万有引力定律专题辅导

2024-05-05

万有引力定律专题辅导（通用6篇）

篇1：万有引力定律专题辅导

专题八：万有引力定律

参考答案

“万能”连等式

其中gr为距天体中心r处的重力加速度．

人造卫星

1．应用万有引力定律分析天体运动的方法

把天体运动看成是匀速圆周运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供．

应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析和计算．

三个近似

(1)近地卫星贴近地球表面运行，可近似认为做匀速圆周运动的半径等于地球半径；(2)在地球表面随地球一起自转的物体可近似认为其重力等于地球对它的万有引力；(3)天体的运动轨道可近似看作圆轨道．

2．关于同步卫星的五个“一定”

(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面．

(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24

h.(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．

(4)高度一定：由

(R＋h)得同步卫星离地面的高度

h＝≈3.6×107

m.(5)速度一定：v＝＝3.1×103

m/s.题型1：万有引力定律在天体运动中的应用

1．两条线索

(1)万有引力提供向心力F引＝F向．

(2)重力近似等于万有引力提供向心力．

2．两组公式

(gr为轨道所在处重力加速度

3．应用实例

(1)天体质量M、密度ρ的估算

测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，由，R为天体的半径．

当卫星沿天体表面绕天体运行时，r＝R，则

.(2)卫星的绕行速度、角速度、周期与半径R的关系

①由

得

知：r越大，v越小．

②由得知：r越大，ω越小．

③由得

知：r越大，T越大．

1.三颗人造地球卫星A、B、C在同一平面内沿不同的轨道绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，已知RA＜RB＜RC.若在某一时刻，它们正好运行到同一条直线上，如图所示．那么再经过卫星A的四分之一周期时，卫星A、B、C的位置可能是()

答案：C

2．质量相等的甲、乙两颗卫星分别贴近某星球表面和地球表面围绕其做匀速圆周运动，已知该星球和地球的密度相同，半径分别为R和r，则()

A．甲、乙两颗卫星的加速度之比等于R∶r

B．甲、乙两颗卫星所受的向心力之比等于1∶1

C．甲、乙两颗卫星的线速度之比等于1∶1

D．甲、乙两颗卫星的周期之比等于R∶r

解析：由F＝G和M＝ρπR3可得万有引力F＝GπRmρ，又由牛顿第二定律F＝ma可得，A正确．卫星绕星球表面做匀速圆周运动时，万有引力等于向心力，因此B错误．由F＝GπRmρ，F＝m可得，选项C错误．由F＝GπRmρ，F＝mR可知，周期之比为1∶1，故D错误．

答案：A

3.2008年9月27日“神舟七号”宇航员翟志刚顺利完成出舱活动任务，他的第一次太空行走标志着中国航天事业全新时代的到来(如图所示)．“神舟七号”绕地球做近似匀速圆周运动，其轨道半径为r，若另有一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的半径为2r，则可以确定()

A．卫星与“神舟七号”的加速度大小之比为4∶1

B．卫星与“神舟七号”的线速度大小之比为1∶

C．翟志刚出舱后不再受地球引力

D．翟志刚出舱任务之一是取回外挂的实验样品，假如不小心实验样品脱手，则它做自由落体运动

解析：加速度计算公式为a＝，所以卫星和“神舟七号”的加速度之比为1∶4，A选项错误；线速度计算公式为v＝，所以卫星和“神舟七号”的线速度之比为1∶，B选项正确；翟志刚出舱后依然受到地球的引力，引力提供其做匀速圆周运动所需的向心力，C选项错误；实验样品脱手后，依然做匀速圆周运动，相对飞船静止，D选项错误．

答案：B

4．据报道，2009年4月29日，美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太阳系其他行星逆向运行的小行星，代号为2009HC82.该小行星绕太阳一周的时间为T年，直径2～3千米，而地球与太阳之间的距离为R0.如果该行星与地球一样，绕太阳运动可近似看做匀速圆周运动，则小行星绕太阳运动的半径约为()

A．R0

B．R0

C．R0

D．R0

解析：小行星和地球绕太阳做圆周运动，都是由万有引力提供向心力，有＝m22R，可知小行星绕太阳运行轨道半径为R＝R0　＝R0，A正确．

答案：A

5.2008年9月27日16时40分，我国航天员翟志刚打开“神舟”七号载人飞船轨道舱舱门，首度实施空间出舱活动，在茫茫太空第一次留下中国人的足迹(如图所示)．翟志刚出舱时，“神舟”七号的运行轨道可认为是圆周轨道．下列关于翟志刚出舱活动的说法正确的是()

A．假如翟志刚握着哑铃，肯定比举着五星红旗费力

B．假如翟志刚自由离开“神舟”七号，他将在同一轨道上运行

C．假如没有安全绳束缚且翟志刚使劲向前推“神舟”七号，他将可能沿竖直线自由落向地球

D．假如“神舟”七号上有着和轮船一样的甲板，翟志刚在上面行走的步幅将比在地面上大

解析：“神舟”七号上的一切物体都处于完全失重状态，受到的万有引力提供向心力，A错B对；假如没有安全绳束缚且翟志刚使劲向前推“神舟”七号，将使他对地的速度减小，翟志刚将在较低轨道运动，C错误；由于“神舟”七号上的一切物体都处于完全失重状态，就算“神舟”七号上有着和轮船一样的甲板，翟志刚也几乎不能行走，D错误．

答案：B

6．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11

N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为()

A．1.8×103

kg/m3

B．5.6×103

kg/m3

C．1.1×104

kg/m3

D．2.9×104

kg/m3

解析：近地卫星绕地球做圆周运动时，所受万有引力充当其做圆周运动的向心力，即：G＝m2R，由密度、质量和体积关系M＝ρ·πR3解两式得：ρ＝≈5.60×103

kg/m3.由已知条件可知该行星密度是地球密度的25/4.7倍，即ρ＝5.60×103×

kg/m3＝2.9×104

kg/m3.答案：D

7．为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出()

A．火星的密度和火星表面的重力加速度

B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力

C．火星的半径和“萤火一号”的质量

D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力

解析：由“萤火一号”分别在两个不同的圆轨道上做匀速圆周运动可知：G＝m()2(h1＋R)；G＝m()2(h2＋R)，两式联立可求得火星的质量M与火星的半径R，由火星的半径R可求出火星的体积，进一步求出火星的密度，再根据黄金公式：GM＝gR2，可求得火星表面处的重力加速度g，故A项对．

答案：A

8．如图所示，极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道)．若已知一个极地卫星从北纬30°的正上方，按图示

方向第一次运行至南纬60°正上方时所用时间为t，地球半径为R(地球可看做球体)，地

球表面的重力加速度为g，引力常量为G.由以上条件不能求出()

A．卫星运行的周期

B．卫星距地面的高度

C．卫星的质量

D．地球的质量

解析：本题考查万有引力定律、圆周运动相关公式的应用能力．卫星从北纬30°的正上方，第一次运行至南纬60°正上方时，刚好为运动周期的，所以卫星运行的周期为4t，知道周期、地球的半径，由＝m2(R＋h)，可以算出卫星距地面的高度，通过上面的公式可以看出，只能算出中心天体的质量．

