向量中的三角形四心

第一篇：向量中的三角形四心

三角形四心的向量表示

从动和静两个角度看三角形中四“心”的向量表示

平面几何中中三角形的四“心”,即三角形的内心、外心、重心、垂心。在引入向量这个工具后，我们可以从动和静两个角度看三角形中的四“心”的向量表示，其一可以使我们对三角形中的四“心”有全新的认识;其二使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更清楚的认识。

一.从静止的角度看向量的四“心”

1.已知点O是三角形ABC所在平面上一点，若OAOBOC0，则O是三角形ABC的(

)

(A)内心

(B)外心

(C)重心

(D)垂心

分析：若OAOBOC0，则OAOBOC，设以OA、OB为邻边的平行四边形为OACB,OC与AB交于点D,则D为AB的中点,由OAOBOC得,OCOC,即C、O、D、C四点共线,故CD为ABC的中线,所以O在边AB的中线上,同理可证, O在边AC的中线上, O在边BC的中线上所以O是三角形ABC的重心.

 2. 已知点O是三角形所在平面上一点，若OAOBOBOCOCOA,则O是三角形ABC的(

)

(A)内心

(B)外心

(C)重心

(D)垂心

分析:由OAOBOBOC得,OB(OAOC)0,即OBCA0,所以OBC,A同理可证:OCAB,OABC,所以O是ABC的垂心.

3. 已知点O是三角形所在平面上一点，若aOAbOBcOC0,则O是三角形ABC的(

)

(A)内心

(B)外心

(C)重心

(D)垂心

分析::若aOAbOBcOC0,又因为OBOAAB,OCOAAC,则(abc)OAbABcAC0.所以AObcABACABAC,因为与分别表示AB和AC方向上的单位向量,设abc|AB||AC||AB||AC|ABAC+,则AP平分BAC.又AO、APAP共线，BO平分BAC，知AO平分BAC。同理可证，|AB||AC|CO平分BAC。从而O是ABC的内心。

2224.已知点O是三角形所在平面上一点，若OAOBOC，则O是三角形ABC的(

)

(A)内心

(B)外心

(C)重心

(D)垂心

222222分析：因为OAOBOC，所以OAOBOC，即OAOBOC，所以O是ABC的外心。

二.从运动的角度看三角形的四“心”

1.已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足OPOA(ABAC),R，则动点P一定通过ABC的(

)

(A)内心

(B)外心

(C)重心

(D)垂心 解:OPOA(ABAC) ,可得AP(ABAC),由于ABAC表示以AB,AC为邻边的平行四边形的对角线,所以点P在边BC的中线所在直线上,,故动点P的轨迹一定通过ABC的重心. 2.已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足ABAC+ OPOA,R，则动点P一定通过ABC的(

) |AB||AC|(A)内心

(B)外心

(C)重心

(D)垂心

ABABACACABAC+ 得，AP+ 。由于+ 表分析：由OPOA|AB||AC||AB||AC||AB||AC|示BAC的平分线所在的方向向量。故当R时，动点则动点P一定通过ABC的内心。

3已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足ABAC+  ,R，则动点P一定通过ABC的(

) OPOA|AB|cosB|AC|coCs(A)内心

(B)外心

(C)重心

(D)垂心

ABACABAC+ 得，AP+ 。分析: 由OPOA|AB|cosB|AC|cosC|AB|cosB|AC|cosCABACABBCACBC+ B CBCB,C0由于所以cosAB|B|coAsC|C|cos|AB|coBsA|C|C。即点P的轨迹是过点A且垂直于BC的直线，故动点P的轨迹一定通过ABC的垂心。 APB0C4. 已知O平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足OBOCOP2ABAC+ ,R，则动点P一定通过ABC的(

) sA|C|coC|AB|coBs(A)内心

(B)外心

(C)重心

(D)垂心

ABAC+ |AB|cosB|AC|cosCABACABAC+ ,当R时, + 表示垂直于可得DP|AB|cosB|AC|cosC|AB|cosB|AC|cosCOBOCOBOC分析:设BC的中点为为D,则OD,所以由OP22BC的向量,所以DP为线段BC的垂直平分线,故动点P的轨迹一定通过ABC的外心. 上面通过动和静两个角度看三角形的四”心”的向量表示,得出了椒优美的结论,使我们对向量的四心有了新的认识,更好的体会到辩证的和谐的统一.

