审驾证学习证明（精选3篇）
篇1：审驾证学习证明
审驾证学习证明
交警大队车管中队：
兹有我司驾驶员同志，该同志积极参加下列学习和培训及应急演炼，各科考试合格。
1、按时参加公司每月组织的安全会和审证前的例会学习及本车为单元的每月小结学习。
2、积极参加交警组织的事故讲解、安全技能、职业道德和城市通行规范的培训学习。
3、积极参加交管组织的安全培训、职业道德、社会化服务的培训学习。
4、按时参加安监组织的季度或年度消防、防洪、重特大事故的应急演炼。
特此证明
南部县金诚公共交通有限公司
年月日
篇2：关于两个不等式证明的研究性学习
下面是笔者开设《不等式选讲 (选修4-5) 》的一节研究性学习课, 课堂上一波三折, 笔者在惊叹数学精美之余, 也惊叹数学课堂的精彩.
一、学生的疑问激起千层浪
问题1:设a, b, c均为正数, 且abc=1, 证明:
问题2:设a, b, c均为正数, 且abc=1, 证明:
教师出示这两个问题后, 大部分学生开始寻找解题思路. 突然有一个学生小声问:“老师, 题目会不会抄错了?这两个不等式的结构一样, 不等号方向怎么会是相反的呢?”教师随即转述这位同学的疑惑. 这一说真可谓一石激起千层浪, 其他同学也都表示出同样的疑惑. 此时教师也同样“表现”出被这一疑惑吸引的神情. 感慨地说:“是啊, 形式相同的背后却是绝然相反的结果, 这是一种‘冰冷的美丽’, 是什么原因导致了这种瞬间的变化?接下来让我们一起去赴这场心灵之约, 体验这美妙的旅程吧!”
二、“冰冷美丽”背后的简洁证明
同学们开始紧张的思考、验算, 最初的尝试表明, 问题1直接利用Cauchy不等式难以奏效, 针对条件abc=1, 同学们尝试做了如下的一些代换:①倒数代换:1/x→a, 1/y→b, 1/z→c;②齐次代换:x/y→a, y/z→b, z/x→c;或x2/ (yz) →a, y2/ (zx) →b, z2/ (xy) →c;或yz/x2→a, zx/y2→b, xy/z2→c;③幂代换:xαyα→a, yαzα→b, zαxα→c等等. 尝试后获得问题1的简洁证明:
问题1证明一: (本文用∑表示循环和, 如∑a=a+b+c, ∑xy=xy+yz+zx等) . 设a=x/y , b=y/z , c=z/x , 并根据重要不等式x2+y2+z2≥xy+yz+zx, 则
问题1证明二:设a=yz/x2 , b=zx/y2 , c=xy/z2 , 则 (以下证明同证法一) .
问题1的解决让很多同学都沉浸在兴奋之中, 部分同学很快发现同样的手法却难以对付问题2, 同学们马上又陷入新的疑惑中. 突然一位平时不太爱说话的同学举手, 说是否可以用“柯西求反技术 (The Cauchy Reverse Technique) ”[1]试试. 教师请这位同学给大家具体介绍这种方法后, 不久有学生得到了问题2的证明:
利用“柯西求反技术”, 因为, 所以只需要证明. (以下的证明与问题1的证明完全类似)
简单的变化使问题2的解决“柳暗花明”, 同学们无不被数学的这种瞬间美丽变化所震撼, 无不为探究数学的惊险历程所吸引. 一个变化、一种代换就是一片天, 此所谓“踏破铁鞋无觅处”, “众里寻他千百度, 蓦然回首, 那人却在灯火阑珊处”.
三、树欲静而风不止
问题都解决了, 但同学们的思绪并没有停下来, 继续思索着:是什么原因导致形如 (这里的p, q是正实数) 的不等式的不等号方向发生改变呢?
同学们首先探究不等式成立的条件是什么? (有了前面的工作, 同学们底气十足, 遵循前面的方法, 势如破竹!) 设x=a/b , y=b/c , z=c/a , 则
这里k是一个待定的正实数且k∈ (0, 1) , 为了使 (1) 式等于一个常数, 只需要, 解之得k = (p-2q) / (p+q) ∈ (0, 1) , 即当p>2q>0时 , 有. 因此, 当p>2q时:
那么不等式成立的条件会是p<2q吗?同学们同样利用“柯西求反技术”, 只需要证明. 可是得到的结果却大大出乎预料:p<1/2 q时, 1/ (px+q) ≤3/ (p+q) 成立. 那么当1/2q<p<2q时, 不等式又变成什么了呢?
四、冲破黎明前的黑暗
现在只剩下1/2q≤p≤2q时不等式的形式如何不知道. 但问题却没有想象的那么简单, 此时不等式应该具有什么样的形式呢?
