实变函数

实变函数（精选9篇）

篇1：实变函数

学习实变函数这们课已经一个学期了，对于我们数学专业的学生，大学最难的一门课就是实变函数论与实变函数这门课了。我们用的教材难度比较大，所以根据我自己学习这门课的心得与方法，有以下几点：

1、复习并巩固数学分析等基础课程。学习实变函数这门课程要求我们以数学分析为学习基础，因此，想学好这门课必须有相对比较扎实的数学分析基础。

2、课前预习。实变函数是一门比较难的课程，龙老师上课也讲得比较快、比较抽象，因此，适当的预习是必要的，了解老师即将讲什么内容，相应地复习与之相关内容。如果能够做到这些，那么你的学习就会变得比较主动、深入，会取得比较好的效果。

3、上课认真听讲，认真做笔记。龙老师是一位博学的老师，上课内容涵盖许多知识。因此，上课应注意老师的讲解方法和思路，其分析问题和解决问题的过程，记好课堂笔记，实变函数这门课比较难，所以建议听课是一个全身心投入——听、记、思相结合的过程。

4、课后复习,做作业，做练习。我们作为大三的学生，我们要学会抓住零碎的时间复习实变函数课堂的学习内容，巩固学习。复习不是简单的重复，应当用自己的表达方式再现所学的知识，例如对某些定理证明的复习，不是再读一遍书或课堂笔记，而是离开书本和笔记，回忆有关内容，理解并掌握其证明思路。做作业、做练习时，大家要重视基本概念和基本原理的理解和掌握，不要一头扎进题海中去。

所以，我们学习实变函数总的来说要把握课前、课时与课后的任务，学习内容要多下功夫掌握基本概念和原理及其证明思路，尽可能地掌握作业题目，在记忆的基础上理解，在完成练习中深化理解，在比较中构筑知识结构的框架，是提高学习实变函数课程效率的重要途径。

篇2：实变函数

在本学期上半阶段我们主要跟邓博士学习了第一章距离空间和第二章Banach空间上的有界线性算子。在距离空间里最主要是掌握距离空间的定义。 定义:设X是一集合， 是x × x到Rn的映射，满足：

(1) (非负性) (x,y)≥0 且 (x,y)=0,当且仅当x=y

(2) (对称性) (x,y)= (y,x)

(3) (三角不等式) (x,z)≤ (x,y)+ (y,z)

则称X为距离空间，记为(X, )，有时简记为X。

由距离空间可以进一步定义出线性距离空间，线性赋范空间，接着进一步研究距离空间的完备性，其中度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间之间关系弄清楚了那么本节课也就掌握了;

度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间的区别与联系。

赋范线性空间一定是度量空间，反之不一定成立。度量空间按照加法和数乘运算成为线性空间，而且度量空间中的距离如果是由范数导出的，那么这个度量空间就是赋范线性空间。

赋范线性空间与巴拿赫空间的联系与区别：完备的赋范线性空间是巴拿赫空间。巴拿赫空间一定是赋范线性空间，反之不一定成立。

巴拿赫空间一定是度量空间，反之不一定成立。巴拿赫空间满足度量空间的所有性质。巴拿赫空间由范数导出距离，而且满足加法和数乘的封闭性。满足完备性，则要求每个柯西点列都在空间中收敛。

度量空间中距离要满足三个性质：非负线性、对称性、三点不等式，因此距离 (x,y)的定义是重点。赋范线性空间中范数要满足：非负性、正齐性、三角不等式，距离定义和范数的定义是关键。

在第一章中还有两个重要的空间，内积空间和希尔伯特空间，内积空间是特殊的线性赋范空间，而完备的内积空间被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。因此只要弄清楚了度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间，内积空间和希尔伯特空间学习第一章就没什么难度了。

有界线性算子及其范数，在两个线性赋范空间上定义一个映射，这个映射就是线性赋范空间的线性算子，由线性算子又派生出有界线性算子，由范数的计算导出算子空间，第一二章就由线性赋范空间紧密串联起来。

篇3：复变函数与实变函数之异同

数学分析是高等院校数学专业的重要基础课,其主要研究对象是取值为实变量的实变函数.而复变函数是自变量为复数的函数,复变函数论是分析学的一个分支,故又称复分析,它是数学专业的后继课.复变函数论的主要研究对象是解析函数.学生在数学分析的基础上学习复变函数,如果能对二者间的内在联系深入探讨,那么有助于轻松掌握这些数学课程,减轻学习压力.通过学习,我们知道复变函数论中的许多内容都是数学分析中相关内容的延伸与拓展.例如函数的极限、连续性、可微性、洛必达法则、积分的概念及其性质、级数理论中的泰勒展开式等内容,在这儿不一一列举.本文就二者在初等函数方面的不一致给予对比,以加深学生对相关内容的学习与理解.

二、两者之间的差别

对任意的复数z=x+iy,复变数z的指数函数定义为w=ez=ex(cosy+isiny).若y=0,则w=ex,故实指数函数是复指数函数的特例.w=ex不是周期函数,但是w=ez是以2πi为周期的周期函数,即ez+2πi=ez.

三、小结

数域从实数域拓展到复数域后,我们在实分析中所学的极限、导数、积分、零点、基本初等函数、中值定理等知识也随着具有了不同的性质,也就是说它们在实数域中的性质不能一成不变地推广到复数域上来.本文就基本初等函数方面在实函数与复变函数中的不同点进行了分析和比较.通过比较我们可以发现新旧知识之间既存在着区别又有联系,只有通过比较分析才能够牢固地掌握新旧知识.因此在教学与学习的过程中,一定要关注二者的差异,这样才能将基础课与后继课紧密结合,达到事半功倍的效果.

摘要：本文主要从基本初等函数方面阐述了一元实变函数与单变量复变函数间的重大差异,由此巩固和理解基础课与后继课间的内在联系,达到事半功倍的效果.

关键词：实变函数,复变函数,基本初等函数

参考文献

[1]钟玉泉.复变函数论(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2004.

[2]钟玉泉.复变函数学习指导书[M].北京:高等教育出版社,1998.

[3]同济大学数学系编.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2006.

[4]刘玉莲.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.

