三角形四心向量形式

第一篇：三角形四心向量形式

三角形的四心的向量表示

222(1)O为ABC的外心OAOBOC.外心(三条边垂直平分线交点) (2)O为ABC的重心OAOBOC0.重心(三条边中线交点) (3)O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.垂心(高线交点)(4)O为ABC的内心aOAbOBcOC0.内心(角平分线交点)

方向上的单位分别为证明：前三个心的性质都好证明，下面给出问题(4)的证明：cb

向量，平分BAC, cb

)， (cbBCBA同理：BOu() acuABACBCBA11ABAOOB()u()[()u]AB()AC cbaccacab

11()u1a11bccacu()u1得代入解得， bcacabcu0ab三角形的四心的向量表示 设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

bc() abccb

化简得(abc)bc， abc

第二篇：平面向量中的三角形四心问题

向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。

一、重心(barycenter)

三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。在重心确定上，有著名的帕普斯定理。

结论1：若G为ABC所在平面内一点，则GAGBGC0G是三角形的重心证明：设BC中点为D，则2GDGBGCGAGBGC0GAGBGCGA2GD,这表明，G在中线AD上同理可得G在中线BE,CF上故G为ABC的重心

结论2：

1若P为ABC所在平面内一点，则PG(PAPBPC)3G是ABC的重心1证明：PG(PAPBPC)(PGPA)(PGPB)(PGPC)03GAGBGC0G是ABC的重心

二、垂心(orthocenter) 三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

结论3：

若H为ABC所在平面内一点，则HAHBHBHCHCHAH是ABC的垂心

证明：HAHBHBHCHB(HAHC)0HBAC0HBAC同理，有HACB,HCAB故H为三角形垂心

结论4：

若H为ABC所在平面内一点，则HABCHBACHCABH是ABC的垂心证明：由HABCHBCA得，HA(HBHC)HB(HCHA)2HBHCHCHA同理可证得，HAHBHBHCHCHA由结论3可知命题成立2222222222222

三、外心(circumcenter) 三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。

结论5：

若O是ABC所在平面内一点，则OAOBOCO是ABC的外心 证明：由外心定义可知命题成立

结论6：

若O是ABC所在平面内一点，则(OAOB)BA(OBOC)CB(OCOA)AC O是ABC的外心 3

证明：(OAOB)BA(OAOB)(OAOB)OAOB(OBOC)CBOBOC(OCOA)ACOCOA222222222故OAOBOBOCOCOAOAOBOC故O为ABC的外心

222

四、内心(incenter)

三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。

结论7：

若P为ABC所在平面内一点，则ABACBABCCACBOPOA1OB2OC3(0)ABACBABCCACBP是ABC的内心

4

证明：记AB，AC方向上的单位向量分别为e1,e2ABACOPOA1AP1(e1e2)ABAC由平行四边形法则知，(e1e2)在AB,AC边夹角平分线上 即P在A平分线上同理可得，P在B,C的平分线上故P为ABC的内心

结论8：

若P是ABC所在平面内一点，则aPAbPBcPC0P是ABC的内心证明：不妨设PDPC

aPAbPBcPC0a(PDDA)b(PDDB)cPC0(abc)PC(aDAbDB)0由于PC与DA,DB不共线，则abc0,aDAbDB0b即DBa由角平分线定理，CD是ACB的平分线同理可得其他的两条也是平分线故P是ABC的内心DA

第三篇：三角形内心的向量表示形式

有这样一个高考题：

已知O，N，P在ABC所在平面内，且OAOBOC,NANBNC0，且PAPBPBPC，则点PCPAO，N，P依次是ABC的(

)

(A)重心 外心 垂心

(B)重心 外心 内心

(C)外心 重心 垂心

(D)外心 重心 内心

答案为C，即分别为外心、重心、垂心，通过此题我们可以发现三角形的这三个“心”的向量表示形式非常和谐美观。而三角形的“心”常见的有四个，我们不仅会想三角形内心的向量表示形式是什么呢?

内心的向量表示有三种常见的形式，网络以及资料上面，对于它们的证明往往不完整，下面我把内心的向量表示形式及其验证的完整过程给读者介绍一下.

