复合函数定义

2024-05-14

复合函数定义（精选十篇）

复合函数定义篇1

关于复合函数, 很多教科书给的都是类似如下定义:

设函数y=f (u) 的定义域是Df, 函数u=g (x) 的值域是Zg, 若Zg∩Df不为空集, 则将y=f (g (x) ) 称为由函数y=f (u) 和u=g (x) 构成的复合函数.y=f (u) 称为外层函数, u=g (x) 称为内层函数, 也称为中间变量.

对于上面这个定义, 不少人通过学习之后, 都认为y=f (u) 与y=f (g (x) ) 是相同的函数, 因为它们都用y来表示.

那么, 这两个函数到底是不是相同的呢?

首先, 要判断两个函数是否相同, 主要是考虑两个函数的定义域和对应法则是否都相同.看下面的例子, 设f (u) =u2, g (x) =x+lnx, 则得复合函数为f (g (x) ) = (x+lnx) 2.第一, 很显然f (u) =u2的定义域是R, 而f (g (x) ) = (x+lnx) 2的定义域是R+, 所以这两个函数的定义域并不相同.第二, f (u) =u2的对应法则是对自变量进行平方, 而f (g (x) ) = (x+lnx) 2的对应法则是对自变量求自然对数后再加上自变量本身, 最后才平方, 所以这两个函数的对应法则也是不相同的.

其次, 不妨假设f (u) 与f (g (x) ) 相同, 现有以下三个函数f (u) =u2, g1 (x) =x+lnx与g2 (x) =lnx, 那么f (u) =u2与g1 (x) =x+lnx复合可得f (g1 (x) ) = (x+lnx) 2, f (u) =u2与g2 (x) =lnx复合可得f (g2 (x) ) = (lnx) 2.按照相同的假设, 这里得到的两个复合函数都等于f (u) , 即f (g1 (x) ) = (x+lnx) 2=f (u) =f (g2 (x) ) = (lnx) 2, 这显然是错误的.

最后, 函数的复合是一种数学运算, 而数学运算指的是“依照数学法则求出算式结果的过程” (《现代汉语实用词典》南方出版社) .可以这么理解, 数学运算是对已知量实施了某些动作, 产生新的量的过程.复合函数就是几个已知函数进行运算后得到的新函数, 这个新函数怎么会在任何情况下都等于前面的其中一个已知函数呢?如果都等的话, 这种运算便形同虚设了.所以, 如果认为函数f (u) 与f (g (x) ) 是相等的, 就如同是“当2+3=5时”, 认为2和5是相等的一样.

由上述几点可知, 函数f (u) 与f (g (x) ) 是不相同的函数, 既然是不相同的, 在一个命题里面, 就不应该用相同的符号来表示, 要不就会造成误解, 这正是不少人认为它们是相同的最直接的原因.另外, 对于复合函数的定义, 再从数学运算这一数学基本概念方面进一步强调其含义, 就会更加清晰一些.因此, 下面给出一个更易于理解的定义:

定义 (复合函数) 已知函数f (u) 和g (x) , 把g (x) 代入f (u) 得到f (g (x) ) 的过程 (代入指把u都换成g (x) ) , 称为函数的复合运算.若f (g (x) ) 存在, 则称f (g (x) ) 是由f (u) 和g (x) 复合而成的复合函数, 此时称f (u) 为外层函数, g (x) 为内层函数, 称u为中间变量, 记作u=g (x) .若f (g (x) ) 不存在, 则称f (u) 和g (x) 进行复合运算时没有意义.

几点说明

(1) f (g (x) ) 不存在是指自变量x的取值范围是空集, 即定义域为空;

(2) 求函数时除了要写出函数的对应法则 (常表现为表达式) , 还要写出函数的定义域, 求复合函数也应如此;

(3) 函数的复合运算可以由多个函数按一定的先后顺序进行, 如由f (u) , g (v) , h (x) 按顺序进行复合运算可得f (g (h (x) ) ) .

几个求复合函数的例子:

例1 已知函数f (u) =log2u, g (x) =x2+1, 则f (u) 和g (x) 进行复合运算应得f (g (x) ) =log2 (x2+1) , 其定义域为R= (-∞, +∞) 非空, 所以复合函数f (g (x) ) =log2 (x2+1) 存在.

