下面小编整理了一些《全国大学生论文范文(精选3篇)》，仅供参考，希望能够帮助到大家。日前，“瑞萨杯2011全国大学生电子设计竞赛”新闻发布会在竞赛秘书处单位北京理工大学举行，从而拉开了本届大赛的序幕。自2009年起，将由NEC电子在中国的子公司NEC电子(中国)有限公司独家赞助，中国教育部高等教育司及工业和信息化部人教司主办全国大学生电子设计竞赛。
第一篇：全国大学生论文范文
全国大学生智能汽车竞赛的研究与实践
摘要：本文对全国大学生智能汽车竞赛的指导思想、内容和模式、组织管理进行了研究。以竞赛的形式作为本科生获取知识、应用知识能力及创新意识培养的一种补充，提出了竞赛“立足培养、重在参与、鼓励探索、追求卓越”的指导思想，在竞赛内容和模式上具有坚持综合实践性、趣味性和观赏性的统一，坚持兼顾普及与提高和以团队协作完成综合实践等特色。7年来竞赛组织的成功实践可为大学生课外科技竞赛活动的举办提供有益的借鉴。
关键词：全国大学生竞赛;实践教育;智能汽车;组织工作
针对高校普遍存在实践教学环节薄弱的问题，为了加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，教育部在已举办全国数学建模、电子设计、机械设计、结构设计等专业竞赛的基础上，经研究决定委托教育部高等学校自动化专业教学指导分委员会(以下简称“自动化分教指委”)主办每年一度的全国大学生智能汽车竞赛(教高司函[2005]201号)。
竞赛是以智能汽车为竞赛平台的创意性科技竞赛，是面向全国大学生的一种具有探索性的工程实践活动。竞赛具有相对统一的标准硬、软件平台，竞赛过程包括理论设计、实际制作、整车调试、现场比赛等环节，要求大学生组成团队，协同工作，力求使他们能够初步体会一个工程性的研究开发项目全过程。
竞赛由飞思卡尔半导体(中国)有限公司(以下简称“飞思卡尔公司”)协办。在教育部、相关省教育厅和全国近400所高校的支持下，参赛队伍从2006年第一届25个省、自治区、直辖市57所高校的112支到2011年第六届30个省、自治区、直辖市357所高校的1744支，加之各高校校内赛，近两年每届参与的工科大学生已超过2万名。在飞思卡尔公司大学教育计划的推动下，中国智能汽车竞赛已经推广至印度、马来西亚、墨西哥、美国、德国、捷克等国，中国竞赛的第五届三支冠军队于2011年6月参加了在美国举行的国际邀请赛比赛，均以出色的成绩名列前3名。以竞赛为重要内容之一的《我国高等教育自动化专业人才培养面临的新问题对策研究及实践》获得了2009年国家级教学成果奖一等奖。
竞赛的成功举办，是以竞赛带动全国各高校实践教学活动的一种有益探索，也是7年来对组织竞赛的指导思想与目的、内容与模式、组织管理等方面不断认识、实践、再认识、再实践，螺旋式上升过程的肯定，其研究与探索成果可供同行借鉴与参考。
一、竞赛的指导思想与目的
在总体指导思想上，竞赛自始至终认真贯彻了“以育人为本”的战略思想，提出了“立足培养、重在参与、鼓励探索、追求卓越”的工作指导方针。
竞赛面向培养工程师后备人才的全国工科大学生。工程师是为了改造世界去创造，因而，对工科大学生的培养应着眼于理论与实践的结合，具有解决现实工程问题的能力和从事工程活动的综合素质。
“立足培养”明确了竞赛的目的与宗旨，即参赛学校与指导教师以培养学生的工程能力和素质为最终目标。竞赛作为实践教学的一个重要环节，与课内教学紧密结合，综合和强化课内知识，为工程能力和素质的培养开辟空间，既强调普遍的带动作用，又强调优秀人才的脱颖而出。
