极限论教学研究

极限论教学研究（精选十篇）

极限论教学研究 篇1

极限理论是微积分的基础。没有极限理论的完成, 就不会有微积分的出现。极限理论又是建立在实数理论上。在理工科大学, 极限论是大学生碰到的第一道难关。学好极限理论的关键就是深刻理解、掌握“ε-δ”“ε-N”语言。它们主要是用数学逻辑语言来表达极限中“无限逼近”的程度。数列极限逻辑语言“ε-N”语言中四句逻辑语言:"ε>0$N>0"n>N|xn-a|<ε充分表达了“无限逼近”的意思。首先我们要弄懂“任给一个正数ε”的含义, 一个任给充分说明了正数ε无限小的程度, 要多小就有多小, 你想它有多小就会有多小。在这个基础上, 我们再来看|xn-a|的含义, |xn-a|就是xn与a的距离, 正代表了它们接近的程度。这里要注意, 许多同学会理解为某一项xn与a接近的程度, 那就理解错了, 所以我们要和“ε-N”语言的中间两句“$N>0"n>N”联系起来解读就很清楚, 总存在那么一个时刻, 在那个时刻以后, 数列{xn}的所有项与a接近的程度。因为正数ε是任意的, 这点正刻画了在那个时刻以后出现的项数是无限项, 而那个时刻以前只是有限项。有了这个极限的严格定义“ε-N”语言, 我们就可以给出数列极限的性质、定理。

函数极限与数列极限的并列概念就是函数极限的严格定义“ε-M”语言, 和数列极限一样, 函数极限逻辑语言“ε-M”语言也是四句逻辑语言组成:“ε>0$M (M为一切大于0的正实数) ”|x|>M|f (x) -A|<ε。它精确地描述了当自变量x在x轴上向右 (正方向) 或者向左 (负方向) 无限伸展时, 函数曲线向一条水平直线无限接近的过程。函数与数列的区别在于:数列是建立在一维空间数轴上的一列无穷点列, 而函数则是建立在二维空间平面直角坐标系内的一条曲线, 它的定义域是建立在一维空间x轴上实数连续统内的实数。所以, 函数的极限不完全是自变量x趋于无穷时的极限, 它还有自变量x趋于某点x0时的极限, 这时极限的严格定义就是逻辑语言“ε-δ”语言, 它也是由四句逻辑语言组成:“ε>0$δ>0”0<|x-x0|<δ|f (x) -A|<ε。它精确描述了当自变量x趋于某点x0时, 函数曲线接近平面空间对应于x0这点的点, 函数在这点x0上可以没有定义。

通过极限的严格定义

我们可以得到许多有用的性质、定理

1.收敛数列的唯一性:在一个无穷数列中只有两种可能, 要么收敛于同一个极限, 要么发散。不可能同时存在两个不同的极限, 由极限的严格定义可以得到如果存在两个, 这两个极限一定相同。

2.收敛数列的有界性:一个数列如果有极限那么它一定有界。反之不然, 即有界数列不一定收敛。因为有界数列可能有不同的收敛子列, 所以它不收敛, 否则, 就违背了数列极限的唯一性。但是, 对于有界数列我们只要加强它的条件, 加添单调这个条件, 他就一定收敛。

3.迫敛性:如果在某个变化过程中, 某个数列始终夹在两个数列中间, 而这两个数列变化趋势又是一致, 即极限相同, 则那个夹在它们中间的数列也一定有极限且极限相同。

4.单调有界数列收敛性:就是“2”中的逆命题, 既然有界那这个数列一定存在上下确界, 它又是单调, 要么单调增加, 要么单调减少。如果单调增加又有上界, 那么上确界就是它变化趋势的终结, 它的极限就是上确界;同理, 如果它是单调减少有下界的数列, 那么下确界就是它变化趋势的终结, 它的极限就是下确界。 (迫敛性、单调有界数列收敛性又称为极限的两个存在准则。)

除此, 我们还要记住一些重要极限的结果, 例如:当自变量趋于零时, 正弦函数与自变量的比趋于1以及e极限等等。利用这些结果解决更复杂更难的极限题。值得一提的是柯西 (Cauchy) 收敛准则是数列收敛的等价命题, 是判断数列敛散性的重要理论依据。关键在于柯西 (Cauchy) 收敛准则判断数列敛散不需要其他附加条件, 通过数列自身特征出发就可以得出命题。所以, 柯西 (Cauchy) 收敛准则被称为数学分析中头等重要定理。

极限飞盘教学设计 篇2

教学内容：极限飞盘

教学目标：

1、了解极限飞盘的知识和规则，知道并掌握极限飞盘的传接盘的基础动作要领

2、与同伴合作，采用自己喜欢的练习手段学习传接盘，培养学生的合作意识。

场地器材：

1、飞盘6个

2、足球场地

一、问题导入

1、课堂常规:集合、整队、点名

2、教师提问：你了解飞盘运动吗?你知道飞盘运动的历史吗?

