空间图形中的轨迹问题（精选七篇）
空间图形中的轨迹问题 篇1
在知识网络的交汇点处设计试题已成为竞赛、高考等各类考试命题的热点, 空间图形中的轨迹问题正是在这一背景下出现的, 本文仅就空间图形中的轨迹类型加以盘点, 旨在揭示题型规律, 探索解题方法,
一、轨迹是离散的点
例1 已知平面α//平面β, 直线l⊂α, 点P∈l, α、β间的距离是12, 则β内与点P的距离是20、且与直线l的距离为13的点的轨迹为 ( ) .
(A) 一个圆 (B) 两条直线
(C) 两个点 (D) 四个点
解析:如图1, 设点P在平面β上的射影为O, 则PO=12, 在β内与点P距离为20的点的轨迹是以O为圆心, 以16为半径的圆;在β内与直线l的距离为13的点的轨迹为两条平行线m、n, 它们到O点的距离均为5, 因为5<16, 所以直线m、n均与圆O交于两点, 即满足条件的轨迹为四个离散的点.故选 (D) .
评注:上述解法类似于解析几何中的交轨法, 体现了分解与组合的数学思想.
二、轨迹是线段
例2 如图2, △PEF为边长为a的正三角形, 四边形EFGH是正方形, 面PEF⊥平面EFGH, M是平面EFGH内一个动点, 且满足MP=MH, 则点M在正方形EFGH内的轨迹为 ( ) . (其中O是正方形EFGH的中心)
解析:在空间与点P、H距离相等的点的轨迹是过线段PH的中点, 且与PH垂直的平面, 又EP=EH=a, 由公理2知点M的轨迹应为面EFGH内过点E的一条线段, 进而可以排除 (C) 、 (D) 选项, 又
评注:借助公理2和特殊点进行排除, 找到了问题解决的突破口, 这是处理选择题的有效策略.
三、轨迹是圆
例3 如图3, 在四棱锥P-ABCD中, AD⊥面PAB, BC⊥面PAB, 底面ABCD是梯形, AB=6, AD=8, BC=4, 若∠APD=∠CPB, 则满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹为 ( ) .
(A) 抛物线的一部分
(B) 椭圆的一部分
(C) 双曲线的一部分
(D) 圆的一部分
解析:由∠APD=∠CPB可知PA=2PB, 在平面PAB内, 以线段AB的中点为坐标原点, 以AB所在的直线为x轴建立如图4所示的平面直角坐标系xOy, 则A (-3, 0) 、B (3, 0) , 设P点的坐标为 (x, y) , 依题意有
评注:由∠APD=∠CPB将问题转化为平面几何问题后, 还可以由圆的第二定义:圆是平面内到两定点距离的比为常数 (不是1) 的点的轨迹直接获解.
四、轨迹是圆锥曲线
例4 在正三棱锥A—BCD中, 底面边长为6, 侧棱长为
(A) 抛物线 (B) 椭圆
(C) 双曲线 (D) 圆
解析:如图5, 易求得三棱锥A—BCD的侧面和底面所成二面角的大小为30°, 过点P作PO⊥底面BCD于O;作PM⊥棱BC于M, 易知∠PMO就是二面角A—BC—D的平面角, 在Rt△PMO中, PM=2PO, 又PA=PO, 所以PM=2PA, 故P点的轨迹为椭圆在侧面ABC内的一段弧.选 (B) ,
评注:通过二面角的定义挖掘到
五、轨迹是圆锥曲面
例5 如图6, 已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB=BC=BB1=2, ∠ABC=90°, 点O1、O分别是棱A1C1和AC的中点, 将三棱柱绕轴O1O旋转一周, 则线段BC1所形成的轨迹图形为 ( ) .
解析:以B为坐标原点, 建立如图7所示的空间直角坐标系B-xyz, 设点P为线段BC1上的任一点, 点P在轴线OO1上的射影为M, P点的竖坐标为t, 则t∈[0, 2], 易知P、M两点的坐标分别为P (0, t, t) 、M (1, 1, t) , 设
评注:通过建立空间直角坐标系, 寻求到双曲线方程d2- (t-1) 2=1, t∈[0, 2], 说理清晰, 曲线方程起到了以数助形的作用.
六、轨迹是几段圆弧
例6 在棱长为
解析:如图8, 由正方体的对称性知只需考查点P在面AB1与面AD1内的情况即可.
1.当点P在面AB1时, 因为
2.当点P在面A1C1内时, 点P的轨迹是以A1为圆心, 以
综合1、2知所求的轨迹总长度为
评注:本题对空间想象能力的要求较高, 寻找到
以空间图形为素材的轨迹问题, 具有新颖性、综合性、交汇性的特点, 解决此类问题要善于把空间问题化归为平面问题, 然后再借助平面几何或解析几何知识进行突破.
探讨动态中空间图形的平面轨迹问题 篇2
一、“动静结合”求动点的轨迹问题
例1:(重庆高2010届学业调研第二次试题)如图所示,AC1是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线,P为底面正方形 ABCD内一动点,若△APC1的面积S△APC1=,则动点P的轨迹为()。
A.圆的一部分B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
解:∵AC1是平面AC的斜线段且等于√3,△APC1的面积为定值
∴动点P到定线段AC1的距离为,点P在以直线AC1为轴、半径为 的圆柱面上∴圆柱面与平面AC斜交,因此点P在平面AC内的轨迹为圆柱面与平面AC所截得的椭圆。故选B。
变式引申:(重庆高2010届考前模拟测试)如图,面ABC⊥α,D为AB,|AB|=2的中点,∠CDB=60°,P为α内的动点,且P 到直线CD的距离为√3,则∠APB的最大值为________。(答案:60°)
【点评】“能够想象出几何图形的直观形象及其运动和变化”是空间想象能力高层次的标志。通过图形(或点、线)的旋转(点动成线,线动成面,面动成体),运用“运动”的思想,构造“模型”,还原几何体的真实结构和关系,从而感知元素的相互位置关系和数量关系。“动静结合”作指导是解决这类问题的关键。
二、空间问题平面化,回归曲线的定义求解点的轨迹
例2: 已知正四面体A-BCD,动点P在△ABC内,且点P到底面BCD的距离与点P到A的距离相等,则动点P的轨迹为(
)。
A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分
C.抛物线的一部分D.一条线段
解:如图,过P点作PO⊥面BCD, OE⊥BC,连接PE、PA,
