巧用一元一次方程解题

2024-05-10

巧用一元一次方程解题（精选五篇）

巧用一元一次方程解题篇1

一、三个基本思想+一个解题策略

1.整体思想

当一个问题中未知数较多,逐个求解比较复杂,或不能求解时,可将其中满足某一共同特性的式子看作一个整体求解.这样既便于列方程,又便于解方程.

【分析】本题可以直接去括号求解,但似乎有点繁琐,如果将(7x-5)看作一个整体,则求解时能更方便些.

解:将(7x-5)视作整体,原方程可变形为:11

去分母、整体移项、合并同类项,得

220(7x-5)=0,即7x=5,

【点评】有些方程,可以将一部分式子联系起来,先看成一个整体,把方程看成这个整体的一元一次方程,从而减少了方程的项数,使求解简便.

例2有一个八位的电话号码,前四位数字完全相同,从第四位到第八位是依次减小的连续自然数,全部数字之和恰好等于号码的最后两位数字组成的两位数(两位数字的前后顺序不变),请写出这个电话号码.

【分析】本题前四位数字完全相同,且它们与后四位数字有联系,不妨将前四位数字设出来,这样便于列方程求解.

解:设前四位数字均为x,则后四位数字依次为x-1,x-2,x-3,x-4.

由题意得:4x+x-1+x-2+x-3+x-4=10(x-3)+x-4,解得x=8.

所以x,x,x,x,

答:这个电话号码是88887654.

【点评】本题若逐个设出各位数字,则未知数过多,不易列出方程,但从整体考虑,视前四位数字为一个整体,则方便简捷.希望同学们能认真体会.

2.转化思想

转化思想就是将复杂的问题转化为简单的问题,将生疏的问题转化为熟悉的问题,将未知化为已知.解一元一次方程就是将方程的最终形式转化为“x=a”.

【分析】本题分母中出现小数,给解方程带来了麻烦,通过观察发现,其分子也有小数,可利用分数的基本性质,将分子分母都乘10,化简方程求解.

去分母,得3(4x+9)=5(2x+3)+15.

去括号,得12x+27=10x+15+15.

移项,得12x-10x=15+15-27,

合并,得2x=3,系数化为1,得.

【点评】本章的转化思想主要体现在将复杂的一元一次方程通过去分母、去括号等过程,转化为一元一次方程的最简形式求解,以及将实际问题转化为用一元一次方程求解.3.

3.分类讨论思想

分类讨论思想,是一种把问题中可能出现的多种情况分类讨论进而解决问题的策略,运用这种策略可完整获取问题的答案.

例4 A、B两地相距450千米,甲、乙两车分别从两地同时出发,相向而行.若甲车的速度是120千米/时,乙车的速度是80千米/时,问经过多长时间甲、乙两车相距50千米?50

【分析】题目中甲、乙两车相距50千米,有两种可能:一种是两车相遇前两车相距50千米,另一种是两车相遇后,再行驶一段时间,两车还会相距50千米,所以本题应分两种情况讨论.50.

解:设经过x小时两车相距50千米.

若两车相遇前相距50千米,由题意得:120x+80x=450-50,解得x=2;

若两车相遇后相距千米,由题意得:120x+80x=450+50,解得x=2.5.

答:经过2小时或2.5小时两车相距50千米.

【点评】本章中的分类讨论思想主要体现在解决实际应用问题上,如行程类问题中对位置、距离的分类讨论,公园售票时根据人数不同而售价不同时的分类讨论,希望同学们能注意收集并整理涉及这类数学思想的内容.

4.挖掘隐含条件

例5在长方形ABCD中,放入六个形状、大小相同的长方形,所标尺寸如图所示,求小长方形的长和宽.

【分析】观察图形可知有如下两个数量关系:(1)小长方形的长+3个小长方形的宽=14cm;(2)2个小长方形的宽+6cm=小长方形的长+1个小长方形的宽.我们借助(1)设出未知数,根据(2)列出方程求解.

解:设小长方形的宽为xcm,则小长方形的长为(14-3x)cm,由题意可得:2x+6=(14-3x)+x,解得x=2,所以14-3×2=8.

答:小长方形的宽为2cm,长为8cm.

【点评】本题通过观察、分析,将隐含在图形中的数量关系挖掘出来,即将图形的有关信息转化为数量关系,进而列出方程解决问题.

二、设元的三个方法

1.直接设未知数

当题目中的数量关系能用所求的未知量表示时,不妨直接设未知数,即求什么设什么,这是设未知数常用的方法.

