抓住“两个公式”稳拿万有引力6分

随着我国及世界上空间技术的飞速发展, 近几年高考以天体问题为背景的信息给予题, 通过材料阅读还可以考查学生从材料中获取“有效信息”的能力, 备受命题者的青睐。

万有引力定律及其应用是高考中必考的内容, 并以选择题形式出现, 涉及到的题型以天体运动为核心, 如变轨问题、能量问题、估算天体质量或平均密度问题, 核心是两个公式即万有引力提供向心力和常用的黄金代换。学生只要记住这两个公式, 并结合其它知识进行灵活推理就可以解决本节内容的所有问题, 高考时万有引力这6分就手到擒拿了。

一、两个基本公式

1.由万有引力提供向心力。这是本章的主线索。

2.在地面附近万有引力近似等于物体的重力 (即黄金代换) , 。

二、抓法举例

(一) 有关天体的估算问题

例1:已知引力常量为G, 地球的半径为R, 月球到地球之间的距离r, 同步卫星距地面的高度为h, 月球绕地球的运转周期为T1, 地球表面的重力加速度为g。请根据已知条件提出两种估算地球质量的方法并解得结果。

例2:一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动, 其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力, 物体静止时, 弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G, 则这颗行星的质量为 ()

(一) 双星问题

“双星”是两颗相距较近, 万有引力对两者有显著影响, 而对其他天体作用可忽略的系统。绕连线上的共同中心以相同的周期做匀速圆周运动。

例3:天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星, 双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动, 周期均为T, 两颗恒星之间的距离为r, 则这个双星系统的总质量为 (引力常量为G) ()

解析]设两颗恒星的质量分别为m1、m2, 做圆周运动的半径分别为r1、r2, 角速度分别为ω1、ω2。根据题意有ω1=ω2' (1) r1+r2=r' (2)

(三) 变轨问题

在卫星变轨问题中, 加速则离心去远轨道;减速则做近心运动, 去近轨道。

例4:2010年10月1日, “嫦娥二号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射。如图所示为“嫦娥一号”、“嫦娥二号”卫星先后绕月球做匀速圆周运动的示意图, “嫦娥一号”在轨道Ⅰ上运行, 距月球表面高度为200 km, “嫦娥二号”在轨道Ⅱ上运行, 距月球表面高度为100 km。根据以上信息可知 ()

A.“嫦娥二号”的运行速率大于“嫦娥一号”的运行速率

B.“嫦娥一号”要返回地球, 在轨道Ⅰ上必须加速

C.“嫦娥二号”的向心加速度小于“嫦娥一号”的向心加速度

D.嫦娥二号”和“嫦娥一号”在轨道上运行时, 所携带的仪器都处于完全失重状态

[解析]根据可知A对;“嫦娥一号”要返回地球, 首先要远离月球, 做离心运动, 所以在轨道Ⅰ上必须加速, B对;向心加速度, 即轨道半径越小, 向心加速度越大, C错;卫星 (和卫星内的物体) 在轨道上运动时, 所受万有引力全部提供向心力, 即向心加速度等于所在轨道处的重力加速度, 所以处于完全失重状态。D对。

(四) 同步卫星

(1) 同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期。

(2) 由, 同步卫星都在赤道上空相同的高度上。所有地球同步卫星r、v、ω、T、a大小均相同。

例5:关于环绕地球运行的卫星, 下列说法正确的是 ()

A.分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星, 不可能具有相同的周期

B.沿椭圆轨道运行的一颗卫星, 在轨道不同位置可能具有相同的速率

C.在赤道上空运行的两颗地球同步卫星, 它们的轨道半径有可能不同

D.沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星, 它们的轨道平面一定会重合

[解析]根据开普勒第三定律 (常数) , 可知只要椭圆轨道的半长轴与圆轨道的半径相等, 两者的周期就相等, A选项错误;沿椭圆轨道运行的卫星在以长轴为对称轴的对称点上具有相同的速率, 故B选项正确;由, 解得 , 对于地球同步卫星其周期T=24小时, 故其轨道半径一定, C选项错误;经过北京上空的卫星轨道有无数条, 轨道平面与赤道平面的夹角可以不同, 故轨道平面可以不重合, D选项错误。