高中数学选修4知识点

第一篇：高中数学选修4知识点

高中数学选修4-1 几何证明选讲知识点梳理

《选修4-1几何证明选讲知识点梳理》

1. 平行线等分线段定理

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。 推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

2. 平分线分线段成比例定理

平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

3. 相似三角形的判定及性质

定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比。 预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与三角形相似。 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

定理：(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似;

(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

相似三角形的性质：

(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比;

(2)相似三角形周长的比等于相似比;

(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。

注：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。

4. 直角三角形的射影定理

射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

5. 圆周定理

圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。

圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。

6. 圆内接四边形的性质与判定定理

定理1：圆的内接四边形的对角互补。

定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

7. 圆的切线的性质及判定定理

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

8. 弦切角的性质

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

9. 与圆有关的比例线段

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

第二篇：高中物理选修3-4知识点总结

一.简谐运动

1、机械振动：

物体(或物体的一部分)在某一中心位置两侧来回做往复运动，叫做机械振动。机械振动产生的条件是：(1)回复力不为零。(2)阻力很小。使振动物体回到平衡位置的力叫做回复力，回复力属于效果力，在具体问题中要注意分析什么力提供了回复力。

2、简谐振动：

在机械振动中最简单的一种理想化的振动。对简谐振动可以从两个方面进行定义或理解： (1)物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动，叫做简谐振动。 (2)物体的振动参量，随时间按正弦或余弦规律变化的振动，叫做简谐振动，在高中物理教材中是以弹簧振子和单摆这两个特例来认识和掌握简谐振动规律的。

3、描述振动的物理量

描述振动的物理量，研究振动除了要用到位移、速度、加速度、动能、势能等物理量以外，为适应振动特点还要引入一些新的物理量。

(1)位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段叫做位移。位移是矢量，其最大值等于振幅。 (2)振幅A：做机械振动的物体离开平衡位置的 最大距离叫做振幅，振幅是标量，表示振动的强弱。振幅越大表示振动的机械能越大，做简揩振动物体的振幅大小不影响简揩振动的周期和频率。

(3)周期T：振动物体完成一次余振动所经历的时间叫做周期。所谓全振动是指物体从某一位置开始计时，物体第一次以相同的速度方向回到初始位置，叫做完成了一次全振动。 (4)频率f：振动物体单位时间内完成全振动的次数。

(5)角频率：角频率也叫角速度，即圆周运动物体单位时间转过的弧度数。引入这个参量来描述振动的原因是人们在研究质点做匀速圆周运动的射影的运动规律时，发现质点射影做的是简谐振动。因此处理复杂的简谐振动问题时，可以将其转化为匀速圆周运动的射影进行处理，这种方法高考大纲不要求掌握。 周期、频率、角频率的关系是：。

(6)相位：表示振动步调的物理量。现行中学教材中只要求知道同相和反相两种情况。

4、研究简谐振动规律的几个思路：

(1)用动力学方法研究，受力特征：回复力F =- Kx;加速度，简谐振动是一种变加速运动。在平衡位置时速度最大，加速度为零;在最大位移处，速度为零，加速度最大。

(2)用运动学方法研究：简谐振动的速度、加速度、位移都随时间作正弦或余弦规律的变化，这种用正弦或余弦表示的公式法在高中阶段不要求学生掌握。

(3)用图象法研究：熟练掌握用位移时间图象来研究简谐振动有关特征是本章学习的重点之一。 (4)从能量角度进行研究：简谐振动过程，系统动能和势能相互转化，总机械能守恒，振动能量和振幅有关。

5、简谐运动的表达式

振幅A，周期T，相位，初相

6、简谐运动图象描述振动的物理量

1.直接描述量：

①振幅A;②周期T;③任意时刻的位移t。 2.间接描述量：

③x-t图线上一点的切线的斜率等于V。 3.从振动图象中的x分析有关物理量(v，a，F) 简谐运动的特点是周期性。在回复力的作用下，物体的运动在空间上有往复性，即在平衡位置附近做往复的变加速(或变减速)运动;在时间上有周期性，即每经过一定时间，运动就要重复一次。我们能否利用振动图象来判断质点x，F，v，a的变化，它们变化的周期虽相等，但变化步调不同，只有真正理解振动图象的物理意义，才能进一步判断质点的运动情况。

