函数奇偶性求解函数值（共14篇）
篇1：函数奇偶性求解函数值
函数的单调性，函数的奇偶性，反函数
[本周教学重点] 掌握函数单调性的定义，会用定义法证明函数的单调性及其步骤。
(1)设x1，x2是定义域上的任意两个值，且x1 (2)作差f(x1)-f(x2)并将其变形为可判断符号的形式； (3)判断f(x1)-f(x2)的正、负； (4)结论 理解函数奇偶性的定义及奇、偶函数定理，能判断、证明一些简单函数的奇偶性，会利用函数奇偶性求解有关函数问题。 (1)函数的定义域在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要条件。 (2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(x)是奇函数。 f(x)=f(-x)f(-x)-f(x)=0f(x)是偶函数。 由f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是侧重于函数解析式的变形去证明f(x)的奇偶性；而f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是通过运算去证明f(x)的奇偶性，两种定义形式各具不同优势。 (3)若f(x)是奇函数且允许x=0，则f(0)=0，即f(x)的图象过原点。 (4)若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则f(x)=0。 (5)同为奇函数，同为偶函数的两个函数之积是偶函数；一奇一偶两个函数之积是奇函数。 (6)定义在R上的任意一个函数f(x)都可表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)的和。 即f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=[f(x)-f(-x)]，h(x)= [f(x)+f(-x)]。 理解反函数的概念，掌握求反函数的方法步骤。 (1)由原函数y=f(x)求出它的值域； (2)由原函数y=f(x)反解出x=f- 1(y)； (3)交换x，y改写成y=f-1(x)； (4)用f(x)的值域确定f-1(x)的定义域。 [例题分析] 例1．证明函数f(x)= 在定义域上的单调性。 [分析与解答] 函数的单调性必须在定义域内进行考查。由x2+x≥0得f(x)定义域为(-∞，-1][0，+∞)。 函数定义域不是一个连续的区间，应分别考查在每一个区间上的单调性，用定义法证明时，只需任取x1 任取x1 == 当-∞ ∴ f(x1)-f(x2)>0，∴ f(x)是(-∞，-1]上的单调递减函数。 当0≤x1 >0。 ∴ f(x1)-f(x2)<0，∴ f(x)是[0，+∞)上的单调递增函数。 例2．函数f(x)是[0，+∞)上的单调递减函数，f(x)≠0且f(2)=1，证明函数F(x)=f(x)+在[0，2]上的单调性。 [分析与解答]函数f(x)没有给出解析式，因此对F(x)的函数值作差后，需由f(x)的单调性，确定作差后的符号。任取0≤x1 由F(x1)-F(x2)=f(x1)+-f(x2)-=f(x1)-f(x2)+ =[f(x1)-f(x2)]·[1-] ∵ 0≤x1 ∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x1)·f(x2)>1，<1，1->0，∴ F(x1)-F(x2)>0，F(x)是[0，2]上的单调递减函数。 例3．证明函数f(x)=的奇偶性。 [分析与解答] 函数的奇偶性必须在其定义域内考查。 由 函数f(x)定义域为[-1，0)(0，1]。 ∴ |x+3|-3=x+3-3=x。即f(x)=，由f(-x)= =-f(x)，∴ f(x)是奇函数。 例4．设f(x)是定义在R上的函数，对任意x1，x2∈R，恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，且f(x)不恒为0，证明 f(x)的奇偶性。 [分析与解答] 函数f(x)没有给出解析式，这就必须从定义域，法则，及f(x)不恒为0去分析，完成奇偶性的证明。由f(x)定义域为R，显然允许x=0，所以f(0)=0是f(x)的奇函数的必要条件。 令x1=x2=0，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)得f(0+0)=f(0)+f(0)，整理得f(0)=0，对任意x∈R，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)知f(-x)+f(x)=f(-x+x)=f(0)=0，∴ f(-x)=-f(x)，∵ f(x)不恒为0，∴f(x)不可能既是奇函数又是偶函数，所以f(x)是R上的奇函数。 例5．已知函数f(x)=(a，b，c∈Z)是奇函数，且f(1)=2，f(2)<3。 (1)求a，b，c的值；(2)用定义法证明f(x)在(0，1)上的单调性。 [分析与解答](1)∵ f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，即 =-，解出c=0，∴ f(x)=，∵ f(1)=2，∴ =2，∴ 2b=a+1。 ∵ f(2)＜3，∴<3。将2b=a+1代入，∴ <3，解出-1 (2)f(x)==x+。任取0 f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-) ∵ 0 例6．证明函数f(x)= (x≠)的图象关于直线y=x对称。 [分析与解答] 由反函数定理可知，当两个函数互为反函数时，它们的图象关于直线y=x对称，所以要证明 f(x)=(x≠)的图象关于直线y=x对称，只需证明f(x)的反函数是其自身即可。 ∴ f(x)的值域为{y|y≠，y∈R}。 由y=，∴ ayx-y=x-1，(ay-1)x=y-1。 ∵ y≠，∴ ay-1≠0，x=，即f-1(x)= (x≠)，显然f(x)与f-1(x)是同一函数，所求f(x)的图象关于直线y=x对称。 [参考练习] 1．设f(x)是定义在R上的任意一个增函数，F(x)=f(x)-f(-x)必是（）。 A、增函数且是奇函数 B、增函数且是偶函数 C、减函数且是奇函数 D、减函数且是偶函数 2．已知y=f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x，则f(x)在R上的表达式是（）。 A、y=x(x-2)B、y=x(|x|-1)C、y=|x|·(x-2)D、y=x(|x|-2) 3．若点(1，2)在函数y=的图象上，又在它的反函数的图象上，则（）。 A、a=3，b=-7 B、a=3，b=7 C、a=-3，b=-7 D、a=-3，b=7 4．函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上是减函数，则（）。 