篇4：“实变函数”课程教学改革探讨

关键词：课程改革；教学改革；实变函数

中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2014）23-0082-02

“实变函数”主要是由法国数学家Lebesgue于19世纪末、20世纪初创立的。它是大学数学专业本科课程中的一门重要基础课，可以拓展大学生的数学知识面，培养大学生的创新意识，提高大学生的抽象思维能力，深化大学生对现代分析数学理论的理解。它是普通微积分学的延续，其主要内容是克服了Riemann积分的缺点、以Lebesgue测度理论为基础的Lebesgue积分理论。[1]它是从事数学教学和科学研究必不可少的基础课程，其理论已被广泛应用到基础数学和应用数学的许多分支，诸如复分析、泛函分析、算子理论与算子代数、微分方程、概率论等。

“实变函数”是数学专业课程中既难教又难学的一门课程。它的诸多思想方法源于数学分析，然而又高于数学分析。该课程理论性强，内容抽象且对初学者的基础知识要求较高，其难度较高。另外，随着高等教育的普及化，数学专业的大学生成倍、甚至几十倍增加，学生的整体学习水平较之从前有了较大的下滑。[2]目前大部分高等院校的“实变函数”教学都面临着以下困境：教师投入的时间和精力越来越多，而学生的学习积极性和学习效果却越来越差；期末考核难度越来越低，而学生的考核成绩却越来越差。从教学内容、教学方法和考核方式三个方面探讨了“实变函数”课程的教学改革。

一、教学内容

1.“实变函数”的教学内容是一个动态概念

一方面，“实变函数”的教学内容在不同历史时期是不同的，在不同的院校也是不同的。20世纪70年代，“实变函数”教学主要是在大学基础数学专业中开展，其内容是全面的集合论、测度论和积分论，讲解过程中强调严谨的推理和证明。目前绝大部分高等院校的数学专业都已经开设了“实变函数”课程，其中大部分工科类院校的实变函数主要是介绍相关的概念和常识，讲解过程中强调证明思想和证明方法。另一方面，“实变函数”的教学内容以课程定位为基础，需要在教与学的实践过程中不断完善和发展。准确的课程定位是课程改革和教学改革成功的前提，[2，3]是撰写教学大纲和授课计划的基础。即使有了一份定位准确的教学大纲和一份合适的授课计划，如果在讲授过程中不能根据学生的学习情况进行合理调整，而只是严格按照教学大纲和授课计划进行教学，那么必然不会达到理想的教学效果。要保持良好的教学效果，就要根据教与学的实践情况不断对教学内容进行完善和发展。从这个意义上讲，“实变函数”的教学内容也不是一成不变的，它是一个动态的概念。

2.“实变函数”的内容抽象，初学者往往会感到枯乏难懂

为了激发学生的学习兴趣，笔者在教学内容中合理地植入了一些问题的研究背景和Hilbert等数学家的传奇人生故事。实变函数中许多定理的证明思想美妙而独特，证明过程却繁冗而复杂。教学过程中如果过于坚持严谨会使学生产生厌倦甚至选择放弃。[4]为了增加趣味性，笔者将教学内容中的一些定理证明过程调整为证明思想和方法的讲解。习题是课本内容的延续和补充，它可以帮助学生加深对教学内容的理解，习题课是教学内容不可或缺的一部分。实变函数课本中的习题大部分都是难度较大的典型题目，其中分析题较多。为了让习题更加贴近授课内容，让学生能够积极思考实变函数的相关问题，笔者在课本习题中增加了若干易于学生上手的过渡性习题。这些对传统教学内容的变革，在“实变函数”教学过程中取得了较好的效果。

二、教学方法

“实变函数”课程教学往往采用“满堂灌”式的板书教学，课堂是教师一个人的舞台，学生只是被动的接受。这种传统的教学方式必然会影响到教学效果，在“实变函数”课程教学改革过程中应该重视教学方法的改革。在教学过程中，笔者将多媒体和板书组合使用，注重和学生交流互动，将教学与科研相互结合，采用了教学内容的分层教学法。

第一，伴随着教育现代化，计算机已经融入到大学课程的教学之中。在“实变函数”教学过程中，合理使用多媒体可以拓展课堂上有限的时间和空间，切实提高教学质量。“实变函数”多媒体教学需要和板书教学有机的组合使用。基本概念、定理、性质、图像等都可以使用多媒体呈现，这样既节省了课堂上有限的时间和空间，又提高了教学内容的阅读性。而理论性的推导过程和证明的思想方法仍然需要通过板书呈现，这样可以培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。

第二，实变函数是数学分析的延续，是“泛函分析”等课程的基础。在“实变函数”教学过程中，合理类比这些学科的相关知识点，可以促使大学生形成完整的知识面，加深对“实变函数”课程的理解，也可使大学生认识到该课程的重要性。例如在讲授“实变函数”课程中抽象度量空间的距离概念时，笔者将度量空间中的距离概念与直线上两点之间的距离进行类比，学生容易发现前者是后者的推广，从而比较容易理解和接受度量空间中的距离概念，取到了较好的教学效果。

第三，目前在大多数高等院校中，实变函数的主讲教师都具有硕士或者博士学位，在相关专业方向也都具有一定的科学研究背景。在“实变函数”教学过程中，教师应该将教学与科研相结合，利用科学研究的成果深化“实变函数”教学，通过“实变函数”教学促进科学研究。在课堂上，提出与教学内容相关的科研问题，并且让学生参与到问题的谈论和研究之中。这样可以激发学生的学习兴趣，培养学生的创新意识，帮助学生树立从事科学研究的理想。

第四，授课内容的分层教学是指将授课内容由浅入深、由简单到复杂合理分层，再循序渐进引导学生学习。例如可测集类这一章节的主要教学内容是介绍n维欧几里得空间中可测集。教学中，笔者先从最简单的零测度集出发，然后过渡到区间和开（闭）集合，再延伸到Borel集，最后和学生一起利用Borel集和零测度集来讨论可测集的构造。通过由易入难的分层教学，往往可以收到较好的教学效果。

三、考核方式

教与学的真实效果需要通过考核来检验，考核是“实变函数”课程教学过程中的一个必不可少的重要环节。建立合理的考核体系是实现考核目标的前提。在“实变函数”课程的平时成绩测算过程中，笔者综合考虑了学生的考勤、作业、课堂讨论、听课记录以及平时测验等因素，将学生的平时表现分别细化和量化并且加权平均产生平时成绩。对于“实变函数”课程的期中和期末考核，笔者采用了卷面考核（开卷或闭卷），也尝试了问答型口试考核。最后，将平时成绩、期中成绩和期末成绩进行合理的加权平均产生期末总评成绩。

四、结束语

以上是笔者从教学内容、教学方法和考核方式三个方面对“实变函数”课程教学改革的几点思考。教学过程中仍需具体问题具体分析，根据实际的教学情况灵活处理。

参考文献：

[1]程其襄，张奠宙，魏国强，等.实变函数和泛函分析基础[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]关洪岩，郝妍，张明.实变函数论的教学改革[J].沈阳师范大学学报（自然科学版），2012，30（1）：115-118.

[3]童武.关于《实变函数》课程建设的实践与思考[J].首都师范大学学报（自然科学版），1998，19（1）：15-19.