例2 已知函数f (u) =log2u, g (x) =x2-x, 则f (u) 和g (x) 进行复合运算应得f (g (x) ) =log2 (x2-x) , 其定义域D= (-∞, 0) ∪ (1, +∞) 非空, 所以复合函数f (g (x) ) =log2 (x2-x) 存在.

例3 已知函数f (u) =log2u, g (x) =-x2-1, 则f (u) 和g (x) 进行复合运算应得f (g (x) ) =log2 (-x2-1) , 但此函数定义域D=∅, 所以f (g (x) ) 不存在, 即f (u) 和g (x) 进行复合运算时没有意义.

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析.北京:高等教育出版社.

[2]周誓达.微积分.北京:中国人民大学出版社.

复合函数定义域求法篇2

二、对高中复合函数的通解法——综合分析法

1、解复合函数题的关键之一是写出复合过程

例1：指出下列函数的复合过程。

(1)y=√2-x2 (2)y=sin3x (3)y=sin3x

解：(1) y=√2-x2是由y=√u,u=2-x2复合而成的。

(2)y=sin3x是由y=sinu,u=3x复合而成的。

(3)∵y=sin3x=(sinx)-3

∴y=sin3x是由y=u-3,u=sinx复合而成的。

2、解复合函数题的关键之二是正确理解复合函数的定义。

看下例题：例2：已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5) 的定义域。

经典误解1：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3复合而成的。

F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5复合而成的。

由g(x),G(x)得：u2=2x-11 即：y=f(u2),u2=2x-11

∵f(u1)的定义域为[1、2]

∴1≤x﹤2

∴-9≤2x-11﹤-6

即：y=f(u2)的定义域为[-9、-6]

∴f(2x-5)的定义域为[-9、-6]

经典误解2：解：∵f(x+3)的定义域为[1、2]

∴1≤x+3﹤2

∴-2≤x﹤-1

∴-4≤2x﹤-2

∴-9≤2x-5﹤-7

∴f(2x-5)的定义域为[-9、-7]

注：通过以上两例误解可得，解高中复合函数题会出错主要原因是对复合函数的概念的理解模棱两可，从定义域中找出“y”通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中u称为“中间变量”。从以上误解中找出解题者易将f(x+3)的定义域理解成(x+3)的取值范围，从而导致错误。而从定义中可以看出u仅仅是中间变量，即u既不是自变量也不是因变量。复合函数的定义域是指y=f(u),u=g(x)中u=g(x)中的x的取值范围，即：f(x+3)是由f(u),u=x+3复合而成的复合函数，其定义域是x的取值范围。

正确解法：解:f(x+3)是由y=f(u1),u1=x1+3(1≤x﹤2)复合而成的。

f(2x-5)是由y=f(u2),u2=2x2-5复合而成的

∵1≤x1﹤2

∴4≤u1﹤5

∴4≤u2﹤5

∴4≤2x2-5﹤5

∴2≤x2﹤5

∴f(2x-5)的定义域为[2、5]

周期函数定义之精析篇3

这是个内涵定义法，要正确理解周期函数的定义，应从定义的内涵（性质）和外延（对象）两个方面来分析，应注意以下几点：

1.式子f（x＋T）＝f（x）对定义域中的每一个值都成立。即定义域内任意一个x，式子都成立。而不能是“一个x”或“某些x”。

例如：由于sin（＋）＝sin，即sin（x＋）＝sinx.该式中x取时等式成立，能否断定是sinx的周期呢？不能，因对于其他一些x值该式不一定成立。如x＝

时，sin（x＋）≠sinx。

另一方面，判断一个函数不是周期函数，只需举一个反例就行了。

【例】函数y=sinx，x∈[0，100π]是周期为2π的周期函数吗？为什么？

解：不是周期函数，因为对于定义域中的x=99π时，（x+2π）∈[0，100π]，f（x+2π）

=f（x）不能成立，故函数y=sinx，x∈[0，

100π]不是周期为2π的周期函数。

2.周期函数的定义域不一定是全体实数，也不一定对称于原点。

例如：函数f（x）=√tanx是以π为周期的周期函数，它的定义域是{x|kx≤x＜kπ+ ，k∈Z}，既不是全体实数，也不关于原点对称。但是周期函数的定义域必须是向-∞和+∞两个方向无限延伸的。

