望远镜倍数的概念

望远镜倍数的概念（共6篇）

篇1：望远镜倍数的概念

深入还需浅出

——人教版“因数与倍数”概念建构教学设计比较

浙江省奉化市教师进修学校

宋煜阳

大多教材在“因数与倍数”概念教学编排中，都是借助直观材料引出乘法算式并直言因倍数关系来揭示概念。这样的编排思路，确立了以“说”为主线的概念建构教学主体框架：1．范说。通过具体情境得出一组乘法算式后，教师点击一道乘法算式示范描述，揭示因数、倍数概念。2．仿说。在范说基础上，学生模仿描述余下算式的因倍数关系。3．例说。学生自己说乘法算式，举例描述因倍数关系。4．变说。通过各种变式体会相互依存关系，加深概念认识。在这种主题思路相同的背景下，基于学生对一课多式的教学设计加以分析比较更具意义，更能增进我们对“以学定教”理念的理解。在宁波市小学数学优质课评比中有三位教师同课异构了《因数与倍数》，为笔者提供了很好的思考载体。

一、“浅出”掩盖了什么？ 【教学设计一】

1．出示12个小正方形拼成长方形，引出“3×4=12“”2×6=12“”1×12=12”乘法算式，教师以“2×6=12”为例示范引述三个数之间因数倍数关系，组织学生集体说、同桌说、指名反馈说多形式的重复模仿口述。

2．揭题板书“因数与倍数”，指出研究范畴“只研究整数，不包括0。” 3．学生模仿口述余下两道乘法算式“3×4=12“”1×12=12”中因倍数关系。4．出示3，5，9，10，18等数，组织学生找两个数之间的因、倍数关系，借助“9是3的倍数却是18的倍数”材料，指出“因数和倍数是两个数之间的关系”。

5．借问“18的因数除了3，9还有哪些”，进入找因数教学板块（略）。在教学中，教师提供了两组材料展开因倍数概念教学：先提供一组乘法算式，通过“教师一题范述——学生重复跟述——两题仿述”的程序完成“范说”、“仿

说”层面的概念认识；再提供一组有联系的非零自然数，组织学生寻找两数之间的因倍数关系，体会相互依存关系，完成“变说”层面的概念认识。整个概念建构过程看似明快、流畅，但无法掩盖这几个问题的质疑：1．“教师范说”的直接告知教学方式本身牵制痕迹较浓，教学中只安排了三道乘法算式供学生重复跟述、仿述，没有安排学生自主的“例说”，感知量偏少、不充分，没能经历“从例到类”的概念抽象概括过程，是否落入了仓促单薄的程式化教学？2．提供的素材规避了“原来乘除法学习中的因数、倍数”和这里因倍数概念的区分，对研究范畴仅一句带过，对学生概念构建有无影响？有教师认为，研究范畴是一种人为规定，只需加以说明无需强调，否则成了“搞脑子”现象。笔者以为，判断一个教学设计的有效性关键在于是否基于学生的视角有序开展教学，是否促进学生的学习和发展。因此，我们必须直面学生的数学现实，充分了解学生学习困难和学习需求，这是有效教学设计的重要源点。

那么，关于“因数、倍数”概念学生有着怎样的前认知呢？著名特级教师吴正宪研究团队对此作了学习前测，发现学生对因数倍数概念并不陌生，把因数、倍数割裂成孤立的运算（如因数存在于整、小数乘法运算中；倍数存在于整、小数除法中，商相当于倍数），得出“学生对于因倍数概念是模糊的，甚至是混乱的”结论。学习后测效果又如何呢？笔者也结合本市上届毕业试题中的一道判断题进行了抽样分析（样本数为270份），原判断题为“因为0.8×3=2.4，所以2.4是0.8的倍数”，抽样得分率仅为52.8%，反映出多数学生在小学阶段学习结束之际仍未能很好构建起因倍数概念，把“倍数”和“倍”混为一谈。学习前测、后测都显示，因数倍数概念学习遭遇了来自先前学习认知很大的干扰，对“因倍数意义和两者相互依存关系的认识与理解”是本课一个教学重难点。

基于上述关于学生数学现实的分析，本课教学主要是依托原有的认知加以澄清，通过以例规例的教学手段解决两个核心疑难问题：一是如何强化树立“非零自然数”的研究范畴意识；二是如何加深“因倍数是一种关系而不是孤立运算中的某个数”本质认识。在教学设计一中，第二个疑难问题作出了较充分的关注，而对第一个问题仅一句说明带过，显然学生体悟是不深刻的，因倍数概念构建处于一种浅化的学习状态。