例6某学校组织学生去秋游,从学校出发去风景点A参观游览,在A风景点停留1小时后,又绕道去风景点B,再停留半小时后返回学校,去时的速度是5千米/时,回来的速度是4千米/时,来回(包括停留时间在内)共用去6小时30分钟.回来时因为绕道关系,路程比去时多2千米,求去时的路程.

【分析】本题看起来比较麻烦,分析后发现,题目里要求的只有一个未知量,就是去时的路程.题目的等量关系是:去时的时间+回来的时间+停留时间=共用的时间,以上“量”都可以用去时的路程表示.

解得x

答:去时的路程为10千米.

【点评】本题抓住了“去时的路程”与“各个时间”的关系,直接设出未知数,问题顺利得解,看来,分析题目中的数量关系是解题的关键.

2.间接设元

即所设的不是所求的,适当选择与所求的未知数有关的某个量为未知数,则易找出符合题意的数量关系,从而得到方程.

例7李伟从家里骑摩托车到火车站,如果每小时行30千米,那么比火车开车时间早到15分钟;若每小时行18千米,则比火车开车时间迟到15分钟.现在李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站,求李伟此时骑摩托车的速度应该是多少?

【分析】本题中所求值,不容易直接从中寻找关系,但注意从家到火车站的路程和距火车开车的时间为定值,这时可以用“退一步”的方式先求出某定量,则其他关系就会迎刃而解.

解:设李伟家到火车站的路程为x千米,则由火车开车时间固定这一等量关系,可简便得出方程:,解得.

答:李伟此时骑摩托车的速度为千米时.

【点评】本题利用火车“规定”的时间为相等关系建立方程求解,属于间接设未知数的方法,希望同学们认真体会这种解题思想.

3.辅助设元

在一些较复杂的实际问题中,当出现的未知量较多,并且有时看起来似乎缺少条件时,可考虑设辅助未知数,在已知条件和所求解的问题之间“牵线搭桥”,从而能顺利找出等量关系并列出方程.一般来说,辅助未知数设而不求,在解题过程中会自行消去.

例8某公司生产普通汽车和新能源汽车,该公司在去年的汽车产量中,新能源汽车占总产量的10%,今年由于国家能源政策的导向和油价上涨的影响,计划将普通汽车的产量减少10%,为保持总产量与去年相等,求今年新能源汽车的产量应增加的百分数.

【分析】在求解今年新能源汽车的产量应增加的百分数时,需要的是去年的汽车生产总量.因此设今年新能源汽车的产量应增加的百分数为x的同时,还应设去年的汽车生产总量为a,根据“今年总产量与去年相等”列出方程求解.

解:设去年的总产量为a,今年新能源汽车的产量应增加的百分数为x,则去年普通汽车和新能源汽车的产量分别为90%a和10%a,今年的普通汽车和新能源汽车的产量分别为90%a(1-10%)和10%a(1+x),根据题意列方程,得90%a(1-10%)+10%a(1+x)=a,解得x=0.9=90%,所以今年新能源汽车的产量应增加的百分数为90%。

【点评】对于一些较复杂的问题,往往条件隐含关系交错.这时不妨引入辅助未知数,在已知量和未知量之间架起一座“桥梁”,方便理顺各个量之间的关系,列出方程.而所设辅助未知数在解题过程中会被消去,即满足辅助未知数“设而不求”的特点.

一元二次方程的解题技巧篇2

方法1：妙用韦达定理

方法2：妙用“ a2+b2=（a+b）2→ab=0”

若a2+b2=（a+b）2，即题设等式（方程）两边的次数相同，且左边两项的幂的底数a与b的和等于右边幂的底数a+b，则有ab=0.

例3 解方程：（4-x）2+x2=16.

思路点拨：仔细观察原方程两边的次数和底数的特点，妙用“a2+b2=（a+b）2→ab=0”进行求解.

解：原方程可化为（4-x）2+x2=42.

∵ （4-x）+x=4，

∴ （4-x）x=0，解得x1=0， x2=4.

方法3：妙用换元

例4 解方程：144x2-36x+2=0.

思路点拨：仔细观察发现原方程的二次项144x2=（12x）2 ，一次项-36x=-3（12x），于是将12x 作整体换元，则可以把问题化难为易.

解：设y=12x，则原方程可化为y2-3y+2=0，

∴ y1=2或y2=1，即12x =2或12x =1.