[4]刘晓波.“教学做合一”理论在实变函数课程教学中的实践[J].高等理科教育，2013，110（4）：82-85.

篇5：实变函数

大家好！这里进行的是实变函数教学活动。

直播课堂：11月18日，许教授在中央电大直播课堂作了一讲期末复习，大家可以注意看一下。

实变函数章节复习要点

第1章主要内容．

本章所讨论的集合的基本知识是集合论的基础，包括集合的运算和集合的基数两部分.主要内容有：

一、集合的包含关系和并、交、差、补等概念，以及集合的运算律．

关于概念的学习，应该注意概念中的条件是充分必要的，比如，AB当且仅当xA时必有xB．有时也利用它的等价形式：AB当且仅当xB时必有xA．在证明两个集合包含关系时，这两种证明方式可视具体问题而选择其一．

还要注意对一列集合并与交的概念的理解和掌握．xAn当且仅当x属于这一列集

n1合中的“某一个”（即存在某个An，使xAn），而xAn当且仅当x属于这一列集合中

n1的“每一个”（即对每个An，都有xAn）．要熟练地进行集合间的各种运算，这是学习本章必备的基本技能.读者要多做些这方面的练习．

二、映射是数学中一个基本概念，要弄清单射、满射和双射之间的区别与联系． 对集合基数部分的学习，应注意论证两个集合对等技能的训练，其方法主要有下面三种：一是依对等的定义直接构造两集间的双射；二是利用对等的传递性，如欲证A~C，已知A~B，此时只须证B~C；三是应用有关定理，特别是伯恩斯坦定理，它是判断两个集合对等的常用的有效方法．

三、可列集是无限集中最重要的一类集合，它是无限集中基数最小者.要掌握可列集的定义和运算性质，有理数集是可列的并且在直线上处处稠密，这是有理数集在应用中的两条重要性质.四、连续集及其运算性质.要掌握长见的连续集的例子，知道基数无最大者.第2章主要内容． 本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型.一、本章我们从R中的距离和邻域的概念出发，首先定义了相对于某个给定集

nERn的几种不同类型的点：内点、聚点、孤立点、边界点.它们彼此之间的关系可用图示如下：

其中内点和聚点更常用些.关于聚点，我们还给出几个等价条件(定理2.1.1和定理2.1.2)，读者要熟练的掌握和运用.二、开集、闭集和完备集是本章的重要内容.在开集、闭集和完备集的性质和直线上开集构造的讨论中，开集是基础，因为闭集是开集的补集，完备集是一种特殊的闭集，所以弄清了开集的性质，闭集和完备集的性质和构造也就自然得到了.三、康托集是本章给出的一个重要例子.对它的一些特殊性质，在直观上是难以想象的，比如它既是不包含任何区间的完备集，同时它还具有连续基数c，第3章中我们还证明了它的测度为零.正是因为它的巧妙构思和奇特性质常常为构造一些重要的反例提供启示.四、本章中介绍的聚点存在定理，即波尔察诺一维尔斯特拉斯定理(定理2.1.5)，有限覆盖定理(定理2.2.5)和距离可达定理(定理2.4.1)，要弄清定理条件并会灵活运用.第3章主要内容．

本章主要讨论R中点集的测度，它是建立勒贝格积分的基础.一、外测度和可测集是本章的两个主要概念，关于可测集的定义，主要使用的是定义3.2.3(即卡氏条件)．因为可测集的测度等于其外测度，所以外测度性质(定理3.1.1)对可测集都适用．因此对外测的性质要熟练掌握．

二、可测集的运算性质是本章的重要内容．可测集类在有限次或可列次并、交、补运算之下是封闭的．可测集的可列可加性(定理3.2.4)和单调可测集列极限的测度(定理3.2.5和定理3.2.6)的结果在后面的学习中会时常用到．

三、关于可测集的构造是本章的又一重要内容.勒贝格可测集是由波雷尔集和测度为零的集的全体所构成的可加集族(定理3.3.8).我们还讨论了勒贝格可测集同开集、闭集、G型集和F型集之间的关系.这些关系一方面从不同的角度划了勒贝格可测集，另一方面也提供了用较简单的集合近似取代勒贝格可测集的途径.本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子.同学们只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集.第4章主要内容．

为了建立勒贝格积分理论的需要，本章讨论一类重要的函数——可测函数.它一方面和我们熟悉的连续函数有密切的联系，同时又在理论上和应用上成为足够广泛的一类函数.一、可测函数的概念及其运算性质是本章的重要内容.可测函数的定义及给出的一些充要条件(如定理4.2.1和定理4.2.2等)是判断函数可测的有力工具，应该熟练地掌握和应用它们.可测函数关于加、减、乘、除四则运算和极限运算都是封闭的.可测函数上、下确界函数和上、下极限函数还是可测的，所有这些性质反映了可测函数的优越性和应用中的方便之处.二、可测函数列的收敛性也是本章的重要内容之一.几乎处处收敛和依测度收敛是勒贝格积分理论中经常使用的两种收敛形式.叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间接关系.通过这个定理，可以把几乎处处收敛的函数列部分地“恢复”一致收敛，而一致收敛在许多问题的研究中都n起着重要作用.勒贝格定理(定理4.3.2)告诉我们：在测度有限的集合上，几乎处处收敛的可测函数列必是依测度收敛的，反之并不成立.然而，黎斯定理(定理4.3.3)指出：依测度收敛的可测函数列必有几乎处处收敛的子序列.三、可测函数的构造是本章的又一重要内容.一般常见的函数，如连续函数，单调函数等都是可测函数.然而，可测函数却未必是连续的，甚至可以是处处不连续的(如迪里克雷函数).所以，可测函数类比连续函数类要广泛得多.而鲁金定理指出了可测函数与连续函数之间的关系，通过这个定理，常常能把可测函数的问题转化为关于连续函数的问题来讨论，从而带来很大的方便.四、关于论证方法和技巧方面也有不少值得注意的.如定理4.2.6证明中的构造方法是富有启发性的；叶果洛夫定理证明中的思想和分析的方法以及鲁金定理证明中先考虑简单函数、然后再往一般的可测函数过渡，这种由特殊到一般的证明方法在许多场合都是行之有效的.第5章主要内容．

本章的中心内容是建立一种新的积分 勒贝格积分理论．它也是实变函数数论研究的中心内容．

一、关于勒贝格积分的建立．

本章首先引入测度有限点集上有界函数的积分，这是全章的基础，建立有界函数的积分时应注意两点：一是黎曼积分意义下的积分区间，现已被一般点集所代替；二是分划的小区间长度，现已被点集的测度所代替．

