圆知识点分类训练

2024-04-17

圆知识点分类训练（精选11篇）

篇1：圆知识点分类训练

2011年小学毕业知识质量检测语文总复习分类训练

（五）〖课内阅读B〗

根据课文内容填空我最棒。

1.《学弈》选自《孟子。告子》，文章写最善于下围棋的弈秋教两个人下棋，其一人是这样学习的（用原文回答）：其一人专心致志，惟弈秋之为听。而另一个人是这样学的（用原文回答）：一人虽听之，一心以为有鸿鹄将至，思援弓缴而射之。通过这件事，说明了学习必须专心致志，绝不可三心二意的道理。

2.，文章讲述了孔子路遇两个小孩在争论太阳离人远近的事。一儿认为（用原文回答）：“我以日始出时去人近，而日中时远也。”他的依据是（用原文回答）：“日初出大如车盖，及日中则如盘盂，此不为远者小而近者大乎？”一儿认为（用原文回答）：“一儿以日初出远，而日中时近也。”他的依据是（用原文回答）：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近着热而远者凉乎？”孔子做出怎样的答复（用原文回答）：孔子不能决也。这个故事体现了两小儿善于思考.大胆质疑和孔子谦虚谨慎.实事求是的态度。

篇2：圆知识点分类训练

《》问题拓展训练—评价单

渤海中学有效教学方案设计之四姓名班级

篇3：圆排列的相嵌与组合的分类枚举

预备知识 (1) f, g是以n的约数为变量的函数, d是主变量, k是负变量, 则有:

$① f (\frac{n}{d}) =$ $\sum_{k | \frac{n}{d}}$ $g (\frac{n}{d k}) \Leftrightarrow g (\frac{n}{d}) =$ $\sum_{k | \frac{n}{d}}$ $u (k) f (\frac{n}{d k})$ ;

② $\sum_{d | n}$ d $\sum_{k | \frac{n}{d}}$ $u (k) f (\frac{n}{d k}) =$ $\sum_{d | n}$ $ϕ (d) f (\frac{n}{d}) .$

(1) a1元素有n1个, a2元素有n2个, …, ai元素有ni个, n1+n2+…+ni=N, D是n1, n2, …, ni的最大公约数, N个元素的圆排列的总数是 $\frac{1}{Ν}$ $\sum_{d | D}$ $ϕ (d) \frac{\frac{Ν}{d}!}{\frac{n_{1}}{d}! \frac{n_{2}}{d}! \dots \frac{n_{i}}{d}!} .$

定义不改变圆排列元素的顺序, 将所有元素平均分成元素相同, 排列顺序相同的若干组, 并且使所分的组数是最多的, 每组元素的个数称为圆排列的周期, 组数的倒数称为圆排列的相对数;不能够进行分组的圆排列称为整圆排, 能够进行分组的圆排列称为分圆排.

整圆排的周期等于元素总数, 相对数是一.周期是 $\frac{Ν}{d}$ 的分圆排的相对数是 $\frac{1}{d} (d$ 是n1, n2, …, ni的公约数) 相对数之和与线排列的关系:多种周期、任意数量的圆排列的相对数之和 (每个圆排列的元素总数均为N) 乘以N, 等于这些圆排列展开所产生的线排列之和, 这是因为任意一个圆排列展开所产生的线排列数, 等于这个圆排列的周期.

规定圆排列展开变成线排列, 要顺时针展开, 线排列变成圆排列, 元素也要顺时针摆放.

圆排列性质 (1) 一个周期为k的分圆排, 任意取k个连续的元素, 不改变原有顺序所组成的新圆排列, 每次都相同, 且是整圆排. (2) 任意一个圆排列展开所产生的任意一个线排列, 复制k个再组成一个分圆排, 每一个线排列所组成的分圆排均相同, 且周期与原圆排列相同. (3) n无序拆分成k个正整数之和, 即a1+a2+…+ak=n (a1≥a2≥…≥ak≥1) .n有序拆分成k个正整数之和, 即a1+a2+…+ak=n有C $_{n - 1}^{k - 1}$ 组正整数解.无序拆分与有序拆分的关系:每一个无序拆分都进行线排列, k个数字的线排列之和就是有序拆分数C $_{n - 1}^{k - 1}$ .

说明本文中u (k) 表示Möbius函数, ϕ (d) 表示Euler函数.A (全部) B (部分) 出自本人的论文, 新恒等式与Möbius反演公式的新理解及其在圆排列计数中的应用[J].数学学习与研究2009年第四期 (下半月刊) .