二、“深入”如何“浅出”？

【教学设计二】

1.根据师生关系谈话切入“在数学上数与数之间也有相互依存关系”，揭题板书“因数与倍数”。思考：你觉得今天的学习可能与哪些知识有关？

2．根据学生“除法、除法”有关的思考，组织学生列举“2×5=10“”10÷2=5”乘除法算式，教师补充“1.5×3=4.5“”3×0=0。”

3．组织学生试说什么是因数、倍数，学生认为乘法里存在因数，除法算式里存有倍数。

4．出示12个小正方形拼成长方形，引出“3×4=12“”2×6=12“”1×12=12”乘法算式，教师以“2×6=12”为例引述三个数之间因数倍数关系，学生模仿口述并完成余下两个算式中因倍数关系的口述。

5．质疑：两个数相乘得12的算式还有吗？结合学生列举的“10×1.2=12”算式组织讨论“是否也能用小正方形拼成”，出示“整数”范畴，追问“两个整数相乘得到12的算式还有吗？”，指出得到了12的全部因数。

6．切换到先前的“2×5=10“”10÷2=5”乘除法算式，说说谁是谁的因数、倍数，质疑：“1.5×3=4.5“”3×0=0”可否说出因倍数关系。

7．组织学生口头举例乘法算式，介绍因数倍数关系，教师补充出示“a×b=c，”组织学生口述因倍数关系，质疑：a、b、c是否可以任何数？补充出示，a、b、c均为整数，且不等于0。

8．教学找一个数的因数（略）。

应该说，教学设计二较好地落实了“关注学情，以例规例”的概念构建思路：先让学生试说什么是因数、倍数进行了学情探底，再通过直观材料进行概念范示、判断区分澄清原有认识，以求清晰概念。同时，通过仿说、例说、变说，让学生经历概念抽象概括过程。

当然，这份教学设计不足之处也是很明显的，就是过于 “深入”却不能“浅出”，主要体现在：

1．在以例规例过程中，新旧认知冲突交互切换过密，概念构建显得有些“绕”，流程生涩不顺畅。如 “旧知经验激发——直观材料概念范例引出——辨析区分反例——举正例概括”流程中，学生概念感知一直处于“反例”“正例”交替跳跃状态，不利于描述性概念的感知稳固。同时，新概念需要规避的反例材料“1.5×3=4.5”“3×0=0”、概念抽象概括材料“a×b=c”都是由教师全盘托出，没有经历学生的自主思考，衔接略显突兀生硬。

2．集中强化了研究范畴的非零自然数感知，对“因倍数是一种关系而不是孤立运算中的某个数”没有得到有力澄清。在旧知探底中，学生认为“乘法中存有因数，除法中存有倍数”，这是新旧概念区分的重要认知点，而跟进的后续教学设计只注重了“非零自然数”的澄清，对第二个核心疑难问题（新概念的“依存关系”与原认知的“某个数”）没有充分展开，因倍数概念构建显得厚此薄彼、虎头蛇尾。【教学设计三】

1．出示小男孩图像信息，组织学生猜测“老师与小男孩是什么关系”，在得出“母子关系”结论后，组织学生讨论自己和男孩之间“姐弟关系”“哥弟关系”，小结指出：当其中一个对象发生变化，两个人之间的关系也随之发生变化。

2．借助“小男孩在用12个小长方形拼长方形”情境过渡，组织学生用乘法算式来猜拼摆长方形的方法，引出“3×4=12“”2×6=12“”1×12=12”等乘法算式。

3．谈话切入“在这些图形和式子中蕴含着目前还没有研究过的数学关系”，揭题板书“因数与倍数”，指出研究范畴“只研究整数，不包括0”。讨论：看的懂吗？也就是不研究什么？

4．出示“2×6=12”算式，讨论：谁可能是谁的因数、倍数？集体口述该算式因数、倍数关系后，组织学生完成余下两道乘法算式的口述。

5．组织学生自己写乘法算式，向同桌举例说明因倍数关系。反馈讨论：这

样的乘法算式说得完吗？能否用一道乘法算式来表示？引导学生用字母“a×b=c”来概括，讨论：a、b、c可以是任意数吗？当它们都是非零自然数时，谁是谁的因数、倍数？

6．判断练习：（1）12是24的因数。

判断后，思考：这句话让你想到了哪个式子？根据12×2=24，你还能想到哪两个数之间的因倍数关系？

（2）因为0．9×2=1．8，所以1．8是0．9 的倍数。

在学生得出“因为乘法算式中出现的是小数”基础上，回望点击“只研究整数，不包括零”的板书，追问：猜一猜，为什么有同学认为是对的？结合学生回答点击：这里的倍数指的是两数之间的关系和以前所学的“几倍”有所不同。（3）18是倍数。