“重在参与”要求参赛学生发扬奥林匹克精神，不要过重看待比赛结果，以提高自身工程能力和素质为出发点，亲自动手，主动实践，享受学习的过程。
“鼓励探索、追求卓越”就是鼓励大学生积极探索，追求卓越，培养对科学技术和工程实践的兴趣和探索精神，培养责任感和卓越意识，为把我国建设成为创新型国家进行人才储备。
总之，竞赛的宗旨是在促进高等学校素质教育，培养大学生的综合知识运用能力、基本工程实践能力和创新意识，激发大学生从事科学研究与探索的兴趣和潜能，倡导理论联系实际、求真务实的学风和团队协作的人文精神，为优秀人才的脱颖而出创造条件。
二、竞赛内容与竞赛模式的特色
按照上述指导思想和目的，在组委会的领导下，秘书处认真研究了韩国大学生智能汽车竞赛，针对我国实际，设计并不断改进竞赛内容和模式。竞赛具有如下特色：
1.坚持综合实践性、趣味性和观赏性的统一
要使竞赛激发广大学生自主参与的兴趣，其内容必须具有工程学科发展的鲜明的时代性，具备信息化时代的工程技术内容和跨学科、综合性的特征，以挑战性、成就感和趣味性激发学生的兴趣，以竞技性和观赏性增强竞赛的吸引力。
为此，竞赛以迅猛发展、前景广阔的现代智能汽车为背景，技术涵盖自动控制、模式识别、传感技术、电子、电气、计算机、机械与汽车等多学科专业交叉，以竞速为内容，不断更新道路特征和感应手段，实现了综合实践性和趣味性、观赏性的统一。
竞赛是一种具有探索性的工程实践活动。其本质是一种创造有用人工物的训练性实践，过程属性为综合性，而结果属性则是创造性。对于大部分参赛学生，通过竞赛培养了综合运用基础知识和专业理论知识的能力，锻炼了动手实践的能力，激发了以工程实践中的新问题为引导学习多学科新知识的热情，促进了不同学科背景大学生之间的相互学习，逐渐学会对于知识和技能在交叉、集成基础上的综合运用。这种综合运用以工程实用为目的，综合考虑驾驶性能、可靠性、运行寿命、外观工业设计、性能价格比及竞赛策略等问题，即从系统工程角度，结合技术与非技术，集成自然科学与人文科学，在具体约束条件下完成设计和开发。
2.兼顾普及与提高
大学生科技竞赛是实践教学的一个环节，参赛学生每年更替，竞赛内容和规则每年又需有所变化，但相对难度随技术进步不应有显著差异，因而要求具有适于广大学生接受水平的普及性。同时，考虑参赛对象特殊兴趣和水平的需求，以及为优秀人才脱颖而出创造条件，又要求竞赛具有提高性内容。普及性要求较低的技术门槛和参赛费用;提高性则要求有较强的技术挑战性和思想驰骋空间。为此，竞赛分为竞速赛和创意赛两类。
竞速赛以常规教学内容为技术支撑，以基本的道路元素设计竞赛环境，以常见的传感器、控制器件为实现手段，要求学生通过设计安装传感器、驱动电路、控制器以及编写相应软件，制作一部能够自主识别道路的模型汽车，按照规定路线行进，以完成时间最短者为优胜。竞速赛参赛队员均为大学本科生，考虑到学生水平的不均衡性，竞赛秘书处统一提供基础方案，保证起点较低的学生也可以较容易地参加比赛;同时，为高起点学生的深入探索奠定了基础。为了给学生留有充分的探索空间，考虑实践教学的特点，竞赛在技术上分成多个组别：包括电磁组、光电组和摄像头组。每个组别又可以有多种传感器配置和控制策略。从2012年开始要求其中一个组别的智能车能够直立行走(相当于可以任意行走的单级倒立摆)。
创意赛参赛队员允许研究生和本科生共同组队参加，鼓励学生在基本的统一比赛平台上，根据竞赛的主题，充分发挥参赛队伍想象力，设计场景和智能车，以特定任务为创意目标，完成研制作品体现大赛主题和智能技术。