答案：C

9.为了探测X星球,载着登陆舱的探测飞船在该星球中心为圆心,半径为的圆轨道上运动,周期为总质量为.随后登陆舱脱离飞船,变轨到离星球更近的半径为的圆轨道上运动,此时登陆舱的质量为则（）

A.X星球的质量为

B.X星球表面的重力加速度为X

C.登陆舱在与轨道上运动时的速度大小之比为

D.登陆舱在半径为轨道上做圆周运动的周期为

【解析】

根据、可得、故A正确、D错误;登陆舱在半径为的圆轨道上运动的向心加速度此加速度与X星球表面的重力加速度并不相等,故C错误;根据得则故C错误.【答案】

10．2008年9月25日21时10分，载着翟志刚、刘伯明、景海鹏三位宇航员的“神舟七号”飞船在中国酒泉卫星发射中心发射成功.9月27日翟志刚成功实施了太空行走．如果“神舟七号”飞船在离地球表面h高处的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，已知地球的半径R，万有引力常量为G.在该轨道上，“神舟七号”航天飞船()

①．运行的线速度大小为

②．运行的线速度小于第一宇宙速度

③．运行时的向心加速度大小为

④．地球表面的重力加速度大小可表示为

A．①③正确

B．②④正确

C．①②③正确

D．②③④正确

解析：本题考查天体运动和万有引力定律的应用．由于飞船的轨道半径为R＋h，故①错误；第一宇宙速度是环绕的最大速度，所以飞船运行的速度小于第一宇宙速度，②正确；运行的向心加速度为a＝，③正确；在地球表面mg＝G，对飞船G＝m(R＋h)，所以地球表面的重力加速度g＝，④正确．

答案：

11．“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为r，运行速率为v，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时()

A．r、v都将略为减小

B．r、v都将保持不变

C．r将略为减小，v将略为增大

D．r将略为增大，v将略为减小

解析：当探测器飞越月球上一些环形山中的质量密集区的上空时，相当于探测器和月球重心间的距离变小了，由万有引力定律F＝可知，探测器所受月球的引力将增大，这时的引力略大于探测器以原来轨道半径运行所需要的向心力，探测器将做靠近圆心的运动，使轨道半径略为减小，而且月球的引力对探测器做正功，使探测器的速度略微增加，故A、B、D选项错误，C选项正确．

答案：C

12.如图所示,A是地球的同步卫星,另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内,B离地面的高度为h.已知地球半径为R,地球自转角速度为地球表面的重力加速度为g,设O点为地球球心.(1)求卫星B的运行周期;

(2)若卫星B绕行方向与地球自转方向相同,某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上),则至少经过多长时间,它们再一次相距最近?

【解析】

(1)由万有引力定律和向心力公式得:

(3分)

联立上面两式得.(3分)

(2)由题意得:

(3分)

联立上面两式得

.(3分)

【答案】

(1)2

13.我国分别于2007年10月24日和2010年10月1日成功发射”嫦娥一号”和”嫦娥二号”月球探测卫星,标志着我国实施绕月探测工程迈出重要一步,在政治、经济、军事、科技乃至文化领域都具有非常重大的意义,同学们也对月球有了更多的关注.(1)若已知地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,月球绕地球运动的周期为T,月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动,试求出月球绕地球运动的轨道半径;

(2)若将来我国的宇航员随登月飞船登陆月球后,宇航员在月球表面完成下面实验:在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部最低点静止一质量为m的小球(可视为质点)如图所示,现给小球一瞬间水平速度v,小球刚好能在竖直面内做完整的圆周运动.已知圆弧轨道半径为r,月球的半径为万有引力常量为G,试求出月球的质量.【解析】

(1)月球绕地球运转,万有引力定律提供向心力:

.①(2分)

对地球表面物体m:

②(2分)

联立①②解得:.③(1分)

(2)设月球表面重力加速度为小球在最高点的速度为由机械能守恒定律,小球在从最低点到最高点的过程中,有:

④(2分)

由题意,小球在最高点时,有:

⑤(1分)

联立解得:

⑥(1分)

联立④⑤⑥解得:.(1分)

【答案】

题型2：天体表面重力加速度的问题

星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法

设天体表面的重力加速度为g，天体半径为R，则

若物体距星体表面高度为h，则重力mg′＝，即g′＝g

.14.火星的质量和半径分别约为地球的1/10和1/2，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为()

A．0.2g

B．0.4g

C．2.5g

D．5g

解析：在星球表面有，故火星表面的重力加速度

故B正确．

答案：B

15.英国《新科学家(New

Scientist)》杂志评选出了2008世界8项科学之最，在XTEJ1650500双星系统中发现的最小黑洞位列其中．若某黑洞的半径R约45

km，质量M和半径R的关系满足(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为()

A．108

m/s2

B．1010

m/s2

C．1012

m/s2

D．1014

m/s2

解析：星球表面的物体满足mg＝，即GM＝R2g，由题中所给条件推出GM＝，则GM＝R2g＝，代入数据解得g＝1012

m/s2，C正确．

答案：C

16．一宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上．用R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，g′表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，FN表示人对秤的压力，下列说法中正确的是()

A．g′＝0

B．g′＝g

C．N＝

D．N＝mg

解析：做匀速圆周运动的飞船及其上的人均处于完全失重状态，台秤无法测出其重力，故FN＝0，C、D错误；对地球表面的物体，＝mg，宇宙飞船所在处，＝mg′，可得：g′＝g，A错误，B正确．

答案：B

17.质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行,其运动视为匀速圆周运动.已知月球质量为M,月球半径为R,月球表面重力加速度为g,引力常量为G,不考虑月球自转的影响,则航天器的（）

A.线速度

B.角速度

C.运行周期T=

D.向心加速度

【解析】

月球对航天器的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力,有又万有引力等于重力即,可得T=2选项A正确.【答案】

答案：B

18．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原地．(取地球表面重力加速度g＝10

m/s2，阻力不计)

(1)求该星球表面附近的重力加速度g′；

(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地．

解析：(1)设竖直上抛初速度为v0，则v0＝gt/2＝g′·5t/2，故g′＝g＝2

m/s2.(2)设小球质量为m，则mg＝　M＝，故＝＝×＝.答案：(1)2

m/s2(2)

题型3：宇宙速度的问题

宇宙速度

数值(km/s)

意　义

第一宇

宙速度

7.9

这是发射绕地球做圆周运动卫星的最小发射速度，若7.9

km/s≤v＜11.2

km/s，物体绕地球运行(环绕速度)

第二宇

宙速度

11.2

这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若11.2

km/s≤v＜16.7

km/s，物体绕太阳运行(脱离速度)

第三宇

宙速度

16.7

这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若v≥16.7

km/s，物体将脱离太阳系在宇宙空间运行(逃逸速度)