一般集合上一般函数的积分是通过两步完成的．第一步是建立非负函数的积分．它是通过非负函数表示为有界函数列的极限、把无穷测度集合表示为测度有限集列的极限来完成的．第二步是建立一般函数的积分，它是将其分解两个非负函数(正部与负部)的差的办法来完成的．

二、勒贝格积分的性质．勒贝格积分的性质主要反映在以下几个方面：

(1)勒贝格积分是一种绝对收敛积分，即f(x)在E上可积当且仅当f(x)在E上可积(f(x)在E上可测)．这是它与黎曼积分重要区别之一．

(2)勒贝格积分的绝对连续性．设f(x)在E上可积，则对任意0，存在0，使当eE且 me时，恒有

f(x)dx

e(3)勒贝格积分的唯一性．即

Ef(x)dx0的充要条件是f(x)0a.e.于E．由此可知，若f(x)与g(x)几乎相等，则它们的可积性与积分值均相同．

(4)可积函数可用连续函数积分逼近．设f(x)是可积函数，对任意0，存在[a,b]上的连续函数(x)，使 [a,b]f(x)(x)dx

此外尚有许多与黎曼积分类似的性质，如线性性、单调性、介值性等，望同学们自己总结、比较．

三、关于积分极限定理．积分极限定理是本章的重要内容，这是由于积分号下取极限和逐项积分，无论在理论上还是应用上都有着十分重要的意义．其中勒贝格控制收敛定理(定理5.4.1)，列维渐升函数列积分定理(定理5.4.2)和法都定理(定理5.4.4)在现代数学中都有广泛的应用．

同学们不难发现，与黎曼积分相比较，勒贝格积分与极限换序的条件大大减弱，这也是勒贝格积分优越于黎曼积分的重要之处．

四、关于勒贝格积分同黎曼积分之间的关系．我们知道，若[a,b]上的有界函数f(x)黎曼可积，则必勒贝格可积且二者积分值相等．

值得注意的是，上述结论对于广义黎曼积分并不成立．实际上，广义黎曼可积函数成为勒贝格可积的充要条件是该函数广义黎曼绝对可积．

关于勒贝格积分的计算，一般是应用积分的定义借助于积分的性质将其转化为黎曼积分．

五、勒贝格重积分换序的富比尼定理指出，只要f(x,y)在RR上可积即可将重积分化为累次积分．特别是对非负可测函数来说，可无条件换序，这是勒贝格积分较黎曼积分的又一优越之处．

六、本章的最后介绍了勒贝格积分理论中的“原函数”存在定理和牛顿—莱布尼兹公式．在这些关系的研究中，有界变差函数和绝对连续函数的概念起着重要作用．

实变函数本学期考试时间安排：2006年1月14日上午8：30-10：30

关于习题：这门课程比较难学，很多同学询问习题答案，请注意，教材中的练习、习题以及辅导中的自测题的答案均附在教材后面。

问：期末复习要注意什么？

陈卫宏：许老师上月18日有一讲复习课，介绍的比较详细。

陈卫宏：吴老师好！这学期负责哪门课？

吴旗东：高数，常微，高代，线代

问：是否熟悉各章的例题和作业，就能够通过考试

陈卫宏：主要掌握考核册中的作业内容。

问：列维定理中去掉函数列非负性假定,结论是否成立? 陈卫宏：列维定理中函数列非负性的条件不能去掉。

陈卫宏：今天的活动就到这里，大家再见！

篇6：《实变函数论》课程教学体会

《实变函数论》的基本内容是建立在Lebesgue测度基础之上的Lebesgue积分, 消除了Riemann积分的缺陷。二者之间既有联系又有区别。引用Lebesgue本人的一个生动描述:“我必须偿还一笔钱, 有两种方法。第一种是从口袋中随意摸出不同面值的钞票, 逐一还给债主直至还清。这就是黎曼积分;还有一种方法是将口袋中的全部钞票按照面值分类, 再一起付给债主应还的数目。这就是我的积分。”实际授课中我们可以加细这个例子。假设我们面前从左至右有100张钞票, 现计算它们的总面值 (设以元为单位) 。显然有两种方法。首先用一个函数 (x) 来描述这些钞票: (x) 的定义域为[1, 101], 对每一个正整数k, 1≤k≤100, (x) 在[k, k+1) 上是常值 (x) , 这里 (x) 是从左至右第k张钞票的面值。则对每一个x∈[1, 101], (x) 就是下面8个数{yi}1≤i≤8中的某一个:y1=0.1, y2=0.5, y3=1, y4=5, y5=1 0, y6=20, y7=50, y8=100.

方法1.把所有100张钞票从左至右累加得其总面值。

对 (x) 而言, xk=k即是对[1, 101]的一个分割。方法1对应和式

而上式恰为求Riemann积分的和式。

方法2.将全部钞票按面值分类:设面值为yi的钞票有ni张, 1≤i≤8.则总面值为

对 (x) 而言, 方法2就是对它的值域{yi}1≤i≤8进行划分:在所有100个区间{[k, k+1) } (1≤k≤100) 中函数值是yi的有ni个 (1≤i≤8) 。因此总面值又可表示为:

而上式体现了Lebesgue积分的思想。

在实际问题中, 上面两种方法都适合。但在数学理论中, 就不一定了。比如上例中的k取遍所有正整数甚至所有实数时, 第一种方法就失效了。由此也得出了Lebesgue积分优于Riemann积分的结论。同时, 我们进一步分析例子, 使 (x) =yi的x不一定能构成区间或区间的并, 就是说讨论的定义域可能是离散点的集合, 这和上面方法2的分析过程没有矛盾。因此, 实变函数课程先引入点集及点集的测度等概念。

授课前介绍上述例子, 提醒大家实变函数是数学分析中微积分理论的继续、深入和发展, 起到“承上”的作用。同时还要“启下”, 强调实变函数是泛函分析、偏微分方程、概率论与随机过程等课程的基础, 提醒大家在学习后续课程的时候要注意与实变内容相结合。例如集合测度与事件概率之间的相似性, 函数的积分与随机变量的数学期望之间的相似性等等。

实变函数论的许多概念, 如测度和积分, 都需要一个繁琐的建立过程, 再加上本身内容的抽象性, 使它背上了“难学”的印象。尤其学生是在学完数学分析以后接触实变的, 实变函数与数学分析截然不同的处理方法 (点集分析方法) 、处理对象的广泛性 (包括分析性质很“差”的函数类) 及其课程展开的独特方式 (漫长的准备) , 更是让学生感到抽象、难懂。事实上, 测度和积分的基本概念很直观, 有关基本结果的描述也不困难。在授课过程中, 我们完全可以简化或回避一些复杂的构造, 减少枯燥性。同时, 要重视总结。如一些概念出现的必要性及其作用。我们上面提到实变函数课程要先引入点集及点集的测度等概念, 其次介绍积分对象—可测函数, 最后引入可积性的讨论。恰好对应教材各章节的顺序。把握了这条思路, 就不会觉得实变函数的概念像是“帽子里突然跑出了一只兔子”, 而是合情合理的一门学问了。