A、f(3)+f(4)>0 B、f(-3)-f(2)<0 C、f(-2)+f(-5)<0 D、f(4)-f(-1)>0 5．设f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数且是单调减函数，求解关于x的不等式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集。 [参考答案]： 1.A 2.D 3.D 4.D 5.由f(1-x)+f(1-x2)<0，∴ f(1-x)<-f(1-x2)，∵ f(x)是(-1，1)上的奇函数，∴ f(1-x) {x|0 授课教师——李振明 授课班级——高一（8） 教学目的： 1、使学生理解函数的奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的奇偶性； 2、进一步培养学生分析问题和解决问题的能力。教学重点和难点： 函数奇偶性的判断 一、引入新课： 题1：已知函数f(x)=3x 画出图形，并求： f(2),f(-2),f(-x)。 题2：已知函数g(x)= 2x2画出图形，并求： g(1),g(-1),g(-x)。 考察：f(x)与f(-x)，g(x)与g(-x)之间的关系是什么？ 二、定义：对于函数f(x),在它的定义域内，任 意一个x.①如果都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)叫做奇函数。②如果都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)叫做偶函数。 三、例：判断下列函数的奇偶性 ① f(x)=x5+x ② f(x)=x4-x2 ③ f(x)=3x+1 定理: 1、性质：奇函数的图象关于原点对称。偶函数的图象关于y轴对称。 ２、如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。 如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。 四、巩固练习 （1）如果对于函数f(x)的(任意一个X)，都有(f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数。 如果对于函数f(x)的（任意一个X），都有（f(-x)=f(x)），那么函数f(x)就叫做奇函数。 （2）奇函数的图象关于（关于原点）对称，偶函数的图象关于（y轴对称）对称。 （3）已知函数y = f(x)是奇函数，如果f(a)=1那么f(－a)=（-1）（4）.在下列各函数中，偶函数是（B） （5）函数f(x)＝|x＋2|－|x－2|的奇偶性是（A） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 四、小结 1、定义：对于函数f(x),在它的定义域内，把任 意一个x换成－x，（x,－x都在定义域）。 ①如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫做奇函数。②如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫做偶函数。 2、性质:奇函数的图象关于原点对称。 偶函数的图象关于y轴对称。如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函 数是奇函数。 如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函 数是偶函数。 五、课后思考题 已知函数f(x)=(m2-1)x2 +(m-1)x+n+2，则当m、n为何值时，为奇函数 一、定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件, 然而这一点却往往被许多学生所忽略。 例1:判断下列函数的奇偶性: 解析: (1) 由于函数定义域为[0, +∞) , 没有关于原点对称, 故该函数既不是奇函数也不是偶函数。 (2) 此题若忽略了函数定义域而直接求f (-x) , 则很难与f (x) 进行比较判断, 最后甚至误认为是非奇非偶函数。事实上, 函数定义域为[-2, 0) ∪ (0, 2], 满足关于原点对称, 此时函数可进一步化简为, 易知有f (-x) =-f (x) , 故函数为奇函数。 例2:偶函数f (x) 的定义域为 (k, 2k+3) , 则函数g (x) = (k+2) x2+ (k-1) x+3的单调递减区间为_____。 解析:f (x) 既是偶函数, 则其定义域必关于原点对称, 于是k+2k+3=0, 得k=-1, 从而g (x) =x2-2x+3, 单调递减区间为 (-∞, 1]。 二、函数奇偶性除了注意其定义域之外, 判定时也应注意形式多变, 方法多样, 只有做到对症下药, 解题时才可以得心应手。 例3:判断下列函数的奇偶性: 注:第 (1) 题应注意函数奇偶性定义的等价形式的应用:;第 (2) 题则应注意分子有理化在根式化简中的应用。 例4:定义在R上的函数f (x) 满足:对任意的x, y∈R, 都有f (x+y) =f (x) -f (y) , 证明函数f (x) 为偶函数。 解析:对抽象函数奇偶性的说明仍需比较f (-x) 与f (x) 的关系, 依题意, 令x=y=0, 可得f (0) =0, 再令y=-x, 则f (0) =f (x) - (-x) =0, 即f (-x) =f (x) , 所以f (x) 为偶函数。 三、函数奇偶性有着较多的性质, 在解题中有着广泛灵活的运用。 例5:已知函数是奇函数, 则a的值为_____。 解析:若直接采用f (-x) =-f (x) 两边进行比较求解, 很难得出结果。 方法二:利用奇函数的性质f (0) =0 (当x=0时函数有意义) , 即得:。 例6:若f (x) 为奇函数, 且在 (-∞, 0) 内是增函数, 又f (-2) =0, 则xf (x) <0的解集为 () 。 A. (-2, 0) ∪ (0, 2) B. (-∞, -2) ∪ (0, 2) C. (-∞, -2) ∪ (2, +∞) D. (-2, 0) ∪ (2, +∞) 解析:本题可根据题设条件先作出函数f (x) 在 (-∞, 0) 内的大致图像, 如上图, 由对称性 (奇函数的图像关于原点对称) 及单调性 (在 (-∞, 0) 内是增函数) 得出f (x) 在 (0, +∞) 的图像, 如上图。∵f (x) 为奇函数, 且f (-2) =0, ∴f (2) =0。由图像可知:当-2 例7:设f (x) 是奇函数, g (s) 是偶函数, 且f (x) -g (x) =x2-x, 求f (x) 与g (x) 的表达式。 科目：数学 年级：高一年级 内容：普通高中课程标准实验教科书人教A版1.3.2节函数的性质——奇偶性 函数奇偶性的概念形成，以及性质的简单应用（1课时） 奇偶性是函数的重要性质之一，它是通过函数的图象来研究得出的一个概念，实际上反映的是函数图像的一种对称，而我们所研究的数学领域存在着大量的对称美，因此也可以借此培养学生对数学对称美的认识，提高他们对数学的理解能力。 二、教学目标分析 知识与技能：通过对图象的理解，充分经历函数奇偶性这个概念的形成过程；会判断一些简单函数的奇偶性；初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 过程与方法：经历函数的奇偶性这个概念的形成过程，掌握判断函数奇偶性的方法。 情感·态度·价值观：通过本节内容的学习，认识数学中的对称美，陶冶他们热爱数学、欣赏数学的情操。并且让他们对数学的认识不只是停留在对图象的表面理解，让他们对数学有更进一步的认识，提高到理论层次的认识。 三、学生特征分析 通过平时的观察、了解以及测试，学生的基础处于一个理解和简单应用的水平，不能拔高要求。不过在这之前，学生已经学习了函数的单调性，掌握了单调性概念的形成过程，也会利用单调性求函数的最值，所以为利用化归的数学思想方法来理解函数的奇偶性打下了一个良好的基础。 四、教学策略选择与设计 本课题设计的基本理念：充分利用熟悉的函数的图象来形成概念，然后利用形成的数学概念来研究更多函数的奇偶性。 主要采用的教学与活动策略： 1.复习、总结数学里的一些简单对称，如中心对称、轴对称。 3.从对图象的理解来抽象出数学中奇函数和偶函数的定义。 4.利用函数的解析式来判定函数的奇偶性，并掌握基本的判定步骤。 5.奇偶性在其他方面的应用。 策略实施过程中的关键问题： 1.从图形的理解到抽象的数学概念形成，学生理解有点难度。 2.对奇函数和偶函数概念的理解应用。 五、教学资源与工具设计 多媒体教学，充分利用几何画板和电教平台。 教学参考：教材、《教师教学用书》、《新课程导学》、《新教材，新学案》、《学海导航》等等。 六、教学过程 （一）复习总结 1.点（1，2）关于y轴的对称点是 。点（1，2）关于x轴的对称点是 。点（1，2）关于原点的对称点是 。 2.一般地：点P（x，y）关于y轴的对称点是P1（-x，y），关于x轴的对称点是P2（-x，y），关于原点的对称点是 。 3.一般地：对于函数y=f（x），其图象上一点P（xf（x））关于y轴的对称点为P1 ，关于x轴的对称点为P2 ，关于原点的对称点为P3 。 八、帮助和总结 探究：已知函数f（x）满足：对任意的x、y都有f（x）+f（y）=f（x+y），试判断函数f（x）的奇偶性。 1、先分解函数为常见的一般函数，比如多项式x^n，三角函数，判断奇偶性。 2、根据分解的函数之间的运算法则判断，一般只有三种种f(x)g(x)、f(x)+g(x），f(g(x))（除法或减法可以变成相应的乘法和加法） 3、若f（x）、g(x）其中一个为奇函数，另一个为偶函数，则f(x)g(x)奇、f(x)+g(x）非奇非偶函数，f(g(x))奇。 4、若f（x）、g(x）都是偶函数，则f(x)g(x)偶、f(x)+g(x）偶，f(g(x))偶。 教学目标： 1、理解并掌握偶函数、奇函数的概念； 2、熟悉掌握偶函数、奇函数的图像的特征； 3、会证明一些简单的函数的奇偶性。 教学重点：偶函数、奇函数的概念，判断函数的奇偶性； 教学难点：函数的奇偶性的定义的理解。教学过程： 1、创设情境，直观感受 （1）请同学们欣赏图片，并根据图片说一说这些图片具有怎样的对称性。这些图片展现了数学的对称美，他们是轴对称图形或者中心对称图形。我们熟知的函数中也有如此美的图像。函数的图像一般都是呈现在直角坐标系中的，而在我们直角坐标系中，有2条坐标轴以及一个点，今天我们所要研究的就是在坐标轴中的对称。有三种，关于y轴对称，关于原点对称，关于x轴对称。请问，一个函数图像可能关于x轴对称吗？（这个学生应该比较好回答。）那么就只有2种关于y轴对称和关于原点对称。（这里要复习一下一个点关于y轴对称和关于原点对称的点的坐标特点。） 请同桌讨论一下，举出我们所学习的函数中图像是关于y轴对称或者关于原点对称。 （请2组同学进行汇报，并且将函数的大致图像画到黑板上。） 2、概念引入，理性分析 (1)从函数图像上诠释研究奇偶函数的价值 根据同学举得例子，来探讨这2类函数研究的价值：因为这2类函数具有美丽的对称性，那么我们在画函数图像的时候只需要作出一半的图像，另外一半对称过去就可以；而且在研究函数性质的时候，只需要研究一半，另外一半的性质也可以相应的得出。 (2)从符号语言、解析式来诠释奇偶函数 既然这2类函数具有特殊的对称性，那么如何证明这种对称性呢？ （此处引导学生：图像是点集，要证明图像的性质，只需要证明点的性质即可。）第一组图像中的点1,f(1)，它关于y轴的对称点为1,f(1)，下面证明1,f(1)点在函数的图像上即可，如何证明点在函数图像上呢？只需要证明点的坐标满足函数解析式即可（带入证明）。同样的对于点2,f(2)，它关于y轴的对称点为2,f(2)，下面说明点2,f(2)在函数图像即可。依次下去，需要验证多少个点才可以？（无数个），那么这样太麻烦，我们想一个简单的方式，找一个具有一般性的点a,f(a)，它关于y轴的对称点为a,f(a)，下面证明点a,f(a)在函数图像即可，依然是带入验证。 （归纳刚才的研究过程，得出偶函数的定义） （1）偶函数的定义： 如果对于函数yf(x)的定义域D内的任意实数x，都有f(x)f(x)，那么就把函数yf(x)叫做偶函数。 （关键词：“任意”即“所有”、“每一个”）（可提问同学此定义的关键词是什么？） （2）偶函数的性质： ①定义域关于原点对称；（依据：定义域D内的任意实数x，都有f(x)f(x)，也就是说f(x)f(x)是恒等式，恒等式要成立的前提是有意义，xD且xD，得出定义域关于原点对称） ②偶函数的图像关于y轴对称。（依据：有偶函数的定义即可得到）③偶函数中有恒等式f(x)f(x)成立。 （数学中，有“偶”就有“奇”，请同学们类比得出奇函数的定义与性质）（提示同学们从下面几点进行研究：①奇函数图像的特征；②奇函数的定义；③奇函数的性质） （3）奇函数的定义 如果对于函数yf(x)的定义域D内的任意实数x，都有f(x)f(x)，那么就把函数yf(x)叫做奇函数。 （4）奇函数的性质：①定义域关于原点对称； ②奇函数的图像关于原点对称。 ③奇函数中有恒等式f(x)f(x)成立。 根据奇函数的定义，请同学们自己列举奇函数的例子。 3、例题分析，巩固理解 例 1、（根据学生列举的奇函数的例子，提问，如何求证此函数是奇函数？依据：定义。）例 2、求证函数f(x)x21是偶函数。 例 3、判断下列函数的奇偶性 （1）yx22,x3,3 （2）y0,x1,1 （此处分析既奇又偶函数的特征：解析式一定是y0的形式，主要就是在定义域上做文章。） 小结：如何判断函数的奇偶性 （1）一看：看定义域是否关于原点对称，如果不关于原点对称，则非奇非偶；（2）二找：找f(x)与f(x)的关系；（3）三判断：根据关系，下结论。 例 4、（如果时间充足，可作为拓展题目）已知yf(x)是偶函数，它在y轴右边图像如图所示，画出yf(x)在y轴左边的图像。（同学做好，可以投影展示） 4、课堂小结 （1）函数奇偶性的定义；（2）判断函数奇偶性的步骤 本节课讲授的内容是函数的奇偶性。函数的奇偶性是函数的一个很重要的性质，尤其是对其定义的把握是非常重要的。本节授课主要以学案与幻灯片相结合的形式，从不同的角度，逐步引导学生得出奇偶函数的定义及其图像特征。 学案方面：学案的设计好坏是能否有效引导学生对一节的知识达到从初步了解到很好理解的关键。由于学生的基础比较差，因此，本节学案的编写主要以由简到难，由具体到抽象，由个别到一般的形式呈现，一边回顾一边总结，层层递进，通过自己绘制图像，观察图像，完成学案，逐步引导学生得出奇偶函数的定义。 幻灯片方面：首先列举了一些生活中随处可见的对称图形的例子，让学生体会对称美，同时复习了初中关于对称图形的内容。然后具体以两个函数为例，分析其图像特征，观察体会其中的对称，最后总结得出奇偶函数的定义及图形特征。 学生活动方面：1.课前以小组为单位讨论完成学案；2.课堂展示完成情况；3.积极参与问题的回答。 通过本节课的讲授也呈现出了一些之前考虑欠缺的问题：1.留给学生自主学习学案的时间不足，致使有部分同学的学案完成情况不是很好；2.课堂上学生的活动较少，学生的参与度不是很高，形式比较单一，主要以回答问题，讲述完成学案成果为主，像通过具体分析函数的图像得出奇偶函数的定义这一过程，实际可大胆放给学生来完成等，这样更容易激发学生的学习热情，更容易调动学生。 函数的奇偶性是函数的一个重要的性质, 也是每年高考的内容之一, 运用的过程要紧扣定义, 注意理解其本质, 灵活运用其性质, 综合考虑图像、定义域等方面的联系. 一、对函数奇偶性的理解 奇偶性是函数在整个定义域内的性质, 在函数定义域内的真子集上讨论函数的奇偶性是没有意义的.只有对函数定义域内的每一个x, 都有f (-x) =-f (x) 或f (-x) =f (x) , 才能说函数f (x) 是奇函数或偶函数.因此, 定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的前提条件.如果一个函数的定义域不关于原点对称, 这个函数必定既不是奇函数也不是偶函数. 二、函数奇偶性的分类 函数按奇偶性分为四大类:奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数. 既是奇函数又是偶函数的函数必为f (x) =0, x∈M, M为任意关于原点对称的非空数集, 也就是说, 既是奇函数又是偶函数的函数有无穷多个, 它们的解析式相同, 但是定义域不同. 三、函数奇偶性的判定方法 1.判断函数奇偶性的步骤:首先求函数的定义域, 判断定义域是否关于原点对称.若定义域不关于原点对称, 则函数为非奇非偶函数;若定义域关于原点对称, 进一步判断f (-x) 与f (x) 的关系.若满足f (-x) =-f (x) 或f (-x) +f (x) =0或 2.两个奇 (偶) 函数的和、差函数还是奇 (偶) 函数;两个奇 (偶) 函数的积、商函数是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的积、商函数是奇函数. 3.如果一个解析式为整式形式的函数是奇函数, 则它只能含有奇次项, 即偶次项的系数和常数项都等于0;如果它是偶函数, 则它只能含有偶次项和常数项, 即奇次项的系数等于0. 4.设f (x) 是定义域关于原点对称的一个函数, 则F (x) =f (-x) +f (x) 为偶函数, G (x) =f (-x) -f (x) 为奇函数. 5.任何一个定义域关于原点对称的函数f (x) 都可以写成一个奇函数与一个偶函数的和, 即f (x) =g (x) +φ (x) , 其中 四、奇函数和偶函数的图像特征 1.对称性: 奇函数的图像关于原点对称;如果一个函数的图像关于原点对称, 则这个函数为奇函数.偶函数的图像关于y轴对称;如果一个函数的图像关于y轴对称, 则这个函数为偶函数.根据这些性质, 可以帮助我们作出或研究函数的图像、讨论函数的单调区间、求函数的解析式等. 2.单调性: 对称性可以用来讨论函数的单调性和单调区间.在定义域内, 奇函数在关于原点对称的单调区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的单调区间上的单调性相反. 五、函数奇偶性的应用 1.若函数f (x) 为偶函数, 则f (-x) =-f (x) =f (|x|) , 这个性质经常和函数的单调性结合在一起使用.如f (x) 是R上的偶函数, 当x≥0时, f (x) 是增函数, 则f (x1) <f (x2) ⇔f (|x1|) <f (|x2|) ⇔|x1|<|x2|.利用这个性质可以帮助我们简便解题, 避免分类讨论带来的麻烦. 2.若奇函数f (x) 的定义域中包含x=0, 则f (0) =0. 总之, 认知函数奇偶性, 就要抓住函数奇偶性的本质, 掌握应用中的基本方法与技巧及其图像特征, 才能提高应用和解题能力. 关键词：函数；单调性；纵观 中图分类号：G633.62文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）05-135-01 函数的奇偶性是中学教学的一个重要内容，它在了解函数的图形分布，单调性等方面能产生以小决大的纵观全局作用。但是在实际教学中，通常把它定位于容易理解，容易掌握，然而不尽其然，看以下学生练习中两题求解过程。 例1：判断函数 的奇偶性。 解：因为 所以 是偶函数 例2：判断 奇偶性。 解：因为 =- =- =- =- 所以 是偶函数 上述两题解法错误是不言而喻，主要是对函数奇偶性概念理解不到位，教材的定义是：一般地y= （1）若对于函数定义域内任意一个x ，都有 那么函数 是偶函数 （2）若对于函数定义域内任意一个x ，都有 那么函数 是偶函数 由此可见，函数的奇偶性是在函数的整个定义域内来研究的，由于 ， 都要有意义，所以 和 都要在定义域内，而 和 互为相反数，则 和 在数抽上关于原点中心对称，从而得出函数的定义域应是关于原点对称，这样我们就从定义中挖掘出函数具有奇偶性的另一必要条件是定义域具有关于原点对称的性质，即研究函数的奇偶性，本身包括着函数的定义域要具备关于原点对称的这一起码的条件。基于这一点，例1，例2中错误就说明了，为此：要判断一个函数的奇偶性的步骤为：一是看函数定义域是否关于原点对称，若不对称，其判定为无奇偶性，若对称，进入第二个步骤，看是否满足 或 ，若满足 ，则函数是奇函数，若满足 则函数是偶函数，若都不满足，则函数是非奇非偶函数。 在具体问题的解答中，某些题要求学生必须具备一定的能力要求，因为以函数的奇偶性为载体考察学生的观察和变化能力的一类题，变形难度比较大，所以学生不易理解，从 而将 改写为 或当 时改写为 ；将 改写为或当 时改写为 ，就转化为计算，这样降低了解题难度。 例3：判断函数的奇偶性 解法一因为 所以故 为偶函数 解法二，若将函数 进行化简，得 来进行判断，将更加简化解题的过程，在教学中可引为范例，对于培养成学生从渠道切入问题加以求解的能力很有启发。 