方法4：妙用零点分段讨论

例5 解方程：x2-2x-1-4=0.

思路点拨：由于本题是含绝对值的一元二次方程问题，所以一般应利用零作临界值对绝对值进行分段讨论.

方法5：妙用“ x2=x2”

例6 解方程：x2 -6x+9=0.

思路点拨：此题的一般解法是对绝对值进行讨论，但比较繁琐.若注意到“ x2=x2”，则可以化繁为简.

解：∵ x2=x2，

∴x2 -6x+9=0 ，即（x-3）2=0.从而有x=3，解得x=±3.

方法6：妙配方，巧构造

例7 解方程：x2-4x-5x-2+10=0.

思路点拨：由“ x2-4x”联想到完全平方式的展开式，利用配方法构造完全平方式.再结合“x2=x2 ”，把原方程转化为关于x-2的一元二次方程问题.

解：原方程可化为x2-4x+4-5x-2+6=0，

∴（x-2）2-5x-2+6=0，

∴x-22-5x-2+6=0，

∴（x-2-2）（x-2-3）=0，

∴ x-2=2或x-2=3，即x-2=±2或x-2=±3，

解得x1=4，x2=0，x3=5，x4=-1.

例析一元二次方程阅读理解题篇3

近几年, 阅读理解题越来越多地出现在各地中考试卷上, 阅读材料或取自教科书, 或取自课外材料, 内容丰富多彩, 篇幅一般较长.本文在各地中考题中, 就考查一元二次方程知识的阅读理解题精选三例, 供学生们学习参考.

一、学用新的知识题

例1阅读材料:已知方程p2-p-1=0, 1-q-q2=0且pq≠1, 求的值.

解:由p2-p-1=0及1-q-q2=0, 可知p≠0, q≠0.又pq≠1,

根据p2-p-1=0和的特征可得, 是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根, 则p+q1=1, 即

根据阅读材料所提供的方法, 完成下面的解答.

已知:2m2-5m-1=0, 且m≠n, 求的值.

剖析:很容易发现, 所阅读的解题过程中先通过变形, 再利用韦达定理求解.学生们可以利用类比的方法来求出的值.

解:由得2n2-5n-1=0.

根据2m2-5m-1=0与2n2-5n-1=0的特征且m≠n可知, m与n是方程2x2-5x-1=0的两个不相等的实数根,

二、判断正误纠错题

例2阅读下题的解答过程, 请判断其是否有错.若有错误, 请你写出正确解答.

已知m是关于x的方程mx2-2x+m=0的一个根, 求m的值.

解:把x=m代入原方程, 化简得m3=m, 两边同除以m, 得m2=1, m=1.

把m=1代入原方程检验, 可知m=1符合题意.

剖析:本例是考查二次项系数含有参数的方程根的意义及方程同解变形知识和分类讨论的数学思想方法.在m3=m中, m可以为零, 两边同除以m, 便失去一根;由m2=1知m是1的平方根, 故由m2=1可得m=±1.因此, m1=0, m2=1, m3=-1, 并分别代入原方程检验, 均符合题意.

解:本题解答有错误, 正确的解法是:

把x=m代入原方程并化简得m3-m=0, 即m (m-1) (m+1) =0, 故m1=0, m2=1, m3=-1.

把m的三个值分别代入原方程检验, 均符合题意.故m的值是0, 1, -1.

三、探索解的规律题

例3阅读下列材料:关于x的方程:

……

由上述的观察、比较、猜想、验证, 可以得出结论:如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和, 方程右边的形式与左边完全相同, 只是把其中的未知数换成了某个常数, 那么这样的方程可以直接得解.

巧用二元一次方程组解题篇4

一、巧解数字问题

例1-个两位数，十位数字比个位数字大1，且两个数字的和为11，求这个两位数.

分析；引入两个未知数x、y，分别表示十位数字和个位数字，根据题意得到：x=y+1，x+y=11.两个方程联立得到方程组，解方程组即可.

分析：根据同类项的定义可知，相同字母的指数一定相同，于是我们得到m+n=7，m-n=5.二者联立就可以得到方程组，从而求得m、n的值，根据同类项的定义可知，其字母及其指数相同，系数不同，而最大的负整数为-1，由此可得答案.

点评：同类项中系数不同，字母及其指数相同，注意当系数为一1时，数字“1”要省略不写，只写出负号即可.