引言从n+m个不同数字中, 取m个数字的组合数, 与n个黑球、m个红球的线排列数是相等的, 这里通过圆排列使得组合与线排列形成具有规律的对应关系.两个同心圆, 将1, 2, 3, ….n+m从小到大均匀的放在一个圆周上, 将n个黑球m个红球的任意一个整圆排放在另一个圆周上, 整圆排每转动一个数字的距离, m个红球所对应的m个数字就是一个组合, 转动一周可以得到m+n个不同的组合;如果是分圆排转动一周, 得到的组合个数与分圆排的周期相等, 因此任意一个圆排列转动一周所得到的组合数, 与这个圆排列所产生的线排列数是相等的.绝大多数圆排列正反面是不同的, 因此很多圆排列的反面转动一周, 也可得到与周期相等的组合数, 因此互为正反面的两个圆排列, 只需保留一个.由以上可知组合的枚举, 关键是两种元素的圆排列的枚举.

定义两个圆排列的元素个数相等, 不改变元素的顺序, 将一个圆排列的元素, 放在另一个圆排列的元素之间, 且每个位置只能放一个元素, 这就称作两个圆排列的相嵌.

命题1d1与d2的最大公约数是r, 周期分别是 $\frac{n}{d_{1}} ‚ \frac{n}{d_{2}}$ 的两个圆排列之间不存在相同的元素, 相嵌可得到周期是 $\frac{2 n}{r}$ 的圆排列 $\frac{n r}{d_{1} d_{2}}$ 个.

理解说明d1, d2, r是可以等于一的, n是元素个数.

证由圆排列周期的定义可知, 在元素排列顺序不变的情况下, 一个周期为 $\frac{n}{d_{1}}$ 的圆排列, 只有k是d1的约数时, 才可以将n个元素分成元素相同, 排列顺序相同的k组, 对于周期是 $\frac{n}{d_{2}}$ 的圆排列也有这种特性.两个圆排列的元素, 从任意一个元素开始都可以分成完全相同的r组, r是d1, d2的最大公约数, 因此两个圆排列的元素, 在所分的组数相等, 每组元素完全相同的条件下, r组是最多的, 所以两个圆排列相嵌, 所得到新圆排列的周期均为 $\frac{2 n}{r} .$

两个圆排列相嵌, 可转化成 $\frac{n}{d_{1}}$ 个线排列与 $\frac{n}{d_{2}}$ 个线排列的相嵌, 可组成 $\frac{n^{2}}{d_{1} d_{2}}$ 对线排列进行相嵌, 每对线排列相嵌可得到两个新线排列, 因此得到新线排列的总数是 $\frac{2 n^{2}}{d_{1} d_{2}}$ 个, 因而新圆排列的个数是 $\frac{2 n^{2}}{d_{1} d_{2}} \div \frac{2 n}{r} = \frac{n r}{d_{1} d_{2}} .$

推论1 两个相等的同心圆, 从一点起将一圆周d1等分, 另一个圆周d2等分, 将一圆任意转动, 若d1与d2的最大公约数是r, 则每转动 $\frac{360 r}{d_{1} d_{2}}$ 度就有r个重合点均分两圆.

证明略.

提示d1, d2, r是可以等于一的.起点视为重合点.

将两个圆排列放在同心圆的位置进行相嵌, 在得到 $\frac{n r}{d_{1} d_{2}}$ 个新圆排列的过程中, 有一个圆排列转动了 $\frac{n r}{d_{1} d_{2}}$ 个元素的距离, $\frac{n r}{d_{1} d_{2}}$ 个元素所对应的圆心角就是 $\frac{360}{n} \times \frac{n r}{d_{1} d_{2}} = \frac{360 r}{d_{1} d_{2}}$ 度.

推论2 两组圆排列之间不存在相同的元素, 且每一个圆排列的元素个数均相等, 两组圆排列展开的线排列之和分别是A和B, 若一组中的每一个圆排列都与另一组所有的圆排列进行相嵌, 则得到新圆排列展开的线排列之和是2AB.

证明略.

命题2n个黑球、m个红球分别分成k组排列在圆周上, 每组至少有一个球, 并且使相邻两组的小球不同色, D是n, m, k的最大公约数, n≥m≥k≥1.

(1) 符合条件的圆排列展开所产生的线排列数是

$\frac{n + m}{k} C_{n - 1}^{k - 1} C_{m - 1}^{k - 1} .$

(2) 符合条件的圆排列数是

$\frac{1}{k}$ $\sum_{d | D}$ $ϕ (d) C (\frac{n}{d} - 1 ‚ \frac{k}{d} - 1) C (\frac{m}{d} - 1 ‚ \frac{k}{d} - 1) .$

证明 (1) n个黑球分成k组, k组可以理解成k个黑色数字, 由有序拆分可知k个黑色数字的线排列之和是C $_{n - 1}^{k - 1}$ , m个红球分成k组, k个红色数字的线排列之和是C $_{m - 1}^{k - 1}$ , 红色数字的圆排列与黑色数字的圆排列相嵌, 可转化成Ck-1n-1Ck-1m-1对线排列相嵌, 每对线排列相嵌可得到两个新线排列, 新线排列数是2C $_{n - 1}^{k - 1}$ C $_{m - 1}^{k - 1}$ , 每个新线排列的数字有2k个, 因此新圆排列的相对数之和是 $\frac{1}{k} C_{n - 1}^{k - 1} C_{m - 1}^{k - 1}$ , 任意一个新圆排列的数字, 用相应的小球取代, 这两个圆排列的相对数是相等的.因此, n个黑球m个红球的圆排列, 相对数之和也是 $\frac{1}{k} C_{n - 1}^{k - 1} C_{m - 1}^{k - 1}$ , 即有符合条件的线排列数是 $\frac{n + m}{k} C_{n - 1}^{k - 1} C_{m - 1}^{k - 1} .$

