ (0) 不存在.因此, f ′ (x0) =0是函数f (x) 在 x0处有极值的既不充分也不必要条件.由于教材中涉及的函数都是可导函数, 容易使人产生误解.事实上, f ′ (x0) =0是可导函数f (x) 在 x0处有极值的必要不充分条件.当函数在某点处不可导时, 不能直接判定在该点无极值, 此时要考察函数在该点附近的图象特征, 用极值定义来判断.

23. 【分析】 据对某市的抽样调查可知, 本题的得分率比较低.造成错解、失分的主要原因:一是对本题不理解或思维深度不够, 放弃不做, 或对求导公式不熟悉, 求导出错不能得分;二是解题步骤不规范, 叙述不严谨, 如, 在第 (Ⅰ) 问中对于构造函数g (x) =lnx-x, 由$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-1=0$直接得出g (x) 在x=1处取最大值, 说理不充分;三是不善于从分析题意中选准突破口, 分类讨论意识不强, 不善于正确灵活地实现问题的转化.如, 第 (Ⅱ) 问, 不会结合f (1) =0这一隐含条件, 转化为研究函数f (x) 的单调性问题, 通过分类讨论使问题得以解决, 而是盲目地把 (x-1) f (x) 展开设为h (x) , 造成求导的复杂运算, 致使解答受阻, 无功而返, 2011年全国新课程卷的文、理第21题, 又一次考查了学生这方面的综合能力, 但得分还是不太理想, 这不能不引起我们的深思.

【解$】(\mathrm{Ⅰ})\because f{}^{\prime }(x)=\frac{x+1}{x}+\ln x-1=\ln x+\frac{1}{x}‚\therefore xf{}^{\prime }(x)=x\ln x+1‚xf{}^{\prime }(x)\le x{}^2+ax+1\iff \ln x-x\le a$.令g (x) =lnx-x, 则$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-1$.当0<x<1时, g′ (x) >0;当x≥1时, g′ (x) ≤0.

∴x=1是g (x) 的最大值点, g (x) ≤g (1) =-1.

综上, a的取值范围是[-1, +∞) .

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, g (x) ≤g (1) =-1,

即lnx-x+1≤0.

当0<x<1时, f (x) = (x+1) lnx-x+1=xlnx+ (lnx-x+1) ≤0;

当x≥1时, $f(x)=\ln x+(x\ln x-x+1)=\ln x+x(\ln x+\frac{1}{x}-1)=\ln x-x(\ln \frac{1}{x}-\frac{1}{x}+1)\ge 0$,

故 (x-1) f (x) ≥0.

当然, 在 (Ⅱ) 中, 我们也可以借助于f ″ (x) 加以证明.

三、三角函数与解三角形部分

一、选择题

1.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段, 那么角α的终边在 ( ) .

(A) x轴上 (B) y轴上

(C) 直线y=x上 (D) 直线y=-x上

2.已知$\sin (\text{π}+\alpha )=-\frac{1}{2}$, 则$\cos (\alpha -\frac{3\text{π}}{2})$等于 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})-\frac{1}{2}(\text{B})\frac{1}{2}\\ (\text{C})-\frac{\sqrt{3}}{2}(\text{D})\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$

3.把函数y=sinx的图象 ( ) 可得到函数y=cosx的图象.

(A) 向右平移$\frac{\text{π}}{2}$个单位

(B) 向左平移$\frac{\text{π}}{2}$个单位

(C) 向右平移π个单位

(D) 向左平移π个单位

4.已知角θ的顶点为坐标原点, 始边为x轴的正半轴, 终边经过点P (a, a) (a≠0) , 则

5.若α∈ (0, π) , 且$\cos \alpha +\sin \alpha =\frac{1}{3}$, 则

6.已知a, b, c分别是△ABC的三个内角A, B, C所对的边, 若$a=1,b=\sqrt{3},A+C=2B$, 则角A等于 ( ) .

(A) 30° (B) 60°

(C) 30°或150° (D) 150°

二、填空题

7.

8.方程cos2x=x的实根的个数为.

9.已知函数f (x) =acosx+b的最大值为1, 最小值为-3, 则函数g (x) =bsinx+a的最大值为.

三、解答题

10.函数$f(x)=\cos (-\frac{x}{2})+\sin (\frac{x}{2}-\text{π}),x\in \mathbf{R}.$

(Ⅰ) 求f (x) 的最小正周期;

(Ⅱ) 求f (x) 在[0, 2π]上的最大值与最小值.

11.设函数f (x) =sin (2x+φ) (-π<φ<0) , y=f (x) 图象的一条对称轴是直线$\mathbf{x}=\frac{\mathit{\pi }}{8}.$

(Ⅰ) 求φ的值;

(Ⅱ) 画出函数y=f (x) 在区间[0, π]上的图象.

参考答案

1.【错解】由于对正弦线的概念没有了印象, 随意猜一个了事, 如选C.

【分析】正弦线是在正弦函数的定义的基础上结合单位圆给出的, 如图, 在单位圆中, 有$\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{r}}=\mathbf{A}\mathbf{{\rm P}}(\angle \mathbf{A}\mathbf{{\rm O}}\mathbf{{\rm P}}=\mathbf{\alpha })$, 则称有向线段AP为正弦线, 现在正弦线AP为单位长度的有向线段, 点P需置于y轴上.

【解】B.由上面的分析知, 角α的终边在y轴上, 故选B.

【点拨】同理可得余弦线cosα=OA, 正切线tanα=NT (NT与单位圆切于点N) , 于是可得如下与本题类似的问题:

(1) 角α的余弦线是单位长度的有向线段, 那么角α的终边在x轴上;

(2) 角α的正切线是单位长度的有向线段, 那么角α的终边在直线y=x轴上.

2.【错解】由已知得$-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=-\frac{1}{2}$, 得

$\begin{array}{l}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=\frac{1}{2}‚\\ \therefore \mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(\mathbf{\alpha }-\frac{3\mathit{\pi }}{2})=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(\frac{3\mathit{\pi }}{2}-\mathbf{\alpha })=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=\frac{1}{2}.\text{故}\text{选}\mathit{B}.\end{array}$

【分析】上述错解由于对诱导公式的记忆模糊, 用错了公式而出错, 其实假设α为锐角, 则$\frac{3\mathit{\pi }}{2}-\mathbf{\alpha }$为第三象限角, 其余弦为负值, 即$\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(\frac{3\mathit{\pi }}{2}-\mathbf{\alpha })=-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }.$

【解】A.由已知得$-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=-\frac{1}{2}$, 得

$\begin{array}{l}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=\frac{1}{2}‚\\ \therefore \mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(\mathbf{\alpha }-\frac{3\mathit{\pi }}{2})=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(\mathbf{\alpha }-\frac{3}{2}\mathit{\pi }+2\mathit{\pi })\\ =\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(\frac{\mathit{\pi }}{2}+\mathbf{\alpha })=-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=-\frac{1}{2}.\end{array}$

【点拨】诱导公式的记忆可用口诀“奇变偶不变, 符号看象限”来记忆, 即在$\mathbf{k}\cdot \frac{\mathit{\pi }}{2}+\mathbf{\alpha }$中, 若k为奇数, 要改变函数名称, 若k为偶数, 不改变函数名称, 符号由$\mathbf{k}\cdot \frac{\mathit{\pi }}{2}+\mathbf{\alpha }$所在的象限决定 (将α看作锐角) .如$\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(1\cdot \frac{\mathit{\pi }}{2}+\mathbf{\alpha })=-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }‚\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(2\cdot \frac{\mathit{\pi }}{2}+\mathbf{\alpha })=-\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\alpha }‚\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(1\cdot \frac{\mathit{\pi }}{2}-\mathbf{\alpha })=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}[\frac{\mathit{\pi }}{2}+(-\mathbf{\alpha })]=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(-\mathbf{\alpha })=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\alpha }‚\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(2\cdot \frac{\mathit{\pi }}{2}-\mathbf{\alpha })=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }$等.

3.【错解】把函数y=sinx的图象向右平移$\frac{\mathit{\pi }}{2}$个单位得$\mathbf{y}=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\mathbf{x}-\frac{\mathit{\pi }}{2})=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{x}$, 故选A.

【分析】本解存在两个错误点:一是在思路方法上不明确, 由于所给的两个函数不是同名函数, 所以将其化为同名函数才是根本, $\mathbf{y}=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{x}=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(\frac{\mathit{\pi }}{2}-\mathbf{x})=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(\mathbf{x}-\frac{\mathit{\pi }}{2})$, 向左平移$\frac{\mathit{\pi }}{2}$个单位有$\mathbf{y}=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}[(\mathbf{x}+\frac{\mathit{\pi }}{2})-\frac{\mathit{\pi }}{2}]=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{x}$即可;二是诱导公式也用错了, 其实$\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\mathbf{x}-\frac{\mathit{\pi }}{2})=-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\frac{\mathit{\pi }}{2}-\mathbf{x})=-\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{x}$才对.

【解$】\mathit{B}.\mathbf{y}=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{x}=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(\frac{\mathit{\pi }}{2}-\mathbf{x})=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(\mathbf{x}-\frac{\mathit{\pi }}{2})$, 把y=sinx的图象向左平移$\frac{\mathit{\pi }}{2}$个单位得$\mathbf{y}=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}[(\mathbf{x}+\frac{\mathit{\pi }}{2})-\frac{\mathit{\pi }}{2}]=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{x}$.故把前者的图象向左平移$\frac{\mathit{\pi }}{2}$个单位即可得后者的图象.

