名校名题（精选5篇）
篇1：名校名题
24道经典名题
12.涡卡诺夫斯基的算术题
（一）一只狗追赶一匹马，狗跳六次的时间，马只能跳5次，狗跳4次的距离和马跳7次的距离相同，马跑了5.5公里以后，狗开始在后面追赶，马跑多长的距离，才被狗追上？
13.涡卡诺夫斯基的算术题
（二）有人问船长，在他领导下的有多少人，他回答说：“2/5去站岗，2/7在工作，1/4在病院，27人在船上。”问在他领导下共有多少人？
14.数学家达兰倍尔错在哪里
传说18世纪法国有名的数学家达兰倍尔拿两个五分硬币往下扔，会出现几种情况呢？
情况只有三种：
可能两个都是正面；可能一个是正面，一个是背面，也可能两个都是背面。因此，两个都出现正面的概率是1∶3。你想想，错在哪里？
15.埃及金字塔
世界闻名的金字塔，是古代埃及国王们的坟墓，建筑雄伟高大，形状像个“金”字。它的底面是正方形，塔身的四面是倾斜着的等腰三角形。
两千六百多年前，埃及有位国王，请来一位名子叫法列士的学者测量金字塔的高度。
法列士选择一个晴朗的天气，组织测量队的人来到金字塔前。太阳光给每一个测量队的人和金字塔都投下了长长的影子。当法列士测出自己的影子等于它自己的身高时，便立即让助手测出金字塔的阴影长度（CB）。他根据塔的底边长度和塔的阴影长度，很快算出金字塔的高度。
你会计算吗？ 16.一笔画问题
在18世纪的哥尼斯堡城里有七座桥（如右图）。当时有很多人想要一次走遍七座桥，并且每座桥只能经过一次。这就是世界上很有名的哥尼斯堡七桥问题。你能一次走遍这七座桥，而又不重复吗？
17.韩信点兵
传说汉朝大将韩信用一种特殊方法清点士兵的人数。他的方法是：让士兵先列成三列纵队（每行三人），再列成五列纵队（每行五人），最后列成七列纵队（每行七人）。他只要知道这队士兵大约的人数，就可以根据这三次列队排在最后一行的士兵是几个人，而推算出这队士兵的准确人数。
如果韩信当时看到的三次列队，最后一行的士兵人数分别是2人、2人、4人，并知道这队士兵约在三四百人之间，你能很快推算出这队士兵的人数吗？
18.共有多少个桃子
著名美籍物理学家李政道教授来华讲学时，访问了中国科技大学，会见了少年班的部分同学。在会见时，给少年班同学出了一道题：“有五只猴子，分一堆桃子，可是怎么也平分不了。于是大家同意先去睡觉，明天再说。夜里一只猴子偷偷起来，把一个桃子扔到山下后，正好可以分成五份，它就把自己的一份藏起来，又睡觉去了。第二只猴子爬起来也扔了一个桃子，刚好分成五份，也把自己那一份收起来了。第三、第四、第五只猴子都是这样，扔了一个也刚好可以分成五份，也把自己那一份收起来了。问一共有多少个桃子？
注：这道题，小朋友们可能算不出来，如果我给增加一个条件，最后剩下1020个桃子，看谁能算出来。
19.《九章算术》里的问题
《九章算术》是我国最古老的数学著作之一，全书共分九章，有246个题目。其中一道是这样的：
一个人用车装米，从甲地运往乙地，装米的车曰行25千米，不装米的空车曰行35千米，5日往返三次，问二地相距多少千米？
20.《张立建算经》里的问题
《张立建算经》是中国古代算书。书中有这样一题：公鸡每只值5元，母鸡每只值3元，小鸡每三只值1元。现在用100元钱买100只鸡。问这100只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
21.《算法统宗》里的问题
《算法统宗》是中国古代数学著作之一。书里有这样一题：
