三角形四心的向量形式

2023-02-22

第一篇：三角形四心的向量形式

三角形的四心的向量表示

222(1)O为ABC的外心OAOBOC.外心(三条边垂直平分线交点) (2)O为ABC的重心OAOBOC0.重心(三条边中线交点) (3)O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.垂心(高线交点)(4)O为ABC的内心aOAbOBcOC0.内心(角平分线交点)

方向上的单位分别为证明：前三个心的性质都好证明，下面给出问题(4)的证明：cb

向量，平分BAC, cb

)， (cbBCBA同理：BOu() acuABACBCBA11ABAOOB()u()[()u]AB()AC cbaccacab

11()u1a11bccacu()u1得代入解得， bcacabcu0ab三角形的四心的向量表示设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

bc() abccb

化简得(abc)bc， abc

第二篇：平面向量中的三角形四心问题

向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。

一、重心(barycenter)

三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。在重心确定上，有著名的帕普斯定理。

结论1：若G为ABC所在平面内一点，则GAGBGC0G是三角形的重心证明：设BC中点为D，则2GDGBGCGAGBGC0GAGBGCGA2GD,这表明，G在中线AD上同理可得G在中线BE,CF上故G为ABC的重心

结论2：

1若P为ABC所在平面内一点，则PG(PAPBPC)3G是ABC的重心1证明：PG(PAPBPC)(PGPA)(PGPB)(PGPC)03GAGBGC0G是ABC的重心

二、垂心(orthocenter) 三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

结论3：

若H为ABC所在平面内一点，则HAHBHBHCHCHAH是ABC的垂心

证明：HAHBHBHCHB(HAHC)0HBAC0HBAC同理，有HACB,HCAB故H为三角形垂心

结论4：

若H为ABC所在平面内一点，则HABCHBACHCABH是ABC的垂心证明：由HABCHBCA得，HA(HBHC)HB(HCHA)2HBHCHCHA同理可证得，HAHBHBHCHCHA由结论3可知命题成立2222222222222

三、外心(circumcenter) 三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。

结论5：

若O是ABC所在平面内一点，则OAOBOCO是ABC的外心证明：由外心定义可知命题成立

结论6：

若O是ABC所在平面内一点，则(OAOB)BA(OBOC)CB(OCOA)AC O是ABC的外心 3

证明：(OAOB)BA(OAOB)(OAOB)OAOB(OBOC)CBOBOC(OCOA)ACOCOA222222222故OAOBOBOCOCOAOAOBOC故O为ABC的外心

222

四、内心(incenter)

三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。

结论7：

若P为ABC所在平面内一点，则ABACBABCCACBOPOA1OB2OC3(0)ABACBABCCACBP是ABC的内心

证明：记AB，AC方向上的单位向量分别为e1,e2ABACOPOA1AP1(e1e2)ABAC由平行四边形法则知，(e1e2)在AB,AC边夹角平分线上即P在A平分线上同理可得，P在B,C的平分线上故P为ABC的内心

结论8：

若P是ABC所在平面内一点，则aPAbPBcPC0P是ABC的内心证明：不妨设PDPC

aPAbPBcPC0a(PDDA)b(PDDB)cPC0(abc)PC(aDAbDB)0由于PC与DA,DB不共线，则abc0,aDAbDB0b即DBa由角平分线定理，CD是ACB的平分线同理可得其他的两条也是平分线故P是ABC的内心DA

第三篇：三角形内心的向量表示形式

有这样一个高考题：

已知O，N，P在ABC所在平面内，且OAOBOC,NANBNC0，且PAPBPBPC，则点PCPAO，N，P依次是ABC的(

)

(A)重心外心垂心

(B)重心外心内心

(C)外心重心垂心

(D)外心重心内心

答案为C，即分别为外心、重心、垂心，通过此题我们可以发现三角形的这三个“心”的向量表示形式非常和谐美观。而三角形的“心”常见的有四个，我们不仅会想三角形内心的向量表示形式是什么呢?

内心的向量表示有三种常见的形式，网络以及资料上面，对于它们的证明往往不完整，下面我把内心的向量表示形式及其验证的完整过程给读者介绍一下.

(1)点I是ABC所在平面内一点，I是ABC内心的充要条件是

CACBBICI0

CACBABAC分析：此条件直观意义较强，如即分别为与AB、AC同

ABACAIABACABACBCBABCBA向的单位向量AM、AN的差向量MN，由条件可得MN与AI垂直，而MN为等腰AMN的底边，故AI为A的角平分线，同理可得BI、CI亦为角平分线，即I是ABC内心.

上面的条件直观意义较易发现，然而形式较为复杂，下面介绍一个较为简单的充要条件，你能做出证明吗?

(2)如图，ABC的边长分别为a、b、c,点I是ABC所在平面内一

点，I是ABC内心的充要条件是aIAbIBcIC0

证明：已知点I为ABC的内心，延长AI交BC于点D，则BDcBDcac，所以，BD DCbBCbcbcAIABAIbccbc ，所以

acIDBDADabcabc连接BI,则有bcbcbccAD=(ABBD)(ABBC) 因此，AIabcabcabcbcbccbcbc(AB(ACAB))(ABAC) abcbcabcbcbcbcbcbcABAC ABACabcabcabcbcbc(abc)AIbABcAC

aAI(bABbAI)(cACcAI)bIBcIC

aIAbIBcIC0

反之，当aIAbIBcIC0时，可得点I为ABC的角平分线的交点，即为三角形的内心.

此题的证明需要利用角平分线的性质定理与比例的性质，在化简变形的过程中要特别注意. (2)若0为平面内任一点，则点I为ABC的內心的充要条件为abcOAOBOC

abcabcabc证明：由(1)知aIAbIBcIC0 OI a(OIOA)b(OIOB)c(OIOC)0  (abc)OIaOAbOBcOC

 从而有OIabcOAOBOC

abcabcabc上面我们提到的三角形的四个“心”非常奇妙，这一点从它们的向量表示形式上也能够体现出来，在平时的学习中要注意体会;同时向量法是研究几何图形性质的重要方法，而上面的证明过程也告诉我们把几何图形中的几何量用向量表示出来后，灵活运用平面几何中的比例关系及比例的性质是再进行向量运算的“先行军”.