【点拨】对于函数图象的平移与伸缩问题, 我们可用如下的“代换法”处理:

(1) 平移:把函数y=f (x) 的图象向右平移a个单位, 向上平移b个单位得y-b=f (x-a) , 如把函数y=sin2x的图象向右平移1个单位得y=sin2 (x-1) , 即y=sin (2x-2) , 把函数y=sin2x的图象向左平移1个单位得y=sin2[x- (-1) ]=sin2 (x+1) , 即y=sin (2x+2) , 上、下平移的同理.

(2) 伸缩:把函数y=f (x) 的图象的横坐标伸长到原来的A倍, 纵坐标伸长到原来的B倍 (A, B>0) , 得$\frac{1}{\mathbf{B}}\mathbf{y}=\mathbf{f}(\frac{1}{\mathbf{A}}\mathbf{x})$, 如把函数y=sin2x的图象的横坐标伸长到原来的3倍, 得$\mathbf{y}=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}2(\frac{1}{3}\mathbf{x})=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\frac{2}{3}\mathbf{x}$, 把函数y=sin2x的图象的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{3}$倍, 得$\mathbf{y}=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}2(\frac{1}{\frac{1}{3}\mathbf{x}})=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}2(3\mathbf{x})=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}6\mathbf{x}$, 纵坐标的伸长、缩短同理.

4.【错解$】\mathbf{r}=\sqrt{\mathbf{a}{}^2+\mathbf{a}{}^2}=\sqrt{2}\mathbf{a}$, 得$\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\theta }=\frac{\mathbf{a}}{\sqrt{2}\mathbf{a}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\therefore \mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}2\mathbf{\theta }=1-2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}{}^2\mathbf{\theta }=0$, 故选C.

【分析】本题的答案是对的, 但是过程不够完整, 若为解答题或求sinθ的值将会出现错误答案.其实题中只给出a≠0, 不一定有$\mathbf{r}=\sqrt{2}\mathbf{a}$, 当a>0时, $\mathbf{r}=\sqrt{2\mathbf{a}{}^2}=\sqrt{2}\left|\mathbf{a}\right|=\sqrt{2}\mathbf{a}$, 当a<0时, $\mathbf{r}=\sqrt{2}\left|\mathbf{a}\right|=-\sqrt{2}\mathbf{a}‚\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\theta }$也就产生了两个不同的值.

【解】C角θ的终边经过点P (a, a) ,

(1) 当a>0时, $\mathbf{r}=\sqrt{\mathbf{a}{}^2+\mathbf{a}{}^2}=\sqrt{2}\mathbf{a}$, 得

$\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\theta }=\frac{\mathbf{a}}{\sqrt{2}\mathbf{a}}=\frac{\sqrt{2}}{2}‚\therefore \mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}2\mathbf{\theta }=1-2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}{}^2\mathbf{\theta }=0$;

(2) 当a<0时, $\mathbf{r}=\sqrt{\mathbf{a}{}^2+\mathbf{a}{}^2}=-\sqrt{2}\mathbf{a}$, 得

$\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\theta }=\frac{\mathbf{a}}{-\sqrt{2}\mathbf{a}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}‚\therefore \mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}2\mathbf{\theta }=1-2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}{}^2\mathbf{\theta }=0.$

综上知, cos2θ=0.

【点拨】有些问题不要以为把答案做对了就匆匆而过, 而错过了认清问题本质, 提升自我的良机.

5.【错解】由$\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\alpha }+\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=\frac{1}{3}$, 得$\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\alpha }-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=\pm \frac{\sqrt{17}}{3}$, 故选D.

【分析】本解忽略了α∈ (0, π) , 事实上, 由$2\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\alpha }\cdot \mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=-\frac{8}{9}$, 得cosα<0, sinα>0, 有$\mathbf{\alpha }\in (\frac{\mathit{\pi }}{2},\mathit{\pi })$, 这时cosα-sinα<0, 于是只有$\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\alpha }-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=-\frac{\sqrt{17}}{3}.$

【解】C.由已知得$2\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\alpha }\cdot \mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=-\frac{8}{9}$, 而α∈ (0, π) , 有cosα<0, sinα>0, 即cosα-sinα<0,

$\begin{array}{l}\text{而}(\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\alpha }-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }){}^2=1-2\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\alpha }\cdot \mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=\frac{17}{9}‚\\ \therefore \mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\alpha }-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=-\frac{\sqrt{17}}{3}‚\text{故}\text{选}\mathit{C}.\end{array}$

【点拨】在处理三角函数问题时, 需特别注意角的取值范围.熟悉一些常用结论, 对解题会带来直接的帮助, 如: (1) 若$\mathbf{\alpha }\in (0,\frac{\mathit{\pi }}{2})$, 则$\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\alpha }+\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\alpha }=\sqrt{2}\cdot \mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\mathbf{\alpha }+\frac{\mathbf{\pi }}{4})\in (1,\sqrt{2}]‚(2)$若$\mathbf{\alpha }\in (0,\frac{\mathit{\pi }}{2})$, 则sinα<α<tanα.

6.【错解】由A+C=2B及A+ B+ C=180°知, B =60°.由正弦定理得$\frac{1}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{A}}=\frac{\sqrt{3}}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}60°}‚\therefore \mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{A}=\frac{1}{2}.$

又0°<A<180°, ∴A=30°或150°.故选D.

【分析】本题给出了$\mathbf{a}=1,\mathbf{b}=\sqrt{3}$, 隐含着A<B, ∴A只能为锐角, 于是只有A=30°符合题意.

【解】A.结合上面的错解与分析知, A=30°, 故选A.

【点拨】在解答三角形的问题时, 需特别注意四个隐含条件: (1) A+B+C=π, (2) A, B, C∈ (0, π) , (3) 大边对大角 (大角对大边) , (4) 最多只有一个角不小于90°, 且为最大角.

7.【错解$】\frac{1}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}10°}-\frac{\sqrt{3}}{\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}10°}=\frac{\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}10°-\sqrt{3}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}10°}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}10°\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}10°}=\frac{4\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(10°-60°)}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}20°}=\cdots .$

【分析】本解错用了辅助角公式$\mathbf{a}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\theta }+\mathbf{b}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\theta }=\sqrt{\mathbf{a}{}^2+\mathbf{b}{}^2}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\mathbf{\theta }+\mathbf{\phi })$, 其实$\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}10°-\sqrt{3}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}10°=-\sqrt{3}\cdot \mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}10°+\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}10°=2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(10°+150°)=2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}160°=2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}20°.$

【解$】4.\frac{1}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}10°}-\frac{\sqrt{3}}{\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}10°}=\frac{4\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(10°+150°)}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}20°}=\frac{4\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}160°}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}20°}=\frac{4\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}20°}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}20°}=4.$

【点拨】辅助角公式$\mathbf{a}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{\theta }+\mathbf{b}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\theta }=\sqrt{\mathbf{a}{}^2+\mathbf{b}{}^2}\cdot \mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\mathbf{\theta }+\mathbf{\phi })$中的φ极易求错, 需认准sinθ在前cosθ在后, 且sinθ前面的系数为a, cosθ前面的系数为b, φ由比值$\mathit{t}\mathit{a}\mathit{n}\mathbf{\phi }=\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}}$及点 (a, b) 所在的象限唯一确定.

8.【错解】画出函数y1=cos2x与y2=x的图象如图所示, 它们有3个交点, 故方程cos2x=x的实根的个数为3.

【分析】本解由于所描绘的函数的图象过于粗糙而致错, 其实, 当$\mathbf{x}=-\frac{\mathit{\pi }}{2}$时, $\mathbf{y}{}_1=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}(-\mathit{\pi })=-1‚\mathbf{y}{}_2=-\frac{\mathit{\pi }}{2}<-1$, 这时y1=cos2x与y2=x的图象在y轴的左边不存在交点, 于是交点仅存在1个.

【解】1.画出函数y1=cos2x与y2=x的图象如图所示, 它们仅有1个交点, 故方程cos2x=x的实根的个数为1.

【点拨】数形结合是解决数学问题的常用方法, 但作函数的图象时, 对一些关键点则需刻画得非常细致, 如本题中的$\mathbf{x}=-\frac{\mathit{\pi }}{2}.$

9.【错解】由题意得解之, 得, 其最大值为3.

【分析】函数f (x) =acosx+b的最大值与最小值与a的正、负密切相关, 当a>0时, cosx=1, f (x) max=a+b, cosx=-1, f (x) min=-a+b;当a<0时, cosx=-1, f (x) max=-a+b, cosx=1, f (x) min=a+b.而上述解法只考虑了一种情况, 不够全面.

【解】-1或3.当a>0时, 由上面的解答知, g (x) 的最大值为3;

当a<0时, 解之, 得, 其最大值为-1;而a=0时不合题意.∴g (x) 的最大值为-1或3.

【点拨】由于思维定式的影响, 常会出现一些不全面的认识, 如误认为a为正数, -a为负数, $\sqrt{\mathbf{a}{}^2}=\mathbf{a}‚\mathbf{y}=\mathbf{a}\mathbf{x}{}^2+\mathbf{b}\mathbf{x}+\mathbf{c}$为二次函数等, 这些错误需及时纠正.

