抛物线焦点弦问题探究

抛物线焦点弦问题探究（通用8篇）

篇1：抛物线焦点弦问题探究

探究性学习抛物线焦点弦

探究性学习是一种以发展探究思维为目标，以学科的核心知识为内容，以探究发现为主的学习方式。在中学数学教学中，引导学生开展探究性学习，对我们每一个数学教师来说，是一个谁也不可回避的新课题。本节以现行高中新教材P.61的“例3：斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点且与抛物线相交于A、B，求线段AB的长”的教学过程设计为例，谈一谈如何在例题教学中引导学生开展探究性学习，现将教学过程的设计介绍如下： 分步推进，引导学生探究多解

本节课一开始，教师就让学生认真阅读例3，并思考如何解决以下3个问题：

①求出直线AB的方程。②求出交点A、B的坐标。

③如何求线段AB的长？计算AB长是否一定要具体计算A、B的坐标？

由于创设了一题多解的情境，对于问题③，学生中出现了3种解题思路：

思路1 ：先求交点坐标，然后直接运用两点间的距离公式求线段AB的长。

思路2 ：根据抛物线定义，把线段AF与BF转化为线段AA/和BB/（图见教材P61上的图，也是下文提到的“题图”）。

思路3： 利用圆锥曲线的弦长公式。

那么，哪种解法最好呢？教师请学生用三种解法分别解之，并加以比较。经过演算，大家一致认为，思路1虽然想起来很顺，但运算量较大；思路2从焦点弦的特殊性入手，是数形结合思想的典型应用，是解本题的最佳解法；思路3利用两根之和与两根之积的整体关系进行处理，避免了求交点坐标，也不失为一种好方法。

以上过程通过创设问题情境，激发了学生的探究欲望，使他们主动地参与到课堂教学中，做学习的主人，并自主整和了知识结构，对3种解题方法有了一定的认识。2

辨析深化，探究解法的选择标准

在完成了上述任务的基础上，教师接着提出了下列问题：

问题1 ： 斜率为1的直线经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，与抛物线相交于A、B两点，且线段AB=8，求p的值.问题1是例3的逆向问题，由于有了例3的解题体验，学生们不约而同地选择了思路2的解法，得p=2。3

改编原题，探究焦点弦的内涵

完成了问题1与问题2，教师让学生探究：如果例3中直线的斜率情况未知，抛物线方程的参数p也未知，设A、B两点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），那么y1y2的值与参数p有何关系？

由例3解法1中 y1与y2的具体数值知，y1y2=－4，而例3中的参数p为2，于是有的学生猜想y1y2=－2p，也有学生猜想y1y2=－p2，还有学生猜想y1y2=－pp，学生中便出现了以下3个命题：

命题1 ：如果过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，那么y1y2=－2p.命题2： 如果过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，那么y1y2=－p2.命题3： 如果过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，那么y1y2=－pp.究竟谁对谁错，还需理论上严格证明。于是教师要求每位学生对自己的猜想进行证明。经过几分钟的论证，持命题2观点的学生获得了成功，他们证明如下：

证：当斜率存在时，设过焦点的直线为y=k（x－p/2）(k≠0), 即 x=1/ky+p/2

将上式代入y2=2px，得

y2=2p（1/ky+p/2）

去分母后整理得

k y2－2p y－k p2=0 设这个方程的两根为y1、y2，则有 y1 y2=－k p2/ k=－p2 当斜率不存在时，y1= p，y2=-p，仍有y1 y2=－p2.故命题2成立。

俗话说，“吃一堑，长一智”。在上述证明中学生摆脱了“陷阱”，注意到了当直线斜率不存在时的情况的讨论，同时证明中再次渗透了分类讨论的数学思想。

经过学生们的自行探究，焦点弦的一个内涵，即y1 y2=－p2被“挖”了出来，由学生作业改为课堂探究，学生对焦点弦的这一性质有了一个更深刻的认识，与此同时也进一步培养了他们思维的严密性。