实变函数论课程学习的另一个难点是习题。很多学生都有这种感觉:课本的内容听懂了, 可是依然不会做题。就是因为习题的综合性太强, 学生找不到解题的思路, 不知道从何处下手。我的解决之道是加强习题课的内容, 不光要给出每个题的答案, 关键是要“拆”题, 将一个大的问题拆成几个小的问题, 贴近理论和已知习题, 循序渐进, 摸索出思路来。如要证平面上以有理点为中心、有理数为半径的圆的全体是可数集, 我们可以拆解为: (1) 有理数全体成一可数集合; (2) A={ (x, y, r) |x, y是有理数;r是正有理数}; (3) 复习第4节的相关定理, 得结果。

实变函数论内容的理论性很强, 授课过程主要是证明。很多学生有疑问:学习这门课程干什么?关于这个问题, 我在课堂上也与学生做了一些交流。除了对后续课程的学习有帮助外, 学习实变还有以下三方面的作用:首先, 是创新性。数学史上, 对旧的数学概念、理论、方法所表现出来的“缺陷”进行改造, 处理, 进而推广, 是得到新的概念、理论的有效方法。而这种方法在实变函数论中得到了淋漓尽致的发挥。可以看到, 改造旧的黎曼积分, 得到新的勒贝格积分的思路, 是实变函数论的思想区别于数学分析思想的根本所在。在教学中, 抓住这一核心, 强化学生的创新能力, 是这门课程给我们的任务。其次, 是对数学思想的领会。学习一门数学课程, 不光要掌握其理论内容, 还要领会其思想。实变的内容由简至难, 体现了“循序渐进”原则。很多章节的内容还做到前后呼应, 更显其严密性。在一些大定理的证明过程中, 也充分展现了由简至难、循序渐进。比如截面定理的证明, 分成了从特殊到一般五个步骤: (1) E为区间的情形; (2) E为开集的情形; (3) E为Gδ型集的情形; (4) E为零集的情形; (5) E为有界可测集的情形。这种由简至难、循序渐进的思想可以应用于任何理论和实际问题的讨论。最后, 是对科研能力的促进。通过对课本内容的系统学习和融会贯通, 我们可以对其中的某些部分做进一步的研究。例如, 实变函数论中开、闭集的作用, Cantor集在实变函数论中的应用, Dirichlet函数在实变函数论中的地位与应用, 实变函数论和数学分析的联系与区别, 等等, 都可以作为数学系本科生的毕业论文。

摘要：文章介绍了在讲授实变函数论的过程中, 笔者积累的一些经验和体会。主要是这门课与其前修课和后继课之间的联系;如何在授课中减少枯燥性;学习本课程的意义。

关键词：实变函数论,Lebesgue测度,Lebesgue积分

参考文献

[1]周其生.《实变函数》课程教学改革初探[J].安徽:安庆师范学院学报 (自然科学版) .2000第6卷第2期, 44-46

篇7：实变函数课程化难为易的教学探讨

[摘 要]实变函数课程的内容抽象复杂、逻辑严密、习题难做，相对于数学分析课程来说难度显著增加了，初学者普遍感到不易掌握。针对学生普遍认为实变函数课程难学的实际情况，探讨该课程教学中化难为易的途径。用“问题”构建教学思路，用几何直观和通俗语言描述抽象概念和理论，用“化整为零”对付复杂问题，都有助于降低课程内容的难度。

[关键词]实变函数 教学 化难为易

[中图分类号] G642.3 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2015）05-0093-02

实变函数课程的内容抽象复杂、逻辑严密、习题难做，相对于数学分析课程来说难度显著增加了，初学者普遍感到不易掌握。一些教材在序言中还特别指出了这个问题[1]，网上有句流行的调侃说法是“实变函数学十遍”，可见学习该课程之艰难困苦状况。因此，设法化难为易、降低难度，就成为该课程教学中一个绕不开的焦点问题。为此，我们在讲授这门课程中探索了一些教学处理方法。

一、用“问题”构建教学思路

以课程引言的教学处理为例。开始学习一门课程时，学生往往关心这门课学什么？为何要学？怎么学？这些问题需要在课程一开始就解决。可以开门见山的挑明这门课程的中心任务就是建立一种新的积分，并且阐明建立新积分的思路。数学分析中刚刚学过了积分内容，为何又要学新积分？因为数学分析中的黎曼积分还不够好，主要是可积函数范围不够大，另外涉及积分极限运算的条件苛刻，不能满足许多理论研究和实践应用的需要。比如，区间[0，1]上的狄利克雷函数D（x），函数只取0和1两个值，从值域角度看函数够简单了，可是它是黎曼不可积的，所以有必要建立一种新的积分。对新积分有什么要求？当然首先希望它比黎曼积分的可积函数范围大，原来黎曼可积的函数现在照样可积而且积分值也要相等，有一些黎曼不可积的函数现在黎曼可积了；其次，新积分必须保留原来积分的基本运算性质，比如线性运算性质、可加性等，在此基础上希望新积分有某些更好的运算性质，比如能将经常遇到的积分与极限运算的交换次序问题变得更简单些。

为了使新积分的可积函数范围扩大，先回顾黎曼可积的条件和黎曼积分的定义。通过分析初步体会到黎曼积分从根本上说是针对连续函数建立的，对破坏连续性不太严重的函数也适用，对于只有有限个间断点、或间断点可以形成一个收敛点列的有界函数也都能用。那么，函数的不连续性严重到什么程度就不可积了？这个问题到课程后面就很容易回答。对于不连续性程度比较严重的函数，即使在小区间内各点彼此非常接近，但函数值相差不能变小。这样，黎曼积分定义中在各小区间内选取任意一点的函数值计算积分和就不够合理。在足够多的小区间内都是这样的情形，那么选取不同介点计算的积分和就彼此不同，即使小区间的长度最大值趋于零也无法使积分彼此误差消失，于是不可积就是自然的结果。

为了克服黎曼积分定义中影响可积性的这个重大缺陷，可以尝试将原来划分定义域的做法改为划分值域。设函数f（x）在区间[a，b]上有界，其下确界和上确界分别为A和B。将区间[A，B]划分为若干小区间：[A，A1]，[A1，A2]，…，[An-1，B]，记Ei={x：Ai-1？燮f（x）