1. 先“去两头”
大家都觉得应该先研究p=2q和p=1/2q两种特殊情形, 或许能挖掘出点东西来. 于是大家发起对p=2q的攻击, 同学们尝试利用特殊值检验, 并猜测此时不 等式如果 成立 , 应该具有 如下形式:. (后经核实该问题为2004年德国IMO代表队选拔考试试题, 2004年吉林省高中数学竞赛试题) 问题形式漂亮, 同学们获得几种漂亮的证明方法.
方法一:设x=a/b , y=b/c , z=c/a , 因为圳∑b (c+2b) (a+2c) ≥ (a+2c) (b+2a) · (c+2b) 圳3abc+4∑ab2+4∑a2b≥9abc+4∑a2b+ 2∑ab2圳∑ab2≥3abc. 最后式利用三元均值不等式显然成立.
“妙!”同学们发出了由衷的感慨. 用a3等代替x, 做了第一次升幂 (abc) / (abc+2a3) , 而又降幂为 (bc) / (bc+2a2) , 再升幂为 (b2c2) / (b2c2+2a2bc) , 然后利用柯西不等式成功解决. 完全类似地得到p=1/2q时, 不等式为
2. 再“烧中段”
面对1/2q<p<2q的情形, 同学们发现放缩不等式时总会出现“打架”现象, 于是有同学猜测是否此时不等式的方向不确定?很快有位学生获得了以下反例:
设f (x, y, z) =1/ (4x+3) +1/ (4y+3) +1/ (4z+3) , 这里p=4, q= 3, 满足1/2q<p<2q.
当 x=1/2 , y=1/2 , z=4 时, f (x, y, z) =0. 4526…>3/7 ;
当 x=5, y=5, z=1/25 时, f (x, y, z) =0. 4034…<3/7 .
这说明1/ (4x+3) +1/ (4y+3) +1/ (4z+3) 与3/7不可比较大小, 那么一般情形也是如此吗?为研究方便我们先选取两个值相等, 设x=n, y=n, z=1/n2 , 此时
当n→+∞时, f (x, y, z) →1/q =3/ (q+2q) <3/ (p+q) ; 当n→0时, f (x, y, z) →2/q =3/ (1/2q+q) >3/ (p+q) .
教室里顿时一片欢腾, 这一刻如同“海上红日冲破黎明前的黑暗”, 也如同“江边春意赶走垂尽的旧腊残冬”. 至此, 教师总结如下:通过这节课的学习, 第一, 我们得到如下的带有约束条件xyz=1的定理A和没有约束条件的定理B:
定理A设实数x, y, z, p, q>0, 且xyz=1, 则
(Ⅰ) 若 p≥2q, 则;
(Ⅱ) 若 q≤1/2 p, 则.
定理B设实数x, y, z, p, q>0, 则
(Ⅰ) 若 p≥2q, 则;
(Ⅱ) 若 q≤1/2p, 则.
第二, 从方法论的角度看, 证明不等式我们要把握一个“变”字, 或代换, 或恒等变形, 或升幂, 或降幂, 同时必须把握其中的不变量———基本结构.
下课铃声响起, 老师走出教室, 心情难以平静, 翻开教案, 记下课堂所发生的一切, 并写下了两点思考:
(1) 整个课堂教学中, 不论是学生生疑, 证得结果, 继续思考还是最后冲破黑暗, 都源自教师对学生的信任, 让学生充分地思考和体验, 传统的一言堂不见了, 学生们的灵气呈现了. 平时觉得是不可能的事情出现了, 当反思自己日常的教学模式.
(2) IB选修课的开设恐怕不能仅仅是为了对付考试, 通过选修课使学生的能力得到切实的提高, 使学生加深对数学本身的理解, 体验数学研究的方法, 形成发现问题的意识, 培养学生的想象力和创造性. 这应该是我们追求的能真正体现教育价值的数学课.
五、故事没有结束
老师渐渐忘却了这节课, 但学生没有忘记“树欲静而风不止”的场面. 随后一段时间里, 不断有学生走进老师的办公室展示自己的成果, 下面选出其中几例:
(1) 已知x, y, z∈R+, 且xyz=1, 求证: (2008年山东省赛)
证明:设x=a/b , y=b/c , z=c/a , 则. 根据本文定理, 这里p=1, q=1, 满足q≤2p条件, 所以
注不仅证明而且加强了该不等式, 这对于一个没有经过竞赛培训的中学生来说意味着什么?只有当学生的学科兴趣被激发的那一刻, 他的学习激情才会迸发出来.
(2) 已知x, y, z∈R+, 且xyz=8, 求证:
证明:设x2=4a, y2=4b, z2=4c, 则abc=1. 此时不等式. 后者是显然的, 证毕.
注由升幂联想到降幂, 看似自然, 但面对一个具体情境能做此种代换对一个中学生来说实属不易, 这是对数学问题本质理解后的馈赠.
(3) [3]设x, y, z为正实数, 且xyz =1. 求证:
证明:根据幂平均不等式及定理A, 得
注其实该不等式比定理A弱, 学生为了证明该不等式, 自学了幂平均不等式等知识. 无限的学习潜能被激发了, 学习从被动转化为自觉.