第二篇：向量与三角形四心的一些结论

【一些结论】：以下皆是向量

1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0 2 若P是△ABC的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积) 3 若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边)

4 若P是△ABC的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|²(AP就表示AP向量 |AP|就是它的模)

5 AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心6 AP=λ(AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心 7 AP=λ(AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞)或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心

8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点

【以下是一些结论的有关证明】

1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，延长CO交AB于D，根据向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。必要性：已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，∵O是内心∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，所以四边形OMAN是平行四边形根据平行四边形法则，得向量OA=向量OM+向量ON=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量02.已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},求P点轨迹过三角形的垂心OP=OA+入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},OP-OA=入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},AP=入{(AB /|AB|^2*sin2B)+AC /(|AC|^2*sin2C)},AP•BC=入{(AB•BC /|AB|^2*sin2B)+AC•BC /(|AC|^2*sin2C)},AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180° -B) / (|AB|^2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|^2*sin2C)},AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|^2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|^2*2sinC cosC)},AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0，即AP•BC=0，P点轨迹过三角形的垂心3.OP=OA+λ

(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))

OP-OA=

λλ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP=(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|sinB=|AC|sinC,所以AP与AB+AC共线AB+AC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D，∴点P过

三

角

形

重

心

。

4.OP=OA+

λλ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)OP=OA+(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)AP•BC=λ(AB•BC cosC/|AB|+AC•BC cosB/|AC|)=λ([|AB|•|BC|cos(180° -B)cosC/|AB|+|AC|•|BC| cosC cosB/|AC|]=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]=0，所以向量AP与向量BC垂直，P点的轨迹过垂心。5.OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|) OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|) OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)AB/|AB|、AC/|AC|各为AB、AC方向上的单位长度向量，向量AB与AC的单位向量的和向量，因为是单位向量，模长都相等，构成菱形，向量AB与AC的单位向量的和向量为菱形对角线，易知是角平分线，所以P点的轨迹经过内心

第三篇：向量中的三角形心的问题

向量中的三角形“四心”问题

学习向量的加减法离不开三角形，三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分，你知道它们的向量表示吗?你能证明吗?下面的几个结论也许能给同学们一点帮助。

结论1：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足点O为△ABC的垂心。 证明：由，所以

。同理可证

，得

，即

，则

。故O为△ABC的垂心。

结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC的垂心。

证明：由。同理可证

，得

。容易得到

，所以

由结论1知O为△ABC的垂心。

结论3：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足ABC的重心。 证明：由，所以

，得

，则点G为△

。设BC边中点为M，则

，即点G在中线AM上。设AB边中点为N，同理可证G在中线CN上，故点G为△ABC的重心。

结论4：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足为△ABC的重心。

，则点G证明：由，得。由结论3知点G为△ABC的重心。

，得结论5：若点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足

，则点P为△ABC的内心。

证明：由于方向的单位向量为，与

，可得

同方向的单位向量为

，则

。设与同

。因为

，知点P在∠A为单位向量，所以向量的平分线上。

同理可证点P在∠B的平分线上。 故点G为△ABC的内心。

在∠A的平分线上。由结论6：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC的外心。

证明：因为，所以

同理得

，所以。故点O为△ABC的外心。

由题意得

，得说明：以上几个结论不仅给大家展示了三角形的“四心”的向量表示，而且是向量加减法应用的很好典例，值得大家关注。

第四篇：向量与三角形的重心

例1 已知A，B，C是不共线的三点，G是△ABC内一点，若GAGBGC0.求

证：G是△ABC的重心.

证明：如图1所示，因为GAGBGC0，所以GA(GBGC).

以GB，GC为邻边作平行四边形BGCD，则有GDGBGC，

所以GDGA.

又因为在平行四边形BGCD中，BC交GD于点E，所以BEEC，

GEED.所以AE是△ABC的边BC的中线，且GA2GE.

故G是△ABC的重心.

点评：①解此题要联系重心的性质和向量加法的意义;②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法.

变式引申：已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点.求证： ADBECF0.

证明：如图2的所示，

ADACCD2ADACABCDBD，即2ADACAB. ADABBD

同理2BEBABC，2CFCACB.

2A(DBEC)FAC

0CFADBE. .ABBAB0C CACB

点评：该例考查了三角形法则和向量的加法.

例2 如图3所示，△ABC的重心为G，O为坐标原点，

OAa，OBb，OCc，试用a，b，c表示OG.

解：设AG交BC于点M，则M是BC的中点，

baABACBCcb.则，ca，

111AMABbCa(cb)(cb2a). 22

221AGA(cb2a.

) 3

311故OGOAAGa(cb2a)(abc). 33

点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键.