∴PE⊥BC,∠PEO为二面角A-BC-D的平面角。设∠PEO=α则sinα为定值且0 ∵=sinα,PO=PA,=sinα由圆锥曲线的第二定义,点P的轨迹为椭圆的一部分,故选A。 【点评】空间问题平面化是解决空间问题的一般方法。把空间元素间的数量关系转化为该平面上数与形的关系并结合常见曲线的定义往往是有效的。 三、利用解析法探索动点轨迹 例3:(重庆2010年高考理科试题)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行与另一条直线的平面的轨迹是( ) A.直线 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线 解:设a,b为垂直异面直线,OE为它们的公垂线段,OE=d, bα,a∥α,过点O做直线c∥a,以O坐标原点建立直角坐标系,如图所示,设动点P(x,y)过P做PM⊥x轴,PN⊥y轴,再过O作NF∥OE,连接PF,由题意有PM=PF, ∵PF2=NF2+PN2,PM2=NF2+PN2,∵NF=OE=d,PN=|x|,PM=|y| ∴y2-x2=d2,即动点P的轨迹为等轴双曲线。所以选D。 例4:题目见例1 解:建立平面直角坐标系如图所示,设P(x,y),直线AP的方程为y=kx,过C作CE⊥AP,连接C1E,C1C⊥面AC,∴C1E⊥AP∴C1E为C1点到直线AP的距离。 ∵C(0,√2) ∴CE=∴C1E= 又∵AP=√x2+y2 = √x2+k2x2 ∴S△APC1= |AP|·|C1E| 化简得x2(k2+3)=1又∵k2= (x≠0)∴3x2+y2=1(x≠0),当P在AC上时,当P在AC上时P为(0,1),当P在AB上时,P为(,),当P在AD上时,P为(- , ),均满足题意,∴动点P的轨迹为 ∴3x2+y2=1椭圆的一部分,答案选B。 【点评】解决几何问题的一般方法无外乎是将立体几何问题平面化,将平面几何问题解析化(代数化),最终运用解析几何中的参数法求出点的轨迹方程。在求轨迹方程中坐标系的建立是最重要的环节。建立恰当坐标系,可以避免复杂的计算。 四、利用向量法探索动点轨迹 例5题目见例1 解:建立空间直角坐标系如图所示,设P(x,y,0) ∵正方体棱长为1 ∴C1 (0,√2,1), AC1=√3, ∴S△APC1= |AP|·|AC1|sin∠C1AP =√x2+y2 ·√3 sin∠C1AP ① ∵S△APC1= , cos∠C1AP= 代入①化简得3x2+y2=1,当P在AB上时 ,当P在 AD上时, 动点P的轨迹为3x2+y2=1 椭圆的一部分。 近几年的高考数学试题, 设置了一些数学学科内的综合题, 它们的新颖性、综合性, 值得我们重视.在知识网络交汇点处设计的试题能充分体现考生处理问题的能力, 空间图形中的轨迹问题正是在这种背景下“闪亮登场”, 如2008年高考浙江卷第10题, 2004年高考重庆卷第12题等.这些空间图形轨迹问题的出现是符合新课程标准指出的考查方向和要求的, 因其涵盖了平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识, 对数学思想和方法的考查充分, 故足以使我们认真注意对这类空间图形轨迹问题的研究与学习.由于这类问题涉及的知识点多, 思维方式和常规问题有一定差异, 题目的综合性、灵活性比较强, 加之学生对这种形式的试题接触不多, 所以他们往往找不准解题的切入点, 对此, 本文结合一些相关的实例, 对空间图形中的若干轨迹问题进行探讨, 给出相应的求解策略, 旨在探索题型规律, 揭示解题方法. 1 利用空间图形本身的特征 结合立体几何中图形本身的点、线、面之间的位置关系特征, 是解决立体几何中轨迹问题的一种重要方法. 例1 (2008浙江高考题理) 如图1, AB是平面α的斜线段, A为斜足, 若点P在平面α内运动, 使得△ABP的面积为定值, 则动点P的轨迹是 ( ) . (A) 圆 (B) 椭圆 (C) 一条直线 (D) 两条平行直线 分析 由于斜线段AB的长度为定值, △ABP的面积为定值, 所以点P到AB的距离PC也为定值, 则以PC为底面半径, 以AB为旋转轴作如图2之圆柱, 由圆锥曲线直观定义可知, 平面α截圆柱所得平面是椭 所以直线l过定点 点评 本题在直线过定点的探求中, 引入了x1, y1, x2, y2等众多字母, 充分利用韦达定理消去x1, x2, y1和y2得到k和m的一个方程, 并沿着最终用k表示m的目标前进, 问题便易如反掌. 例5 已知直线了l: (2m+1) x+ (m+1) y=7m+4 (x∈R) 及圆P: (x-1) 2+ (y-2) 2=25, 求证:无论m为何实数, 直线l与圆P总是相交的. 分析 将直线l的方程变形为 (x+y-4) + (2x+y-7) m=0, 则无论m为何实数, 只要x+y-4=0且2x+y-7=0即可. 证明 解由x+y-4=0与2x+y-7=0组成的方程组, 得直线x+y-4=0与直线2x+y-7=0的交点为 (3, 1) , 而 (3-1) 2+ (1-2) 2=5<25, 所以交点 (3, 1) 在圆P的内部.故无论m为何实数, 直线l与圆P总是相交的. 点评 要善于运用辨证的观点去思考分析, 在动中寻定, 即直线过定点问题, 一般将直线方程改写成 (A1x+B1y+C1) +λ (A2x+B2y+C2) =0的形式, 则直线恒过直线m:A1x+B1y+C1=0与直线n:A2x+B2y+C2=0的交点.圆面, 故动点P的轨迹是椭圆.故选B. 评注 本题充分利用已知条件中空间点线面的特征, 构造满足使得△ABP的面积为定值的空间几何体——圆柱, 抽象的空间点线面到具体的空间几何体, 浑然天成, 设计巧妙, 独具匠心.最后结合圆锥曲线最原始的定义, 返璞归真.本题的解决必须具有良好的空间想象能力与化归能力, 是一个着眼基础、提升能力、让人耳目一新的深入考查学生思维能力的上乘之作. 2 利用解析几何中曲线的定义 把立体几何中的轨迹问题转化成解析几何中曲线的定义加以求解, 其实就是解析几何中曲线的定义的平面的立体化, , 通过对解析几何中曲线定义的深刻理解达到解答立体几何中轨迹问题的目的. 例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, P是侧面BB1C1C内一动点, 若P到直线BC与直线C1D1的距离相等, 则动点P的轨迹所在的曲线是 ( ) . (A) 直线 (B) 圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线 分析 由C1D1⊥平面BB1C1C, 得PC1⊥C1D1, 所以PC1就是点P到直线C1D1的距离, 因此条件转化为点P到BC的距离等于点P到点C1的距离.根据抛物线的定义, 点P的轨迹所在的曲线是抛物线.