(1)三种宇宙速度均指的是发射速度，不能理解为环绕速度．

(2)第一宇宙速度既是最小发射速度，又是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度．

19．金星的半径是地球的0.95倍,质量是地球的0.82倍,则关于金星表面的自由落体加速度和第一宇宙速度,下列数据正确的是（）

A.9.8

m/s.9

km/s

B.8.9

m/,6.82

km/s

C.8.5

m/,6.82

km/s

D.8.9

m/,46

km/s

【解析】

天体表面的物体的重力近似等于物体受的万有引力,有即有g=9.8

m/,代入数据得=8.90

m/;第一宇宙速度有，=7.9

km/s,代入数据得=6.82

km/s.【答案】

20.中国自主研制的北斗导航系统的“北斗二号”系列卫星今年起进入组网高峰期，预计在2015年形成覆盖全球的北斗卫星导航定位系统，将有5颗人造卫星在地球同步轨道上运行，另有30颗卫星在中层轨道上运行，2010年4月10日0时16分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号丙”运载火箭，成功将第二颗北斗导航卫星(COMPASS—G2)送入预定轨道，其轨道低于地球同步轨道．则以下说法正确的是()

A．若地球同步卫星的轨道半径是地球半径的k倍，则第一宇宙速度是同步卫星运行线速度的k倍

B．若地球同步卫星的轨道半径是地球半径的k倍，则第一宇宙速度是同步卫星运行线速度的倍

C．若地球同步卫星的轨道半径是地球半径的k倍，地球表面附近的重力加速度是同步卫星向心加速度的k倍

D．(COMPASS—G2)的线速度小于同步轨道上运行卫星的线速度

答案：B

21.随着世界航空事业的发展,深太空探测已逐渐成为各国关注的热点.假设深太空中有一颗外星球,质量是地球质量的2倍,半径是地球半径的1/2.则下述判断正确的有

（）

A.在地面上所受重力为G的物体,在该外星球表面上所受重力变为2G

B.该外星球上第一宇宙速度是地球上第一宇宙速度的2倍

C.该外星球的同步卫星周期一定小于地球同步卫星周期

D.该外星球上从某高处自由落地时间是地面上同一高处自由落地时间的一半

【解析】

根据得可知外星球和地球表面的重力加速度之比为选项A错误;根据h=得,h不变时选项D错误;根据得第一宇宙速度知选项B正确;根据题意,无法求出同步卫星的周期,选项C错误.【答案】

22.2011年11月1日5点58分零7秒,”神舟八号”飞船在我国酒泉卫星发射中心发射成功,2天后与”天宫一号”目标飞行器顺利完成交会对接,——这将使我国成为世界上第三个掌握空间交会对接技术的国家.关于飞船与天宫一号对接问题,下列说法正确的是（）

A.先让飞船与天宫一号在同一轨道上,然后让飞船加速,即可实现对接

B.先让飞船与天宫一号在同一轨道上,然后让飞船减速,即可实现对接

C.先让飞船进入较低的轨道,然后再对其进行加速,即可实现对接

D.先让飞船进入较高的轨道,然后再对其进行加速,即可实现对接

【解析】

地球的万有引力提供飞行器做匀速圆周运动的向心力,有得可见,r越大,则v越小;r相同,则v相同.飞船与”天宫一号”在同一轨道上,它们的速度相等,若飞船加速或减速,它的向心力就增加或减小,则飞船必然做离心或近心运动,不能实现对接,选项A、B错误;飞船先进入较低的轨道,由于速度大,所以能接近较高轨道上的”天宫一号”.当飞船再加速时,则做离心运动,同时克服引力做功,速度减小到与”天宫一号”相同时,进入较高的轨道与其对接,选项C正确.【答案】

23.我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体和构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为到O点的距离为和间的距离为r,已知引力常量为G.由此可求出的质量为（）

A.B.C.D.【解析】

双星之间的作用力是它们之间的万有引力,依靠万有引力提供向心力,两者以连线上某点为圆心,半径不变,运动过程中角速度相同(如图),再由万有引力定律求解.

取为研究对象做匀速圆周运动,由牛顿第二定律得

所以D选项正确.【答案】

24.宇宙中存在一些离其他恒星较远的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在的一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道做匀速圆周运动.关于这种三星系统,下列说法正确的是

…（）

A.任意两颗星之间的万有引力都比它们做匀速圆周运动的向心力大

B.三颗星做匀速圆周运动的周期一定都相等

C.三颗星的质量可以不相等

D.三颗星之间的距离与它们的质量大小无关

【解析】

如图所示,任意一个星球所受其他两个星球的万有引力的合力或提供其做匀速圆周运动的向心力,选项A错误.稳定的三星系统中的三颗星做匀速圆周运动的周期相等,选项B正确.设三个星球的质量分别为、、三角形的边长为L,星球的轨道半径为R,周期为T,对有①;

对有②;对有③

联立以上三式,可得选项C错误;从以上三式可知,L与质量m有关,选项D错误.【答案】

25．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．(引力常量为G)

解析：设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别是ω1、ω2.根据题意有

ω1＝ω2

①

r1＋r2＝r

②

根据万有引力定律和牛顿第二定律，有

G＝m1ω12r1

③

G＝m2ω22r2

④

联立以上各式解得

r1＝

⑤

根据角速度与周期的关系知

ω1＝ω2＝

⑥

联立③⑤⑥式解得m1＋m2＝.答案：

篇2：万有引力定律专题辅导

一。重点知识精讲和知识拓展 1.动量守恒定律

如果一个系统不受外力或所受外力的矢量和为零，那么这个系统的总动量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律。

（i）动量守恒定律是自然界中最重要最普遍的守恒定律之一，它既适用于宏观物体，也适用于微观粒子；既适用于低速运动物体，也适用于高速运动物体，它是一个实验规律。相互间有作用力的物体体系称为系统，系统内的物体可以是两个、三个或者更多，解决实际问题时要根据需要和求解问题的方便程度，合理地选择系统.（ii）动量守恒定律适用条件

（1）系统不受外力或系统所受的外力的矢量和为零。（2）系统所受外力的合力虽不为零，但比系统内力小得多。

（3）系统所受外力的合力虽不为零，但在某个方向上的分力为零，则在该方向上系统的总动量保持不变——分动量守恒。

（4）在某些实际问题中，一个系统所受外力和不为零，内力也不是远大于外力，但外力在某个方向上的投影为零，那么在该方向上也满足动量守恒的条件。（iii）动量守恒定律的四性：（1）.矢量性

动量守恒方程是一个矢量方程，对于作用前后物体的运动方向都在同一直线上的问题，应选取统一的正方向。凡是与选取的正方向相同的为正，相反为负。若方向未知，可设为与正方向相同来列动量守恒方程，通过解的结果的正负，判定未知量的方向。（2）.瞬时性

动量是一个瞬时量，动量守恒是指系统在任一瞬时的动量守恒。m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′，等号左边是作用前的各物体动量和，等号右边是作用后的各物体动量和，不同时刻动量不能相加。（3）.相对性