着眼题图，激励学生编题创新

我们知道，例3的题图极具典型性，图中蕴涵了许多重要结论，有待于学生去发现。为了培养学生的直觉思维，教师请学生仔细观察例3的题图，并回答下列问题：

①如果连结FA/和FB/，那么它们的位置关系如何？

②设弦AB的中点为M，点M在准线上的射影为M/，那么线段AM/与BM/的位置关系又如何？

③A、O、B/三点有何特殊的位置关系？A/、O、B三点呢？ 由于创设了探究情境，他们很快发现了图中各种特殊的位置关系。接着教师要求学生根据自己的观察结果编题，并在课堂上交流。

编题可不是一件容易的事，要求学生根据题设与结论字字斟酌，句句推敲，但他们还是编得相当成功。

对照问题①，学生们编出的题目是“过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线和抛物线相交于A、B两点，A/、B/是A、B两点在准线上的射影，求证∠A/FB/=90°”.对照问题②，学生们编出的题目是“A/、B/、M/分别是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点弦AB的两个及其中点M在抛物线准线上的射影，求证A M/⊥B M/。”也有学生提出了这样一

个命题：“以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。”

对照问题③，有些学生编出的题目是“过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线和抛物线相交于A、B两点，A/、B/是A、B两点在准线上的射影，求证A、O、B/三点共线。”有些学生编出的题目是“过抛物线焦点的一条直线与它交于A、B，经过点A和抛物线顶点的直线交准线于B/，求证直线BB/平行于抛物线的对称轴。”还有些学生编出的题目是“过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线和抛物线相交于A、B两点，点B/在抛物线准线上，且BB/∥x轴，求证直线AB/经过点O。”

紧接着，教师对他们编的题逐一加以点评，并指出：同学们根据问题①编的题就是唐山本的例题；根据问题②得到的命题是抛物线焦点弦的又一大特性；而根据问题③编的题就是2001年的全国高考题，或者说是高考题的“翻版”。原来高考题并不神秘，就在我们的探求之中，学生们兴趣盎然，他们深深感受到了出题的乐趣，与此同时，也激发了他们学习的主动性与积极性，在探究中培养了他们的创新能力。

最后，教师趁热打铁布置作业，就请同学们课后完成自己编的题目，要求一题多解，允许相互探讨。至此，借助于例3的探究性学习，一类抛物线焦点弦问题得到了圆满的解决。

篇2：抛物线焦点弦问题探究

在对抛物线的复习教学中, 我们主要从代数 (方程) 角度和几何 (抛物线定义) 角度研究经过焦点的直线与抛物线相交的有关问题, 它是高考的一个重点.在教学中我们首先把课本上与此类问题相关的一些例题、习题提炼归纳, 突出解题中所涉及的数学思想方法, 然后再进一步探究引申, 并加以运用, 从而提升学生的能力.

一、从代数 (方程) 角度探究焦点弦的有关性质

1. 焦半径公式和焦点弦长问题

课本例题由课本p131例3引入:斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点F, 与抛物线相交于两点A、B, 求线段AB的长.

分析:先联立方程, 找到两根之间的关系x1+x2=6, 再利用抛物线的定义得到|AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=8.

拓展引申已知过抛物线y2=2px的焦点的直线与抛物线交于A (x1, y1) , B (x2, y2) 两点.

探究1:抛物线的焦点弦公式|AB|=x1+x2+p;

探究2:焦半径公式

探究3:为直线AB的倾斜角) .

运用1: (2007年全国卷2) 设F为抛物线y2=4x的焦点, A, B, C为该抛物线上三点, 若, 则 () .

A.9 B.6 C.4 D.3

(此题是焦半径公式

运用2:过抛物线y2=2px的对称轴上的一点P (p, 0) 作一条直线与抛物线交于A, B两点, 若A点的纵坐标为, 求B点的纵坐标. (运用例题方法可解)

2. 定值问题

课本习题由课本p133习题8.5第7题引入:过抛物线y2=2px (p>0) 的焦点的一条直线和此抛物线相交, 两个交点的纵坐标为y1, y2, 求证:y1y2=-p2.

拓展引申已知过抛物线y2=2px的焦点的直线与抛物线交于A (x1, y1) , B (x2, y2) 两点.