(2) 令d是n, m, k的公约数, $\frac{n}{d}$ 个黑球分成 $\frac{k}{d}$ 组, $\frac{k}{d}$ 个黑色数字的线排列之和是 $C (\frac{n}{d} - 1 ‚ \frac{k}{d} - 1) ‚ \frac{m}{d}$ 个红球分成 $\frac{k}{d}$ 组, $\frac{k}{d}$ 个红色数字的线排列之和是 $C (\frac{m}{d} - 1 ‚ \frac{k}{d} - 1)$ , 黑色数字的线排列与红色数字的线排列相嵌, 可得到 $\frac{2 k}{d}$ 个数字的线排列 $2 C (\frac{n}{d} - 1 ‚ \frac{k}{d} - 1) C (\frac{m}{d} - 1 ‚ \frac{k}{d} - 1)$ 个.

令h是 $\frac{D}{d}$ 的一个约数, 函数 $Μ (\frac{D}{d h})$ 表示 $\frac{2 k}{d}$ 个数字, 周期是 $\frac{2 k}{d h}$ 的圆排列的个数, 函数 $f (\frac{D}{d})$ 表示 $\frac{2 k}{d}$ 个数字的线排列之和, 则有:

$f (\frac{D}{d}) =$ $\sum_{h | \frac{D}{d}}$ $\frac{2 k}{d h} Μ (\frac{D}{d h})$

$= 2 C (\frac{n}{d} - 1 ‚ \frac{k}{d} - 1) C (\frac{m}{d} - 1 ‚ \frac{k}{d} - 1)$ . ①

$\frac{2 k}{d}$ 个数字的任意一个圆排列, 展开所产生的任意一个线排列复制d个, 再组成一个2k个数字的分圆排, 每一个线排列所能得到的分圆排均相同, 且周期与这个 $\frac{2 k}{d}$ 个数字的圆排列相同, 又因为周期相同展开的线排列数相同, 因此①式可以理解是2k个数字的一部分分圆排, 展开的线排列之和.

令 $g (\frac{D}{d h}) = \frac{2 k}{d h} Μ (\frac{D}{d h})$ , 当h=1时, $g (\frac{D}{d}) = \frac{2 k}{d} Μ (\frac{D}{d})$ , 由上面的题设可知 $Μ (\frac{D}{d})$ 表示 $\frac{2 k}{d}$ 个数字的整圆排的个数, 由以上论述可知 $Μ (\frac{D}{d})$ 也可表示2k个数字周期是 $\frac{2 k}{d}$ 的圆排列的数量, 2k个数字的圆排列总数是 $\sum_{d | D}$ $Μ (\frac{D}{d})$ , 由①式可得

因2k个数字的圆排列, 与n个黑球m个红球的圆排列是一一对应的关系, 因此上式也可以表示两种小球的圆排列数.

命题2要求n≥m≥k≥1, k的所有可取的值是:1, 2, …, m, 因此 $\sum_{k = 1}^{m}$ $\frac{n + m}{k} C_{n - 1}^{k - 1} C_{m - 1}^{k - 1}$ 是n+m个小球的线全排列, $\sum_{k = 1}^{m}$ $\frac{1}{k}$ $\sum_{d | D}$ $ϕ (d) C (\frac{n}{d} - 1 ‚ \frac{k}{d} - 1) C (\frac{m}{d} - 1 ‚ \frac{k}{d} - 1)$ 是n+m个小球的圆全排列, 因而有下面两个等式.

摘要：国内外的《组合数学》中, 有的还没有讨论圆排列问题, 更没有讨论圆排列的相对计数法和圆排列相嵌问题.本文引入这两种新概念, 利用新发现的圆排列相嵌与线排列相嵌的关系, 才完成命题的证明, 解决了两种元素的圆排列的枚举问题, 这也可以说明圆排列理论基本成熟, 同时也为组合枚举提供了一种具有理论依据的新方法, 这里不做实例演示, 只给出理论证明和枚举所需的步骤.

关键词：圆排列,线排列,相嵌,相对数之和

参考文献

[1]马光思.组合数学[M].西安电子科技大学出版社, 2002.

[2]卢开澄, 卢华明.组合数学[M].北京:清华大学出版社, 2006.

篇4：圆辅助线的分类作法探究

笔者在多年的教学实践中,经过与同行的交流合作,探究出有关圆的作辅助线的几种方法,现将其总结归类,供读者参考。

有关圆的辅助线的常规作法有以下四大类:

一、“圆——线”型辅助线常规作法:

“圆——线”型指以圆及圆的重点线段的结合为图形模型,以圆及相关重点线段为构成要素,已知圆的某些性质特征及线段的特点,求圆及线段的其他特征,常见线段有:直径、弦(非直径)、半径、弦心距、切线和割线等。

例如,已知:如图3,⊙O的半径为5,AB所对的圆心角为120°,则弦AB的长是多少?

