浅谈二面角中两类常见模型及特殊求角技巧

2022-09-10

一、问题的提出

二面角是高中立体几何中三类空间角中难度最大的一类，也是历年高考中必考的一个重要考点。由于呈现出这一考点的几何情景和几何模型千姿百态，尤其是当对应二面角的两个半平面均不在水平位置或当二面角的平面角为钝角时，学生把握起来较为困难。

难点突出表现为:一是视角识别困难。立体几何图形会因为视角、字母排列顺序的不同，会造成视角障碍，牵制学生的思维;二是高考中二面角的平面角的作法有三种主要方法:定义法、垂面法、三垂线法。在具体题目中面临如何选择的问题。分析近年高考试题不难发现，对于三垂线法作二面角的平面角考查较多，三垂线法的难点是作面的垂线时垂足位置的确定。

本文正是基于上面两点，总结高考中的立体几何解答题，归纳出两类常见模型及两种求二面角大小的特殊技巧。掌握和熟悉这些，可以较好地解决高考要求内二面角的一些问题。

二、解决问题的模型

模型一：有长度相等关系的三棱锥模型

要求: (1) △PAB与CAB相似或全等 (图1) ，求作二面角P-AB-C的平面角。

操作方法:只需过P作PD⊥AB于D，再连接CD，由条件，可得CD⊥AB，则∠PDC为所求二面角的平面角。

(2) 若PA=PB, CA=CB时，求作二面角P-AB-C的平面角:只需取AB的中点E, 连接CD, PD。则∠PDC为所求 (图2) 。

(3) 若PA=PB, AB⊥BC时，取AB中点F，连接PF，再过F作FG∥BC，交AC于G，则∠PFG为二面角P-AB-C的平面角 (图3) 。

模型二:有垂直关系的三棱锥模型

要求:若面PAC⊥面ABC，求作二面角P-AB-C的平面角 (图4) 。

操作方法:过点P作PF⊥AB于F，则PF⊥面ABC，再过F作FG⊥AC于G，连接PG，由三垂线定理有PG⊥AC, 则∠PGF为所求二面角的平面角。同理可求二面角的P-BC-A平面角。

特殊情形1:PA⊥面ABC, AB⊥BC时, 易作二面角A-PC-B的平面角，二面角A-PB-C的平面角 (图5) (此模型俗称“三节棍模型”) 。

特殊情形2:PA, AB, AC两两垂直，求作二面角A-PB-C的平面角 (图6) (此模型又俗称“墙角模型”) 。

注:1、模型一主要是定义法作平面角，关键是确定棱上的垂足。而模型二均有面面、线面垂直的条件, 易作出面的垂线和确定垂足的位置, 熟悉这些模型可有效解决前文提到的第二个难点。

2、这些模型虽很简单，但将其“藏匿”于形形色色的几何体中后，识别它们的难度就加大了。总结这些模型的目的，是希望熟记这些模型。无论它们在几何体中处于什么位置，什么角度，都能快速的识别，这样就可有效解决前文提到的第一个难点。

三、模型的运用

例1:如图7, 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AB=AD=2, DC=垂足为E。

(1) 求证:BD⊥A1C; (2) 求二面角A1-BD-C1的大小;

(3) 求异面直线AD与BC1所成角的大小。

分析: (1) 、 (3) 略。 (2) 由条件易知DC=BC=所以BC1=DC1=△A1BD与△C1BD是共底的等腰三角形, 即为模型一 (见图7黑体突出部分) , 有条件可得E为BD的中点, 连结A1E, C1E, A1C1。可证BD⊥A1E, BD⊥C1E, ∴∠A1EC1二面角A1—BD—C1的平面角。 (下略)

针对此题，我们给出两种特殊的求二面角的技巧:

技巧一：如本题图，设二面角A1-BD-C1的大小为θ，二面角A1-BD-A的大小为α，二面角C-BD-C1的大小为β，则有θ=π-α-β。

实际上，这里后两个二面角的大小显然为锐角，而且它们各有一个面为水平面，且共棱，所以学生很熟悉。二面角用平面角来刻画大小后，求值就是求平面角的大小。这个地方运用的技巧就是平面角的补角思想。

技巧二:当然也可以连接B1D1，交A1C1于E1，则易得面B1BDD1⊥面A1ACC1，我们将模型一分为两个模型二，相应的二面角A1-B1D1-E1 (平面角的大小记为δ) 与二面角C1-B1D1-E1 (平面角的大小记为γ) 的之和即为二面角A1-BD-C1的大小，即θ=δ+γ。本质上是一个分割的思想。

四、小结

本文中二面角的两个三棱锥模型是最常见的，很多立体几何题以此为模型进行编写，本文试图将求二面角的问题模型化，总结处适用于大多数情况的结构，这对于学生思维的系统化是非常有用的，陶兴模老师在文[3]中提倡“在进行一个单元，一个章节的知识梳理时，要注意对典型方法，典型题型的归纳与梳理等等。要知道这些典型的题型又该用怎样的方法去求解”。“将典型问题模型化符合人们的认真规律，能够有效地提高学生解决数学问题的能力”。

当然除了本文所谈的这些方法以外，也可以利用射影面积法、等积法，建立空间直角坐标系利用空间向量的有关知识去解决求二面角的问题，但是运用上面这些综合的方法，对培养学生推理能力将有不可取代的作用。

摘要：二面角是高中立体几何中一个重要的问题, 是历年高考的一个热点, 但也一直是学生学习的一个难点。突出表现在:一是视角识别困难;二是考题中二面角平面角的作法选择难。本文针对这两点归纳出两类常见的模型及两种求二面角大小的特殊技巧来解决这些难点。

关键词：二面角,模型,求角技巧