运用1: (课本p137习题8.6第6题) 过抛物线焦点的一条直线与它交于P、Q, 经过P和抛物线顶点的直线交准线于点M, 求证:直线MQ平行于抛物线的对称轴. (运用y1y2=-p2进行坐标转换可解)

运用2: (2001年全国高考题) 设抛物线y2=2px (p>0) 的焦点为F, 经过点F的直线交抛物线于A、B两点, 点C在抛物线的准线上, 且BC//x轴, 证明直线AC经过原点O. (运用y1y2=-p2进行坐标转换可解)

运用3: (2004全国卷2) 给定抛物线C:y2=4x, F是C的焦点, 过点F的直线l与C相交于A、B两点. (Ⅰ) 设l的斜率为1, 求夹角的大小; (Ⅱ) 设, 若λ褾∈[4, 9], 求l在y轴上截距的变化范围. (运用例题方法可解)

二、从几何 (抛物线的定义) 角度探究焦点弦的有关性质

课本习题由课本P148复习参考题八B组题第2题引入:过抛物线的焦点F的直线与抛物线y2px (p>0) 相交于A、B两点, 自A、B向准线作垂线, 垂足分别为A', B', 求证∠A'FB'=90°. (即以A'B'为直径的圆经过焦点F)

分析:利用抛物线的定义可得|AF|=|AA'|, 则∠AA'F=∠AFA', 又∵∠AA'F=∠A'FO, ∴∠AA'F=∠A'FO.

同理:∠BFB'=∠B'FO.

易得:∠A'FB'=∠A'FO+∠B'FO=90°.

拓展引申探究1:以AB为直径的圆与准线相切;

探究2:以AF为直径的圆与y轴相切;

探究3:为直线AB的倾斜角) ;

探究4:当|AF|>|BF|时, . (θ为直线AB的倾斜角) .

运用1: (2008全国卷2) 已知F是抛物线C:y2=4x的焦点, 过F且斜率为1的直线交C于A, B两点.设|FA|>|FB|, 则|FA|与|FB|的比值等于________. (运用探究4的结论可解)

运用2: (2007全国卷1) 抛物线y2=4x的焦点为F, 准线为l, 经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A, AK⊥l, 垂足为K, 则△AKF的面积是 () .

(利用抛物线的定义和几何条件可判断△AKF是等边三角形)

由几个课本上的例题、习题引入, 让学生初步感知解决抛物线焦点弦问题主要是从代数角度和几何角度, 让学生体会方程、转化、数形结合等数学思想方法在解题中的运用.然后在课本例题、习题的基础上归纳总结, 探究引申, 从而为解决类似问题打下扎实的基础.解决问题的方法对所有圆锥曲线的焦点弦问题也同样适用.记住一些常见结论, 可直接运用于选择题和填空题的解答.

篇3：向量数量积与抛物线的焦点弦

关键词：向量；数量积；焦点弦；关系探讨

近几年高考中，焦点弦及焦点三角形是解析几何中的热点，所以值得总结与研究. 对于抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点F的弦AB=，与顶点O连结的△OAB面积S=是大家比较熟悉的. 新教材增设了有关向量的知识，将平面向量知识与解析几何知识综合起来，在知识网络交汇处命题是目前高考的一个亮点. 本文就向量的数量积与抛物线的焦点弦及焦点三角形面积总结所得的公式介绍给大家，以供同仁参考.

定理1若AB是过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的弦长，且•=λ，则

AB=.

证明设A（x1，y1），B（x2，y2）且AB有斜率k时，其坐标满足方程组

y2=2px，y=kx－?圯0=k2x2－（k2p+2p）x+.

所以x1•x2=.

若AB没有斜率时直线AB的方程为x=，

则x1•x2=.

因为•=•cosθ（θ=0°），

所以=λ.

又因为=x2+，=x1+，

所以x1+x2+=λ.

所以x1•x2+（x1+x2）+=λ.

因为x1•x2=，

所以（x1+x2）=λ－.

故x1+x2=－p.

所以AB=x1+x2+p=.

故AB=.

定理2若AB是过抛物线y2=2px的焦点弦，O为坐标原点，且•=λ，则

S△OAB=.

证明设直线AB的倾斜角为α（α若为钝角取其补角），若α≠，

则AB的方程为

y=x-tanα，

即xtanα－y－tanα=0.

设点O到直线AB的距离为d，

则d==sinα.?摇?摇 ①

若α=，则d=. ①式仍成立.

所以S△OAB=AB•d.

因为AB=，d=sinα，

所以S△OAB=.