解析:过点O作AB的垂线与AB相交于点E。因为∠AOB=120°,所以∠AOE=60°,AE=AOsin60°=5× = 所以AB=2AE=2× =

又如,已知:如图,A是以EF为直径的半圆上的一点,作AG⊥EF交EF于G,又B为AG上一点,EB的延长线交半圆于点K,

求证:

证明,连结AF,AK

∵EF是直径

∴∠EAF=90°

又∵AG⊥EF

∴∠AFE=∠GAE

又∵∠AKE=∠AFE

∴∠AKE=∠EAG

∠AEK=∠AEB

∴△AEB∽△KEA

二、“圆——角”型辅助线的常规作法:

“圆——角型”即以圆及圆内特殊角构成几何图形模型,其角一般包括圆心角、圆周角、弦切角、园内角、圆外角等,

如图,AB在⊙O的直径,点D在AB的延长线上,且BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°.

(1)CD是⊙O的切线吗?说明你的理由;

证明:∵∠CAB=30°

.∴∠COB=60°

∵AB是直径,

∴∠ACB=90°

∴∠ABC=60°

∴CB=OB

又∵BD=OB

∴∠ODC=∠DCB=30°

∵∠OCB=60°

∴∠DCO+∠OCB=30°+60°=90°

∴CD是圆的切线

已知:如图,△ABC内接于⊙O,AE是⊙O的直径,CD是△ABC中AB边上的高,

求证:AC•BC=AE•CD

证明,连结EC,

∵AE是直径

∴∠ACE=∠D=90°

又∵∠B=∠E

∴△BDC∽△ECA

∴

即AC•BC=AE•CD

三、“圆——圆——线”型辅助线作法:

这种图形的组成元素包括两个圆及相关重点直线(如公切线、连心线、公共弦等)

如图,两等圆⊙O1和⊙O2相外切,过O1作⊙O2的两条切线O1A、O1B,A、B是切点,则∠A O1B等于(B)

A.90° B.60°C.45°D.30°

解析:如右图所示,分别连接O1O2, O2A, O2B ,O2A⊥O1A, ∠O1AO2=900, 在Rt△O1AO2中,O1O2=2 O2A所以∠AO1O2=30°,所以∠A O1B等于60°。

四、“圆——三角形”型,这类图形一般由圆和与直径相关的直角三角形与半径相关的等腰三角形构成:

已知:如图,平面直角坐标系中,半圆的直径AB在x轴上,圆心为D.半圆交y轴于点C,AC=2 ,BC=4 .

(1)证明:△AOC∽△ACB;

(2)求以AO、BO两线段长为根的一元二次方程;

(3)求图象经过A、B、C三点的二次函数的表达式;

(4)设此抛物线的顶点为E,连接EC,试判断直线EC与⊙O的位置关系,并说明理由.

(1)证明:∵AB为半圆O的直径, ∴∠ACB=90°.∴∠AOC=∠ACB, ∠CAO=∠BAC .

∴△AOC∽△ACB .

(2)AB= =10,

∵△AOC∽△ACB, ∴ .∴AO= =2, BO=AB-AO=10-2=8.

∴以AO、BO两线段长为根的一元二次方程为x2-10x+16=0.

(3)在Rt△AOC中,OC=4, ∴A(-2,0) , B(8,0), C(0,4).

设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0), 依题意有:

∴ ∴

表达式为:y=- x2+ x+4.

(4)直线EC与⊙D相切,理由如下:

∵

∴顶点E的坐标为(3, ). 连接EC、CD、ED,则CD=AD=5,ED= .

∴CF=3,EF= ,CE= .

∴CD2+CE2= ,DE2= .

∴CD2+CE2=DE2 . ∴∠DCE=90°,CD为半径.

∴直线EC与⊙D的位置关系是相切.

篇5：初三圆知识点总结

1.点的轨迹是符合某些条件的所有点组成的图形.

注：分析点的轨迹图形时，先描出几个符合条件的点，再猜想这些点会构成什么图形.

2.垂径定理：过圆心且垂直于弦的直线，平分这条弦，且平分弦所对的弧.

注：用于计算时，一般先连结过弦的一个端点的半径，

构造Rt△，再结合勾股定理求解.

3.推论：圆中两平行弦所夹的弧相等.

4.同圆或等圆中，以下四个条件中的一个成立，则它们所对应的其余条件都成立：

(1)弧相等;(2)弦相等;(3)圆心角相等;(4)弦心距相等.

5.圆周角定理：一条弧所对的圆周角=它所对的圆心角的一半.

或：一条弧所对的周角的度数=这条弧的度数的一半.

6.推论1：同弧(或等弧)所对的圆周角相等.