3.式子f（x＋T）＝f（T）是对“x”而言。例如，由cos（＋2kπ）＝cos（k∈Z），是否可以说cos 的周期为2kπ呢？不能!因为cos（x＋2kπ）＝cos（x+4kπ），即cos （ x+4kπ）＝cos x（k∈Z），所以，cos 的周期是４kπ，而不是2kπ（k∈Z）。

4.不是每个周期函数都存在最小正周期。例如：常数函数f（x）＝Ｃ（常数），显然任何一个正数T都是f（x）的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数f（x）＝Ｃ无最小正周期；又如：狄利克雷函数

，任何等于零的有理数都是它的周期，也不存在最小正周期。

5.周期函数的周期不唯一，也不一定是π的倍数。如果T是f（x）（x∈R）的周期，那么kT（k∈Z，且k≠0）也一定是f（x）的周期。定义规定了T为一个实常数，而不是一个变数；同时也规定了T的取值范围，只要求不为零，千万不要误认为T一定是的倍数。众所周知，函数

的周期即最小正周期是，函数y＝Acos（ωx＋）的最小正周期也是，函数y＝Atan（ωx＋）的最小正周期是，不难看到，上述各函数的周期中都含有“π”，而且，同学们所见到的课本例题及习题中的周期函数的周期中也都含有“π”，于是，有的同学认为：周期函数的周期一定含“π”。

事实上，这种看法是错误的，实际上，有许多周期函数的周期中是不含“π”的，如下面几例：

例1：函数y＝cosπx的最小正周期是T＝＝2。

例2：若对于函数y＝f（x）定义域内的任何x的值，都有f（x＋1）＝f（x）成立，则由周期函数的定义可知，函数y＝f（x）是周期函数，且T＝1是其周期。

6.周期函数必须是函数，但周期性并不是三角函数所独有的。

实质上我们学过的非周期函数f(x)(如y＝log2x，y＝|x|，y＝2x，y＝x2等等)将其定义域内限制在一个半开半闭区间上，经左右平移，可以延拓变为周期函数，例如将非周期函数y=x2(x∈R)在其定义域R内限制在（－1，1），然后将y=x2（－1＜x≤1）)的图象左、右平移，可以延拓为最小正周期为2的周期函数f（x）＝（x－2k）2（2k－1＜x≤2k＋1），k∈Z，如图：

例如：已知f(x)＝｜x｜，x∈(－1，1］，求定义在R上的一个周期为2的函数ｇ(x)，使x∈(－1，1］时，ｇ(x)＝f(x)。

解：由ｇ(x)的周期性可画出ｇ(x)的图象。如图：

对于任意的x∈R，x一定在周期为2的区间（2ｎ-1，2ｎ+1]内，则x-2ｎ∈（-1，1］。

∴ｇ(x)＝ｇ（x-2ｎ）＝f（x-2ｎ）＝|x－2ｎ|，即

x-2n，2n＜x≤2n +1

-x+2n，2n-1＜x≤2n

浅析函数的定义篇4

一、对于函数定义的认识

高中函数概念是现代数学的基本思想之一, 它渗透到了数学的一切领域。它是数学知识体系的基础, 但它也是学生数学学习中最难掌握的概念之一。函数概念具有复杂性, 同时还有与之相应的很多子概念。教科书为了定义函数概念而设置的各种不同引入情境, 如箭头、表、代数描述、映射等等是大家熟悉的。所有这些处理方法在教学实践中学生却不太好理解。这里, 函数被定义成两个数集之间的映射, 要求“集合A中任意一个元素在集合B中有唯一的一个元素与之对应”。这一似乎非常容易理解的定义在教学实践中被证明是非常抽象而且难懂的。函数定义把严格的形式强加给了学生, 而学生缺乏认知准备, 并且在学习中也没有得到理解定义所必须经历的过程, 因此, 教师并没有给学生营造理解函数定义的环境。这样, 学生虽然能够背诵定义但却对定义理解不深, 导致函数学习中困难重重。