总之，竞赛通过不同组别的设定，充分考虑了不同层次、不同水平的学生特点，给学生以较大的发挥空间，体现了对学生的分类指导与分层次培养的原则。
3. 以团队协作完成综合实践
现代工程实践活动，早已发展为大规模团队协作工作模式，无不凝聚了水平高、人员结构合理的群体智慧。通过赛题设计，竞赛是具有团队性质的工程实践活动。首先，作为综合性实践活动，赛车制作涉及机械和电子、设计和开发、硬件和软件，内容较多，技术差异大，各部分又紧密关联，需要多人协作完成。其次，不同任务之间有时序关系，要求参与人员的有效组织和调度。第三，整体调试要求共同探讨，发现问题。第四，各部分内容对于最终竞赛成绩具有同等重要的作用，没有绝对主导的内容，也没有明显次要的内容。
根据竞赛内容跨学科交叉的特点，保证更好地完成任务，竞赛规则原则上要求3名来自不同专业的学生组成一个团队，若有2名教师指导一个队，原则上也要求来自不同一级学科专业背景。从而，学生通过团队的合作，可以逐步学会在一个团队中正确评价自己，正确评价他人;学会学习和发挥他人的长处，锻炼组织和调动各类人员积极性的能力;学会既能当主角，也能甘于当好配角，初步具备脚踏实地做好本职工作的基本素质。
竞赛前后时间跨度9个多月，学生经历从布置题目到参赛，从学习、消化、设计、制作、调试、改进到参赛、交流全过程，得到全面成长。
三、竞赛的组织管理特点
全国大学生智能汽车竞赛组织运行模式贯彻“政府倡导、专家主办、学生主体、社会参与”的方针，充分调动各方面参与的积极性。竞赛组织严密，竞赛规则透明，评价标准客观，保证了竞赛向健康、普及和持续的方向发展。经过各方面努力，竞赛于2007年12月开始，连续被教育部、财政部批准列入教育部教学质量与教学改革工程资助项目(高教函[2007]30号、教高函[2009]7号、教高函[2010]13号)的全国大学生科技人文竞赛之一。
1.专群结合的扁平化组织方式
竞赛在教育部、相关省教育厅和全国近400所高校的支持下，由自动化分教指委统筹领导，成立竞赛组委会，设立竞赛秘书处作为常设机构，负责比赛的日常组织、联络工作。各分/省赛区比照组成相应的组委会和秘书处。
全国竞赛秘书处全部由相关专业教师兼职组成，主持日常工作，受组委会领导，直接面向参赛学校和队伍。一方面，秘书处通过技术组、宣传组和后勤财务组，负责竞赛技术方案、规则、器材、宣传、财务和协调等有关事项，直接组织和参与学生培训、答疑、报名、赛事组织和裁判等所有必要事务，组织工作和技术工作协调统一。另一方面，通过例行组委会会议和重大事项请示方式，保障竞赛工作的方向性和权威性。这种工作模式，使得工作机制简单、扁平，反应灵活、迅速。
坚持专群结合组织具体的竞赛方案制订和赛区竞赛组织等工作。
竞赛方案以全国竞赛秘书处为主进行研究和试验，与各分/省赛区秘书处一起探讨，并通过竞赛网站公开征求参赛队伍的意见，形成的竞赛方案在全国组委会扩大会议讨论通过。
赛区竞赛组织则主要依靠承办学校，在全国竞赛秘书处和承办学校领导、负责教师的统筹下，以学生志愿者为主体组织;竞赛技术检查、仲裁、论文评审和创意赛评判则在全国竞赛秘书处的统筹下，邀请组委会、参赛学生和指导教师共同组成工作组。
总之，专群结合的扁平化组织方式保证了竞赛组织工作的高效。
2.统分结合、分层选拔的竞赛体制