对于复合函数类的函数的奇偶性作探讨，在变形计算中多离不开以函数固有性质作载体。 例4已知a>0 且a 是奇函数，判断 的奇偶性。 解：取ø（x）= +则ф(-x)+ф(x)= ( + )+( + )=( + )+1=-1+1=0 所以ф(x)是奇函数,而 是奇函数 g(-x)=(a-1)f(-x)ø(-x)=(a-1)f(x) ø(-x)=g(x)故 是偶函数 本例求解依据是以具有奇偶性的函数之和、差、积的奇偶性为核心来判断 是奇偶性。 综上所述，在教学中要培养学生具备对课本上的概念、定义进行深入细致的分析观察的能力，并逐步转化为自己的解题方法和技巧，这才是新课改目的和意义。 教学目标 1．能够理解函数奇偶性的概念． 2．通过参与函数奇偶性概念的形成过程，养成观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想方法． 3．学生能够具有从特殊到一般的概括能力． 教学重点：函数奇偶性概念 教学难点：函数奇偶性的判定． 教具准备：幻灯片，投影仪，彩色粉笔，黑板 教学过程设计： 师：同学们，“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映．让我们看看下列各函数有什么共性？ (幻灯．翻折片．) 观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性(图1)． （生：函数是定义域为全体实数的抛物线；函数的定义域是定义域为全体实数的折线；函数为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图像关于y轴对称。） 师：那么究竟什么叫关于y轴对称？ （生：从初中所学的轴对称概念可知，如果图形F与F′关于y轴对称，那么把图形F沿y轴折过来，一定与图形F′重合。） 师：(幻灯演示)将 在y轴右侧的图象，沿y轴折过来，我们发现它与左侧的图象重合了，这说明我们刚才的观察结果是正确的．既然图形是由点组成的，那么，让我们在直角坐标系中，观察一对关于y轴对称的点的坐标有什么关系？ (幻灯演示)我们在函数 位于y轴右侧的图象上任取一点(x，f(x))，通过沿y轴对折找到其关于y轴的对称点（x′,f(x′)）.同学们由图像观察一下，这两个点的坐标有什么关系？ 生：x=-x′,.也就是说，当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值相等． 师：看来具备此种特征的函数还有很多，我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？ 生：一般地，如果对于函数y=f(x)定义域D内的任意实数x，都有f(－x)=f(x)，那么就把函数y=f(x)叫做偶函数． (当学生的表述不完整，不准确时，教师可做适当的提示和补充．) 师：下面我们来分析一下这个定义．定义中“任意实数x，都有f(－x)=f(x)”说明了什么？ 生：这说明f(－x)与f(x)都有意义，即－x，x同时属于定义域，因此偶函数的定义域是关于原点对称的． 师：定义域关于原点对称是函数为偶函数的什么条件？ 生：定义域关于原点对称是函数为偶函数的必要条件． 师：那么定义的实质是什么呢？同学们能不能用自己的语言来表述一下偶函数的定义． 生：当自变量任取两个互为相反数的值时，对应的函数值恰好相等． 师：下面我们看几个习题． (幻灯) 1．判断下列函数是否是偶函数． (1) (2) 生：函数f(x)=x2，x∈[－1，2]不是偶函数．因为它的定义域关于原点不对称． 函数 也不是偶函数。因为它的定义域为｛x|x∈R且x≠1｝，并不关于原点对称． (对于本题，学生很容易提取分子中的公因式x2，进而化简成f(x)=x2，从而得出该函数是偶函数的错误结论．) (多重复合幻灯) 同学们，让我们再来观察下一组函数的图象，看看它们之间有什么共性？ (幻灯．旋转片) 观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性． 生：各函数之间的共性是它们的图象都关于原点对称． 师：那么究竟什么叫做关于原点对称呢？ 生：从初中所学的中心对称概念可知，所谓图形F与F′关于原点对称，就是把图形F在它们所在的平面绕着原点旋转180°，一定能与图形F′重合。 师：(幻灯演示)将转180°，我们发现它与 在第一象限内的图象，绕着原点旋在第三象限内的图象重合了．这说明我们刚才的观察结果是正确的．那么一对关于原点对称的点的坐标又有什么关系呢？ 生：一对关于原点对称的点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．即：当自变量任取定义域中的两个相反数时，对应的函数值也互为相反数． 师：我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？ 生：如果对于函数y=f(x)定义域D内的任意实数x，都有f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 师：定义中“任意实数x∈D，都有f(－x)=f(x)成立”说明了什么？ 生：这说明f(－x)与f(x)都有意义，即－x，x同时属于定义域，因此奇函数的定义域是关于原点对称的． 师：由此可见，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．那么这个定义的实质是什么呢？ 生：当自变量任取定义域内两个互为相反数的值时，对应的函数值也互为相反数． 师：我们现在已接触过偶函数、奇函数、既不是奇函数也不是偶函数，即非奇非偶的函数，那么有没有既是奇函数又是偶函数的函数呢？ 生：有．函数f(x)=0，x∈R就是一个． 师：那么这样的函数有多少个呢？ 生：只有函数f(x)=0，x∈R一个． 师：再想一想．函数的三要素是什么呢？ 生：函数的三要素是对应法则、定义域和值域． 师：对．可见三要素不同的函数就是不同的函数． 生：既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个．虽然解析式都为f(x)=0，但取关于原点对称的不同的定义域，就可得到不同的函数，例如：f(x)=0，x∈[－3，－1]∪[1，3]；f(x)=0，x∈[－5，－2]∪[－2，－5]等等． 师：所以函数按奇偶性可分为四类：奇函数、偶函数、既奇且偶函数和非奇非偶函数． 例1 判断下列函数的奇偶性： (1) ； （2） 分析：先验证函数定义域的对称性，再考察f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 解(1): f(x)的定义域是｛x|4＋x＞0且4－x＞0｝=｛x|－4＜x＜4｝，它具有对称性． 