甲牵一只肥羊走过来问牧羊人：“你赶的这群羊大概有100只吧”，牧羊人答：“如果这群羊加上一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊的1/4，连你牵着的这只肥羊也算进去，才刚好凑满一百只。”请您算算这只牧羊人赶的这群羊共有多少只？
22.洗碗（中国古题）
有一位妇女在河边洗碗，过路人问她为什么洗这么多碗？她回答说：家中来了很多客人，他们每两人合用一只饭碗，每三人合用一只汤碗，每四人合用一只菜碗，共用了碗65只。
你能从她家的用碗情况，算出她家来了多少客人吗？
23.和尚吃馒头（中国古题）
大和尚每人吃4个，小和尚4人吃1个。有大小和尚100人，共吃了100个馒头。大、小和尚各几人？各吃多少馒头？
24.百蛋（外国古题）
两个农民一共带了100只蛋到市场上去出卖。他们两人所卖得的钱是一样的。第一个人对第二个人说：“假若我有象你这么多的蛋，我可以卖得15个克利采（一种货币名称）”。第二个人说：“假若我有了你这些蛋，我只能卖得6又三分之二个克利采。”问他们俩人各有多少只蛋？
篇2：名校名题
《孙子算经》卷下第31题叫‚鸡兔同笼‛问题，也是一道世界数学名题。‚有一群野鸡和兔子关在同一个笼子里，头数是35，脚数是94。问野鸡和兔子的数目各是多少？‛这个题目编得很有趣，如果35只动物全是鸡，就应该有70只脚；如果全是兔，就应该有140只脚，而题中却说共有94只脚，给人一种左右为难的印象。其实，解题关键也正在这里，假设35只动物全是鸡，则共有70只脚，与题中‚脚数是94‛相比较，还差24只脚，将1只兔看作是鸡，脚数就会相差2，有多少只兔被看作是鸡了呢？24 2=12。算到这里，答案也就呼之欲出了。
清朝时，作家李汝珍把这类问题写进了小说《镜花缘》中。书中有这样一个情节，一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个。一位才女把大灯看作是头，小灯看作是脚；把一种灯球看作是鸡，把另一种看作是兔，运用‚脚数的一半减头数得兔数，头数减兔数得鸡数‛的算法，很快就算出了一大二小的灯是120盏，一大四小的灯是240盏，赢得了一片喝彩声。伴随古代中外文化交流，鸡兔同笼问题很快就漂洋过海流传到了日本。不过到了日本之后，鸡变成了仙鹤，兔变成了乌龟，鸡兔同笼变成了赫赫有名的‚鹤龟算‛。
狗跑与兔跳
行程问题是中小学里常见的一类数学应用题，也是一类很古老的数学问题。在我国古代数学名著《九章算术》里，收集了很多这方面的题目如书中第6章第14题：‚狗追兔子。兔子先跑100步，狗只追了250步便停了下来，这时它离兔子只有30步的距离了。问如果狗不停下来，还要跑多少步才能追上兔子？‛这道追及问题编得很有趣，它没有直接告诉狗与兔的‚速度差‛，反而节外生枝地让狗在追及过程中停了下来，数量关系显得扑朔迷离。2000年前，我们的祖先解决这类问题已经很有经验了，所以书中只是简单地说，用（250 30）作除数，用（100-30）作被除数，即可算出题目的答案。
世界各国人民都很喜爱解答这类问题，一本公元8世纪时在欧洲很流行的习题集中，也记载了一个狗与兔的追及问题：‚狗追兔子，兔子在狗前面100英尺。兔子跑7英尺的时间狗可以跑9英尺，问狗跑完多少英尺才能追上兔子？‛相传俄国女数学家科瓦列夫斯卡娅还在童年时，就算出了一道有关兔跳的趣味算题：‚一对兔兄弟进行跳跃比赛，兔弟弟说：应该让它先跳10次，哥哥才可以起跳。如果兔弟弟跳4次的时间兔哥哥能跳3次，兔哥哥跳5次的距离与兔弟弟跳7次的距离同样远，问兔哥哥要跳多少次才能追上呢？‛
婆什迦罗的妙算