竞赛除第一届采用邀请赛方式外，从第二届开始施行分赛区加总决赛体制，从第五届开始，一些高校较多、积极性较高的省份，在省教育厅的支持下，稳步推进省赛工作，形成了分/省赛区加总决赛的体制。
分/省赛区以竞速赛为内容举办预决赛，为全国总决赛的选拔赛。分/省赛区着眼于普及，主要强调学生参与，并鼓励各个省、各个学校分别举办自己的省赛、校内赛，以进一步扩大参与面。在省赛区中，省赛秘书处挂靠学校在争取各方支持、扩大影响方面发挥了重要作用;同时，为呼应广大学生迫切要求参赛的积极性，增加了每个学校参赛队数量，而就近参加省赛也节省了大学生的参赛成本。
全国总决赛包括了竞速赛与创意赛的预决赛。竞速赛进一步增加技术复杂度，对选手要求更高，竞争更加激烈，并在分/省赛和全国总决赛之间安排一个月左右的间隔时间，给总决赛参赛队伍进一步调试和提高，为追求卓越创造条件。创意赛的平台和规则更为开放，以专群结合的方式(包括秘书处人员、特邀专家和现场观众)组成评判队伍，鼓励新创意、新思路，一方面是提高性的内容，另一方面为新赛题设计提供借鉴。
3.保证课外性质的时间安排
竞赛只是提高高等教育教学质量的一种辅助方式。竞赛定位于课外实践活动，坚持竞赛与课内教学紧密结合，以不干扰教学秩序为原则。为此，竞赛时间安排要保证课外性质，或者可以作为选修课融入到大学生的实践教学计划中，保证竞赛安排不与正常教学安排相冲突。
每届比赛一般11月份由秘书处通知，但只要求有意愿的学生利用课余时间进行知识储备及各方面的准备工作，以避免对期末考试可能的冲击和影响;次年二三月开学之后，启动竞赛报名、咨询、参赛用品购置以及技术培训等工作。其中技术培训以分/省赛区为单位分别集中，时间则安排在周末。分/省赛区竞赛一般安排在7月份暑假开始之后;全国总决赛安排在8月份开学之前。
4.以管理手段与技术手段相结合的赛风保障体系
为了切实保障竞赛的健康发展，竞赛采取管理手段和技术手段相结合的思路和方式，重视赛风保障体系的建设，要求参赛队伍独立自主地完成实践任务，公平、公正地参加比赛，培养学生严谨的作风、诚实守信的品格。
管理手段方面，主要是通过严密的机制、严格的纪律和群众的参与，确保有法可依、有法必依和过程监督。首先，在全国组委会主持下制订的《竞赛章程》对赛风保障提出了明确要求，并制定了详细的《比赛规则与赛场纪律》和《比赛事宜说明》，所有文件均及时在竞赛官方网站公布;《章程》规定全国竞赛组织委员会和竞赛秘书处成员不得担任竞赛指导教师，赛题由秘书处在组委会领导下研究和总体设计，制作则由协办企业飞思卡尔公司完成，任何人不得泄漏公布文件以外的具体信息。第二，竞赛现场设有以分教指委委员为负责人、吸收参赛队伍指导教师的仲裁委员会，安排专门录像，通过大屏幕显示观众意见，以形成对裁判过程的监督;裁判组长由全国竞赛秘书处有关人员担任;全国总决赛的创意赛则把观众的投票作为评判的重要依据。第三，全国总决赛和分/省赛区均坚持执行异议制度。第四，赛题分为多个组别，每个学校参加同一组别的队伍不超过2支，且要求方案有显著不同。
技术手段方面，主要是通过赛题设计、裁判手段和技术标准保障参赛的独立性和评判的客观性。(1)以竞速为内容，以特制的电子裁判系统计时为裁判依据，最大程度上排除了主观因素的影响。(2)赛题不断调整以避免方案的照搬照用。(3)自行设计的关键部件要求刻印有参赛队伍名称和参赛时间的标识，以保证自主完成，杜绝批量制作、代工等违规现象。(4)通过发布方案雷同判定标准文件以保障评判的可操作性。