二、函数定义学习困难产生原因

函数定义是在初中开始学习的, 当时的定义是用变化的观点, 把x, y看成两个变量, 而在高中函数定义是以集合为基础进行重新定义。函数概念变得非常抽象, 同时引入了一些数学符号和公式。学生常常对这些从来没见过的符号和公式产生畏难情绪。看到那么多他们不熟悉的符号和公式, 他们就会觉得难!这种感受在我们的学生中比较普遍, 而且学生对数学内容的这种感觉与他们熟悉的日常语言之间的差异很大。数学语言具有很大的抽象性, 这种抽象性常常是造成许多学生数学学习理解上的障碍, 从而让学生的学习陷入困境。

三、函数定义内涵分析

对于函数概念的掌握, 如果只让学生凭记忆和一些练习来实现概念的理解, 是无法让学生内化和掌握这个概念的。函数内容一直都是中学数学的核心内容, 也是学生感到最难学的内容, 如何帮助学生克服函数学习的困难, 需要弄明白以下问题:

(一) 在函数定义中“某个确定的对应关系f”解析

这个“f”也令许多初学者倍感困惑, 感到抽象, 不容易理解。为了便于理解, 我们可以选用学生熟悉的具体函数来印证, 以此突破学生理解上的障碍。

比如以y=2x为例, 与函数定义进行对照, 如图1。由于y=2x的定义域为实数集R, 故我们不妨把集合A, B均设为实数集R。

先根据函数y=2x给定一个x值, 则把x值乘以2就能求出一个相应的y值, 让学生观察图1, 集合A中的元素是x值, 那么这个x值按什么关系与集合B中的元素对应呢?显然是“乘以2”。那么函数定义中所说的“对应关系f”就是“乘以2”。这样把抽象的知识具体化、形象化, 便于学生理解、消化。

(二) 函数定义中“使对于集合A中的任一个x, 在集合B中都有唯一确定的数f (x) 与它对应”的分析

这是函数定义中的灵魂和核心, 也是一个对应关系成为映射的条件。人教A版中是先函数后映射, 更进一步弱化了映射的教学, 这显然是让学生更加专注于函数的概念, 使这块知识更具纯粹性。为了让学生更好地理解这句话, 可以设计两个具体函数y=2x和y=x2, 让学生观察在给定的对应关系f下, 集合A到集合B的对应是否满足“使对于集合A中的任一个x, 在集合B中都有唯一确定的数f (x) 与它对应”这一条件。

让学生先正面理解两个集合“一对一”和“一对多”这两种情况, 然后再举一个“多对一”不满足这个条件的例子, 用反例让学生加深理解。反例很多, 这里不再赘述。

matlab定义函数篇5

2与建立M文件类似，在命令窗口中输入edit。

3如图，编写函数，需要注意函数命名规则，注释部分可有可无，用%开始。

4编写完成后保存文件，最好保存在当前工作路径的文件夹。

5函数调用：

如图，直接输入函数名，形参，就能返回计算结果。

6查看函数说明：

和查看其它函数说明一样，输入“help 函数名” 就能看到这个函数的注释说明。

复合函数定义篇6

一、函数定义域是一个非空数集

例1判断式子是表示“y是x的函数”吗?

解析由于函数的定义域是非空的数集, 而上式中, 由.根据函数定义, 上式不表示“y是x的函数”.

二、换元法解题时定义域要注意等价性

例2已知, 求函数f (x) 的解析式.

∴f (t) = (t-1) 2+2 (t-1) =t2-1, ∴f (x) =x2-1 (x≥1) .

评注∵隐含着定义域是x≥0,

∴由得t≥1, ∴f (t) =t2-1的定义域为t≥1, 即函数f (x) 的解析式应加上定义域x≥1, 这样才能保证转化的等价性.

例3求函数的递增区间.

错解设t=sin x+cos x, 则, 于是

解得函数f (x) 递增区间为

剖析上述解法忽略了函数的定义域.因为题目中分母不能为零, 即

所以函数f (x) 递增区间为

三、判断函数奇偶性的前提是函数定义域是否关于原点对称

例4判断函数y=x3, x∈[-1, 3]的奇偶性.