由定理1知AB=，又AB=，

可得sinα=，

篇4：抛物线焦点弦长的计算方法鉴赏

定理1:过抛物线y2=2px (p>0) 焦点F作倾斜角为θ的弦AB, 则|AB|=.

证明:因为直线AB的方程为

将 (1) 代入抛物线方程得

4k2x2-4p (k2+2) x+k2p2=0 (2)

由弦长公式得|AB|= (3)

将方程 (2) 的两根之和与积代入 (3) 得

定理2:过抛物线y2=2px (p>0) 焦点F作倾斜角为θ的弦, 则 (1) sinθ=; (2) |AB|= (λ++2) .

证明: (1) 设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 因为F (, 0) , 则由条件得

由 (1) 得

因为直线AB的方程为y=k (x-) (k=tanθ) , 即x=, 代入抛物线方程得

ky2-2py-kp2=0 (3)

将方程 (3) 的两根之和与积代入 (2) 解得1+k2=.

(2) 将sinθ=代入定理1化简整理得|AB|= (λ++2) .

定理3:经过横向型圆锥曲线焦点F作倾斜角为θ的弦AB, e是离心率, 焦点到相应准线的距离为p, 若=λ (λ>0) , 则

同定理1的证明方法得

4k2x2-4p (k2+2) x+k2p2=0 (2)

定理4:经过抛物线y2=2px (p>0) 焦点F作倾斜角为θ的弦AB, 抛物线的准线与对称轴的交点为E, 若EA和EB的斜率之积为λ, 则

(1) sin2θ=-λ; (2) |AB|=-.

证明:设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 又AB方程为y=k (k=tanθ) , E (-, 0) , 则由题意得λ=kEA·kEB=

同定理1的证明方法得

4k2x2-4p (k2+2) x+k2p2=0 (2)

同定理2的证明方法得ky2-2py-kp2=0 (3)

(1) 将方程 (2) 和 (3) 的两根之和与积代入 (1) 得

定理5:经过抛物线y2=2px (p>0) 焦点F作倾斜角为θ的弦AB, e是离心率, 焦点F到相应准线L的距离为p, L与对称轴的交点为E, 若=λ, 则 (1) tan2θ=; (2) |AB|=2 (p+) .

同定理1的证明方法得

4k2x2-4p (k2+2) x+k2p2=0 (2)

同定理2的证明方法得ky2-2py-kp2=0 (3)

(1) 将方程 (2) 和 (3) 的两根之和与积代入 (1) 得k2=tan2θ=.

(2) 因为tan2θ=k2=所以sin2θ=, 代入定理1得|AB|=2 (p+) .

上述几种计算方法各有千秋, 反映了在各种不同条件下, 焦点弦长度的不同表示.研究问题的目的之一是掌握新知识, 解决新问题, 如果我们掌握了上述几个定理的证明思路和方法, 那么抛物线的焦点弦问题便迎刃而解, 下面举例说明.

例1 (2009年高考福建卷) 经过抛物线y2=2px (p>0) 的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点, 若|AB|=8, 则p=___.

解由题意和定理1得|AB|==2.

例2 (2008年高考全国卷Ⅱ第16题) F是抛物线y2=4x的焦点, 经过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点, 求的值.

解tanθ=k=1θ=45°, 代入定理2 (1) 解得λ=或λ=为所求.

例3 (笔者新编题) AB经过抛物线y2=2px (p>0) 焦点F的弦, 若=-2, |AB|=2, 求抛物线方程.

解:因为λ=2, |AB|=2, 由题意及定理3 (1) 得|AB|==|2|=2p=2.故所求抛物线方程为y2=4x.

例4 (笔者新编题) AB是抛物线y2=4x的焦点弦, E是抛物线的准线与对称轴的交点, 若EA和EB的斜率之积-, 求AB的直线方程.

解:设AB的倾斜角为θ, 斜率为k, 因为λ=-, 由定理4 (1) 得

篇5：抛物线焦点弦的一条性质及其应用

1． 抛物线焦点弦的性质：

设AB是抛物线的焦点弦，F为其焦点，直线AB的倾斜角为θ，|FA||FB|=λ（λ＞0），

则(Ⅰ)当抛物线的方程为y2=±2px(p＞0)时，λ满足sin2θ=4λ(1+λ)2；

（Ⅱ） 当抛物线的方程为x2=±2py（p＞0）时，λ满足cosθ=4λ（1+λ）2.