选D. 评注 本题以立体几何知识为载体, 考查了圆锥曲线的概念等基础知识, 将抛物线的动态定义寓于正方体之中, 体现了知识间的内在联系和整合应用. 3 空间关系转化为平面关系 把立体几何中轨迹问题的特征转化成解析几何中图形的基本特征, 利用解析几何中图形的特征和立体几何本身的性质把立体几何中的轨迹问题求解出来. 例3 在四棱锥P-ABCD中, AD⊥平面PAB, BC⊥平面PAB, 底面ABCD为梯形, AD=4, BC=8, AB=6, ∠APD=∠CPB.满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是 ( ) . (A) 圆 (B) 不完整的圆 (C) 抛物线 (D) 抛物线的一部分 分析 因为AD⊥平面PAB, BC⊥平面PAB, 所以AD//BC, 且 ∠DAP=∠CBP=90°. 又 ∠APD=∠CPB, AD=4, BC=8, 得 即 在平面PAB内, 以AB所在直线为x轴, AB中点为坐标原点, 建立平面直角坐标系, 设点P (x, y) , 则 整理得 x2+y2+10x+9=0. 故选A. 评注 根据题目信息, 利用空间几何性质, 把立体几何问题转化到平面上, 再利用解析几何的方法探求轨迹是本题的闪光之处. 4 利用空间直角坐标系 利用数与形相结合的解析几何的方法来研究空间轨迹, 把立体问题平面化来简化问题, 从而为我们用平面解析几何的方法来研究空间问题提供方便, 而空间向量的应用以及空间坐标系的使用对于立体几何问题的解决也引入了解析的方法, 把空间问题平面化, 正是空间解析法中的重要应用. 例4 如图3, 正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为1, 点P是平面AC内的动点.若点P到直线A1D1的距离等于点P到直线CD的距离, 则动点P的轨迹所在的曲线是 ( ) . (A) 抛物线 (B) 双曲线 (C) 椭圆 (D) 直线 分析 如图3, 以A为原点, AB所在的直线为x轴, AD所在的直线为y轴, 建立平面直角坐标系.设P (x, y) , 作PE⊥AD于E, DF⊥A1D1于F, 连接EF, 易知 |PF|2=|PE|2+|EF|2=x2+1. 又作PN⊥CD于N, 则|PN|=|y-1|. 依题意得|PF|=|PN|, 即 化简得 x2-y2+2y=0. 故选B. 评注 将立体几何与解析几何中的圆锥曲线巧妙地整合在一起, 相互交汇和渗透, 有利于培养学生运用多学科知识解决问题的能力. 5 利用平面几何的有关性质 对于轨迹的处理, 学生最熟悉的还是在某个平面内的问题.因此把空间问题平面化, 利用平面几何的有关性质来解决问题, 也是一种值得注重的方法. 例5 若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与棱AB的距离相等, 则动点P的轨迹与三角形ABC组成的图形可能是__. 评注 本题把所有的关系都转化到三角形ABC所在的平面内来考虑是解题的突破口, 而画出正确的图形更需要利用平面几何的性质.从本题可以看出, 平面几何的有关性质, 在求解空间轨迹问题中, 的确能起到很大的作用.充分利用平面几何的有关性质, 不仅能发现规律、找到解题途径, 还能加深对数学思想方法的理解. 需要指出的是以上几种策略、方法不是孤立的, 而是互相联系、互相渗透的.从以上解决问题的过程中可以看到, 其一般方法不外乎是将立体几何问题平面化, 将平面问题解析化, 其中空间关系向平面关系的转化是最根本的方法, 它贯串整个解决问题的过程. 平面解析几何与立体几何都是高中数学的重点内容.平面解析几何的本质是用代数方法研究平面图形的性质;而立体几何更多的是研究空间中的点线面的位置关系及其性质.在现行高中数学新课程标准中, 立体几何与平面解析几何已经作为几何模块出现在数学必修内容之中.对这两门几何学科的学习研究, 并将其内容加以综合运用, 是目前我们面临的一项研究课题.本文上述研究的空间的动点的轨迹问题, 就是两种几何结合的典型例子.在以后我们的教学过程中可以选择适当的内容和学生一起研究此类问题.这样的研究不仅可以使学生复习、巩固解析几何中研究轨迹问题的方法, 更重要的是可以对空间的点线面的关系进行动态的回顾, 提高学生探究、解决问题的能力. 参考文献 [1]王勇.探求以空间图形为背景的轨迹问题[J].数学通报, 2004, (9) . 一、 直觉法 直觉法就是根据试题的结构特征，对动点的位置进行分析，从而排除题目中的选项，得出正确答案.通常要取特殊点、特殊图形、特殊数字加以分析，有的情况需要进行不止一次的尝试方能得出答案. 例1 （2008年浙江卷）如图1，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ） 图1 A 一个圆 B 一个椭圆 C 一条直线 D 两条平行直线 解析采取排除法.直线是不可能的，因为在无穷远处，点到直线的距离为无穷大，故面积也为无穷大，从而排除C与D.又题目在“斜线段”下标注重点符号，试着改成“垂线段”来处理，则轨迹为圆.故剩下的椭圆即为答案，选B. 图2 解题回顾本题其实就是一个平面斜截一个圆柱的问题（如图2），注意截面与圆柱的轴线所成的角不同时，得到的截面形状也不同.由平面与圆柱的截面的性质判断，可得点P的轨迹为椭圆. 二、 定义法 许多空间动点的轨迹问题的求解都要利用化归思想，先将空间的动点问题转化为几何体的某一个侧面或底面上的动点问题，再利用圆或圆锥曲线的各种定义进行判断，从而得出动点的轨迹. 图3 例2 （2004年北京卷改编）如图3，在正方体ABCDA1B1C1D1的侧面AB1内有一个动点P到直线A1B1的距离是到直线BC的距离的2倍，则动点P的轨迹为（ ） A 圆的一部分（弧） B 椭圆的一部分 C 双曲线的一部分 D 抛物线的一部分 解析由题意知在正方体ABCDA1B1C1D1的侧面AB1内有一个动点P到直线A1B1的距离是到点B的距离的2倍，符合椭圆的第二定义，所以动点P的轨迹是椭圆的一部分.故选B. 解题回顾本题是基础题，解题的关键是利用BC⊥侧面AB1，将点P到直线BC的距离转化为PB的长. 图4 例3 已知P是正四面体SABC的面SBC上一点，点P到面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ） A 圆 B 离心率为223的椭圆 C 离心率为3的双曲线 D 抛物线 解析设正四面体SABC的棱长为2a，取BC的中点D，则AD=SD=3a，且∠ADS是二面角ABCS的平面角.