小结： 1.简谐运动的图象是正弦或余弦曲线，与运动轨迹不同。 2.简谐运动图象反应了物体位移随时间变化的关系。

3.根据简谐运动图象可以知道物体的振幅、周期、任一时刻的位移。

7、单摆

1单摆周期公式

上述公式是高考要考查的重点内容之一。对周期公式的理解和应用注意以下几个问题：①简谐振动物体的周期和频率是由振动系统本身的条件决定的。②单摆周期公式中的L是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，一般也叫等效摆长。

例如图1中 ，三根等长的绳L

1、L

2、L3共同系住一个密度均匀的小球m，球直径为d，L

2、L3与天花板的夹角 < 30。若摆球在纸面内作小角度的左右摆动，则摆的圆弧的圆心在O1外，故等效摆长为 ，周期T1=2;若摆球做垂直纸面的小角度摆动，叫摆动圆弧的圆心在O处，故等效摆长为，周期T2=. 单摆周期公式中的g，由单摆所在的空间位置决定，还由单摆系统的运动状态决定。所以g也叫等效重力加速度。由可知，地球表面不同位置、不同高度，不同星球表面g值都不相同，因此应求出单摆所在地的等效g值代入公式，即g不一定等于9.8m/s2。单摆系统运动状态不同g值也不相同。例如单摆在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度等效值g = g + a。再比如在轨道上运行的航天飞机内的单摆、摆球完全失重，回复力为零，则重力加速度等效值g = 0，周期无穷大，即单摆不摆动了。g还由单摆所处的物理环境决定。如带小电球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和竖直的电场合力在圆弧切向方向的分力，所以也有-g的问题。一般情况下g值等于摆球静止在平衡位置时，摆线张力与摆球质量的比值。

8、受迫振动和共振Ⅰ

物体在周期性外力作用下的振动叫受迫振动。受迫振动的规律是：物体做受迫振动的频率等于策动力的频率，而跟物体固有频率无关。当策动力的频率跟物体固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振。共振是受迫振动的一种特殊情况。

9、机械波 横波和纵波 横波的图象Ⅰ

机械波：机械振动在介质中的传播过程叫机械波，机械波产生的条件有两个：

一是要有做机械振动的物体作为波源，二是要有能够传播机械振动的介质。 横波和纵波：

质点的振动方向与波的传播方向垂直的叫横波。质点的振动方向与波的传播方向在同一直线上的叫纵波。气体、液体、固体都能传播纵波，但气体和液体不能传播横波，声波在空气中是纵波，声波的频率从20到2万赫兹。

第二章、机械波 1 、机械波的特点：

(1)每一质点都以它的平衡位置为中心做简振振动;后一质点的振动总是落后于带动它的前一质点的振动。 (2)波只是传播运动形式(振动)和振动能量，介质并不随波迁移。 横波的图象

用横坐标x表示在波的传播方向上各质点的平衡位置，纵坐标y表示某一时刻各质点偏离平衡位置的位移。 简谐波的图象是正弦曲线，也叫正弦波

简谐波的波形曲线与质点的振动图象都是正弦曲线，但他们的意义是不同的。波形曲线表示介质中的“各个2 、波长、波速和频率(周期)的关系

描述机械波的物理量

(1)波长：两个相邻的、在振动过程中对平衡位置的位移总是相等的质点间的距离叫波长。振动在一个周期内在介质中传播的距离等于波长。

(2)频率f：波的频率由波源决定，在任何介质中频率保持不变。 (3)波速v：单位时间内振动向外传播的距离。波速的大小由介质决定。 波速与波长和频率的关系：，

3 、波的反射和折射 波的干涉和衍射Ⅰ

4 、.惠更斯原理：介质中任一波面上的各点，都可以看作发射子波的波源，而后任意时刻，这些子波在波前进方向的包络面便是新的波面。

25 、根据惠更斯原理，只要知道某一时刻的波阵面，就可以确定下一时刻的波阵面。、波的干涉和衍射

相差不多。

衍射：波绕过障碍物或小孔继续传播的现象。产生显著衍射的条件是障碍物或孔的尺寸比波长小或与波长干涉：频率相同的两列波叠加，使某些区域的振动加强，使某些区域振动减弱，并且振动加强和振动减弱区域相互间隔的现象。产生稳定干涉现象的条件是：两列波的频率相同，相差恒定。

