数字信号处理习题解答

数字信号处理习题解答（共6篇）

篇1：数字信号处理习题解答

数字信号处理习题解答

第1-2章：

1.判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。若不是，说明理由（1）f1(t)= sin2t + cos3t

（2）f2(t)= cos2t + sinπt

2、判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。若不是，说明理由

（1）f1(k)= sin(3πk/4)+ cos(0.5πk)

（2）f2(k)= sin(2k)(3)若正弦序列x(n)=cos(3πn /13)是周期的, 则周期是N=

3、判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期;若不是，说明理由

（1）f(k)= sin(πk/4)+ cos(0.5πk)

（2）f2(k)= sin(3πk/4)+ cos(0.5πk)解

1、解 β1 = π/4 rad，β2 = 0.5π rad 由于2π/ β1 = 8 N1 =8，N2 = 4，故f(k)为周期序列，其周期为N1和N2的最小公倍数8。

（2）β1 = 3π/4 rad，β2 = 0.5π rad 由于2π/ β1 = 8/3 N1 =8，N2 = 4，故f1(k)为周期序列，其周期为N1和N2的最小公倍数8。

4、画出下列函数的波形(1).(2).解 f1(t)tu(t1)

f2(t)u(t)2u(t1)u(t2)

5、画出下列函数的波形

x(n)=3δ(n+3)+δ(n+1)-3δ(n-1)+2δ(n-2)

6.离散线性时不变系统单位阶跃响应g(n)8

nu(n)，则单位响应h(n)=?

h(n)g(n)g(n1)8nu(n)8n1u(n1)

7、已知信号为fs（200)Hz。

f(t)5cos(200t)，则奈奎斯特取样频率

38、在已知信号的最高频率为100Hz(即谱分析范围)时，为了避免频率混叠现象，采样频率 最少要200 Hz：

9.若信号f(t)的最高频率为20KHz，则对该信号取样，为使频谱不混叠，最低取样频率是40KHz

10、连续信号：xa(t)5sin(2*20*t3)用采样频率fs100Hz 采样，写出所得到的信号序列x(n)表达式，求出该序列x(n)的最小周期

解：T10.01，x(n)xa(nT)5sin(0.4n)

3fs2 N025 0.4

11、连续信号：xa(t)Acos(80t3)用采样频率fs100Hz 采样，写出所得到的信号序列x(n)表达式，求出该序列x(n)的最小周期长度。解：T10.01，x(n)xa(nT)Acos(0.8n)

3fs25;N5 0.82 2012、设系统的单位取样响应

h(n)u(n)，输入序列为

x(n)(n1)，求系统输出序列y(n)

y(n)x(n)*h(n)u(n)*(n1)u(n1)

n解：

13、设系统的单位取样响应h(n)au(n),0a1，输入序列为 x(n)(n)2(n2)

完成下列各题：

y(n)；(2)分别求出x(n)、h(n)和y(n)的Z变换。

(1)求出系统输出序列

解：y(n)h(n)*x(n)anu(n)*[(n)2(n2)]=anu(n)+2an2u(n2)X(z)n[(n)2(n2)]zn12z H(z)2nau(n)znnanznn01 11az12zY(z)H(z)X(z)1az1

14、设系统的单位取样响应

h(n)u(n)，输入序列为

x(n)(n2)，求系统输出序列y(n)

y(n)x(n)*h(n)u(n)*(n2)u(n2)

解：

15、离散时间单位延迟器的单位响应为(k1)

16、线性时不变系统，输入为 x（n）时，输出为y（n）； 则输入为9x（n-23）时，输出是9y（n-23）

17、求x(n)cn的z变换（1nnc

1)解 X(z)nx(n)znnnnczcz

n0 X1(z)cnznn011cz1cz1czzc

z1

c X2(z)nc1nznc1，sk|h(k)||a|k0k则存在公共的收敛区域X(z)1cz1

,cz11cz1czc的线性时不变系统 18、分析单位脉冲响应为h(k)aku(k),的因果性和稳定性。

解：1）因为 k0时，h（k）=0，因此系统是因果的

2）如果 |a|<1, 则 s1 故系统是稳定的1|a|

如果 |a|≥1 , 则s → ∞，级数发散。故系统仅在|a|<1时才是稳定的

19、分析单位脉冲响应为h(k)0.5ku(k),的线性时不变系统 的因果性和稳定性。

解：1）因为 k0时，h（k）=0，因此系统是因果的 2）skh(k)0.5k0k12,10.故系统是稳定的nx(n)au(n),0a1 的DTFT求序列解

X(e)aejn0njn(aen0jn1)1aej)=|H(e)|e

jω

jθ(ω)

21、如果信号的自变量和函数值都取 __ ____值，则称为数字信号。离散 22.数字滤波器的频率响应函数可表示为H(e

jω

。式中，|H(ejω)|称为 函数，θ(ω)称为 函数。幅频特性，相频特性

23、因果稳定（可实现）系统的系统函数H(z)收敛域一定包含∞点，即∞点不是极点，极点分布在某个圆()，收敛域在某个圆()。

24、已知线性因果网络用下面差分方程描述：

y(n)0.9y(n1)x(n)0.9x(n1)

(1)求系统函数H(z)；(2)写出H(ej)

解：（1）y(n)0.9y(n1)x(n)0.9x(n1)

对方程两边进行z变换，得Y(z)0.9Y(z)z1X(z)0.9X(z)z1

H(z)

第3--5章： Y(z)10.9z（2）X(z)10.9z1110.9ejH(e)H(z)|zej

10.9ejj1.求序列 x(n)(n),0nN1的DFT

nkX(k)DFT[x(n)]x(n)WNN1n0解

nk(n)WN1,1kN1n0N1

2.求序列x(n)an(0nN1)的DFT

N1n0nkX(k)DFT[x(n)]x(n)WN解nkanWNn0N1kN1(aWN)1aN1,1kN1kk1aWN1aWN

3.求有限长序列x(n)=cos(nπ解：由DFT的定义

/6)(0n11)的N点DFT

nkj2e12nnjnnk111j6X(k)cosW12ee66n0n02111e2n0112jn(k1)12en0112jn(k1)12

利用复正弦序列的正交特性, 再考虑到k的取值区间，6k1,11可得X(k)