先求出cos∠ADS，再求出sin∠ADS.从而可将点P到平面ABC距离与到点S的距离相等转化成点P到点S的距离与到直线BC的距离之比是一个常数. 图5 在△ADS中，有4a2=3a2+3a2-2×3a2cos∠ADS，所以cos∠ADS=13，所以sin∠ADS=223. 如图5，过P作PO1⊥平面ABC，垂足为O1，过P作PE⊥BC，垂足为E，连结O1E，则O1E⊥BC，所以∠O1EP也是二面角ABCS的平面角，所以有sin∠O1EP=223. 在Rt△PO1E中，O1PPE=sin∠O1EP=223,故PSPE=O1PPE=223＜1.由椭圆的第二定义，知动点P的轨迹所在的曲线是椭圆.故选B. 解题回顾本题主要考查立体几何与圆锥曲线知识的综合运用能力，具体涉及轨迹方程的求法及二面角、余弦定理与椭圆的第二定义等相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化. 三、 推理法 有的试题无法利用直觉法或定义法求解，但可通过分析动点的特征，发现动点的变化引发出一个平面或直线与另一个平面或直线的位置关系，于是动点的轨迹问题就转化为空间中直线与平面、平面与平面的位置关系问题，再利用公理、判定定理与性质定理等推证出动点的轨迹. 例4 （2006年北京卷）平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是（ ） A 一条直线 B 一个圆 C 一个椭圆 D 双曲线的一支 图6解析如图6，设l与l′是动直线的两个任意位置，则这两条直线确定一个平面β，且α的斜线AB⊥β.由过直线上一点有且只有一个平面与这条直线垂直，可知过定点A且与AB垂直的所有直线在且都在这个平面内，故动点C在且都在平面β与平面α的交线上，故选A. 说明无独有偶，2008年高考湖南卷中本题再次出现： 平面α的一条斜线l与平面α交于点P，Q是l上一定点，过点Q的动直线m与l垂直，那么m与平面α交点的轨迹是（ ） A 一条直线B 一个圆 C 一个椭圆 D 一条抛物线 例5 已知点P是棱长为2的正八面体的一个对角面上的一个动点，若P到不在该对角面上的一个顶点的距离是到在该对角面上的某个顶点的距离的2倍，则动点P的轨迹是（ ） A 圆（弧）的一部分 B 抛物线的一部分 C 双曲线的一部分 D 椭圆的一部分 图7解析如图7，设不在该对角面上的一个顶点为A，在该对角面上的某个顶点为B.若点P到点A的距离为点P到点B的距离的2倍，由平面上到两个定点的距离之比是定值的点的轨迹为一个圆，知点P的轨迹为一个球.又点P是正八面体的一个对角面上的一个动点，该对角面截上述球所得的轨迹为一个圆.故选A. 四、 解析法 如果题目中的几何体是长方体、正方体、三条棱两两互相垂直的三棱锥等，我们可以考虑建立平面（或空间）直角坐标系，找出相关的几何等量关系，建立平面上动点的坐标x，y之间的关系式，从而得到动点的轨迹方程，这就是解析法. 例6 已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为2，M为AB的中点，P是底面ABCD上的动点，且满足条件PD1=3PM，则动点P在底面ABCD上形成的轨迹是（ ） A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 解析在底面ABCD上建立平面直角坐标系，设出点P的坐标，写出点M的坐标，根据正方体的性质，利用两点之间的距离公式，写出等式PD1=3PM中涉及的线段的长，代入该等式并整理出关于x，y的方程. 以DA为x轴，DC为y轴建系，故M（2，1），设P（x，y），故PD1=x2+y2+4，PM=（x-2）2+（y-1）2，再代入PD1=3PM，化简得x-942+y-982=7764，故点P的轨迹是圆.故选A. 地面移动式救援机器人的应用范围非常广泛:火灾救援、水灾救援、雪灾救援、地震救援、核泄漏救援、恐怖袭击救援等。当前关于地面移动式救援机器人的研究主要有以下几个方面:运动学、动力学建模与动力学分析;相关控制技术的研究;通讯技术研究;导航技术研究;侦测获取技术研究以及试验仿真技术研究等[1~4]。 移动式救援机器人系统主要由移动式基座 (履带式或轮式) 、机械手臂、导航系统、视觉系统、控制系统以及辅助设备构成。相比传统的固定式机器人, 移动式基座使救援机器人活动的范围大大增加, 操纵目标的灵活性也显著提高;机械手臂负责实施机器人工作具体的操作动作:抓、放动作, 移动动作;导航系统处理语音、图像等信息。 移动式救援机器人系统的机械手臂在救援过程中扮演着重要的角色。当机械臂需要对不同的目标进行操作时, 对于机械臂工作端运动的控制就显得非常关键。机械臂控制问题的基础是对其动力学特性的准确分析, 关于移动式救援机器人系统的动力学问题有很多的研究方法, 其中比较著名的有:拉格朗日方程、凯恩方程以及牛顿-欧拉方程等[5~8]。 国内外学者对移动式救援机器人的控制问题进行了大量的研究[9,10]。李志军[11]等人基于力控制思想, 提出了一种移动式机械臂的自适应-鲁棒控制算法。Wang等人[12]研究了考虑未知动力学影响时移动式机械臂的运动/力控制问题。S.Lin[13]等人针对移动式机械臂的轨迹控制问题, 提出了一种神经网络控制算法。A. Hassam[14]等人针对移动机械臂系统的平台存在缓慢、不准确动力学响应时, 提出了一种模糊运动学控制算法。 本文首先建立了移动式救援机器人的运动学模型, 接着, 基于分析力学思想, 利用欧拉-拉格朗日方程, 得到了移动式救援机器人系统的动力学方程, 以此为基础, 研究了移动式救援机器人转铰空间轨迹的跟踪控制问题, 设计了相应的控制策略;最后, 以一个两关节的移动式救援机器人系统为例, 对本文得到的运动学、动力学模型与控制算法进行了仿真验证。 1 救援机器人的系统建模 本文研究的救援机器人系统是一个移动式机械手臂系统, 如图1所示。移动式救援机器人系统由移动基座与n关节机械臂组成, 各关节由转动铰连接。本文主要采用的三个坐标系分别是:惯性坐标系 (以系统运行轨道上的某一点为圆点) 、基座坐标系 (以移动基座为原点) 及局部坐标系 (以机械臂各关节旋转轴为z轴) 。移动式救援机器人工作端的运动学关系式如下: 其中: E为惯性坐标系下工作端的速度 (线速度与角速度) ; E为惯性坐标系下工作端的加速度 (线加速度与角加速度) ; B为惯性坐标系下移动基座的速度 (线速度与角速度) ; B为惯性坐标系下移动基座的加速度 (线加速度与角加速度) ; 为惯性坐标系下机械臂各关节转铰的角速度; 为惯性坐标系下机械臂各关节转铰的角加速度; JB为移动基座变量的雅克比矩阵; Jφ为机械臂关节转铰变量的雅克比矩阵。 