变式引申：如图4，平行四边形ABCD的中心为O，

1P为该平面上任意一点，则PO(PAPBPCPD). 4

POPAAO，POPBBO，POPCCO，证法1：

POPDDO，

PBPC PD4POPA， 1即PO(PAPBPCPD). 4

11证法2：PO(PAPC)，PO(PBPD)， 22

1PO(PAPBPCPD). 4

点评：(1)证法1运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则.

(2)若P与O重合，则上式变为OAOBOCOD0.

第五篇：不等式 向量解三角形复习

一、不等式的解法：

1.一元一次不等式：Ⅰ、axb(a0)：⑴若a0，则;⑵若a0，则;

Ⅱ、axb(a0)：⑴若a0，则;⑵若a0，则;

2.一元二次不等式：a0时的解集与有关(数形结合:二次函数、方程、不等式联系) 3. 高次不等式：数轴标根步骤：正化，求根，标轴，穿线(奇穿偶不穿)，定解.4.分式不等式的解法：通解变形为整式不等式; ⑴f(x)g(x)0

;⑵f(x)g(x)0

⑶

f(x)g(x)

0;⑷

f(x)g(x)

0

5.解含有参数的不等式：

解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论： ①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.

③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△)，比较两个根的大小,设根为x1,x2x1x

2、x1x

2、x1x2讨论。

例：解关于x的不等式： ax

2(a1)x10

(aR))

例：实系数方程

f(x)x2

ax2b0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则b2a

1;

(a1)2

(b2)

2ab3 

二、不等式的性质(几个重要不等式) (1)若aR,则|a|0,a20 (2)若a、bR,则a

2b

22ab(或a

2

b

2

2|ab|2ab)(当仅当

a=b时取等号)

(3)如果a,b都是正数，那么

ab时取等号)

2

.(当仅当

a=b极值定理：若x,yR,xyS,xyP,则：

○

1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小;②如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.

常用的方法为：拆、凑、平方;

例1:设x,a(a

21a2)1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则b的取值范围是___。

1b2

例2:若abc，且

1ab



1kbc



ac

恒成立，k的最大值为。

14.函数y=log12a(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，则m



n

的最小值为______________.例3:已知a0,b0且ab

4。

例4:已知a0,b0且a

2

b

2

2



1，。

(5)若ab0,则

ba(当仅当a=b时取等号)

ab2

(6)a0时，|x|ax2

a2

xa或xa;|x|ax2a2

axa

(7)若a、bR,则||a||b|||ab||a||b| (4)几个著名不等式

(1)平均不等式：如果a,b都是正数，那么

2b(当仅当a=b时取等号)即：

1

a

2

a1b平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数)：特别地，ab(

ab2

2ab2

(当a = b时，a2b2

2)

2

(

ab2

2

)

2

ab)

二、不等式的证明不等式证明的常用方法

2

2比较法、综合法、已知a>0，b>0ba

ab

≥a+b.平面向量

㈠向量

AB①单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是

|AB|

);②平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b， 规定零向量和任何向量平行。

注意:①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等;

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平

行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性!(有0); ④三点A、B、C共线AB、

AC共线 ㈡向量的表示方法坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单



位向量i，j

为基底，则平面内的任一向量a可表示为

axiyjx,y

，称

x,y为向量a的坐标，

a=x,y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。



22

abaaaa,a①abab0; ②当a，b同向时，ab=，特别地，

;

㈢.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的

当a与b反向时，ab



b不同向，ab0是为锐角的必要非充分条件; 当为锐角时，ab>0，且a、

任一向量a，有且只有一对实数

1、

2，使a=1e1+2e2。如

(1)若

a(1,1),b(1,1),c(1,2)



，则c______(答：132a

2b);

㈣.平面向量的数量积：



⒈平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量|a||b|cos

叫做a与b



的数量积(或内积或点积)，记作：ab，即ab=abcos

。规定：零向量与任一向量的数量积是

0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。







(1)△ABC中，|AB|3，|AC|4，|BC|5，则ABBC_________ (答：-9);

11a(1,),b(0,),

(2)已知22cakb,dab

，c与d的夹角为4，则k等于____(答：1);

(

325,ab3等于____

); 



(4)已知

a,b

，则a与ab的夹角为____(答：30

)

⒉.b在a

，它是一个实数，但不一定大于0。





已知

|a|3



，

|b|

5，且ab12，则向量a在向量b上的投影为______(答：

125

)



⒊.ab的几何意义：数量积ab等于a的模|a|

与b在a上的投影的积。

⒋.向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：



当为钝角时，ab<0，且a、

b不反向，ab0是为钝角的必要非充分条件; 

③非零向量a，b夹角

的计算公式：cos

;④

|ab||a||b|

。





(1)已知a(,2)，b(3,2)

，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______

(答：>—

43或>　0且

13

);

