基于ARFIMA模型的尼罗河年度流量的研究

2022-09-11

1 引言

常见的时间序列模型, 如AR模型、ARMA模型及ARIMA模型等, 这些基本上都是建立在两个相距较远的且完全独立或几乎独立的观测值之间, 而这些模型所反映的时间序列的短记忆过程。但是很多时间序列中存在着与短记忆特点相反的现象, 即长记忆过程。文章通过介绍运用R语言软件拟合年度流量序列的基本ARMA模型和ARIMA模型, 发现该序列的长记忆特性, 因此引入ARFIMA模型来做进一步的研究。

2 基本模型

对“1871~1970年尼罗河年度流量序列” (后称为“Nile序列”) 的时序图进行直观上的分析。根据时序图, 基本大致判断模型的拟合。由于数据是年度流量, 所以没有季节成分, 故不考虑季节模型。因此, 从基本的时间序列模型入手, 如ARMA模型和ARIMA模型, 对该序列进行拟合。

2.1 ARMA模型

根据BIC准则来判断Nile序列拟合的ARMA模型的阶数。从自相关图和偏自相关图来看, Nile序列似乎是平稳的, 但是不易判断出阶数。故在R语言中调用TSA程序包的函数, 最终得出使得BIC最小的模型是ARMA (1, 12) 模型。

2.2 ARIMA模型

根据ARMA模型的拟合结果, 要再对数据做进一步的处理和分析。运用ARIMA模型对序列进行滞后项的处理, 从而达到较为理想的效果。

再观察该拟合模型残差的acf图及其序列图看出, 拟合后的序列残差全部通过了检验, 但是残差的序列图并没有明显的平稳或不平稳的趋势。因此, 该拟合结果也并不是很好, 需要再对模型做进一步的分析。

3 分整自回归移动平均模型

从前面两个模型的拟合结果可以看出, ARMA (1, 12) 模型太复杂, MA部分涉及12个系数, 且最终的拟合结果并不理想;ARIMA (1, 1, 1) 模型看似简单, 其实质是一阶差分后的ARMA (1, 1) 模型, 但实际拟合结果也不是很理想。再观察Nile序列滞后100期的时序图后, 看出该序列可能具有长记忆的特性, 故对该序列做长记忆模型的拟合, 即ARFIMA模型的拟合。

与ARIMA模型的公式相比较, 此模型中的公式d与上一模型有差别, 前者是整数, 后者是分数, 这在一定意义上对模型的拟合会起到很好的作用。

在R语言中对拟合该模型后的参数进行估计, 得到d的估计值为0.4465943, 同时也得到AR及MA的系数φ1=0.6558824, θ1=0.8091790, 而这三个估计量的标准误差分别为0.008927871, 0.152341696, 0.116094240, 因此这个数据更适合拟合ARFIMA (1, 0.447, 1) 模型。

最后, 再用ADF单位根检验及KPSS检验来对拟合后的模型做进一步分析, 可以得到检验的结果为p值为0.0642, 按照0.05显著性水平, 不会拒绝原假设, 但是ADF检验效率较低, 只能说明这个检验结果近似在平稳与不平稳之间。同理, KPSS检验结果中, 不论是零阶还是一阶差分的原假设, 它们的p值都小于0.01, 也不是趋势平稳的。

再对得到的ARFIMA (1, 0.447, 1) 模型的残差进行相应acf图, 再把它与ARIMA (1, 1, 1) 模型的残差做相应的acf图进行对比。结果如图1所示。

从以上四幅图可以看出, ARIMA和ARFIMA拟合得到的残差的基本无很大区别。这可能说明模型与所猜想的数据真实背景之间的距离远大于模型和模型之间的微小差距。

4 结语

综合上述, 从模型拟合结果来看, 本文利用1871~1970年尼罗河年度流量对比了ARMA (1, 12) 模型, ARIMA (1, 1, 1) 模型以及ARFIMA (1, 0.47, 1) 模型, 其中模型拟合结果较好的为最后一个分整自回归移动平均模型。该模型解决了Nile序列中的长记忆特性, 让其表现得较为平稳, 但最终的结果与ARIMA (1, 1, 1) 模型较为相似。

虽进一步证明ARFIMA模型更好地拟合了数据, 得到较为平稳的模型, 但不足是没有对最后的两个模型进行均方差的检验, 让模型更加完善。

摘要：本文通过研究尼罗河100年的年度流量数据, 分别建立了ARMA模型和ARIMA模型, 发现该序列具有一定的长记忆性, 故又建立了ARFIMA模型。而且对三个模型的拟合结果分析得出:该模型解决了Nile序列中的长记忆特性, 让其表现得较为平稳, 但最终的结果与ARIMA模型有较为相似的结论。

关键词：ARMA模型,ARIMA模型,长记忆性,ARFIMA模型