在学生得出“没有讲清楚是谁的倍数”基础上，指出“因数倍数关系是相互依存的关系”，追问：18是谁的倍数呢？结合学生“18是3、6的倍数”回答，反馈“你想到了哪道乘法算式？”，引述：根据3×6=18找出了18的两个因数，你能找出18所有的因数吗？（切入找因数教学环节）

与教学设计二相比，设计三在许多教学环节上较为相像，但在贯穿“关注学情，以例规例”的概念构建思路时，却能基于学生紧扣两个核心疑难问题“深入浅出”开展教学。

对于第一个难点“因倍数研究范畴”进行了分散教学：第一次在因倍数概念揭示之前，板书出示研究范畴，并通过追问“看得懂吗？也就是不研究什么？”，给学生形成一个初步的感知；第二次在概念抽象概括中，对“a×b=c”三个数的范畴进行了讨论，再度感知；第三次在概念内化辨析中，对“0．9×2=1．8”进行质疑，对研究范畴加以回顾。

对于第二个难点“因倍数是一种关系”也进行了分层关注：课前谈话通过“母子关系”“哥弟关系”讨论使学生感知对象变了相应的关系也随之发生变化，为“依存关系”认识进行铺垫；在“0．9×2=1．8”判断中，组织“猜一猜，为什么有同学认为是对的？”的追问，点明此倍数非彼倍数进行澄清；在“18是倍数”的判断中再次强调了相互依存关系。另外，在概念教学中，教师一直非常注重“关系”和“乘式”之间的切换性追问，如“12是24的因数让你想到了哪个式子？根据12×2=24，你还能想到哪两个数之间的因倍数关系？”，又如学生提到“18是3、6的倍数”马上反馈“你想到了哪道乘法算式？”，有助于增进学生“因倍数关系”和“乘法算式”之间的内联意识，强化“因倍数概念”建立于“式”的感知表象，从而加深依存关系的认识与理解。

最后想说的是，一份优秀的教学设计不仅要善于“深入”，而且要善于“浅出”，也即深入了解学生的学习困难和学习需求，并根据学生的认知特点有序化解学习难点。就“因数与倍数”概念构建而言，教学设计时思考的核心问题是： “面对这个概念，学生已经知道了哪些，会遇到怎样的学习困难？”“如何帮助学生比较轻松地解决这个学习困难？”。前者是“深入”读懂学生的数学现实，后者是探寻“浅出”的教学路径，任何偏废在“浅出”或“深入”某个极端的教学设计都不利于学生学习和发展。

（本文发表于云南教育小学教师2013年第3期）

教学参考文献

《“有效教学设计”的思考》ppt 吴正宪（“千课万人”小数生态课堂观摩活动）

篇2：望远镜倍数的概念

下面, 笔者就以下国标苏教版小学数学四年级下册《倍数和因数》中概念教学的片段来谈谈概念教学有效性的实践与思考。

【片段】

师:同学们, 昨天我们通过“预学单”的学习已经知道将12同样大的正方形摆成一个长方形, 应该有这样3种。你能根据图和算式, 来说说什么因数、什么是倍数吗?

先互相说一说。

……

师:谁先来试试看?

生1:4×3=12中, 12是4的倍数, 12也是3的倍数, 4和3都是12的因数。

师:说得非常好, 其他两个呢?

生2:6×2=12中, 12是6的倍数, 12也是2的倍数, 6和2都是12的因数。

师:嗯, 你也很棒。

生3:12×1=12中, 12是1的倍数, 12也是12的倍数, 12和

1 都是12的因数。

师:看来同学们自主学习的效果非常棒, 但昨天的“预学单”中有一位同学是这样写的:1是12的数, 12也是12的数。你有什么想法?

生1:老师, 他写错了。1怎么是12的倍数呢?应该12是1的倍数, 12也是12的倍数。

生2:我觉得12×1=12这个算式中, 后面这个12是积, 前面的12和1都是因数, 所以应该说12是1的倍数。

师:哟, 你的想法真是太棒了, 用因数、积来说明, 相信同学们听了你的发言都应该有了新的收获。

师:看来, 同学们对这块内容的学习感觉难度不大, 是不是?那我们再来试两道题吧。

11×4=44 12×5=60这两个算式, 哪位同学来说说, 哪个数是哪个数的倍数, 哪个数是哪个数的因数?

生1:44是11的倍数, 44也是4的倍数, 11和4都是44的因数。

生2:60是12的倍数, 60也是5的倍数, 12和5都是60的因数。

师:你们说的都很好, 有一位同学小明觉得你们太麻烦了, 他认为:

12×5=60, 60是倍数, 12是因数。你觉得这样说对吗?

学生讨论。

生1:老师, 我觉得对的, 这样说方便多了。

生2:老师, 我反对。我觉得一定要说60是12的倍数, 12是60的因数。单独分开来说是不对的。比如12在这里它是60的因数, 而在4×3=12中12却是4和3的倍数。所以, 不能单独说12是因数, 当然也不能单独说12是倍数, 我觉得要放在一起说。

师:同学们, 你们觉得呢?

师:很显然, 第二位同学的说法更有说服力, 我们不能单独地说一个数是倍数, 也不能单独地说一个数是因数。因数和倍数是相互依存的, 不能孤立开来。

【评析】

“倍数和因数”中概念的教学, 是让学生先自主学习完成“预学单”, 在充分了解学生学情的基础上展开教学的。既关注概念教学的上述几个环节, 又关注了学生的错误资源, 教学效果好。

课后评委老师这样点评:本节课“先学后教”, 学生在自主学习的基础上进行课堂交流, 材料真实丰富, 既关注了学生的认知过程, 又关注了学生学习的真实情况, 应该说概念教学中规中矩。唯一的遗憾就是我们老师, 在整节课的教学中, 往往只关注部分而忽略了整体。关于“倍数和因数”这对相互依存的概念, 学生真的理解了吗?学习过程是真实的, 但还不能说是有效的, “倍数和因数”概念的教学要贯穿于整节课。

【反思】

的确, 评委老师所说的正是我们一线教师经常忽视的问题。我们怎能将“倍数和因数”的概念、找一个数的倍数及一个数倍数的特点、找一个数的因数及一个数因数的特点这三块内容孤立开来, 错误地认为到第一个环节就把“倍数和因数”概念解决了呢?

“倍数和因数”的概念是抽象的、相互依存的, 如何让学生更好地去理解呢?笔者课后进行了认真的思考:

1.以“一个数最小倍数就是它本身”来加深对“倍数和因数”概念的理解。学生在学完“找一个数的倍数及一个数倍数的特点”之后, 可以回归到12×1=12这个算式, 再次理解12是12的倍数, 12也是1的倍数。帮助一些学生走出原有的“倍数一定比原数大”这个错误的认识, 同时也对这个算式中“倍数和因数”的理解进一步延伸。

2. 以“一个数因数应该有序思考、成对出现”加深对“倍数和因数”概念的理解。同样, 学生在学完“找一个数的因数及一个数因数的特点”之后, 回归到“12×1=12 6×2=12 4×3=12”这三个算式。让学生再次审视, 三个算式中的因数就是12的全部因数, 1和12, 2和6, 3和4, 因数是一对一对地出现, 完全遵循了有序的思想, 让学生感觉到数学学习也可以“前后照应”。

3. 以“简单的生活例子进行全课小结”来加深对“倍数和因数”概念的理解。师:同学们, 我们已经知道“倍数和因数”是相互依存的。通过学习你能来谈谈自己的想法吗?其实生活中就有这样的例子:“小明是儿子”, 你们觉得这样说可以吗?对, 我们一定要说“小明是他爸爸的儿子”, 而不能单独地说“小明是儿子”。因为爸爸和儿子是一对相互依存的概念, “倍数和因数”也是如此。

篇3：望远镜和天文望远镜的诞生

阿基米德用“燃烧玻璃”烧毁罗马舰队的传说

如果太阳光穿过一个注满水的玻璃球，那么，本来布及整个球面的光线就会聚集到焦点上，使位于焦点的物体变热，甚至燃烧，发出火焰。相传，希腊科学家阿基米德（Archimedes，前287年～前212年）用“燃烧玻璃”烧毁了围攻其故乡西西里岛叙拉古的罗马舰队。虽然这在事实上几乎是不可能的，但是因罗马哲学家塞涅卡（Seneca，公元前4年～公元后65年）记述了此事，它便成了著名的历史传说。

望远镜的孕育——眼镜业

13世纪，英国哲学家培根（Roger Bacon，1214～1294）已经利用放大镜来帮助自己阅读，并建议人们戴上眼镜以改善视力。在意大利，大约公元1300年前后，就开始用双凸透镜制作眼镜了，它能放大物体，对老人很有用，故俗称“老花镜”。反之，两个表面都向里面凹的双凹透镜则有助于纠正近视。公元1450年前后，近视眼镜开始付诸实用。到了16世纪，制造眼镜已经成为一项重要的工业，尤其是在荷兰。荷兰人在制造透镜方面很有技巧。那时的荷兰眼镜店里，各种透镜琳琅满目。

望远镜的发明——偶然的发现

1608年秋，在荷兰，一个地处阿姆斯特丹西南约130千米的米德尔堡市里的眼镜作坊中，发生了一件小事情：两个小学徒趁主人汉斯·利帕席（Hans Lippershey，1570～1619）不在，放下手中活计，摆弄那些大大小小、凹凹凸凸的镜片作消遣。无意中他们透过两块镜片来观看前方时，惊奇得尖叫起来，因为他们发现前方的景物变得又大又近。当利帕席回来时，他的徒弟激动地演示给他看。利帕席也被两块玻璃中的奇景惊呆了。他放下镜片，发现前面的一块是凸透镜，后面一块是凹透镜。他意识到人不可能两手各握一块透镜而使它们处于恰当的位置，因此他配备了一根金属管，透镜可以安装在管内适当的位置上。人类第一架望远镜就这样诞生了。1608年10月2日利帕席对望远镜提出了专利申请。

当利帕席的望远镜出名后，也有其他荷兰人宣称自己在这方面是首创者，一个特别巧的情况是米德尔堡市的另一个眼镜制造商查卡里亚斯·简森（Sacharias Jansen，1580～1638）声称他在1604年就制造了一架望远镜。其实，无论利帕席是否发明了望远镜，他享受这种荣誉都是当之无愧的。所有与他争夺荣誉的人除沉迷于观看取乐之外，没有用望远镜做过任何事情。而利帕席则把它奉献给荷兰用作战争武器，从而使整个世界都知道了望远镜。

第一架天文望远镜的诞生

将望远镜用于探索宇宙的奥秘，要归功于意大利科学家伽利略，他的全名是伽利略·伽利列（Galileo Galilei，1564～1642），就像第谷·布拉赫那样，通常人们只知道他的名字而不熟悉他的姓。

1609年5月45岁的伽利略，在威尼斯进行学术访问时，听到了关于新发明的望远镜的传闻，怦然心动，提早结束了这次访问，匆匆赶回帕多瓦大学，一头钻进实验室。他才智过人，一天之内就装配好了自己的望远镜，其放大率仅3倍，却能使高台上的人看到十几海里之外的船只。他把这架望远镜送到威尼斯，并装在圣马可广场的钟楼高塔内，参观者络绎不绝。伽利略因而获得了终身教授的职务。

将望远镜指向天空

再回到帕多瓦后，伽利略仔细磨制了更大的透镜，于1609年8月制造了一架口径4.4厘米，焦距1.2米，能把物体放大32倍的“大”望远镜。伽利略于当月就把这架望远镜指向月球：一轮充满诗情画意的银盘，变成“丑陋不堪”的大花脸——满目都是高低不平的环行山和纵横交错的山脉。接着他把望远镜指向银河，茫茫天河分解为点点繁星。1610年初他把望远镜转向行星。1月7日至15日对木星的连续观测，使他确信有4颗小星环绕木星旋转。8月他观测到一勾弯镰般的金星；年底，他又发现了太阳黑子。同年3月13日他的《星际信使》出版，他把由望远镜所得到的新发现，收入书中。

为人类开辟了天文学的新纪元

篇4：望远镜倍数的概念

一、充分直观感受, 理解“依存”意义

【教学片段1】初步认识因数和倍数。

师: (课件出示) 用12个同样大的小正方形拼成一个长方形, 想想, 有几种拼法?把拼出来的情况用一个算式表示出来。 (生独立完成)

交流得出:4×3=12, 2×6=12, 1×12=12。

师:根据4×3=12, 联系我们以前学过的知识, 你想到了什么呢?

生1:我想到了12÷3=4、12÷4=3。

生2:12是3的4倍, 12是4的3倍。

追问:既然这样, 我们可以认为12是3的什么数?12是4的什么数?

很自然地得出:12是3的倍数, 12也是3的倍数。

师:反过来, 4和3是12的什么数?

指出:4和3都是12的因数。

练习1:在2×6=12的算式中, 你能说说2、6、12之间的关系吗?

练习2:判断对错———3×5=15的算式中, 3是因数, 15是倍数。

强调:倍数和因数的相互依存性, 谁也离不开谁。

数学概念教学, 是一种基于数学活动的发现层面的教学, 教师应为学生创造充分地从事数学活动的机会。如以上例子, 通过引导学生“拼摆长方形”的操作活动, 让学生经历认识、体验和理解的过程。这一过程是学生自主操作、积极思考的过程, 学生只有经历了这一系列复杂、有意义的思维活动, 才能使枯燥、抽象的“因数”、“倍数”的概念牢牢根植于头脑中。同时, 教学中倍数、因数的引入了无痕迹, 极其自然:由“倍”的概念深入到“倍数”的概念, 乘数就是相应积的因数。学生在教师积极构建的教学过程中, 就已经利用原有的概念主动地“吸纳”新概念, 将所学知识融为一体。

二、突出内涵、外延, 扎实构建新知

概念的内涵是指这个概念所反映的一切对象的共同本质属性。公倍数是几个数公有的倍数, 公因数是几个数公有的因数, 可见“几个数公有的”是公倍数和公因数这两个概念的本质属性。小学数学中的概念, 由于受学生年龄、知识、认知水平等因素的制约, 缺乏完整性, 即缺乏完整的内涵和外延。教学时, 应借助各种教学手段, 不断充实内涵, 扩展外延, 渗透数学思想方法, 真正揭示概念的本质属性。

【教学片段2】认识公因数。

1.出示例9。

2.哪种纸片能正好铺满这个长方形呢?

3.汇报交流。追问:为什么边长6厘米的正方形正好铺满这个长方形呢?

4.讨论:还有哪些边长是整厘米数的正方形纸片也能正好铺满这个长方形?指出:只要正方形的边长既是12的因数, 又是18的因数, 就能铺满。

5.既是12的因数又是18的因数的数有哪几个? (1、2、3、6)

6.揭示概念。 (板书:公因数)

这样的活动安排, 不仅有利于吸引学生主动参与数学概念形成过程, 而且有利于帮助他们感受不同数学内容的内在关联, 积累数学活动的经验, 不断改善学习方式。

三、运用练习深化数学概念, 优化认知结构

本单元只教学两个数的公倍数、最小公倍数和两个数的公因数、最大公因数。因为这些是最基础的数学知识, 在约分和通分时应用最多。只要这些基础知识掌握得扎实, 即使遇到三个分数的通分, 学生也能灵活处理。而要使概念内化于学生头脑中, 就要有目的明确的练习。因此在设置练习时, 一定要有针对性, 做到有的放矢, 使练习真正有助于学生理解新学的概念, 有利于发展学生的思维。为此, 我设置了如下教学片段。

【教学片段3】公倍数和公因数的对比式练习。

回顾:一个数的因数 (倍数) 的个数是有限 (无限) 的, 那么两个数的公因数 (公倍数) 的个数是怎样的呢?有没有最小公因数 (公倍数) ?有没有最大公因数 (公倍数) ?

练习1:请完成下面两个表格, 并说说你有什么发现?

发现的规律:两个数是互质数时, 这两个数的最大公因数是1, 最小公倍数是它们的乘积。

发现的规律:当两个数是倍数关系时, 这两个数的最大公因数是较小的数, 最小公倍数是较大的数。

数学中的有些概念没给出定义, 是通过描述或举例说明的方法给出的, 如这里的练习1就是如此。所以在形成概念的教学过程中, 需要把所学概念准确、精炼、及时地概括出来, 使其条理化, 便于学生记忆。在让学生概括所发现的规律时, 我先让学生动脑总结, 学生总结准确的我给予肯定、表扬, 不准确的我及时纠正, 予以鼓励。即使再枯燥的概念只要通过学生自己“加工”, 也会变得别有一番滋味。片段3就是为了帮助学生分清容易混淆的概念而设计的对比练习, 在此我运用了概念教学中的比较发现法, 这是一种让学生自主探索的好方法。比较发现法可以使学生正确认识数学知识间的异同和关系, 防止知识间的割裂与混淆, 使学生更好地理解和掌握数学概念。

篇5：望远镜是如何运作的?

To understand how a basic telescope makes faraway things look closer,think about why we can’t see distant objects using only our eyes.First,the pupil does not let in enough light to give many details of a distant object.Second,an object that’s far away projects only a tiny picture onto the back of the eye.

A telescope improves our vision in two steps.First,the big end of the telescope gathers a lot of light from the object you’re seeing.The lens in that end of the telescope focuses the light to make a small,bright image.Second,the small lens in the eye piece magnifies that small image,spreading it over a bigger area on the back of your eye.That way,you see a bigger image,including the details.

参考译文:

为了理解普通的望远镜是如何让很远的东西看起来很近,不妨思考一下我们为什么不能用肉眼看见远处的事物吧。首先,瞳孔无法接收足够的光线让远处的事物的细节变得清晰。再说,一个远处的物体只能在眼球背面投射出一小幅图像。

望远镜通过两个步骤改善我们的视力。首先,望远镜大口的那一端从你看的物体那里聚集大量的光线。那一端的镜头把光聚集成一小幅明亮的图像。然后,接目镜中的小镜头将那幅小小的图像放大,并将其传送到我们眼球背部更大的区域内。这样,你就能看见一幅包含了细节的更大的图像。

篇6：望远镜倍数的概念

随着微电子技术和计算机技术的发展,伺服控制技术也在不断进步,逐渐向集成化、模块化、小型化演变,功能也更加强大完善。大型光电望远镜是集光、机、电于一身的精密光学设备,用于跟踪测量空中飞行目标或观测天体目标。伺服系统是望远镜的重要组成部分,其控制精度会直接影响望远镜的探测精度。传统的单片机执行速度慢,容易受外界干扰,在恶劣环境无法正常工作;用DSP控制电机占用资源和所需的外围器件较多,影响系统可靠性;FPGA(现场可编程门阵列)拥有用户可编程特性,配置灵活,易于扩展并具有高速运算和并行处理的特性,而且FPGA有从商业级到航天级不同级别的芯片,环境使用范围广泛。因此,FPGA技术成为伺服控制系统首选方案。

本文采用Actel公司的Fusion系列FPGA作为处理器,设计了望远镜伺服控制器。Verilog HDL在1983年首创,1995年被批准成为IEEE标准。与VHDL相比,Verilog HDL句法简洁,可读性强,是一种比较容易掌握的硬件描述语言。

目前,Verilog HDL语言已经成为FPGA设计输入的主要方法之一。本文即运用Verilog HDL设计输入方法[1],将整个系统划分为特定功能模块进行优化设计,详细介绍了编码器信号处理模块,PI调节器与PWM控制模块,串口通信模块等的设计方法和实现步骤。

1 系统方案设计

1.1 Fusion FPGA简介

Actel公司是全球四大知名FPGA厂商之一,ACTEL FPGA是全球惟一一款基于flash架构的FPGA,与其他公司的FPGA对比有自己独特的优势:单芯片、上电即行、低功耗、低成本、高安全性、高可靠性、模数混合。

Fusion StartKit是基于Actel公司的Fusion混合信号FPGA而设计的开发平台,核心芯片采用Actel公司Fusion系列60万门的AFS600,该系列是世界上首个混合信号FPGA。在第三代Flash架构的FPGA-ProASIC3基础上,将模拟的AD,RC振荡器、模拟I/O,RTC等融入到数字的FPGA中,简化了系统设计,减少了系统体积和研发成本,为实现真正的SOC提供特有的解决方案。

1.2 控制器方案设计

根据FPGA望远镜伺服控制系统任务和要求,设计系统方框图如图1所示。在此设计方案中,Fusion AFS600是控制器的核心,LCD显示和上位机用来实现人机交互功能,其中通过上位机将需要设置的参数和状态输入到FPGA中,FPGA将工作状态变量送回至上位机,利于数据记录和分析,同时在LCD上显示设定速度和实际转速。在运行过程中控制器产生PWM脉冲送到电机驱动器中,经过放大后控制直流电机转速;同时利用光电编码器将当前转速信息反馈到控制器中,控制器经过数字PID运算后改变PWM脉冲的占空比,实现电机转速实时闭环控制的目的。

2 FPGA片上各模块实现

2.1 编码器信号处理模块

光电编码器是一种高精度的测角、测速传感器,由于其具有分辨率高、响应速度快、体积小、性能稳定等优点,已广泛应用于电机伺服控制系统中。光电编码器通常分为绝对式和增量式两种,增量式光电编码器由于结构简单、价格便宜,得到广泛应用。在本文望远镜伺服电机的速度和位置双闭环控制系统中采用增量式光电编码器。

增量式光电编码器的输出为脉冲信号A,B,Z及其反相脉冲$\overline{\text{A}}‚\overline{\text{B}}‚\overline{\text{Ζ}}$。其中A,B信号相位相差90°,当电机正转时,A相超前于B相90°,电机反转时,B相超前于A相90°。Z端口每转输出一个脉冲,作为基准脉冲。

如图2所示,光电编码器输出的差分信号经过差分整形电路转换成TTL电平的A,B,Z信号到FPGA,经过四倍频、鉴相电路得到两路输出,一路输出方向,一路输出脉冲。当电机正转时,方向信号输出为1,可逆计数器对四倍频后的脉冲进行加计数;当电机反转时,方向信号输出为0,可逆计数器对四倍频后的脉冲进行减计数,如图3所示。FPGA在每个采样周期中读取计数值,利用变M/T法得到电机实际转速。变M/T法在速度变化的同时会自动完成M法和T法的切换,适用于高速和低速的测量,是目前广泛应用的一种测速方法。

2.2 PI调节器与PWM控制模块

在电机调速控制方式中,脉冲宽度调制(PWM)是一种常用的方法。PWM信号是一组等幅而不等宽的矩形脉冲波形,通过改变占空比来改变平均电压的大小,从而达到控制电机转速的目的。

本系统采用的直流电机的驱动器,是双极性的H桥驱动器,因而需要四路带死区的PWM信号,避免直通。用FPGA产生PWM波形时,只需FPGA内部资源就可以实现,通过I/O口输出PWM波形。比较电路的一端接设定值计数器输出,设置PWM信号的占空比;另一端接线性递增计数器的输出,本系统采用13位计数器产生8000个计数值,与PI调节器输出的数据进行比较,当线性计数器的计数值小于设定值时输出高电平,当计数值大于设定值时输出低电平,得到一路PWM信号,再由该PWM信号产生与之反向的信号。同时,经死区电路得到两路死区时间至少为5μs的PWM信号,经电机工作模式控制电路处理后得到4路PWM信号驱动功率级,可控制电机工作在单极性或双极性方式。

直流电机的转速随着PWM信号占空比的增大而增大,控制精度受PWM细分精度的影响。示波器测得占空比为30%的死区时间5μs的PWM波如图4所示,频率20kHz。

数字PID控制算法[2]通常分为位置式PID控制算法和增量式PID控制算法,由于增量式PID控制算法不需要大量的数据存储和累加,不易引起误差积累,计算量小且实时性好,因此本系统采用增量式PID控制算法。

其控制规律为

Δu(k)=KpΔe(k)+K1e(k)+KD[Δe(k)-

Δe(k-1)]

式中Δe(k)=e(k)-e(k-1),由式可知控制量的确定仅与本次和前两次误差采样值有关。

本系统是通过PI调节器调节PWM占空比来实现转速控制。PI调节器中P(比例)的作用是对偏差瞬间作出反应,偏差一旦产生控制器立即产生控制作用,使控制量向减少偏差的方向变化。控制作用的强弱取决于比例系数KP,增大KP可以加快系统的响应速度及减少稳态误差,但过大的KP有可能加大系统超调,产生振荡,破坏系统的稳定性。I(积分)代表了过去积累的信息,它能消除系统静态误差,改善系统静态特性,积分作用的强弱取决于积分时间常数Ti,Ti越小,积分作用就越强,但系统过渡时间有可能产生振荡。因此,必须根据实际控制系统的具体要求来确定参数KP,KI的大小。

2.3 串口通信模块

UART主要用于实现设备之间的低速串行通信,广泛使用RS232、RS485等异步串行接口。UART的帧格式包括1位起始位、5～8位数据位、1位奇偶校验位(可选)和1/1.5/2位停止位[3]。

本设计接口采用RS232,基于VerilogHDL语言,结合有限状态机的设计方法实现UART的IP核,将其核心功能集成到FPGA上。 UART的帧格式为:起始位为0,8位数据位,无奇偶校验位,停止位为1。

如图5所示,系统采用自顶向下的设计方法,将UART串行通信模块划分为4个子模块:波特率发生器、接收模块、发送模块和FIFO模块,然后分模块进行设计。

波特率发生器实际上就是分频器,根据给定的系统时钟频率和要求的波特率算出分频因子,作为分频器的分频系数。本设计中系统时钟为48MHz,要求的波特率为115200bps,则波特率分频因子为416。UART的接收模块和发送模块采用有限状态机设计,接收模块的作用是接收RXD端的串行信号,并将其转化为并行数据,发送模块的作用是将准备输出的并行数据按照UART帧格式转化为串行数据从TXD端串行输出。需要注意的是接收采样频率为波特率的16倍。另外接收和发送模块分别集成了16Byte的FIFO,分别用来缓存接收和发送中的数据,提高UART的传输效率和可靠性。

3 其他模块

光电增量式编码器输出的信号为差分信号, FPGA处理的是TTL电平信号,因此本系统外加了一个转换电路,将RS422差分信号经接口芯片SP489转换为TTL电平。如图6所示,光点增量式编码器接口电路具有终端匹配电阻和滤波网络电路,可增强抗干扰能力。

4 结束语

本文设计的基于FPGA的望远镜伺服控制器,采用PI算法调节PWM占空比实现了速度和位置的精确控制。伺服控制器内各功能模块均是采用Verilog HDL语言编写,在ACTEL的集成开发环境Libero IDE v8.5编译通过并仿真正确。该FPGA控制器电路结构简洁,开发周期短,速度快,成本低且系统容易升级,实验表明,控制系统可靠性高,满足望远镜伺服控制系统功能要求,具有一定的应用价值。

参考文献

[1]夏宇闻.Verilog数字系统设计教程[M].西安:西安电子科技大学出版社,2006.

[2]何勇,范永坤,王涛,等.基于FPGA的增量式光电编码器计数电路设计[J],仪器仪表用户,2008,3:90-92.

[3]陈昭明,白向林,龚晓宏.基于FPGA的数字PID控制器设计[J].重庆科技学院学报,2010,12(2):149-151.

[4]赵海登,刘晓文,胡景军,等.基于FPGA的UART IP核的设计实现[J].通信技术,2009,5(42):177-179.