3、教师在学生回答的基础上总结，强化学生对所学知识的理解，最后引出极限飞盘运动的教学

二、热身活动

1、弓箭步走8---10步，2—3组。组织：小组进行练习

2、原地弓箭步交换跳10次。

3、原地进行单脚起跳，双脚落地的练习几次。

4、进行自己设计的一些柔韧性练习。

三、极限飞盘传接盘基本动作要领

1、教师示范穿接盘方法

接盘:夹接、上手接、低手接、传盘:握盘法、身体姿势、手部动作、飞盘轨道

２、教师介绍练习方法：为了方便大家体验动作，可自由选择方法进行练习。

3、学生分组进行练习。

4、教师进行巡回指导，纠正。

5、进行优生示范，纠正一些集体性的错误。

6、进行小组展示。

四、游戏《运球接力》

游戏方法：将学生分成人数相等的两队，用乒乓球拍进行端起球的接力。规则：

1、发令才能起跑，不得越过起跑线进行交接球。

2、中途如果球从球拍上掉下来，要从掉下来的地方拾起继续进行。

组织：分成两组进行 教法：

1、教师讲解规则

2、学生进行练习

四、放松身心

1、学生闭住眼睛，教师放音乐进行放松。

提升整体素质 突破美术教学极限 篇3

关键词 美术 教学 教育

中图分类号：G40-014 文献标识码：A

改革开放以来，我国的美术教育事业就如雨后春笋般迅速发展，现在的学生正是未来的创造者，他们的创新能力将影响着一个民族能否自立于世界之林，能否位于科学技术的制高点。而这一切又深深依赖于一个国家和民族创新教育能否得以顺利实施。

（1）“艺术来源于生活”，生活中处处都有美的存在，要唤醒儿童对艺术的兴趣，必须让他们感受到美术的魅力。艺术教育的内涵是广泛的，对少儿的艺术教学，我们不能停留在学校里，停留在固有的书本知识上。要大胆鼓励学生善于观察、善于思考，及时把自己看到的、想到的画下来，在原有画面的基础上加以创新。由于低年级儿童刚接触美术知识，他们的模仿能力和记忆力都很强，所以我认为教师可以很好的利用这特征引导学生观察生活，把自己喜欢的情景画下来。把生活的东西扩大化、创新化，把自己的情感在绘画作品中表现出来。《小动物盖房子》正是集观察、情感、创新一体，以故事的形式导入，吸引小朋友，以悬念让小朋友自己动手解答。把生活中常见的房子，常见的事物，如苹果、橘子、香蕉、西瓜、蘑菇等等。通过观察、思考把这些生活中随处可见的东西融入到美术作品中来，培养学生观察生活，认识到美处处存在。我们要从少儿的长远发展出发，去巧妙地，耐心地，愉快地激发，善于发现和激发孩子用真实的心灵去感受，去演奏和描绘。

（2）低年级美术课应特别重视培养学生的整体素质与创新意识。创新精神的培养使学生思维的流畅性、灵活性和独特性得到发展，最大限度的开发学生的创造潜能。注重实践能力培养，使学生具有将创新能力转化为成果的能力。通过探究学习，引导学生在具体情境中学会探究与发现，找到不同知识之间的关联，创造性地解决问题。可采用悬念引新、激发兴趣、启发诱导、发散思维的探究学习方式，有意识设置一些环节，让学生面对具有挑战性的学习过程，给学生提供展示自我的机会。

在人类历史发展的长河中创造像一条红线始终贯穿其中，它推动着社会发展和世界文明，而这其中创造能力的产生正是创造性思维的闪现。“种瓜得瓜，种豆得豆”，当教师为学生种下创造性思维的种子，将来必成为创造型的人才。同时也要求教师在新课改中要不断更新自我、完善自我、塑造自我。当我们问这个世界是谁创造的，回答是各种各样独立的人创造的，是有独立思维的人创造的，所以我们要培养学生独立自主的进取精神、创新意识。在《美丽的铅笔头》中，教师不光要教会学生怎样做的步骤，更要启发学生独立思考，制作一个有个性的铅笔头。在发散思路上，要求学生们想象它还可以利用哪些材料制作，这些材料又还可以制作什么样的装饰品来，逐步深入，以培养学生注意观察生活、发现生活、创造生活、美化生活。

（3）低年级美术教育集德、智、体、美、劳和创新精神等综合一体，体现了整体素质教育。课程设计摆脱旧的教学模式，不再是单纯的美术或音乐课，而是在教学内容上综合了舞蹈、文学诗歌、数学、自然及朗诵艺术等学科知识，培养他们从发现美、表现美、到创造美和追求美的能力及正确的情感、态度、价值观。既实现知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三位一体的课程目标。教学通过活泼、内容丰富的活动激起学生的学习热情和学习兴趣。我们在满足学生表现欲的同时，注意提高学生的创造力，力求在课堂教学中体现出艺术课程的人文性、综合性、创造性和愉悦性。在玩中学习更能激发学生的情感，培养学生热爱自然、热爱生活的情感。

（4）在创新的基础上，教师还要注重学生的审美意识。教导学生什么是美，什么是行为美、心灵美。教师是美的创造者，我们要用心去感悟、去表现，尽可能地丰富他们的生活，陶冶情操，提高审美力。在艺术活动中去唤醒他们对生活的感受，引导他们用基础的艺术形式去表现他们的内心情感，在愉快充满幻想的艺术教学中，用自己的思想来思考、用自己的方式来表达、用自己的意愿来创造，实现个性优化和身心素质全面和谐发展，美好生存。