以管理手段和技术手段为条件，以广大参赛选手的觉悟为基础，竞赛裁判和仲裁严格执法，对违反竞赛纪律的队伍直接取消竞赛成绩，有效保障了竞赛持续、健康发展的方向，获得广大指导教师和参赛选手的高度认同。
5.以人本关怀和社会参与为内容的可持续发展保障
坚持以人为本，保证参赛选手方便、安全地进行比赛是竞赛可持续发展的一个重要条件。为此，各承办学校在赛事素质和场外服务方面开展了大量工作：一是保证竞赛场地与调试场地邻近;二是食宿安排靠近竞赛场地，并尽力降低住宿价格，或开辟免费学生宿舍资源，开放学生食堂;三是组织大量学生志愿者做好场外服务。这些工作赢得了参赛队伍的肯定，体现了人本关怀。
为了保证竞赛的基本定位不被异化，全国竞赛组委会一直坚持不收取报名费、控制竞赛器材成本的做法。但是，组织竞赛和研发赛车需要经费支持，因而社会参与是竞赛可持续发展的必要条件之一。竞赛从一开始就得到了飞思卡尔公司的大力支持，作为竞赛协助方2005年11月与自动化分教指委签订了为期5年的合作协议;2010年8月教育部国际合作交流司又与飞思卡尔公司签订了《高等学校人才培养战略合作协议》，继续支持竞赛。同时，在不与飞思卡尔公司产生冲突的情况下，全国总决赛和分/省赛区均可自主争取社会各界的自主支持，飞思卡尔公司也协助开展了有关工作。
6.以基地建设和培训交流为载体的教学保障
培训既是竞赛得以顺利开展的保障，又是立足培养的应有之义。竞赛以基地建设和培训交流为载体，促进了竞赛技术水平和课内教学质量的提高。
建立“嵌入式系统设计及应用”实验室是飞思卡尔公司大学教育计划的重要内容。随着竞赛的发展壮大，实验室建设也得到了进一步发展，迄今已达百余个。以这些实验室为基地，开展嵌入式系统教学和技术培训，既包括日常教学，又包括竞赛培训，已经成为竞赛重要的技术支持条件，并且发挥着强大的辐射作用。与此同时，一些学校基于竞赛，成立了跨学科实验室，促进了高校教学体制的改革。
同时，竞赛秘书处还通过提供基础方案、组织赛后交流、征集技术论文、进行网上答疑等形式进行更有针对性的培训交流，出版了《嵌入式系统设计与应用》、《学做智能车》等专著和培训教材，促进了竞赛水平提高和技术进步。
四、结论
全国大学生智能汽车竞赛的成功举办，以竞赛的形式作为本科生获取知识、应用知识能力及创新意识培养的一种补充，是本科工程实践教育的一种好方式，是新形势下对实践教学的有益探索。本文对竞赛的工作指导方针进行了分析讨论，从内容模式和组织管理两个方面总结了竞赛的特点，为进一步研究竞赛规律和实践教育规律做了基础性工作。
竞赛贯彻“以育人为本”战略思想，提出了“立足培养、重在参与、鼓励探索、追求卓越”工作指导方针。竞赛是以现代智能汽车为载体的“团队协作”工程实践活动，竞赛内容和模式兼顾普及与提高，尽可能达到综合实践性、趣味性和观赏性的统一，其技术含量高、涉及学科多，可以调动学生的兴趣，提供亲历体验的平台，切实锻炼学生的实践能力、创新能力和团队精神，符合实践教育规律。以课内课外相结合的方式，以具有明确载体的综合性实践为内容，是工科实践教育的有效途径，也是因材施教可以考虑的方向。
竞赛组织与管理按照“政府倡导、专家主办、学生主体、社会参与”的方针，充分调动各方面参与的积极性。竞赛在教育部、相关省教育厅和全国近400所高校的支持下，采用专群结合的扁平化组织方式、统分结合分层选拔的竞赛体制;坚持竞赛时间业余性，管理手段与技术手段相结合的赛风保障，精心组织竞赛;以基地建设为核心的竞赛产学研合作，促进了高校教学改革;人本关怀和社会积极参与，保证了竞赛向健康、普及、持续的方向发展。