二、借助通俗语言或几何直观表达

对有些内容，采用通俗的语言或几何直观会收到事半功倍的效果。比如，康托集的教学，只要在数轴上将闭区间[0，1]一分为三、挖中间（开区间）留两边，对留下的每个小闭区间反复运用这个做法，则康托集的定义就易于掌握。又例如，用简单函数逼近可测函数的定理的证明过程的确复杂，可以从函数图像角度理解证明的思路以及结论为何成立的道理。将函数值域区间划分为n等分，在每个小值域区间上，用该区间上的最小值或下确界近似代替原来的函数值，几何上看就是到处用短的水平线段代替原来曲线段。继续将每个小区间细分，皆等分为2个小区间，重复这个做法，用更短更密的短线段代替曲线，水平线段与曲线的纵坐标误差会更小。这种几何做法，相当于用简单函数不断的逼近原来的可测函数。经过这样的几何直观描述，再用式子、用逻辑推理严格的论证就易于理解了。假如撇开了几何直观，其证明过程让人感到有点复杂而又莫名其妙。

在叶果洛夫定理的教学中，为了便于理解和记忆定理的内容，可以这样通俗解释：测度有限集合上几乎处处收敛的函数列，是“差不多”一致收敛的。究竟怎么样的“差不多”？它是从定义域的测度角度来看的，无论指定多么小的误差要求ε>0，都存在定义域的可测子集，使得原来的定义域和这个子集之差的集合测度能够小于ε，而函数列在这个足够大的子集上就是一致收敛的。既然这个ε要想有多小都能办到，可见二者的定义域范围差的就是不多！关于可测函数的其他几个重要定理及其证明可以类似的处理。在论证集合对等的结论及证明思路时，借助通俗的例子是很有启发性和化难为易的效果的。比如用希尔伯特房间故事说明给可数集添加有限个元素后仍然能够与原来的集合对等。

三、将复杂的内容“化整为零”

有的定理证明过程太复杂，可以采用“化整为零”的做法，或者说是将一大步分解为若干小步完成，从而降低难度。这种做法在课程中比较普遍。以勒贝格积分线性性质为例，要证明等式 [αf（x）+βg（x）]dx=α f（x）dx+β g（x）dx，只要分别证明数乘性质 αf（x）dx=α f（x）dx和加法性质 [f（x）+g（x）]dx= f（x）dx+ g（x）dx。对数乘性质，若α=0结论显然成立；可以先考虑就α>0情形，对α<0的情形，通过α=-α能够转化为已证明过的情形。对于加法性质，可以先就非负函数情形证明之，最后利用函数分解式f=f +-f -及积分定义就可以得出一般的情形都成立。

还有，乘积集合的可测性、勒贝格积分的几何意义论证等都是这类例子。它们都是先就集合为区间这种最简单的情形证明之，接着是开集、Gδ型集、零测度集，最后合成起来得统一结论。其实，整个建立勒贝格积分的过程就是一个先化整为零，再积零成整，由简单过渡到复杂的处理过程。

当然还有其他一些做法都能起到化难为易的作用，值得教师在授课中不断的总结。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 程其襄，张奠宇.实变函数与泛函分析基础（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2010：1-3.

[2] 张奠宇，张荫南.新概念：用问题驱动的数学教学[J].高等数学研究，2004（3）：8-10.

[3] 曹怀信.实变函数引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2008.

[4] 周性伟.讲授实变函数课的点滴体会[J].高等理科教育，2000（1），42-45.

[5] 高文华，郭继东.实变函数教学中的几点体会[J].伊犁师范学院学报（自然科学版），2007（2），58-61.

[责任编辑：林志恒]

篇8：实变函数

一、几点探讨

(一) 转变该课程教育教学观念

课程教育教学观念, 是人们在一定的社会实践中, 直接或间接形成的对课程教育问题的认识。教师的教育教学观念制约和支配着自身的教育教学行为。目前, 教学中普遍存在着重“数学”而轻“教育”的传统思想, 这种思想必须加以改变。首先, 教师在传授书本知识的同时要兼顾对学生分析思维能力和解决问题的能力培养。其次, 在实际教学中, 要树立学生的主体地位, 引导学生独立思考、自主学习。通过充实和丰富课堂内外的各种教学活动, 使学生由被动的接收者转变为主动的参与者和积极的研究者。

(二) 教学内容直观化、趣味化, 提高学生的学习兴趣

《实变函数与泛函分析》的许多概念有一定的抽象性, 许多重要结论异常深刻, 而为达到这些结论所需的理论推演亦不简单。教学中应尽可能注意介绍理论背景, 增强学习目的性。将抽象的概念和理论直观化, 便于理解和记忆。根据这门学科的特点, 选用大量例子与其它学科联系起来, 一方面使学生了解抽象理论或概念的产生背景、理论发展的脉络, 另一方面突出其应用, 做到理论与应用并重, 抽象的理论与具体的例子有机结合起来, 抽象的概念几何化、直观化。加强与微积分、复变函数、微分方程、代数学、拓扑学的密切联系, 是学好该课程的关键。在增加本课程的趣味性方面, 主要是在教学中注意积累素材, 吸收其它课程或生活中比较有趣味性的例子, 用于教学中。例如, 在讲到Lebesgue积分与Riemann积分的区别时, 可用Lebesgue本人的一个生动形象的描述:“我必须偿还一笔钱, 如果我从口袋中随意的摸出来各种不同面值的钞票, 逐一地还给债主直到全部还清, 这就是黎曼积分, 不过我还有另外一种作法, 就是把钱全部拿出来并把相同面值的钞票放在一起, 然后再一起付给应还的数目, 这就是我的积分”。这个例子既浅显易懂, 使人听后不忘, 又抓住了两种积分的区别。

(三) 多种教法相结合, 提升教学效果

不同的教学法, 有它不同的优点和缺点, 使用范围和条件。如“启发式”的优点是:能提高智慧潜力, 使外来动机向内在动机转移, 获得“再发现”真知的能力。学生可以自己试着寻找数学思想方法, 但花费时间较长, 缺乏经验的教师难于随机应变解决意想不到的问题, 难于驾驭课堂教学的进度。对于较简单的定理推论可采取此教学法。“讲授法”的优点是:能够快速传递大量的知识信息, 促进学生抽象思维的发展, 对掌握知识的系统性有很大的帮助, 有利于掌握教学进程。但讲授法较难促进学生积极主动的学习, 不利于学生创造能力的培养。对于理论较强的概念、定义、定理、证明思路的分析一般都采用讲授法。“讨论式”是指教师为学生创设合适的问题情景, 由师生共同完成教学任务, 在课堂教学的平等讨论中进行, 师生互相讨论与问答, 鼓励学生大胆的发表意见, 提出质疑, 进行自由辩论。通过问答与辩驳, 使学生开动脑筋, 积极思考, 激发了学生学习热情及科研兴趣, 培养了学生综合分析能力与口头表达能力, 增强了学生主动参与课堂教学的意识。学生的创新研究能力得到了充分的体现。这种教学模式是教与学两方面的双向互动过程, 教师与学生的经常性的交流促使教师不断学习, 更新知识, 提高讲课技能, 同时也调动了学生学习的积极性, 增进师生之间的思想与情感的沟通, 提高了教学效果。但此种教学法花费时间也较长, 并且由于学生知识水平有限, 对于理论性较强的内容实现有些困难, 因此, 对于理论联系具体的例子时经常采用该教学法。另外, 适当采用现代教育手段可扩大课堂容量, 多媒体教学与数学教学的整合, 节省了一些因为板书所带来的不必要的时间占用, 为讨论式和启发式的教学方法争取时间和创造条件;同时, 对极其抽象, 学生难以理解的内容, 尽可能采用动画的形式以帮助学生理解, 并克服用粉笔在黑板上板书时图形不够准确, 图形复杂时不容易看清楚的弊端。

(四) 及时总结, 注意对比

《实变函数与泛函分析》课程体系严密完整, 知识之间不是孤立的, 教师要善于总结, 理清知识之间的联系。例如:Lebesgue积分与Rie m ann积分的联系;强收敛、弱收敛、一致收敛与依测度收敛的关系等, 在教学过程中要加以重视, 建立相应的知识体系, 使学生能够较快掌握新知识的内涵, 同时能及时复习已学内容, 达到温故知新的效果。针对有些定理条件、结论理论性较强, 难以掌握的情况, 以一些重要定理作为范例, 认真分析定理成立的条件和结论, 改变学生对定理的条件和结论缺乏分析的现状, 帮助学生理解、掌握所学定理。如在可测函数列的收敛性这一节里, 把ЕΓορов定理、R iesz定理和Le be s gue定理这几个实变函数中重要的大定理作为一个定理的几个部分放在一起对比分析, 既大大简化了证明, 又突出了这些定理的实质, 把可测函数列的依测度收敛、几乎一致收敛、几乎处处收敛之间的相互关系揭示的一目了然。同时, 教学中要安排适当课时的习题课, 进行学习方法和解题方法的系统总结, 从而达到举一反三的作用, 便于学生掌握。

二、结语

社会在不断进步, 大学教育也在快速向前发展, 《实变函数与泛函分析》课程需要适应时代潮流, 不断创新和改革, 并付诸于实践, 才能提高这门课程的教学质量, 培养学生的数学素养, 开拓学生的创新能力, 提高综合素质, 培养出高素质的人才。

参考文献

[1]华东师范大学数学系, 数学分析[M].北京:高等教育出版社, 1995.

[2]程其襄, 张奠宙, 魏国强等.实变函数与泛函分析基础[M].北京:高等教育出版社, 1983.

篇9：实变函数

【摘 要】结合实变函数与数学分析的教学实践，利用比较教学法，将数学分析作为实变函数的参照物，形象地解读实变函数理论，加深了学生对实变函数的理解，培养学生的分析及理解问题的能力。

【关键词】实变函数；数学分析；比较教学法；教学改革

自从20世纪初，Lebesgue在Borel测度基础上建立了Lebesgue测度和Lebesgue积分以来，实变函数在数学的许多领域中，如在实分析、复分析、调和分析、泛函分析、微分方程与积分方程论中，都产生了极大影响，它还有助于现代概率理论的建立，对于上世纪末才发展的分形几何也起着引导作用。实变函数的研究内容、研究方法均为现代分析的基础，并渗透到数学各分支，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。然而，实变函数课程的内容非常抽象且理论性和逻辑性较强，其中的许多重要概念都是用严密的数学语言描述，导致了学生们感觉该门课程高深莫测，“实变”学“十遍”才能懂，是“天书”等，它一直是被国内外大学认为是数学教学与学习中的重点和难点课程。如何将该课程化抽象为具体，化难为易并理解和掌握其构造性的思路是实变函数教学的最高目标。我们欲从实变函数课程与数学分析课程的密切关系出发，帮助学生借助于已熟知的Riemann积分体系理论，来学习Lebesgue积分理论及其特点。

1.实变函数课程与比较教学法简介

实变函数课程的中心任务是：建立n维欧几里得空间中点集的测度理论和Lebesgue积分理论。通过学习这门课程，学生应掌握近代抽象分析的基本思想、思维方式，以及系统掌握Lebesgue测度和Lebesgue 积分理论，且学生应具有新角度思维能力、独立思考能力、推理能力和逻辑判断能力，为进一步学习现代数学理论打下夯实基础。

在实变函数教学中，要选择恰当的教学方法，促进学生完成对该课程由表及里的层进认知并理清脉络。若只偏重知识的灌输却忽略对学生构造性思维的启发和引导，就不能为学生提供一个发现、比较、分析和辨别的思维空间，会导致学生的认知模糊，徒增学习该门课程的难度。鉴于实变函数与数学分析课程的密切关系，启发任课教师通过比较法来讲解该课程。比较，就是运用对照的手段确定事物异同关系的思维过程的方法。比较教学法有利于引导学生透过现象认识实质，比如通过新知与旧知的对比来促进知识迁移，通过实变函数与数学分析内容的比较，由知识的熟悉性来增加学生的学习信心，并启发学生对新知识的思考等。比较教学法也是组织学生学习理论知识与实际操作、培养逻辑思维能力的重要手段之一，它有利于激发学生探究新知识的兴趣，并可使学生在面对新知识学习时，有效地摆脱陌生感，迅速找到轻松入门的途径，增加学习主动性，优化学习效果，提高学习效率。具体地，我们从以下几方面来阐述利用比较教学法对传统的实变函数课程教学进行改革。

2.实变函数与数学分析课程的关系

实变函数是大学数学专业的最为重要的基础课之一，作为数学分析的后续课程，它是数学分析课程的延续和发展。再者，学好实变函数课程对于数学分析知识的深入理解有着非常重要的作用，数学分析作为数学专业最为重要的基础课，同时也是数学专业考研、考博的必考课程，可见其地位之重。实变函数课程是其拔高课程，因此要以扎实的数学分析知识为基础，采用比较的教学方式更容易为学生所接受，这种教学方法的实施事实上也是对数学分析知识的回顾和更深层次的解释。

一般来说，实变函数课程开设于大学三年级上学期，采用联系数学分析知识进行教学，也更容易让学生在思想上重视（因为数学分析是考研的必考课程），学习积极性更高。由于实变函数课程的极抽象性和难学难教的现状，我们认为一种高效的教学方法，一定要首先能激发学生的学习兴趣，让学生充分发挥主体作用。只有这样，理论上高效的教学方法方能达到真正的高效。