逆：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

7.推论2：直径所对的圆周角是直角.

逆：90°的圆周角所对的弦是直径.

8.(1)圆内接四边形，对角互补;

(2)圆内接四边形，任一外角等于它的内对角.

9.圆中要确定圆周角与圆周角(或圆周角与圆心角)的关系通常先观察它们所对的弧.

10.(1)要经过两点作圆，圆心在两点连线段的垂直平分线上;

篇6：初中圆知识点总结

1、圆是到定点的距离等于定长的点组成的图形。

2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点组成的图形。

3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点组成的图形。

4、同圆或等圆的半径相等。

5、到定点的距离等于定长的点组成的图形，是以定点为圆心，定长为半径的圆。

6、定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。

7、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧。

8、推论1：

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

9、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等

10、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.圆是以直径所在直线为对称轴的轴对称图形。

11、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆周角相等，所对的弦的弦心距相等。

12、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、圆周角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。

13、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

14、推论：

1、同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

15、推论：

2、半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

16、推论：

3、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（注：这是用来证明三角形是直角三角形的一种方法）

17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角（这个定理现在的书上没有）。

21、直线和圆的位置关系：

①直线L和⊙O相交d﹤r

②直线L和⊙O相切d=r

③直线L和⊙O相离d﹥r

（其中：d表示直线到圆心的距离，r表示圆的半径）

18、切线的判定定理：经过半径的外端（或者直径的一端）并且垂直于这条半径（或这条直径）的直线是圆的切线。

19、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径（或直径）。

20、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

21、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

注：小结为过圆心、过切点，垂直于切线，22、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆

心和这一点的连线平分两条切线的夹角。（这个定理书上没有）

23、定理：圆的外切四边形的两组对边的和相等。（这个定理书上没有）

24、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。（这个定理书上没有）

25、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（这个定理书上没有）

26、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上（其中：d表示圆心距，R表示大圆的半径，r表示小圆的半径）

27、①两圆外离d﹥R+r

②两圆外切d=R+r

③两圆相交R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)

④两圆内切d=R-r(R﹥r)

⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r)

28、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

29、扇形弧长计算公式：L=n兀R／180（其中：L表示弧长，n表示圆心角的度数，R表示扇形的半径）

30、扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2（其中：L表示弧长，n表示圆心角的度数，R表示扇形的半径）

31、圆锥的侧面积公式：S侧=S扇形 =（1/2）×扇形半径 × 扇形弧长=π rL（其中：r表示底面圆的半径，L表示扇形的半径：即圆锥的母线长）

32、圆锥的全面积：S全= S侧+ S底面圆=π rL+π r2

篇7：初中数学圆知识点总结

n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为L=nπr／180

2、扇形面积公式,其中n是扇形的圆心角度数,R是扇形的半径,l是扇形的弧长.

S=﹙n／360﹚πR2=1／2×lR

3、圆锥的侧面积,其中l是圆锥的母线长,r是圆锥的地面半径.

S=1／2×l×2πr=πrl

4.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

5.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：

①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。

上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

6.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

4、弦切角定理

弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角,叫做弦切角.

弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角.

二.圆周角和圆心角的关系:

1.圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.

2.圆周角定理;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论1:同弧或等弧所对圆周角相等;反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对弧也相等;

篇8：圆知识点分类训练

下面我就圆面积计算公式推导, 谈谈发散性思维的训练。

圆的面积计算公式S=πr2课本上的推导的过程是把圆割补成近似长方形, 然后利用长方形与原来圆的关系导出圆面积的计算公式。通过学习, 学生基本都能完成学习任务。但数学教学如果仅仅局限在这个层面上, 那么学生的潜能就没有得到充分开发。

为了使学生的思维不落俗套, 具有发散性, 我在教学中又设计了这样的一个过程, 对学生进行训练:

准备题:计算下面两个图形的面积, 比较后你有什么发现 (如图1) :

通过自主探究得到:几个等高三角形的面积之和=1/2×底之和×高。

有了这个公式基础, 再启发学生:圆能不能不补成近似长方形来推导出它的面积公式?学生通过独立思考、小组合作等形式, 能将圆割成下面的形式 (如图2) 。

学生能割成这样, 说明思维的路线已正确了, 在准备题和第一种推导法经验的基础上会很快地得到:S圆=S近似三角形之和=1/2×底之和×高=1/2×2πr×r=πr2。

学生在教师的引导下通过自主探究、合作交流, 用不同的方法推导出圆面积计算公式, 会很有成就感。这是学生学习数学步入良性循环的一个重要前提。为了进一步激发学生的学习兴趣, 满足学生的好奇心, 训练学生的发散性思维, 教师再进一步发问:能不能再用其他方法推导呢?这时学生的思维立刻会活跃起来, 他们会尽全力去寻求新方法, 想方设法运用已学过的知识和已掌握的方法去解决这一问题。在学生寻求解答的这一过程中, 即使学生得不到新的方法, 思维能力也能得到提高, 特别是发散性思维。这个过程的价值远远超过得到公式本身的价值。