(4) 已知实数a, b, c>0, 求证:. (1997 年罗马尼亚)
证明:对左边不等式做代换x=bc/a2 , y=ca/b2 , z=ab/c2 , 此时xyz=1, 则. 此不等式根据定理A显然成立. 再对右边不等式做代换x=a2/ (bc) , y=b2/ (ca) , z=c2/ (ab) , 此时xyz=1, 则. 此不等式根据定理A显然成立.
注定理证明中的代换和本题证明中的代换正好是互逆的, 能来也能回, 这就是融会贯通!这就是教学要追求的终极目标.
(5) 设a, b, c为正实数, 且abc=1, 求证:
证明:因为a/ (a2+2) ≤a/ (2a+1) 等, 所以 (根据定理B) .
……
老师表扬了这些同学的勤奋好学, 心生激动, 这是一节感慨良多的课, 想说的很多, 反而什么也说不出. 很明显, 数学教学是丰富多彩的, 学生的潜能是无限的, “给他阳光, 他一定灿烂. ”
参考文献
[1]Pham Kim Hung.不等式的秘密 (第一卷) [M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 2012.
[2]安振平.三十个有趣的不等式问题[J].中学数学教学参考, 2011 (11) .
篇3：“证明”学习提要
二、 明确重点难点
重点：判断命题的真假，能写出一个命题的逆命题.
难点：通过对一些命题的分析进行推理与证明.
三、 理解知识要点
（一） 定义与命题
1. 对一些名称或术语的含义加以描述，做出规定，就是给出它们的定义.
详解：（1） 定义必须是严密的，要注意避免“一些”、“大概”、“可能”、“差不多”等含糊不清的词语，正确的定义要能把被定义的事物或名词与其他的事物或名词严格地区别开来.（2） 定义有不同的方式：① 词法定义：词法定义是描述一个词或者一个表达的意义，一般一个词法定义提供一个与原词相当的表达.如，两个意思完全相反的词是反义词.② 情境定义：情境定义也称上下文定义.有些词无法清晰地定义，但可以通过为所有这个词出现的句子提供一个解释来为这个词做一个定义.也就是说通过使用一个不出现这个词的句子来解释这个词在这个句子里的意义.③ 内涵定义：内涵定义是将一个物件与其他物件之间不同的所有特征列举出来.比如“所有小于20的质数的集合”是一个特定的集合的内涵定义.④ 外延定义：外延定义是描述一个概念或者词的外延，即所有这个概念或者词所包含的事务.（3） 给概念下定义的规则：① 应相等，即定义概念和定义概念的外延相等；② 不应循环；③ 一般不应是否定判断；④ 应清楚确切.如，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角就是对顶角；对顶角相等.前者是对顶角的定义，而后者则是对顶角的性质.
2. 命题：判断某一件事情的句子叫做命题.
详解：（1） 命题并不是数学所独有，凡是判断某一件事情的正确或错误的语句都是命题，即命题的基本特征就是判断.“判断”就是肯定或否定某种事物的存在或指明它是否具有某种属性的完整的句子，判别一个语句是不是命题，关键就是看语句中是否含有判断的意思，即命题重在“判断”，如“人是高等动物”，“对应角相等的两个三角形一定全等”等属于命题.反之，如果一个句子没有对某一事物做出任何判断，那么它就不是命题，如“你爱好什么运动？”等就不属于命题范畴.（2） 命题的组成：命题的组成，即命题的结构包括题设与结论.每个命题的题设是已知事项，结论是由事项推断出的事项.（3） 命题的形式：命题一般写成“如果……那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论，有些命题的条件、结论不太分明，可先写成“如果……那么……”的形式，再找条件和结论.（4） 命题的分类：命题可分为真命题和假命题.正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.如“直角都相等”和“相等的角都是直角”这两个命题中，前者是正确的，是真命题，而后者则是错误的，是假命题.
（二） 证明
1. 一些数学名词和正确的命题可以用来证实其他真命题的正确性，这些数学名词和正确的命题都是属于说理的依据.
详解：我们已经掌握的真命题作为基本事实的有：（1） 同位角相等，两直线平行.（2） 两直线平行，同位角相等.
2. 用推理的方法证实真命题的过程叫做证明.经过证明的真命题称为定理.
详解：（1） 已经证明的定理就可以作为推理的依据.（2） 要完成一个命题的证明，可有下列3个步骤：① 根据题意，画出图形，为了证明叙述方便，还要在图形上标出字母或符号；② 根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.（3） 几何问题的证明一般离不开几何图形，若题设条件没有提供图形，则应根据题意自己画出图形，这时一定要注意所画出的几何图形应具有一般意义，具有代表性，而不能画出某个具有特殊意义的几何图形，这样不但容易出现误解，还会导致错误的结论.
（三） 互逆命题
1. 在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题，即其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
详解：每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可以得到原命题的逆命题.但原命题正确，它的逆命题未必正确.如，对于真命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是直角”，此命题就是一个假命题.
2. 要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.