（5）在整体素质教育中情感教学是课中始终贯穿的一条主线。在每一课中无不或多或少的体现，在《小鸟找家》中，我创造情景故事，结合小朋友的亲身体会，在主题表现上注重情感教学在本课中的运用，以体现人文性。我问“ 小鸟如何找家？”结论多样，它可以借用“蜡烛、手电、灯笼、月亮、星星或车灯的光……”来照亮。“联系自己好好想想我们的家是什么样的？小鸟的心情、它妈妈的心情又怎样？”既教育小朋友要热爱家园、保护生态平衡，更要有乐于助人的雷锋精神，并积极鼓励他们继续发扬这种优良品质，很自然的把这节课的重难点连接起来，很好的达到教学目标。

国家要发展，民族要振兴，必须培养一批具有创造力和想象力的人，具有全面发展的“四有新人”。教育面临着新的转折，美术教育面临着新的挑战，教师也面临着一个新的考验，我们要在教学过程中不断把知识转化为实践力和创造力。低年级美术教育在新素质教育课程改革中有着举足轻重的地位，它在倡导学生主动参与、乐于研究、勤于动手基础上，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力，这些需要引起我们每个教师的重视。

极限编程技术研究 篇4

1 极限编程技术的组成部分

极限编程技术的组成部分包括:价值、原则、实践和行为。这些组成部分互相联系, 彼此密不可分。其中, 原则来自于价值;而价值和原则又都是以12个实践为基础的;12个实践关联着四个主要的软件开发活动。

极限编程技术的价值包括以下五个方面:沟通、简单、反馈、勇气、尊重。

极限编程技术的原则包括以下五个方面:快速反馈、简单性假设、逐步修改、拥抱变化、高质量的工作。

极限编程技术的实践包括以下十二个方面:计划、小版本、隐喻、简单设计、测试、重构、结对编程、集体所有权、每周工作40h、持续集成、现场客户和编码标准等。

极限编程技术的行为包括以下四个方面:倾听、测试、编码、设计。

2 极限编程技术的优势和劣势

2.1 极限编程技术的优势

极限编程技术作为一种新型的编程理念, 它的优势非常多, 主要包括以下几个方面。

第一, 极限编程技术提倡的小型发布能够对于错误进行及时地检测, 从而使错误的范围尽可能缩小。

第二, 极限编程技术倡导高效率地处理需求的变动问题, 能够降低和避免由于需求的变动所导致的对软件项目的影响有利于最大限度地符合用户的需求。

第三, 极限编程技术所倡导的简化设计的价值观可以降低软件开发工作者的工作量, 有利于软件开发工作效率的提升。在现阶段, 大部分企业认为必须在软件设计结束之后才可以编写代码, 但是设计通常是存在着一定的缺陷的, 大而全的设计就会造成软件的开发进度的滞缓。在这样的背景下, 极限编程技术为软件行业创造出了一种崭新的开发理念。

3.2极限编程技术的劣势

在看到极限编程技术的优势的同时也应该看到极限编程技术的劣势, 主要涵盖了下面的几个方面。

第一, 极限编程技术所倡导的结对编程实践方法在可以降低错误发生率的同时, 也会导致程序编码的不一致性, 甚至由于解决问题的矛盾而使软件的开发进度滞缓。

第二, 极限编程技术更加重视代码的规范性, 将程序代码的规范看作是全部的规范, 却没有充分重视到软件的设计、计划等全过程, 这是非常不利于软件以后的维护工作的, 不利于将来的可持续性的开发尤其是对于一些编程团队时常出现变动的情况不利。

第三, 极限编程技术更加注重在编码阶段的重构, 这只是局部重构, 没有在设计阶段充分重视重构, 导致对于分析设计的重视不足。

第四, 极限编程技术所倡导的代码全体拥有虽然可以实现代码的透明化, 然而为软件项目的安全性、稳定性埋下了巨大的安全隐患。

3极限编程技术的生命周期

从总体上来说, 极限编程技术的生命周期主要包括以下几个方面:调查、规划、迭代、产品化、维护。极限编程技术要求客户和开发人员协同起来, 从而共同打造出具备实际价值的软件。客户对于开发人员应该进行指导, 并且积极参与到整个生命周期过程中来, 以便开发人员能够努力探索在极限编程技术软件的整个生命周期中实现业务价值的提升的新途径。

极限编程技术的周期是一个持续定义和实现价值的过程。整个开发过程就是客户定义价值, 而开发人员负责提供价值。极限编程技术具备非常快速的循环速度。开发人员在几分钟之内、几小时之内或者是几天之内就能够完成一个功能的编码设计, 从而保证客户可以及时进行指导, 以便开发人员及时整改, 有利于整改软件的逐步顺利开展, 相对于传统的软件开发方法, 这是一个重要的突破。

另外, 极限编程技术项目应该将客户的产品预想划分为发布, 并且将发布划分为迭代。规划是一个持续进行的过程, 在项目的全部生命周期过程中会进行持续地完善。

在迭代的过程中, 开发人员会进行多次的定期构建。构建次数是和所选择的技术类型以及开发人员所选择的开发风格相关联的。发布和迭代之间所存在的不同之处在于发布时开发人员将工作软件交给客户, 而迭代的过程中存在一个内部焦点, 使现场客户和开发人员可以对于进度进行度量和调整。