[本文作者均系全国大学生智能车竞赛组织委员会及秘书处工作人员。工作单位：申功璋，北京航空航天大学;其余作者，清华大学]
[责任编辑：文和平]
作者：卓 晴 王京春 黄开胜 江永亨 曾 鸣 申功璋 王 雄
第二篇：“瑞萨杯2011全国大学生电子设计竞赛”开赛
日前，“瑞萨杯2011全国大学生电子设计竞赛”新闻发布会在竞赛秘书处单位北京理工大学举行，从而拉开了本届大赛的序幕。
自2009年起，将由NEC电子在中国的子公司NEC电子(中国)有限公司独家赞助，中国教育部高等教育司及工业和信息化部人教司主办全国大学生电子设计竞赛。2009年“NEC杯全国大学生电子设计竞赛”成功举办，在广大高校师生及社会中取得了良好的反响。2010年4月1日，NEC电子和瑞萨科技合并，成立了全新的瑞萨电子，2011全国大学生电子设计竞赛正式更名为“瑞萨杯2011全国大学生电子设计竞赛”。
据全国大学生电子设计竟赛组委会副主任兼秘书长赵显利教授介绍，在2009年“NEC杯全国大学生电子设计竞赛。中，共有30个省区、938所高校、8766支代表队、26，298名学生参赛。受到高校及社会各界的广泛关注。已成为国内电子信息类学科竞赛中规模最大、持续时间最长、影响度颇高的大学生学科竞赛。今年预计将有超过3万名学生参赛，将是历届大赛中规模最大的一次。
瑞萨电子大中国区总经理兼CEO郑力表示，瑞萨电子在中国的大学计划是一项长期的战略性计划。我们将通过更多样化的合作方式支持中国的大学教育，我们与全国20所知名大学建立了密切合作关系，成立了17个大学联合实验室。连续多年独家冠名赞助瑞萨杯全国大学生电子设计竞赛和瑞萨杯超级MCU模型车大赛，瑞萨电子将扩大和加强面向全国大学生的培训，为中国电子产业培养更多年轻技术骨干，促进学校和公司的共同发展，进而为推动中国环保型社会的建设与发展，推动在工业控制、汽车电子、数字影音、高端信息通信、手机、各种电子消费类产品及智能电网、智能家居等领域的发展贡献力量。(老虎)
第三篇：对一道全国大学生数学竞赛题的探讨
【摘要】本文从一道2020年全国大学生数学竞赛试题出发，给出关于该试题的推广，并举例说明其应用.
【关键词】 幂指函数;极限;导数;积分
【基金项目】2020年安徽省质量工程项目：高职数学课程思政教学团队(项目编号：2020kcszjxtd51);安庆职业技术学院高职数学课程建设项目.
一、引言
在2020年11月全国大学生数学竞赛初赛中有一道如下试题：
设f(x)，g(x)在x=0的某一邻域U内有定义，对任意x∈U，f(x)=g(x)，且limx→0f(x)=limx→0g(x)=a>0，则limx→0f(x)g(x)-g(x)g(x)f(x)-g(x)=.
解由于limx→0f(x)=limx→0g(x)=a>0，所以由极限的保号性，存在x=0的一个去心邻域U0，使得对x∈U0，有f(x)>0，g(x)>0.下面开始计算：先分子、分母同除以[g(x)]g(x)，得
limx→0[f(x)]g(x)-[g(x)]g(x)f(x)-g(x)=limx→0f(x)g(x)g(x)-1f(x)-g(x)·[g(x)]g(x)=aalimx→0f(x)g(x)g(x)-1f(x)-g(x)……(Ⅰ).
這里f(x)g(x)g(x)是幂指函数，由反函数的性质f-1f(x)=x，有
f(x)g(x)g(x)=elnf(x)g(x)g(x)=eg(x)lnf(x)g(x).