(2)已知OFQ面积为S，且OFFQ1，若

13

2

,则OF,FQ夹角的取值范围是_________

(五)坐标运算：





设

a(x1,y1),b(x2,y2)，则：向量的加减法运算：ab(x1x2

，

y1y2)

实数与向量的积：ax1,y1x1,y1。平面向量数量积：abx1x2y1y2

向量的模：|a|a2

|a|2x2y

。



已知

a,b

均为单位向量，它们的夹角为60

，那么

|a3b|

=_____

);

Ax

两点间的距离：若

1,y1,Bx2,y2

，则

|AB|(六)向量的运算律：

交换律：abba，



a

a

，abba;

结合律：abcabc,abcabc，ababab



;

分配律：

aaa,ab

ab

，

ab

cacbc。























如下列命题中：① a(bc)abac;② a(bc)(ab)c;③ (ab)|a|









||a|b|||a|b|a||b|(这些和实数比较类似).2|a||b||b|;④ 若ab0，则a0或b0;⑤若





abcb,



a

则ac;⑥

2a

;⑦

Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3(3)在ABC中，①若，则其重心的坐标为



abb

a

2ab)a2b2ab)a22abb2

a;⑧(2;⑨(2

。其中正确的是______(答：①⑥⑨ (七)重要结论

向量平行(共线)的充要条件：

a//bab(ab)2(|a||b|)2

x1y2y1x2=0



(1)若向量a(x,1),b(4,x)



，当x=_____时a与b共线且方向相同(答：2);





(2)已知a(1,1),b(4,x)

，ua2b，v2ab，且u//v，则x=______(答：4);



(3)设

PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k)

，则k=_____时，A,B,C共线(答：-2或11)

向量垂直的充要条件：



abab0|ab||ab|x1x2y1y20

如：AB

ACAB

AC。



OA(1,2),OB(3,m)



(1)已知

，若OAOB，则m答：(3

);

(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B90，则点B的坐标是________(答：(1,3)或(3，-1)); 





(3)已知

n(a,b),

向量nm，且nm

，则m的坐标是________ (答：(b,a)或(b,a))

向量中其他常用的结论：

(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用; 

(2)

||a||b|||ab||a||b|



，特别地，当a、

b同向或有0|ab||a||b| ||a||b|||ab|;当a、 b反向或有0|ab||a||b|||a|b|||a|

b;当a、

b不共线

3Gx1xx,y3

y21y23

133。如①PG3

(PAPBPC)

G为ABC的重心，特别地

PAPBPC0P为ABC的重心;②PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心;

③向量AB

AC((0))所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线);



④|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心;





MPMP

(3)若P分有向线段

P1P

2所成的比为，点

M为平面内的任一点，则

MP

12

1，特别地P为

P1P2



MP的中点MP

1MP

2;



(4)向量PA、

PB、 PC中三终点A、B、C共线存在实数、使得PAPBPC且1. 



平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3),若点C满足OC1OA2OB,其中

1,2R且121,则点C的轨迹是_______(答：直线AB)

解三角形

1.斜三角形中各元素间的关系：

在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。 (1)三角形内角和：A+B+C=π。

(2)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

asinA



bsinB



csinC

2R

。(R为外接圆半径)

(3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

a

，b2， c

2。

cosAcosBcosC。

3.三角形的面积公式： (1)S1absinC==4R2

sinAsinBsinC=

abcABC2

4R

(2)Ss(sa)(sb)(sc)

ABC=

;;

(3)SABC=r·s其中s

abc

(4)射影定理：在△ABC 中，abcosCccosB，b，c。4.两内角与其正弦值：在△ABC 中，ABsinAsinB，

5.解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。

主要方法：三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 (1)角的变换

在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。 sin

ABB

2cos

C2,cos

A2

sin

C2;

(2)边角转化，判定三角形形状时，利用正余弦定理实现边角转化，统成边的形式或角的形式 例1(正、余弦定理判断三角形形状)

在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是() A.等腰直角三角形

B.直角三角形C.等腰三角形

D.等边三角形

例2在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，

若ab

，sinCB，则A=()

(A)300

(B)600

(C)1200(D)1500

例3：在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、

c

，已知a2c2

2b，且

sinAcosC3coAs

sCin 求b

c2

分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)a2b左侧是二次的右

侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

sinAcosC3cosAsinC,过多关

注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法：在ABC中则

siAn

cCos

A3coC由正弦定理及余弦定理

有:a

abc

c2

a

角化边) 化简并整理得：2(a2

c2

)b

2ab

3c

b(.又由已知

2bc

a2c22b4bb2

.解得b4或b0(舍).