由于本文研究的救援机器人系统, 是一个典型的多刚体系统, 而研究多刚体系统动力学的方法很多, 其中以拉格朗日乘子方程最为常用, 采用该方法得到的救援机器人系统动力学方程如下: 上式中各符号的物理量的意义如下: :救援机器人系统的广义坐标;Bx:移动基座的位置/姿态变量。:救援机器人系统的惯性矩阵;MB (θ) :移动基座的惯性矩阵;Mφ (θ) :机械臂的惯性矩阵;MC (θ) :移动基座和机械臂之间的耦合惯性矩阵。:救援机器人系统的离心力、哥氏力项;CB:移动基座的离心力、哥氏力项;Cφ:机械臂的离心力、哥氏力项;:救援机器人系统的重力项;gB (θ) :移动基座的重力项;gφ (θ) :机械臂的重力项;:机械臂各关节转铰力矩项。 2 机械臂转铰空间轨迹的跟踪控制 关于机械臂的控制方法有很多, 无论哪种控制算法, 其具体实施的地点都是在移动式救援机器人系统的转铰空间, 转铰空间是机器人系统各组成部分的关节活动空间。本文首先利用关节空间控制的思想来设计最简单、最实用的PD控制算法, 进而对其相应的控制性能进行分析。 前面已得到转铰空间内的移动式救援机器人系统的动力学方程, 为系统的机械臂转铰空间轨迹跟踪控制提供了实施目标。方程 (3) 右侧的作用力项f可表示为如下形式: 其中:fB是移动基座控制力项;fM是机械臂各关节控制力项。移动式救援机器人系统采用何种控制策略, 最终将通过f中的各控制项来加以实现。 首先, 令: 式 (5) 就是移动式救援机器人系统转铰空间内的PD控制算法, 其中θ=θ -θd, θd为关节的期望轨迹, Gp, GD为正定增益矩阵。下面利用李雅普诺夫方法检验一下该控制算法的稳定性。 令李雅普诺夫函数为如下形式: 上式中的第一项表示的是移动式救援机器人系统的动能项, 第二项表示的是PD控制器中的比例反馈项GP。李雅普诺夫函数V除了在构型θ=θd, =0之外, 其它情况下都是正定有界函数。 对式 (6) 两端求导得: 由式 (3) 得: 将式 (8) 带入到式 (7) 得: 由于式 (12) 中重力项g (θ) 的存在, 无法得出之结论, 因此, PD控制 (5) 的稳定问题不能得到保证。为了克服这一问题, 现将式 (5) 改为如下形式: 将改进后的式 (13) 带入到式 (9) 中得: 通过以上的分析和改进可知, 新的PD控制算法 (13) 可以保证移动式救援机器人系统的控制稳定。 同样, 基于前面得到的转铰空间内的移动式救援机器人系统动力学方程 (3) , 设计一种相对较复杂的非线性控制算法, 根据方程 (3) 的形式, 设该非线性控制算法的具体形式如下: 由于移动式救援机器人系统的惯性矩阵B (θ) 是可逆的, 对比式 (16) 与式 (3) 可知, θn等同于θ的二阶矩阵, 即: 逆动力学控制算法的基本思想是:通过θ 的二阶导数作为系统输入项, 来实现对系统关节轨迹的跟踪控制。令: 其中:的期望值是增益矩阵。 通过观察可知, 式 (18) 是一个比式 (5) 稍复杂的PD控制器。将式 (18) 带入式 (17) 得: 进一步整理得: 其中。方程 (20) 就是移动式救援机器人系统关节空间控制的误差方程。本文基于该方程, 实现对移动式救援机器人系统关节轨迹的跟踪控制。方程 (16) 与方程 (18) 构成移动式救援机器人系统在其转铰空间内的逆动力学控制算法。 以上研究的PD控制算法和逆动力学控制算法, 将在接下来的仿真分析部分, 利用计算机软件进行相应的动力学仿真分析, 以检验方法的有效性。 3 仿真分析 本节以一个两关节移动式救援机器人系统为例, 利用基于转铰空间的-PD控制算法和逆动力控制算法, 借助Matlab软件对其进行动力学仿真, 该移动式救援机器人系统的具体参数如表1所示。移动式救援机器人执行目标操作时, 转铰空间期望轨迹的起点与终点分别是: [ π/ 4, -π/ 2 ] ;[ -π/ 2, π/3 ], 仿真时间:T=8s, 仿真步长:0.01s。移动基座质量分别是500Kg、5000Kg, 图2、3是采用的是PD控制算法;图4、5采用的是逆动力学控制算法。 从以上的仿真结果可以得出如下结论: 如图2~图5所示, 移动式救援机器人系统采用基于转铰空间的PD控制算法和逆动力学控制算法时, 其转铰空间的轨迹跟踪误差值初始时较大, 关节转铰的速度与转铰驱动力矩出现较明显的突变, 经过3到4秒钟时间的调整, 被控制在微小值范围之内, 且这种偏差不随时间的推移进一步放大。移动基座质量的增加, 对于关节空间轨迹跟踪偏差的影响不大。 对比图2、图3与图4、5可知:当移动式救援机器人在逆动力学控制算法的控制下, 关节期望轨迹的跟踪误差非常理想的控制在零值位置, 控制算法的性能快速、稳定, 因此, 逆动力学控制算法的控制特性, 明显优于PD控制算法。 通过以上的仿真结果可知, 利用本章提出的基于转铰空间的逆动力学控制算法, 可以对移动式救援机器人系统关节空间轨迹实现精确的控制, 同时, 可降低机器人各转铰速度和控制力矩, 有效地保护移动式救援机器人系统的驱动电机。 4 结论 本文针对移动式救援机器人系统在其转铰空间内的控制问题进行了研究, 分别设计了带重力补偿项的PD控制算法和逆动力学控制算法, 并相应的进行了动力学仿真。通过分析仿真结果可知:基于转铰空间的PD控制算法与逆动力学控制算法的控制精度较高;移动式救援机器人系统的移动基座质量, 对于关节空间期望轨迹的跟踪影响甚微, 转铰速度和控制力矩得到很好的控制。 随着光纤通信快速发展, 以广泛应用于工业、通讯、国防、广播电视等网络传输领域。光纤通信线路已由核心骨干网络往短距离通信的光纤城域网、局域网发展。在从事光纤网络工程施工维护中所要应用到的仪表OTDR (光时域反射仪) , 它是利用光线在光纤中传输时的瑞利散射和菲涅尔反射所产生的背向散射而制成的精密的光电一体化仪表, 被广泛应用于光缆线路的维护、施工之中, 进行对光纤长度、光纤的传输衰减、接头衰减和故障定位等作出准确的测试分析。 下面浅显的向大家介绍OTDR的基本参数的设置并结合自己在OTDR使用过程中的一些测试设置经验和轨迹曲线图的相关理解分析。在利用OTDR对光纤线路的测试时, 一般可分为自动模式和手动模式这两种方式进行。当需要大概的了解光缆线路状况时, 可采用自动模式, 只需要设置折射率、波长最基本的参数, 其它由仪表在测试中自动设定, 按下自动测试键, 整条轨迹曲线和事件表都会被显示, 测试时间短, 速度快, 操作简单;手动模式需要对几个主要的参数进行设置, 以达到对测试曲线上的事件详细分析, 通过变换、移动游标, 放大曲线图等功能对事件进行准确定位, 提高测试的分辨率, 增加测试的精度, 在光纤线路的实际测试工作中经常采用。