10.【错解$】(\mathrm{Ⅰ})\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\frac{\mathbf{x}}{2}-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\mathit{\pi }-\frac{\mathbf{x}}{2})=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\frac{\mathbf{x}}{2}-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\frac{\mathbf{x}}{2}=\sqrt{2}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\frac{\mathbf{x}}{2}-\frac{\mathit{\pi }}{4})‚$

∴f (x) 的最小正周期T=4π.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得, 当$\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\frac{\mathbf{x}}{2}-\frac{\mathit{\pi }}{4})=1$时, $\mathbf{f}(\mathbf{x}){}_{\mathit{m}\mathit{a}\mathit{x}}=\sqrt{2}$, 当$\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\frac{\mathbf{x}}{2}-\frac{\mathit{\pi }}{4})=-1$时, $\mathbf{f}(\mathbf{x}){}_{\mathit{m}\mathit{i}\mathit{n}}=-\sqrt{2}.$

【分析】本题出现了两个典型的易错点:一是$\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\frac{\mathbf{x}}{2}-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\frac{\mathbf{x}}{2}=\sqrt{2}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\frac{\mathbf{x}}{2}-\frac{\mathit{\pi }}{4})$, 其实$\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\frac{\mathbf{x}}{2}-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\frac{\mathbf{x}}{2}=-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\frac{\mathbf{x}}{2}+\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\frac{\mathbf{x}}{2}=\sqrt{2}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\frac{\mathbf{x}}{2}+\mathbf{\phi })$, 其中φ由$\mathit{t}\mathit{a}\mathit{n}\mathbf{\phi }=\frac{1}{-1}=-1$及点 (-1, 1) 所在的象限 (第二象限) 确定, 于是$\mathbf{\phi }=\frac{3\mathit{\pi }}{4}$, 因而$\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\frac{\mathbf{x}}{2}-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\frac{\mathbf{x}}{2}=\sqrt{2}\cdot \mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}(\frac{\mathbf{x}}{2}+\frac{3\mathit{\pi }}{4})$才是正确的;二是忽略x∈[0, 2π]将x误认为是x∈R来求f (x) 的最值, 这显然是不对的, 求f (x) 在[0, 2π]上的最值的关键在于准确判断好其单调性.

【解$】(\mathrm{Ⅰ})f(x)=\cos \frac{x}{2}-\sin (\text{π}-\frac{x}{2})=\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}=\sqrt{2}\sin (\frac{x}{2}+\frac{3\pi }{4}).$

∴f (x) 的最小正周期T=4π.

(Ⅱ) 令$2k\text{π}-\frac{\text{π}}{2}\le \frac{x}{2}+\frac{3\text{π}}{4}\le 2k\text{π}+\frac{\text{π}}{2}$,

解之, 得$4k\text{π}-\frac{5\text{π}}{2}\le x\le 4k\text{π}-\frac{\text{π}}{2},k\in \mathbf{{\rm Z}}.$

令$2k\text{π}+\frac{\text{π}}{2}\le \frac{x}{2}+\frac{3\text{π}}{4}\le 2k\text{π}+\frac{3\text{π}}{2}$,

解之, 得$4k\text{π}-\frac{\text{π}}{2}\le x\le 4k\text{π}+\frac{3\text{π}}{2},k\in \mathbf{{\rm Z}}.$

∴f (x) 在$[4k\text{π}-\frac{5\text{π}}{2},4k\text{π}-\frac{\text{π}}{2}]$上递增, 在$[4k\text{π}-\frac{\text{π}}{2},4k\text{π}+\frac{3\text{π}}{2}]$上递减, k∈Z.

又x∈[0, 2π], 令k=0, 得f (x) 在$[-\frac{\text{π}}{2},\frac{3\text{π}}{2}]$上递减, 令k=1, 得f (x) 在$[\frac{3\text{π}}{2},\frac{7\text{π}}{2}]$上递增, 即f (x) 在$[0,\frac{3\text{π}}{2}]$上递减, 在$[\frac{3\text{π}}{2},2\text{π}]$上递增, 且$f(0)=1‚f(\frac{3\pi }{2})=-\sqrt{2}‚f(2\text{π})=-1‚$

∴f (x) 在[0, 2π]上的$f(x){}_{\max }=f(0)=1‚f(x){}_{\min }=f(\frac{3\text{π}}{2})=-\sqrt{2}.$

【点拨】在考虑函数y=Asin (ωx+φ) 的单调性时, 可用化归思想, 令t=ωx+φ, 通过观察基本函数y=sint的图象, 写出y=sint的单调区间, 再通过t=ωx+φ换算出对应的x的范围.考虑在闭区间上的单调性时, 还要注意取一些合适的k值, 回归到闭区间上去.

11.【错解$】(\mathrm{Ⅰ})\because x=\frac{\pi }{8}$是函数y=f (x) 的图象的对称轴, $\therefore \sin (2\times \frac{\text{π}}{8}+\phi )=\pm 1,\therefore \frac{\text{π}}{4}+\phi =k\text{π}+\frac{\text{π}}{2},k\in \mathbf{{\rm Z}}$.又$-\text{π}<\phi <0\Rightarrow \phi =-\frac{3\text{π}}{4}.$

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得$y=\sin (2x-\frac{3\text{π}}{4})$,

∴函数y=f (x) 在区间[0, π]上的图象如图所示 (所画出图形不合要求) .

【分析】以上解法错在不会画y=f (x) 在区间[0, π]上的图象, 也即不会列举出需要画图的关键点, 这些点应考虑y=f (x) 在[0, π]上端点、顶点、与x轴的交点.应优先从$2x-\frac{3\text{π}}{4}$出发, 令$2x-\frac{3\text{π}}{4}=-\frac{3\text{π}}{4}$ (端点值, 由x=0得到) , $-\frac{\text{π}}{2}$ (顶点) , 0 (与x轴的交点) , $\frac{\text{π}}{2}$ (顶点) , π (与x轴的交点) , $\frac{5\text{π}}{4}$ (端点值, 由x=π得到) , 再计算出x的对应值及对应的y值, 列表、描点、连线即得所画的函数图象.

【解$】(\mathrm{Ⅰ})\because x=\frac{\text{π}}{8}$是函数y=f (x) 的图象的对称轴,

$\begin{array}{l}\therefore \sin (2\times \frac{\text{π}}{8}+\phi )=\pm 1,\\ \therefore \frac{\text{π}}{4}+\phi =k\text{π}+\frac{\text{π}}{2},k\in \mathbf{{\rm Z}},-\text{π}<\phi <0\Rightarrow \phi =-\frac{3\text{π}}{4}.\end{array}$

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得$y=\sin (2x-\frac{3\text{π}}{4})$, 列表如下:

故函数y=f (x) 在区间[0, π]上的图象如图所示:

【点拨】列表时, 值得注意的是, 需以第二行优先, 从$2x-\frac{3\text{π}}{4}$的值计算出x的值.但两个端点值却要从x的值出发, 求得$2x-\frac{3\text{π}}{4}$的值, 若仅要求画出一个周期的函数图象, 则只需列出五个点 (顶点与x轴的交点) 而不必找出端点.

四、平面向量部分

一、选择题

1.给出下列命题:

①a与b均为单位向量, 其夹角为θ, 则$|\mathit{a}+\mathit{b}|＞1\iff \theta \in [0,\frac{2}{3}\text{π})$;②a与b均为单位向量, 夹角为θ, 则$|\mathit{a}-\mathit{b}|＞1\iff \theta \in (\frac{2}{3}‚\text{π}]$;③若两个单位向量互相平行, 则这两个单位向量相等;④若a=b, b=c, 则a=c.

其中正确命题的个数是 ( ) .

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

2.已知正△ABC的边长为1, 且$\overrightarrow{BC}=\mathit{a}‚\overrightarrow{CA}=\mathit{b}$, 则

$\begin{array}{l}\left|\mathit{a}-\mathit{b}\right|=().\\ (\text{A})\frac{1}{2}(\text{B})\frac{\sqrt{3}}{2}(\text{C})1(\text{D})\sqrt{3}\end{array}$

3.若向量a= (1, 2) 与b= (2, k) 的夹角为锐角, 则k的取值范围是 ( ) .

(A) (-1, +∞) (B) (-1, 4)

(C) (-1, 4) ∪ (4, +∞) (D) (4, +∞)

4.如图1, 在等腰△ABC中, AB=AC=1, ∠B=30°, 则向量$\overrightarrow{AB}$在向量$\overrightarrow{AC}$上的投影等于 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})1(\text{B})-1\\ (\text{C})\frac{1}{2}(\text{D})-\frac{1}{2}\end{array}$

5.如图2, 在正六边形ABCDEF中, 已知$\overrightarrow{AC}=\mathit{c}$,

6.如图3, 已知点G是△ABC的重心, 过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N,

二、填空题

7.已知将向量a= (1, 2) 按向量b= (3, 4) 平移, 得到向量c, 若c⊥ (a+kb) , 则实数k=.

8.在△ABC中, $\overrightarrow{BC}=\mathit{a}‚\overrightarrow{CA}=\mathit{b}‚\overrightarrow{AB}=\mathit{c}$, 且a·b=b·c=c·a, 则△ABC的形状是.

9.如图4, 在边长为1的菱形ABCD中, AC2+BD2= .

10.已知向量a= (1, n) , b= (1, 2) , c= (k, -1) , 且a//b, b⊥c, 则$\left|\mathit{a}+\mathit{c}\right|=$.

三、解答题

11.如图5, 在矩形中ABCD, 点P, Q同时从A点出发, 分别沿A→C→B→A, A→B→C→A运动, 相遇时运动停止.已知AB=12, AD=5, Q运动的速度是P的两倍.求$\overrightarrow{A{\rm P}}\cdot \overrightarrow{AQ}$的最大值.

12.如图6所示, 在▱OABP中, 过点P的直线与线段OA、OB分别相交于点M, N, 若$\overrightarrow{{\rm O}{\rm M}}=\overrightarrow{x{\rm O}A}‚\overrightarrow{{\rm O}{\rm N}}=y\overrightarrow{{\rm O}B}.$

(Ⅰ) 求y=f (x) 的解析式.

(Ⅱ) 设函数$F(x)=\frac{1}{f(x)}-1(0<x\le 1)$, 点列Pi (xi, F (xi) ) (i=1, 2, …, n, n≥2) 在函数F (x) 的图象上, 且数列$\left\{x{}_n\right\}$是以首项为1, 公比为$\frac{1}{2}$的等比数列, O为原点, 令$\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}=\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}{}_1}+\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}{}_2}+\cdots +\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}{}_n}$, 那么, 是否存在点 (1, m) , 使得$\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}\perp \overrightarrow{{\rm O}Q}$ 若存在, 请求出m的取值范围;若不存在, 请说明理由.

参考答案

1.【错解】①②③④均正确, 故选D.

【分析】∵a, b均为单位向量, $\therefore |\mathit{a}+\mathit{b}|{}^2=\mathit{a}{}^2+\mathit{b}{}^2+2\mathit{a}\mathit{b}＞1\iff \cos \theta ＞-\frac{1}{2}\iff \theta \in [0,\frac{2}{3}\text{π})‚\therefore ①$对;$|\mathit{a}-\mathit{b}|{}^2=\mathit{a}{}^2+\mathit{b}{}^2-2\mathit{a}\cdot \mathit{b}＞1\iff \cos \theta ＜\frac{1}{2}\iff \theta \in (\frac{\text{π}}{3},\text{π}]‚\therefore ②$对;两个单位向量互相平行, 方向可能相反, ∴③错;由两向量相等的概念知, ∴④对.

【解】C.由以上分析可得③错, ①②④正确, 故选C.

【点拨】当一个向量以字母形式出现时, 我们极易误认为它必是一个非零向量, 导致我们的推导产生漏洞与错误.

2.【错解】由题意知, ∠C=60°, 且

$\begin{array}{l}\left|\mathit{a}\right|=\left|\mathit{b}\right|=1‚\therefore \mathit{a}\cdot \mathit{b}=\left|\mathit{a}\right|\left|\mathit{b}\right|\cos 60°=\frac{1}{2}‚\\ \therefore \left|\mathit{a}-\mathit{b}\right|{}^2=\mathit{a}{}^2+\mathit{b}{}^2-2\mathit{a}\cdot \mathit{b}=1\Rightarrow \left|\mathit{a}-\mathit{b}\right|=1.\text{故}\text{选}\text{C}.\end{array}$

【分析】如图, 在正△ABC中, a与b的夹角应为180°-60°=120°, 应有$\mathit{a}\cdot \mathit{b}=\left|\mathit{a}\right|\left|\mathit{b}\right|\cos 120°=-\frac{1}{2}.$

【解】D. 由题意知, a与b的夹角为180°-60°=120°, 且

$\begin{array}{l}\left|\mathit{a}\right|=\left|\mathit{b}\right|=1‚\\ \therefore \mathit{a}\cdot \mathit{b}=\left|\mathit{a}\right|\left|\mathit{b}\right|\cos 120°=-\frac{1}{2}‚\therefore \left|\mathit{a}-\mathit{b}\right|{}^2=\mathit{a}{}^2+\mathit{b}{}^2-2\mathit{a}\cdot \mathit{b}=3\Rightarrow \left|\mathit{a}-\mathit{b}\right|=\sqrt{3}.\text{故}\text{选}\text{D}.\end{array}$

【点拨】两向量夹角的特征是这两向量有相同的起点, 忽略了这一点, 易使得解题出错.

3.【错解1】由a与b的夹角θ为锐角知,

$\cos \theta =\frac{\mathit{a}\cdot \mathit{b}}{\left|\mathit{a}\right|\left|\mathit{b}\right|}=\frac{1\times 2+2\times k}{\sqrt{5}\times \sqrt{4+k{}^2}}>0.$

解之, 得k>-1, 故选A.

【错解2】设a与b的夹角为θ,

则$\cos \theta =\frac{\mathit{a}\cdot \mathit{b}}{\left|\mathit{a}\right|\left|\mathit{b}\right|}=\frac{1\times 2+2\times k}{\sqrt{5}\times \sqrt{4+k{}^2}}.$

由θ为锐角得$0<\cos \theta <1‚\therefore 0<\frac{2+2k}{\sqrt{5}\times \sqrt{4+k{}^2}}<1$, 不能解得k的正确取值范围.

【分析】对错解1而言, cosθ>0并不能说明a与b的夹角θ为锐角, 当θ=0时 (a与b同向) , 也有cos0=1>0, 应予排除;错解2的方法是正确的, 但容易引出比较复杂的不等式, 容易在解不等式处出错, 故应避免运用这种方法解答该类问题.

【解】C.由a与b的夹角θ为锐角知, $\cos \theta =\frac{\mathit{a}\cdot \mathit{b}}{\left|\mathit{a}\right|\left|\mathit{b}\right|}=\frac{1\times 2+2\times k}{\sqrt{5}\times \sqrt{4+k{}^2}}>0$, 且cosθ≠1,

∴2+2k>0且$2+2k\ne \sqrt{5}\times \sqrt{4+k{}^2}$,

解之, 得k>-1有k≠4, 故选C.

【点拨】先解不等式cosθ>0 (cosθ<0) , 再排除a与b同向 (反向) , 是考虑a与b的夹角为锐角 (钝角) 问题的上策.

4.【错解$】\because \left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot \cos A=1\cdot \cos 120°=-\frac{1}{2}‚\therefore \overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{AC}$上的投影等于$\frac{1}{2}$, 故选C.

【分析】由于对向量的投影概念模糊, 出现了投影应为正数的误解, 从而致错, 其实一个向量a在另一向量b上的投影为$\left|\mathit{a}\right|\cos \theta$, 它是一个实数.

【解】D.由题意可得$\angle A=120°‚\therefore \overrightarrow{AB}$在向量$\overrightarrow{AC}$上的投影$\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot \cos A=1\cdot \cos 120°=-\frac{1}{2}.$

【点拨】向量a在向量b上的投影为$\left|\mathit{a}\right|\cos \theta =\left|\mathit{a}\right|\cdot \frac{\mathit{a}\cdot \mathit{b}}{\left|\mathit{a}\right|\cdot \left|\mathit{b}\right|}=\frac{\mathit{a}\cdot \mathit{b}}{\left|\mathit{b}\right|}(\theta$为a与b的夹角) , 向量b在向量a上的投影为$\left|\mathit{b}\right|\cos \theta =\left|\mathit{b}\right|\cdot \frac{\mathit{a}\cdot \mathit{b}}{\left|\mathit{a}\right|\cdot \left|\mathit{b}\right|}=\frac{\mathit{a}\cdot \mathit{b}}{\left|\mathit{a}\right|}(\theta$为a与b的夹角) , 它是一个实数.

5.【错解】由题意得$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}=\mathit{d}-\mathit{c}$, 由正六边形的性质及$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{CD}=\mathit{d}-\mathit{c}$, $\overrightarrow{FE}=\cdots$, (解题受阻, 随意猜一个) 故选C.

【分析】正六边形具有很强的对称性, 不妨连结BE, CF, 出现中心O (如图) , 有$\overrightarrow{{\rm O}E}=\overrightarrow{CD}=\mathit{d}-\mathit{c}‚\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{A{\rm O}}+\overrightarrow{{\rm O}E}=\frac{1}{2}\mathit{d}+(\mathit{d}-\mathit{c})=\frac{3}{2}\mathit{d}-\mathit{c}.$

【解】结合上面的错解与分析得$\overrightarrow{AE}=\frac{3}{2}\mathit{d}-\mathit{c}$.故选B.

【点拨】运用向量的加法、减法解决几何问题时, 需寻找或构造三角形或平行四边形转换向量的表示.如本题由其对称性较强, 连结BE, CF后, 即可以自如地解决问题.

6.【错解$】\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{A{\rm M}}+\overrightarrow{{\rm M}G}=x\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{{\rm M}G}‚\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{A{\rm N}}+\overrightarrow{{\rm N}G}=y\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{{\rm N}G}‚\therefore 2\overrightarrow{AG}=(x\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{{\rm M}G})+(y\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{{\rm N}G})=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$, (解题受阻, 随意猜一个) 选B.

【分析】以上解法还未能深入挖掘题意, 解题思路也不明确, 事实上, 如图, 可延长AG, 交BC于点D, 可用上“G是△ABC的重心”这条件, 即$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$, 点D是BC的中点, 又得$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, 便得$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}(\frac{1}{x}\overrightarrow{A{\rm M}}+\frac{1}{y}\overrightarrow{A{\rm N}})=\frac{1}{3x}\overrightarrow{A{\rm M}}+\frac{1}{3y}\overrightarrow{A{\rm N}}$, 而M, G, N三点共线, 联想到平面向量基本定理, 有$\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}=1$, 即$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3.$

【解】A.由上面的分析可得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3$, 故选A.

【点拨】平面向量基本定理说明如下两个实用结论:

(1) 平面上任意向量$\overrightarrow{{\rm O}C}$可由两个不共线的向量$\overrightarrow{{\rm O}A}‚\overrightarrow{{\rm O}B}$ (基底) 生成, 即$\overrightarrow{{\rm O}C}=x\overrightarrow{{\rm O}A}+y\overrightarrow{{\rm O}B}$, 其中x, y是唯一确定的一对常数;

(2) 特别地, ①A, B, C三点共线⇔x+y=1, ②点C是AB的中点$\iff \overrightarrow{{\rm O}C}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{{\rm O}A}+\overrightarrow{{\rm O}B}).$

本解就是抓住B, D, C三点共线, M, G, N三点共线两次用了平面向量基本定理解决了问题.

7.【错解】设向量c= (x, y) , 则

而a+kb= (1, 2) +k (3, 4) = (1+3k, 2+4k) ,

c⊥ (a+kb) ⇒4× (1+3k) +6× (2+4k) =0,

解之, 得$k=-\frac{4}{9}.$

【分析】将向量a= (1, 2) 按向量b= (3, 4) 平移, 得到向量c, 则c=a= (1, 2) , 如图所示, 以上解答中, 因只考虑到将向量a的终点 (1, 2) 经过平移而得 (4, 6) , 忽略了向量a的起点 (0, 0) 的平移, 其实 (0, 0) 经过平移得 (3, 4) , 有c= (4, 6) - (3, 4) = (1, 2) , 错算c, 致使得不到正确的k值.

【解$】-\frac{5}{11}$.由分析可得c=a= (1, 2) , 而a+kb= (1, 2) +k (3, 4) = (1+3k, 2+4k) , 且$\mathit{c}\perp (\mathit{a}+k\mathit{b})‚\therefore 1\times (1+3k)+2\times (2+4k)=0\Rightarrow k=-\frac{5}{11}.$

【点拨】向量是由起点与终点共同决定的, 将向量平移时, 也需将起点与终点同时平移, 平移后所得的向量与原向量相等.

8.【错解】因a, b, c均为非零向量, 且a·b=b·c, 得b· (a-c) =0, 又b≠0, ∴a-c=0, 于是$\mathit{a}=\mathit{c}\Rightarrow \left|\mathit{a}\right|=\left|\mathit{c}\right|$.同理$\left|\mathit{b}\right|=\left|\mathit{a}\right|‚\therefore \left|\mathit{a}\right|=\left|\mathit{b}\right|=\left|\mathit{c}\right|$, 得△ABC为正三角形.

【分析】在△ABC中, 得到a=c, 这个结果是明显是错误的, 因它们的方向不可能相同.以上解答错在从“b· (a-c) =0”得到“b≠0, ∴a-c=0”这一步, 事实上, 由b· (a-c) =0只能得到b⊥ (a-c) .

【解】正三角形.因a, b, c均为非零向量, 且a·b=b·c, 得b· (a-c) =0⇒b⊥ (a-c) .又a+b+c=⇒b=- (a+c) , ∴[- (a+c) ]· (a-c) =0⇒a2=c2, 得$\left|\mathit{a}\right|=\left|\mathit{c}\right|$.同理$\left|\mathit{b}\right|=\left|\mathit{a}\right|‚\therefore \left|\mathit{a}\right|=\left|\mathit{b}\right|=\left|\mathit{c}\right|‚\therefore △ABC$为正三角形.

【点拨】在向量中, 有两个运算律是不成立的, 一是消去律:a·b=0⇒a=0或b=0, 另一个是乘法结合律: (a·b) ·c≠a· (b·c) .

9.【错解】设∠BAD=60°, 则$BD=1,AC=\sqrt{3}$, 有AC2+BD2=4.

【分析】上面的错解增添了条件∠BAD=60°, 虽然得到的结果是正确的, 但解法是错误的.其实只需将向量$\overrightarrow{AC}‚\overrightarrow{BD}$分拆为$\overrightarrow{AB}‚\overrightarrow{AD}$ (用$\overrightarrow{AB}‚\overrightarrow{AD}$表示) 即可, 将向量所成的角整体消去而求得AC2+BD2的值.

【解$】4.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}‚\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$, 则$AC{}^2+BD{}^2=\overrightarrow{AC}{}^2+\overrightarrow{BD}{}^2=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}){}^2+(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}){}^2=2(\overrightarrow{AD}{}^2+\overrightarrow{AB}{}^2)$.又

【点拨】在运用三角形法则或平行四边形法则将向量实施分拆 (表示) 时, 最好利用已知向量或基本向量表示, 这样更便于整体运算或相抵消.

10.【错解】由a//b, 得$1\times 1+n\times 2=0‚\therefore n=-\frac{1}{2}$,

由b⊥c, 得$1\times (-1)-k\times 2=0‚\therefore k=-\frac{1}{2}.$

有$\mathit{a}=(1,-\frac{1}{2})‚\mathit{c}=(-\frac{1}{2},-1)‚\mathit{a}+\mathit{c}=(\frac{1}{2},-\frac{3}{2})$, 则$\left|\mathit{a}+\mathit{c}\right|=\frac{\sqrt{10}}{2}.$

【分析】以上解法混淆了向量平行与垂直的结论, 以致得到错误的结果, a//b⇔2×1-n=0, b⊥c⇔k+2× (-1) =0, 从中解出n, k后才能解决问题.

【解$】\sqrt{10}$.由题意得2×1-n=0, k+2× (-1) =0, ∴n=2, k=2,

有a= (1, 2) , c= (2, -1) ,

∴a+c= (3, 1) , 得$\left|\mathit{a}+\mathit{c}\right|=\sqrt{10}.$

【点拨】设向量a= (x1, y1) , b= (x2, y2) , 对于共线与垂直有如下容易混淆的结论:

(1) a//b⇔x1y2-x2y1=0,

(2) a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.

11.【错解】在Rt△ABC中, AB=12, AD=5, 则AC=13.设点P, Q的速度分别为v和2v, 运动的时间为t, 当运动停止时, 有vt+2vt=AB+BC+AC=30, 即vt=10.

又$\overrightarrow{A{\rm P}}\cdot \overrightarrow{AQ}=\left|\overrightarrow{A{\rm P}}\right|\cdot \left|\overrightarrow{AQ}\right|\cos CAQ=vt\cdot 2vt\cos CAQ=2(vt){}^2\cos CAQ=200\cos CAQ\le 200$,

即$\overrightarrow{A{\rm P}}\cdot \overrightarrow{AQ}$的最大值为200.

【分析】以上解答存在矛盾, vt=10表明P与Q相遇, 这时$\overrightarrow{A{\rm P}}\cdot \overrightarrow{AQ}=(vt)\cdot (30-2vt)=100$, 取不到200.其实我们可得P, Q在AC上相遇, 需分点Q在AB, BC, CA上三种情况考虑问题.

【解】由题意可知, P, Q在AC上相遇.

(1) 当Q在A与B之间运动时, $\left|\overrightarrow{AQ}\right|$与$\left|\overrightarrow{A{\rm P}}\right|$均增大, 且∠PAQ不变, 这时$\overrightarrow{A{\rm P}}\cdot \overrightarrow{AQ}\le \frac{1}{2}\left|AB\right|\cdot \left|AB\right|\cdot \text{c}\text{o}\text{s}CAB=\frac{1}{2}\times 12\times 12\times \frac{12}{13}$;

(2) 当Q在B与C之间运动时, $\left|\overrightarrow{AQ}\right|$与$\left|\overrightarrow{A{\rm P}}\right|$均增大, 且∠PAQ在锐角范围内减小, cosPAQ增大, 这时$\overrightarrow{A{\rm P}}\cdot \overrightarrow{AQ}\le \left|\overrightarrow{A{\rm P}}\right|\cdot \left|\overrightarrow{AC}\right|\cos 0°=\frac{12+5}{2}\times 13=\frac{221}{2}$;

(3) 当Q在A与C之间运动时, $\left|\overrightarrow{AQ}\right|$减小的速度是$\left|\overrightarrow{A{\rm P}}\right|$增大的两倍,

减小, 即$\overrightarrow{A{\rm P}}\cdot \overrightarrow{AQ}\le \left|\overrightarrow{A{\rm P}}\right|\cdot \left|\overrightarrow{AC}\right|\cos 0°=\frac{12+5}{2}\times 13=\frac{221}{2}.$

$\therefore \overrightarrow{A{\rm P}}\cdot \overrightarrow{AQ}$的最大值为$\frac{221}{2}‚\therefore$当点Q运动到点C处时, $\overrightarrow{A{\rm P}}\cdot \overrightarrow{AQ}$取得最大值$\frac{221}{2}.$

【点拨】发现P, Q在AC上相遇是解题的基础, 再经分类讨论即可得到所求的最大值.对于在不同情况下, 处理方法也不同的问题, 需采用分类讨论方法给予解决.

12.【错解】 (Ⅰ) 在▱OABP中, $\overrightarrow{{\rm O}B}=\overrightarrow{{\rm O}A}+\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}$, 又

M, N, P三点共线$\Rightarrow \frac{y}{x}+y=1$, 即$y=\frac{x}{x+1}.$

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得$F(x)=\frac{x+1}{x}-1=\frac{1}{x}(0<x\le 1)$,

又数列$\left\{x{}_n\right\}$是以首项为1, 公比为$\frac{1}{2}$的等比数列, 则

$\begin{array}{l}x{}_n=(\frac{1}{2}){}^{n-1}‚F(x{}_n)=\frac{1}{x{}_n}=2{}^{n-1}‚\\ \therefore \overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}=\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}{}_1}+\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}{}_2}+\cdots +\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}{}_n}=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +(\frac{1}{2}){}^n,1+2+\cdots +2{}^n)=(\frac{2{}^n-1}{2{}^{n-1}},2{}^n-1).\end{array}$

若$\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}\perp \overrightarrow{{\rm O}Q}$, 则$\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}\cdot \overrightarrow{{\rm O}Q}=1\cdot \frac{2{}^n-1}{2{}^{n-1}}+m\cdot (2{}^n-1)=0$, 得$m=-\frac{1}{2{}^{n-1}}<0‚$

∴存在点Q (1, m) , 使得$\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}\perp \overrightarrow{{\rm O}Q}‚m$的取值范围是 (-∞, 0) .

【分析】以上解答在整体上说是正确的, 但是还有两个细节出现了问题, 在第 (Ⅰ) 问中求得函数y=f (x) 后, 应结合题意加上定义域$y=\frac{x}{x+1}(0\le x\le 1)$;第 (Ⅱ) 问由$m=-\frac{1}{2{}^{n-1}}$求m的取值范围时, 应结合n的取值, $\left\{x{}_n\right\}$为等比数列, 有n≥3且n∈Z, 而$m=-\frac{1}{2{}^{n-1}}$单调递增, 则$m\ge -\frac{1}{2{}^{3-1}}=-\frac{1}{4}$, 且n→+∞时, $m=-\frac{1}{2{}^{n-1}}\to 0$, 于是得m的取值范围是$[-\frac{1}{4},0)$且$m=-\frac{1}{2{}^{n-1}}.$

【解$】(\mathrm{Ⅰ})y=\frac{x}{x+1}(0\le x\le 1).$

(Ⅱ) 存在点Q (1, m) , 使得$\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}\perp \overrightarrow{{\rm O}Q}‚m$的取值范围是$[-\frac{1}{4},0)$且$m=-\frac{1}{2{}^{n-1}}.$

(详解参阅上面的错解与分析)

【点拨】细节决定成败, 一些经常犯的小错, 我们必须引起重视与归纳, 才能取得实质性的进步.

篇4：高二上学期语文期末检测试卷

1. 下列加点字的读音完全不相同的一项是()(3分)

A. 炮烙/烙印朱拓/拓片眼圈/圈养间或/间不容发

B. 门槛/囚槛徘徊/低徊周正/正月咀嚼/咬文嚼字

C. 寒暄/喧嚣绞丝/蛟龙烟霭/和蔼爆竹/一曝十寒

D. 钝响/清炖桌帏/忌讳鄙薄/簿册谬种/未雨绸缪

2.下列句子中加点的成语运用正确的一项是()(3分)

A.据说北京奥运会圆满举办后,许多西方媒体为寻找赞美北京奥运会的形容词而处心积虑,国际奥委会官员也为如何赞扬北京而发愁,绞尽脑汁想形容词。

B.如果你能设身处地为林黛玉想一想,那么你不仅会明白她寄人篱下生活的无奈,而且会彻悟为什么她要“步步留心,时时在意”。

C.校运会百米决赛开始了,我们班的苏航一马当先跑在了前面,并第一个越过终点线,顿时同学们沸沸扬扬,好不激动。

D.无论是构思布局,还是语言文字,《老人与海》高妙的艺术、深孕的寓意都使人高山仰止。

3.依照例句在横线处填上恰当的句子。(4分)

人一离开乡土,就成了失根的兰花、逐浪的浮萍、飞舞的秋蓬、翩跹的蒲公英;

人一离开乡土,___________________________________________

4.给下面这则新闻拟一个标题。(不超过10个字)(5分)

记者11月7日从陕西省测绘局获悉,得益于西安市地下水的持续回灌,地下水位明显回升。矗立千年的唐代建筑大雁塔由1996年时的1010.5的西北方向倾斜度,逐渐回弹至今年的998.9点九毫米。有专家称,按照目前的“回位”速度,倘若不出现意外,大雁塔塔身完全扶“正”尚需一千年左右。大雁塔位于西安南郊的慈恩寺内,是玄奘为藏经典而修建的,始建于公元652年。

___________________________________________

二、 文言文阅读(19分)

阅读下面一段文言文,完成5~8题。

窦泰,字世宁,大安捍殊人也。本出清河观津,曾祖罗,魏统万镇将,因居北边。父乐,魏末破六韩拔陵为乱,与镇将杨钧固守,遇害。泰贵宠,追赠司徒。初,泰母梦风雷暴起,若有雨状,出庭观之,见电光夺目,驶雨沾洒,寤而惊汗,遂有娠。期而不产,大惧。有巫曰:“渡河湔裙,产子必易。”便向水所。忽见一人,曰:“当生贵子,可徙而南。”泰母从之。俄而生泰。及长,善骑射,有勇略。泰父兄战殁于镇,泰身负骸骨归尔朱荣。以从讨邢杲功,赐爵广阿子。神武之为晋州,请泰为镇城都督,参谋军事。累迁侍中、京畿大都督,寻领御史中尉。泰以勋戚居台,虽无多纠举,而百僚畏惧。

天平三年,神武西讨,令泰自潼关入。四年,泰至小关,为周文帝所袭,众尽没,泰自杀。初,泰将发邺,邺有惠化尼谣云:“窦行台,去不回。”未行之前,夜三更,忽有朱衣冠帻数千人入台,云“收窦中尉”,宿直兵吏皆惊,其人入数屋,俄顷而去。旦视关键不异,方知非人。皆知其必败。赠大司马、太尉、录尚书事,谥曰武贞。泰妻,武明娄后妹也。泰虽以亲见待,而功名自建。齐受禅,祭告其墓。皇建初,配享神武庙庭。子孝敬嗣。位仪同三司。

(节选自《北齐书·第十五卷·补列传第七》)

5.下列句子中加点的词语解释错误的一项是( )(3分)

A.初,泰母梦风雷暴起暴:突然

B.寤而惊汗,遂有娠娠:身孕

C.虽无多纠举,而百僚畏惧纠:纠正

D.旦视关键不异,方知非人关键:门锁

6.下列各组句子中,直接显示窦泰“显贵”的一组是( )(3分)

① 泰贵宠,追赠司徒。

② 以从讨邢杲功,赐爵广阿子。

③ 神武之为晋州,请泰为镇城都督,参谋军事。

④ 虽无多纠举,而百僚畏惧。

⑤ 位仪同三司。

⑥ 赠大司马、太尉、录尚书事,谥曰武贞。

A.①②⑥B.②④⑤

C.②③④D.②③⑥

7. 下列对原文有关内容的分析和概括,不正确的一项是( )(3分)

A.窦泰的远祖是清河观津的后代,因为曾祖窦罗是统万镇的守将,所以安家在北边。父亲窦乐在破六韩拔陵作乱时遇害,在窦泰富贵受宠之后,被追封为司徒。

B.窦泰的母亲,梦见突起风雷,好像天要下雨,便走出屋到庭院中观看,看见电闪雷鸣,雨点飘洒,忽然惊醒,一身冷汗,生下了窦泰。

C.窦泰有勇有谋,自己背着战死的父兄骸骨投奔尔朱荣。凭借随军讨伐邢杲的功劳,被赐爵为广阿子。后又受到高祖的赏识重用,不断升迁,升为侍中、京畿大都督,不久又兼任御史中尉。

D.东魏天平四年,窦泰行军到小关,被周文帝偷袭,全军覆没,窦泰自杀。死后,他被封为大司马、太尉、录尚书事,谥号为武贞。皇建初年,朝廷将他陪祭于高祖庙中。他的儿子窦孝敬继承了他的爵位,位列仪同三司。

8.把文言文阅读材料中划横线的句子翻译成现代汉语。(10分)

(1) 泰父兄战殁于镇,泰身负骸骨归尔朱荣。(3分)

___________________________________________

(2) 四年,泰至小关,为周文帝所袭,众尽没,泰自杀。(4分)

___________________________________________

(3) 宿直兵吏皆惊,其人入数屋,俄顷而去。(3分)

___________________________________________

三、 诗词鉴赏(10分)

9.阅读下面这首宋词,然后回答问题。

醉落魄正月二十日张园赏海棠作

管鉴

春阴漠漠,海棠花底东风恶。人情不似春情薄,守定花枝,不放花零落。

绿尊细细供春酌,酒醒无奈愁如昨。殷勤待与东风约:莫苦吹花,何以吹愁却。

[注释]管鉴在《<养拙堂词>序》中说:“与客赏海棠,忆去岁临川所赋,怅然有远宦之叹。” 管鉴原本是龙泉(今浙江省某县)人,靠父亲的功绩被荫授为提举江南西路常平茶盐司干办官,任所在抚州,于是移家临川(今江西省抚州市西)。

(1) “愁”是这首词的词眼,词人抒发了哪些愁情?是如何表现这些浓愁的?(6分)

答:___________________________________________

(2) 细读全词,本词中哪些字词用得传神形象?结合全词谈谈你的理由。(4分)

答:___________________________________________

四、 名句名篇默写(8分)

10.补写出下列名句中空缺的部分。

(1)______________________,内无应门五尺之僮;________________________,形影相吊。(李密《陈情表》)

(2)_____________________,总是离人泪。(王实甫《西厢记》)

(3)_____________________,则知明而行无过矣。(荀子《劝学》))

(4) 人生自古谁无死,____________________!(文天祥《过零丁洋》)

(5) 鹏之徙于南冥也,____________,___________,去以六月息者也。(庄子《逍遥游》)

(6) 非淡泊无以明志,_______________。(诸葛亮《诫子书》)

五、 文学类文本阅读(23分)

阅读下面的文章,完成11~14题。

走近云梦草原

王守振

① 一直以为“天苍苍,野茫茫,风吹草低见牛羊”的广袤辽阔只是塞外风光的专利,也一直以为“大漠孤烟直,长河落日圆”的壮美苍凉只是西域风情的绝唱。然而,在云梦山巅,当这些意象中流传千古的诗页与画卷穿越时空的阻隔,与眼前的一切交汇时,我不禁惊诧与迷茫了,不是由于她的大气与非凡,而是为了她的似曾相识却又蕴涵着的独特和新奇。

② 这里是鹤壁市淇县云梦山东侧海拔500多米的一个山势平缓的山顶。秋去春来,年复一年,数千万年的风化雨浸、枯老荣生,使得漫山齐腰的黄稗草,在大自然的呵护与磨练下,浸染绵延成一处“空中草原”。放眼远眺,秋风劲舞,草浪翻涌,远山绰约,云雾迷朦,蒙古包白影点点,散落成趣;近看芳草萋萋,山花烂漫,群鸟翻飞;侧耳倾听,山风阵阵,秋虫和鸣。草丛中偶有几片嶙峋怪石,突兀伫立,在夕阳余晖的映衬下,给这静谧而又辽阔的草原平添了几分野趣,更显得恬淡、宁静和安详。

③ 蓦然,阵阵马蹄声从背后生出,由远及近,沓沓作响。回首看去,一群青春男女跨骏马飞奔而来,打一个潇洒的手势,又携咯咯笑声擦身而过。飒爽英姿,骏马秋风,给苍茫的秋阳大漠风光注入鲜活之气、青春之美。

④ 沿名叫“桃园”的草坡前行,两旁以《鬼谷子》十四篇命名的十四座草亭,古朴雅致;太阳洞西侧,一堵大型汉白玉摩崖石刻巍然矗立,《鬼谷子》兵书全文跃然石上;“孙庞对弈”大型雕塑,形象逼真,栩栩如生。广袤无垠的山顶草原和着秋草的气息、泥土的馥郁,泛起幽幽历史沉香。相传,这里曾是纵横家鼻祖、智圣鬼谷子演兵布阵、习练兵法的地方。当年鬼谷先生斩草为马,撒豆为军,点石为兵,揣摩出了诸如八卦阵、握奇阵、蟠龙阵、颠倒八门阵等一个个阵法,神出鬼没,奥妙无穷。孙膑、庞涓、苏秦、张仪等春秋战国时期的旷世奇才,都在这里从师鬼谷先生,学有所成后,走出云梦,将千军万马运筹帷幄之中,叱咤风云,演绎出“鬼谷三卷隐匡天下,兵家七国才出一门”的历史奇闻。

⑤ 眺望莽莽原野,细听草木萧萧。端坐反应轩,留连揣摩亭,小憩抵戏斋,抚摸鬼谷子兵书中的捭阖术、反应术、内楗术以及揣篇、摩篇、权篇的亭内雕刻,感受计计相套、环环相扣的兵法奥妙,领略这些智谋在政治、外交、军事等领域的应用技巧,特别是对现今人们为人处世、经商创业的启迪,使厚重的兵学文化与当今纷繁的生活一下子拉近了距离,昭示良多。

⑥ 夕阳西下,满天云锦。站在草原东侧的巨石之上,俯视脚下,悬崖陡峭;凭栏远眺,沃野千里。感触天地之造化,陶醉在边塞风光独有的中原文化里,沉湎在浩瀚悠远的历史积淀中,人也仿佛置身于旌旗猎猎的演练场。

⑦ 霞辉散去,夜晚来临。月儿垂挂天穹,繁星忽隐忽现,秋虫和鸣,清风拂面,草和着风在月光照及的地方发出嗍嗍的微响。云梦草原更显得幽古神秘。

11.文章第一段说“我不禁惊诧与迷茫了”,结合全文说说,云梦草原为什么让“我”“惊诧与迷茫”?(6分)

答:___________________________________________

12.文中说云梦草原“蕴涵着独特和新奇”,结合全文,分点概括云梦草原的“独特和新奇”。 (5分)

答:___________________________________________

13.文章四、五两段描述了鬼谷子的相关事例,作者为什么这样安排?有何作用?(6分)

答:___________________________________________

14.文章结尾说:“云梦草原更显得幽古神秘。”根据文章,探究思考作者为何说“更显得”? (6分)

答:___________________________________________

六、 论述类文本阅读(15分)

阅读下面的文字,完成15～17题。

文采是个低端概念

周泽雄

数月前,有论者以“文采欠佳”为由,奚落巴金、茅盾等人的作品。对此,我曾就其批评方式,提了些外围性意见。没有切入正题,倒不是出于回避,而是没有发现有效目标,即,他们所说的文采究系何指,尚未见明确表述。这问题其实颇值一议,我这就试试。

若不加限定,文采的实质只是一种辞采,通常体现为文字美色。被赞许为有文采,意味着该作者的文字眉眼,长得格外玲珑俊俏,类似语言里的西施、潘安。姑按此说,则我以为,文采是个低端概念;设若文学概念也有先进落后之分、健康陈腐之别,推崇文采,当属后者。

中国文学的发展相当特殊,既有早熟一面,也有迟迟未能发育成熟的一面。过分注重文采,即是发育不当的结果;而其特有的早熟性,又把这份先天不良,培植到玄妙的美学高度,类似把一种变态水族培育成婀娜万方、清泪汪汪的金鱼,令人一见心喜之余,忽视了它的魅惑性和欺骗性。当然,蓄意卫护者不难在古人著述里挑出若干断语,证明前贤对此有过戒惕。如刘勰有言:“联辞结采,将欲明经,采滥辞诡,则心理愈翳。”明确指出了辞采泛滥的危害性。诗人杜牧也有类似的高见,他说:“意不先立,止以文采辞句绕前捧后,是言愈多而理愈乱。”今人钱钟书讥讽贾谊名文《过秦论》那个浮夸的开头时,也以一个黑虎掏心的洞见,点明了症结所在:词肥意瘠。不过,由于古人的文学观里缺乏高端概念,所以他们即使对文采有所警惕,也认知不足,一般仅限于指出文采与义理的冲撞相克,无法用一个更高的概念,把文采牢牢镇住。所谓更高的文学概念,我指的是风格、结构、文体、思想之类。

与这些更高的概念相比,文采不过是一介审美小厮。拿文采来衡量古希腊悲剧或司马迁的《史记》,好比拿玩具望远镜来探测河外星系,拿文采来衡量曹雪芹或海明威,好比拿药房里称中药的戥子,为一头大象测体重。如果你对小说《围城》的欣赏止于作者的幽默文笔,结论只有两个:要么说明你缺乏把握长篇小说的能力,要么说明作者缺乏驾驭长篇小说的能力。总之,无论从哪方面看,都不是什么美事。长篇小说自有长篇小说的胸襟抱负,它虽然不应在文采上有所亏空,但也不该把成败系于文采之上。否则,就有失文学体统了。

由于文采是一个较小的审美单位,所以,在一些体量迷你的文体(比如随笔)里,会占据较大的权重。身为随笔家,却不能在文字美色上偶尔让人耳目一新,多少有些丢脸,其文学成就也难免随之下滑。反过来,身为小说家,却可着劲地在文字上逞风雅,耍贫嘴,而不是倾全力于作品的结构、主题及人物性格上,其实是志大才疏的表现。

英国随笔大家赫兹立特有个说法,值得恭听,他把文采判为一种“字面上的想象力”,他还认为,这种想象力不过是“头脑贫瘠”的特征。识者或谓,当今文坛,文笔“淡出鸟来”的家伙比比皆是,适时强调文采的重要性,难道不是对症之药?非也。依我小见,那不过暴露出我们文坛还有股沥青般呛鼻的文学初级阶段气味而已,我们若不明就里,盲目突出文采的地位,只会使我们愈加深陷在这个初级泥沼里。

(选自《南方周末》,有删改)

15.下列不符合文意的一项是()(3分)

A.针对数月前有论者以“文采欠佳”奚落巴金、茅盾等人作品,因为没有发现有效目标,作者只就论者的批评方式,提了些外围性意见。

B.文章中引用刘勰的“联辞结采,将欲明经,采滥辞诡,则心理愈翳”是为了论证“蓄意卫护者不难在古人著述里挑出若干断语,证明前贤对此有过戒惕”。

C.中国文学的发展既有早熟一面,也有迟迟未能发育成熟的一面。过分注重文采,即是发育不当的结果。

D.英国随笔大家赫兹立不仅把文采判为一种“字面上的想象力”,而且还认为,这种想象力不过是“头脑贫瘠”的特征。

16.“文采”在文中具体指的是什么?作为“低端概念”的“文采”有哪些特征? (6分)

答:___________________________________________

17.为什么作者说“文采是个低端概念”?(6分)

答:___________________________________________

七、 作文 (70分)

18.梦想,流露着浓浓的诗情画意;梦想,散发出淡淡的幽香温情。在梦想实现的征程上,你在那美丽的季节里,曾有过泪与笑,曾有过苦与痛,也曾有过抉择与放弃,但无论如何,你有着美丽的梦想。

请结合自己的生活经历,以“梦想的季节”为题作文。

注意: ①立意自定; ②文体自选;③不能写成诗歌;④不少于800字。

参考答案

1. B kǎn/jiàn huái/huí zhèng/zhēng jué/jiáo(A luò/lào tà/tà quān/juàn jiàn/jiān;C xuān/xuān jiǎo/jiāo ǎi/ǎi bào/pù;D dùn/dùn wéi/huì bó/bù miù/móu)

2. B(A“处心积虑”为贬义词,感情色彩有误;C“沸沸扬扬”形容议论纷纷,不合语境;D“高山仰止”比喻对高尚品德的仰慕,不合语境)

3.示例:就成了离枝的树叶、飘荡的柳丝、飞扬的花朵、飘散的木棉。

4.示例:大雁塔逐渐改“斜”归正

5.C (“纠”为“检举”之意)

6.D (①窦乐被追赠,间接显示窦泰的“显贵”;④表现的是其他官僚对窦泰的畏惧;⑤说的是窦泰的儿子窦孝敬)

7.B (“忽然惊醒,一身冷汗,生下了窦泰”误,应是“遂有娠”,即有了身孕)

8.(1) 窦泰父兄都战死在镇上,他便自己背着父兄的骸骨投奔尔朱荣。(殁,死;负,背着;归,投奔。注意三个实词的翻译)