婆什迦罗是12世纪印度最著名的数学家，他编的许多数学题被人称作‚印度问题‛，在很多国家广泛流传，如：‚某人对他的朋友说：‘如果你给我100枚铜币，我将比你富2倍。’朋友回答说：‘你只要给我10枚铜币，我就比你富6倍。’问两人各有多少铜币？‛就是其中一道著名的数学题。
婆什迦罗发现了一种很巧妙的算法：设这个人有（2x-100）枚铜币，他朋友有（x+100）枚铜币，因为这个人给朋友10枚铜币后，他的朋友将比他富6倍，于是有6（2x-100）= x+100，解之得x=70即两人分别有40和170枚铜币。我国古代数学著作《张邱建算经》里有一个类似的题目：‚有甲、乙两人携钱各不知其数，若乙给甲十钱，则甲比乙所多的是乙余数的5倍；若甲给乙十钱，则两人钱数相等。问甲、乙各有多少钱？‛更早些，《希腊文集》里已有了著名的‚欧几里得问题‛的记载：‚驴子和骡子驮着货物并排走在大路上，驴子不住地抱怨驮的货物太重，压得受不了。骡子对它说：‘你发什么牢骚啊！我驮的比你更重。如果你给我1口袋，我驮的货物就是你的2倍；而我给你1口袋，咱俩才刚好一般多。’问驴子和骡子各驮了几口袋货物？‛
棋盘上的麦粒数
印度古代有个国王天性爱玩，对国际象棋这种新发明的游戏尤其入迷，决定重赏它的发明人西萨·班。西萨·班指着棋盘对国王说：‚陛下，请您在第1格里赏我1粒麦子，在第2格里赏我2粒麦子，在第3格里赏我4粒麦子，依此类推，每增加1格麦粒数就增加1倍，一直放满64个格子。‛国王哈哈大笑，觉得这点麦子简直算不了什么。可他不久就发现，即使把印度的麦子全都扛来，也远远无法兑现自己许下的诺言。
西萨·班要的麦粒是多少呢？这是一个有趣的等比例数列求和问题。因为每增加1格麦粒数就增加1倍，所以第1格里是1粒，第2格里是21粒，第三格里是22粒，……最后一格里是263粒。由等比例数列的求和公式，它们的和是***709551615（粒）。这个数目大得惊人，如果修建一座高4米、宽10米的仓库来存放这些麦子，那么，这座仓库可以从地球修到太阳上，然后再从太阳修回地球来！
奇特的墓志铭
丢番图是古希腊最后一个大数学家。专家们认为，现代解方程的基本步骤，如移项、合并同类项等等，丢番图基本上都已知道了。他对不定方程的研究尤其受人称赞，被西方数学家誉为这门数学分支的开山鼻祖。遗憾的是，关于他的生平，后人几乎一无所知，既不知道他生于何地，也不知道他卒于何时，幸亏他那段奇特的墓志铭，才知道他曾享有84岁的高龄。
丢番图的墓志铭是一道谜语般的数学题：‚过路人！这里埋着丢番图的骨灰。他生命的1/6是幸福的童年，生命的1/12是少年时期。又过了生命的1/7他才结婚，婚后5年有了1个孩子。这孩子活到他父亲一半的年纪便死去了。孩子死后，丢番图在深深的哀痛中活了4年，也结束了尘世生涯。‛
这段墓志铭写得太妙了。谁要想知道丢番图的年纪，就得解一个一元一次方程；而这正好提醒前来瞻仰的人们，不要忘了丢番图所献身的事业。
化圆为方问题
公元前6世纪时，有位叫安拉克萨哥拉的古希腊学者，被他的政敌丢进了监狱。在牢房里他无事可干，整天思索着这样一个数学问题：‚怎样用直尺和圆规作一个正方形，使它的面积与某个已知圆的面积相等？‛这就是著名的化圆为方问题。当然，安拉克萨哥拉没能解决这个问题。