(1)点I是ABC所在平面内一点，I是ABC内心的充要条件是

CACBBICI0

CACBABAC分析：此条件直观意义较强，如即分别为与AB、AC同

ABACAIABACABACBCBABCBA向的单位向量AM、AN的差向量MN，由条件可得MN与AI垂直，而MN为等腰AMN的底边，故AI为A的角平分线，同理可得BI、CI亦为角平分线，即I是ABC内心.

上面的条件直观意义较易发现，然而形式较为复杂，下面介绍一个较为简单的充要条件，你能做出证明吗?

(2)如图，ABC的边长分别为a、b、c,点I是ABC所在平面内一

点，I是ABC内心的充要条件是aIAbIBcIC0

证明：已知点I为ABC的内心，延长AI交BC于点D， 则BDcBDcac，所以，BD DCbBCbcbcAIABAIbccbc ，所以

acIDBDADabcabc连接BI,则有bcbcbccAD=(ABBD)(ABBC) 因此，AIabcabcabcbcbccbcbc(AB(ACAB))(ABAC) abcbcabcbcbcbcbcbcABAC ABACabcabcabcbcbc(abc)AIbABcAC

aAI(bABbAI)(cACcAI)bIBcIC

aIAbIBcIC0

反之，当aIAbIBcIC0时，可得点I为ABC的角平分线的交点，即为三角形的内心.

此题的证明需要利用角平分线的性质定理与比例的性质，在化简变形的过程中要特别注意. (2)若0为平面内任一点，则点I为ABC的內心的充要条件为abcOAOBOC

abcabcabc证明：由(1)知aIAbIBcIC0 OI a(OIOA)b(OIOB)c(OIOC)0  (abc)OIaOAbOBcOC

 从而有OIabcOAOBOC

abcabcabc上面我们提到的三角形的四个“心”非常奇妙，这一点从它们的向量表示形式上也能够体现出来，在平时的学习中要注意体会;同时向量法是研究几何图形性质的重要方法，而上面的证明过程也告诉我们把几何图形中的几何量用向量表示出来后，灵活运用平面几何中的比例关系及比例的性质是再进行向量运算的“先行军”.

第四篇：三角形的三线、四心及口诀

内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。

外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。 (是充要条件) 重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。 垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。

旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等。 重 心

三条中线定相交，交点位置真奇巧, 重心分割中线段，数段之比听分晓, 垂 心

三角形上作三高，三高必于垂心交, 直角三角形有十二，构成六对相似形, 内 心

三角对应三顶点，角角都有平分线，

三线相交定共点，叫做内心有根源， 高线分割三角形，出现直角三对整， 四点共圆图中有，细心分析可找清。 交点命名为重心，重心性质要明了， 长短之比二比一，灵活运用掌握好。

点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称内心，如此定义理当然。 外 心

三角形有六元素，三个内角有三边, 此点定义为外心，用它可作外接圆,

分别化出锐角、直角、钝角三角形的三线、四心

重心...中线交点... 3个定点的坐标为(x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) 重心坐标就是(x1+x2+x3/3,y1+y2+y3/3)

第五个心：旁心

三角形的旁切圆(与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心叫做旁心。旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

作三边的中垂线，三线相交共一点，

内心、外心莫记混，内切、外接是关键。

第五篇：不等式 向量解三角形复习

一、不等式的解法：

1.一元一次不等式：Ⅰ、axb(a0)：⑴若a0，则;⑵若a0，则;

Ⅱ、axb(a0)：⑴若a0，则;⑵若a0，则;

2.一元二次不等式：a0时的解集与有关(数形结合:二次函数、方程、不等式联系) 3. 高次不等式：数轴标根步骤：正化，求根，标轴，穿线(奇穿偶不穿)，定解.4.分式不等式的解法：通解变形为整式不等式; ⑴f(x)g(x)0

;⑵f(x)g(x)0

⑶

f(x)g(x)

0;⑷

f(x)g(x)

0

5.解含有参数的不等式：

解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论： ①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.