在极限编程技术项目的整个生命周期过程中, 在进行软件项目的调查分析之后, 开发人员会进行发布规划和不断迭代的循环, 最终实现软件的开发, 并且为下一步骤的生产打下坚实的基础。所谓生产或发布, 就是说把已经实现的软件部署在工作环境中。生产是非常关键的, 这是由于生产就代表着企业会在新的软件中得到真正的价值。但是, 也应该看到, 失败的代价也是非常高的, 因此, 众多的客户会非常重视软件最终的验收测试, 并且进行软件的维护, 以便软件能够得到正常的运行, 为客户带来更大的效益。

4 结语

综上所述, 本文探索了极限编程技术。虽然极限编程技术已经被提出了十多年的时间了, 然而, 这种编程理念仍然是一种新兴的软件开发方法, 值得相关领域的专家和学者继续进行在不断的探索和完善。希望通过本文的研究, 能够抛砖引玉, 引起国内外专家学者对于极限编程技术领域的进一步的重视。

参考文献

[1]段琳琳, 王如龙.极限编程在软件项目开发中的研究与应用[J].计算技术与自动化, 2008 (1) .

[2]韩利凯, 李向军.基于组织行为学的极限编程中的沟通准则[J].西安文理学院学报 (自然科学版) , 2009 (4) .

[3]张惠彦, 廉保旺, 逯野.极限编程的研究和应用[J].科学技术与工程, 2007 (12) .

[4]周立力.极限编程的质量保证分析[J].计算机应用与软件, 2010 (4)

[5]汪灏, 陈丹敏, 杨建豪.基于极限编程方法的教育软件项目开发[J].软件导刊, 2012 (3) .

数列的极限_教学设计 篇5

西南位育中学 肖添忆

一、教材分析

《数列的极限》为沪教版第七章第七节第一课时内容，是一节概念课。极限概念是数学中最重要和最基本的概念之一，因为极限理论是微积分学中的基础理论，它的产生建立了有限与无限、常量数学与变量数学之间的桥梁，从而弥补和完善了微积分在理论上的欠缺。本节后续内容如：数列极限的运算法则、无穷等比数列各项和的求解也要用到数列极限的运算与性质来推导，所以极限概念的掌握至关重要。

课本在内容展开时，以观察n时无穷等比数列an列anqn,(|q|1)与an1的发展趋势为出发点，结合数n21的发展趋势，从特殊到一般地给出数列极限的描述性定义。在n由定义给出两个常用极限。但引入部分的表述如“无限趋近于0，但它永远不会成为0”、“不管n取值有多大，点（n，an）始终在横轴的上方”可能会造成学生对“无限趋近”的理解偏差。

二、学情分析

通过第七章前半部分的学习，学生已经掌握了数列的有关概念，以及研究一些特殊数列的方法。但对于学生来说，数列极限是一个全新的内容，学生的思维正处于由经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡的阶段。

由于已有的学习经验与不当的推理类比，学生在理解“极限”、“无限趋近”时可能产生偏差，比如认为极限代表着一种无法逾越的程度，或是近似值。这与数学中“极限”的含义相差甚远。在学习数列极限之前，又曾多次利用“无限趋近”描述反比例函数、指数函数、对数函数的图像特征，这又与数列中“无限趋近”的含义有所差异，学生往往会因为常数列能达到某一个常数而否定常数列存在极限的事实。

三、教学目标与重难点 教学目标：

1、通过数列极限发展史的介绍，感受数学知识的形成与发展，更好地把握极限概念的来龙去脉；

2、经历极限定义在漫长时期内发展的过程，体会数学家们从概念发现到完善所作出的努力，从数列的变化趋势，正确理解数列极限的概念和描述性定义；

3、会根据数列极限的意义，由数列的通项公式来考察数列的极限；掌握三个常用极限。教学重点：理解数列极限的概念

教学难点：正确理解数列极限的描述性定义

四、教学策略分析

在问题引入时着重突出“万世不竭”与“讲台可以走到”在认知上的矛盾，激发学生的学习兴趣与求知欲，并由此引出本节课的学习内容。在极限概念形成时，结合极限概念的发展史展开教学，让学生意识到数学理论不是一成不变的，而是不断发展变化的。数学的历史发展过程与学生的认知过程有着一定的相似性，学生在某些概念上的进展有时与数学史上的概念进展平行。比如部分学生的想法与许多古希腊的数学家一样，认为无限扩大的正多边形不会与圆周重合，它的周长始终小于其外接圆的周长。教师通过梳理极限发展史上的代表性观点，介绍概念的发展历程以及前人对此的一系列观点，能帮助学生发现自己可能也存在着类似于前人的一些错误想法。对数学发现的过程以认知角度加以分析，有助于学生学习数学家的思维方式，了解数学概念的发展，进而建构推理过程，使学生发生概念转变。在课堂练习诊断部分，不但要求回答问题，还需对选择原因进行辨析，进而强化概念的正确理解。

五、教学过程提纲与设计意图 1.问题引入

让一名学生从距离讲台一米处朝讲台走动，每次都移动距讲台距离的一半，在黑板上写出表示学生到讲台距离的数列。这名学生是否能走到讲台呢？类比“一尺之捶,日取其半,万世不竭”，庄子认为这样的过程是永远不会完结的，然而“讲台永远走不到”这一结果显然与事实不同，要回答这一矛盾，让我们看看历史上的数学家们是如何思考的。【设计意图】