0 elsek,k[0,11].按基-2 FFT算法 , N=16的时间抽取法的 FFT运算 流图中，从x(n)到X(k)需（4）级蝶形运算过程。5.按基-2 FFT算法 , N=64的时间抽取法的 FFT运算 流图中，从x(n)到X(k)需（6）级蝶形运算过程。

6.序列x1（n）的长度为8，序列x2（n）的长度为16，则它们线性卷积的长度是（23），要使圆周卷积等于线性卷积而不产生混叠的必要条件为圆周卷积的长度（≥ 23）7.设有限长(N=4)序列为:x(n)=2δ(n)-δ(n-1)+3δ(n-2)+δ(n-3)，X(k)=DFT[x(n)]N, 试计算(1)X(k)k-0(2)X（N22)(3)X(k)(4)|X(k)|。

k0N1N1k0解：(1)X(0)x(n)WN0x(n)5

n0n0N1N1N1N1NnN/2(2)X()x(n)WNx(n)(1)n5

2n0n0

N11N11N10(3)x(0)X(k)WNX(k)，故X(k)Nx(0)8

Nk0Nk0k0

(4)由离散帕塞瓦尔定理，得 X(k)2Nx(n)260

k0n0N1N

18、数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应长度分类，可以分成(无限长单位脉冲响应(IIR))滤波器和(有限长单位脉冲响应(FIR))滤波器。

9.无限长单位脉冲响应(IIR)数字滤波器的两种常用设计方法是冲激响应不变法和双线性 变换法.冲激响应不变法的优点是频率变换关系是线性的，即ω=ΩT;冲激响应不变法的最大缺点会产生不同程度的 频率混叠失真。

10.采用按时间抽取的基-2 FFT算法计算N=1024点DFT，需要计算()次复数加法，需要()次复数乘法。1024*10，512*10 11.设模拟滤波器的系统函数为

H(s)211s26s8s2sT=2s

试利用双线性变换法，设计IIR数字滤波器H(z)。

解：利用双线性变换法

C=2/T=1

1z1H(z)H(c)11z111z11z1 2411z1z11z11z113z53z112、有一频谱分析仪用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已给条件为：（1）频率分辨力≤10Hz（2）信号的最高频率≤4kHz试确定以下参量：（1）最小记录长度Tp；（2）抽样点的最大时间间隔T；（3）在一个记录中的最少点数N。

解：（1）由分辨力的要求确定最小记录长度Tp.Tp=1/F=1/10=0.1(s)故最小记录长度为0.1秒。

（2）从信号的最高频率确定最大的抽样时间间隔T.fs≥2fh, T=1/fs ≤1/2fh=0.125*10-3(s)(3)最小记录点数N，它应满足N≥2fh /F=800

13、对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F ≤10 Hz，信号最高频率fc=2.5 kHz，试确定:

(1)最小记录时间Tpmin;(2)最大的采样间隔Tmax;(3)最少的采样点数Nmin。

14、频率分辨率与信号实际长度成 比，信号越长，其分辨率越。反，高。

15.由RC组成的模拟滤波器系统函数为Ha(s)1 s1(1)采样间隔T=2s，试用双线性不变法将该模拟滤波器Ha(s)转换成数字滤波器H(z);

(2)求出H(z)对应的序列h(n);

(3)判断系统H(z)的稳定性与类型（IIR、FIR）

解：（1）H(z)Ha(s)sc1z11z1110.50.5z

1s1sc1z11z（2）h(0)=0.5, h(1)=0.5

（3）FIR，稳定

16、如果序列x(n)的DFT为X(k)，则x(n)的实部和虚部（包括j）的DFT分别为X(k)的共轭_____对称___分量和共轭____反对称____分量。

篇2：数字信号处理习题解答

3.判断下面的序列是否周期的(1).x(n)Acos(3n),A是常数78j(1n)(2).x(n)e85.试判断系统是否为线性时不变的（5）y(n)=x2(n)(7)y(n)=x(n)sin(n)6.试判断系统是否为因果稳定系统（4）y(n)=x(n-n)0x(n)(5)y(n)e第二章

1.求下列序列的傅里叶变换（7）x(2n)DTFT[x(2n)]=x(2n)e-jnn=-令m=2n，于是DTFT[x(2n)]==1212m=-，m为偶数x(m)e-jm/2mm=-[x(m)(1)-jm/2m=-x(m)]e-jm/2[x(m)e12[X(ej12m=-j(1)2e)]jmx(m)e-jm/2])X(e14.求出下列序列的z变换及收敛域(1)2-nu(n)X(z)n2znnu(n)zn

n2n11,|(2z)|111(2z)z,|z|121z2-3z-117.已知X(z)=,分别求：-1-22-5z+2z（1）收敛域0.5< | z | < 2对应的原序列x(n)(2)收敛域 | z | > 2对应的原序列x(n)解：X(z)=11--11-11-2z-12z

收敛域0.5< | z | < 2时：nx(n)=2nu(-n-1)+(1)u(n)2收敛域 | z | > 2时：nnx(n)=(1)u(n)-2u(n)221.已知线性因果网络用下面差分方程表示： y(n)=0.9y(n-1)+x(n)+0.9x(n-1)(1)求网络的系统函数及单位脉冲响应h(n)(2)写出网络频率响应函数H(ej)的表达式，并定性画出其幅频特性曲线解：1+0.9z-1(1)H(z)=,|z|>0.9-11-0.9z-1n-11+0.9z令F(z)=H(z)z=zn-1-11-0.9z当n1时，有极点z=0.9h(n)=Res[F(z),0.9]1+0.9z-1n-1=z(z-0.9)|z=0.91-0.9z-1=20.9n因为系统是因果系统，所以有h(n)=0,n<0当n=0时，有极点z1=0,z2=0.9h(n)=Res[F(z),0]+Res[F(z),0.9]1+0.9z-1-11+0.9z-1-1=zz|z=0+z(z-0.9)|z=0.91-0.9z-11-0.9z-1=-1+2=1h(n)=20.9nu(n-1)+(n)ej+0.9(2)H(e)=je-0.9(3)y(n)=h(n)*x(n)j=h(m)x(n-m)m=00n-m）=h(m)ej（m=0