由等价无穷小替换，当x→0时，g(x)·lnf(x)g(x)→0，有eg(x)lnf(x)g(x)-1～g(x)lnf(x)g(x)，
则
(Ⅰ)式=aalimx→0g(x)lnf(x)g(x)f(x)-g(x)
=aalimx→0g(x)ln1+f(x)g(x)-1f(x)-g(x)……(Ⅱ).
再由等价无穷小替换，当x→0时，f(x)g(x)-1→0，
有ln1+f(x)g(x)-1～f(x)g(x)-1，
则(Ⅱ)式=aalimx→0g(x)f(x)g(x)-1f(x)-g(x)=aalimx→0f(x)-g(x)f(x)-g(x)=aa.
这道题主要用到幂指函数极限的相关性质.幂指函数形如f(x)g(x)，这个函数既像幂函数又像指数函数，它的特点是底数和指数都是变量.我们初识幂指函数是在学习初等函数的时候，很多同学认为它不是初等函数或者错误地进行初等分解，其实幂指函数是初等函数，它满足初等函数的所有性质.在高等数学学习过程中，很多内容都涉及幂指函数，例如求极限和求导，特别是求导的时候，很多同学会错误地把它当成幂函数或指数函数的复合函数来求导.本文基于几道竞赛题和习题推广幂指函数在导数和不定积分中的应用，并给出一些对应的解题方法.
二、相关问题的进一步探讨
(一)幂指函数的极限
这类题型一般有两种解题方法：(1)取对数化成隐函数;(2)利用幂指函数指数化.
幂指函数指数化又分为两种：f(x)和g(x)都是关于x的函数，为了方便，简记为g和f.
① 设lim f=a>0，lim g=b，则lim fg=lim eln fg=elim gln f=ab=(lim f)lim g.
② 1∞型未定式.设lim f=1，lim g=∞，利用等价无穷小替换，ln f～f-1，则lim fg=elim gln f=elim(f-1)g.
例1 limx→0sin x2+cos 2x1x.(第八届北京大学生数学竞赛大专组第4题)
解方法一：取对数化成隐函数.
设y=sin x2+cos 2x1x，
则ln y=lnsin x2+cos 2x1x=1xlnsin x2+cos 2x.
由洛必达法则，得
limx→0lnsin x2+cos 2xx=limx→012cos x2-2sin 2xsin x2+cos 2x1=12，
即limx→0sin x2+cos 2x1x=e12.
方法二：幂指函数指数化.这里又可以分两种解法：
limx→0sin x2+cos 2x1x=elimx→0sin x2+cos 2x-1·1x
=elimx→0sin x2-2sin2xx=e12.
或limx→0sin x2+cos 2x1x=limx→01+sin x2-2sin 2x1x
=limx→01+sin x2-2sin 2x1sin x2-2sin 2x·sin x2-2sin 2xx，
由于limx→01+sin x2-2sin 2x1sin x2-2sin 2x=e，
limx→0sin x2-2sin 2xx=limx→0sin x2x2·2-0=12，
所以limx→0sin x2+cos 2x1x=e12.
(二)幂指函数的求导或微分
1.幂指函数的求导
这类题型一般用指数函数求导法或取对数求导法.下面对指数函数求导法和取对数求导法做简要说明.
设f(f>0)和g都可微，
① 指数函数求导法：利用恒等式fg=egln f，得
(fg)′=(egln f)′=eg ln f(gln f)′=fgg′ln f+gf′f.
② 取对数求导法：等式y=fg(f>0)两边取对数，ln y=ln fg=gln f，再求导，1yy′=g′ln f+gf′f，得(fg)′=fgg′ln f+gf′f.
例2若u=xyyx，求uy.(第六屆北京市大学生数学竞赛大专组第8题)
解用取对数求导法，u=xyyx两边同时取对数，得
ln u=lnxy-lnyx=1xln y-1yln x.
等式两边对y求导，得1uuy=1x·1y+1y2·ln x，
即uy=xy1-xyx1x+ln xy.