2.1比较教学法的引入

我们注意到实变函数课程是数学分析课程的后续课程，如果能充分利用二者之间的关联性，采用比较教学法，让学生由熟知的数学分析理论知识自然过渡到较为抽象难学的实变函数知识是一种行之有效的教学方法。针对实变函数的“难教难学”，抓住它的本质—基于传统分析理论的积分体系与空间理论。从问题的根部出发，以我们熟知的传统分析理论去比对实函中Lebesgue积分理论和泛函空间理论，比较它们理论思想上的异同，找到传统分析理论拓广到实分析与泛函分析的原始思路，以便由易到难、由具体到抽象地进行学习，充分发挥比较教学法在实变函数教学中的优势，注重调动学生的学习积极性和热情。

2.2对课程整体脉络的把握及分析

在讲解该课程之初就要让学生明白以下三点：（1）这门课程的重要性；（2）这门课程的主要内容和学习目标；（3）怎样联系数学分析的知识学好这门课程？借助于这三点，让学生认识到Riemann积分理论的局限性，比如狄利克雷函数不可积，如何让它“可积”？进而，如何扩大可积函数的范围，使积分更具普遍性？Riemann积分意义下，积分与极限可交换需要什么条件？带领学生回顾之后，启发学生思考如何去建立新的积分体系让诸如狄利克雷函数等一些原本不可积的函数有积分意义？减弱积分与极限可交换的条件等。简单讨论之后列举实变函数课程要介绍的“新积分”—Lebesgue积分的一些优势，并分析它与传统积分理论的异同，通过比较，让学生更深刻也更容易地理解实变函数中定义的“新积分”的价值和意义。通过介绍基于Cantor三分集理论的美妙的分形图形、无限集的看似很不可思议的性质（如：比较两个同心圆周上点的多少，是大圆的点多，还是小圆上的点多？全体正整数多，还是正奇（偶）数多？）等一些比较直观的例子，引导学生意识到实变函数的重要性，在激发他们学习兴趣的同时，引起他们的重视。最后，如何让学生能主动地联系数学分析的相关知识去切入到实变函数的学习中呢？一定要提醒学生注意：数学分析的核心内容就是Riemann积分理论，而实变函数的中心任务是建立一种较之这种已学习过的Riemann积分理论更加完美的微积分理论体系，并且它完全承认之前的所有理论，只是为了克服之前理论的局限，才从新的角度出发，重新建立了能覆盖传统微积分理论的一个新理论体系。所以，实变函数课程中的内容可以跟数学分析课程已介绍过的相应知识进行比对，从“熟”知识自然切入到“生”知识进行学习。

我们以文献[1]作为教材为例，来介绍基于数学分析中Riemann积分理论，如何引导学生对教材内容的安排和思想深入了解，从而对课程整体脉络有较好的把握。先来看教材的目录：第一章 集合；第二章 点集；第三章 测度论；第四章 可测函数；第五章 积分论；第六章 微分与不定积分。教材为什么这样安排内容呢？我们已经介绍了，实变函数的中心任务是建立起一种新的积分体系，而且要兼容原来学过的Riemann积分。那么Riemann积分形式上是“ ”，由此可见，确定一个积分值，有两个决定因素：一是被积函数“f”；二是积分区域“ ”。这时候，启发学生思考，既然要新建的Lebesgue积分兼容Riemann积分，那么它的“模样”应该“长得”跟Riemann积分相似，所以，首先研究Lebesgue积分意义下的积分区域和被积函数的性质，而后，再引入Lebesgue积分的定义及相关性质定理。Riemann积分的积分区域一般为实直线上的有界闭区间或 的闭连通区域；而Lebesgue积分的积分区域可以是离散的点构成的点集（例如：以建立狄利克雷函数的Lebesgue积分时，需要分别在[0，1]区间上所有有理数组成的集合和所有无理数组成的集合上进行积分），所以我们应审视集合的性质，尤其是点集的性质。则教材第一和第二章就集合和点集上的运算及性质做了介绍，目的就是把积分区域将出现的一些情形讲清楚。既然要在一些点集上进行积分运算，自然我们要衡量点集的“大小”，这时，启发学生思考：[0，1]区间上，所有无（有）理数组成的集合的“长度”是多少呢？在第三章中将重点介绍诸如这样乃至更多的点集的“长度” ，也就是集合的测度。前三章，把积分区域的相关知识介绍完了，接下来，第四章来处理被积函数。在Riemann积分体系中，要求被积函数是连续函数，至多允许有限个间断点。这类函数其实是较少的，实际中，有大量的函数都不满足Riemann积分的要求。既然，Lebesgue积分的被积函数范围扩大，那么扩大到什么程度呢？这些被积函数跟连续函数之间有什么样的关系呢？这就是第四章要重点介绍的内容。决定积分的两大要素都介绍完了，那么第五章就该正式介绍Lebesgue积分的定义及性质了。第六章，是要把数学分析中的牛顿-莱布尼茨公式推广到Lebesgue积分情形。综上，借助于这个在数学分析中常见的积分符号“ ”，可以粗略地把实变函数课程的结构展示给学生，让学生首先了解每一章要学习的内容，并且为什么会这样安排课程内容。如此一来，有利于增加学生的学习信心，通过联系数学分析中Riemann积分的相关内容，可以更清晰地掌握实变函数中Lebesgue积分知识体系的脉络。

2.3检验课堂教学效果

任何教学方法的改革都是为了学生能更好地掌握知识，那么比较教学法在实际的实变函数课堂教学中是否能达到预期的效果？我们一定要对课堂教学效果进行检验，看学生是否真正掌握了关键的知识点，以及学生对教学内容本质的把握，对构造性证明题有无思路？对哪些知识掌握的不够好？为什么？哪些知识点对比起来进行教学的效果较好？哪些并没有想象的那么好？原因是什么？怎么改进？ 诸如以上所涉及到的课堂教学实际中可能出现的问题，我们都要通过与学生交流，批改作业等看到问题的所在，进行反思，从而更好地改进细节，进一步提升教学效果。

3.总结

利用比较教学法进行实变函数课程教学的目标是：对传统的实变函数课程教学法进行改革，基于学生熟知的数学分析理论，借助于比较教学法，引导学生开启思路，轻松学习。其中的关键点是：将实变函数课程与熟知的数学分析课程相关知识（尤其是Lebesgue积分体系与Riemann积分体系的建立过程、相关性质等）相对照和比较，充分发挥比较教学法的优势，从而增强学生学习信心，培养学生构造性思维能力，为后续学习泛函分析等课程打下良好基础。

【参考文献】

[1]程其襄，张奠宙，魏国强等.实变函数与泛函分析基础[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]周民强.实变函数论[M].北京：北京大学出版社，2008.

[3]那汤松，陈建功.实变函数论[M].北京：高等教育出版社，2010.