=h(m)ej0ne-j0mm=0=ej0nH(ej0)=ej0nej0+0.9ej0-0.9

第三章

6.设下列x(n)长度为N，求下列x(n)的DFT(1)x(n)(n)(2)x(n)(nn0)0n0N

1(3)x(n)an(5)x(6)(4)x(n)ej0nRNn

ncos0nRNn

xnsin0nRNn(7)xnnRNn

100kN1

其他0kN1

其他解：(1)X(k)kn0j2Ne

(2)X(k)0kn0N1j2N1aNe2jk

(3)X(k)n0N1ae00kN1其他2knNj(02k)nN

(4)X(k)x(n)Wn0N1nkNen0N1j0neje

(5)x(n)cos(0n)RN(n)1j0n(eej0n)RN(n)211ej0N1ej0NX(k)j0kk21eWN1ej0WN

kk1ej0N1ej0WN11ej0N1ej0WN j0j0kk21eWN1eWNk1cos0Ncos0N1cos0WNk2k12cos0WNWN

(6)

1x(n)sin(0n)RN(n)(ej0nej0n)RN(n)

211ej0N1ej0NX(k)j0kk2j1eWN1ej0WNjNjkk1ej0N1ej0WN11e01e0WN

 kk2j1ej0WN1ej0WNsin0N1sin0WNksin0Nk2k12cos0WNWN1zN

(7)设x1(n)RN(n)，则X1(z)

1z1d1zN

x(n)nx1(n)，则X(z)z1dz1z 

X(z)zNzN11z1z21zNX(k)X(z)zWkN1zNW1WW1W12kNNkNkNk2NNz1zz1z

1z1WN

N11N12kNNkWN1kNkN

因为WN1，WN10

N1n0X(k)k0n123(N1)N(N1)221.(1)模拟数据以10.24KHz速率取样，若已知1024个取样的离散傅立叶变换。求频谱取样之间的频率间隔。

(2)以上数字数据经处理以后又进行了离散傅立叶反变换，求离散傅立叶反变换后抽样点的间隔为多少？整个1024点的时宽为多少？

10240Hz10Hz

10241s97.66s（2）抽样点的间隔

T10.24103整个1024点的时宽

T97.661024ms100ms 解：（1）频率间隔

F第四章

1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复数乘法需要50us，每次复数加法需要5us。用它来计算N=512点DFT，问直接计算需要多少时间，用FFT计算需要多少时间？照这样计算，用FFT进行快速卷积对信号进行处理时，估算可实现实时处理的信号最高频率。解：

(1)512点直接DFT计算的时间： 复数乘法：N=512x512x50us=13.1072s 复数加法：N（N-1）=512x511x5us=1.308s 512点直接DFT计算的时间=13.1072s+1.308s=14.4152s(2)用FFT计算的时间：

复数乘法：N0.5x512x9x50us=0.1152s 2log2N=复数加法：Nlog2N=512x9x5us =0.023s 用FFT计算的时间=0.1152s+0.023s=0.1382s(3)用FFT进行快速卷积对信号处理时间： 假设IFFT也用FFT程序计算，则在实时计算中使用的时间是两次FFT时间（h(n)的FFT计算按照事先计算好存储备用），外加一次512点的复数乘法：

用FFT进行快速卷积对信号处理时间=2 x 0.1382s +512x50us = 0.302s 实时处理时，信号采样的最高采样频率：210.302512=1695.36Hz 信号的最高频率=1695.36/2=847.68Hz 7.某运算流图如图所示，问：

（1）图示是按时间还是按频率抽取的FFT？（2）把图示中未完成的系数和线条补充完整。解：

（1）分析图示的流图结构，发现其中基本的蝶形运算单元是先加减后乘系数的，因此是按频率抽取的基2FFT x(0)x(2)-1 x(1)

-1 x(3)-1（2）第五章

6.用脉冲响应不变法及双线性变换法将模拟传递函数HasX(0)X(1)

W04

WW04

X(2)

W14

-1 04

X(3)

3s1s3转变为数字传递函数H(z)，采样周期T0.5。

解：Ha(s)3113();ha(s)(ete3t)u(t)2s1s323h(n)T(enTe3nT)u(n),代入T0.523(en2e3n2)u(n)43113(1e32z1)(1e12z1)H(z)()12132141ez4(1e12z1)(1e32z1)1ez3(e12e32)z10.2876z1123212241(ee)zez10.829z10.135z2(2)双线性变换H（z）Ha(s)T1z121z1s3s24s3s41z11z131z121z116()163111z1z3(12z1z2)36z13z21632z116z21616z236z13z23526z13z20.08750.1714z10.0857z210.7429z10.0857z2MATLAB程序及运算结果如下：%脉冲不变法、双线性变换法；b[003];a[143];3(1z1)216(1z1)216(1z1)(1z1)3(1z1)2

[bz1az1]impinvar(b,a,2)%脉冲不变法bz1分子系数az1分母系数；[bz2az2]bilinear(b,a,2)%s双线性变换法bz2分子系数az2分母系数；结果：

bz1=0

0.2876

0

az1=1.0000

-0.8297

0.1353

bz2=0.0857

0.1714

0.0857

az2=1.0000

-0.7429

0.0857 7.用脉冲响应不变法及双线性变换法将模拟传递函数Has3转变为数字传递函数H(z)，采样周期2ss1T2。

解：（1）脉冲响应不变法Ha(s)111s2s1(s12)234(s12)2(32)2A1s12j(32)1s12j(32)*s12j(32)A2s12j(32)1j31j3T(12j(32)T1A1j3j3)将T2代入A2A1H(z)1s12j(32)j31e(T(12j(32)Ts12j(32)1ez22e1sin3z10.8386z1121122312ecos3zez10.1181z0..135z其中：sin3sin3180./0.987cos3cos3180./0.1606(2)双线性变换H（z）Ha(s)11z11z1z1s1s2s1s1z11z11z121z1()1111z1z(12z1z2)12z1z21221212zz1z12zz3z20.33330.6667z10.3333z210.3333z2(1z1)2(1z1)2(1z1)(1z1)(1z1)2

MATLAB程序及运算结果如下：%脉冲不变法、双线性变换法；b[001];a[111];[bz1az1]impinvar(b,a,0.5)%脉冲不变法bz1分子系数az1分母系数；[bz2az2]bilinear(b,a,0.5)%s双线性变换法bz2分子系数az2分母系数；

结果：

bz1=0

0.8386

0

az1=1.0000

0.1181

0.1353

ba2=0.3333

0.6667

0.3333 az2=1.0000

0

0.3333 10.设有一模拟滤波器Ha(s)

1，采样周期T2，用双线性变换法将其转换为数字系统函数H(z)。

s2s1解

由变化公式

1z1

sc 11z及c2,T2,可得 T1z1

s

1z1所以

H(z)Ha(s)1z11z1

s

=

11z121z1()()1111z1z

(1z1)2

=

3z218.用双线性变换法设计巴特沃兹数字高通滤波器，要求通带边界频率为0.8rad，通带最大衰减为3dB，阻带边界频率为0.5rad，阻带最小衰减为18dB。

解：已知p0.8rad,s0.5rad,p3dB,s18dB

（1）将数字高通滤波器的边界频率转换为相应的模拟高通滤波器Ha(s)的边界频率。（令T=2）

phtanp2tan0.80.50.006981,shtanstan0.004363 222（2）将Ha(s)的指数转换为模拟低通归一化原型滤波器G（p）的指标

p1,p3dB;sphsh1.6,s18dB

设计程序：

% 调用函数buttord,butter,lp2hp和bilinear用双线性变换法设计巴特沃思数字高通滤波器程序： ex623.m

wp=1;ws=1.6;rp=3;as=18;

[N,wc]=buttord(wp,ws,rp,as,’s’);[Bap,Aap]=butter(N,wc,’s’);[BHP,AHP]=lp2hp(Bap,Aap,1.6);[Bz,Az]=bilinear(BHP,AHP,0.5);% N,Bz,Az为所设计巴特沃思数字高通滤波器的阶数和系统函数； 运行结果：

N=5

Bz=[0.0165-0.0824 0.1648-0.1648 0.0824-0.0165]

Az=[1.0000 1.2604 1.1914 0.5375 0.1505 0.0166]

19.设计巴特沃兹数字带通滤波器，要求通带范围为0.25rad0.45rad，通带最大衰减为3dB，阻带范围为00.15rad和0.55radrad，阻带最小衰减为15dB。解：(1)确定数字带通滤波器性能

，10.25rad，s20.55rad，s10.15rad u0.45rad通带内最大衰减p3dB，阻带内最小衰减s15dB(2)确定模拟滤波器性能。若T＝2s

u2tanutan0.2250.854r1ad/s T2

12tan1tan0.1250.414r2ad/s T2

s22tans2tan0.2751.170r8ad/s T2

s12tans1tan0.0750.2401rad/s T2u10.5948rad/s，通带心频率0带宽Bu10.4399将频率对B归一化，得到相应归一化带通边界频率：

uu1.941，6110.9416，s2s22.6615，BBBs10.5458，0u11.3521 B

s1(3)由归一化带通性能确定相应模拟归一化低通性能

s2202

归一化阻带截频率为s1.9746

s2

归一化通带截频率为p1,p3dB,s18dB(4)设计模拟归一化低通G(p)

s10p1100.31

ksp，1.9746 0.1266sp0.1s1.8p101101

N

取N=3.查表得，G(p)0.1lgksplgsplg0.12663.04

lg1.97461p32p22p1

(5)频率变换，将G(p)转换成模拟带通Ha(s)HasG(p)ps202

sBB3s3s2203222s20sB2s20s2B2s3B332

0.08s55432s60.879s81.448s40.707s60.512s40.110s10.0443(6)用双线性变换公式将Ha(s)转换成H(z)H(z)Hass21z1T1z1[0.01811.77641015z10.0543z24.4409z30.0543z42.77561015z50.0181z6][12.272z13.515z23.2685z32.3129z40.9628z50.278z6]1 第七章

7.画出下面系统函数的直接型结构图

2.52z10.6z2

H(z)

10.5z10.6z20.5z3解：

8.用级联方式画出下面系统的结构图

2(z1)(z21.414z1)

H(z)

(z0.3)(z20.9z0.81)21z111.414z1z2解：Hz

10.3z110.9z10.81z2

6.已知FIR的系统函数为

H(z)1(10.9z12.1z20.3z32.2z40.3z52.1z60.9z7z8)15

画出该系统的直接型结构。解：

9.已知FIR系统的16个频率采样值为：

H(0)12，H(1)3j3，H(2)1j，H(3)H(4)......H(13)0，H(2)1j,H(1)3j3，试画出其频率采样结构图，如果取r=0.95,画出其修正的采用实系数乘法的频率采样结构图。

1zN解：HzNHk,k1k01WNzN1N16

取修正半径r=0.95，将上式中互为复共轭得并联支路合并，得

1r16z16Hz16Hk11610.4401zk116k01rW16z15H010.95z1H110.95W1z116

H15H2H14 1512114110.95W16z10.95W16z10.95W16z110.4401z16

篇3：习题解答重在价值挖掘

【习题】两个数的和是10, 这两个数的积最大是多少?

【第一次尝试】

三年级的学生拿到这个题目, 有些学生觉得无从下手, 有的学生经过一段时间尝试后能够得出:这两个数的积最大是25。

如何呈现学生的思考过程, 让所有学生都明白呢?

师:两个数的和是10, 这两个数分别是几?

生1:这两个数不确定, 有很多的可能性。

师:可能是什么?

生2:可能是3和7, 可能是2和8, 可能是4和6, 可能是1和9, 还可能是5和5。

师:这么多的可能性, 也记不住呀!谁能让大家记住这些可能性?

生3:这两个数可能是1和9, 可能是2和8, 可能是3和7, 可能是4和6, 还可能是5和5。

师:这样的有序表达能让大家记住, 其实这就是有序思考的价值。

生4:这就是我们很小的时候学习的10的分解与组合。

师:你真会联系!数学就需要这种联系的方法来解决问题。那我们怎样写出来更清楚呢?