分析：图2的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积等于大正方形的面积与四个小正方形的面积的差，因此分别求得大、小正方形的边长便成为解题的关键.

练一练

1.一个两位数，比它的十位数字与个位数字的和大9.交换十位数字与个位数字得到一个新两位数，且新两位数比原来的两位数大27.求原两位数.

2.如图3，四个完全相同的小长方形拼成一个大长方形.已知大长方形的周长为120 cm，求大长方形的面积.

巧用圆系方程解题篇5

一、过直线与圆交点的圆系

过直线l:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) 与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) 交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ (Ax+By+C) =0 (λ为参数) .

【例1】求过直线l:2x+y+4=0与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的两个交点且面积最小的圆的方程.

解析一:将直线和圆联立方程组求出交点坐标, 进而求圆心和半径即得圆的方程.

解析二:根据圆的几何性质, 圆心M即为直线l与l的中垂线的交点, 其中中垂线过点C (-1, 2) , 故中垂线方程为x-2y+5=0.由

${\begin{cases} x - 2 y + 5 = 0 ‚ \\ 2 x + y + 4 = 0 \end{cases}$

得圆心 $Μ (- \frac{13}{5}, \frac{6}{5}) . Μ$ 到直线l的距离 $d = \frac{4}{\sqrt{5}} ‚ ∴ r^{2} = \frac{1}{4} (R^{2} - d^{2}) = \frac{4}{5}$ .故所求圆的方程为 $(x + \frac{13}{5})^{2} + (y - \frac{6}{5})^{2} = \frac{4}{5} .$

解析三:可设所求圆的方程为x2+y2+2x-4y+1+λ (2x+y+4) =0, 整理得

x2+y2+ (2+2λ) x+ (λ-4) y+1+4λ=0.

要使此圆面积最小, 需使其半径最小, 故需使其圆心 $(- 1 - λ, 2 - \frac{λ}{2})$ 在直线l:2x+y+4=0上, 解得 $λ = \frac{8}{5}$ .故所求圆的方程为 $(x + \frac{13}{5})^{2} + (y - \frac{6}{5})^{2} = \frac{4}{5} .$

二、过两圆交点的圆系

过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 (D $_{1}^{2}$ +E $_{1}^{2}$ -4F1>0) 与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 (D $_{2}^{2}$ +E $_{2}^{2}$ -4F2>0) 的交点的且不含圆C2的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ (x2+y2+D2x+E2y+F2) =0且λ≠-1.

当λ=-1时, 方程为 (D1-D2) x+ (E1-E2) y+F1-F2=0.若C1与C2相交, 则它表示C1与C2的公共弦所在直线方程;若C1与C2相切, 则它表示C1与C2的过它们的切点的公切线方程.

【例2】求经过两圆C1:x2+y2+6x-4=0和C2:x2+y2+6y-28=0的交点, 并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.

解析一:将两圆联立方程组求出交点坐标A, B, 设圆心M坐标为 (a, a-4) , 利用MA=MB求出a的值, 进而求出半径.

解析二:根据圆的几何性质, 圆心M即为直线x-y-4=0与C1C2连线的交点, C1C2:x+y+3=0.由

${\begin{cases} x - y - 4 = 0 ‚ \\ x + y + 3 = 0 \end{cases}$

得圆心 $Μ (\frac{1}{2}, - \frac{7}{2})$ .公共弦AB方程为x-y+4=0, C1到公共弦AB的距离 $d = \frac{1}{\sqrt{2}} ‚ ∴ (\frac{A B}{2})^{2} = R_{1}^{2} - d^{2} = 13 - \frac{1}{2} . Μ$ 到公共弦AB的距离 $d^{'} = \frac{8}{\sqrt{2}} ‚ ∴ r^{2} + d^{'}^{2} + (\frac{A B}{2})^{2} = \frac{89}{2}$ .故所求圆的方程为 $(x - \frac{1}{2})^{2} + (y + \frac{7}{2})^{2} = \frac{89}{2} .$

解析三:可设所求圆的方程为x2+y2+6x-4+λ (x2+y2+6y-28) =0, 整理得 (1+λ) x2+ (1+λ) y2+6x+6λy-4-28λ=0其圆心 $(- \frac{3}{1 + λ} ‚ - \frac{3 λ}{1 + λ})$ 在直线x-y-4=0上, 解得λ=-7.故所求圆的方程为 $(x - \frac{1}{2})^{2} + (y + \frac{7}{2})^{2} = \frac{89}{2} .$