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动量大小与选择的参考系有关，应注意各物体的速度是相对同一惯性系的速度，一般选取地面为参考系。（4）.普适性

它不仅适用于两个物体组成的系统，也适用于多个物体组成的系统；不仅适用于宏观物体组成的系统，也适用于微观粒子组成的系统。2.动量定理与动能定理的区别

动量定理：物体所受合外力的冲量等于物体动量的变化。即F△t=mv2-mv1。

反映了力对时间的累积效应，是力在时间上的积累。动量定理为矢量方程，动量和冲量都是既有大小又有方向的物理量。

22动能定理：合外力做功等于物体动能的变化。即W=△Ek。或Fx=1mv2-1mv1。

22反映了力对空间的累积效应，是力在空间上的积累。动能定理为标量，动能、功都是只有大小没有方向的物理量。

3.碰撞

（1）碰撞是指物体间相互作用时间极短，而相互作用力很大的现象。在碰撞过程中，系统内物体相互作用的内力一般远大于外力，故碰撞中的动量守恒，按碰撞前后物体的动量是否在一条直线区分，有正碰和斜碰。

按碰撞过程中动能的损失情况区分，碰撞可分为三种： ①弹性碰撞

碰撞前后系统的总动能不变，对两个物体组成的系统的正碰情况满足： m1v1+ m2v2= m1v1’+ m2v2’；(动量守恒）2

2（动能守恒）1m1v1+ 1m2v2= 1m1v1’+1m2v2’；2222两式联立可得：v1’=m1m2v12m2v2；

m1m2v2’=m2m1v22m1v1。

m1m2七彩教育网全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载七彩教育网免费提供Word版教学资源

当v2=0时，v1’=m1m2v1；v2’=m1m22m1v1。m1m2此时：若m1= m2，这时v1’=0；v2’=v1，碰后实现了动量和动能的全部交换。

若m1>> m2，这时v1’≈ v1；v2’≈2 v1；，碰后m1的速度几乎未变，仍按照原方向运动，质量小的物体以两倍m1的速度向前运动。

若m2>> m1，这时v1’≈-v1；v2’≈0，碰后m1按原来的速度弹回，m2几乎不动。②非弹性碰撞

碰撞中动能不守恒，只满足动量守恒，两物体的碰撞一般都是非弹性碰撞。③完全非弹性碰撞

两物体碰后合为一体，具有共同速度，满足动量守恒定律，但动能损失最大：

m1v1+ m2v2=（m1+ m2）v。

（2）在物体发生相互作用时，伴随着能量的转化和转移。相互作用的系统一定满足能量守恒定律。若相互作用后有内能产生，则产生的内能等于系统损失的机械能。（3）碰撞过程的三个制约因素：

①动量制约——动量守恒。由于碰撞过程同时具备了“相互作用力大”和“作用时间短”两个特征，其它外力可忽略，取碰撞的两个物体作为系统，满足动量守恒定律。②动能制约——系统动能不增加。③运动制约——运动变化合理。

4.反冲现象和火箭

系统在内力作用下，当一部分向某一方向的动量发生变化时，剩余部分沿相反方向的动量发生同样大小变化的现象。.喷气式飞机、火箭等都是利用反冲运动的实例.若系统由两部分组成，且相互作用前总动量为零。一般为物体分离则有：0=mv+(M-m)v’，M是火箭箭体质量，m是燃气改变量。参考系的选择是箭体。喷气式飞机和火箭的飞行应用了反冲的原理，它们都是靠喷出气流的反冲作用而获得巨大速度的。现代的喷气式飞机，靠连续不断地向后喷出气体，飞行速度能够超过l000m/s。5.爆炸与碰撞的比较

（1）爆炸，碰撞类问题的共同特点是物体的相互作用突然发生，相互作用的力为变力，作用时间很短，作用力很大，且远大于系统所受的外力，故可用动量守恒定律处理。

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（2）在爆炸过程中，有其他形式的能转化为动能，系统的动能在爆炸后可能增加；在碰撞过程中，系统总动能不可能增加，一般有所减少转化为内能。

（3）由于爆炸，碰撞类问题作用时间很短，作用过程中物体的位移很小，一般可忽略不计，可以把作用过程作为一个理想化过程简化处理，即作用后还从作用前的瞬间的位置以新的动量开始运动。6.力学规律的优选策略

力学规律主要有：牛顿第二运动定律，动量定理和动量守恒定律，动能定理和机械能守恒定律，功能关系和能量守恒定律等。

（1）牛顿第二定律揭示了力的瞬时效应，其表达式是：F=ma。据此可知，在研究某一物体所受力的瞬时作用与物体运动的关系时，或者物体受到恒力作用，且又直接涉及物体运动过程中的加速度问题时，应选用牛顿第二定律和运动学公式。若物体受到变力作用，对应瞬时加速度，只能应用牛顿第二定律分析求解。

（2）动量定理反映了力对时间的积累效应，其表达式是：Ft＝Δp＝mv2－mv1。据此可知，动量定理适合于不涉及物体运动过程中的加速度而涉及运动时间的问题，特别对于冲击类问题，因时间短且冲力随时间变化，应选用动量定理求解。

（3）动能定理反映了力对空间的积累效应，其表达式是：W＝ΔEk＝112。据

mvmv12222此可知，对于不涉及物体运动过程中的加速度和时间（对于机车恒定功率P运动，其牵引力的功W牵＝Pt，可以涉及时间t），而涉及力和位移、速度的问题，无论是恒力还是变力，都可选用动能定理求解。

（4）如果物体（或系统）在运动过程中只有重力和弹簧的弹力做功，而又不涉及物体运动过程中的加速度和时间，对于此类问题应优先选用机械能守恒定律求解。

（5）如果物体（或相互作用的系统）在运动过程中受到滑动摩擦力或空气阻力等的作用，应考虑应用功能关系或能量守恒定律。两物体相对滑动时，系统克服摩擦力做的总功等于摩擦力与相对位移的乘积，也等于系统机械能的减少量，转化为系统的内能。

（6）在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理过程时，必须注意到一般这些过程中均隐含着系统中有机械能与其它形式能量之间的转化。例如碰撞过程，机械能一定不会增加；爆炸过程，一定有化学能（或内能）转化为机械能（动能）；绳绷紧时动能一定有损失。对于上述问题，作用时间一般极短，动量守恒定律一般大有作为。典例精析

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典例1.（15分）一质量为M的平顶小车，以速度v沿水平的光滑轨道作匀速直线运动。现

0将一质量为m的小物块无初速地放置在车顶前缘。已知物块和车顶之间的动摩擦系数为。

1.若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该车顶最少要多长？ 2.若车顶长度符合1问中的要求，整个过程中摩擦力共做了多少功？参考解答