为便于广大技术人员对OTDR测试有更熟练的维护操作技能常识, 总结分析理解设置测试的参数与轨迹曲线示图的理解分析共大家分享。 2. 如何运用理解OTDR的光纤测试参数的设置 2.1 光纤测试波长 (WL) 的设置理解: 在光纤通信网络传输模式中有多模和单模两种传输波长模式。一般来说多模光纤 (MM) 的测试是以20dB/24dB (850nm/1300nm) 而单模光纤 (SM) 的测试是以32dB (1310dB/1550dB/1625dB) 。在通常的光纤通信网络传输模式中单模光纤为主导是以1310nm和1550nm两种波长模式。由于光系统模式的行为与传输波长直接相关, 不同的波长有着各自不相同的光纤衰减特性及光纤连接中不同的行为。因此在对中短距离光纤测试时经常变换不同的波长模式测试, 以达到最佳判断测试结果。以常用单模光纤传输模式1550nm波长模式就比1310nm波长模式光纤对弯曲更为敏感, 1550nm比1310nm单位长度衰减更小、1310nm比1550nm测得熔接或连接器损耗更高。为此, 光纤测试应与系统传输的波长相同, 这意味着1550nm光系统需选择1550nm的波长模式。由于1550nm波长对光纤弯曲损耗的影响比1310 nm波长敏感得多, 因此不管是光缆线路施工还是光缆线路维护中, 使用OTDR对某条光缆光纤传输链路进行全程光纤轨迹曲线测试, 一般多选用1550nm波长。如果1310nm和1550nm两波长的测试轨迹曲线的形状是一样的, 测得的光纤接头损耗值也基本一致。若在1550 nm波长测试没有发现问题, 那么1310 nm波长测试也肯定没问题。所以对于宏弯的检测就的需要设置两种波长, 选择1550 nm波长测试, 可以很容易发现光纤全程是否存在弯曲过度的情况。若发现曲线上某处有较大的损耗台阶, 再用1310 nm波长复测, 若在1310 nm波长下损耗台阶消失, 说明该处的确存在弯曲过度或者损耗过大的情况, 就需要进一步核查排除。若在1310 nm波长下损耗台阶同样大, 则在该处光纤可能还存在其他问题, 还需要查找排除。在实际的光缆维护工作中对两种波长都进行测试比较, 有正增益现象和超过距离光缆线路均需进行双向测试分析计算, 才可获得好的测试结论。 2.2 光纤测试距离范围DR (Dynamic range) , 分辨率 (Resolution) 和脉冲宽度PW (Pulse Width) 的设置: 由于光纤制造以后其折射率基本不变, 这样光在光纤中的传播速度就不变, 测试距离和时间就是一致的, 实际上测试距离就是光在光纤中的传播速度乘以传播时间, 对测试距离的选取就是对测试采样起始和终止时间的选取。测量时选取适当的测试距离可以生成比较全面的曲线轨迹图, 对有效的分析光纤的特性有很好的帮助, 要根据自己的实际经验, 选取对整条光纤光缆链路长度的1.5-2倍之间距离宜佳;脉冲宽度的设置:脉宽的设置一般有10ns, 20ns, 50ns, 100ns, 1us, 2us等参数选择脉冲宽度。选择时取决于被测光纤的长度, 当需要测试长距离的光纤时, 尽量选用较大脉宽, 而若要测试短距离光纤 (如距离小于1km) , 则最好选择最小脉宽, 由于脉宽的大小决定了空间分辨率, 所以测试时, 在轨迹曲线信噪比许可的情况下, 尽量选择小脉宽会得到事件点更准确的结果。同时脉冲宽度的大小也直接影响着测试区间的大小, 也就决定了两个可辨别事件之间的最短距离, 即分辨率。显然脉冲宽度越小, 分辨率越高, 脉冲宽度越大测试距离越长。要理解分辨率它在OTDR中有四种主要分辨率指标:取样分辨率、显示分辨率 (又叫读出分辨率) 、事件分辨率和距离分辨率。 取样分辨率是两取样点之间最小距离, 此指标决定了OTDR定位事件的能力。取样分辨率与脉宽和距离范围大小的选取有关。显示分辨率是仪器可显示的最小值。OTDR通过微处理系统将每个取样间隔细分, 使光标可在取样间隔内移动, 光标移动的最短距离为水平显示分辨率、所显示的最小衰减量垂直显示分辨率。事件分辨率是指OTDR对被测链路中事件点的分辨门限, 也就是事件域值 (探测阈) , OTDR把小于这个阈值的事件变化当作曲线中斜率均匀变化点来处理。事件分辨率由光电二极管的分辨阈决定, 根据两接近的功率电平, 指定可被测量的最小衰减。距离分辨率指仪器所能分辨的两个相邻事件点间的最短距离, 此指标类似与事件盲区, 与脉宽、折射率参数有关。指定可被测量的最小衰减。 2.3 光纤折射率 (IOR) 和后向散射系数 (BSC) 的设置: 折射率参数与距离测量有关, 后向散射系数则影响反射与回波损耗的测量结果, 这参数一般是由光纤生产厂商给的。在使用的单模光纤的折射率基本在1.4600～1.4800范围内, 对于G.652单模光纤, 在实际测试时若用1310 nm波长, 折射率一般选择在1.4680, 散射系数-80.3;若用1550 nm波长, 折射率一般选择在1.4685, 散射系数-82.3。折射率选择不准, 影响测试光纤长度。在光缆维护和故障排查时很小的失误便会带来明显的误差, 测试时一定要引起足够的重视。 2.4 平均时间AV G的设置: 在设置平均时间上可预设的有4个 (15sec, 30sec, 1min, or3min) 也可在秒输入区输入新的时间, 范围在1-3600秒。平均时间的设置可降低测试结果曲线的噪声水平, 提高判读精度。测试时设置一个特定的时间长度, 长的平均时间使你能够获得较好的结果轨迹曲线。如果你使用较短的测试脉宽或测试较长的光缆区段, 应选择较长的平均时间。根据实际情况在设置参数好后, 按开始键, OTDR即可发送光脉冲并接收由光纤链路散射和反射回来的光, 每隔一定的时间 (即取样时间间隔) 就对光电探测器的输出取样, 所有取样点的连线通过平滑处理构成了该光纤链路的OTDR曲线。 3. 光纤测试轨迹图形的示图分析 OTDR在光纤网络建设和维护工作中对光纤的传输特性及故障检测都有非常直观的轨迹和标记图形位置。包括有:光纤两点间损耗的测量, 接续损耗的测量, 起始段错误的测量, 端到端损耗的测量, 光纤长度的测量, dB损耗的测量。下面介绍的是常见轨迹曲线图可对照从现象到产生的原因进行理解分析。 3.1 正常的轨迹曲线分析。 如图一是显示的一条OTDR的测试轨迹曲线图, 该轨迹包括了起始端至A段光纤 (盲区光纤) , B端为测试光纤末端的反射峰 (终端) 。