解∵2∈[-1, 3]而-2埸[-1, 3],

∴定义域区间[-1, 3]关于坐标原点不对称,

∴函数y=x3, x∈[-1, 3]是非奇非偶函数.

例5已知函数, 试判断f (x) 的奇偶性.

剖析由于函数奇偶性是建立在定义域关于原点对称的前提条件下的.即首先应求出原函数的定义域, 若定义域不关于原点对称, 则原函数为非奇非偶函数;若定义域关于原点对称了, 则再用奇偶性的定义判断.此题由, 即x2>2, ∴t=x2-1>1, 故得函数f (x) 的定义域为{x|x>1}不关于原点对称, 所以f (x) 为非奇非偶函数.

四、求函数单调区间忽视定义域致错

例6求函数f (x) =lg (4-x2) 的单调递增区间.

错解令t=4-x2, 则y=lg t, 它是增函数.∵t=4-x2在 (-∞, 0]上为增函数, 由复合函数的单调性可知, 函数f (x) =lg (4-x2) 在 (-∞, 0]上为增函数, 即原函数的单调增区间是 (-∞, 0].

剖析判断函数的单调性, 必须先求出函数的定义域, 单调区间应是定义域的子区间.正确的解法应先确定函数的定义域.由4-x2>0, 得f (x) 的定义域为 (-2, 2) .由此可确定函数f (x) =lg (4-x2) 的单调增区间是 (-2, 0].

五、解抽象型函数不等式问题时忽视定义域致错

例7奇函数f (x) 在定义域 (-1, 1) 内是单调递增的, 且f (1-a) +f (1-a2) <0, 求a的取值范围.

错解∵f (1-a) +f (1-a2) <0圯f (1-a) <-f (1-a2) .又∵f (x) 是奇函数,

∴-f (1-a2) =f (a2-1) , ∴f (1-a)

又∵f (x) 在定义域内单调递增,

∴1-a1.

错解剖析若仅仅考虑函数的奇偶性、单调性, 而不考虑自变量的取值范围是片面的.

解∵f (1-a) +f (1-a2) <0圯f (1-a) <-f (1-a2) , 又∵f (x) 是奇函数, ∴-f (1-a2) =f (a2-1) ,

∴f (1-a)

又∵f (x) 在定义域内单调递增,

评注本题考查了利用函数的奇偶性、单调性以及三要素等基本概念解决问题的能力.

谈函数的定义域篇7

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则, 所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域, 否则所求函数关系式可能是错误的.如:

例1某单位计划建筑一矩形围墙, 现有材料可筑墙的总长度为100 m, 求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?

解:设矩形的长为x米, 则宽为 (50-x) 米,

由题意得:S=x (50-x) .

故函数关系式为:S=x (50-x) .

如果解题到此为止, 则本题的函数关系式还欠完整, 缺少自变量x的范围, 也就说学生的解题思路不够严密.因为当自变量x取负数或不小于50的数时, S的值是负数, 即矩形的面积为负数, 这与实际问题相矛盾, 所以还应补上自变量x的范围:0

即:函数关系式为:S=x (50-x) (0

这个例子说明, 在用函数方法解决实际问题时, 必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响.

二、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大 (小) 值的问题.如果不注意定义域, 将会导致最值的错误.如:

例2求函数y=x2-2x-3在[-2, 5]上的最值.

解:因为y=x2-2x-3= (x2-2x+1) -4= (x-1) 2-4,

所以当x=1时, ymin=-4.

初看结论, 本题似乎没有最大值, 只有最小值.产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路, 而没有注意到已知条件发生变化.

其实以上结论只是对二次函数y=ax+bx+c (a>0) 在R上适用, 而在指定的定义域区间[p, q]上, 它的最值应分如下情况:

(1) 当-

(2) 当>p时, y=f (x) 在[p, q]上单调递减函数f (x) max=

f (p) , f (x) min=f (q) ;

(3) 当p≤≤q时, y=f (x) 在[p, q]上最值情况是:f (x) min=, f (x) max=max{f (p) , f (q) }.

即最大值是f (p) , f (q) 中最大的一个值.