证明：(Ⅰ) 当抛物线的方程为y2=2px（p＞0）时，如图，设直线AB的参数方程为x=P2+tcosθ

y=tsinθ(t为参数)，代入y2=2px中得，t2sinθ-2ptcosθ-p2=0．∴ t1+t2=2pcosθsin2θ，t1•t2=-p2sin2θ．

∴ 由参数t的几何意义得，|AB|2=|t1-t2|2=(t1+t2)2-4t1t2=4p2sin4θ．

设|FA|=m，|FB|=n，则（m+n）2=4p2sin4θ①．又设A（x1，y1），B（x2，y2），∴ 由抛物y2=2px(p＞0)线焦点弦的性质得，y1y2=-p2．

不妨设A(x1，y1)在x轴的上方，B（x2，y2）在x轴的下方，∴ 必有y1=msinθ

y2=-nsinθ（0＜θ＜π），代入上式得mn=p2sin2θ ②．

又m=λn,则由①,②得（λ+1）2n2=4p2sin4θ

λn2=p2sin2θ．以上两式相比可得sin2θ=4λ(1+λ)2．

当抛物线的方程为y2=-2px(p＞0)时，只需用“-p”去换上述证明过程的“p”，易得此时λ也满足sin2θ=4λ（1+λ）2．

（Ⅱ） 当抛物线的方程为x2=2py（p＞0）时，如图2，设直线AB的参数方程为x=tcosθ

y=P2+tsinθ(t为参数)，代入x2=2py中得，t2cos2θ-2ptsinθ-p2=0．∴ t1+t2=2psinθcos2θ，t1•t2=-p2cos2θ．

∴ 由参数t的几何意义得，|AB|2=|t1-t2|2=（t1+t2）2-4t1t2=4p2cos4θ．

设|FA|=m，|FB|=n，则（m+1）2=4p2cos4θ ①．又设A(x1，y1)，B（x2,y2），∴ 由抛物线x2=2py（p＞0）焦点弦的性质得，x1x2=-p2．

不妨设A(x1，y1)在y轴的右侧，B(x2,y2)在y轴的左侧，∴ 必有x1=m|cosθ|

x2=-n|cosθ|（0≤θ＜π且θ≠π2），代入上式得mn=p2cos2θ②．

又m=λn,则由①,②得(λ+1)2n2=4p2cos4θ

λn2=p2cos2θ．以上两式相比可得cos2θ=4λ（1+λ）2．

当抛物线的方程为x2=-2py（p＞0）时，同样用“-p”去换上述证明过程的“p”，可得此时λ也满足cos2θ=4λ(1+λ)2．

2 性质的应用：

例1 （2008年高考全国卷Ⅱ•理15题）已知F为抛物线C∶y2=4x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点．设|FA|＞|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于 ．

解法1：抛物线y2=4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x=-1，∴ 可设直线AB的方程为y=x-1，将其代入y2=4x得x2-6x+1=0，∴ x1,2=3±22．∵ |FA|＞|FB|，∴ xA=3+22，xB=3-22．又|FA|=xA+1，|FB|=xB+1，∴ |FA|FB=4+224-22=3+2．

解法2：设直线AB参数方程为x=1+t2

y=t2(t为参数)，代入y2=4x中可得t2-42t-8=0，∴ t=22±4．结合参数t的几何意义得|FA||FB|=|tA|tB=22+422-4=3+2．

解法3：设|FA|与|FB|的比值为λ，则λ＞1．由本文中的公式sin2θ=4λ(1+λ)2得，sin245°=4λ(1+λ)2，解得λ=3+22．

点评：解法1是基本解法，先设出直线AB的点斜式方程，与抛物线方程联立，从而解出A、B两点的横坐标的值，然后再利用抛物线的定义，将线段|FA|与|FB|的比转化为求A、B两点的横坐标的关系比；解法2是参数解法，其核心是利用直线AB参数方程标准形式中参数t的几何意义去求解；而解法3是利用本文中所得到的公式sin2θ=4λ(1+λ)2去求解，其解法显得更为简便、优美．

例2 （2008年高考江西卷•理15题）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴的左侧），则|FA||FB|= ．

解析：该题具有与例1类似的多种解法，这里仅给出应用本文中所得到的公式cos2θ=4λ(1+λ)2的简捷解法：

篇6：抛物线焦点弦问题探究

定理:经过横向型圆锥曲线的焦点F作倾斜角为θ的直线,交圆锥曲线于A、B两点,若离心率是e,焦点到相应准线的距离为p,则焦半径,焦点弦长.