③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△)，比较两个根的大小,设根为x1,x2x1x

2、x1x

2、x1x2讨论。

例：解关于x的不等式： ax

2(a1)x10

(aR))

例：实系数方程

f(x)x2

ax2b0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则b2a

1;

(a1)2

(b2)

2ab3 

二、不等式的性质(几个重要不等式) (1)若aR,则|a|0,a20 (2)若a、bR,则a

2b

22ab(或a

2

b

2

2|ab|2ab)(当仅当

a=b时取等号)

(3)如果a,b都是正数，那么

ab时取等号)

2

.(当仅当

a=b极值定理：若x,yR,xyS,xyP,则：

○

1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小;②如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.

常用的方法为：拆、凑、平方;

例1:设x,a(a

21a2)1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则b的取值范围是___。

1b2

例2:若abc，且

1ab



1kbc



ac

恒成立，k的最大值为。

14.函数y=log12a(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，则m



n

的最小值为______________.例3:已知a0,b0且ab

4。

例4:已知a0,b0且a

2

b

2

2



1，。

(5)若ab0,则

ba(当仅当a=b时取等号)

ab2

(6)a0时，|x|ax2

a2

xa或xa;|x|ax2a2

axa

(7)若a、bR,则||a||b|||ab||a||b| (4)几个著名不等式

(1)平均不等式：如果a,b都是正数，那么

2b(当仅当a=b时取等号)即：

1

a

2

a1b平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数)：特别地，ab(

ab2

2ab2

(当a = b时，a2b2

2)

2

(

ab2

2

)

2

ab)

二、不等式的证明不等式证明的常用方法

2

2比较法、综合法、已知a>0，b>0ba

ab

≥a+b.平面向量

㈠向量

AB①单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是

|AB|

);②平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b， 规定零向量和任何向量平行。

注意:①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等;

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平

行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性!(有0); ④三点A、B、C共线AB、

AC共线 ㈡向量的表示方法坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单



位向量i，j

为基底，则平面内的任一向量a可表示为

axiyjx,y

，称

x,y为向量a的坐标，

a=x,y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。



22

abaaaa,a①abab0; ②当a，b同向时，ab=，特别地，

;

㈢.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的

当a与b反向时，ab



b不同向，ab0是为锐角的必要非充分条件; 当为锐角时，ab>0，且a、

任一向量a，有且只有一对实数

1、

2，使a=1e1+2e2。如

(1)若

a(1,1),b(1,1),c(1,2)



，则c______(答：132a

2b);

㈣.平面向量的数量积：



⒈平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量|a||b|cos

叫做a与b



的数量积(或内积或点积)，记作：ab，即ab=abcos

。规定：零向量与任一向量的数量积是

0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。







(1)△ABC中，|AB|3，|AC|4，|BC|5，则ABBC_________ (答：-9);

11a(1,),b(0,),

(2)已知22cakb,dab

，c与d的夹角为4，则k等于____(答：1);

(

325,ab3等于____

); 



(4)已知

a,b

，则a与ab的夹角为____(答：30

)

⒉.b在a

，它是一个实数，但不一定大于0。





已知

|a|3



，

|b|

5，且ab12，则向量a在向量b上的投影为______(答：

125

)



⒊.ab的几何意义：数量积ab等于a的模|a|

与b在a上的投影的积。

⒋.向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：



当为钝角时，ab<0，且a、

b不反向，ab0是为钝角的必要非充分条件; 

③非零向量a，b夹角

的计算公式：cos

;④

|ab||a||b|

。





(1)已知a(,2)，b(3,2)

，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______

(答：>—

43或>　0且

13

);

(2)已知OFQ面积为S，且OFFQ1，若

13

2

,则OF,FQ夹角的取值范围是_________

(五)坐标运算：





设

a(x1,y1),b(x2,y2)，则：向量的加减法运算：ab(x1x2

，

y1y2)

实数与向量的积：ax1,y1x1,y1。平面向量数量积：abx1x2y1y2

向量的模：|a|a2

|a|2x2y

。



已知

a,b

均为单位向量，它们的夹角为60

，那么

|a3b|

=_____

);