稳定的干涉现象中，振动加强区和减弱区的空间位置是不变的，加强区的振幅等于两列波振幅之和，减弱区振幅等于两列波振幅之差。判断加强与减弱区域的方法一般有两种：一是画峰谷波形图，峰峰或谷谷相遇增强，峰谷相遇减弱。二是相干波源振动相同时，某点到二波源程波差是波长整数倍时振动增强，是半波长奇数倍时振动减弱。干涉和衍射是波所特有的现象。

6 、多普勒效应

1.多普勒效应：由于波源和观察者之间有相对运动，使观察者感到频率变化的现象叫做多普勒效应。他是奥地利物理学家多普勒在1842年发现的。

2.多普勒效应的成因：声源完成一次全振动，向外发出一个波长的波，频率表示单位时间内完成的全振动的次数，因此波源的频率等于单位时间内波源发出的完全波的个数，而观察者听到的声音的音调，是由观察者接受到的频率，即单位时间接收到的完全波的个数决定的。

3.多普勒效应是波动过程共有的特征，不仅机械波，电磁波和光波也会发生多普勒效应。

4.多普勒效应的应用: ①现代医学上使用的胎心检测器、血流测定仪等有许多都是根据这种原理制成。②根据汽笛声判断火车的运动方向和快慢，以炮弹飞行的尖叫声判断炮弹的飞行方向等。③红移现象：在20世纪初，科学家们发现许多星系的谱线有“红衣现象”，所谓“红衣现象”，就是整个光谱结构向光谱红色的一端偏移，这种现象可以用多普勒效应加以解释：由于星系远离我们运动，接收到的星光的频率变小，谱线就向频率变小(即波长变大)的红端移动。科学家从红移的大小还可以算出这种远离运动的速度。这种现象，是证明宇宙在膨胀的一个有力证据。 7 、波的反射

1.波遇到障碍物会返回来继续传播，这种现象叫做波的反射.

2.反射定律：入射线、法线、反射线在同一平面内，入射线与反射线分居法线两侧，反射角等于入射角。 入射角(i)和反射角(i’)：入射波的波线与平面法线的夹角i叫做入射角.反射波的波线与平面法线的夹角i’ 叫做反射角.

反射波的波长、频率、波速都跟入射波相同. 波遇到两种介质界面时，总存在反射

8、波的折射

1.波的折射：波从一种介质进入另一种介质时，波的传播方向发生了改变的现象叫做波的折射. 2.折射规律：

(1).折射角(r)：折射波的波线与两介质界面法线的夹角r叫做折射角.

(2).折射定律：入射线、法线、折射线在同一平面内，入射线与折射线分居法线两侧.入射角的正弦跟折射角的正弦之比等于波在第一种介质中的速度跟波在第二种介质中的速度之比： 当入射速度大于折射速度时，折射角折向法线. 当入射速度小于折射速度时，折射角折离法线. 当垂直界面入射时，传播方向不改变，属折射中的特例. 在波的折射中，波的频率不改变，波速和波长都发生改变.

9 、光的折射定律 折射率

光的折射定律，也叫斯涅耳定律：入射角的正弦跟折射角的正弦成正比.如果用n来表示这个比例常数，就有

折射率:光从一种介质射入另一种介质时，虽然入射角的正弦跟折射角的正弦之比为一常数n，但是对不同的介质来说，这个常数n是不同的.这个常数n跟介质有关系，是一个反映介质的光学性质的物理量，我们把它叫做介质的折射率.

i是光线在真空中与法线之间的夹角.