AB段两点间测试轨迹为倾斜下行, 随着距离的长, 总损耗就会越来越大。用总损耗 (dB) 除以AB间距离就是这段光纤的平均损耗。 3.2 光纤接续损耗的测量。 如图二是一个反射峰的曲线现象图, B端有可能中间是一个跳纤接点。例如:通过适配器对接光纤后, 在测试时就会出现像图中这样的轨迹图。当然也会有例外的情况, 能够出现反射峰, 很多情况是因为末端的光纤端面是平整光滑的, 端面越平整, 反射峰越高。用OTDR得到接续损耗的B点的精确损耗, 一般采用前后双测法, 这种方法能够准确的评估接头好坏。比如:一段光纤从A到B测试的损耗是0.8dB, 从B到A测试的损耗是-0.2dB, 那么实际上此点的损耗就是 (-0.2dB+0.8dB) /2=0 3.3 起始端的错误测量。 如图三显示了一个起始段错误测试的例子, 造成起始段错误测量的原因有可能是仪表的尾纤没有插好, 或者光脉冲根本打不出去, 再有就是断点位置比较近, 所使用的距离、脉冲设置又比较大。先查看OTDR端有没有错误连接情况;再查看引导纤有没问题;最后就是要更改OTDR的参数距离和脉宽的设置问题。 3.4 光纤损耗的测试。 如图四轨迹图中比较常见, 轨迹图A端出现一个明显的台阶, 多数为该纤芯打折, 弯曲过小, 受到外界损伤等因素。轨迹中的A端是比较大的一个损耗点, 也可以称为事件点, 轨迹曲线在A点向下掉, 称为非反射事件, 如果B端曲线在该点向上翘就是反射事件, 这时, 该点的损耗点就成了负值, 但并不是说他的损耗小了, 这是一种伪增益现象, 造成这种现象的原因是由于接头两侧光纤的背向散射系数不一样, 接头后光纤背向散射系数大于前段光纤背向散射系数, 而从另一端测则情况正好相反, 折射率不同也有可能产生增益现象。所以要想避免这种情况, 只要用上述图三的双向测试法就可以。 3.5 光纤存在断点。 如图五中的轨迹曲线图在末端无反射峰, 如果知道光纤原来的距离, 在没有到达纤芯原来的距离, A端轨迹就掉下去, 这说明光纤在A端出现断点或者有可能是在A端光纤的质量问题。 4. 结束语 在掌握并运用好OTDR测试光缆定位的同时, 它也要求维护人员掌握好仪表性能, 使得操作技能更熟练精确的判断信号轨迹曲线特征。 摘要：在通信网络传输领域中光纤通讯已成为当今信息网络传输的主要手段, 而光纤测试技术是光纤应用领域里最广泛而又最基本的一项专业技能。为便于广大技术人员对OTDR测试有更熟练的维护操作技能常识, 总结分析理解设置测试的参数与轨迹曲线示图的理解分析共大家分享。本文着重讲述OTDR的灵活运用和轨迹曲线示图理解分析。 关键词：OTDR,光纤测试,轨迹曲线,理解分析 参考文献 [1]田国栋;基于OTDR技术的光纤测试方法探讨[J];现代电子技术;2009第19期 [2]邓大鹏;光纤通信原理[M];人民邮电出版社;2009年 轨迹规划对于提高机器人的使用效率,减小工作过程中的振动具有重要意义。合理的轨迹规划能够使驱动电机力矩和功率得到的充分的利用,并从软件控制上提高机器人的整体性能。 华南理工大学的陈伟华等人[1],对机器人的连续路径进行了工作空间内的轨迹规划,在路径的拐角处采用关节空间轨迹规划进行过渡,但是,并没有进行相应的动力学优化。同济大学的李万莉等人[2],江南大学的凌家良等人[3],进行了纯关节空间内的轨迹规划,也没有进行相应的动力学优化。 对于每个运行阶段,机器人都有不同的运动学和动力学要求,例如,对于本文中所述的Delta两自由度高速并联工业机器人,在竖直方向物体抓取和释放阶段,要求机器人末端执行器应尽量减小水平方向的抖动,同时应尽量减小关节空间所需驱动力矩和功率,并且减小水平方向的抖动应作为这一阶段的主要矛盾加以解决,即拥有良好的工作空间性能;在水平转运阶段和中间过渡阶段,要求减小关节空间驱动力矩和功率,同时应尽量减小关节空间的输入角速度,即拥有良好的关节空间性能。由于纯工作空间和纯关节空间轨迹规划得到的拟合曲线一般具有良好的工作空间或关节空间性能,为了从理论上提高机器人的性能,本文将对机器人的竖直物体抓取和释放阶段采用工作空间五次样条函数轨迹规划方法, 对水平转运阶段和中间过渡阶段采用关节空间五次样条函数轨迹规划方法,最后通过实验验证方法的合理性。 1工作空间关键点的选取 综合,工作空间和关节空间轨迹规划中工作空间关键点的需求,在工作空间选取了9个工作空间关键点,如图1所示,其中曲线01、78段为工作空间轨迹规划段,该阶段是前面所述的物体抓取和释放曲线段,应具有良好的工作空间性能,即应尽量减小水平方向的抖动。其余曲线段为关节空间轨迹规划阶段,该阶段要求机器人具有良好的关节空间驱动力矩和功率,由于该阶段的关键点对称布置,得到的工作空间拟合曲线没有较大的抖动。 关键点2、6为工作空间拐弯半径控制点,对该两点的位置进行调节不仅可以改变拐弯半径,还可以调节23、34、45、56曲线段竖直方向的抖动;关键点1、7为工作空间轨迹规划和关节空间轨迹规划的衔接点,在该两点处应该选择合理的工作空间速度和加速度数值,以求得到较好的工作空间和关节空间拟合曲线。 现只对其中一个关键点数值选取进行陈述,另一关键点数值选取与该关键点类似。当速度选择不合理时,该关键点(时间为0.2s,蓝色曲线和红色曲线衔接处)成为速度拟合曲线的尖点(即从曲线上明显突出的点),并且该关键点附近的加速度急剧变化、数值较大,如图2、图3所示,分别为关键点处速度选择较小、 较大时的关节空间左驱动电机拟合曲线。 当加速度选择不合理时,该关键点成为速度曲线的曲率变化关键点,并且该关键点的加速度出现尖点,如图4、图5所示,分别为关键点处加速度选择较小、较大时的关节空间左驱动电机拟合曲线。 当关键点处的速度、加速度选择不合理时,还会出现工作空间位移拟合曲线过冲,速度拟合曲线抖动较大,加速度拟合曲线峰值较大,所需驱动电机力矩峰值和功率峰值急剧增加的现象,这里不再赘述。 2混合轨迹规划五次样条函数模型 混合轨迹规划五次样条函数模型是工作空间轨迹规划和关节空间轨迹规划相结合的数学模型,工作空间轨迹规划曲线段01、78段使用工作空间轨迹规划数学模型,工作空间的五次样条函数轨迹规划数学模型如式(1所示。 边界条件如式(2)所示: 通过计算得到五次样条函数系数如式(3)所示: 其余关节空间轨迹规划曲线段使用关节空间轨迹规划数学模型,关节空间五次样条函数数学模型如式 (4) 所示,其中,分别表示关节空间内角位移、速度、加速度、加加速度以及加加速度的一阶导数, x表示每段拟合曲线首尾的时间差。 为了使每段关节空间内关节角位移、速度、加速度、加加速度拟合曲线连接处连续可导,需要建立合理的边界条件。