生5:我们列表吧, 可以把这些答案一一呈现在眼前。

这样的题目, 从学生已有的知识出发, 让学生体会到数学知识之间是有联系的, 旧知识是新知识学习的基础。在数学学习过程中, 要学会有序思考, 这样才能不遗漏、不重复;学会了思考还远远不够, 更要学会表达, 让别人看清楚自己思考的过程。尝试列表是一种非常重要的数学方法, 为提升学生解决问题的能力提供了新的思路

【第二次尝试】

上面的解答让我欣喜过, 在解题过程有学生对“有序思考”的诠释, 有对旧知识的关注。难道这样的解答就能让所有的学生明白吗?学生的已有认知中只有“10的分解与组合”支撑他们对这道题的学习吗?

于是, 我进行了第二次尝试, 在学生理解题意的基础上, 找出两个加数的可能性, 让学生列表写出思考过程, 找出了最大的积是25后, 我又给学生呈现了《乘法口诀表》进行教学:

师:请你找出符合此题答案的乘法算式, 说说这些算式有什么特点?

生1:这些算式有1×9=9、2×8=16、3×7=21、4×6=24和5×5=25。

生2:这些算式的积越来越大。

生3:一个因数越来越大, 另一个越来越小, 它们相加得10。

师:同样是相加得10的两个数, 乘积有大有小。你们能判断出什么时候乘积比较大, 什么时候乘积比较小吗?

总结:和一定, 差小积大。

下面大家先看一个图, 你看到了什么?

生4:我看到一个长方形的长是9, 宽是1, 面积是9;还看到一个正方形边长是5, 面积是25。

师:你是从面积的角度来观察的。

生5:我看到长方形和正方形的周长相等, 都是20, 但是正方形的面积大。

师:所以“两个数的和是10, 这两个数的积最大是多少?”这道题随着新知识的学习, 又可以换成“两个周长相等的长方形和正方形, 哪个图形的面积比较大?”其实, 我们今天的这道题还可以转化为“周长都是20的长方形和正方形, 哪个图形的面积比较大?”

在学生完成题目的解答之后, 教师并没有停留在答案本身, 而是从学生已有的知识中进行合理的建构———把学生倒背如流的乘法口诀进一步进行开掘, 作为学生对这个结论理解的另一扇窗户, 这样不仅沟通了知识间的内在联系, 而且让学生觉得许多知识万变不离其宗。除此之外, 学生思维的凭借有三种:一种是基于形象的思维, 一种是基于动作的思维, 一种是基于符号和逻辑的思维。这里考虑了学生思维的特点, 运用数形结合的思想帮助学生对所学知识的理解, 符合学生的认知特点。最令人欣喜的是教师能够挑出数论中的习题, 和空间与图形领域巧妙结合, 在变中求不变, 从而帮助学生建立模型。

【第三次尝试】

学生会列表了, 也能从原有认知中找到乘法口诀这个旧知识点作为进一步学习的支撑, 在此基础上还运用了数形结合的思想让学生迁移到另一类有关周长一定、面积大小比较的问题。这些都是在教师引导下完成的。能不能让学生自己探究此类习题呢?

首先让学生独立思考, 尝试用旧知识解决新问题, 接着在小组内讨论。最后在全班交流。

有的学生真能想到用乘法口诀作为例证, 说明“和一定, 差小积大”;有的学生能列表枚举出所有的答案, 还有的学生能用数形结合的方法画图来说明:当两个加数差最小时, 积最大, 当两个加数差最大时, 积最小。

我们既然可以用二维 (面积图) 来诠释“和一定, 差小积大”, 能不能用一维的数直线来表示呢?

数直线虽然是一维, 没有数形结合的形象直观, 但是, 数直线中这种对称的美让学生感受到也是不易的。没有这样的工具, 学生根本体会不到。数学的本质是对数学美的追求, 其中对称是数学美的核心。由此看来, 这三次尝试, 每次都有价值, 每次都有拓展和新的视角, 这对于学生来说是必要的。

做完题后, 我们并没有满足学生会做这一道题, 而是向这一类习题扩展和迁移。这是学数学的价值所在。于是我进行了又一次延伸的尝试:

师:“和一定, 差小积大”这个规律只适用于表内乘法吗?你还能找出这样的一个算式来说明这个规律吗?

生1:11×9和12×8, 这两个算式中因数的和都是20, 因为11-9=2, 12-8=4根据“和一定, 差小积大”的规律, 所以11×9>12×8。

师:这个例子举得好!会举例说明规律是理解规律或概念最重要的方法。我们的规律真的适合较大数相乘的大小比较吗?

生2:老师, 肯定适合。这两个算式, 我都口算过, 11×9=99, 12×8=96, 和我们的规律是吻合的。我还能举出更大的数, 如113×7和114×6。这两个算式中因数的和都是120, 而113-7=106, 114-6=108, 所以113×7>114×6

生3:我还举了两位数乘两位数的例子。如23×57和24×56, 这两个算式中因数的和相等, 都是80, 因为57-23=34, 56-24=22根据“和一定, 差小积大”的规律, 所以23×57<24×56。

篇4：习题解答重在价值挖掘

，

[习题]两个数的和是10，这两个数的积最大是多少?

[第一次尝试]

三年级的学生拿到这个题目，有些学生觉得无从下手，有的学生经过一段时间尝试后能够得出：这两个数的积最大是25。

如何呈现学生的思考过程，让所有学生都明白呢?

师：两个数的和是10，这两个数分别是几?

生1：这两个数不确定，有很多的可能性。

师：可能是什么?

生2：可能是3和7，可能是2和8，可能是4和6，可能是1和9，还可能是5和5。

师：这么多的可能性，也记不住呀!谁能让大家记住这些可能性?

生3：这两个数可能是1和9，可能是2和8，可能是3和7，可能是4和6，还可能是5和5。

师：这样的有序表达能让大家记住，其实这就是有序思考的价值。

生4：这就是我们很小的时候学习的10的分解与组合。

师：你真会联系!数学就需要这种联系的方法来解决问题。那我们怎样写出来更清楚呢?