因为 f(－x)=lg(4－x)＋lg(4＋x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，不是奇函数． (2)：当x＞0时，－x＜0，于是 当x＜0时，－x＞0，于是 .综上可知，在上，g(x)是奇函数． 例2 设F(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，F(x)的解析式是，求F(x)在R上的表达式． 解 任取x∈(－∞，0)，设 P(x，y)是函数 F(x)图象上的一个点．由于F(x)是奇函数,所以，取x>0,则-x<0,且F(-x)= =- F(x)，所以F(x)=，（x>0） 当x=0时，F(－0)=－F(0)，即F(0)=0．所以奇函数 (今后遇到函数奇偶性这类的问题时，要善于选择恰当的方法，“定义法”是基本方法．)练习：判断下列函数的奇偶性，并说明理由． 1．f(x)=x2＋3，x∈[－10，20]； 2．f(x)=x3＋x，x∈[－2，2)； 3．f(x)=0，x∈[－6，－2]∪[2，6]； 4．f(x)=|x－2|＋|x＋2|； 5．f(x)=|x－2|－|x＋2|； 6．f(x)=5； 生：1．f(x)=x2＋3，x∈[－10，20)的定义域关于原点不对称，因此是非奇非偶函数． 2．f(x)=x＋x，x∈[－2，2)的定义域关于原点也不对称，因此是非奇非偶函数． 3．f(x)=0，x∈[－6，－2]∪[2，6]是既奇且偶函数．这是因为f(－x)=f(x)且f(－x)=－f(x)，定义域关于原点也对称，所以是既奇且偶函数． 4．f(x)=|x－2|＋|x＋2|是偶函数．这是因为f(－x)=|－x－2|＋|－x＋2|=|x＋2|＋|x－2|=f(x)，且x∈R，所以是偶函数． 5．f(x)=|x－2|－|x＋2|是奇函数．这是因为f(－x)=|－x－2|－|－x＋2|=|x＋2|－|x－2|=－(|x－2|－|x＋2|)=－f(x)，且x∈R，所以是奇函数． 6．f(x)=5是偶函数．这是因为f(－x)=5=f(x)，且x∈R，所以是偶函数． 师：函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，注意要与函数的单调性加以区分．我们在记忆奇函数与偶函数定义的基础上，还应加以理解，定义域关于原点对称是函数有奇偶性的必要条件． 小结：师生一起归纳这节课所学的知识。3 作业课本P66练习第1,2,4，6题． 1．设f(x)在R上是奇函数，当x＞0时，f(x)=x(1 补充题： －x)．试问：当x＜0时，f(x)的表达式是什么？ 重点：判断函数的奇偶性 难点：函数图象对称性与函数奇偶性的关系。 一、复习引入 1、函数的单调性、最值 2、函数的奇偶性 (1)奇函数 (2)偶函数 (3)与图象对称性的关系 (4)说明(定义域的要求) 二、例题分析 例1、判断下列函数是否为偶函数或奇函数 例2、证明函数 在R上是奇函数。 例3、试判断下列函数的奇偶性 三、随堂练习 1、函数 ( ) 是奇函数但不是偶函数 是偶函数但不是奇函数 既是奇函数又是偶函数 既不是奇函数又不是偶函数 2、下列4个判断中，正确的是_______. (1) 既是奇函数又是偶函数; (2) 是奇函数; (3) 是偶函数; (4) 是非奇非偶函数 (一)教材特点、教材的地位与作用 本节课的主要学习内容是理解函数的奇偶性的概念，掌握利用定义和图象判断函数的奇偶性，以及函数奇偶性的几个性质。 函数的奇偶性是函数中的一个重要内容，它不仅与现实生活中的对称性密切相关，而且为后面学习幂函数、指数函数、对数函数的性质打下了坚实的基础。因此本节课的内容是至关重要的，它对知识起到了承上启下的作用。 (二)重点、难点 1、本课时的教学重点是：函数的奇偶性及其几何意义。 2、本课时的教学难点是：判断函数的奇偶性的方法与格式。 (三)教学目标 1、知识与技能：使学生理解函数奇偶性的概念，初步掌握判断函数奇偶性的方法; 2、方法与过程：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构奇函数、偶函数等概念;能运用函数奇偶性概念解决简单的问题;使学生领会数形结合思想方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。 3、情感态度与价值观：在奇偶性概念形成过程中，使学生体会数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教法、学法分析 1、教学方法：启发引导式 结合本章实际，教材简单易懂，重在应用、解决实际问题，本节课准备采用“引导发现法”进行教学，引导发现法可激发学生学习的积极性和创造性，分享到探索知识的方法和乐趣，在解决问题的过程中，体验成功与失败，从而逐步建立完善的认知结构。使用多媒体辅助教学，突出了知识的产生过程，又增加了课堂的趣味性。 2、学法指导：引导学生采用自主探索与互相协作相结合的学习方式。让每一位学生都能参与研究，并最终学会学习。 三、教辅手段 以学生独立思考、自主探究、合作交流，教师启发引导为主，以多媒体演示为辅的教学方式进行教学 四、教学过程 为了达到预期的教学目标，我对整个教学过程进行了系统地规划，设计了五个主要的教学程序：设疑导入，观图激趣。指导观察，形成概念。学生探索、发展思维。知识应用，巩固提高。归纳小结，布置作业。 (一)设疑导入，观图激趣 让学生感受生活中的美：展示图片蝴蝶，雪花。 学生举例生活中的对称现象 折纸：取一张纸，在其上画出直角坐标系，并在第一象限任画一函数的图象，以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形。 问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，观察图象上相应的点的坐标有什么特点。 以y轴为折痕将纸对折，然后以x 轴为折痕将纸对折，在纸的背面(即第三象限)画出第二象限内图象的.痕迹，然后将纸展开。观察坐标喜之中的图形： 问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，观察图象上相应的点的坐标有什么特点 (二)指导观察，形成概念 这节课我们首先从两类对称：轴对称和中心对称展开研究。 思考：请同学们作出函数y=x2的图象，并观察这两个函数图象的对称性如何 给出图象，然后问学生初中是怎样判断图象关于 轴对称呢此时提出研究方向：今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律。 借助课件演示，学生会回答自变量互为相反数，函数值相等。接着再让学生分别计算f(1)，f(-1)，f(2)，f(-2)，学生很快会得到f(-1)=f(1)，f(-2)=f(2)，进而提出在定义域内是否对所有的x,都有类似的情况借助课件演示，学生会得出结论，f(-x)=f(x)，从而引导学生先把它们具体化，再用数学符号表示。 思考：由于对任一x,必须有一-x与之对应，因此函数的定义域有什么特征。 引导学生发现函数的定义域一定关于原点对称。根据以上特点，请学生用完整的语言叙述定义，同时给出板书： (1)函数f(x)的定义域为A,且关于原点对称，如果有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。 提出新问题：函数图象关于原点对称，它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢 。 学生可类比刚才的方法，很快得出结论，再让学生给出奇函数的定义： (2)函数f(x)的定义域为A,且关于原点对称，如果有f(-x)=f(x)， 则称f(x)为奇函数 强调注意点：“定义域关于原点对称”的条件必不可少。 接着再探究函数奇偶性的判断方法，根据前面所授知识，归纳步骤： (1)求出函数的定义域，并判断是否关于原点对称。 (2)验证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x) 3)得出结论。 给出例题，加深理解： 例1,利用定义，判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)= x2+1 (2)f(x)=x3-x (3)f(x)=x4-3x2-1 (4)f(x)=1/x3+1 提出新问题：在例1中的函数中有奇函数，也有偶函数，但象(4)这样的是什么函数呢? 得到注意点：既不是奇函数也不是偶函数的称为非奇非偶函数。 接着进行课堂巩固，强调非奇非偶函数的原因有两种，一是定义域不关于原点对称，二是定义域虽关于原点对称，但不满足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x) 然后根据前面引入知识中，继续探究函数奇偶性的第二种判断方法：图象法： 函数f(x)是奇函数=图象关于原点对称 函数f(x)是偶函数=图象关于y轴对称 给出例2:书P63例3,再进行当堂巩固， 1。书P65ex2 2。说出下列函数的奇偶性： Y=x4 ; Y=x-1 ;Y=x ;Y=x-2 ;Y=x5 ;Y=x-3 归纳：对形如：y=xn的函数，若n为偶数则它为偶函数，若n为奇数，则它为奇函数 (三)学生探索，发展思维。 思考：1,函数y=2是什么函数 2,函数y=0有是什么函数 (四)布置作业： 课本P39习题1、3(A组) 第6题， B组第3 本文主要从五个方面谈谈如何掌握好函数的奇偶性. 一、奇偶函数的判定 判断一个函数的奇偶性是非常重要的, 它可以加深对概念的理解, 提高代数推理能力 . 能否深刻理解函数的定义是全面掌握函数的奇偶性的前提和基础. 主要注意定义的两个方面要求, 一是定义域的要求, 要求定义域中的任意的自变量x总有x也在定义域内, 二是解析式的要求, 两点都很重要. 例1判断下列函数的奇偶性: 所以x = ±1, 又因为f (x) = 0. 所以f (x) 既是奇函数又是偶函数 . 评注:函数的奇偶性是函数的整体性质, 即: f (x) = f ( - x) 或f (x) = - f ( - x) 对于定义域内任何一个x值都成立 . 为了使判断过程简便易行, 往往用定义的变形形式进行判断. 二、奇偶函数的图象 奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于y轴对称, 这是函数当中数形结合的一个重要纽带, 其中奇函数当自变量可等于0时其图象必过原点. 例2在直角坐标系中, 函数 (x∈R) 的图象 ( ) (A) 关于原点对称 (B) 关于x轴对称 (C) 关于y轴对称 (D) 关于直线y = x对称 所以y = 10| x|是偶函数, 它的图象 关于y轴对称, 应选 (C) . 三、奇偶函数的性质 一个函数的解析式结构比较复杂时, 往往是由结构比较简单的奇、偶函数, 通过运算得到的, 它应满足下述规律: 设f (x) 是奇函数, g (x) 是奇函数, h (x) 是偶函数, φ (x) 是偶函数, 并且它们的定义域的交集不是空集, 则 f ( x) ±g ( x) 是奇函数; h ( x) ±φ ( x) 是偶函数; f ( x) ·g ( x) 和h ( x) ·φ ( x) 都是偶函数; f ( x) ·h ( x) 是奇函数 . 例3设a > 0, a≠1, F (x) 不恒等于0, 且是奇函数, 则是 ( ) (A) 只是奇函数 (B) 只是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既非奇函数又非偶函数 所以f (x) 是奇函数 . 因为F (x) 是奇函数, 所以f (x) ·F (x) 是偶函数, 即G (x) 是偶函数 . 所以应选 (B) . 四、奇偶性的定义的逆用问题 此类问题相对好理解, 现举例说明: 例4 (1) 如果f (x) = kx + b (k≠0) 是奇函数, 求b; (2) 如果g (x) = ax2+ bx + c ( a≠0) 是偶函数, 求b. 解: (1) 因为f (x) = kx + b (k≠0) 是奇函数, 所以kx + b - kx + b = 0. 所以2b = 0, 即b = 0. (2) 因为g (x) = ax2+ bx + c ( a≠0) 是偶函数, 所以ax2+ bx + c - ( ax2- bx + c) = 0. 所以2bx = 0. 因为x为变量, 所以b = 0. 五、奇偶函数的应用 函数的奇偶性运用比较灵活, 它可以和很多知识点接合考察, 掌握好不易, 但归类掌握起来相对较易, 下面举例说明体会. 例5已知, 且f ( - 2) = 10, 那么f (2) = ( ) (A) - 26 (B) - 18 (C) - 10 (D) 10 解:设, 则 f ( x) = F ( x) - 8. 所以F ( - 2) = f ( - 2) + 8 = 10 + 8 = 18. F ( x) 是奇函数 . F (2) = - F ( - 2) = - 18, 所以F (2) = f (2) + 8. 所以f (2) = F (2) - 8 = - 18 - 8 = - 26. 所以应选 (A) . 误区一 忽略定义域 例1 判断函数f(x)=2x2+2xx+1的奇偶性. 错解 因为f(x)=2x(x+1)x+1=2x，所以f(-x)=-2x=-f(x). 所以函数f(x)是奇函数. 剖析 在刚学完函数奇偶性的概念时，对于这道题，大约会有30%的同学出现上述解答错误而不自知.事实上，根据奇（偶）函数的定义中“x的任意性”我们可以知道，“对于定义域内任意的x，都有f(-x)=-f(x)（或f(-x)=f(x)）成立”这句话首先就意味着“f(-x)有意义”，也就是说，奇（偶）函数的定义域必定关于原点对称！再换一种说法，那就是：如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它一定是非奇非偶函数.因此，我们在判断函数的奇偶性时强调要有定义域“优先意识”. 正解 因为f(x)的定义域{x|x≠-1}不关于原点对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 例2 证明函数f(x)=x2-2x+3, x＞0,0, x=0, -x2-2x-3,x＜0是奇函数. 剖析 证明本题时，很多同学往往会给出诸如“当x＞0时，有f(-x)=-f(x)，所以此时函数f(x)是奇函数；同理，当x＜0及x=0时，函数f(x)也都是奇函数，所以函数f(x)在（-∞,+∞）是奇函数”的论证过程.乍看起来，这一过程好像没有什么问题，但是函数的奇偶性是定义在整个定义域上的，在定义域内的某个区间上谈函数的奇偶性是没有道理的，将定义域随意分割来证明函数奇偶性是不正确的！因此，判断（或证明）分段函数的奇偶性时一定要在“分段函数，分段处理”的基础上，强化定义域“整体意识”. 证明 当x＞0时，-x＜0,则f(x)=x2-2x+3,f(-x) =-(-x)2-2(-x)-3=-x2+2x-3 =-(x2-2x+3)=-f(x); 当x=0时，f(x)=0=-f(-x); 当x＜0时，-x＞0,则f(x)=-x2-2x-3,f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3=-(x2+2x+3)=-f(x). 无论x＞0，x＜0还是x=0，总有f(-x)=-f(x)，所以函数f(x)在(-∞,+∞)是奇函数. 误区二 转化意识不够 例3 函数f(x)=lg(x2+1-x)是函数. A. 奇 B. 偶 C. 既奇又偶 D. 非奇非偶 剖析 本题容易错选D.出错的原因主要有两个：一是不会求定义域；二是缺乏利用函数奇偶性的定义结合对数的运算法则进行合理转化的意识和能力. 事实上，本题可以这样判断： 因为x2+1＞x2=|x|≥x恒成立，所以f(x)的定义域为R；又f(x)+f(-x)=lg(x2+1-x)+lg(x2+1+x)=lg1=0，所以f(x)=-f(-x),故f(x)是奇函数. 正确答案为A. 误区三 定义式理解不清 例4 已知f(x)是一个定义在R上的函数，求证： (1) g(x)=f(x)+f(-x)是偶函数； (2) h(x)=f(x)-f(-x)是奇函数. 剖析 这道题是课本中的一道复习题，意在通过一个简单的抽象函数奇偶性的判断，来考查同学们对函数奇偶性概念的理解，尤其是对定义式的整体把握情况.尽管本题十分简单，但肯定还是会有同学对这种抽象函数的处理很不适应，即使硬套定义式证出了结果，头脑里也还模模糊糊，有种似是而非的感觉. 事实上，欲证g(x)是偶函数，依定义，只需证g(-x)=g(x)即可；而g(-x)=f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x)=g(x)显然成立，命题得证.同理，h(x)=f(x)-f(-x)=-[f(-x)-f(x)]=-h(-x),是奇函数. 有兴趣的同学请思考： “任何一个定义在R上的函数f(x)都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和”这句话正确吗？为什么？ 由f(x)=[f(x)+f(-x)]+[f(x)-f(-x)]2及例4的结论,可知该命题正确. 例5 定义在R上的函数f(x)，对任意的x，y∈R均有：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(0)≠0.求证：f(x)是偶函数. 剖析 本题选自我校2006年高一第一学期期中数学试卷，和例4一样，同属抽象函数奇偶性的判断问题，但对函数奇偶性定义式的理解比例4考查得更加深入、灵活，对高一同学来说有一定的难度.有好多同学是这样证明的： 在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中令y=x,得f(2x)+f(0)=2f2(x)，① 再令y=-x,得f(0)+f(2x)=2f(x)f(-x)② 比较①、②两式，可得2f2(x)=2f(x)f(-x)，即f(-x)=f(x)，故f(x)是偶函数. 上述证法基本能扣住偶函数的定义式f(-x)=f(x)，证明过程似乎也没有什么问题，但是整个过程没有用到题设条件f(0)≠0！此条件是否多余？再细细推敲，你就会发现，上述证明的最后一步犯了逻辑上不能推出的错误——当f(0)=0时，得不到f(-x)=f(x)！而根据题设又不能排除“f(x)=0”的可能性. 正确的证明过程如下： 在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中令x=y=0，得2f(0)=2f2(0)，又f(0)≠0，故f(0)=1. 再令x=0，则有f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，即f(-x)=f(x)，故f(x)是偶函数. 很多同学认为，要证f(x)是偶函数，就是要证f(-x)=f(x)，他们压根儿就没有想过还可以令x=0，得出f(-y)=f(y),即为f(-x)=f(x),这样对定义式的理解是死板的、机械的，没有抓住本质. 对于前面同学的证法，可以在最后补上分类证明“当f(x)≠0时，有f(-x)=f(x)成立；当f(x)=0时，必有f(-x)=0，此时也满足f(-x)=f(x)，故f(x)是偶函数”.不过这样一来，问题就又凸现出来了：没有“f(0)≠0”这一条件照样能证明f(x)是偶函数？！那么，若“f(0)=0”，究竟会产生什么样的情况呢？有兴趣的同学不妨作一番探究. 巩 固 练 习 1. 函数f(x)=x2+2|x|-1，x∈[0,+∞）是函数. A. 奇 B. 偶 C. 既奇又偶 D. 不奇不偶 2. 已知函数f(x)是一个定义在R上的奇函数，且x＞0时，f(x)=1.试求函数f(x)的表达式. 3. 判断函数f(x)=lg(1-x)-lg(1+x)的奇偶性. 4. 已知定义在R上的函数f(x)满足条件：对任意的x，y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y).求证：f(x)是奇函数. 【函数奇偶性求解函数值】相关文章： 函数奇偶性教案04-18 判断函数的奇偶性05-24 《函数的奇偶性》教案04-13 《函数的奇偶性》评课04-15 函数奇偶性说课稿05-26 函数的奇偶性复习教案04-27 《函数的奇偶性》说课稿05-01 怎么判断函数的奇偶性05-06 函数的奇偶性教学设计人教版05-09 “任务驱动式”教学设计——函数的奇偶性02-06篇2：函数奇偶性求解函数值
篇3：函数奇偶性小议
篇4：函数的奇偶性
篇5：函数奇偶性判断
篇6：函数的奇偶性(教案)
篇7：函数奇偶性教学反思
篇8：函数的奇偶性
篇9：函数奇偶性教学
篇10：函数的奇偶性教案
篇11：函数的奇偶性教案
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篇13：函数奇偶性求解函数值
篇14：函数奇偶性判断的常见误区