定理可利用直线的参数方程去进行证明,也可以用极坐标法去证明,还可以利用圆锥曲线统一定义和几何性质去证明,证法很多,这里就不一一赘述了.

掌握了上述解法,此类问题在高考中,不论是选择、填空题,还是解答题都能化难为易,迎刃而解.

例1 (2007年重庆)经过双曲线x2-y2=4的右焦点F作倾斜角为105°的直线,交双曲线P、Q两点,求|PF|·|FQ|的值.

例2 (2008年全国卷Ⅱ理)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F且斜率为1的直线交C于A、B两点,设|FA|>|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于_______.

解:因为e=1,k=tanθ=1,即θ=45°,所以

例3 (2009年全国卷Ⅱ理)已知双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点为F,过F且斜率为的直线交C于A,B两点,若,求离心率.

解:因为,即θ=60°,又,所以,解得.

例4 (2010年全国卷Ⅱ)已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C交于A,B两点,若,求k的值.

解:因为,

例5 (2010年全国卷Ⅰ)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且,则C的离心率为______.

解:依题意知,因为,所以,解得.

例6 (2010年重庆理)已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A,B满足,则弦AB中点到准线的距离为______.

解:因为,又e=1,p=2,所以,解得.由抛物线的定义和梯形的中位线性质可知,弦AB中点到准线的距离等于焦点弦AB长的一半,即.

例7 (2008年宁夏)经过椭圆的右焦点F作斜率为2的直线交椭圆于A,B两点,0是坐标原点,则△OAB的面积S=_____.

解:因为,b=2,c=1,所以,.

又k=tanθ=2,则,所以.又知直线AB的方程为y=2(x-1),点O(0,0)到AB的距离为,所以△OAB的面积.

例8 (2007年全国)F1、F2是椭圆的左右焦点,过F1、F2作两条互相垂直的直线分别与椭圆相交于D,B和A、C,求四边形ABCD面积的最小值.

解:因为,c=1,所以.设直线DB的倾斜角为θ,又AC⊥BD,则直线AC的倾斜角为θ±90°,所以四边形ABD面积

所以当sin2θ=±1时,S取最小值,.

例9 (2008年安徽文)设椭圆C:=1(a>b>0),其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)已知过点F1(-2,0)的倾斜角为θ的直线交椭圆C于A、B两点,求证:;

(Ⅲ)过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A,B和D,E,求|AB|+|DE|的最小值.

解:(Ⅰ)易求得椭圆C的方程为.

所以当sin2θ=±1时,|AB|+|DE|取最小值,其最小值为.

例10 (2008年全国卷Ⅰ)设双曲线中心在坐标原点0,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1和l2,过双曲线的右焦点F且垂直于l1的直线分别交l1和l2于A,B两点,已知,成等差数列,且与同向.

(Ⅰ)求双曲线离心率;

(Ⅱ)设AB被双曲线截得线段长为4,求双曲线方程.

篇7：抛物线焦点弦问题探究

一、 异题同构在创新中求稳定

以下三题从不同曲线出发，构造出了结构相似、数量关系相近的同类问题.

题1.抛物线型，由斜率、离心率求焦半径比值 （2008年江西卷）过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（A在y轴左侧），则|AF||FB|= ．

题2.双曲线型，由斜率、焦半径比值求离心率 (2009年全国Ⅱ卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A，B两点，若AF=4FB，则C的离心率为（ ）



A． 65B. 75

C. 85D. 95

题3.椭圆型，由离心率、焦半径比值求斜率 (2010年全国Ⅱ卷)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与交C于A，B两点，若AF=3FB,则k= ．

A． 1B. 2C. 3D. 2

读完这组相亲相近的考题，不禁使我们想到：这三种不同的圆锥曲线，却有相同的第二定义，那么它们这些相同的特征量：圆锥曲线离心率、直线倾斜角、两个焦半径比值，是否也有相同的规律？

探究

如

下

设中心在坐标原点的圆锥曲线C的右焦点为F，过F且倾斜角为θθ≠90°的直线与圆锥曲线C交于A，B两点，若|AF|=λ|FB|(λ≠1)，则C的离心率为e=λ－1(λ+1)cos θ.