故本题还要继续做下去:

因为-2≤1≤5, f (5) =52-2×5-3=12,

所以f (-2) = (-2) 2-2× (-2) -3=-3,

所以f (x) max=max{f (-2) , f (5) }=f (5) =12,

所以函数y=x2-2x-3在[-2, 5]上的最小值是-4, 最大值是12.

这个例子说明, 在函数定义域受到限制时, 要注意定义域的取值范围对函数最值的影响.

三、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合, 当定义域和对应法则确定, 函数值也随之而定.因此在求函数值域时, 应注意函数定义域.如:

例3求函数y=4x-5+的值域.

错解:令t=, 则2x=t2+3,

所以y=2 (t2+3) -5+t=2t2+t+1=

故所求的函数值域是

剖析:经换元后, 应有t≥0, 而函数y=2t2+t+1在[0, +∞) 上是增函数, 所以当t=0时, ymin=1.故所求的函数值域是[0, +∞) .

这个例子说明, 变量的允许值范围是何等的重要, 若能发现变量隐含的取值范围, 精细地检查解题思维的过程, 就可以避免以上错误结果的产生.

四、函数单调性与定域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时, 函数值随着增减的情况, 所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行.如:

例4指出函数f (x) =log2 (x2+2x) 的单调区间.

解:先求定义域:

因为x2+2x>0, 所以x>0或x<-2.

所以函数定义域为 (-∞, -2) ∪ (0, +∞) .

令u=x2+2x, 知在x∈ (-∞, -2) 上时, u为减函数,

在x∈ (0, +∞) 上时, u为增函数.

又因为f (x) =log2u在[0, +∞) .

所以函数f (x) =log2 (x2+2x) 在 (-∞, -2) 上是减函数, 在 (0, +∞) 上是增函数.

即函数f (x) =log2 (x2+2x) 的单调递增区间 (0, +∞) , 单调递减区间是 (-∞, -2) .

如果在做题时, 没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性, 就说明学生对函数单调性的概念一知半解, 没有理解.

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性, 应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称, 如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称, 则函数就无奇偶性可谈.否则要用奇偶性定义加以判断.

例5判断函数y=x3, x∈[-1, 3]的奇偶性.

解:因为2∈[-1, 3]而-2[-1, 3]

所以定义域区间[-1, 3]关于坐标原点不对称,

所以函数y=x3, x∈[-1, 3]是非奇非偶函数.

如果学生不注意函数定义域, 那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论:

因为f (-x) = (-x) 3=-x3=-f (x) ,

所以函数y=x3, x∈[-1, 3]是奇函数.

解题中注意函数定义域篇8

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则, 所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域, 否则所求函数关系式可能是错误。如:

例1 某单位计划建筑一矩形围墙, 现有材料可筑墙的总长度为100m, 求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?

解:设矩形的长为x米, 则宽为 (50-x) 米, 由题意得:

S=x (50-x)

故函数关系式为:S=x (50-x) .

如果解题到此为止, 则本题的函数关系式还欠完整, 缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时, S的值是负数, 即矩形的面积为负数, 这与实际问题相矛盾, 所以还应补上自变量x的范围:0

即:函数关系式为:S=x (50-x) (0

这个例子说明, 在用函数方法解决实际问题时, 必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点, 就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化, 就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。

二、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大 (小) 值的问题。如果不注意定义域, 将会导致最值的错误。如:

例2:求函数y=x2-2x-3在[-2, 5]上的最值.

解:∵ y=x2-2x-3= (x2-2x+1) -4= (x-1) 2-4

∴ 当x=1时, ymin=-4

初看结论, 本题似乎没有最大值, 只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路, 而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现, 也说明学生思维缺乏灵活性。

其实以上结论只是对二次函数y=ax2+bx+c (a>0) 在R上适用, 而在指定的定义域区间[p, q]上, 它的最值应分如下情况:

⑴ 当undefined时, y=f (x) 在[p, q]上单调递增函数f (x) min=f (p) , f (x) max=f (q) ;

⑵ 当undefined时, y=f (x) 在上单调递减函数f (x) max=f (p) , f (x) min=f (9e) ;

(3) 当undefined时, y=f (x) 在[p, q]上最值情况是:

undefined

, 即最大值是f (p) , f (q) 中最大的一个值。

故本题还要继续做下去:

∵ -2≤1≤5

f (5) =52-2×5-3=12

∴f (-2) = (-2) 2-2× (-2) -3=-3

∴f (x) max=max{f (-2) , f (5) }=f (5) =12

∴ 函数在y=x2-2x-3在[-2, 5]上的最小值是- 4, 最大值是12.