为了让学生知道许多问题都有多种解法, 只是自己没有想到, 也为了帮扶学生一把, 进一步激发学生从不同的角度去思考问题, 教师可提示学生:能不能把圆转化成三角形呢?在此基础上, 新的一轮思维又开始了。如果学生有新的发现, 教师给予推广, 学生有困难, 教师可出示图 (如图3) , 予以引导:

先把一个圆平均分成9份, 拼成 (如图3) 的形状:

就图共同讨论:拼成的这一个图形近似于什么图形? (三角形) 这个三角形的高是多少? (3r) 底是多少呢? (圆被平均分成9份, 圆周也被平均分成9份, 底占3份, 所以三角形的底近似等于圆周长1/3, 即1/3×2πr) 那么原来圆的面积怎样表示呢? (S圆≈S三角形≈1/2×1/3×2πr×3r=πr2)

因为在割拼的过程中, 每一小部分不是真正的三角形, 拼的时候, 不是密铺, 上下相邻的小块之间又有许多空隙, 拼成的图形也不是真正的三角形, 所以出现了两个“≈”, 那么怎样使两个“≈”都近于“=”呢?最好的办法就是把圆平均分成的份数增多, 分得越多, 每一小份和拼成的图形就越接近三角形, 两个“≈”越接近于“=”。

为了让学生得到训练, 在此安排学生进行一定的自主探究练习:

刚才图3是将圆平分成9份拼成的, 你们能将圆分成更多的分数进行推导吗?你想想看, 分成的分数是不是随意的?为什么?

(如将圆平分成16份, 拼成的近似三角形。S圆≈S三角形≈1/2×1/4×2πr×4r=πr2)

有兴趣的同学课后结合课上的例子研究一下:

层数和总块数有什么关系? (总块数=层数) 最底层占据整个大三角形底边的小三角形的个数与层数又有什么关系呢? (占据底边的小块个数=层数)

另外还可以布置学生再去找找看, 有没有其他的推导方法。

在上述的整个过程中让学生多动手、动口、动脑, 既要积极探究, 又要合作交流, 教师既要是引路者, 又要是合作者。这一过程看上去较为烦琐, 但它可以起到以一当十的作用, 使记住公式成为最底层的要求, 训练学生发散性思维成为凸显的亮点。

总结上述例子, 我认为, 加强发散性思维的训练应注意以下几个方面:

1.打牢基础, 注意知识点之间的联系

流畅、变通是发散性思维的显著特征。学生思维灵活、思路畅通, 就是能在短时间内调动头脑中与要解决的问题有关的概念、公式、方法和技巧, 所需之物要呼之欲出, 信手拈来。这就要求学生具有牢固的基础知识, 熟悉各个知识点之间的联系, 头脑中要有一个清晰的知识网络体系, 能够通过捕捉有用的信息, 进行对比、联想, 实现知识与方法的迁移。

2.教学中不仅教师要从不同角度多提问、设疑, 还要鼓励学生多提问, 提倡一题多解

课堂上对同一问题从不同的角度多提问, 有利于引导学生从不同方面去寻找答案。在学生有了一定的发散思维能力的基础上, 教师要鼓励学生在学习时对他人、对自己多提问, 因为一个好的解题方法往往是从所提的“怪问题”中得到启发的。怎样从别的角度去解决问题呢?一题多解练习就是培养学生发散性思维的一种行之有效的方法和重要手段。

3.加强发散思维的练习

篇9：直线与圆专题强化训练

题型一求直线方程

【例1】已知直线l过点P(3,1),且被两平行线l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截的线段长为5,求直线l的方程.

分析这类题型有三种情况:被两已知平行线截得的线段长为定长a的直线,当a小于平行线间的距离时无解,当a等于两平行线间距离时有唯一解,大于时有两解。求直线方程,已知直线过定点,可设点斜式,但须考虑斜率存在与否。

解由题意可知,直线方程有两解.

两平行线的倾斜角是135°,两平行线间距离52,被截线段长为5,可知构成等腰直角三角形,结合图形,可得所求直线倾斜角为0°或90°.故所求直线方程为x=3或y=1.

点拨本题采用数形结合的思想方法较快的得出结果,也可分类讨论斜率存在与否,构造关于斜率的方程求解。在求直线方程时,选择哪种形式是非常重要的。

题型二求圆方程

【例2】设平面直角坐标系中,二次函数f（x）=x2+2x+b的图象与坐标轴有三个交点,求经过这三个交点的圆的方程.

分析这是08年江苏卷18题的第二问。考查求经过三点的圆的方程,可设圆的一般式方程,用待定系数法求解。

解可知二次函数图象与坐标轴三交点坐标A(－1－1－b,0),B(－1+1－b,0),P(0,b).设圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,将三点代入可得,D=2,E=-b-1,F=b,故所求圆的方程为x2+y2+2x－(b+1)y+b=0.