图1

证明

如

下

画出双曲线的情形（椭圆与抛物线的情形略），如图1.

当0°<θ<90°，λ>1时，先记右准线为l，作AA′⊥l，BB′⊥l，垂足依次为A′，B′,再作BH⊥AA′，垂足为H．由圆锥曲线第二定义，得|AA′|=|AF|e=λ|FB|e，BB′=|FB|e.在Rt△BHA中，|AB|=|AF|+|FB|=(λ+1)|FB|，且|AH|=|AA′|－|BB′|=(λ－1)|FB|e.又因为

∠BAH=θ，所以cos θ=|AH||AB|=(λ－1)|FB|e(λ+1)|FB|=

λ-1e(λ+1)，解得e=λ－1(λ+1)cos θ.

当90°<θ<180°，0<λ<1时，|AH|=|BB′|-|AA′|，∠BAH=180°－θ，同理可得e=λ－1(λ+1)cos θ.

这一规律探究入口宽、思维活、方法多，上述利用圆锥曲线第二定义，通过构造三角形的几何证法，是多种方法中的最优证法.以上题组就是这一规律的三个见证.

题1解析 由于该题中抛物线的焦点在y轴正半轴上，故将x，y互换，即将抛物线绕坐标原点按顺时针方向旋转90°，等价于“过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾角为120°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（A在x轴上侧），则|AF||FB|= ．”

其中θ=2π3，e=1,则由公式e=λ－1λ+1cos θ，解得λ=13.

题2 其中θ=π3，λ=4,则由公式得e=λ－1(λ+1)cos θ= 65.

题3 其中e=32，λ=3，则由公式e=λ－1(λ+1)cos θ，解得cos θ=33，求出sin θ=63，从而求得k=tan θ=2.故选B. 

读到这里，你可能会想：连考了三年的同题异构试题，第四年（2011年）还能找到这一模式的异构题目吗？笔者对此进行了一番搜索，结果是找不到.

实际上，若再异题同构，重复变换三种曲线，只能形成考查效果不好的类题，稳定有余，创新不足.为了使这组经典老题重新焕发出生机与活力，高考命题者使用了新的手段——同题异构.

二、 同题异构在稳定中求创新

这里仅从题1入手，换个思维方式，从同题异构视角，再次感悟、探究上述题组新的魅力.

以下这组高考试题，都是由各具特色的直线，与同一种抛物线交于两点，形成两个焦半径这“三大件”为贯穿全题的基本素材.

题4.它们本是同根生 （2008年全国Ⅱ卷）已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交C于A，B两点，设|AF|>|FB|，则|AF|与|FB|的比值等于 ． 

本题显然和上述题组中的2008江西卷第15题一脉相承，是它的一个特例（已知了抛物线），自然也是上述题组的相同规律e=λ－1(λ+1)cos θ在e=1时的特例.

有结论如下：一般地，设F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，过点F且倾斜角为θ(θ≠90°)的直线与抛物线C交于A，B两点，若有|AF|=λ|FB|(λ≠1)，则有λ=1+cos θ1－cos θ.

题4就是这个结论的一个特例，由k=1，得θ=π4，得|AF||FB|=λ=1+cosπ41－cosπ4=3+22.

站在这个结论的高度，进而还能得出一些更新更美的结论如下：

（1） 1|AF|+1|FB|=2p；

（2） |FB|=(λ+1)p2λ=p1+cos θ，|AF|=(λ+1)p2=p1－cos θ； 

（3） |AB|=p1+cos θ+p1－cos θ=2psin2θ；

（4） S△AOB=12|AB|·p2sin θ=p22sin θ.

题5.妙换直线与结论 （2009年全国Ⅱ卷）已知直线y=k(x+2)(k＞0)与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点.若|AF|=2|FB|，则k= .

本题将题1中的过焦点F且与抛物线相交的直线巧妙地兑换为过焦点F关于原点O的对称点（即准线与对称轴的交点）且与抛物线相交的直线，并将直线斜率k与两个焦半径之比λ作为条件与结论互换.这种同题异构的方式仅改变了题目的形式，问题并没发生实质性的变化.