这个例子说明, 在函数定义域受到限制时, 若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响, 并在解题过程中加以注意, 便体现出学生思维的灵活性。

三、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合, 当定义域和对应法则确定, 函数值也随之而定。因此在求函数值域时, 应注意函数定义域。如:

例3 求函数undefined的值域.

错解:令undefined, 则

undefined

故所求的函数值域是undefined

剖析:经换元后, 应有t≥0, 而函数y=2t2+t+1在[0, +∞) 上是增函数, 所以当t=0时, ymin=1.

故所求的函数值域是[1, +∞) .

以上例子说明, 变量的允许值范围是何等的重要, 若能发现变量隐含的取值范围, 精细地检查解题思维的过程, 就可以避免以上错误结果的产生。也就是说, 学生若能在解好题目后, 检验已经得到的结果, 善于找出和改正自己的错误, 善于精细地检查思维过程, 便体现出良好的思维批判性。

四、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时, 函数值随着增减的情况, 所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如:

例4:指出函数f (x) =log2 (x2+2x) 的单调区间.

解:先求定义域:

∵ x2+2x>0 ∴x>0或x<-2

∴ 函数定义域为 (-∞, -2) ∪ (0, +∞) .

令u=x2+2x, 知在x∈ (-∞, -2) 上时, u为减函数,

在x∈ (0, +∞) 上时, u为增函数。

又∵f (x) =log2u在[0, +∞) 是增函数.

∴函数f (x) =log2 (x2+2x) 在 (-∞, -2) 上是减函数, 在 (0, +∞) 上是增函数。

即函数f (x) =log2 (x2+2x) 的单调递增区间 (0, +∞) , 单调递减区间是 (-∞, -2) 。

如果在做题时, 没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性, 就说明学生对函数单调性的概念一知半解, 没有理解, 在做练习或作业时, 只是对题型, 套公式, 而不去领会解题方法的实质, 也说明学生的思维缺乏深刻性。

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性, 应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称, 如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称, 则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如:

例5:判断函数y=x3, x∈[-1, 3]的奇偶性.

解:∵ 2∈[-1, 3]而-2∉[-1, 3]

∴ 定义域区间[-1, 3]关于坐标原点不对称

∴ 函数y=x3, x∈[-1, 3]是非奇非偶函数.

如果学生不注意函数定义域, 那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论:

∵ f (-x) = (-x) 3=-x3=-f (x)

∴ 函数y=x3, x∈[-1, 3]是奇函数.

错误剖析:因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成, 这是学生极易忽视的步骤, 也是造成结论错误的原因。

综上所述, 在求解函数函数关系式、最值 (值域) 、单调性、奇偶性等问题中, 若能精细地检查思维过程, 思辨函数定义域有无改变 (指对定义域为R来说) , 对解题结果有无影响, 就能提高学生质疑辨析能力, 有利于培养学生的思维品质, 从而不断提高学生思维能力, 进而有利于培养学生思维的创造性。

参考文献

[1]王岳庭主编.数学教师的素质与中学生数学素质的培养论文集.北京.海洋出版社, 1998.

[2]田万海主编.数学教育学.浙江.浙江教育出版社, 1993.

函数定义域的求解策略篇9

题型一函数的解析式给出的定义域的解法

函数的解析式已知,则它的定义域是使函数式有意义的自变量x的取值组成的集合.

在中学阶段,常见基本初等函数的定义域如下:

1分式函数中分母不等于零.

2偶次根式函数、被开方式大于或等于0.

3一次函数、二次函数的定义域为R.

4y = ax( a >0且a≠1) ,y =sin x,y =cos x,定义域均为R.

5y = logax的定义域为(0,+ ∞).

6y = tan x的定义域为{x|x∈R且x≠kπ +π/2,k∈Z }.

7函数f( x) = x0的定义域为{ x|x∈R且x≠0} .

在高中阶段,经常出现的函数式已知求函数的定义域的题型如下: 等等.