但他也不必为此感到羞愧，因为在他以后的2400多年里，许许多多比他更加优秀的数学家，也都未能解决这个问题。化圆为方看上去谁都能办到，实际上却谁也办不到，因而具有极大的魅力。15世纪时，连欧洲最杰出的艺术大师达·芬奇也曾拿起直尺圆规，试图解决这个问题呢。年复一年，有关化圆为方的论文雪片似地飞向各国科学院，多得叫数学家们无法审读，以致在1775年，巴黎科学院为了维持正常的工作秩序，不得不宣布不再审读这方面的论文。化圆为方的狂热终止于1882年，在这一年里，德国数学家林德曼证明了π是一个超越数，从而在理论上论证了化圆为方是不可能由尺规作图法完成的。现在仍然有些青少年在尝试化圆为方，显然，这只会是白白浪费精力。
立方倍积问题
公元前5世纪时，一场大瘟疫凭空降临到古希腊的第罗斯岛上，夺去了许多人的生命，幸存的人们纷纷躲进神庙，祈求神灵保佑。神说：‚你们想活命，就必须把庙中的祭坛加大1倍，并且不许改变它的形状。‛祭坛是个正方体，第罗斯人连夜加工，把祭坛的长、宽、高都加大了1倍，以为这样就满足了神的要求。岂料瘟疫更加疯狂地蔓延开来，第罗斯人满腹狐疑，再次匍匐在神像前。神怒气冲冲地说：‚这个祭坛是原来的8倍！‛第罗斯人没有办法，派人向当时最有名的学者柏拉图请教，不料他也解决不了这个问题……
故事中提到的这个数学问题，也是一个举世闻名的几何作图难题，叫立方倍积问题：‚做一个立方体，使它的体积等于已知立方体的两倍。‛如果借助其他工具，解决这个问题是很容易的，古希腊的埃拉托斯芬、攸多克萨斯，英国的牛顿等人都曾发明过一些巧妙的方法，但是，如果限制用直尺和圆规去解决，2000年来，无论是初学几何的少年，还是天才的数学大师，却无一不束手无策。1837年，又是法国数学家闻脱兹尔最先从理论上证明：同三等分角问题一样，立方倍积问题也是不能由尺规作图法解决的，才了结了这桩数学悬案。
三等分角问题
在2000多年前，古希腊数学家苛刻地限制几何作图工具，规定画几何图形时，只准许使用直尺和圆规。于是，从一些本来很简单的作图题中，产生了一批举世闻名的数学难题。例如三等分角问题：‚只使用直尺与圆规做一个角，使它等于一个已知角的1/3。‛
大数学家阿基米德曾试图解决这个难题。他预先在直尺上作了一个记号，很轻松地将一个角分成了三等份。可是，人们不承认他解决了这个难题。因为古希腊人还规定：作图时直尺上不能有任何刻度，而且直尺与圆规都只允许使用有限次。三等分角看上去非常简单，做起来却非常难，几千年来，它激发了一代又一代的数学家。有人说，在西方数学史上，几乎每一个称得上是数学家的人，都曾拿起直尺圆规，用三等分角测试过自己的智力，但谁也未能取得成功，直到1837年，法国数学家闻脱兹尔从理论上予以证明，只使用直尺圆规是无法三等分一个任意角的，才率先走出了这座困惑了无数人的数学迷宫。
数图之谜
现在世界上所能见到的最古老的数学文献，是古埃及的莱因特纸草书。书中记载了85个数学问题，在书写第79题的位置上，作者画了一个台阶，台阶旁依次写着7、49、343、2401和16807这5个数，书的旁边依次画有图、猫、老鼠、大麦、量器等字样，除此之外就没有别的什么东西了。由于这是书中唯一未明确给出答案的题目，后来，这个题目究竟是什么意思，成了一个有趣的谜。数学史学家康托尔猜出了这个谜，他认为题目的意思是：‚有7个人，每个人养着7只猫，每只猫吃7只老鼠，每只老鼠吃7棵麦穗，每棵麦穗可以长成7个量器的大麦，问各有多少？‛经他这么一解释，书中给出的那5个数就正好成了题目的答案。
有趣的是，在莱因特纸草书出土之前600多年，意大利数学家斐波拉契曾遍了一道很相似的数学题：‚7位老太太一起到罗马去，每人有7匹骡子，每匹骡子驮7个口袋，每个口袋盛7个面包，每个面包有7把小刀，每把小刀有7个刀鞘。问各有多少？‛比斐波拉契还早几百年，我国古书里也记载了一个相似的数学题：‚今有出门望有九隄，隄有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。问各几何？‛在不同的民族、不同的国家、不同的时间里，竟流传着一个同样的问题，这也是一个很有趣的谜。