本题直接用乘积的求导公式和幂函数及指数函数的求导公式也可以得到结果.
u=xyyx=x-1y·y1x，把x，y 当作独立的变量，则
uy=x-1y·ln x·-1y′·y1x+x-1y·1x·y1x-1·y′
=x-1y·1y2·y1x·ln x+x-1y·y1x-1·1x·1
=x-1y·y1x-1·ln xy+x-1y·y1x-1·1x
=xy1-xyx1x+ln xy.
2.幂指函数的微分
有时候遇到求多元函数的偏导数仅仅用指数函数求导法或取对数求导法并不容易得出正确的答案，这时候需要用到全微分的计算公式和隐函数的微分法.
① 若函数z=f(x，y)可微，则dz=fx(x，y)dx+fy(x，y)dy.由一阶全微分形式的不变性，不管x，y是自变量还是中间变量，该等式都成立.
② 隐函数的微分法：若二元方程确定的一元隐函数F(x，y)=0，y=y(x)，则dydx=-FxFy;
若三元方程确定的二元隐函数F(x，y，z)=0，z=z(x，y)，则zx=-FxFz，zy=-FyFz.
例3设z=f(x，y)是由方程zx=yz确定的，求z对x的偏导数.
解方法一：两边同时取对数，有xln z=zln y，
两边同时求微分，d(xln z)=d(zln y)，
ln zdx+x1zdz=ln ydz+z1ydy，
化简，得xz-ln ydz=-ln zdx+zydy，
x-zln yzdz=-ln zdx+zydy，
即dz=-zln zx-zln ydx+z2yx-zln ydy，
得到zx=-zln zx-zln y=zln zzln y-x.
方法二：设Fx，y，z=zx-yz，
则Fx=zxln z，Fy=xzx-1-yzln y，
zx=-FxFy=-zxln zxzx-1-yzln y=zxln zyzln y-xzx-1=zxln zzxln y-xzx-1，
等式右端分子、分母同时除以zx，得zx=zln zzln y-x.
(三)幂指函数的不定积分
这类题型实质上是幂指函数求导的逆过程，主要用到凑微分法，掌握了幂指函数求导方法，处理相关积分就容易多了.下面给出被积函数是一阶导数和二阶导数的不定积分公式.
设f(f>0)和g都可微，则∫f gg′ln f+gf′fdx=∫f g(gln f)′dx=∫(f g)′dx=f g+C，其中C为任意常数.由于(f g)′=f g(gln f)，有(f g)″=f ggln f″+gln f′2，所以
f g{(gln f)″+[(gln f)′]2}=(f g)″dx2=f g+C1x+C2.
有时候也会遇到被积函数是高阶导数的不定积分，求解方法同上.下面给出例题加深理解.
例4求不定积分：
∫xx(1+x+xln x)dx.
解原式=∫xx+11+xx+ln xdx
=∫xx+1(x+1)(ln x)′+ln x(x+1)′dx
=∫xx+1[ln x(x+1)]′dx
=∫(xx+1)′dx
=xx+1+C.
三、结论
幂指函数既不是幂函数也不是指数函数，它是幂底数和幂指数都是变量的函数，正因为这个特点，在求其极限、导数和不定积分的时候才稍显复杂.本文受2020年全国大学生数学竞赛一道幂指函数试题的启发，对相关内容进行了拓展和应用.幂指函数主要贯穿在解题中的某一环节，搞清楚它在各题型中需要的解题方法至关重要.本文结合几道竞赛题目给出了更直观的结论，以方便大家理解和应用，也可融入今后的高数教学中.
【参考文献】
[1]同济大学数学系.高等数学：上册[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.
[2]华东师范大学数学系.数学分析：下册[M].第3版.北京：高等教育出版社，2001.
[3]雷冬霞，黄永忠，吴洁.一道全国大学生数学竞赛题的探讨[J].大学数学，2018，34(1)：118-122.
[4]唐硕，时军，陈晓彦.一道数学竞赛题的探讨与引申[J].大学数学，2017，33(4)：60-65.
作者：王艳