点拨本题还可以这样做，设圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0得

x2+Dx+F=0,这与x2+2x+b=0是同一方程,故D=2,F=b.

令x=0,得y2+Ey+F=0,此方程一个根为b,代入得E=-b-1,得解。一般情况下,求圆的方程,常用方法为待定系数法。以知圆过三点,常设一般式,其他情况一般设标准式。知道圆过三点,还可以求出每两点的连线的垂直平分线,两个垂直平分线的交点即为圆心。

题型三直线与圆位置关系

【例3】已知⊙C1:x2+(y+5)2=5，点A(1，－3)．

（1）求过点A与⊙C1相切的直线l的方程；

（2）设⊙C2为⊙C1关于直线l对称的圆，则在x轴上是否存在点P，使得P到两圆的切线长之比为2？荐存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

分析求切线方程,一要抓住直线方程的形式,二要抓住直线与圆位置关系的判断(几何法),同时事先要判断点与圆的位置关系,解决问题时牢记数形结合这一重要思想。

解（1） C1(0,－5),r1=5，因为点A恰在⊙C1上，所以点A即是切点，

kC1A=－3+51=2，所以k1=－12，

所以直线l的方程为y+3=-12(x－1),

即x+2y+5=0.

（2）因为点A恰为C1C2的中点，所以C2(2,－1)，

所以⊙C2：(x－2)2+(y+1)2=5，

设P(a,0)，PC21－5PC22－5=2，①

或PC22－5PC21－5=2，②

由①得a2+20(a－2)2－4=2，解得a=－2或10，

所以P(－2，0)或(10，0)，

由②得a2－4aa2+20=2，求此方程无解.

综上，存在两点P（-2，0）或P（10，0）符合题意.

点拨直线和圆的位置关系的判断主要从几何法入手,牢记点到直线距离公式,求切线方程往往要考虑斜率存在与否。如果遇到求切线长，抓住直角三角形。

题型四定值定点问题

【例4】已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x2+(y－3)2=4相交于P、Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N.探索AM•AN是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.

分析定值定点问题是近年江苏高考的热点,在解决问题过程中往往含有一个甚至更多参数,但这些参数只参与运算,对结果并无影响,跟多的考查学生的运算能力。

解∵CM⊥MN,∴AM•AN=(AC+CM)•AN=AC•AN+CM•AN=AC•AN.

当l与x轴垂直时，易得N－1,－53，

则AN=0,－53,又AC=(1,3),

∴AM•AN=AC•AN=－5.

当l的斜率存在时，设直线l的方程为

y=k(x+1)，

则由y=k(x+1)，

x+3y+6=0,得N－3k－61+3k,－5k1+3k,

则AN=－51+3k,－5k1+3k,

∴AM•AN=AC•AN=－51+3k+－15k1+3k=－5.

综上所述，AM•AN与直线l的斜率无关，且AM•AN=－5.

点拨结合图形发现直线AC与直线m垂直,从而可用三角形相似更快求解,即用几何法求解会更方便。不能用几何法或想不到用几何法,纯代数法一定能解决问题,关键是提高运算能力。

牛刀小试

1. 过点P(2,1)的直线交x轴y轴正半轴于A,B两点,求使:

(1) 三角形AOB面积最小时直线的方程；

(2) |PA|•|PB|最小时直线的方程.

2. 已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A、B两点.

(1) 求公共弦AB所在的直线方程；

(2) 求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程．

3. 已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3=0.

（1）若C的切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；

（2）从圆C外一点P（x1,y1)向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标．

4. 已知圆C的方程为x2＋y2＝1，直线l1过定点A(3,0)，且与圆C相切．

(1) 求直线l1的方程；

(2) 设圆C与x轴交于P、Q两点，M是圆C上异于P、Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′.求证：以P′Q′为直径的圆C′总过定点，并求出定点坐标．

【参考答案】

1. 可选择点斜式,或截距式,较为方便,随后转化为基本不等式求最值.

(1) x+2y-4=0;

(2) x+y-3=0.

2. (1) x2+y2+2x+2y-8=0,

x2+y2-2x+10y-24=0x－2y＋4＝0.

(2) 由(1)得x＝2y－4，代入x2＋y2＋2x＋2y－8＝0中得：y2－2y＝0.

∴x=-4,

y=0或x=0,

y=2,即A(－4,0)，B(0,2)，

又圆心在直线y＝－x上，设圆心为M(x，－x)，则|MA|＝|MB|，解得M(－3,3)，

∴⊙M：(x＋3)2＋(y－3)2＝10.

还可设圆系方程:x2＋y2＋2x＋2y－8+k(x2＋y2－2x＋10y－24)＝0(k≠0),从而写出圆心坐标,代入直线y=-x,可解得k,即得方程.