具体举例如下:

例1 (2009上海春季高考) 函数y = log2( x -1) 的定义域是___.

例2 (2011广东文4) 函数f( x) =1/(x - 1)+ lg( x + 1) 的定义域是( ) .

A. ( - ∞ ,- 1) B. ( 1,+ ∞ )

C. ( - 1,1) ∪( 1,+ ∞ ) D. ( - ∞ ,+ ∞ )

例3 ( 2011江西理3) 若 ,则f( x) 定义域为( ) .

A. (-1/2,0) B.( -1/2,0]

C.( -1/2,+∞) D. ( 0,+ ∞ )

例4 (2011安徽文13) 函数的定义域是_____ .

例5 (2012山东卷) 函数的定义域为( ) .

A.[- 2,0) ∪( 0,2] B. ( - 1,0) ∪( 0,2]

C.[- 2,2] D. ( - 1,2]

例6函数的定义域为 ____.

说明例1直接由x -1 >0得出;

例2则同时考虑1 -x≠0及x +1 >0得出答案C.

例3 由解得

故 -1/2< x < 0,得出答案A.

例4通过解一元二次不等式6 -x -x2> 0得到答案( -3,2) .

从上面例子可看出,通过求解不等式或不等式组、解方程等等就可得到函数的定义域,只要不等式及方程的解法过关,此类题型应该容易掌握.

题型二函数式未给出( 抽象函数) 的函数定义域的解法

此类型题分三类:

其一: 已知f( x) 的定义域,求f( g( x) ) 的定义域;

其二: 已知f( g( x) ) 的定义域,求f( x) 的定义域;

其三: 已知f( g( x) ) 的定义域,求f( h( x) ) 的定义域.

举例说明如下:

例7( 2013全国理数) 已知函数f( x) 的定义域为( -1,0) ,则函数f(2x -1)的定义域为() .

A. (- 1,1) B. (0,1/2)C. (- 1,0) D.(1/2,1)

此题虽易,但对初次接触抽象函数和复合函数的学生来说确实有点难,为此可先设置具体函数的题目帮助学生理解,设以下题:

已知则 f( - 2) =____ ;f( x2+ 1) =____ .

容易看出 -2 < 0,x2+ 1 > 0,所以f( - 2) = 6,f( x2+1) = 2x2+ 3,因此知道,- 2及x2+ 1都必须符合函数f( x)中的x的条件,才能对号入座求出函数值,由此想到例7中

函数f(2x -1)中的2x -1也必须满足函数f( x) 的定义域为( -1,0) ,所以有 -1 <2x -1 <0,求出0 < x <1/2,所以答案是B.

例8已知函数f(2x -1) 的定义域是( -1,0) ,则函数f( x) 的定义域是____.

解此题前可先设置题目: 已知函数f( 2x -1) = 2x,则f( x) =_____ .

容易求解: 因为f( 2x - 1) = 2x = ( 2x - 1) + 1,所以f( x) = x + 1,此时的x就是前面式子的2x - 1,类比此题,例8分析: 求f( x) 的定义域即是通过求2x - 1的取值范围得到,所以有 -1

例9已知函数f( x +1) 的定义域是( -1,0) ,则函数f( 2x - 1) 的定义域是____.

同样先设置题: 已知f( x + 1) = x + 2,则f( 2x 1) =_____.

解此题的思路是先通过f( x +1) = x +2求出f( x) ,再将f( x) 中的x用2x - 1代换求出. 即: f( x + 1) →f( x) →f( 2x - 1) . 例9也可参照此思路,先由f( x + 1) 的定义域求出f( x) 的定义域,再通过f( x) 的定义域求出f( 2x -1) 的定义域,即:

f( x + 1) 的定义域→f( x) 的定义域→f( 2x - 1) 定义域

例10 ( 黑龙江省哈尔滨市2013—2014学年高一上学期期中考试试题) 已知函数f(2x) 的定义域为[-1,1],则函数f( log2x) 的定义域为() .

A.[- 1,1] B.[1/2,2]

利用上面的方法,此题先由f( 2x) 的定义域求出f( x) 的定义域,再有f( x) 的定义域求出f( log2x) 的定义域,即: