一道光学题的分析

在初中或者高中《光的折射》一章都有这样的问题:枯井中的青蛙和水井(水未装满)中的青蛙看到的景象有什么不同呢现在都有这个答案:晴空的夜晚,水井中青蛙看到的星星较枯井中的青蛙多;水井中的青蛙看到的井口比枯井中的青蛙看到的井口小。 这在中学生的作业题中是一道选择题。 分析其原因是因为光的折射造成的,只要作出大致的光路图好像并不难得出结果,但是仔细斟酌发现比较井口的大小并不是简单的看作图可以得出结果,不同的作图可能导致不同的结果,需要定量计算研究。 新课改的物理教学让学生从实验现象出发研究探索问题,同时还需培养学生的应用能力,借助数学工具,巧妙地运用几何知识探究真相。

首先,就枯井和水井中青蛙看到晴空夜晚的星星多少,可以直接由光路图得出结果,如图1是枯井中青蛙看到的范围,图2是在水井中的青蛙看到的范围,将两图对比很容易得出水井中的青蛙看看的天空范围更宽,看到的星星也就更多。

但是水井中的青蛙看到的井口大小是不是比枯井中青蛙看到的井口小呢? 如果只是大致的根据折射原理作图分析的话可能会得出不同的结果。 如下图4,枯井中看到的井口大小为实际井口大小。 如图5 在水井中时,作井口S的两条很近的光线,在水面发生折射进入青蛙的眼睛,由这两条折射光线的反射延长线的交点确定像点S′, 这样如果只满足折射使光线偏折而作出的光路图,像点S′可能在S右侧,也可能在右左侧,也有可能在正上方,如图5、6、7,就是说青蛙眼中的井口可能变小也可能变大,还可能不变,如果是井口变小,实际上如果只靠作图井口的像点还可能更靠近水面,如图8。 而由于我们的作图习惯使我们都认为图5 是正确的,那么事实是否如此呢? 下面我们利用光的折射定律结合数学方法来证明S′的位置到底在何处。

如图9,建立坐标系,x轴是井中水面,y轴是左侧井壁,S(0,y0)是左井口的的位置,由S发出的两条很靠近的光线从水面的A(x1,0)和A′(x2,0)折射进入水中青蛙的眼睛(BB′),入射角分别为i和i′,折射角分别为r和r′,折射光线的反向延长线交点S′为青蛙眼中看到的井口位置,设其坐标为(x,y),现在我们只要判断出S′的x是大于零还是小于零就可以知道青蛙眼中的井口是变大还是变小了。

直线AB的方程可写为y=(-cotr)x+(cotr)x1,

直线A′B′的方程可写为y=(-cotr′)x+(cotr′)x2,

(1)因为i< i′则rcotr′,故上式分母cotr′-cotr<0。

摘要：本文对通常的生活现象和物理规律定性结论提出质疑,利用物理规律结合数学工具严密的证明井中有水时看到的井口位置与实际井口的位置关系。

关键词：折射,井口成像