3. （1） ∵切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1．分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式或判别式法，解得切线的方程为：x＋y－3=0，x＋y＋1=0，x－y＋5=0，x－y＋1=0．

(2) 将圆的方程化成标准式（x＋1)2＋(y－2)2=2，圆心C（－1，2），半径r=2，设P的坐标（x1,x2）,

∵切线PM与CM垂直，

∴|PM|2=|PC|2－|CM|2，

又∵|PM|=|PO|，

坐标代入化简得2x1－4y1＋3=0．

|PM|最小时即|PO|最小，而|PO|最小即O点到直线2x1－4y1＋3=0的距离，即3510．

从而解方程组x21+y21=920,

2x1-4y1+3=0,得满足条件的点P坐标为－310，35.

4. (1) ∵直线l1过点A(3,0)，且与圆C：x2＋y2＝1相切，设直线l1的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，

则圆心O(0,0)到直线l1的距离为

d＝|3k|k2+1＝1，解得k＝±24，

∴直线l1的方程为y＝±24(x－3)．

(2) 对于圆C：x2＋y2＝1，令y＝0，则x＝±1，即P(－1,0)，Q(1,0)．又直线l2过点A且与x轴垂直，∴直线l2方程为x＝3.

设M(s，t)，则直线PM的方程为y＝ts+1(x＋1)．

解方程组x=3,

y=ts+1(x+1),得P′3，4ts+1．同理可得Q′3，2ts-1．

∴以P′Q′为直径的圆C′的方程为

(x－3)(x－3)＋y－4ts+1y－2ts-1＝0，

又s2＋t2＝1，

∴整理得(x2＋y2－6x＋1)＋6s-2ty＝0，

若圆C′经过定点，只需令y＝0，

从而有x2－6x＋1＝0，解得x＝3±22，

∴圆C′总经过定点，定点坐标为(3±22，0)．

(作者：周炎，江苏省平潮高级中学)

（上接第43页）

故所求四边形的面积S=12|PQ||MN|=4(1+k2)1+1k2(2+k2)2+1k2=42+k2+1k25+2k2+2k2.

令u=k2+1k2,得S=4(2+u)5+2u=21－15+2u.

∵u=k2+1k2≥2,

当k=±1时,u=2，S=169且S是以u为自变量的增函数.∴169≤S<2.

②当k=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=22，|PQ|=2.∴S=12|PQ||MN|=2.

综合①②知四边形PMQN的最大值为2，最小值为169.

3. 易得a=2c，b=c,

故椭圆C的方程为x2+2y2=2c2.

又A(0，c),D(2c,c),F(c,0),T(2c,0),

直线DF的方程为y=x－c，

直线AT的方程为x+2y=2c.

联立y=x－c，

x+2y=2c解得x=43c,

y=13c,

易证，点43c,13c在椭圆C：x2+2y2=2c2上，

而易得点43c,13c即为点M，

故存在λ=3，使TA=3TM成立.

篇10：初中圆知识点精华总结

1.不在同一直线上的三点确定一个圆。

2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

4.圆是定点的距离等于定长的点的集合5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合7.同圆或等圆的半径相等

8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

9.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

10.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。

11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

12.①直线L和⊙O相交 d

②直线L和⊙O相切 d=r

③直线L和⊙O相离 dr

13.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

14.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

15.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

16.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

17.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

18.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角

19.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

20.①两圆外离 dR+r ②两圆外切 d=R+r

③.两圆相交 R-rr)

④.两圆内切 d=R-r(Rr)⑤两圆内含dr)

篇11：中考数学圆知识点总结

了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

(二)能力训练要求

1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力.

2.通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略.

(三)情感与价值观要求

1.形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.

2.学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.

教学重点

1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论.

2.掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.

3.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

教学难点

经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆.

教学方法

教师指导学生自主探索交流法.

教具准备

投影片三张

第一张：(记作§3.4A)

第二张：(记作§3.4B)

第三张：(记作 §3.4C)

教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

[师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线.那么，经过一点能作几个圆?经过两点、三点……呢?本节课我们将进行有关探索.

Ⅱ.新课讲解

1.回忆及思考

投影片(§3.4A)

1.线段垂直平分线的性质及作法.

2.作圆的关键是什么?

[生]1.线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.

作法：如下图，分别以A、B为圆心，以大于 AB长为半径画弧，在AB的两侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段A B的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等.

[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.定点即为圆心，定长即为半径.根据定义大家觉得作圆的关键是什么?

[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题.因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小.确定了圆心和半径，圆就随之确定.

2.做一做(投影片§3.4B)

(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆?

(2)作圆，使它经过已知点A、B.你是如何作的?你能作出几个这样的圆?其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系?为什么?

(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上).你是如何作的?你能作出几个这样的圆?

[师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答.

[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来.所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆. 由于圆心是任意的.因此这样的圆有无数个.如图(1).

(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径.因此圆心到A、B的距离相等.根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上.在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径.圆就确定下来了.由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个.如图(2).

(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等.因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心.

因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆.

[师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢?

3.过不在同一条直线上的三点作圆.

投影片(§3.4C)

作法图示

1.连结AB、BC

2.分别作AB、BC的垂直

平分线DE和FG，DE和

FG相交于点O

3.以O为圆心，OA为半径作圆

⊙O就是所要求作的圆