生5：我们列表吧，可以把这些答案一一呈现在眼前。

这样的题目，从学生已有的知识出发，让学生体会到数学知识之间是有联系的，旧知识是新知识学习的基础。在数学学习过程中，要学会有序思考，这样才能不遗漏、不重复；学会了思考还远远不够，更要学会表达，让别人看清楚自己思考的过程。尝试列表是一种非常重要的数学方法，为提升学生解决问题的能力提供了新的思路

[第二次尝试]

上面的解答让我欣喜过，在解题过程有学生对“有序思考”的诠释，有对旧知识的关注。难道这样的解答就能让所有的学生明白吗?学生的已有认知中只有“10的分解与组合”支撑他们对这道题的学习吗?

于是，我进行了第二次尝试，在学生理解题意的基础上。找出两个加数的可能性，让学生列表写出思考过程，找出了最大的积是25后，我又给学生呈现了《乘法口诀表》进行教学：

师：请你找出符合此题答案的乘法算式，说说这些算式有什么特点?

生1：这些算式有1×9=9、2×8=16、3×7=21、4×6=24和5×5=25。

生2：这些算式的积越来越大。

生3：一个因数越来越大，另一个越来越小，它们相加得10。

师：同样是相加得10的两个数，乘积有大有小。你们能判断出什么时候乘积比较大，什么时候乘积比较小吗?

总结：和一定，差小积大。

下面大家先看一个图，你看到了什么?

生4：我看到一个长方形的长是9，宽是1，面积是9；还看到一个正方形边长是5，面积是25。

师：你是从面积的角度来观察的。

生5：我看到长方形和正方形的周长相等，都是20，但是正方形的面积大。

师：所以“两个数的和是10，这两个数的积最大是多少?”这道题随着新知识的学习，又可以换成“两个周长相等的长方形和正方形，哪个图形的面积比较大?”其实，我们今天的这道题还可以转化为“周长都是20的长方形和正方形，哪个图形的面积比较大?”

在学生完成题目的解答之后，教师并没有停留在答案本身，而是从学生已有的知识中进行合理的建构——把学生倒背如流的乘法口诀进一步进行开掘，作为学生对这个结论理解的另一扇窗户，这样不仅沟通了知识间的内在联系，而且让学生觉得许多知识万变不离其宗。除此之外，学生思维的凭借有三种：一种是基于形象的思维，一种是基于动作的思维，一种是基于符号和逻辑的思维。这里考虑了学生思维的特点，运用数形结合的思想帮助学生对所学知识的理解，符合学生的认知特点。最令人欣喜的是教师能够挑出数论中的习题，和空间与图形领域巧妙结合，在变中求不变，从而帮助学生建立模型。

[第三次尝试]

学生会列表了，也能从原有认知中找到乘法口诀这个旧知识点作为进一步学习的支撑，在此基础上还运用了数形结合的思想让学生迁移到另一类有关周长一定、面积大小比较的问题。这些都是在教师引导下完成的。能不能让学生自己探究此类习题呢?

首先让学生独立思考，尝试用旧知识解决新问题，接着在小组内讨论。最后在全班交流。

有的学生真能想到用乘法口诀作为例证，说明“和一定，差小积大”；有的学生能列表枚举出所有的答案，还有的学生能用数形结合的方法画图来说明：当两个加数差最小时，积最大，当两个加数差最大时，积最小。

我们既然可以用二维(面积图)来诠释“和一定，差小积大”，能不能用一维的数直线来表示呢?

数直线虽然是一维，没有数形结合的形象直观，但是，数直线中这种对称的美让学生感受到也是不易的。没有这样的工具，学生根本体会不到。数学的本质是对数学美的追求，其中对称是数学美的核心。由此看来，这三次尝试，每次都有价值，每次都有拓展和新的视角，这对于学生来说是必要的。

做完题后：我们并没有满足学生会做这一道题，而是向这一类习题扩展和迁移。这是学数学的价值所在。于是我进行了又一次延伸的尝试：

师：“和一定，差小积大”这个规律只适用于表内乘法吗?你还能找出这样的一个算式来说明这个规律吗?

生1：11×9和12×8，这两个算式中因数的和都是20，因为11-9=2，12-8=4根据“和一定，差小积大”的规律，所以11×9>12×8。

师：这个例子举得好!会举例说明规律是理解规律或概念最重要的方法。我们的规律真的适合较大数相乘的大小比较吗?

生2：老师，肯定适合。这两个算式，我都口算过，11×9=99，12×8=96，和我们的规律是吻合的。我还能举出更大的数，如113×7和114×6。这两个算式中因数的和都是120，而113-7=106，114-6=108，所以113×7>114×6

生3：我还举了两位数乘两位数的例子。如23×57和24×56，这两个算式中因数的和相等，都是80，因为57-23=34，56--24=22根据“和一定。差小积大”的规律，所以23×57<24×56。

通过复习乘法口诀表，对笔算乘法进行了梳理沟通，并在乘法口诀表中发现新问题，提炼新方法，提升学生从不同的角度看问题的意识。由此可见，不断地尝试和探索，让教师不在习惯中行走，每一天都有新的想法，每种做法都有其独特的价值。

篇5：数字信号处理习题解答

1j52j5

(1)方法1：先时移F[x(t5)]X()e，后尺度F[x(2t5)]X()e

t05

jj11

方法2：P40时移尺度F[x(att0)]X()eaF[x(2t5)]X()e2

|a|a221j

(2)方法2：P40时移尺度F[x(att0)]X()e

|a|a

t0

a



F[x(t1)]X()ej

(3)P42频域卷积定理F[x1(t)x2(t)]

X1()X2()2

F[x(t)cos(t)]X()[(1)(1)]X(1)X(1)

222

P57-12

F[x(t)]x(t)e





jt

dt



2E

(t)e

2





jt

dt2

2E

8

(t)ejtdt2sin2()Sa2()2424

P57-13

假设矩形脉冲为g(t)u(t)u(t),其傅里叶变换为G(),则

22F[x(t)]F[Eg(t)Eg(t)]EG()e

EG())2j2

P57-15





j



EG()e

j



EG()(e

j



e

j

)