改编自芝诺悖论的引入问题，与庄子的“一尺之捶”产生了认知冲突，激发学生的学习兴趣与求知欲，并引出本节课的学习内容

2.极限概念的发展与完善

极限概念的发展经历了三个阶段：从早期以“割圆术”“穷竭法”为代表的朴素极限思想，到极限概念被提出后因“无穷小量是否为0”的争论而引发的质疑，再经由柯西、魏尔斯特拉斯等人的工作以及实数理论的形成，严格的极限理论至此才真正建立。【设计意图】

教师引导学生梳理极限发展史上的代表性观点，了解数学家们提出观点的时代背景，对照反思自己的想法，发现自己可能也存在着类似于前人的一些错误想法。教师在比较概念发展史上被否定的观点与现今数学界认可的观点时，会使学生产生认知冲突。从而可能使学生发生概念转变，抛弃不正确的、不完整的、受限的想法，接受新的概念。在数学教学中，结合数学史展开教学可以让学生意识到数学理论不是一成不变的，而是不断发展变化的，从而提升学生概念转变的动机。

3.数列极限的概念

极限思想的产生最早可追溯于中国古代。极限理论的完善出于社会实践的需要，不是哪一名数学家苦思冥想得出，而是几代人奋斗的结果。极限的严格定义经历了相当漫长的时期才得以完善，它是人类智慧高度文明的体现，反映了数学发展的辩证规律。今天的主题，极限的定义，援引的便是柯西对于极限的阐述。

定义：在n无限增大的变化过程中，如果无穷数列{an}中的an无限趋近于一个常数A，那么A叫做数列{an}的极限，或叫做数列{an}收敛于A，记作limanA，读作“n趋向于

n无穷大时，an的极限等于A”。

在数列极限的定义中，可用|an-A|无限趋近于0来描述an无限趋近于A。

如前阐述，柯西版本的极限定义虽然不是最完美的，但作为摆脱几何直观的首次尝试，也是历史上一个较为成功的版本，在历史上的地位颇高。有时，我们也称其为数列极限的描述性定义。

【设计意图】

通过比较历史上不同观点下的极限定义，教师呈现数列极限的描述性定义，分析该定义的历史意义，让学生进一步明确数列极限的含义。4.课堂练习诊断

由数列极限的定义得到三个常用数列的极限:(1)limCC(C为常数)；

n(2)lim10(nN*)； nnnn(3)当|q|<1时，limq0.练习<1>判断下列数列是否存在极限，若存在求出其极限，若不存在请说明理由

20162016（1）an；

nsinn； n（3）1,1,1,1,,1（2）an（4）an4(1n1000)

4(n1001)11-，n为奇数（5）ann

 1，n为偶数注：

（1）、（2）考察三个常用极限

（3）考查学生是否能清楚认识到数列极限概念是基于无穷项数列的背景下探讨的。当项数无限增大时，数列的项若无限趋近于一个常数，则认为数列的极限存在。因此，数列极限可以看作是数列的一种趋于稳定的发展趋势。有穷数列的项数是有限的，因而并不存在极限这个概念。

（4）引用柯西的观点，解释此处无限趋近的含义，是指随着数列项数的增加，数列的项与某一常数要多接近就有多接近，由此得出结论：数列极限与前有限项无关且无穷常数数列存在极限的。

（5）扩充对三种趋近方式的理解：小于A趋近、大于A趋近和摆动趋近。本题中的数列没有呈现出以上三种方式的任意一种。避免学生将趋近误解为项数与常数间的差距不断缩小。练习<2>若A=0.9+0.09+0.009+0.0009+...，则以下对A的描述正确的是_____.A、A是小于1的最大正数

B、A的精确值为1 C、A的近似值为1

选择此选项的原因是_________ ①由于A的小数位都是 9，找不到比A大但比1小的数；

②A是由无限多个正数的和组成，它们可以一直不断得加下去，但总小于 2；

③A表示的数是数列0.9，0.99，0.999，0.9999，...的极限；

④1与A的差等于 0.00…01。

注：此题是为考查学生对于无穷小量和极限概念的理解。由极限概念的发展史可以看出，数学家们曾长时期陷入对无穷小概念理解的误区中，极大地阻碍了对极限概念的理解。学生学习极限概念时可能也会遇到类似的误区。

练习<3>顺次连接△ABC各边中点A1、B1、C1，得到△A1B1C1。取△A1B1C1各边中点 A2、B2、C2并顺次连接又得到一个新三角形△A2B2C2。再按上述方法一直进行下去，那么最终得到的图形是_________.A、一个点

B、一个三角形

C、不确定

选择此选项的原因是_________.①

无限次操作后所得三角形的面积无限趋近于 0 但不可能等于 0。②

当操作一定次数后，三角形的三点会重合。

③

该项操作可以无限多次进行下去，因而总能作出类似的三角形。

④

无限次操作后所得三角形的三个顶点会趋向于一点。

注：此题从无限观的角度考察学生对极限概念的的理解。学生容易忽视极限概念中的实无限，他们在视觉上采用无穷叠加的形式，但是会受最后一项的惯性思维，导致采用潜无限的思辨方式。所谓实无限是指把无限的整体本身作为一个现成的单位，是可以自我完成的过程或无穷整体。相对地，潜无限是指把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着不断产生出来的东西。它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在的。持有潜无限观点的学生在理解极限概念时，会将极限理解为是一个渐进过程，或是一个不可达到的极值。