r是光线在介质中与法线之间的夹角.光从真空射入某种介质时的折射率，叫做该种介质的绝对折射率，也简称为某种介质的折射率

第三章、电磁波 电磁波的传播

一、麦克斯韦电磁场理论

1、电磁场理论的核心之一：变化的磁场产生电场

在变化的磁场中所产生的电场的电场线是闭合的 (涡旋电场) ◎理解: (1) 均匀变化的磁场产生稳定电场

(2) 非均匀变化的磁场产生变化电场

2、电磁场理论的核心之二：变化的电场产生磁场

麦克斯韦假设:变化的电场就像导线中的电流一样,会在空间产生磁场,即变化的电场产生磁场 ◎理解: (1) 均匀变化的电场产生稳定磁场

(2) 非均匀变化的电场产生变化磁场 〖规律总结〗

1、麦克斯韦电磁场理论的理解: 恒定的电场不产生磁场 恒定的磁场不产生电场

均匀变化的电场在周围空间产生恒定的磁场 均匀变化的磁场在周围空间产生恒定的电场 振荡电场产生同频率的振荡磁场 振荡磁场产生同频率的振荡电场

2、电场和磁场的变化关系

二、电磁波

1、电磁场：如果在空间某区域中有周期性变化的电场,那么这个变化的电场就在它周围空间产生周期性变化的磁场;这个变化的磁场又在它周围空间产生新的周期性变化的电场,变化的电场和变化的磁场是相互联系着的,形成不可分割的统一体,这就是电磁场 这个过程可以用下图表达。

2、电磁波：

电磁场由发生区域向远处的传播就是电磁波.

3、电磁波的特点：

(1) 电磁波是横波,电场强度E 和磁感应强度 B按正弦规律变化,二者相互垂直,均与波的传播方向垂直 (2)电磁波可以在真空中传播,速度和光速相同. v=λf (3) 电磁波具有波的特性

三、赫兹的电火花

赫兹观察到了电磁波的反射,折射,干涉,偏振和衍射等现象.，他还测量出电磁波和光有相同的速度.这样赫兹证实了麦克斯韦关于光的电磁理论，赫兹在人类历史上首先捕捉到了电磁波。

第四章、电磁振荡 电磁波的发射和接收

1、LC回路振荡电流的产生

先给电容器充电，把能以电场能的形式储存在电容器中。

(1)闭合电路，电容器C通过电感线圈L开始放电。由于线圈中产生的自感电动势的阻碍作用。放电开始瞬时电路中电流为零，磁场能为零，极板上电荷量最大。随后，电路中电流加大，磁场能加大，电场能减少,直到电容器C两端电压为零。放电结束，电流达到最大、磁场能最多。

(2)由于电感线圈L中自感电动势的阻碍作用电流不会立即消失，保持原来电流方向，对电容器反方向充电，磁场能减少，电场能增多。充电流由大到小，充电结束时，电流为零。

接着电容器又开始放电，重复(1)、(2)过程，但电流方向与(1)时的电流方向相反。 电磁波的发射和接收

有效的向外发射电磁波的条件：

(1)要有足够高的振荡频率，因为频率越高，发射电磁波的本领越大。

(2)振荡电路的电场和磁场必须分散到尽可能大的空间，才有可能有效的将电磁场的能量传播出去。 采用什么手段可以有效的向外界发射电磁波? 改造 振荡电路——由闭合电路成开放电路

2 、电磁波的接收条件

①电谐振：当接收电路的固有频率跟接收到的电磁波的频率相同时，接收电路中产生的振荡电流最强，这种现象叫做电谐振。

②调谐：使接收电路产生电谐振的过程。通过改变电容器电容来改变调谐电路的频率。 ③检波：从接收到的高频振荡中“检”出所携带的信号。.电磁波谱及其应用Ⅰ

3 、光的电磁说

(1)麦克斯韦计算出电磁波传播速度与光速相同，说明光具有电磁本质 (2)电磁波谱

电磁波谱 无线电波 红外线 可见光 紫外线 X射线 射线 产生机理 在振荡电路中，自由电子作周期性运动产生

原子的外层电子受到激发产生的

原子的内层电子受到激发后产生的 原子核受到激发后产生的

(3)光谱 ①观察光谱的仪器，分光镜 ②光谱的分类，产生和特征

发射光谱 连续光谱 产生 特征

由炽热的固体、液体和高压气体发光产生的 由连续分布的，一切波长的光组成 明线光谱 由稀薄气体发光产生的 由不连续的一些亮线组成

吸收光谱 高温物体发出的白光，通过物质后某些波长的光被吸收而产生的 在连续光谱的背景上，由一些不连续的暗线组成的光谱 ③ 光谱分析：

一种元素，在高温下发出一些特点波长的光，在低温下，也吸收这些波长的光，所以把明线光波中的亮线和吸收光谱中的暗线都称为该种元素的特征谱线，用来进行光谱分析。

- 56 -

第三篇：高中数学选修2----2知识点

第一章 导数及其应用 一.导数概念的引入limx0f(x0x)f(x0) x

1. 导数的物理意义：瞬时速率。导数的几何意义： 切线斜率

二.导数的计算

f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)1)基本初等函数的导数公式:运算法则[ ]g(x)[g(x)]2