2．由功能关系可知，摩擦力所做的功等于系统动能的增量，即

（6）1122W(mM)vMv0222mMv0W2(mM)由（1）、（6）式可得（7）

典例2．如图所示，质量为m的b球用长为h的细绳悬挂于水平轨道BC的出口C处。质量也为m的小球a，从距BC高为h的A处由静止释放，沿ABC光滑轨道滑下，在C处与b球正碰并与b粘在一起。已知BC轨道距水平地面ED的高度为0．5h，悬挂b球的细绳能承受的最大拉力为2．8 mg。试问：(1)a球与b球碰前瞬间的速度为多大?(2)a、b两球碰后，细绳是否会断裂?若细绳断裂，小球在DE水平面上的落点距C处的水平距离是多少?若细绳七彩教育网全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载七彩教育网免费提供Word版教学资源

不断裂，小球最高将摆多高?(小球a、b均视为质点)

典例3.（16分）（2013天津市五区调研）在光滑的水平面上，一质量为mA=0.1kg的小球A，以8m/s的初速度向右运动，与质量为mB=0.2kg的静止小球B发生正碰。碰后小球B滑向与水平面相切、半径为R=0.5m的竖直放置的光滑半圆形轨道，且恰好能通过最高点N后水平抛出。g=10m/s2 求：（1）碰撞后小球B的速度大小。

（2）小球B从轨道最低点M运动到最高点N的过程中所受合外力的冲量。

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（3）碰撞过程中系统的机械能损失。

【解题探究】根据碰撞后B球沿竖直放置的光滑半圆形轨道，且恰好能通过最高点N后水平抛出，利用机械能守恒定律和相关知识解得碰撞后小球B的速度大小。应用动量定理解得小球B从轨道最低点M运动到最高点N的过程中所受合外力的冲量。两小球A与B发生正碰，应用动量守恒定律和能量关系列方程解答得到碰撞过程中系统的机械能损失。的机械能得满分。

典例4．（20分）（2013安徽省马鞍山市三模）如图所示，在光滑水平地面上有一固定的挡

v0AOB板，挡板上固定一个轻弹簧。现有一质量M=3kg，长L=4m的小车AB（其中O为小车的中七彩教育网全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载七彩教育网免费提供Word版教学资源

点，AO部分粗糙，OB部分光滑），一质量为m=1kg的小物块（可视为质点），放在车的最左端，车和小物块一起以v0=4m/s，的速度在水平面上向右匀速运动，车撞到挡板后瞬间速度变为零，但未与挡板粘连。已知车OB部分的长度大于弹簧的自然长度，弹簧始终处于弹性限度内，小物块与车AO部分之间的动摩擦因数为μ=0.3，重力加速度g=10m/s。求：

（1）小物块和弹簧相互作用的过程中，弹簧具有的最大弹性势能；（2）小物块和弹簧相互作用的过程中，弹簧对小物块的冲量；（3）小物块最终停在小车上的位置距A端多远。

【解题探究】对小物块，应用牛顿第二定律和运动学公式、能量关系解得弹簧具有的最大弹性势能；根据动量定理解得弹簧对小物块的冲量；根据功能关系解得小物块最终停在小车上的位置距A端的距离。

2（3）小物块滑过O点和小车相互作用，由动量守恒定律 mv(mM)v（2分）

典例5（18分）如图所示，以A、B为端点的1/4光滑圆弧轨道固定于竖直平面，一足够长滑板静止在光滑水平地面上，左端紧靠B点，上表面所在平面与圆弧轨道相切于B点，离滑板右端R处有一竖直固定的挡板P．一物块从A点由静止开始沿轨道滑下，经B滑L02上滑板．已知物块可视为质点，质量为m，滑板质量M=2m，圆弧轨道半径为R，物块与滑板间的动摩擦因数为μ=0.5，重力加速度为g．滑板与挡板的碰撞没有机械能损失，滑板返回B点时即被锁定．

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（1）求物块滑到B点的速度大小；

（2）求滑板与挡板P碰撞前瞬间物块的速度大小；

（3）站在地面的观察者看到在一段时间内物块正在做加速运动，求这段时间内滑板的速度范围．

【解题探究】由机械能守恒定律解得物块滑到B点的速度大小；由动量守恒定律和动能定理列方程联立解得滑板与挡板P碰撞前瞬间物块的速度大小；通过分析，利用动量守恒定律和动能定理联立解得物块正在做加速运动这段时间内滑板的速度范围．【参考答案】

（1）物块由A到B的运动过程，只有重力做功，机械能守恒．设物块滑到B点的速度大小为v0，有：

1①

（2分）

mgRmv02解得：v02gR

②

（1分）

（2）假设滑板与P碰撞前，物块与滑板具有共同速度v1，取向右为正，由动量守恒定律，有：

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(没有判断滑板与P碰撞前是否有共同速度，扣2分)

(没有判断滑板与P碰撞前是否第二次有共同速度，扣1分)设当物块的速度减为零时，滑板速度为v3，取向左为正，有：

Mv1mv1Mv

3⑦

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【得分要诀】第（1）问容易得分不要失去。第（2）问通过分析正确列出方程联立解答可多得分。第（3）问要列出相关方程，力争正确解答得满分。

篇3：《圆周运动万有引力》专题辅导

本章内容包括匀速圆周运动和万有引力两大部分,是牛顿第二定律的扩展和应用.其中匀速圆周运动及其运动学量(周期、线速度和角速度)是基础知识,匀速圆周运动中的动力学问题和万有引力定律的应用是重点,应用向心力规律分析和解决圆周运动问题是本章的难点.本章的知识结构可用如图1所示的框图来表示.

二、重点知识要点辨析

1. 匀速圆周运动的特点

(1)速度方向和加速度方向时刻都在变化,所以说,它实际上是一种变速运动,所谓的匀速圆周运动实质上指的是一种匀速率的圆周运动而已.(2)它是一种周期性运动.(3)运动过程中物体的线速度和动能保持不变,但线速度、动量、加速度和合外力(即向心力)则只是大小不变,方向却时刻在改变.

2. 向心加速度(an)和向心力(Fn)

做匀速圆周运动物体的线速度在不断变化的事实告诉我们:做匀速圆周运动的物体具有加速度.理论和实验都表明:做匀速圆周运动的物体具有始终沿半径指向圆心的加速度,这种加速度叫向心加速度.an=v2/r=ω2r,单位为“米/秒”.向心加速度只改变线速度的方向,而不改变线速度的大小,它是一个描述线速度方向变化快慢的物理量.

使质点做匀速圆周运动的力或产生向心加速度的力,由于其方向始终沿半径指向圆心,所以叫做向心力.Fn=man=mv2/r=mω2r.

必须注意的是:(1)向心力是根据力产生的效果来命名的,它并不是独立于重力、弹力、摩擦力、电场力、安培力和万有引力等常见力以外的另一类型的力,向心力是作用在做匀速圆周运动物体上的一切外力的合力,其作用效果是产生向心加速度,维持物体做匀速圆周运动.一个做匀速圆周运动的物体,究竟什么力充当向心力,要视具体情况而定.(2)应明确物体做匀速圆周运动和受力的因果关系.不是由于物体做匀速圆周运动而产生向心力mω2R!加速度是力作用的结果,物体只有受到了合适的向心力,才会作相应的匀速圆周运动,亦即物体做匀速圆周运动是向心力存在的必然结果.正因为如此,我们可以根据物体做匀速圆周运动的实际情况,判断出物体之所以做圆周运动是由于受到了合适的指向圆心的合力(向心力)这个原因,并根据∑F=mω2r列出方程进行求解.由牛顿第二定律的瞬时性,我们也很容易认识到:如果从某一时刻起失去了向心力,物体就会沿这一时刻的切向方向飞出去.所以说,物体做圆周运动的条件是同时具有线速度和向心力,而且外界提供的向心力必须满足条件∑F=mω2r.(3)只有做匀速圆周运动的物体受到的合外力才沿半径指向圆心(提供向心力),而非匀速圆周运动的物体所受的合外力在一般情况下是不会指向圆心的,这时合外力在沿半径指向圆心方向的分量充当向心力,用来改变速度的方向,而合外力在切向方向的分量则产生切向加速度用来改变速度的大小,这是物体做非匀速圆周运动的根本原因.(4)由于向心力始终垂直于物体运动的速度方向,因此,向心力不会做功.

3. 圆周运动的动力学规律

(1)匀速圆周运动中的动力学规律

即物体在某一轨道上以一定的线速度(或角速度)做匀速圆周运动时应满足的力学条件是:切向方向不受力或切向方向的合力恒为零,而沿半径指向圆心方向的合力大小则恒为mv2/r.

(2)变速圆周运动的动力学规律

可见,物体做变速运动时,它所受的向心力的大小是随时变化的,其切向合力的大小也可能随时间而变.所以,处理变速圆周运动的问题时,要特别注意到各物理量的瞬时对应性.

4. 匀速圆周运动中的动力学问题

处理匀速圆周运动问题时,要弄清楚公式的含义,∑Fn为外界提供的向心力,由物体的受力情况决定,而为mv2/r做匀速圆周运动的物体需要的向心力,由v(或ω)决定,只有当供需两方面的需要得到满足时,物体才会在确定的轨道上稳定地运动下去,当供需双方出现矛盾时,物体将远离圆心(离心运动)或趋向小于r的轨道上运动.在此基础上还应着重考虑两个问题:(1)运动的几何条件:质点在哪个平面内运动,圆心在哪里?半径是多少?(2)质点的受力情况:做匀速圆周运动的质点所受到的合外力一定沿半径指向圆心.若质点在竖直平面内作圆周运动,则在处理通过最高点或最低点的有关问题时,除了列出动力学方程外,还可能要用到动能定理或能量守恒定律.

做圆周运动的物体,由于受到向心力而产生向心加速度的情形,跟应用牛顿第二定律处理动力学问题没什么差异.因此,我们可编制出处理匀速圆周运动问题的一般程序为:(1)确定研究对象;(2)画出对象的受力图;(3)标出方向(向心加速度方向),取方向为轴方向,垂直方向为轴方向,由∑Fr=mv2/r,∑Fv=0列出方程;(4)求出结果,必要时还要进行讨论.

5. 万有引力定律

万有引力定律的本质:宇宙间的一切物体间都存在着相互吸引的力(叫万有引力),两物体间万有引力的大小跟它们的质量的乘积成正比,跟它们之间距离的平方成反比.即:

式中,G=6.67×10-11牛顿·米/千克2,叫万有引力恒量,它在数值上等于两个质量都是1千克的物体相距1米时的相互吸引力.卡文迪许的扭秤实验证明了万有引力定律的正确性,并第一次在实验中比较准确地测量了万有引力恒量的数值.

应注意的是:

(1)万有引力定律揭示了普遍存在于宇宙中任何物体间一种基本的引力作用规律,万有引力与所在空间的性质无关,这是与库仑定律的重要区别之一.

(2)万有引力是一种宏观力,正是这个力维持了星体不停的运动,在微观粒子间和日常生活中涉及到的物体(包括地球)的质量都不是很大,万有引力可忽略不计.

(3)万有引力定律只适用于两质点间引力的计算.r表示两质点间的距离.计算两个均匀球体间的万有引力时,r表示两球心间的距离.其它任何形状的物体只有在其线度远小于两者间距离的条件下,才可直接用万有引力定律计算两物体间的万有引力.

(4)两物体间的万有引力遵守牛顿第三定律.

6. 万有引力定律的应用

关于万有引力定律的应用,就思想方法而言,通常可归结为:(1)以万有引力为向心力;(2)以万有引力为重力;(3)以重力为向心力.由第一种方法可计算天体的质量、密度和卫星的速度等.用第二种方法可计算重力加速度和天体的质量;用第三种方法可算出卫星的速度、角速度和周期.当然,这三种方法可以相互配合,灵活运用.

处理卫星中物体的超重或失重问题时,关键在于判定加速度方向的向上或向下;物体只要存在着向上(包括斜向上)的加速度时,就处于超重状态;物体存在向下(包括斜向下)的加速度时,就处于失重状态.物体的超重或失重仅决定于加速度的方向,而跟物体的速度方向无关.

三、典型例题评析

例1如图2所示,为一皮带传动装置,O2为B、C两轮的共同轴,由O1带动,皮带不打滑.已知:RA:RB=3:2,RB:RC=1:2.试求A、B、C三点的:(1)线速度大小之比;(2)角速度大小之比;(3)向心加速度大小之比.

解析:解这种机械传动类问题时应抓住两条基本规律:(1)同一轮上各点的角速度和转速相等,由v=ωr=2πnr可知:线速度与各点的半径成正比;(2)由同一皮带轮联动而不打滑的两轮边缘上的各点线速度一定相等,由ω=v/r知,角速度与轮半径成反比.本题中vA=vB,ωB=ωC=ω.

(1)vC=Rcω=2RBωB=2vB,

所以vA:vB:vC=vB:vB:2vB=1:1:2.

(2)因为RAωA=RBωB,

所以ωA:ωB=RB:RA=2:3,

故:ωA:ωB:ωC=2:3:3.

(3)因为a=ω2r=(ωr)ω=ωv,

所以aA:aB:aC=(1×2):(1×3):(2×3)=2:3:6.

评注:比例法是物理解题中一种常用的方法,运用比例法时必须首先建立待求物理量跟已知物理量间的函数式,然后相比得到结果.

例2如图3所示,在光滑的水平桌面上,质量分别为m1和m2的两个小球用轻质弹簧连在一起,并用长为L1的细线拴在轴上,m1与m2均以ω的角速度绕轴做匀速圆周运动,两球间的距离为L2,问:将细线烧断的瞬时,两球的加速度是多大?

解析:在细线未烧断前,两小球m1和m2以相同的角速度在光滑水平面内做匀速圆周运动,m1和m2的受力情况如图3示,显然,F1与F2的大小相等.

由牛顿第二定律知:

在细线烧断的瞬时,拉力T消失,但弹簧基本维持原长,m2的受力情况未来得及变化,题中所求的加速度即为此刻的加速度.可见,求解时可先求出m2所受弹力F2的大小,再由牛顿第二定律分别求出它们的加速度.