通过习题，分析总结以下三个注意点：

（1）数列{an}有极限必须是一个无穷数列，但无穷数列不一定有极限存在；

1}可以说随着n的无限增大，n1数列的项与-1会越来越接近，但这种接近不是无限趋近，所以不能说lim1；

nn（2）“无限趋近”不能用“越来越接近”代替，例如数列{（3）数列{an}趋向极限A的过程可有多种呈现形式。

【设计意图】

通过例题与选项原因的分析，消除关于数列极限理解的三类误区：

第一类是将数列极限等同于如下的三种概念：渐近线、最大限度或是近似值。第二类是学生对于数列趋向于极限方式的错误认知。第三类是对于无限的错误认知。

5.课堂小结

极限的描述性定义与注意点 三个常用的极限

6.作业布置

1>任课老师布置的其他作业

2>学习魏尔斯特拉斯的数列极限定义，并用该定义证明习题<1>的第一第二小问 【设计意图】

对两个关键极限公式教学方法的研究 篇6

[关键词]关键 极限公式 教学方法

极限是高等数学中的重要内容之一，它贯穿于这门学科的始终。而两个重要的极限公式在极限理论中占有十分重要的地们，是解决极限计算问题的有效工具。传统的教学方法是课堂上教师证明完两个重要极限公式之后，再通过例子对公式进行简单说明，最后布置一些习题要求学生自习巩固。这种教学方法固然有其优点，但是学生在初学时往往抓不住代的本质，对公式理解不够透彻，加之重要极限公式的理论性、应用性和形式性都很强，因些学生往往感觉对公式掌握得不扎实，教学效果不显著。为了改变这种局面，根据教学内容、课时安排和学生的基础等实际情况，我们对传统教学方法进行了改革，把教学重点转移到对公式化的剖析上，附之以典型的例题和思考题训练，取得了较好的教学效果。

教学过程

我们在2003年、2004年和2005年对我系计算机专业三个年级的学生进行了重要极限公式教学方法比较实验.对照班采用传统的教学方法,实验班运用新的教学方法进行教学。

产生这种现象的原因是对照班学生对重要极限公式理解不得法，只会机械地应用公式，所以导致计算效果较差。实验班同学能够牢固掌握公式内在的本质特征，在作题时运用自如，得心应手。

经过几年的教学实践，我们看到采用新方法讲授两个重要极限，教学效果还是比较好的，同学们也比较认同。历年参加专升本和高自考的宪政反馈回来的信息也是令人满意的。

参考文献

[1]吕忠田.重要极限公式教学礼记[J].高等数学研究.2005.(5)

[2]同济大学数学教研室.高等数学(上册)[M].4版.北京:高等教育出版社.1999

函数极限方法的研究 篇7

定义1:设函数f (x) 在点x0的某一去心邻域内有定义.若存在常数A, 对于任意给定的正数ε, 总存在正数δ, 使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时, 对应的函数值f (x) 都满足不等式|f (x) -A|<ε, 那么常数A就叫做函数f (x) 当x→x0时的极限, 记作

定义2:设函数f (x) 当|x|大于某一正数时有定义.若存在常数A, 对于任意给定的正数ε, 总存在正数X, 使得当x满足不等式|x|>X时, 对应的函数值f (x) 都满足不等式|f (x) -A|<ε, 那么常数A就叫做函数f (x) 当x→∞时的极限, 记作

二、求极限方法

1.利用定理判断极限是否存在

例1:判断当x→0时极限是否存在

2.利用四则运算求极限

若limf (x) =A, 那么limg (x) =B, 那么

利用结论, 无穷小量乘以有界量是无穷小量.

3.利用重要极限

5.利用洛必达法求型极限

6.利用泰勒展开

总之, 求极限的方法很多, 在一个复杂的题目中并不是孤立地用某一种方法, 有时候必须多种方法结合起来使用, 才能使问题得以简化.

参考文献

[1]同济大学数学系编.高等数学 (第七版) [M].2014.7.

[2]张凯凡.高等数学习题集[M].2012.

超越课堂极限 打造有效教学 篇8

生物学科课时少, 学生不重视, 并且学生数理化学科的课外作业多……面对诸多问题, 要想提高生物学科的教学质量, 唯一的途径就是在有限的时间内争取最高的教学效率, 提高每一节生物课的课堂效率, 打造有效课堂, 实现有效教学。

上好每一节课, 是生物教学质量的“生命”。那么, 怎样才能实现突破课堂极限, 打造有效教学呢?关键在于优化教学方式。生物教学要以“愉快教学”为基本模式, 融入“尝试教学法”, 实现“满负荷、正效应”目标。

“愉快教学”, 能从根本上减轻学生学习中的心理负担, 教师应在保证科学性的基础上, 结合具体的情况, 艺术性地进行教学, 使学生在轻松愉快的氛围中从事认知活动, 帮助他们花最少的时间, “立竿见影”地掌握新学科的知识, 获得能力的提高, 获得尝试学习成功的体验, 从而使学生们想学、爱学、学有所乐、学有所得。

为此, 要切实明确教学程序、步骤以及各步骤应有的实效, 使得课堂教学层次井然, 过渡自如, 层层深入, 实现有效教学。1.温故知新阶段。小组抢答竞赛或派代表上台答题, 讲解挂图, 引入竞争机制提高效率, 体现新旧知识的内在联系。2.引入新课阶段。抛出“课引子”, 转移学生的注意, 激发学生学习的兴趣。3.讲授新课阶段。准确生动地讲授, 发挥多媒体的生动性, 发挥标本、挂图的作用, 做好师生间的互动, 引人入胜。便于学生认知, 提高能力。4.及时识记、练习、巩固阶段。学生自习、教师巡堂, 学生质疑、教师答疑, 学生讨论、做课堂练习, 保证有效课堂的实现。5.检查效果阶段。有计划性、有针对性地个别提问, 是教学效果的反馈, 使学生获得尝试成功的愉悦感。

为了保证课堂的愉快氛围与良好的效应, 必须充分发挥以下几个方面的作用:

一、充分利用“良师”效应, 打造有效课堂

“亲其师, 信其道”。深得学生信赖、备受学生欢迎的老师, 他的劳动必定受到学生由衷的尊敬和积极的配合, 而教学实效也就有了保证。这种“良师”效应, 是由教师的人格魅力、教学艺术所形成的。因此, 教师要极力塑造良师形象, 减少甚至消除劳动的无效成分, 这对于时间有限的生物课来说, 尤为重要。

“润物细无声”, 这是教师工作的特点。花时间, 花精力, 以教法、教态以及教学实效来塑造良师形象, 充分调动学生的学习情绪, 让学生盼上生物课, 想学、爱学, 为有效课堂营造氛围。

二、巧妙设计“课引子”

“课引子”功如“药引子”, 巧妙设计“课引子”对生物课堂很有必要。课堂引言是课堂教学中情绪调动、启发思维的“神钥”, 所谓的“良好的开端是成功的一半”。

“课引子”的设计有很多种方法。一为“谬误法”。促使学生从反面获得正确的答案。二为“间接兴趣法”。此法用于抽象、枯燥的教学内容。三为“猎奇法”。此法用于学生日常生活中没有接触到的知识名词的教学内容。四为“直接兴趣法”。五为“比较法”。六为“比喻法”。

引言的设计多种多样, 一节课的引入或另一个知识点的转折都可以利用引言的导入, 根本的原则就是要抓住学生的心, 激发兴趣, 吸引注意。布鲁纳说过:“学习的最好刺激, 乃是对学习材料的兴趣。”课引子可以激兴趣、引注意、启思维, 花时间设计引言, “磨刀不误砍柴工。”精心地设计每个教学引言, 让“课引子”成为打开有效课堂的“金钥匙”。

三、延伸课堂范围, 提高学生能力, 实现有效教学

生物学知识无处不在。利用这一点, 延伸课堂范围, 第一、第二课堂合二为一, 可以收到良好的教学效果。生动有趣的活动, 既提高学科的吸引力, 更利于提高学生的动手能力, 实现教学目的中知识技能的培养、情感态度与价值观的培育的“三维”目标。

四、关注“科技新动向”, 提高学科影响力

关注报刊、杂志、电影、电视, 搜集有关生物方面的科技成果, 提高学科的影响力。特别是社会关注的热点, 如“基因组计划”、转基因生物及食品、食品安全事件、仿生学应用与军事航空领域等, 适时地在课堂教学中探讨, 深切感悟和认识到“21世纪是生物科学的世纪”。如此, 学生学习生物学的欲望更加强烈, 教学的“三维”目标能更快更好地实现, 教学的效率更高。

无论从学科特点还是学情特点来看, 超越课堂极限, 选择“愉快教学”是必然之势。只有让学生保持认知活动中的兴奋状态, 才能使他们思维活跃, 积极求知, 获得良好的认知效果, 才能使四十五分钟里的每一分钟的容量与实效都取得“最大值”。

中心极限定理的教学体会 篇9

关键词：中心极限定理,正态分布,教学体会

中心极限定理在概率论与数理统计这门课程中具有极其重要的作用,它是连接概率与统计的桥梁,但此定理理论性极强,学生理解起来很费力.为了使学生能够全面了解中心极限定理、掌握其使用的方法与技巧,现将教学中的体会阐述如下

1.中心极限定理

定理1[1](独立同分布的中心极限定理)设随机变量X1X2,… ,Xn,…相互独立 ,服从同一分布 ,且具有数学期望与方差:E(Xk)=μ,D(xk)=σ2>0(k=1,2,…),则对于任何实数X,有摇摇.

若定义,则有,即当n充分大时,Yn近似服从N(0,1),从而近似服从.

定理2[1](棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理)设随机变量η(n=1,2,… )服从参数为n,p(0<p<1)的二项分布 ,则对于任意实数x,有

对于定理2,相当于定理1中取E(Xk)=p,D(Xk)=p(1-p)>0(k=1,2,… ),可见定理2是定理1的特殊情况 , 当n充分大时 ,近似服从N(0,1).定理2在应用时需要注意,p固定时,当n→+∞时,np→+∞,即当np充分大时,可以用正态分布近似代替二项分布.另外,需要指出的是,若较小,则可以令λ=np,用泊松分布近似计算较准确.

2.定理的应用

定理1和定理2在使用时,均要求随机变量独立同分布,随机变量的数学期望和方差是已知的,并且定理2在使用时是针对二项分布的.虽然定理2的使用条件为np→+∞,但在实际应用时,只要np充分大,即可用正态分布进行近似计算.下面举两个例子说明定理1和定理2的使用方法.

例1:某产品成箱包装,每箱的重量是随机的.若每箱平均重50kg,标准差为5kg,现在用最大载重量为5吨的汽车装,试分析一辆车最多可以装多少箱才能保证不超载的概率大于0.977.

解:设Xi(i=1,2,…,n)是第i箱的重量,则X1,X2,…Xn可以看成是独立同分布的随机变量,n箱的总重量为i,易知,E(Xi)=50,,,.由定理1知,Tn近似服从N(50n,25n),从而有,所以,得到n<98.0199,即最多装98箱.

例2:某药厂断言,该厂生产的一种药对治疗某种疑难病的治愈率为0.8,医生任意抽查100个服用此药的病人,如果有75人治愈,就接受这一断言,否则就拒绝这一断言.若实际此药品对这种病的治愈率为0.8,则接受这一断言的概率是多少?

解: 由题意知,100人中治愈人数X服从二项分布B(100,0.8),由定理2知 ,X近似服从N(100×0.8,100×0.8×0.2)=N(80,42),所以接受断言的概率

3.结 语

数列极限定义的教学思考 篇10

一、介绍极限发展历史

极限思想的萌芽可以追溯到中国战国时期和古希腊时期, 但极限概念首次出现于沃利斯的《无穷算数》中, 牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。18世纪下半叶, 达郎贝尔等人认识到把微积分建立在极限概念的基础之上, 微积分才是完善的, 柯西最先给出了极限的描述性定义, 之后, 魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义。

教师通过对极限发展历史的简单介绍, 能加强学生对极限概念的感性认识。

二、列举极限相关的例子, 为引入极限定义作铺垫

例1[1]:古代哲学家庄周的《庄子·天下篇》引用过一句话:一尺之棰, 日取其半, 万世不竭。其含义是:一根长为一尺的木棒, 每天截下一半, 这样的过程可以无限制地进行下去。

例2[2]:介绍刘徽创立的“割圆术”。

我国古代杰出的数学家刘徽于魏景元四年 (公元263年) 创立的“割圆术”, 他通过借助于圆的一串内接正多边形的周长数列的稳定变化趋势定义了圆的周长。其作法是:首先作圆的内接正六边形, 其次平分每个边所对的弧, 作圆的内接正十二边形, 以下用同样的方法, 继续作圆的内接正二十四边形, 圆的内接正四十八边形, 等等。这样我们就得到了一串·圆的内接正多边形的周长数列:, 其中通项表示第n次作出的圆的内接正2n-1·6边形的周长。观察, 我们知道圆的内接正多边形的边数成倍无限增加时, 这一窜圆的圆的内接正多边形的周长数列趋向于某个常数C。于是我们可以将C定义为该圆的周长。

通过对以上三个例题的分析, 让学生对数列极限有个初步认识。

三、数列极限定义

定义:设{an}为数列, a为常数。若对任给的正数ε, 总存在正整数N, 使得当n>N时有|an-a|<ε, 则称数列{an}收敛于a, a称为数列{an}的极限, 并记作nli→m∞an=a。若数列数列{an}没有极限, 则称{an}不收敛, 或称{an}为发散数列。

为了更好地理解极限的定义, 我们给出以下注意事项。

注:1.ε的双重性。首先ε具有绝对的任意性, 这样就保证了数列{an}无限趋向与a。另外一方面, ε具有相对的固定性, 一旦取定ε, 我们就可以估算an与a的接近程度。ε的双重性使得数列极限的ε-N定义, 既能从近似转化为精确, 又能从精确转化为近似, 它是掌握极限定义的关键。

2. N的存在性。在极限定义中, 重在N的存在性, 且N的存在性是与ε相关的。定义中并没有要求N的唯一性, 也就是说一旦ε任意给定后, 我们只要能够找到满足条件的N即可。

3. 极限的几何意义。在平面坐标系中, 数列{an}对应于数轴上的一窜点, 对于任意的ε, 存在正整数N, 使得当n>N时, 所有点an均在开区间 (a-ε, a+ε) 内。故至多N个点an在这区间外。

4.收敛与发散的数学符号叙述。

四、例题讲解

通过上面两个例题的详细讲解, 总结出求数列极限的一般步骤, 并强调证明数列极限过程重在寻找合适的, 我们可以采取“限定”和“放大”的方法来寻找N。然后再讲解几个求数列极限的证明题, 照总结的证明步骤, 一步一步证明, 以此加深学生对知识的理解。最后在学生对证明数列极限方法有了一定的熟练后, 再举两个证明数列发散的题目。通过严格的分析证明, 结出证明数列发散的一般步骤, 对比证明数列收敛的步骤, 找出他们各自的证明难点, 从而加深对数列极限的理解。

证明:限定n>7, 从而n3-3>0, 要使不等式

五、总结知识, 布置作业

教师要带领学生回顾数列极限的定义及其理解的难点, 理清证明数列收敛和发散的一般步骤, 让学生做到心中有数。最后, 教师布置几个证明数列极限收敛和发散的作业, 以此来考察学生对知识的掌握程度及其遇到的问题。

摘要：数列极限是数学分析课程中一个重要的概念, 它也是学好数学分析的必备知识。本文对数列极限定义的教学方法做了一些分析和思考。

关键词：数学分析,极限,定义,数列

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2001.