基础概念练习题第2章

基础概念练习题第2章（通用6篇）

篇1：基础概念练习题第2章

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习题课(二)

(函数的概念和图象)

教学过程

复习(教师引导，学生回答)

1.函数单调性的定义.2.证明函数单调性的基本步骤.3.函数奇、偶性的定义.4.根据定义判定函数奇、偶性的步骤.5.根据奇偶性可以把函数分为四类：奇函数；偶函数；既是奇函数，也是偶函数；既不是奇函数，也不是偶函数.6.既是奇函数，也是偶函数的函数有无数个，解析式都为f(x)=0，只要定义域关于原点对称即可.7.映射的定义.8.映射f:A→B说的是两个集合A与B间的一种对应，两个集合是有序的.映射是由集合A、集合B和对应法则三部分组成的一个整体，判断一个对应是不是映射应该抓住关键：A中之任一对B中之唯一.A中不能有多余的元素，应该一个不剩，而B中元素没有这个要求，可以允许有剩余；映射只能是“一对一”或“多对一”，而不能是“一对多”或“多对多”，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射.映射所涉及两个集合A、B，可以是数集，也可以是点集或其他类元素构成的集合.导入新课

前面一段，我们一起研究了函数的单调性、奇偶性以及映射有关概念及问题，并掌握了一定的分析问题、解决问题的方法，这一节，我们将对这部分内容集中训练一下，使大家进一步熟悉函数的有关概念、基本方法与基本的解题思想；并通过典型例题进一步提高大家的分析问题、解决问题的能力.推进新课

基础训练

思路1

1.对应①：A={x|x∈R}，B={y||y|＞0}，对应法则f:

1→y； x

对应②：A={(x,y)||x|＜2,|y|＜2,x∈Z,y∈Z}，B={-2,-1,0,1,2}，对应法则f:(x,y)→x+y，下列判断正确的是（）

A.只有①为映射

B.只有②为映射

C.①和②都是映射

D.①和②都不是映射

2.已知f(x)、g(x)是定义在R上的两个不恒为零的函数，若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)·g(x)是（）

A.奇函数

B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.非奇非偶函数

3.设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：

①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递增；

②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递增；

③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递减；

④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递减.其中正确的命题是（）

A.①和③

B.①和④

C.②和③

D.②和④

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4.指出下列函数的单调区间，并说明在单调区间上函数是增函数还是减函数：

(1)f(x)=-x2+x-6;(2)f(x)=

解答：1.A 2.A 3.C

4.(1)函数f(x)=-x2+x-6单调区间为(-∞，(-∞，x;(3)f(x)=-x3+1.11]，[，+∞)，f(x)在 2211]上为增函数，f(x)在[，+∞)上为减函数.2

2(2)f(x)=x单调区间是[0，+∞)，f(x)在[0，+∞)上是减函数；

(3)f(x)=-x3+1单调区间为(-∞，+∞)，f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.思路2

1.映射f:X→Y是定义域X到值域Y上的函数，则下面四个结论中正确的是…（）

A.Y中元素在X中不一定有元素与之对应

B.X中不同的元素在Y中有不同的元素与之对应

C.Y可以是空集

D.以上结论都不对

2.下列函数中，既非奇函数又非偶函数，并且在(-∞,0)上是增函数的是（）

A.f(x)=5x+2

B.f(x)=

C.f(x)=

x

1-1

D.f(x)=x2 x

3.设f(x)为定义在数集A上的增函数，且f(x)＞0，有下列函数：①y=3-2f(x)；②y=

1；f(x)③y=[f(x)]2；④y=f(x).其中减函数的个数为（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

1x2

4.函数f(x)=（）x

A.是偶函数

B.是奇函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数也不是偶函数

5.函数f(x)=a(a≠0)在区间(-∞,0)上是（）x

A.增函数

B.减函数

C.a＞0时是增函数，a＜0时是减函数

D.a＞0时是减函数，a＜0时是增函数

6.对于定义在R上的函数f(x)，有下列判断：

(1)f(x)是单调递增的奇函数；

(2)f(x)是单调递减的奇函数；

(3)f(x)是单调递增的偶函数；

(4)f(x)是单调递减的偶函数.其中一定不成立的是_________________.解答：1.D 2.A 3.B 4.B 5.D 6.(3)(4)

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应用示例

思路1

例

1若函数f(x)=x2+bx+c对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x)，那么…（）

A.f(2)＜f(1)＜f(4)

B.f(1)＜f(2)＜f(4)

C.f(2)＜f(4)＜f(1)

D.f(4)＜f(2)＜f(1)

分析：此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程.解法一：由f(2+x)=f(2-x)可知：函数f(x)=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，由二次函数f(x)开口方向向上，可得f(2)最小，又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)，因为当x＜2时，y=f(x)为单调减函数，又因为0＜1＜2，所以f(0)＞f(1)＞f(2)，即f(2)＜f(1)＜f(4)，故选A.解法二：由f(2+x)=f(2-x)可知：函数f(x)=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，由二次函数f(x)开口方向向上，画出函数f(x)=x2+bx+c的草图如右图所示：

由草图易知：f(2)＜f(1)＜f(4)，故选A.点评：(1)解法一是先将要比较大小的几个数对应的自变量通过函数图象的对称轴化到该函数的同一个单调区间内，然后再利用该函数在该区间内的单调性来比较这几个数的大小；解法二是根据所给条件画出函数的草图，只需将要比较大小的几个数对应的自变量进行比较大小即可，当然，这与函数图象的开口方向也有关.记忆技巧：若函数图象开口向上，则当自变量离对称轴越远时函数值越大；

若函数图象开口向下，则当自变量离对称轴越远时函数值越小.(2)通过此题可将对称语言推广如下：

①若对任意实数x，都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a是函数f(x)的对称轴；

②若对任意实数x，都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=

ab是函数f(x)的对称轴.2

例2

有下列说法：

①函数f(x)在两个区间A、B上都是单调减函数，则函数f(x)在A∪B上也是单调减函数；

②反比例函数y=1在定义域内是单调减函数； x

③函数y=-x在R上是减函数；

④函数f(x)在定义域内是单调增函数，则y=[f(x)]2在定义域内也是单调增函数.其中正确的说法有（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

分析：本题是有关函数单调性的选择题，解决时采取各个击破的方法.解：①不正确.因为函数f(x)=

1在区间A=(-∞,0)，B=(0,+∞)上都是单调减函数，但f(x)x在区间A∪B=(-∞,0)∪(0,+∞)上是没有单调性的，所以①不正确、②不正确.反比例函数y=

1在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)内是没有单调性的、x中鸿智业信息技术有限公司

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③正确、④不正确.因为函数f(x)=x在定义域(-∞,+∞)内是单调增函数，但是函数y=[f(x)]2=x2在区间(-∞,0]上单调减，在区间[0,+∞)上单调增，而在定义域(-∞,+∞)内是没有单调性的，所以④不正确.所以正确的说法只有1个，故本题选A.点评：(1)在“反比例函数y=

1在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)内是没有单调性”这一点上，学生x经常会出错，教师应向学生强调.(2)对于要让我们判断正确与否的问题，要学会通过举反例的方法来判断.(3)要判断某个说法正确，需要严密的推理论证；要判断某个说法不正确，只需要取出一个反例即可.例

3定义在(-1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，若f(1-a)+f(1-3a)＜0，求实数a的取值范围.分析：本题所给函数为抽象函数，没有具体的函数解析式，要求实数a的取值范围，关键是脱去“f”，因此要通过讨论，在f(x)的单调区间上，利用函数的单调性使问题获得解决.解：因为f(x)的定义域为(-1,1)，所以11a1,2解得0＜a＜.①

3113a1,原不等式f(1-a)+f(1-3a)＜0化为f(1-3a)＜-f(1-a)，因为f(x)是奇函数，所以-f(1-a)=f(a-1)，所以原不等式化为f(1-3a)＜f(a-1)，因为f(x)是减函数，所以1-3a＞a-1，即a＜

由①和②得实数a的取值范围为(0,1.② 21).2点评：(1)学生容易忘记定义域的限制，因此要重视定义域在解题中的作用.(2)解关于抽象函数的函数方程或函数不等式，基本思路是依据函数的单调性脱去“f”，要注意函数单调性定义与奇偶性定义的正确运用.若函数f(x)在区间A上递增，且f(x1)＜f(x2)，则x1,x2A；

x1x2x1,x2A

若函数f(x)在区间A上递减，且f(x1)＜f(x2)，则.xx2

1变式训练

问题：请对题目条件作适当改变，并写出解答过程.(学生有可能会得出如下变式)

(错误)变式一：定义在(-1,1)上的偶函数f(x)在整个定义域上是减函数，若f(1-a)+f(1-3a)＜0，求实数a的取值范围.点拨：教师引导学生发现此变式一是错误的，因为偶函数f(x)在整个定义域上不可能是单调函数(图象关于ｙ轴对称)，鼓励学生再改.(不当)变式二：定义在(-1，1)上的偶函数f(x)在(-1,0]上是减函数，若f(1-a)+f(1-3a)＜0，求实数a的取值范围.点拨：教师引导学生发现此变式二的题目是正确的，但是没有办法解决.因为解决此类问题是依据函数的单调性脱去“f”，由f(1-a)+f(1-3a)＜0，得f(1-a)＜-f(1-3a)，不等式右边的中鸿智业信息技术有限公司

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负号没有办法去掉.例3中的函数f(x)为奇函数，不等式右边的负号可以拿到括号里面，再根据函数f(x)的单调性来解决即可，而变式二中的函数f(x)为偶函数，不等式右边的负号去不掉就没有办法利用函数f(x)的单调性来解决.拓展探究：

(正确)变式三：定义在(-1,1)上的偶函数f(x)在(-1,0]上是减函数，若f(1-a)＜f(1-3a)，求实数a的取值范围.例

4已知函数f(x)=ax3+bx+1，常数a、b∈R，且f(4)=0，则f(-4)=____________.分析：本题所给的函数虽然给出了函数解析式，但解析式中含有两个参数.想要将这两个参数全部求出来再来求解显然是不可能的，因为题目中只给出了一个条件，根据一个条件想要求出两个未知数的值是办不到的.因此尝试着用整体思想来解决本题.解：(方法一)设g(x)=ax3+bx，则f(x)=g(x)+1.因为g(-x)=a(-x)3+b(-x)=-ax3-bx=-g(x)，所以g(x)是奇函数.因为f(4)=g(4)+1=0，所以g(4)=-1；又因为g(x)是奇函数，所以g(-4)=-g(4)=1，所以f(-4)=g(-4)+1=2.(方法二)因为f(x)=ax3+bx+1，所以f(-x)=a(-x)3+b(-x)+1=-ax3-bx+1，则f(-x)+f(x)=-ax3-bx+1+ax3+bx+1=2，即f(-x)=2-f(x)，所以f(-4)=2-f(4)=2-0=2.点评：(1)审题要重视问题的特征；(2)整体代换是解决此类问题常用的思想方法.例

5求函数f(x)=x2-2ax+2在[2，4]上的最小值.分析：本题中的函数是二次函数，求二次函数在闭区间上的最值问题按照“配方——草图——有效图象”三部进行.解：因为函数f(x)的对称轴是x=a，可分以下三种情况：

(1)当a＜2时，f(x)在[2，4]上为增函数，所以f(x)min=f(2)=6-4a；

(2)当2≤a≤4时，f(x)min=f(a)=2-a2；

(3)当a＞4时，f(x)在[2，4]上为减函数，所以f(x)min=f(4)=18-8a.(a2),67a,

2综上所述：f(x)min=2a,(2a4)，188a,(a2).

点评：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x=a与区间[2，4]的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较f(2)与f(4)的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.变式训练

1.求函数f(x)=x2-2ax+2在[2，4]上的最大值.解：由例5可知f(x)max为f(2)与f(4)中较大者，根据函数f(x)=x2-2ax+2的草图可知：

(1)当a≥3时，f(2)≥f(4)，则f(x)max=f(2)=6-4a；

(2)当a＜3时，f(2)＜f(4)，则f(x)max=f(4)=18-8a.中鸿智业信息技术有限公司

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故f(x)max=64a,(a3)，88a,(a3).2.求函数f(x)=x2-2ax+2在[2，4]上的最值.解：因为f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2，函数f(x)的对称轴是x=a，(1)当a≤2时，f(x)min=f(2)=6-4a，f(x)max=f(4)=18-8a;

(2)当2＜a＜3时，f(x)min=f(a)=2-a2，f(x)max=f(4)=18-8a；

(3)当3≤a＜4，f(x)min=f(a)=2-a2，f(x)max=f(2)=6-4a；

(4)当a≥4时，f(x)min=f(4)=18-8a，f(x)max=f(2)=6-4a.例6

设x1，x2为方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根，当m为何实数值时，x12+x22有最小值，并求这个最小值.错解：因为x1、x2是方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根，m2.4m2117

所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=m2-=(m-)2-.4162117

所以当m=时，x12+x22有最小值，且最小值为-.416

由韦达定理，得x1+x2=m，x1·x2=

分析：关于x的一元二次方程4x2-4mx+m+2=0有两个实根，则它的判别式：Δ=(-4m)2-4×4(m+2)≥0，即m∈(-∞-1]∪[2,+∞)，m取不到

1，不能忽视一元二次方程有实根4的充要条件.正解：因为x1、x2是方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根，由韦达定理，得x1+x2=m，x1·x2=m2.4m2117=(m-)2-.41621217)-的416

所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=m2-

又因为Δ=(-4m)2-4×4(m+2)≥0，解得m≤-1或m≥2.可根据二次函数f(m)=(m-草图，知当m=-1时，ymin=

1.2

点评：求函数值域、最值，解方程、不等式等均要考虑字母的取值范围，有些问题的定义域非常隐蔽.因此，我们要注意充分挖掘题目中的隐含条件.思路2

例

1是否存在实数λ，使函数f(x)=x4+(2-λ)x2+2-λ在区间(-∞,-2]上是减函数，而在区间[-1,0)上是增函数？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.分析：已知函数在规定区间上的单调性，运用定义可得出λ与所设的x1、x2的不等关系式，再根据变量x1、x2的两个范围，求出λ的范围，由两个已知条件求出λ的两个范围，中鸿智业信息技术有限公司

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若有公共部分则λ存在，若无公共部分，则λ不存在.解：因为f(x1)-f(x2)=x14-x24+(2-λ)(x12-x22)=(x12-x22)(x12+x22+2-λ).若x1＜x2≤-2，则x12-x22＞0，且x12+x22+2＞4+4+2=10，所以当且仅当λ≤10时，f(x1)-f(x2)＞0恒成立，从而f(x)在区间(-∞,-2]上是减函数.若-1≤x1＜x2＜0，则x12-x22＞0，且x12+x22+2＜1+1+2=4，所以当且仅当λ≥4时，f(x1)-f(x2)＜0恒成立，从而f(x)在区间[-1,0)上是增函数.综上所述，存在实数λ使f(x)在区间(-∞,-2]上是减函数，而在区间[-1,0)上是增函数，且实数λ的取值范围为[4,10].点评：本题是一道探索性命题，是一道求函数单调性的逆向问题，定义是解决此类问题的最佳方法.例

2设定义在R上的偶函数y=f(x)在区间[0,+∞)上是减函数，若实数x满足f(x)＞f(2x+1)，试求x的取值范围.分析：要求x的取值范围，关键是脱去“f”，因此要通过讨论，在f(x)的单调区间上，利用函数的单调性使问题获得解决.解：可分为三类来加以讨论：

(1)若x≥0，则2x+1＞0，由题设，函数y=f(x)在区间[0,+∞)上是减函数，得0≤x＜2x+1，解之得x≥0.(2)若x0,1即x＜-，由于函数y=f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，故f(x)＞

22x10,f(2x+1)f(-x)＞f(-2x-1)，而-x＞0，-2x-1＞0,且函数y=f(x)在区间[0,+∞)上是减函数，得1x,解之，得x＜-1.2x2x1,x0,1(3)若即-＜x＜0，仿上可得f(x)＞f(2x+1)f(-x)＞f(2x+1)，22x10,11x0,有2解之，得＜x＜0.3x2x1,综上所述，x的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).3点评：(1)解关于抽象函数的函数方程或函数不等式，基本思路是依据函数的单调性脱去“f”，要注意函数单调性定义的正确运用；

若f(x)在区间A上递增，且f(x1)＜f(x2)，则x1,x2A，xx,21x1,x2A,若f(x)在区间A上递减，且f(x1)＜f(x2)，则

xx,21

(2)若能注意到偶函数y=f(x)具有如下性质：f(x)=f(|x|)，则由题意可得，f(x)=f(|2x+1|)，从而有|x|＞|2x+1|，本题的求解可避开讨论，过程更为简捷.中鸿智业信息技术有限公司

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例3

设函数y=f(x)的定义域为R，且对于任意x1,x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，又当x＞0时，f(x)＜0,f(1)=-

1.求函数y=f(x)在区间[-4,4]上的最大值和最小值.2

分析：问题中的函数解析式没有给出，求最值应从哪里入手呢？只要知道了函数的单调性，问题也就迎刃而解了.解：由题意知，对于任意x1,x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)①

在①中，令x1=x2=0，可得f(0)=0.在①中，令x1=x,x2=-x，可得f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x).设x1,x2∈R且x1＜x2，则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).因为x2-x1＞0，由题设知f(x2-x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，所以函数y=f(x)在R上是减函数，因此在区间[-4,4]上，有f(4)≤f(x)≤f(-4).又因为f(1)=-1，2

所以f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=-1,f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)=-2，则f(-4)=-f(4)=2.故在区间[-4,4]上函数y=f(x)的最大值为2，最小值为-2.点评：(1)求解有关抽象函数的问题时，赋值法是常用的方法，给自变量x赋以一些特殊的数值，构造出含有某个函数值的方程，通过解方程使问题获解；

(2)根据函数的单调性求函数的最值是常用方法之一，如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是增(或减)函数，那么函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值为f(b)〔或f(a)〕，最小值为f(a)[或f(b)].例

4有甲、乙两种商品，经营、销售这两种商品所能获得的利润依次为P万元和Q万元，它们与投入资金x万元的关系有经验公式P=

13x，现有3万元资金投入经营x，Q=

55甲、乙两种商品，设其中有x万元投入经营甲种商品，这时所获得的总利润为y万元.(1)试将y表示为x的函数；

(2)为使所获得的总利润最大，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为多少万元？这时的最大利润是多少万元？

分析：这是一道实际应用问题，建立恰当的函数关系式是实现问题解决的基础，要注意：充分利用题目中所给的信息，不要忘记定义域.解：(1)当有x万元投入经营甲种商品时，则有(3-x)万元投入经营乙种商品，根据题意得：y=13x3x(x∈[0,3]).5

5这就是所求的函数关系式.(2)设y=3x=t，则x=3-t2(t∈[0,3])，于是原函数关系式可化为123131(3-t)+t=-(t)2+20(t∈[0,3]).555223213339

当t=时，ymax=.此时，x=3-()2=，3-x=3-=.220244

4因此，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别投入0.75万元和2.25万元，所获最大利润是1.05万元.点评：(1)遇到实际应用问题，建立恰当的函数关系式是实现问题解决的基础，另外要注意：充分利用题目中所给的信息，不要忘记定义域.(2)求函数的最大值和最小值，方法比较灵活，对一些复杂的函数关系式，通过换元，中鸿智业信息技术有限公司

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将其转化为熟悉的函数来求解，体现了化归思想的运用，值得我们好好地加以体会.本题中通过换元，将十分复杂的函数关系式转化为我们较为熟悉的二次函数，求函数的最值就变得轻而易举了.ax21

5例5

已知函数f(x)=是奇函数，且f(1)=2,f(2)=.2bxc

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)当x＞0时，讨论函数f(x)的单调性，并写出证明过程.分析：用方程确定a,b,c的值，用定义来证明函数单调性.解：(1)由f(-x)=-f(x)得-bx+c=-(bx+c)，所以c=0.又f(1)=2，即a+1=2b.因为f(2)=

5，所2a1,x214a15以=，得a=1，故b1,从而得f(x)=.a12xc0,x21

1(2)f(x)==x+在(0,1]上是单调减函数，在[1,+∞)上是单调增函数.证明如下：

xx任取0＜x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=(x1+

(xx2)(x1x21)11111)-(x2+)=(x1-x2)+()=1.)=(x1-x2)(1-x1x2x1x2x1x2x1x21x1x

①若0＜x1＜x2≤1，则x1-x2＜0,0＜x1x2＜1，于是f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2).所以y=x+在区间(0,1]上是单调减函数.②若1≤x1＜x2，所以x1-x2＜0,x1x2＞1，于是f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).所以y=x+在区间[1,+∞)上是单调增函数.x211

综上所述，函数f(x)==x+在(0,1]上是单调减函数，在[1,+∞)上是单调增函数.xx

点评：解题时值得注意的是奇(偶)函数条件的使用，函数是奇函数(或偶函数)也就意味着等式f(-x)=-f(x)[或f(-x)=f(x)]对于定义域内的任意x都成立，通过恒等式有关知识寻求等量关系.求函数单调区间一般有三种方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性法.本例图象不易作出，利用函数y=x和y=

1的单调性也不行，故只能使用函数单调性的定x义来确定.例6

已知y=f(x)是定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，f(1)=0.(1)解不等式f(x)≥0；

(2)设函数g(x)=-x2+mx-2m(x∈[0,1],m∈R)，集合M={m|g(x)＜0}，集合N={m|f[g(x)]＜0}，求M∩N.分析：本题中的函数f(x)是抽象函数，因此只能由函数的性质，结合函数的草图来解决本题.中鸿智业信息技术有限公司

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解：(1)因为f(x)为定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数且f(1)=0，所以f(-x)=-f(x)，则f(-1)=-f(1)=0；

当x∈(0,+∞)时，因为f(x)在(0,+∞)上是增函数，由f(x)≥0得x≥1；

因为奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，又f(x)在(0,+∞)上是增函数，所以f(x)在区间(-∞,0)上也是增函数，又因为f(-1)=0，所以当x∈(-∞,0)时，由f(x)≥0得-1≤x＜0.综上所述，不等式f(x)≥0的解集为[-1,0)∪[1,+∞).(2)由(1)可知f(x)≥0的解集为[-1,0)∪[1,+∞)，因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，所以f(x)＜0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).所以由f[g(x)]＜0得g(x)＜-1或0＜g(x)＜1，即N={m|g(x)＜-1或0＜g(x)＜1}，因为M={m|g(x)＜0}，所以M∩N={m|g(x)＜-1}.因为g(x)=-x2+mx-2m(x∈[0,1])，所以g(x)＜-1化为-x2+mx-2m+1＜0，即(x-2)m+1-x2＜0，因为x∈[0,1]，所以m＞x21(x2)24(x2)333=(x-2)++4=-[(2-x)+]+4，当x∈[0,1]时，2-x＞0，x22xx2x2根据函数h(t)=t+的图象可知：-[(2-x)+m＞21t3]+4≤23+4，当x=23时取等号，所以2x3+4.点评：本题所给函数是抽象函数，具有一定的综合性；在解决第一问时可以借助函数的单调性与奇偶性画出草图来帮助我们解题；在解决第二问时，可能有学生会分别求出集合M与N，然后再取交集，教师应该引导学生按照以上解答过程来解决省时省力.巩固训练

思路1

1.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间(-5，-2)上是（）

A.增函数

B.减函数

C.部分为增函数，部分为减函数

D.无法确定增减性

解答：A

2.设函数f(x)=ax3+cx+5，已知f(-3)=3，则f(3)等于（）

A.3

B.-3

C.2

D.7

解答：D

3.已知偶函数y=f(x)在区间[0，4]上是增函数，则f(-3)和f(π)的大小关系是（）

A.f(-3)＞f(π)

B.f(-3)＜f(π)

C.f(-3)=f(π)

D.无法确定

解答：B

4.已知f(x)=x2+1在[-3，-2]上是减函数，下面结论正确的是（）|x|

A.f(x)是偶函数，在[2，3]上单调递减

B.f(x)是奇函数，在[2，3]上单调递减

C.f(x)是偶函数，在[2，3]上单调递增

D.f(x)是奇函数，在[2，3]上单调递增

解答：C

5.已知f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)=x(1-x)，则当x＜0时，f(x)等于 …（）

A.x(x+1)

B.x(x-1)

C.x(1-x)

D.-x(1+x)

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解答：A

6.定义在R上的函数f(x)、g(x)都是奇函数，函数F(x)=af(x)+bg(x)+3在区间(0，+∞)上的最大值为10，那么函数F(x)在(-∞，0)上的最小值是.解答：-4

7.函数f(x)=x3+bx2+cx是奇函数，函数g(x)=x2+(c-2)x+5是偶函数，则b=__________，c=__________.解答：0 2

8.函数f(x)=|x-a|-|x+a|(a∈R)的奇偶性是__________.解答：a≠0奇函数，a=0既是奇函数又是偶函数

9.偶函数f(x)是定义在R上的函数，且在(0，+∞)上单调递减，则f(-

3)和f(a2-a+1)的大4小关系是__________.10.f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数，且在(-∞，+∞)上是减函数，那么满足f(a)+f(a2)＞0的实数a的取值范围是__________.解答：f(-3)≥f(a2-a+1)10.-1＜a＜0

4点评：本组练习以基础题为主，难度不大.思路2

1.已知二次函数y=f(x)满足条件f(0)=1及f(x+1)-f(x)=2x.(1)求y=f(x)的表达式；

(2)求y=f(x)在区间[-1,1]上的最大值和最小值.2.已知y=f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+2)=1，若当2≤x≤3时，f(x)=x，则f(x)f(5.5)＝___________.3.某产品的总成本y万元与产量x台之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2,x∈(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本的最低产量为多少？

4.已知函数f(x)=ax2+a2x+2b-a3，(1)当x∈(-2，6)时，其值为正；x∈(-∞,-2)∪(6,+∞)时，其值为负，求a,b的值及f(x)的表达式；

(2)设F(x)=kf(x)+4(k+1)x+2(6k-1)，k为何值时，函数F(x)的值恒为负值.4a10a，该集团今年计划对这两项生产共投入,Q=

35.某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产业的年利润分别是T和Q(万元)，这两项生产与投入的奖金a(万元)的关系是P=奖金60万元，为获得最大利润，对养殖业与养殖加工生产业投入应各为多少万元？最大利润为多少万元？

解答：

1.解：(1)由题意可设f(x)=ax2+bx+1，则f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x，因此a=1,b=-1, 所以f(x)=x2-x+1.123)+，x∈[-1,1], 2413

所以ymax=f(-1)=3，ymin=f()=.24

(2)因为f(x)=x2-x+1=(x-

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2.解：因为f(x+2)=11，所以f(x+4)==f(x)，f(x2)f(x)

则f(5.5)=f(1.5)，f(1.5)=f(-2.5)，又因为y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当2≤x≤3时，f(x)=x，所以f(-2.5)=f(2.5)=2.5，因此f(5.5)=2.5.3.解：因为25x≥3 000+20x-0.1x2，即x2+50x-30 000≥0，所以x≥150(x≤-200舍去)，所以最低产量为150台.23f(2)4a2a2ba0,4.解：(1)由已知解得：32a+8a2=0(a＜0)，所以a=-4，23f(6)36a6a2ba0,从而b=-8，所以f(x)=-4x2+16x+48.(2)F(x)=k(-4x2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)=kx2+4x-2，要使F(x)＜0，只要4k0,得k＜-2.168k0,5.解：设投入养殖业为x万元，则投入养殖加工生产业为60-x万元

x1060x(0≤x≤60)，设t=60x,则0≤t≤60，x=60-t2，则33110185P+Q=(60-t2)+t=-(t-5)2+，33338

5所以当t=5，即x=35时，(P+Q)max=.385

因此对养殖业投入35万元，对养殖加工生产业投入25万元，可获最大利润万元.3由题意，P+Q=

点评：本组练习对学生的能力要求比较高.课堂小结

函数的基本性质中单调性与奇偶性是紧密地联系在一起的，在许多问题中常常需要结合在一起加以运用，因此，学习函数时，要正确理解函数的单调性和奇偶性，把握其本质特征，学会灵活地运用函数的单调性和奇偶性解题.研究函数问题时，要重视函数图象的功能，掌握数形结合的思想方法，培养数形结合解题的意识，提高数形结合解题的能力.作业

课本第43页习题2.1(3)

3、11.设计感想

深刻理解函数的有关性质：

概念是数学理论的基础、概念性强是中学数学中函数理论的一个显著特征，函数的单调性，奇偶性，最大(小)值等是函数有关概念的重要内容.本章学习的内容中数学概念较多，正确地理解数学概念在于准确把握概念的本质特征.函数的单调性是函数重要概念之一，应明确：

(1)它是一个区间概念，即函数的单调性是针对定义域内的区间而言的，谈到函数的单调性必须指明区间(可以是定义域，也可以是定义域内某个区间)

(2)用函数单调性定义来确定函数在某区间是增函数还是减函数的一般方法步骤是：取值——作差——变形——定号——结论.中鸿智业信息技术有限公司

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(3)由函数单调性的定义知，当自变量由小到大，函数值也由小到大时，则为增函数，反之，为减函数；由于函数图象的走向能直观反映函数的变化趋势，所以当函数的图象(曲线)从左到右是逐渐上升的，它是增函数，反之为减函数.函数的奇偶性：奇偶性是对于函数的整个定义域而言的.判断函数是否具有奇偶性时，首先要检查其定义域是否关于原点对称，然后再根据定义求出f(-x)并判断它与f(x)的关系.函数图象可直观、生动地反映函数的某些性质，因此在研究函数性质时，应密切结合函数图象的特征，对应研究函数的性质.函数是用以描述客观世界中量的存在关系的数学概念，函数思想的实质是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系、解决各种问题.纵观近几年的高考试题，考查函数的思想方法已放在一个突出的位置上，特别是近三年加大了应用题的考查力度，选用的题目都要应用函数的思想、知识、方法才能解答的，因此在函数的学习中，一定要认识函数思想的实质，一定要强化应用意识.中鸿智业信息技术有限公司

篇2：基础概念练习题第2章

2.3.2 对数函数

整体设计

教材分析

对数函数是我们学习了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数等最简单的函数后，在新的知识平台上系统研究的又一类基本初等函数.对数函数的有关知识是以对数概念和运算法则、换底公式作为基础知识来学习的.对数函数的图象是对照指数函数的图象，运用计算机(器)描绘出来的，通过比较分析来研究对数函数的性质，对数函数的教学可利用类比指数函数的教学进行.对数函数的概念是通过一个关于细胞分裂次数的实际问题提出的，这说明对数函数的概念来自于实践，便于学生接受，但在教学中，学生往往容易忽略定义域，因此，要结合指数式强调说明对数函数的定义域.本章节教学的重点是对数函数的图象和性质、会求简单对数函数的定义域、值域.在研究对数函数的时候，底数的取值范围对图象的影响(即单调性的影响)是本节的一个教学难点，因此在教学过程中可以通过指数函数的的图象对比着学习，加强学生数形结合的思想.在比较系统的学习对数函数的定义、图象和性质的基础上，利用对数函数的图象和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图象和性质、复合函数的奇偶性、单调性也成为本节的教学难点.三维目标

1.理解对数函数的概念，能正确描绘和辨别对数函数的图象.2.掌握对数函数的性质及简单应用.3.通过对数函数的概念、图象和性质的学习，使学生分清指数函数和对数函数这两类基本的初等函数在研究方法上的异同之处.使学生体会到知识之间的有机联系以及蕴含在其中的数学思想和方法.4.通过对数函数的有关性质的研究，加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，培养学生观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力.5.通过对数函数的学习，树立相互联系、互相转化的观点，渗透数形结合的数学思想，增强学生的学习积极性，同时培养学生与人合作、共同探讨的优良品质.重点难点

教学重点：

1.对数函数的概念、图象、性质以及应用.2.对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活使用.教学难点：

1.对数函数的底数的变化对函数图象的影响，对于含参数的对数式渗透分类讨论思想.2.函数图象的平移、翻转变化以及复合对数式函数的图象研究.课时安排

3课时

教学过程

第一课时

对数函数(一)导入新课

设计思路一(复习导入)

1.在前面通过系统地学习指数和对数这两种运算，请同学们回顾指数幂运算和对数运算的定义并说出这两种运算的本质区别.2.回顾指数函数定义、图象和性质，并绘制指数函数图象，根据图象指出指数函数的相关性质(定义域、值域、过定点、单调性).在等式ab=N(a＞0，且a≠1，N＞0)中已知底数a和指数b，求幂值N，就是指数问题；

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已知底数a和幂值N，求指数b，就是我们前面刚刚学习过的对数问题，而且无论是求幂值N还是求指数b，结果都只有一个，有指数函数，那么也有对数函数.设计思路二(情境导入)

x

在某细胞分裂过程中，细胞个数y是分裂次数x的函数y=2.因此，当已知细胞的分裂次数x的值(即输入值是分裂次数x)，就能求出细胞个数y的值(即输出值是细胞个数y),这样，就建立起细胞个数y和分裂次数x之间的一个关系式，你还记得这个函数模型的类型吗？ 反过来，在等式y=2x中，如果我们知道了细胞个数y，求分裂次数x，这将会是我们研究的哪类问题？

x

能否根据等式y=2，把分裂次数x表示出来？

在关系式x=log2y中每输入一个细胞个数y的值，是否一定都能得到唯一一个分裂次数x的值？

(生思考，并交流思考结果，师总结)

我们通过研究发现：在关系式x=log2y中把细胞个数y看作自变量，则每输入一个y的值，都能得到唯一一个分裂次数x的值，根据函数的定义，分裂次数x就可以看作是细胞个数y的函数，这样就得到我们生活中的又一类与指数函数有密切关系的函数模型——对数函数.这就是我们下面将要研究的问题.推进新课

新知探究

在前面学习中所提到的放射性物质，经过时间x(年)与物质剩留量y的关系为y=0.84x，我们也可把它写成对数式：x=log0.84y，其中时间x(年)也可以看作物质剩留量y的函数，可见这样的问题在实际生活中还是不少的.一般地，函数y=logax(a＞0，a≠1)叫做对数函数，由对数概念可知，对数函数y=logax的定义域是(0，+∞).合作探究：为什么对数函数的定义域是(0，+∞)？

函数y=logax和函数y=ax(a＞0，且a≠1)的定义域、值域之间有什么关系？

分析：由指数式和对数式的相互转化可得到：对数函数的定义域就是相应指数函数的值域，对数函数的值域就是相应指数函数的定义域.由指数函数的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，故对数函数的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).由此探究可以得出，研究对数函数的相关性质完全可以由指数函数入手研究，因为两者之间是紧密联系的，根据我们研究指数函数的经历，你觉得下面应该学习什么内容了？ 请回顾一下指数函数的图象的研究过程，根据对数的定义，列举几个对数函数的解析式，并尝试在同一坐标系内作出它们的图象.合作探究：借助于计算器或计算机在同一坐标系内画出它们的图象，并观察各组函数的图象，探究它们之间的关系.(1)y=2x，y=log2x；

(2)y=(12)x，y=log1x；

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(组织学生讨论，互相交流自己获得的结论，师用多媒体显示以上两组函数图象，借助

x于《几何画板》软件动态演示图象的形成过程，揭示函数y=

2、y=log2x图象间的关系及函数y=(12)x，y=log1x图象间的关系，得出如下结论)

2结论：(1)函数y=2和y=log2x的图象关于直线y=x对称；

(2)函数y=(12x)和y=log1x图象也关于直线y=x对称.2x

合作探究：分析你所画的两组函数图象,看看一般的指数函数与对数函数图象有什么关系？即当a＞0，且a≠1时，函数y=ax，y=logax的图象之间有什么关系？

结论：函数y=ax和y=logax(a＞0，且a≠1)的图象关于直线y=x对称.观察归纳：观察课本第66页图233的函数图象，对照指数函数的性质，你发现对数函数y=logax的哪些性质？

对数函数的图象与性质

a＞1

0＜a＜1 图象

(1)定义域：(0，+∞)；

性质

(2)值域：R；

(3)过点(1，0)，即当x=1时，y=0；

(4)在(0，+∞)上是单调增函数；(4)在(0，+∞)上是单调减函数

函数y=ax称为y=logax的反函数，反之，y=logax称为y=ax的反函数.一般地，如果函数y=f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y=f-1(x).应用示例

例

1求下列函数的定义域：

(1)y=log0.2(4-x)；

(2)y=loga

(3)y=logx1(a＞0，a≠1)；

12(5x3).解：(1)由题意可得4-x＞0，解之得x＜4，中鸿智业信息技术有限公司

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所以函数y=log0.2(4-x)的定义域为{x|x＜4}.(2)由题意可得x1＞0，又因为偶次根号下非负，所以x-1＞0，即x＞1，所以函数y=logax1(a＞0，a≠1)的定义域为{x|x＞1}.(3)由题意可得要偶次根号下非负，又因为真数要大于0，log1(5x3)0,5x31,2

所以即 3x,5x30,5

解得35＜x≤45，(5x3)的定义域为{x|

5故函数y=log12＜x≤

45}.点评：解决有关函数求定义域的问题时可以从以下几个方面考虑，列出相应不等式或不等式组，解之即可.①若函数解析式中含有分母，则分母不等于0；

②若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；

③0的0次幂没有意义；

④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0.求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.问题①：请大家课后总结在求对数函数定义域时需要注意哪些问题？ 问题②：在建立不等式组求解的过程中，你认为哪些地方比较容易出错？

例2

比较下列各组数中两个数的大小：

(1)log23.4，log23.8；

(2)log0.51.8，log0.52.1；

(3)log20.8，log0.52.5；

(4)loga5.1，loga5.9；

(5)log75，log67.分析：(1)(2)两个对数是同底数的，故可直接根据单调性进行比较；(3)虽然不同底但是可以化为同底数的对数，然后再利用单调性进行比较；(4)的底数是个参数，遇到参数的题讨论是必不可少的，于是分类讨论，当a＞1时，函数是增函数，当0＜a＜1时，函数是减函数.(5)是上述所说情况中没有的，不能化同底，那么只能寻求中介值进行比较，一般都找1或0作为中介值.解：(1)考查函数y=log2x，因为它的底数是2，且2＞1,所以它在(0，+∞)上是单调增函数.又因为0＜3.4＜3.8，所以log23.4＜log23.8；

(2)考查函数y=log0.5x，因为它的底数是0.5，且0＜0.5＜1,所以它在(0，+∞)上是单调减函数.又因为0＜1.8＜2.1，所以log0.51.8＞log0.52.1；

(3)考查两个log20.8，log0.52.5的底数不相同，但是出现的是2和0.5，故可转化同底log20.8与log20.4的大小比较，与(1)同，因为log20.8＞log20.4，所以log20.8＞log0.52.5；

(4)当a＞1时，函数y=logax在(0，+∞)上是单调递增的,所以loga5.1＜loga5.9；当0＜a＜1时，函数y=logax在(0，+∞)上是单调递减的,所以loga5.1＞loga5.9；

(5)考查函数y=log7x，因为它的底数是7，且7＞1,所以它在(0，+∞)上是单调增函数.又因为0＜5＜7，所以log75＜log77=1.同理log67＞log66=1，所以log75＜log67.中鸿智业信息技术有限公司

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点评：本例是利用对数函数的单调性来比较两个对数式的大小的问题，一般是根据所给对数式的特征，确定一个目标函数，把需要比较大小的对数式看作是对应函数中两个能比较大小的自变量的值对应的函数值，再根据所确定的目标函数的单调性比较对数式的大小.当底数为变量时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.例

3已知logm4＜logn4，试比较m，n的大小.分析：要比较的两个对数真数相同，属于比较底数的大小的问题，所以和前面例2很类似，但是不同的是没有给出它的符号，所以难度要大点，但是m，n的范围都是大于0且不等于1的实数，于是解答时要对m，n的范围进行讨论，此时要利用分类讨论的思想.解：logm4＜logn41log4m1log4n，当m＞1，n＞1时，有0＜

1log4m1log4n，所以log4n＜log4m，此时m＞n＞1.当0＜m＜1，0＜n＜1时，有

1log4m1log4n＜0，所以log4n＜log4m，此时0＜n＜m＜1.当0＜m＜1，n＞1时，有log4m＜0，0＜log4n，此时满足.所以0＜m＜1＜n.综上所述，m，n的大小关系为m＞n＞1或0＜n＜m＜1或0＜m＜1＜n.点评：本题也可通过作图形进行观察比较，在此不作详解，请学生自己完成.例

4求下列函数的值域：

(1)y=log2x+2(x≥1)；(2)y=log1(x+1)(0＜x＜3)；

(3)y=log2(2-x)；(4)y=log2(x1)(-3≤x≤1).分析：由对数函数的图象可得定义域为(0，+∞)，值域为R.所以在求对数函数的值域时要结合图象，根据对数函数的单调性来求解.对于形式上比较复杂的则要先求出定义域，根据具体的形式作出判断，从内到外进行求解.解：(1)因为2＞1，所以函数y=log2x为增函数，当x≥1时，log2x≥0，所以函数y=log2x+2(x≥1)的值域为[2，+∞).(2)因为0＜x＜3，所以1＜x+1＜4，又函数y=log

所以log4＜log(x+1)＜log12x为减函数，1212121，即得值域为(-2，0).(3)由题意可得2-x＞0，即得当x＜2时，函数的值域为R.2

(4)令t=x+1，则当-3≤x≤1时，t∈[1，10]，故log2t∈[0，log210]，所以函数y=log2(x1)

2(-3≤x≤1)的值域为[0，log210].点评：前面两个比较容易接受，(3)理解有点困难，教学时要强调当x＜2时，真数2-x能取到所有的大于0的实数，所以值域为R；(4)是个根式和对数复合的函数求值域的问题，中鸿智业信息技术有限公司

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此时要先求根式里面的对数的范围，再结合根式有意义最终写出值域.知能训练

一、课本第69页练习1、3.2二、1.求函数y=loga(9-x)(a＞0，a≠1)的定义域.2.比较下列各题中两个值的大小:

(1)log36_________log38；(2)log0.56_________log0.54；

(3)log0.10.5________lg0.6；(4)log1.51.6_________log20.4.3.已知下列不等式，比较正数m，n的大小：

(1)log3m＜log3n；(2)log0.3m＞log0.3n；

(3)logam＜logan(0＜a＜1)；(4)logam＞logan(a＞0，a≠1).4.将0.3，log20.5，log0.51.5由小到大排列的顺序是：____________.解答：

一、1.图略，y=log3x与y=log1x的图象关于x轴对称.323.(1)log35.4＜log35.5；(2)log1π＜log1e；

(3)lg0.02＜lg3.12；(4)ln0.55＜ln0.56.二、1.由对数函数的定义知：9-x2＞0，解得-3＜x＜3，所以函数y=loga(9-x2)(a＞0，a≠1)的定义域为{x|-3＜x＜3}.2.(1)＜；(2)＜；(3)＞；(4)＞.3.(1)由于3＞1，所以0＜m＜n.(2)由于0＜0.3＜1，所以0＜m＜n.(3)由于0＜a＜1，所以m＞n＞0.(4)当a＞1时，m＞n＞0；当0＜a＜1时，0＜m＜n.4.因为0＜0.3＜1，log20.5＜0，log0.51.5=log

2课堂小结

1.对数函数的概念.2.对数函数的图象和性质.3.会求对数函数的定义域.4.利用对数函数的性质比较大小的一般方法和步骤.作业

课本第70页习题2.3(2)1、2、3.设计感想

本节是对数函数第一课时，主要教学目标就是讲解对数函数的概念，会求简单的对数函数的定义域，根据单调性比较对数大小.教学中通过计算器列表描点或几何画板来刻画对数函数图象，在教学中让学生在同一个坐标系画出同底数的指数函数和对数函数图象，将指数函数和对数函数作比较发现它们的图象是关于直线y=x对称的.从中发现指对数函数的定义域和值域之间的关系，即对数函数中的定义域就是指数函数中的值域，对数函数中的值域就是指数函数中的定义域.在教学中充分利用图象，帮助学生理解底数a的取值对图象的影响(即确定函数的单调性)，对数函数的定义域为正实数这也是个难点，学生在解题中很容易漏掉.讲解定义域时，要注意函数求定义域时需要注意的一些问题，尤其是复合函数的定义域要保证每个部分都要有意义.利用对数函数的单调性进行对数的大小比较时，要让学生观察当底数相同时如何比较，当底数不同时又怎样比较.对于真数相同而底不同的对数大小比较

223＜0，所以log20.5＜log0.51.5＜0.3.2中鸿智业信息技术有限公司

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可以采取取倒数化同底，也可以利用图象的特征进行观察比较.关于对数求值域的问题，在此只要讲解比较简单的对数求值域，即利用对数函数的单调性进行观察求解，关于含有对数式的复合函数的值域在此涉及的不多，到讲含对数式复合函数的图象和性质后再作加强训练.(设计者：顾文艳)

第二课时

对数函数(二)

导入新课

将函数y=2的图象通过怎样的变换可得到y=2的图象以及y=2+1的图象？

xx+1x

结论：将y=2的图象向左平移一个单位可得到y=2的图象，将y=2的图象向上平移一个单位可得到y=2x+1的图象.那么如何由函数y=2的图象得到函数y=2

(学生回答，老师显示如下结论)

结论：(1)由函数的y=2图象得到函数y=2的图象的变化规律为：

当a＞0时，只需将函数y=2x的图象向左平移a个单位就可得到函数y=2x+a的图象.当a＜0时，只需将函数y=2x的图象向右平移|a|个单位就可得到函数y=2x+a的图象.(2)由函数的y=2x图象得到函数y=2x+b的图象的变化规律为：

当b＞0时，只需将函数y=2的图象向上平移b个单位就可得到函数y=2+b的图象.当b＜0时，只需将函数y=2x的图象向下平移|b|个单位就可得到函数y=2x+b的图象.以上的变化规律是否对于对数函数也同样适用？如何画y=log2(-x)、y=-log2x、y=log2|x|、y=|log2x|等形式上比较复杂的函数图象呢？这将是本节课我们所要讨论的主要问题.推进新课

新知探究

在同一个坐标系作出下列函数图象，并指出它们与对数函数y=log2x的图象的关系：

(1)y=log2(x+1)与y=log2(x+2)；

(2)y=log2x+1与y=log2x+2.分析：要画出一个函数的图象，需要描绘图象上的点，于是就要列表、描点然后连线.解：(1)列出下列的函数数据表：

y=log2x y=log2(x+1)y=log2(x+2)y x x x

0 1 0-1 2 1 0 4 3 2

0.5 2 2-1 2-2

x

x

x

x+a

x

x+ax

x+

1x的图象呢？

-1 0.5-0.5-1.5

-2 0.25-0.75-1.75

通过上面的数据表，进行描点连线可以得到函数y=log2(x+1)和y=log2(x+2)的图象，如图(1).由图象上点的特征可以得出如下结论：

若点(x0，y0)在函数y=log2x的图象上，那么对应点(x0-1，y0)必在函数y=log2(x+1)的图象上.于是函数y=log2(x+1)的图象就是由函数y=log2x的图象向左平移1个单位得到.若点(x0，y0)在函数y=log2x的图象上，那么对应点(x0-2，y0)必在函数y=log2(x+2)的图象上.于是函数y=log2(x+2)的图象就是由函数y=log2x的图象向左平移2个单位得到.(2)列出下列函数数据表：

函数 Y=log2x y=log2x+1 x y y 1 0 1 0.5-1 0 2 1 2 4 2 3 0.25-2-1 8 3 4

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y=log2x+2 y 2 1 3 4 0 5

通过上面的数据表，进行描点连线可以得到函数y=log2x+1和y=log2x+2的图象，如图(2).由图象上点的特征可以得出如下结论:若点(x0，y0)在函数y=log2x的图象上，那么对应点(x0，y0+1)在函数y=log2x+1的图象上；对应点(x0，y0+2)在函数y=log2x+2的图象上,于是，函数y=log2x+1的图象可由函数y=log2x的图象向上平移1个单位；函数y=log2x+2的图象可由函数y=log2x的图象向上平移2个单位得到.图(1)

图(2)

点评：通过列表、描点、连线绘图的三步骤，可以画出函数的图象，并由图形上点的特征观察图象之间的转化关系.这样便于学生学习和掌握图象变化的规律.可参照课本第68页例3.思考

如何由函数y=log2x的图象得到函数y=log2(x-1)与函数y=log2x-1的图象呢？并说出函数y=log2(x+a)和函数y=log2x+b的图象以及函数y=log2(x+a)+b的图象可由函数y=log2x的图象经过怎样的变换得到？

解：函数y=log2(x-1),y=log2x-1的图象与函数y=log2x的图象的变化规律如下：函数y=log2(x-1)的图象是由函数y=log2x的图象向右平移1个单位就得到；函数y=log2x-1的图象是由函数y=log2x的图象向下平移1单位就得到.由函数的y=log2x图象得到函数y=log2(x+a)的图象的变化规律为：

当a＞0时，只需将函数y=log2x的图象向左平移a个单位就可得到函数y=log2(x+a)的图象.当a＜0时，只需将函数y=log2x的图象向右平移|a|个单位就可得到函数y=log2(x+a)的图象.由函数的y=log2x图象得到函数y=log2x+b的图象的变化规律为：

当b＞0时，只需将函数y=log2x的图象向上平移b个单位就可得到函数y=log2x+b的图象.当b＜0时，只需将函数y=log2x的图象向下平移|b|个单位就可得到函数y=log2x+b的图象.由函数y=log2x的图象得到函数y=log2(x+a)+b的图象的变化规律为：

先将函数y=log2x的图象向左(当a＞0时)或向右(当a＜0时)平移|a|个单位，得到函数y=log2(x+a)的图象，再将函数y=log2(x+a)的图象向上(当b＞0时)或向下(当b＜0时)平移|b|个单位就可得到函数y=log2(x+a)+b的图象.点评：由列表绘制的图象同样可观察出对应图象上点之间的关系，从而得出函数图象之间的变换关系.当函数y=log2x中的自变量x变为x+a的时候，此时函数y=log2(x+a)的图象就是由函数y=log2x的图象进行左右平移得到，即a＞0(左移)和a＜0(右移).当在函数整体后变化时，即f(x)变为f(x)+b时，此时函数y=log2x+b的图象是由函数y=log2x的图象进行上下平移，即b＞0(上移)和b＜0(下移).对于图象进行多次平移变换所得的函数图象，则要将上述的两种情况合起来，先进行左右平移，再将所得图象进行上下平移，对于平移的先后顺序

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是没有影响的.应用示例

例

1探究函数y=-logax、y=loga(-x)的图象和函数y=logax的图象之间的关系.分析：我们需找出函数图象上对应点的坐标之间的关系.若点(x0，y0)是函数y=logax上任意一点，则点(x0，-y0)在函数y=-logax的图象上，所以函数y=-logax的图象和函数y=logax的图象关于x轴对称；若点(x0，y0)是函数y=logax上任意一点，则点(-x0，y0)在函数y=loga(-x)的图象上，所以函数y=loga(-x)的图象和函数y=logax的图象关于y轴对称.(有条件的学校可以利用几何画板让学生直接观察得出结论)

解：设点(x0，y0)是函数y=logax上任意一点，则点(x0，-y0)在函数y=-logax的图象上；点(-x0，y0)在函数y=loga(-x)的图象上，所以函数y=-logax的图象和函数y=logax的图象关于x轴对称；函数y=loga(-x)的图象和函数y=logax的图象关于y轴对称.点评：函数图象上的对应点若关于x轴对称，则函数图象就关于x轴对称；若函数图象上的对应点关于y轴对称，则函数图象就关于y轴对称.例

2画出函数y=log2|x|的图象，并根据图象写出它的单调区间.分析：对于遇到含绝对值的问题的时候，基本思想方法是去掉绝对值，于是就要用到分类讨论的思想方法，将函数y=log2|x|写成分段函数的形式，然后在画图象就比较简单了，那么在本题中如何去掉绝对值呢？去掉绝对值以后又该怎么办呢？

(学生回答，老师板书如下)

log2x,x0,解：由于y=log2|x|=

log(x),x0.2

当x＞0时，画出函数y=log2x的图象；当x＜0时，画出函数y=log2(-x)的图象.如图所示：

由图象可得函数y=log2|x|的单调增区间为：(0，+∞)；单调减区间为(-∞，0).探究：在例2中除了利用去掉绝对值画出图象，你还能想到用其他的方法解答吗？

(学生相互交流)

结论：由于函数y=log2|x|是偶函数，所以只要先画出函数y=log2x(x＞0)的图象，再将函数y=log2x(x＞0)的图象关于坐标轴y轴对称过来，就可得到y=log2|x|(x＜0时)的图象，两部分合起来就是函数y=log2|x|的图象.例

3已知函数f(x)=log12(1-x)，(1)求此函数的定义域，值域；(2)判断它的单调性并证明你的结论，并指出单调区间.分析：对数函数的定义域只要真数大于0，值域必须在定义域的范围内先求内函数的值域，然后根据底数的取值确定外函数的单调性，根据外函数的单调性把值域求出即可.对于函数单调性的证明，要在定义域内任取两个值，然后根据函数单调性的证明方法和步骤对函数值进行作差或作商比较，进而判断单调性，求出单调区间.解：(1)因为1-x＞0，即x＜1，所以函数f(x)=log12(1-x)的定义域为(-∞,1)；

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因为函数f(x)=log值域为：R.(2)函数f(x)=log1212(1-x)的定义域为(-∞，1)，当x∈(-∞,1)时，有1-x＞0，所以函数的(1-x)在定义域(-∞,1)上为单调递增.证明：任取x1,x2∈(-∞,1)且x1＜x2，则有

f(x1)-f(x2)=log1(1-x1)-log212(1-x2)=log1x1121x21x11x2，因为x1＜x2＜1，所以1-x1＞1-x2＞0，得

＞1，所以f(x1)-f(x2)=log

所以函数f(x)=log1x1121x2＜0，即f(x1)＜f(x2)，12(1-x)在定义域(-∞,1)上为单调递增.例

4判断下列函数的奇偶性:

(1)函数f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)；

(2)函数f(x)=ln(x+1)+ln(1-x).分析：判断函数奇偶性的方法和步骤请学生回顾一下，首先定义域要关于原点对称，然后看f(-x)与f(x)之间的关系，解答如下：

解：(1)由题意可得x10,x10即x1,x1,解得x＞1，所以函数f(x)的定义域为(1，+∞)，不关于原点对称，所以函数f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)是非奇非偶函数.x10,x1,(2)由题意可得即解得-1＜x＜1，所以函数f(x)的定义域为(-1，1)，1x0x1,定义域关于原点对称，而f(-x)=ln(-x+1)+ln(1+x)=f(x)，所以函数f(x)=ln(x+1)+ln(1-x)是偶函数.点评：在判断函数奇偶性的时候，一定要保证定义域关于原点对称，这点学生在解题时很容易遗漏，所以老师在讲解时一定要强调.有些学生会根据对数函数的运算法则将函数进行化简，这个想法很好，但是一定要注意在化简的时候注意不要改变函数的定义域，化简的基本要求是实施的是等价变形.如(1)，有学生会发生下面出现的错解：

因为函数f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)=lg(x2-1)，由x2-1＞0得其定义域为x∈(-∞，-1)∪(1,+∞)，又f(-x)=lg(x2-1)=f(x)，所以函数f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)为偶函数.因此老师在讲解时特别要注意这一点，避免出现上述不该出现的错误.知能训练

课本第69页练习2、4、5.解答：

2.(1)因为2x+1＞0，所以x＞1212，所以函数y=log2(2x+1)的定义域为(，+∞).中鸿智业信息技术有限公司

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2因为y=log2(2x+1)=1+log2(x+函数y=log2(x+1212)，所以先将函数y=log2x的图形向左平移

12个单位得到)的图象，再将函数y=log2(x+)的图象向上平移1个单位就可得到函数y=log2(2x+1)的图象.如图(一).图(一)

图(二)

(2)因为1x11x11x1＞0，所以x＞1，所以函数y=lg的定义域为(1，+∞).因为y=lg=-lg(x-1)，所以将函数y=lgx的图形向右平移1个单位得到函数y=lg(x-1)的图象，再将函数y=lg(x-1)的图象作关于x轴对称所得到的图象就是所求函数的图象.如图(二).4.解：(1)由题意可得：3x=2x+1＞0，解得x=1.2x10x=3.(2)由题意可得：x22022x1x2x10x=2.(3)由题意可得：x1x

15.解：(1)由题意可得3x+5=3x=-

23.12

(2)由题意可得2x=log212=2+log23x=1+

(3)由题意可得1-x=log32x=1-log32.log23.课堂小结

前面一节课主要学习了对数函数的概念，那么这节课主要是为了加深对对数函数图象以及性质的学习而给出的.讲解了对数函数的图象变换，即左右平移和上下平移以及关于轴对称和关于原点对称图象的画法，会作出函数图象并能根据图象准确地求出函数的单调区间；能根据定义判断含对数式的复合函数的奇偶性和单调性，定义域一定要首先考虑.作业

1.课本第70页习题2.3(2)、4、5、6、8.2.请大家利用计算机作出函数y=logax，y=loga(x+m)，y=logax+n的图象，加深对函数图象变换的规律的理解；随意画一个函数y=f(x)的图象，观察函数y=f(|x|)的图象和函数y=|f(x)|的图象，看看它们的图象之间的变换关系又如何.是否与本节课得到的变化规律一致.写出你的结论，并加以相关的解释说明.设计感想

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这节课的图象比较多，所以在刚开始的时候针对不同层次的学生，在这里直接给出几个函数的图象和图象上相关点的坐标，让他们从图象上一些具体的点观察图象之间的关系并得出结论，然后由具体的例子从特殊性推广到一般性，从而达到对知识的学习和掌握.例1和例2给出了图象关于轴对称的关系式和画法，例3和例4解决了含对数式的复合函数的定义域、值域的求解和单调性、奇偶性的判断，讲解时要利用相关的数学工具作出图象让学生从直观上掌握图形变换，也为以后我们学习图象的变换打下坚实的基础.(设计者：赵家法)

第三课时

对数函数(三)导入新课

回顾前面所学有关对数函数的相关内容：

1.对数函数的概念.2.对数函数的图象和性质以及相应指数函数图象之间的关系.3.利用对数函数的单调性进行对数大小比较.4.求解对数函数的定义域要注意真数大于0，遇到对数函数的复合形式要注意根据条件建立不等式组进行求解；求对数函数的值域要根据单调性进行求解.5.掌握对数函数图象平移的变化规律以及图象的翻转，并能根据图象写出单调区间.6.利用定义判断对数函数的单调性和奇偶性.今天我们来继续学习对数函数的性质，并利用对数函数的性质解决一些比较复杂的综合问题.在指数函数的学习过程中，我们学习了利用指数函数的单调性求解不等式，以及指数函数和其他函数复合形式的相关问题，如复合函数的单调性的判断以及单调区间的求解问题.我们已经学习了一些对数函数基本的性质，这节课我们来学习对数函数的单调性在对数方程以及对数不等式中的应用；复合函数单调区间的求解等复合函数的综合应用.应用示例

例

1解下列方程：

(1)4x-3×2x-4=0；(2)(log2x)2-2log2x-3=0.解：(1)原方程可化为(2x)2-3×2x-4=0，令t=2x(t＞0)，则t2-3t-4=0，解得t=-1或t=4，因为t＞0，所以t=4，即2x=4.解得x=2，所以原方程的解集为{x|x=2}.2(2)令t=log2x，则原方程可化为t-2t-3=0，解得t=-1或t=3，因为t=log2x，所以log2x=-1或log2x=3，解得x=12或x=8，1

2所以原方程的解集为{x|x=或x=8}.点评：本例题是解指对数方程的问题，遇到这种类型的题目时，应设法将方程化为可解的代数方程的形式，利用换元法将方程转化为我们比较熟悉的代数方程进行求解，最后再求出本题的解，其中要对求出的解进行检验，这一点要对学生多强调.例2

求下列不等式的解集.(1)log2(x+1)＞log2(2x-1)；

(2)logx(3x-2)＞2.分析：解对数不等式时，若底数相同则直接根据对数的单调性建立不等式组，注意真数大于0不要遗漏；若对数的底数不相同，则根据运算法则化为底数相同，然后建立不等式组进行求解；若底数是个参数，则要进行分类讨论.解：(1)因为a=2＞1，所以函数y=log2x为单调递增函数，中鸿智业信息技术有限公司

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x1x1011

则有2x10＜x＜2.x22x12x1x2

所以不等式的解集为{x|

12＜x＜2}.(2)由题意可知要对x进行分类讨论，x1

当底数大于1时，有下列不等式组：3x201＜x＜2；

23x2x0x12

当底数大于0且小于1时，有下列不等式组：3x20＜x＜1.323x2x

综上可得，原不等式的解集为{x|

23＜x＜2且x≠1}.点评：利用对数函数的单调性求解对数不等式时，要注意以下几点：定义域要考虑；利用单调性得到正确的不等式；当底数为自变量x时，对x进行讨论所得不等式的解集最后要合并；当底数为参数a时，对a讨论所得不等式的解集不能合并，要分开给出.老师在讲解时一定要强调这一点，因为学生对最后的结果该如何写掌握的还不是很好.例

3已知x∈[2，4]，求函数y=log12x-log1x+5的值域.4

4分析：本题采用换元法将函数化为一元二次函数，然后利用单调性求函数的最值.解：令u=log1x，由x∈[2，4]，得log14≤log14x≤log12，即-1≤u≤444412.又y=u2-u+5=(u当u=1212)2+

194，在u∈[-1，12]上单调递减，所以当u=-1即x=4时，ymax=7；

234即x=2时，ymin=

234，所以函数的值域为[，7].点评：利用函数单调性是求函数的最值或值域的主要方法之一，而换元法是化归的常用手段.若函数形式比较复杂则要通过相关变换找出换元的部分，然后利用单调性进行最值的求解，进而求出函数的值域.例4

求函数y=log0.2(x-x2)的单调区间.分析：对于复合函数单调区间的求解问题，要先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性求解.解：设t=x-x=-(x2

12)+

14，则有y=log0.2t.由x-x2＞0解得函数的定义域为(0,1).在(0，12]上t随x的增大而增大，而y随t的增大而减小，所以y随x的增大而减小，中鸿智业信息技术有限公司

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即函数在区间(0，12]上是减函数；在[

12，1)上t随x的增大而减小，而y随t的增大而减

12小，所以y随x的增大而增大，即函数在区间[

所以函数y=log0.2(x-x2)的增区间为[

12，1)上是增函数.12，1)，减区间为(0，].点评：判断复合函数单调性以及求单调区间的时候，要注意先求函数的定义域，然后依据复合函数单调性的判断方法，遵循增、增为增，减、减为增，增、减为减的原则.当对数函数的底数为参数时，则要对底数进行分类讨论.例

5求证：函数f(x)=loga

1x1x(0＜a＜1)是减函数.分析：对于函数单调性的证明一般利用定义来证明.证明：由

设g(x)= 1x＞0可得-1＜x＜1，即函数的定义域为(-1，1).，任取x1,x2∈(-1,1)且x1＜x2，1x11x11x21x22(x1x2)(1x1)(1x2)1x1x1x

则有g(x1)-g(x2)=.因为-1＜x1＜x2＜1，所以x1-x2＜0，1-x1＞0，1-x2＞0，所以g(x1)-g(x2)＜0，即0＜g(x1)＜g(x2).因为0＜a＜1，所以logag(x1)＞logag(x2)，即f(x1)＞f(x2).所以函数f(x)=loga1x1x在定义域(-1，1)上是减函数.点评：本例是对数函数单调性的证明问题，利用定义直接证明即可，但是要考虑到定义域.本题中给出了底数的范围，即0＜a＜1，由此可知外函数是单调递减的.若没有给出底数的具体范围则要对底数进行讨论.知能训练

1.解下列方程：(1)9xxx123=81；(2)45x=54x.2解：(1)原方程可化为

32x2x3x1=34，即32x3x12=34

于是有2x2-3x+1=4，解得x=543433.(2)原方程可化为(45)x=1，所以x=0.2.函数y=logax在区间[2，10]上的最大值与最小值的差为1，则常数a=__________.解：当a＞1时，ymax=loga10，ymin=loga2，则有loga10-loga2=loga

102=loga5=1，所以a=5；

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210

当0＜a＜1时，ymax=loga2，ymin=loga10，则有loga2-loga10=loga

3.函数y=log

A.(-∞,3212=loga

15=1，所以a=

15.(x-3x+2)的递增区间是（）

322]

B.(-∞,1)

C.[,+∞)

D.(2,+∞)

解：由x2-3x+2＞0，可得x＜1或x＞2，即函数的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞)

设t=x2-3x+2，则y=log以函数y=log1212t在(-∞,1)上t随x的增大而减小，而y随t的增大而减小，所(x2-3x+2)在区间(-∞,1)上是增函数；在(2,+∞)上t随x的增大而增大，而y随

(x2-3x+2)在区间(2，+∞)上是减函数.综上可得函数t的增大而减小，所以函数y=logy=log1212(x2-3x+2)的递增区间是(-∞,1)，故选B.4.已知y=loga(2-x)是x的增函数,则a的取值范围是（）

A.(0，2)

B.(0,1)

C.(1,2)

D.(2,+∞)

解：由2-x＞0，解得函数的定义域为(-∞,2)，令t=2-x,则y=logat.在区间(-∞,2)上t随x的增大而减小，而y是x的增函数,所以y随t的增大而减小,即y是t的减函数，故0＜a＜1,选B.点评：此练习是针对本节课所讲的内容而设计的，即对数方程的求解、对数不等式的求解、复合对数函数单调性的判断以及单调区间的求解等问题.对学生的训练很有帮助，通过练习使学生熟练掌握对数函数的相关性质，并学会思考问题，提高解决问题的能力.课堂小结

本节课是对对数函数性质的进一步学习，体会对数函数的单调性在解对数方程和对数不等式中的应用，加强分类讨论思想在解题中的应用.添加了对数函数和二次函数的两种复合以及和一次函数的复合问题，掌握复合函数单调区间的求法，先求定义域，再根据复合函数单调性的判断方法进行判断.作业

1.课本第70页习题2、3(2)7、9、10、11、12.2.试总结求解对数方程、对数不等式、复合函数单调性的判断以及单调区间的方法和步骤.设计感想

本节课是对对数函数的进一步学习，主要解决利用对数函数的单调性进行对数方程求解、对数不等式的求解，以及复合函数等相关问题.设计的题目有的比较简单，基础一般的学生比较容易接受和掌握；也有在难度上有所加深的题目，尤其加强了分类讨论思想的应用.对于复合函数的问题，老师可根据所教班级的不同有所选择地进行教学.教学中要注意强调对数函数的定义域，不管是在求解对数不等式还是求复合函数单调区间.接下来通过练习的训练加深对本节课的学习，教学中老师可让学生板演并进行点评，这样效果会更好些.习题详解

课本第70页习题2.3(2)

1.这两个函数的图象关于x轴对称.共同点为：定义域是(0，+∞)，值域是R，都过点(1，0)；不同点：函数y=log4x是定义域上的增函数，函数y=log1x是定义域上的减函数.4中鸿智业信息技术有限公司

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2.(1)由已知可知3x-1＞0，所以x＞知可知24x313，所以函数y=ln(3x-1)的定义域是（3413,+∞).(2)由已＞0，所以4x-3＞0，即x＞，所以函数的定义域是（3423，+∞).3.(1)log57.8＜log57.9；(2)log0.33＜log0.32；(3)ln0.32＜lg2；(4)log65＜log78.4.证明：函数y=log0.5(3x-2)的定义域是（3x123x2223，+∞)，任取x1、x2∈（23，+∞)，且x1＜x2，则log0.5(3x1-2)-log0.5(3x2-2)=log0.5，因为

＜x1＜x2，所以0＜3x1-2＜3x2-2.所以0＜3x123x22＜1，可得到

log0.5(3x1-2)-log0.5(3x2-2)=log0.5

3x123x22＞log0.51=0，即log0.5(3x1-2)＞log0.5(3x2-2).所以函数y=log0.5(3x-2)在定义域上是单调减函数.5.证明：设f(x)=lg1x1x，由

1x1x＞0得-1＜x＜1，即函数的定义域为(-1，1)，又对于

1x1x定义域(-1，1)内任意的x，都有f(-x)=lg=-lg

1x1x=-f(x)，所以函数y=lg

1x1x是奇函数.6.函数y=log2(x+1)的图象可以由函数y=log2x的图象向左平移1个单位得到；函数y=log2(x-1)的图象可以由函数y=log2x的图象向右平移1个单位得到，这样，将函数y=log2(x+1)的图象向右平移2个单位就能得到函数y=log2(x-1)的图象，或将函数y=log2(x-1)的图象向左平移2个单位就能得到函数y=log2(x+1)的图象，如图所示.7.因为log25＞log24=2，log58=log525=2，所以

log25＞log24=2=log525＞log58，即log25＞log58.8.由图可知，函数y=loga(x+b)的图象过(0,2)点和(-2,0)点，将这两点的坐标代入函数解析式可得：

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a3(3舍去),ba2logab  loga(b2)0b21b3.9.比较对数函数底数的大小，只要作直线y=1，其交点的横坐标的大小就是对数函数底数的大小，由图可知，有以下关系：0＜b＜a＜1＜d＜c.10.因为x出现在指数位置，所以本题要利用指数式与对数式的互化公式对x进行求解.(1)由方程21-x=5，可得1-x=log25，所以x=1-log25.(2)由方程2×5x+1-9=0，可得5x+1=

所以x+1=log5923-x

92，所以x=log5x+2

92-1.11.(1)由不等式5＞2，可得x+2＞log52，所以x＞log52-2；

(2)由不等式3＜6，可得3-x＜log36=1+log32，所以x＞2-log32；

(3)由不等式log3(x+2)＞3，可得x+2＞27，所以x＞25；

(4)由不等式lg(x-1)＜1,可得0＜x-1＜10，所以1＜x＜11.(定义域要考虑)

12.证明：对任意的x1、x2∈(0,+∞)，由f(x)=lgx，有

f(x1)f(x2)2x1x22lgx1lgx2212lgx1x2,f（x1x22)=lg

x1x22，因为x1x2=(x1x2)≥0，所以

2x1x22≥

x1x2，又因为f(x)=lgx

x1x22是(0,+∞)上的增函数，所以lg

x1x22≥lg

x1x2，即

篇3：基础概念练习题第2章

一、对概念内涵外延关系把握不准，发展性认识不足

概念是思维逻辑行程的起点，也是学科的基石。任何事物都是质与量的辩证统一，质是概念的内涵，量是概念的外延，内涵与外延必须辩证统一。如同系物概念，教材陈述得很明确，但不要忘记，那是同系物概念初级陈述。“结构相似”是同系物概念内涵的质，组成上相差“若干个CH2基团的一系列有机物”，是其量的规定性。“结构相似”把握到什么程度？要在三个层面上到位：一是符合通式，二是官能团的种类与数目相同，三是官能团所连的烃基类相同。说起来头头是道，使用起来容易出错，比如对系差的理解。常犯的错误有两点：一是偷换概念；二是把个别当做一般。请看下面两例：

“下列说法不正确的是

A．分子式为C3H8和C6H14的两种有机物一定互为同系物

B．具有相同通式的有机物不一定互为同系物

C．两个相邻同系物的相对分子质量一定相差14

D．分子组成上相差一个或若干个CH2原子团的化合物必定互为同系物”

提供的答案只有D。C要不要选？把组成“CH2”这一质的规定性转换成量来表征，能不出问题？那只有一条，其量必须反映质。请大家回顾一下质谱图中基本峰之外的弱峰是什么含意？是同位素引起的。你能保证有机物中C、H、O元素不存在同位素？同位素应用很广，示踪、考古、诊断、核能利用……为什么难进我们的思维圈？导致这种低级错误的另一层原因，是我们有些老师思维懒惰、发散不开、联想有限，唱惯了下里巴人曲调。

关于同系物概念，1995年高考第20题有更好的说明：“如果定义有机物的同系列是一系列结构符合A[W]nB (n=0、1、2、3…）的化合物。式中A、B是任意一种基团或氢原子，W为2价的有机基团，又称为该同系列的系差。同系列化合物的性质往往呈现规律性变化。下列四组化合物中，不可称为同系列的是

命题导向很明确，提醒教师在教学中要突破教材对同系物概念定义的局限性，对同系物概念的理解，应该由“CH2”上升到一般的陈述上来把握。理科教学，对同系物概念的提升很有必要。像：CH3CH=CHCHO, CH3CH=CHCH=CHCHO, CH3 (CH=CH) 3CHO…;ClCH2CHClCCl3, ClCH2CHClCH2CHClCCl3, ClCH2CHClCH2CHClCH2CHClCl3等都是同系物。显然, 同系物是指结构相似、组成上相差一个或若干个特定组成的一类化合物。

又如烷烃概念，不少教师往往把这个概念的外延人为地缩小，自我限定———直链烷。请看某练习册同一页上的两道题：第8题：“立方烷的结构为，其一氯代物的同分异构体有

A.1种B.2种C.3种D.4种

第11题：写出分子中碳原子数小于10、一氯代物只有一种烷烃的结构简式＿＿＿种。第8题选A没有问题，第11题是能力提升题，所给出的答案也只限于甲烷、新戊烷、乙烷和2, 2, 3, 3-四甲基丁烷四种直链烷系烃，命题人使用概念准确性偏低。如果学生灵机一动，以第8题题干作为一种答案，你能说他错？既然是能力提升题，就应该全面深刻，应该从直链烷、环烷、立体烷，有层次地全方位展开。创新教育应该从课堂走向课外，走进学生生活圈，而不是仅仅作为时尚的标签。在第11题命题的概念空间中思考，应该有11种物质符合题意。直链烷的4种不再重复，还应该补充以下7种（三元以上环烷碳不共面，环丁烷为蝴蝶式，环戊烷为信封式，环己烷有椅式和船式，可以不考虑）：

像这类题，适宜用开放式陈述，“分子中碳原子数小于10、一氯代物只有一种的烷烃结构简式，你能写出多少种？请一一写出它们的结构简式”。由封闭走向开放，答案可多可少。有些优秀学生，会比我们走得更远，让他们推着我们前进，岂不是人生的一大快事？！

什么叫烷烃？只有单键的烃；或只有σ键的烃；或只有sp3杂化碳的烃。

概念是变化发展的。人们对事物的认识，总是由个别到一般，由具体到抽象，由此及彼，由表及里，逐步深入。教师应该注意入门教学传授的基本概念，在学生储备了一定知识之后，应该有所深化与再加工，使学生的认知水平螺旋上升。

二、思维定势，缩小了概念空间

准确把握概念空间，正确思考问题，分析问题，解决问题，说起来容易，做起来难。难在思维定势这一天然障碍，限制了我们的思维空间。特别是有丰富教学经验的老教师，最常犯的错误就是思维定势。经验是财富也是障碍。经验能驾轻就熟，节能省力，但是经验却是创新的大敌，要特别当心它束缚了自己的思维，请看下面几例。

“蒽的结构简式是，如果将蒽分子减少3个碳原子，而氢原子数保持不变，形成的稠环化合物的同分异构体数目是：

A.2 B.3 C.4 D.5”

提供的答案是A。推测其解题思路，可能是这样的：从蒽环两边任一个苯环上减少3个碳原子，留下碳氢组合成一个甲基。

略加思考，就知道命题人或选题人思维定势严重，发散不开。遗憾的是这道练习题在全国流行。其实符合本题的答案有数百种之多，而命题人答案只有两种，落差之大，令人瞠目结舌。正确的解题思路应该是：由蒽减少3个碳，分子式为C11H10，有7个不饱和度。将不饱和度分配到环与不饱和键上：环数+不饱和键数=7, 2≤环数≤7。环数与不饱和键的分配：二环五个不饱和键；三环四个不饱和键；四环三个不饱和键；五环二个不饱和键；六环一个不饱键；七环……再由环的大小与不饱和键的位置异构，可以演变出几百种异构体，不宜一一写出。理出基本思路供参考：双环烃（四、九并，五、八并，六、七并，六、六并，以此类推），三环烃到七环烃，从平面到立体，全面考虑。类似的例子还有很多。譬如老教材中同分异构体，没有立体异构要求，课改后的有机化学基础，引入了顺反异构和光学异构。今后高考这方面的知识可能不考，或降低要求。但是，在学生的课后作业中不能不有所体现，我们不能做考什么就教什么的愚事。要因材施教，对思维活跃的学生教学与练习更要放开，不然教师就成为学生健康成长的障碍。反应停、视黄醛、蚕蛾信息素的顺反结构特征，乳酸、氨基酸的手性等内容在教材中都作了详细介绍。教学中我们不要随意拔高，也不能刻意降低要求。请看下例：“2, 3—二甲基丁烷与氯气发生取代反应时，生成的一氯代物有：

A.5种B.2种C.4种D.3种”

提供的答案是B。对老教材来说正确，对新教材而言为错。1-氯-2, 3-二甲基丁烷分子中有个手性碳，有对映异构体，你能不顾客观事实？再看同册练习另一题“已知丁基有4种，不试写，立刻判断分子式为C5H10O的醛有：

A.3种B.4种C.5种D.6种”

顺其命题思路，当然选B。2-甲基丁醛存在对映异构，应该选C。就老教材知识体系而言，这是一道好题，原封不动地移植到新教材中来，答案还不变，说明教师的思维惯性太大。常叫学生要勤于思考，先生自己做得怎么样？值得深思！

三、多重标准划分概念，导致概念分类混乱

正确分类是明确概念常用的一种逻辑方法。但必须做到正确划分概念，一次只能用一个标准，在同一个标准下，必须穷尽概念外延。不能有遗漏，不能交叉重叠。现在流行资料，和网上课件中对烃的划分有如下两种形式：

这两种分类，所犯的逻辑错误就是划分标准交叉重叠。问题出在分类之人未能明确不饱和烃概念。储存了错误的分类信息，命题能不出错？请看下例：“下列说法正确的是

A．烯烃是不饱和烃，不饱和烃是烯烃

B．分子中含有“C=C”的烃都是不饱和烃

C．碳链分子中含有双键的是烯烃

D．乙烷分子中每个碳原子除去一个氢原子，两个碳原子以双键结合就成了乙烯分子”

提供的答案只有D。将含有高度不饱性的芳香烃，排斥在不饱和烃之外，学生能认同吗？芳香烃就不能既是芳香烃又是不饱和烃？多重角色有何不可？您在孩子面前是父或是母，在父母面前是子或是女，在学生面前是老师，在你的老师面前是学生。

什么叫不饱和烃？含有不饱和键的烃；含有sp2或sp杂化碳的烃；含有Л键或∏键的烃。我建议烃采用下列两种分类法比较妥当：

四、一果多因转化为一果一因的简单思维模式

将一果多因转化为一因一果，不是什么场合、什么问题都能适用。它是特定场合下的特殊方法，没有普遍性。将复杂问题简化处理后，得到的结果，还要进行合理修正，才能运用。

例如：“有机物种类繁多的原因是

A．碳元素在地壳中含量大，且属于非金属

B．碳元素间能以共价键结合，形成多种链状和环状结构

C．碳元素所形成的化合物性质稳定，且共价键键能大

D．碳原子可以跟其他原子形成四个共价键”

提供的答案只有B。有机物如果性质不稳定，昙花一现，就不会有丰富的生命物种。碳元素形成的链有长短，环有大小，有单环，有稠环。有机物结构从点线面到立体，就是因为碳成键能力强的缘故。能量法则，是有序结构稳定存在的基本法则。B是C的必然结果，B是标不是本，能量因素才是第一要素。碳原子成键能力强，键能大决定了它可以自连或异连，加之四价成键，以及原子在空间分布的多重性，共同决定了有机物种的多样性。有机物种类繁多是多种因素的必然结果，不能人为地单项取值。非此及彼的思维方式有很大局限性。

在结束本文之前，我想作几点友情提示：

一、只有状元学生，没有状元先生。我们要多出开放性题，创新求异题，让学生研讨，不要放不开。减负不能成为降低学生智能开发的障碍。

二、陈题借用可以，但要开动思维机器，亲手做一做，提供准确答案。

篇4：第2章?主?线

2.1 全面深化改革：需要长期坚持的全方位改革

全面深化改革是中共十八届三中全会确定的未来中国特色社会主义事业“五位一体”发展需要长期坚持的主题，是全方位的改革，见图2-1。深化教育领域综合改革是全面深化改革的重要组成部分，其总的方向是推动发展、提高质量、促进公平、增强活力，见表2-1。

2.2 职业教育改革：目标、途径、任务

党的十八届三中全会通过的《中共中央关于全面深化改革若干重大问题的决定》对深化教育领域综合改革做出全面部署，对职业教育改革的目标、途径、任务提出了明确要求，见表2-2。

2.3 用改革的思路办好职业教育

2014年2月26日，以李克强为总理的新一届中央政府首次集中专题研究部署职业教育工作。会上李克强强调要用改革的思路办好职业教育，许多观点与传统的职业教育行政理念形成反差，体现出强烈的改革意识。见表2-3。

2.4 职业教育改革关键：处理好政府和市场的关系

2014年6月23日，李克强总理在接见全国职业教育工作会议全体代表讲话时，再次强调要用改革的办法把职业教育办好做强。他指出，推动职业教育取得更好更大发展，不能用老办法、旧思路，一定要勇于改革、善于创新，根本上还是要处理好政府和市场的关系。《国务院关于加快发展现代职业教育的决定》提出统筹发挥好政府和市场的作用，确定了“政府推动、市场引导”的原则，并对此两者范围做出明确区分，见表2-4。

2.5 形成职业教育改革的主线：职业教育发展政策上的一系列重大突破

篇5：会计基础第14章练习

一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一个正确的答案，请将所选答案的字母填在题后的括号内。每小题1分，共20分

二、在每小题给出的四个备选答案中，有两个或两个以上正确的答案，请将所选答案的字母填在题后的括号内。不选、多选、错选均不得分。每小题2分，共20分 〇1.下列应通过“应付账款”账户核算的是（）。A、应付的租金B、应付购入包装物款项 C、应付存入保证金D、应付接受劳务的款项

正确答案：BD解析：应付的租金、应付存入保证金应记入“其他应付款”科目。

四、不定项选择题。下列各题，有一个或一个以上符合题意的正确答案。不选、错选、多选、少选均不得分。〇2.下列属于其他应付款核算内容的是（）。

A、应付租入包装物的租金B、出借包装物收取的押金 C、出租包装物支付的押金D、经营租入固定资产应付的租金

正确答案：ABD解析：其他应付款是指企业除应付票据、应付账款、预收账款、应付职工薪酬、应交税费、应付股利等经营活动以外的其他各项应付、暂收的款项，包括应付租入包装物的租金、出借包装物收取的押金、经营租入固定资产应付的租金。出租包装物支付的押金应计入“其他应收款”科目。故答案为ABD。〇3.下列各项中，应通过“其他应付款”科目核算的是（）。A、应缴纳的税费B、应付管理人员工资 C、应付租入包装物租金D、应付购入材料款 正确答案：C

解析：应缴纳的税费应计入“应交税费”科目；应付管理人员工资应计入“应付职工薪酬”科目；应付租入包装物租金应计入“其他应付款”科目；应付购入材料款应计入“应付账款”科目。故答案为C。

〇4.企业发生赊购商品业务，下列各项中不影响应付账款入账金额的是（）。

A、商品价款B、增值税进项税额 C、现金折扣D、销货方代垫运杂费 正确答案：C

解析：企业发生赊购商品业务，商品价款、增值税进项税额以及销货方代垫的运杂费均应计入应付账款的入账金额。应付账款附有现金折扣的，应按照扣除现金折扣前的应付款总额入账。故答案为C。

三、每小题1分，共10分。认为正确的，在题后的括号内写“√”；认为错误的，在题后的括号内写“×”。〇5.企业购入原材料，在物资和发票账单同时到达的情况下，均不通过“应付账款”账户核算。正确答案：错

解析：在物资和发票账单同时到达的情况下，要区分两种情况处理：如果物资验收入库的同时支付货款，则不通过“应付账款”账户核算；如果物资验收入库后仍未付款，则按发票账单登记入账。

〇6.企业支付的银行承兑汇票的手续费通过“管理费用”账户进行核算。

正确答案：错解析：企业支付的银行承兑汇票的手续费通过“财务费用”账户进行核算。

〇7.企业开出的商业承兑汇票，若到期无力付款，应将应付票据转为短期借款。

正确答案：错解析：企业开出的商业承兑汇票，若到

期无力付款，应将应付票据转为应付账款。

五、综合题

8.某公司是增值税的一般纳税人，2012年5月1日开出一张面值为117000元、期限为6个月的不带息银行承兑汇票，用以采购一批原材料，材料已经验收入库，材料用实际成本法进行核算。收到的增值税专用发票上注明的材料价款为100000元，增值税额为17000元。作出该公司开出商业汇票以及商业汇票到期偿付票据款的会计分录。〇1.（不定项选择题5分）该公司开出商业汇票时编制的会计分录是（）。

A、借：原材料100000应交税费——应交增值税(进项税额)17000贷：其他货币资金——银行汇票117000

B、借：原材料100000应交税费——应交增值税(进项税额)17000贷：应付票据117000

C、借：在途物资100000应交税费——应交增值税(进项税额)17000贷：应付账款117000

D、借：在途物资100000应交税费——应交增值税(进项税额)17000贷：应收票据117000

正确答案：B解析：具体内容参见辅导教材第十四章第二节的有关内容。

〇2.（不定项选择题5分）该公司商业汇票到期偿付票据款编制的会计分录是（）。

A、借：应付账款117000贷：银行存款117000

B、借：其他货币资金——银行汇票117000贷：银行存款117000

C、借：应收票据117000贷：银行存款117000 D、借：应付票据117000贷：银行存款117000 正确答案：D 解析：

具体内容参见辅导教材第十四章第二节的有关内容。9.某企业为增值税一般纳税人，存货按实际成本计价，企业发生以下经济业务：

（1）向A公司购入材料一批，取得的增值税专用发票上注明的价款50000元，增值税税率17％，材料已验收入库，货款暂欠。

（2）根据供电部门通知，甲企业本月应支付电费68000元。其中生产车间电费36000元，企业行政管理部门电费32000元，款项尚未支付。

〇1.（不定项选择题5分）该企业应付的款项应计入（）科目进行会计核算。

A、应付账款B、其他应付款 C、应付票据D、应收账款 正确答案：A

解析：购买材料应付的款项以及应付的电费均应计入“应付账款”账户核算。

〇2.（不定项选择题5分）该企业应做的会计分录为（）。A、借：原材料50000应交税费——应交增值税（进项税额）8500贷：应付账款58500

B、借：原材料50000应交税费——应交增值税（进项税额）8500贷：其他应付款58500 C、借：制造费用36000管理费用32000贷：应付账款-68000 D、借：制造费用36000管理费用32000贷：其他应付款-68000

正确答案：AC

篇6：注会《审计》第2章练习

一、单项选择题

1.下列各项中，不属于注册会计师审计业务的是()。

A.验证企业资本

B.验证财务报表的合法性和公允性

C.设计企业内部控制制度

D.审计简要财务报表

2.下列表述中，正确的是()。

A.会计师事务所均应以其全部资产对其债务承担有限责任

B.有限责任会计师事务所应以其全部资产对其债务承担有限责任

C.有限责任合伙制会计师事务所的合伙人均应以各自的财产承担连带责任

D.合伙会计师事务所均应以其全部资产对其债务承担有限责任

二、多项选择题

1.下列选项中正确的有()。

A.注册会计师不得以个人名义为被审计单位提供编制财务报表等专业服务

B.根据《注册会计师法》的规定，我国允许设立有限责任会计师事务所、合伙会计师事务所和个人独资事务所

C.对通过注册会计师考试全科成绩合格的申请注册人员，只要其加入了会计师事务所，具有两年的审计工作经验，并符合其他规定条件，就应当批准注册

D.中国注册会计师协会的会员有个人会员、团体会员和名誉会员三种

2.下列各项中，属于注册会计师鉴证业务的有()。

A.验证企业资本，出具验资报告

B.审核内部控制，出具审核报告

C.设计内部控制制度

D.审计简要财务报表，出具审计报告

3.目前，根据我国《注册会计师法》的规定，我国注册会计师事务所的组织形式有()。

A.独资会计师事务所

B.普通合伙制会计师事务所

C.有限公司制会计师事务所

D.有限责任合伙制会计师事务所

4.下列表述中错误的有（）。

A．依据《中华人民共和国注册会计师法》的规定，合伙会计师事务所以会计师事务所的全部资产对其债务承担责任，不足部分由有过失的合伙人承担无限责任

B．预测性财务信息审核不属于注册会计师的审计业务

C．注册会计师从事的资产评估并出具评估报告，属于注册会计师的审计业务

D．验资业务属于注册会计师的审计业务

答案部分

一、单项选择题

1.【正确答案】 C

【答案解析】 设计企业内部控制制度为会计咨询、会计服务业务。

【答疑编号75068,点击提问】【加入我的收藏夹】

2.【正确答案】 B

【答案解析】 有限责任的会计师事务所承担有限责任，合伙会计师事务所承担连带责任，有限责任合伙会计师事务所无过失的合伙人对其他合伙人的过失不承担责任。

【答疑编号75069,点击提问】【加入我的收藏夹】

二、多项选择题

1.【正确答案】 AC

【答案解析】 选项B，《注册会计师法》不容许设立个人独资会计师事务所；选项D，中国注册会计师协会的会员有个人会员和团体会员，个人会员又分为执业会员和非执业会员。

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2.【正确答案】 ABD

【答案解析】 选项C属于相关服务业务。

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3.【正确答案】 BC

【答案解析】 根据我国《注册会计师法》的规定，目前我国只能设立有限责任会计师事务所和合伙会计师事务所。

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4.【正确答案】 AC

【答案解析】 选项A依据《注册会计师法》，合伙设立的会计师事务所的债务，由合伙人按照出资比例或者协议的约定，以各自的财产承担责任。合伙人对会计师事务所的债务承担连带责任。选项C资产评估业务属资产评估师的法定业务，注册会计师从事该业务应以资产评估师的名义出具相关报告，因此资产评估不属于注册会计师的法定业务。