Delta两自由度高速并联工业机器人有两个关节输入量,现只对关节角1的边界条件进行阐述,关节角2的边界条件与关节角1相同,不同之处在于工作空间内7个关键点经过运动学逆解得到的关节空间内的7关键点的数值不同。根据已经给定的关节角1的已知量和每段拟合曲线的边界条件建立如下方程式。 拟合曲线1独有方程式: 拟合曲线1、2共有方程式: 拟合曲线2独有方程式: 拟合曲线n独有方程式: 将得到关节空间内从关键点1到关键点7的7个点的含有36个未知量的36个关于时间的线性方程,对其进行整理得到矩阵:B=KA。 其中: 是36 × 36的时间矩阵; B是36 × 1的由已知量组成的矩阵; A为待求的方程组的系数; 系数矩阵A=K-1B,通过计算得到了关节角1的拟合曲线的系数矩阵A,即得到了关节角1从关键点1到关键点7的拟合曲线,同理可得到关节角1从关键点7到关键点1的拟合曲线,关节角2的拟合方法与关节角1类似, 不再赘述。 3动力学轨迹规划优化模型 混合轨迹规划的动力学优化模型,结合了工作空间轨迹规划的动力学优化模型和关节空间轨迹规划的动力学优化模型,在工作空间轨迹规划01、78曲线段使用工作空间动力学轨迹优化数学模型进行动力学优化;其余关节空间轨迹规划曲线段使用关节空间的动力学轨迹优化数学模型进行动力学优化。 Delta机器人混合空间轨迹规划流程如图6所示,其中判断1为选取的工作空间关键点处速度、加速度是否合理,即关节空间中拟合曲线,速度是否为尖点,并且加速度是否急剧变化、数值较大;工作空间中拟合曲线,位移是否过冲,速度拟合曲线抖动是否较大,加速度拟合曲线峰值是否较大,以及所需驱动电机力矩峰值和功率峰值是否急剧增加、数值较大。判断2为得到的工作空间内末端执行器的速度是否小于等于速度所要求的最大峰值,为了增加机器人的末端执行器的运行速度,应尽量使末端执行器的速度维持在峰值;判断3为得到的工作空间内的末端执行器的加速度是否小于等于加速度所要求的最大峰值。判断4为得到的关节空间内的拟合曲线的关节角位移、速度是否没有过冲,速度、 加速度、加加速度拟合曲线峰值是否相差较小;判断5为得到的关节驱动力矩峰值和功率峰值是否相差较小, 为了充分利用驱动电机的性能,应尽量使每条拟合曲线段内的关节驱动力矩或驱动功率维持在峰值附近。以上判别量都是时间的函数,修改每段拟合曲线的时间即可对运动学和动力学的拟合曲线进行整体优化。 4拟合曲线分析 根据Delta机器人工作空间和关节空间的混合轨迹规划五次样条函数模型及其动力学优化模型,编写机器人的Python语言混合空间轨迹规划程序,得到的拟合曲线如图7~图9所示,其中,蓝色、黑色曲线为工作空间轨迹规划得到的拟合曲线,红色、绿色曲线为关节空间轨迹规划得到的拟合曲线。 图7为混和轨迹规划法得到的关节空间内左右驱动关节运动学拟合曲线,由上至下分别表示驱动关节角位移、速度、加速度。由图可以看出,关节空间内的位移、速度拟合曲线均连续可导,加速度拟合曲线连续但不可导。左右驱动关节的速度大小均小于8rad/s,左驱动关节加速度峰值小于200rad/s2,右驱动关节加速度峰值小于150rad/s2。 图8为混合轨迹规划法得到的工作空间内末端执行器x轴方向和y轴方向拟合曲线,由上至下分别表示末端执行器的位移、速度、加速度拟合曲线。由图可以看出, 利用以上混合轨迹规划五次样条函数模型及其动力学优化模型,得到的工作空间内末端执行器的位移、速度拟合曲线均连续可导,加速度拟合曲线连续但不可导,拟合曲线x轴方向和y轴方向速度峰值大小约为3m/s,加速度峰值大小为60m/s2,得到的工作空间内的x、y轴方向速度、加速度拟合曲线的峰值相差较小。 图9为混合轨迹规划法动力学优化后得到的关节空间内驱动电机力矩和功率拟合曲线。由图可知,左右驱动关节力矩拟合曲线和功率拟合曲线均连续但不可导, 左驱动关节力矩拟合曲线峰值大小小于80N.m,右驱动关节力矩拟合曲线峰值大小小于等于90N.m,左右关节驱动力矩峰值大小相差较小;左右驱动电机的功率拟合曲线为取绝对值后的拟合曲线,左驱动关节功率拟合曲线峰值大小小于400w,右驱动关节功率拟合曲线峰值大小小于550w,左右关节驱动功率峰值大小相差较大。 由Delta机器人的混合轨迹规划五次样条函数模型及其动力学优化模型得到的拟合曲线分析可知,在末端执行器竖直抓取和释放物体01、78曲线段,将末端执行器水平x方向是否抖动作为主要衡量指标,将末端执行器y方向速度极值大小,关节空间速度、加速度大小, 驱动电机力矩极值大小和功率极值大小等作为次要衡量指标,可知混合轨迹规划法得到的工作空间内末端执行器竖直运行阶段拟合曲线明显好于关节空间轨迹规划法得到的拟合曲线,这将十分有利于提高抓取和释放物体时末端执行器的稳定性;在末端执行器的水平转运和中间过渡阶段,将末端执行器x方向速度极值大小,关节空间速度、加速度大小,驱动电机力矩极值大小和功率极值大小等作为主要衡量指标,将末端执行器y方向是否抖动作为次要衡量指标,可知混合轨迹规划法得到的工作空间内末端执行器水平转运和中间过渡阶段拟合曲线明显好于工作空间轨迹规划法得到的拟合曲线,这将十分有利于提高Delta机器人的实际控制性能,同时降低了所需驱动电机的力矩和功率,具有很强的实用价值。 5实验结果分析 为了对混合轨迹规划程序结果的实际应用价值进行验证,从Copley交流伺服电机驱动器中读取了驱动电机的实际运行参数,图10、图11中紫红色曲线分别为左右驱动电机的位移曲线。从图中可以看出,利用混合空间轨迹规划法得到的驱动电机的实际位移曲线均连续可导,与理论规划结果图7对比可知,实际的位移曲线对时间轴做了翻转,但两曲线的趋势相同。 图12、图13为左右驱动电机速度图,绿色曲线为轨迹规划指令曲线,紫红色曲线为驱动电机的实际速度曲线,与理论规划结果图7对比可知,测得的速度曲线对时间轴做了翻转,实际速度曲线稍有抖动,相对于纯工作空间或纯关节空间轨迹规划得到的拟合曲线,工作空间和关节空间轨迹规划得到的拟合曲线更有利于提高机器人末端执行器和机器人的实际控制性能。 6结束语 【空间图形中的轨迹问题】相关文章： 多维空间中轨迹追踪系统的研究现状09-10 让数学在孩子灵动的指尖上跳跃——“空间与图形”教学中动手操作常见问题、归因分析及对策研究09-11 空间与图形教学反思专题05-25 中班数学活动：图形与空间05-20 三维空间手写轨迹检测系统的研究与设计10-15 小学空间与图形教学探究论文04-29 谈图形与空间的对比关系09-10 小学数学空间与图形课程教学09-11 新课程理念下“空间与图形”的教学策略05-31空间图形中轨迹问题的求解策略 篇3
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