(2) 天平四年,窦泰行军到小关,被周文帝偷袭,全军覆没,窦泰自杀。(四年,根据语境,应是天平四年;为……所,被动句式;没,通假字,通“殁”)

(3) 当夜执勤的兵吏都受了惊,他们进入好几间房子,不久又离去了。(宿,名词作状语,当夜;直,通“值”,值勤;俄顷,不久)

【参考译文】

窦泰,字世宁,是大安捍殊人。他的远祖是清河观津的后裔,曾祖窦罗,是北魏统万镇的守将,因而安家在北边。父亲窦乐,北魏末年破六韩拔陵作乱,窦乐与镇守的将领杨钧固守,遇害。窦泰富贵受宠之后,追赠窦东为司徒。当初,窦泰的母亲梦见突起风雷,好像要下雨,便出屋到庭院中观看,看见电闪雷鸣,雨点飘洒,忽然惊醒,一身冷汗,于是有了身孕。到时候却不能分娩,很害怕,有巫婆说:“你渡河让河水打湿裙子,就容易产子了。”窦母便走到河边,忽见一人对她说:“你应该会生个贵子,但要迁居到南方去。”窦泰的母亲听从了他的话。不久便生下了窦泰。等到窦泰长大成人,擅长骑射,有勇有谋。窦泰父兄都战死在镇上,他便自己背着父兄的骸骨投奔尔朱荣。凭借随军讨伐邢杲的功劳,赐爵为广阿子。高祖在晋州当政时,请求让窦泰来担任镇城都督,参与谋划军事。窦泰不断升迁,担任侍中、京畿大都督,不久又兼任御史中尉。窦泰以功臣贵戚身份居此要职,虽然没有检举弹劾几个人,但百官都畏惧他。

东魏天平三年,高祖西征,令窦泰从潼关进入关内。四年,窦泰行军到小关,被周文帝偷袭,全军覆没,窦泰自杀。这以前,窦泰将从邺城出师时,当地有个惠化尼编了个顺口溜说:“窦行台,去不回。”出发前一夜,三更天时,忽然有数千个穿着红色衣帽的人进入台中,声称“捉拿窦中尉”,当夜值勤的兵吏都受了惊,他们进入好几间房子,不久又离去了。天亮后发现门锁没什么异常,知道那不是常人,都知道此战必败。死后封大司马、太尉、录尚书事,谥号为武贞。窦泰的妻子,是武明皇后娄氏的妹妹。窦泰虽然是凭借亲戚的关系而被重视,但他的功勋却是自己建立的。北齐受禅建国后,派人拜祭他的坟茔。皇建初年,将他陪祭于高祖庙中。他的儿子窦孝敬继承了他的爵位,位列仪同三司。

9.(1) ①一是由落花而产生的伤春愁绪;二是离乡“远宦”之愁,作者的远宦之愁,是由赏海棠未能尽兴而引起的。②借景抒情,借落花而引发伤春愁绪。连绵的阴雨、怒吼的狂风使海棠花开得早,败得也早,刚是“正月二十日”,海棠便遭受到零落的厄运,这不能不勾起词人的惜花之情和远宦之叹。

解析:古人评诗论词时常用“诗眼”、“词眼”的说法,所谓“诗眼”、“词眼”往往是指一句诗或词中最精练传神的一个字,本题为剖析作者的思想感情。答题时切忌空洞,比如光答“表达了作者愁绪”是不行的,应答出为什么而“愁”;至于如何抒发“愁”情,则是对诗人用以抒发感情的手段即表现手法的考查。

(2) 如“漠漠”,运用了叠音,音节上铿锵有力,也形象生动地写出了阴雨连绵的天气,有力地烘托了词人的伤春愁绪。如“细细”,亦用叠音,这不只是一般的品酒,而是要借细斟慢饮,来从容地守定将落的海棠,这个词把作者留春的心境描摹得极其细腻。

解析:古人作诗写词讲究炼字,这种题是要求品味这些锤炼过的字的妙处。答题时不能把该字孤立起来谈,应放在句中,并结合全诗的意境情感来分析。

10.(1) 外无期功强近之亲茕茕独立

(2) 晓来谁染霜林醉

(3) 君子博学而日参省乎己

(4) 留取丹心照汗青

(5) 水击三千里抟扶摇而上者九万里

(6) 非宁静无以致远

11.云梦草原既有塞外风光的广袤辽阔,又有西域风情的壮美苍凉,更蕴涵着的一种独特和新奇的美感。

12.(1)给人一种恬淡、宁静和安详之感;(2)有鲜活之气、青春之美;(3)泛起幽幽历史沉香。

13.作者写鬼谷子及其弟子事例,目的有二:一是突出云梦草原蕴涵着历史的沉香,二是表现现今人们的为人处世、经商创业从厚重的兵学文化那里受益颇多。作用在于使文章富于厚重感。

14.云梦草原给人一种独特和新奇,在那独特的环境之下感悟天地之造化,令人不仅陶醉在边塞风光独有的中原文化里,也沉湎在浩瀚悠远的历史积淀中。

15.B (这一论据是为了证明“辞采泛滥的危害性”)

16.文采的实质只是一种辞采,体现为文字美色。具体指作者的文字眉眼,玲珑俊俏。文采作为低端概念具有早熟性、魅惑性和欺骗性。

篇5：八年级上学期物理试卷分析

本学期考试结束了，也算时画上一个句号，不管是圆满还是遗憾，总之，这个学期是过去了。春光明媚的时光里，思考一下本学期教学工作的得失，分析一下学生学习的得失，也是对后续教学一个整理，归纳。利于自己找到不足，为新学期教学做一个警示。

一、本试卷难易适中，能够考察出学生的水平。

第一题包括12个小题，每小题3分，共36分。1小题是常识题，多数学生没有什么问题，2小题是考查一个知识点：即空气中的角比水中的角大，有一半学生可以做对，但是有一半学生竟然做错。可见学生的基础不牢固。3小题是区分音调响度和音色，这个提多数同学没有什么问题。4小题有点难度，难度在于不仅仅考查升华的概念，而是结合实际例子，让学生分析生活中的例子，把学过的知识点用于实践，一半学生不会。5小题考查一个知识点，即影响蒸发快慢的因素是什么，这个学生可以很好的作答。通览整个试卷，第一大题失分严重的是6、10。第二大题失分严重的是微米和米之间的换算关系。二，采取措施：

1、针对学生出现的错误，让学生用红笔勾出来，并加以改正。

2、抓住基础。让学生复习旧知识，一点一点的过知识点。在通览知识点时，做到把握整体，条理清楚。

3、在复习知识点的基础之上，把寒假作业认真完成一遍。

三、分析思想问题 学生思想存在问题是

1、没有毅力。表现在做作业的时候，写一会，说两句话，不能做到持之以恒。

篇6：四年级上学期科学试卷分析

四年级科学期末试卷分析

一、试题分析

四年级科学的培养目标主要是激发学生学习科学课程的兴趣，帮助学生体验科学课程学习的特点，引导学生尝试性地进行科学探究活动，学习一些简单的科学知识和进行科学探究的基本技能。此份水平充分体现了以上培养目标和教学要求。

1、试题内容很好的体现了课程标准的要求，试卷注重能力和素质的培养，以最新的课程标准和考纲为依据，以方法为主线，以思维为重点，以能力为核心，将基础知识、考试内容和能力提高融为一体。

2、四年级科学测试试卷以《科学课程标准》为命题依据，由判断题、选择题、简答、实验题构成，试题量适中，基本覆盖了全册的内容，突出能力考查，所有试题内容均来自科学课本。

二、试卷分析

本年级实有学生79人，参加考试79人，总分6781分，平均85.8分。总的来看，大部分学生考出了自己的真实水平，但也有部分学生没有发挥好，留下了诸多遗憾。

第一题，填空题，要求学生用自己的语言对书本上所涉及的知识加以正确的理解，重点考察学生的知识掌握与语言表述能力；第二题，判断题，目的是考察学生对知识点的掌握程度和判断能力；第三题，选择题，要求学生准确把握所学内容，正确剔除那些似是而非的答案，做出自己的选择。第四题，简答题，三个题目都来自于生活，接近于认知，学生回答不会有困难。本次试题结构合理、题型全面、题量适中，同时侧重双基，体现了知识与技能相统一，过程与方法相联系的新课标要求。

三、存在问题及原因

1、学生方面

（1）大多数学生对一些科学问题考虑比较单一化有关。（2）部分学生对一些科学方法的含义不理解，意义混淆。（3）学生书写较差，对科学概念中的一些较难写的关键词没有记住，爱写错别字。

（4）学生对一些科学问题没有经历完整过程，缺少实际体验，回答正确的学生也多属死记硬背。

2、教师方面

（1）教师对科学课的认识尚在建立中，对一些科学概念的理解也需要学习的过程，还需要进一步的理解。

（2）基本科学素养缺乏，实验教学经验不足。

四、今后措施

1、要重视让学生经历科学探究的过程，提高学生的科学素养。鼓励儿童动手、动脑‘做’科学”，充分调动学生学习科学的兴趣，激发他们的好奇心与求知欲，让他们动手动脑探究科学。

2、要创造条件，提高科学课堂教学的有效性。

由于科学课大多有实验操作，而且有些实验器材需要老师自主开发，自行准备，这给老师的有效教学带来不少困难。上好科学课，备课是上好科学课的前提，材料的准备是上好科学课的关键。所有的科学实验老师都要事先做，并在教案中写出做实验的要点和注意事项，这样既是做到上课心中有数，更是保证实验的安全性。在条件不充分的情况，不能进行分组实验时，要做好演示实验，使学生对实验有清楚准确的认识，确保实验教学到位。

3、发挥小组作用，做好辅导工作。