图a)X()|X()|e

1

j

Aejt0,||0



||00,x(t)F[X()]

2



0

0

Aejt0ejtd

A0A

sin(0(tt0))Sa(0(tt0))

(tt0)

图b)

X()|X()|ej

j

Ae,00j

Ae2,000,||0

x(t)F[X()]

2

1



0

Ae

j



e

jt

1d

2



0

Ae2ejtd

j



篇6：数字信号处理习题解答

1-1画出下列序列的示意图

(1)(2)(3)

(1)

(2)

(3)

1-2已知序列x(n)的图形如图1.41，试画出下列序列的示意图。

图1.41 信号x(n)的波形

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(修正：n=4处的值为0，不是3）（修正：应该再向右移4个采样点）

1-3判断下列序列是否满足周期性，若满足求其基本周期

(1)解：

非周期序列;(2)

解：为周期序列，基本周期N=5;(3)

解：，为周期序列，基本周期，取。

(4)

解：，取则，其中，取

为常数

为周期序列，基本周期N=40。

1-4 判断下列系统是否为线性的？是否为移不变的？(1)(2)(3)非线性移不变系统

非线性移变系统（修正：线性移变系统）非线性移不变系统

(4)(5)线性移不变系统

线性移不变系统（修正：线性移变系统）

1-5判断下列系统是否为因果的？是否为稳定的？(1)，其中

因果非稳定系统(2)(3)(4)(5)非因果稳定系统 非因果稳定系统

非因果非稳定系统 因果稳定系统

1-6已知线性移不变系统的输入为x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，试求系统的输出y(n)及其示意图(1)(2)(3)解：（1）

（2）

（3）

1-7若采样信号m(t)的采样频率fs=1500Hz，下列信号经m(t)采样后哪些信号不失真？(1)(2)(3)解：(1)(2)(3)，1-8已知(1)(2)将(3)若解：(1)的截止模拟角频率进行A/D采样后，求,采样信号

是多少？ 的数字角频率。

与的模拟角频率的关系如何？ 的采样周期为。

采样失真

采样不失真 采样不失真 的数字截止角频率(2)(3)

1-9 计算下列序列的Z变换，并标明收敛域。(1)(3)(5)解：(1)(2)(3)(4)(5)

1-10利用Z变换性质求下列序列的Z变换。(1)(2)(3)(4)解：(1)

,，收敛域不存在(2)(4)

(2)(3)

, ,(4)，1-11利用Z变换性质求下列序列的卷积和。

(1)

(2)(3)(4)

(5)

(6)解：

(1)，,，(2),，(3),，(4)，(5),，(6)，，1-12利用来表示的自相关序列的Z变换。

定义为，试用的Z变换解：

1-13求序列的单边Z变换X(Z).解：

所以：

1-14试求下列函数的逆Z变换

(1)

(2)

(3)(4)，整个Z平面（除z=0点）

(5)

(6)解：

(1)

(2)，(3)

(4)

(5)

(6)

1-15已知因果序列的Z变换如下，试求该序列的初值及终值。

(1)

(2)(3)解：

(1),(2)，(3)，1-16若存在一离散时间系统的系统函数统的单位脉冲响应，并判断系统是否因果？是否稳定？，根据下面的收敛域，求系(1)解：，(2)，(3)

(1)，因果不稳定系统

(2)，非因果稳定系统(3)，非因果非稳定系统

1-17一个因果系统由下面的差分方程描述

(1)求系统函数及其收敛域。

(2)求系统的单位脉冲响应解：

(1)，(2)

1-18若当时；

时,其中N为整数。试证明：

(1)，其中，(2)证明：(1)令，收敛域，则

其中，(2)，1-19一系统的系统方程及初时条件分别如下：

(1)试求零输入响应(2)画出系统的模拟框图 解：

(1)零输入响应，，零状态响应

，全响应

；

零状态响应，得，则

，则

(2)系统模拟框图，1-20若线性移不变离散系统的单位阶跃响应(1)求系统函数和单位脉冲响应

； ，(2)使系统的零状态(3)若已知激励解：，求系统的稳态响应

。，求输入序列；

(1)

激励信号为阶跃信号，(2)若系统零状态响应

则

(3)若，则从可以判断出稳定分量为：

1-21设连续时间函数时间函数，试证明的拉普拉斯变换为的Z变换，现对满足：

以周期T进行抽样得到离散

证明：，则

当时

1-22设序列的自相关序列定义为，设

。试证明：当为的一个极点时，是的极点。

证明：，故当为的一个极点时，也是的极点。

1-23研究一个具有如下系统函数的线性移不变因果系统，其中为常数。

(1)求使系统稳定的的取值范围；

(2)在Z平面上用图解法证明系统是一个全通系统。解：

(1)，若系统稳定则，极点，零点

(2)，系统为全通系统

1-24一离散系统如图，其中

为单位延时单位，为激励，为响应。

(1)求系统的差分方程；(2)写出系统转移函数(3)求系统单位脉冲响应

并画出平面极点分布图；(4)保持解：(1)不变，画出节省了一个延时单元的系统模拟图。

(2)点位于0.5j

（修正：此题有错，两个极

(3)系统的单位脉冲响应个复序列信号之和）(4)

（修正： 随上小题答案而改变，是两

（修正：此图错误，乘系数应该为0.5，输出端y(n)应该在两个延迟器D之间）

1-25 线性移不变离散时间系统的差分方程为

(1)求系统函数；

(2)画出系统的一种模拟框图；(3)求使系统稳定的A的取值范围。解：(1)

系统函数(2)

（此图非直接形式，是转置形式）

(3)若使系统稳定，系统极点,则（修正：要根据系统是否为因果系统分别考虑，非因果系统下极点应该位于单位圆外）

第二章习题解

2-1 解:

，是一2-2 证明: 根据线性移不变系统的频率响应特性:当一个LSI系统的输入信号个复正弦信号时,该系统的输出数

信号=.也是一个复正弦信号,与输入信号相比多了系 =

2-3 解:(1)