由牛顿第二定律得:

评注:分析动力学中瞬时性问题的基本思路是:先弄清楚变故未发生时各物体的受力情况.再分析变故发生过程中是哪些力发生了变化?发生了怎样的变化?而后运用牛顿第二定律求得结果.本题中,烧断细线的瞬时,由于细线张力的突然消失,小球原先受力的格局打破了,因而使得其运动的加速度不再是做匀速圆周运动的加速度了,在解题时必须清醒地认识到这一点.

例3长为1米的轻杆AB,两端分别连接质量为1千克的钢球,整个系统绕固定转轴0在竖直平面内转动,已知AO=0.6米,当A转到最低位置时的速度为3米/秒,如图4所示.求:(1)两段轻杆OB、OA所受的力;(2)转轴0所受到的力.

解析:整个系统绕固定转轴O在竖直平面内转动,当A转到最低点时,B恰好到达最高点,两球转动的角速度相同.要求两段转杆所受的力就必须分别选两小球为研究对象,两球所受的合力提供它们此时所需的向心力.欲求转轴处所受的力,则必须选AB杆为研究对象,因为AB杆为轻杆,所以它受到的合外力为零.

(1)A、B两球的受力情况如图5所示,由牛顿第二定律得:

联立方程并代入数据后得:

TA=24.8牛顿,TB=-0.2牛顿,TB为负,说明TB的方向是竖直向下的.

(2)选AB杆为研究对象,其受力情况如图6所示,由平衡条件得:

No+T'B-T'A=0,

所以N0=T'A-T'B=24.8-0.2=24.6牛顿.

评注:处理匀速圆周运动问题时,除了必须正确选择研究对象外,还必须对物体的受力情况作出准确的分析与判断,若某一个力的方向事先不能确认(如本题中的TB)时,则可先假设为某方向,待求解后根据结果作出判断.当物体做匀速圆周运动(或在竖直平面内做圆周运动且处于最高点或最低点时)必须明确其向心力是物体所受的合外力提供的,是牛顿第二定律在匀速圆周运动问题中的具体体现.

处理圆周运动问题时,还应注意临界条件的判定和圆周运动半径的确定.譬如,当物体在竖直面内做圆周运动时,如果受细线约束,则因为细线只能受拉力,不能承受压力,所以物体在最高点的速度最小时,对应着线的拉力为零,此时,只有重力提供向心力;如果只受轻杆约束,则由于轻杆的约束属于双面约束,它既能承受拉力,也能承受压力,这样,物体在最高点的临界速度是零.此时,轻杆产生的弹力与物体的重力相平衡.

例4如图7所示,在光滑的水平面上钉有两个相距20厘米的铁钉A和B,现用一长为1米的细线系一个质量为0.4千克的小球后将其另一端固定在铁钉A上,开始时小球与钉子A、B在同一直线上,然后使小球在水平面上垂直于绳子方向获得一个初速度v0=2米/秒,使小球在水平面内做匀速圆周运动,由于钉子B的存在,线将逐渐缠在铁钉A、B上.求:

(1)如果线的强度足够大,小球从开始运动到细线完全缠在A、B上需要多少时间?

(2)如果细线的抗断拉力为7牛顿,则从开始运动到细线断裂需经过多少时间?

解析:(1)当小球以2米/秒的线速度在光滑水平面内做匀速圆周运动时,由于铁钉的存在,小球每转半周,其作圆周运动的半径将减小0.2米.设从小球开始运动到完全缠在钉子A、B上,共转过n个半圆,则n=R0/ΔR=1/0.2=5个,小球运动的轨迹如图8所示.

设小球每转过一个半圆所需要的时间分别为t1,t2,……,tn,则:

(2)因为小球在运动过程中速率不变,小球做匀速圆周运动的半径则由于绳子缠在钉子上而不断地减小.所以,小球所受的向心力大小将随着半径的减小而增大.当绳中张力超过7牛顿时,绳子将发生断裂.设绳子拉力为7牛顿时,小球的运动半径为R',则有:

代入数据后可得:R'=0.23米.

因为小球作圆周运动的半径只能按等差数列(RK=R0-kΔR)选取,所以,在RK=0.2米时细线将断裂,故小球从开始运动到线断裂所经历的时间为:

评注:(1)当物体作圆周运动的半径发生突变时,物体的线速度大小保持不变,而其角速度、向心加速度和向心力则都发生了变化.(2)细线发生断裂的条件是:细线实际所受的张力超过它所能承受的最大的拉力.

例5如图9示,表面光滑的正圆锥体,母线与轴线间的夹角θ=30°,长为l的细线,一端固定于圆锥顶点0,另一端系一个质量为m的小球,现小球以的速率绕圆锥轴线在水平面内做匀速圆周运动,求绳子的张力T.

解析:对本题,许多学生是这样分析的:小球绕圆锥轴线在水平面内做匀速圆周运动时,受力情况如图10所示:小球受重力mg,弹力N和绳子的拉力T.取x、y轴方向如图10示,由牛顿第二定律得:

将代入,联立(1)、(2)式得:

这种解法对吗?我们知道,当v太大,即小球绕圆锥轴线旋转的ω太大时,小球将脱离圆锥面飞起来.所以说,只有在小球所受的外力N、T、mg和匀速圆周运动的半径为r=lsinθ这些条件都成立时(1)(2)式才对.事实上,小球所受重力和T恒存在,但弹力N和半径r=lsinθ的成立是有条件的,当小球作圆周运动的转速超过一定值后就将脱离圆锥面,这样r就不等于lsinθ,N也就不存在了,也就是说r与v有关,N的存在与否也与v有关.可见,小球作圆周运动所需向心力跟v的数值有关,把握向心力来源的关键在于抓住小球将脱离锥面的临界状态(N=0)的速度.正确的求解思路为:

选小球为研究对象,当小球速度v较小时,其受力情况如图10示.设小球刚好在圆锥表面作圆周运动时的临界速度为vK,此时,小球的受力情况如图11示.由牛顿第二定律得:,

所以

因为题中给出的小球速度,可见,此时,小球已经脱离圆锥表面.设此时绳子与竖直方向的夹角为α,如图11所示.由牛顿第二定律得:

将代入可解得:

评注:求解这类问题的关键是判断物体是否与锥面接触,而突破点是抓住物体与锥面间的挤压恰为零这个临界状态对应的速度.本题再次告诉我们:解决圆周运动问题的关键还是受力分析和运动状态分析.在圆周运动问题中,所谓的受力分析就是找出向心力的方向和来源(确定向心力的表达式);所谓运动状态的分析就是找出圆周运动的轨迹和圆心,进而找出圆周运动的半径和向心加速度方向,列出动力学方程.这两步相辅相成,缺一不可.

例6长L米的细线悬挂一质量为m千克的小球于O点,现把小球拉至使悬线与水平方向成30°角的A点(如图12)后松手.问:小球运动到悬点正下方的B点时,悬线的张力是多大?

解析:本题,许多同学的解题思路是这样的:

小球从A点自由释放后沿圆弧摆向B,这个过程中,由于只有重力作功,机械能守恒.即:

所以.

在B点,小球的受力情况如图13示,由牛顿第二定律得:

所以T=4mg.

这样分析对吗?显然,自由释放小球后,认为小球从A点起始终沿圆弧运动到B点的观点是错的.因为,自由释放小球后,开始的一段时间内小球只受重力作用而作自由落体运动,直到C处绳子被拉直,再经过一段极短的时间线被绷紧后才开始作圆周运动到达B点,如图14所示.在绷紧线的过程中,小球在克服绳子拉力作功的过程中消耗了一部分机械能,可见,小球在由A到B的整个过程中机械能并不守恒.正确的解法应该是:

(1)小球从A到C过程中作自由落体运动,由机械能守恒定律得:

所以,

(2)小球到达C点后,vc在法向方向的分速度v2由于受悬线拉力作用而迅速减速为零;vc在切线方向的分速度v1就是小球沿圆弧运动的初速度.在小球由C开始沿圆弧摆到B的过程中,由机械能守恒定律得:

根据牛顿第二定律得:

联立以上方程可得:

评注:本题的求解过程告诉我们,处理物理问题中,通过物理过程的分析揭示出运动情景和临界状态的过程是解决物理问题的关键,也是学习物理的基本功.

例7天体运动中,将两颗彼此距离较近且相互绕行的行星称为双星.已知两行星的质量分别为M1和M2,它们间距离为L,求两星各自运转的半径和角速度.

解析:有些同学是这样分析的:M1以角速度ω1绕M2作半径为L的匀速圆周运动,M2以角速度ω2绕M1作半径为L的匀速圆周运动的向心力均由行星M1、M2间的万有引力提供,即:

所以

这样的解法显然是错误的!尽管行星M1、M2做匀速圆周运动的向心力确实由M1、M2间的万有引力来提供,但双星分别做圆周运动的轨道半径并不等于L,也就是说M1做圆周运动的圆心不在M2处,M2做圆周运动的圆心也不在M1处.因为假若r=L,则由于M1和M2的圆周运动,使得两圆心位置发生变动,引起了两行星间距离的变化,从而使万有引力大小发生变化,使圆周半径和角速度大小都发生变化.这样,两颗行星也就不成其为双星了!可见,双星间有相互吸引力而保持距离不变是由于两行星以相同角速度绕两行星连线上某点做角速度相同的匀速圆周运动的缘故(如图15).

设双星做匀速圆周运动的圆心在O处,由牛顿第二定律得:

评注:通过本题的分析,使我们明确:运用假设法进行分析、推断,是展示物理情景的重要手段,在具体问题中应大胆地运用,以提高自己的逻辑思维能力.

例8假如一做匀速圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍时,仍作圆周运动,则()

(A)根据公式v=ωr可知卫星的线速度将增大到原来的2倍

(B)根据公式F=mv2/r可知,卫星的向心力将减小到原来的1/2

(C)根据公式F=GMm/r2可知,卫星的向心力将减小到原来的1/4

(D)根据选项(B)和(C)给出的公式可知,卫星运动的线速度将减小到原来的

解析:卫星绕地球(或其它天体)的运动虽然不是圆周运动,但在中学阶段都采用匀速圆周运动的模型来处理.对于卫星的运动,必须明确几点:(1)卫星运动的轨道平面一定过地球(或其它天体)的球心;(2)卫星的向心力由地球(或其它天体)与卫星间的万有引力来提供.(3)卫星运行的速度、角速度和周期均由地球(或其它天体)的质量及卫星运动的轨道半径决定.本题中,由于地球和卫星的质量均一定,根据Fn=GMm/r2可知,Fn∝1/r2,故选项(C)正确.由GMm/r2=mv2/r=mω2r得:,.即卫星在某一轨道上运行时只有一种速度(角速度),当轨道半径r发生突变时,若仍要使卫星做匀速圆周运动,则线速度v和角速度ω必须调整到另一个数值.可见,选项(A)和(B)都错,而(C)和(D)正确.

评注:对向心力的两个表达式Fn=mv2/r和Fn=mω2r,有些同学认为Fn∝r,而有些同学则认为Fn∝1/r2.其实Fn跟r的关系到底怎样,要看具体的条件:当ω保持不变时,Fn∝r,而v保持不变时,Fn∝1/r2.向心力的这两种情形对卫星来说显然是不对的.因为在卫星绕地球运行中,当r变化时,v和w随之变化.所以,在处理卫星问题时,要紧紧抓住万有引力提供向心力这一本质特征,这是分析和求解卫星类(或行星绕恒星运动类)圆周运动问题的最基本的原理和普适的方法.

例9用m表示地球通讯卫星(同步卫星)的质量,h表示它离地的高度,R0表示地球半径,g0表示地球表面处的重力加速度,ω0表示地球自转的角速度,则通讯卫星所受地球对它的万有引力大小为()

解析:通讯卫星绕地球做圆周运动时除了它的轨道平面与地球赤道平面重合外,它绕地心转动的角速度还应与地球自转的角速度相等.这样,通讯卫星就始终位于地球赤道平面上空的某确定点处与地球以完全相同的情形转动.所以,我们又将其称为同步卫星.同步卫星所需的向心力由地球对它的万有引力提供.由牛顿第二定律得:

质量为m'的物体,在地球表面处时,由牛顿第二定律得:

将(2)代入(1)得:

可见,选项(B)是对的.那么,选项(C)是否对呢?

为此,我们采用逆推法来分析:由(1)、(3)得:,

将其代入选项(C),即:

篇4：万有引力定律学习点睛

随着我国航天技术的飞跃发展，中华民族有了极强的荣誉感和强烈的自信心。高考对万有引力这一块知识可以说是每年必考。另外，从高考对物理学科考试能力的要求看，借助万有引力这个考点，可以很容易地对曲线运动、功和能等知识进行考查，万有引力习题情景新颖，要求学生有很强的理解能力和抽象能力，涉及天体运动大多计算复杂，可以很好地考查学生的运用数学知识解决物理问题的能力。故对万有引力的研究学习很有必要。

二、学生学习万有引力遇到的常见问题

1.对天体运动的基本情景理解不够：在万有引力定律习题中所要研究的对象一般情况下要么围绕中心天体在做匀速圆周运动（或沿椭圆轨道运行），要么天体表面，研究区分这两种情况很重要。

2.基本类型不熟，导致知识迁移能力无从说起。万有引力习题有很多基本题型，如，双星问题、卫星的变轨发射问题等，学习中不掌握解题要点必然会导致茫然。

3.基本常识不懂。如地球绕太阳运行的公转周期，地球自转周期，月亮绕地球运转的公转周期，月球的自转周期等。同步卫星的轨道平面及同步的含义不懂等。

4.其他：如数学知识欠缺。物理学科内其他点没落实到位等。

三、万有引力定律学习技巧

1.明确研究对象的情况，分别采取不同方法处理。

（1）对象绕中心天体做匀速圆周运动。