试想是否也存在与题1类似的结论？一般地，直线y=k(x+p)(k>0，p＞0)与抛物线C: y2=4px相交于A，B两点，F为C的焦点，若|AF|=λ|FB|，则k2=4λ(λ+1)2.

证明

如

下

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由方程组y=k(x+p)，y2=4px，得k2x2+2p(k2－2)x+k2p2=0.由该方程有不相等的实根，得Δ=4p2(k2－2)2－4k4p2>0，即k2<1.又x1+x2=4pk2－2p ①，x1x2=p2 ②.由|AF|=λ|FB|结合抛物线定义，得x1+p=λ(x2+p)③.

由①③解得x1=p1+λ4λk2－λ－1，

x2=p1+λ4k2－λ－1，代入②得4k2－λ-1·4λk2－λ-1=(λ+1)2，解出k2=4λ(λ+1)2.

在题5中，由λ=2，得k2=4λ(λ+1)2=89，即k=223.

题6.拓展焦半径比值 (2010年全国Ⅱ卷）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l，过点M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点B，与C的一个交点为A．若AM=MB，则p= ．

本题中如果M是焦点，那么就相当于将题1中的一个焦半径拓展为焦点到准线上一点的距离，这样形成的拓展的焦半径比值λ，与直线倾斜角θ(θ≠90°)，也有类似关系.

有结论如下：一般地，已知抛物线C:y2=2px(p＞0)的准线为l，过点F且倾斜角为θ(θ≠90°)的直线与l相交于点B，与C的一个交点为A，若|BF|=λ|FA|，则F为焦点的充要条件为|cos θ|=1λ+1．

篇8：抛物线焦点弦问题探究

解法1:(利用两点间距离公式):(1)如图1,因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC,所以|EB|=|ED|,

解法2:(利用弦长公式)(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).

点评:在大部分学生眼中,圆锥曲线综合性问题是“想说爱你不容易”,困惑的是:虽思路自然,切入容易,但常受制于运算的繁琐而欲罢不能,解法1与解法2均是联立方程组,解法1利用两点间距离公式,解法2利用弦长公式,是解决弦长问题的基本方法,两种方法出现的最大问题是计算错误,由于运算量过大,导致选用方法1与方法2的学生大多最终未能得出正确结果,其次,设直线y=k(x-1)时没有考虑k不存在的情况,造成解题过程不完整.

点评:解法3利用椭圆的焦半径公式求|MN|,相对于解法1与解法2,运算量大大减少.

直线PQ的参数方程为

点评:新课标把参数方程列入到选修4—4的教学内容,为我们在探求解析几何综合题时提供了新的解题思路,直线的参数方程是解决与弦长有关问题的一种十分有效的方法.

点评:利用极坐标解题的最大优势就是极坐标方程本身呈现的是长度(极经)与角度(极角)的关系.

解法6:(利用余弦定理)设直线MN的倾角为θ,如图2,在△AMB中,由余弦定理得

在△ANB中,由余弦定理得

点评:点差法是处理解析几何中点弦问题的基本方法,用点差法处理弦长问题,无需联立方程组,方法独特,计算简洁,事半功倍,值得注意的是,若弦不过焦点,则点差法失效.

|BH|=|BE|-|HE|=3-|MM1|=3-2|BM|,

点评:解法8利用椭圆定义求出|BM|及|BN|,进而求出|MN|,该解法充分体现了是圆锥曲线定义在解题中的应用.

在Rt△MNG中,

点评:解法9利用椭圆定义及平面几何知识构造|BM|与|BN|的方程,利用方程思想求出|BM|及|BN|,进而求出|MN|,虽然不是最简解法,但是可将知识融会贯通.

摘要：弦长问题是解析几何中的经典问题,也是每年高考必不可少的热门考点,因此怎样求弦长,是师生们非常关注和必须解决的问题,也是学生必须具备的解题技能,而在弦长求解中,尤以求圆锥曲线过焦点的弦长问题因其技巧性强,方法多,灵活多变而具有挑战性,成为弦长问题中的难点和热点,笔者通过对一道高考题来探究这类问题的常用解法.