令

(2)图见电子版

(3)当系统是线性移不变系统时,若输入信号为实正弦信号,输出信号也是一个具有相同频率的正弦信号,但该信号的幅度和相位都发生了变化.表达式如下: 系统函数为,输入信号,输出信号

当时，2-4 解:(1)零点 极点

(2)

(4)图见电子版

2-5 解: 系统是LSI系统，, 其中

2-6 证明:(1)(1的离散时间傅立叶变换为 则)即，(2)令

(3),当且仅当时有值

(4)

2-7 解:

2-8 解:

，，区间的幅度谱:

区间内三种采样频率下的幅度谱

2-9 解：

2-10 解：首先观察四种情况都满足Nyquist 采样定理，因此，采样后的信号的频谱将是原连续信号频谱以为周期的延拓。

（1）

（2）

（3）

（4）

22-11 证明：

2-12 解：（1）对差分方程求Z变换得：

（2）图见电子版

（即为矩形窗的幅度谱）

（3）

2-15（1）载波信号为

1处信号（2）

2-13 证明： 设

（2）

1）（（3）

由式（1）（2）（3），令上式中

原题得证。

2-14 证明：

2-18解： 对差分方程求Z变换

全通系统

为常数，即

也为常数。可对

求导，其导数应为0。

即：

或

题中要求 取 2-19 解：（1）

（2）

（3）当输入信号是实正弦信号，为

系统输出

（5）当时。

不是因果系统

（6）

2-20 解：

设取样器的输出为

设压缩器的输出为由b 图中两系统等效可列出如下等式：

等式两边约简可得：

第三章习题解

3-1 解：

（1）

（2）（3）补零后：（4）不能 3-2 解：

（1）令循环卷积

不变；

变化，变的更加逼近

（2）其余

其余

（3）

其余

（4）补一个零后的循环卷积

其余

3-3 解： 其余，即可分辨出两个频率分量 本题中的两个频率分量不能分辨

3-4 解：

对它取共轭：

与可知：1，只须将 2，将

比较，的DFT变换

求共轭变换得

；，即可求出IFFT变换的；

直接fft程序的输入信号值，得到 3，最后再对输出结果取一次共轭变换，并乘以常数的值。

3-5 解： 可以；

证明：设

其中的关系如下：

是

在单位圆上的Z 变换，与 是

在频域上的N点的采样，与的关系如下：

3-6 解： 相当于是在单位圆上的Z变换的N点采样。，图见电子版

3-7 解：

，，图见电子版，3-8 解：，，同理：

图见电子版

3-9 解：

系统为单位脉冲响应

设加矩形窗后得到的信号为，对应的短时离散频谱：，，电子图

3-10 解：

（1）考虑对称位置取

（2）考虑对称位置取

（3）考虑对称位置取

3-11 解：

（1）

（2）

（3）

（4）

3-12

镜像为

镜像为

镜像为

镜像为

3-13 解：

（1）离散信号值：

（2）

3-14 解：

至少需要2000点个信号值 3-15 解：

，，第四章习题参考解答

4-1对于系统函数现的流图。解：，试用一阶系统的级联形式，画出该系统可能实

4-2一线性时不变因果系统，其系统函数为

对应每种形式画出系统实现的信号流图。

（1）直接Ⅰ型。（2）直接Ⅱ型。

（3）用一阶和二阶直接Ⅱ型的级联型。（4）用一阶和二阶直接Ⅱ型的并联型。解：

直接Ⅰ型

直接Ⅱ型

用一阶和二阶直接Ⅱ型的级联型

用一阶和二阶直接Ⅱ型的并联型

4-3已知模拟滤波器的传输函数成数字传输函数解：。（设采样周期T＝0.5），试用脉冲响应不变法将转换

4-4若模拟滤波器的传输函数为转换成数字传输函数解：

。（设采样周期T＝1），试用脉冲响应不变法将

4-5用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字低通滤波器，采样频率至频率解：。，截，4-6用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字高通滤波器，采样频率频率。，截至解：，归一化，4-7用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字带通滤波器，采样频率下边带截至频率分别为解：。，上，，4-8设计一个一阶数字低通滤波器，3dB截至频率为巴特沃滋滤波器。解：，将双线性变换应用于模拟一阶巴特沃滋，4-9试用双线性变换法设计一低通数字滤波器，并满足：通带和阻带都是频率的单调下降函数，而且无起伏；频率在解：

处的衰减为－3.01dB；在处的幅度衰减至少为15dB。设通带：阻带：,则：,即，即，阶数：，查表得二阶巴特沃滋滤波器得系统函数为

双线性变换实现数字低通滤波器4-10一个数字系统的采样频率，已知该系统收到频率为100Hz的噪声干扰，试设计一个陷波滤波器去除该噪声，要求3dB的边带频率为95Hz和105Hz,阻带衰减不小于14dB。解：，令

，，设N=2，则

第五章习题解

5-1:

对照以上两公式可知：

因此：

n<0 n>4 n=0 n=1 n=2 n=3

n=4

5-2 理想低通滤波器的h(n)如下： ,h(n)如图5-2所示：

图5-2

若要使h(n)变成因果系统，则可将h(n)向右移3，使h(n)=h(n-3).系统的幅频响应如下：

5-3(1)这是一个低通滤波器，通带和阻带各有三个波峰。

（2）因为

以下的依据3dB下降作为通带边界频率，可计算得到：

（3）最小阻带衰减5-4

由分式（5.39）根据A计算，如下：

由表5.1根据过度带宽度

计算窗口：

单位脉冲响应如下：

单位脉冲响应如下：

其中为凯泽窗。5-5 答：减小窗口的长度N，则滤波器的过度带增加，但最小阻带衰减保持不变。

5-6：图5.30中的滤波器包括了三类理想滤波器，包括了低通，带通和高通，其响应的单位脉冲响应如下：

设窗函数长度为N，则满足线性相位条件的h(n)为起右移的矩形窗，如下：，对h(n)加长度为N，0≤n≤N-1

由于 5-7 时，不能为零，故N应取奇数。

由公式（5-39）得出窗函数参数如下：

由表（5-1）根据过度带宽度

得窗长N如下：，单位脉冲响应如下：