3)复合函数求导yf(g(x))g(x)

三.导数在研究函数中的应用

1.函数的单调性与导数:f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递增;

2.求函数yf(x)的极值的方法是:如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值;

4.求函数yf(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤

(1) 求函数yf(x)在(a,b)内的极值;将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比

较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.

四.生活中的优化问题

利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题

第二章 推理与证明

1、归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

2、类比推理是由特殊到特殊的推理.

类比推理的一般步骤：

找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;

用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想;

检验猜想。

3、演绎推理是由一般到特殊的推理. “三段论”，⑴大前提-⑵小前提-;⑶结论

5、直接证明与间接证明 ⑴综合法： 要点：顺推证法;由因导果. ⑵分析法：逆推证法;执果索因. ⑶反证法：一般步骤：(1)(反设)假设命题的结论不成立; (2)(推理)根据假设进行推理,直到导出矛盾为止;3)(归谬)断言假设不成立;(4)(结论)肯定原命题的结论成立.

6、数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.

用数学归纳法证明命题的步骤;

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立;

*(2)(归纳递推)假设nk(kn0,kN)时命题成立，推证当nk1时命题也成立.

只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几何中的计算问题等.

第四篇：高中数学选修1-2知识点归纳

推理与证明

一.推理： 联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。 ①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。

注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。

注：类比推理是特殊到特殊的推理。 绎推理。

注：演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

⑴大前提---------已知的一般结论;

⑵小前提---------所研究的特殊情况;

⑶结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

二.证明 ⑴综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论

1证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 ⑵分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

复数

1.概念：

(1) z=a+bi∈Rb=0 (a,b∈R)z=(2) z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R);

(3) z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z+=0(z≠0)z2<0;

(4) a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R);

2.复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则：

(1) z 1±z2 = (a + b)± (c + d)i;

(2) z1.z2 = (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;

(3) z1÷z2 =(abi)(cdi)

(cdi)(cdi) z2≥0;acbd

c2d2bcadc2d2i (z2≠0) ;

第五篇：高中数学选修4-5：2.1.4证明不等式的基本方法——反证法(一)

2.1.4证明不等式的基本方法——反证法

(一)

【学习目标】

1. 掌握反证法证明不等式的方法.

2. 掌握反证法证明不等式的方法步骤.

【自主学习】

1. 什么是反证法?

2. 反证法证明不等式的理论依据是什么?

3. 反证法证明不等式的步骤有哪些?通常什么样的问题的证明用反证法?

【自主检测】

1. 实数a，b，c不全为0的条件为()

A.a,b,c均不为有B.a,b,c中至多有一个为0

C.a,b,c中至少有一个为0 D.a,b,c中至少有一个不为0

2. 若a,b∈R,|a|+|b|<1,求证：方程的两根的绝对值都小1.

3. 已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1.求证：a,b,c,d中至少有一个是 负数.

【典型例题】

ama.例1. 利用反证法证明：若已知a，b，m都是正数，并且ab，则 bmb

例2. 若x, y > 0，且x + y >2，则

例3. 设a3b32，求证ab2.

例4. 设0 < a, b, c < 2，求证：(2  a)c, (2  b)a, (2  c)b不可能同时大于1

【课堂检测】

1.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()

A.有一个解B.有两个解

C.至少有三个解D.至少有两个解

2.已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0,abc>0,求证：a,b,c>0 .

1y1x和中至少有一个小于2.xy

3.设二次函数f(x)x2pxq，求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于1. 2

4.设0 < a, b, c < 1，求证：(1  a)b, (1  b)c, (1  c)a,不可能同时大1于 4

【总结提升】

1.前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。

2.反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。

3.利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论;

第二步作出与所证不等式相反的假定;

第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果;

第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。