Ax

两点间的距离：若

1,y1,Bx2,y2

，则

|AB|(六)向量的运算律：

交换律：abba，



a

a

，abba;

结合律：abcabc,abcabc，ababab



;

分配律：

aaa,ab

ab

，

ab

cacbc。























如下列命题中：① a(bc)abac;② a(bc)(ab)c;③ (ab)|a|









||a|b|||a|b|a||b|(这些和实数比较类似).2|a||b||b|;④ 若ab0，则a0或b0;⑤若





abcb,



a

则ac;⑥

2a

;⑦

Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3(3)在ABC中，①若，则其重心的坐标为



abb

a

2ab)a2b2ab)a22abb2

a;⑧(2;⑨(2

。其中正确的是______(答：①⑥⑨ (七)重要结论

向量平行(共线)的充要条件：

a//bab(ab)2(|a||b|)2

x1y2y1x2=0



(1)若向量a(x,1),b(4,x)



，当x=_____时a与b共线且方向相同(答：2);





(2)已知a(1,1),b(4,x)

，ua2b，v2ab，且u//v，则x=______(答：4);



(3)设

PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k)

，则k=_____时，A,B,C共线(答：-2或11)

向量垂直的充要条件：



abab0|ab||ab|x1x2y1y20

如：AB

ACAB

AC。



OA(1,2),OB(3,m)



(1)已知

，若OAOB，则m答：(3

);

(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B90，则点B的坐标是________(答：(1,3)或(3，-1)); 





(3)已知

n(a,b),

向量nm，且nm

，则m的坐标是________ (答：(b,a)或(b,a))

向量中其他常用的结论：

(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用; 

(2)

||a||b|||ab||a||b|



，特别地，当a、

b同向或有0|ab||a||b| ||a||b|||ab|;当a、 b反向或有0|ab||a||b|||a|b|||a|

b;当a、

b不共线

3Gx1xx,y3

y21y23

133。如①PG3

(PAPBPC)

G为ABC的重心，特别地

PAPBPC0P为ABC的重心;②PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心;

③向量AB

AC((0))所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线);



④|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心;





MPMP

(3)若P分有向线段

P1P

2所成的比为，点

M为平面内的任一点，则

MP

12

1，特别地P为

P1P2



MP的中点MP

1MP

2;



(4)向量PA、

PB、 PC中三终点A、B、C共线存在实数、使得PAPBPC且1. 



平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3),若点C满足OC1OA2OB,其中

1,2R且121,则点C的轨迹是_______(答：直线AB)

解三角形

1.斜三角形中各元素间的关系：

在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。 (1)三角形内角和：A+B+C=π。

(2)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

asinA



bsinB



csinC

2R

。(R为外接圆半径)

(3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

a

，b2， c

2。

cosAcosBcosC。

3.三角形的面积公式： (1)S1absinC==4R2

sinAsinBsinC=

abcABC2

4R

(2)Ss(sa)(sb)(sc)

ABC=

;;

(3)SABC=r·s其中s

abc

(4)射影定理：在△ABC 中，abcosCccosB，b，c。4.两内角与其正弦值：在△ABC 中，ABsinAsinB，

5.解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。

主要方法：三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 (1)角的变换

在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。 sin

ABB

2cos

C2,cos

A2

sin

C2;

(2)边角转化，判定三角形形状时，利用正余弦定理实现边角转化，统成边的形式或角的形式 例1(正、余弦定理判断三角形形状)

在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是() A.等腰直角三角形

B.直角三角形C.等腰三角形

D.等边三角形

例2在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，

若ab

，sinCB，则A=()

(A)300

(B)600

(C)1200(D)1500

例3：在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、

c

，已知a2c2

2b，且

sinAcosC3coAs

sCin 求b

c2

分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)a2b左侧是二次的右

侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

sinAcosC3cosAsinC,过多关

注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法：在ABC中则

siAn

cCos

A3coC由正弦定理及余弦定理

有:a

abc

c2

a

角化边) 化简并整理得：2(a2

c2

)b

2ab

3c

b(.又由已知

2bc

a2c22b4bb2

.解得b4或b0(舍).