百蛋(外国古题)两个农民一共带了100只蛋到市场上去出卖。他们两 人所卖得的钱是一样的。第一个人对第二个人说：‚假若我有象你这么多的蛋，我可以卖得15个克利采(一种货币名称)‛。第二个人说：‚假若我有了你这些蛋，我只能卖得6又三分之二个克利 采。‛问他们俩人各有多少只蛋？
和尚吃馒头(中国古题)大和尚每人吃4个，小和尚4人吃1个。有大小和尚100人，共吃了100个馒头。大、小和尚各几人？各吃 多少馒头？
洗碗(中国古题)有一位妇女在河边洗碗，过路人问她为什么洗这么多碗？她回答说：家中来了很多客人，他们每两人合用一只饭 碗，每三人合用一只汤碗，每四人合用一只菜碗，共用了碗65只。你能从她家的用碗情况，算出她家来了多少客人吗？
《算法统宗》里的问题
《算法统宗》是中国古代数学著作之一。书里有 这样一题：甲牵一只肥 羊走过来问牧羊人：‚你赶的这群羊大概有100只 吧‛，牧羊人答：‚如果这群羊加上一倍，再 加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊的1/4，连你牵着的这只肥羊也算进去，才刚好凑满一百 只。‛请您算算这只牧羊人赶的这群羊共有多少只？
《张立建算经》里的问题
《张立建算经》是中国古代算书。书中有这样一题：公鸡每只值5元，母鸡每只值3元，小鸡每三只值1元。现在用100元钱买100只鸡。问这100只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
《九章算术》里的问题
《九章算术》是我国最古老的数学著作之一，全书共分九章，有246个 题目。其中一道是这样的：一个人用车装米，从甲地运往乙地，装米的车曰行25千米，不装米的空车曰行35千米，5日往返三次，问二地相距多少千米？ 共有多少个桃子？
著名美籍物理学家李政道教授来华讲学时，访问了中国科技大学，会见了少年班的部分同学。在会见时，给少年班 同学出了一道题：‚有五只猴子，分一堆桃子，可是怎么也平分不了。于是大家同意先去睡觉，明天再 说。夜里一只猴子偷偷起来，把一个桃子扔到山下后，正好可以分成五份，它就把自己的一份藏起来，又睡觉去了。第二只猴子爬起来也扔了一个桃子，刚好分成五 份，也把自己那一份收起来了。第三、第四、第五只猴子都是这样，扔了一个也刚好可以分成五份，也把自己那一份收起来了。问一共有多少个桃子？注：这道题，小朋友们可能算不出来，如果我给增 加一个条件，最后剩下1020个桃子，看谁能算出来。
韩信点兵
传说汉朝大将韩信用一种特殊方法清点士兵的人数。他的方法是：让士兵先列成三列纵队(每行三人)，再列成五 列纵队(每行五人)，最后列成七列纵队(每行七人)。他只要知道这队士兵大约的人数，就可以根据这三次列队排在最后一行的士兵是几个人，而推算出这队士兵 的准确人数。如果韩信 当时看到的三次列队，最后一行的士兵人数分别是2人、2人、4人，并知道这队士兵约在三四百人之间，你能很快推算出这队士兵的人数吗？ 一笔画问题
在18世纪的哥尼斯堡城里有七座桥。当时 有很多人想要一次走遍七座桥，并且每座桥只能经过一次。这就是世界上很有名的哥尼斯堡七桥问题。你能一次走遍这七座桥，而又不重复吗？(自己动手画画吧)
埃及金字塔
世界闻名的金字塔，是古代埃及国王们的坟墓，建筑雄伟高大，形状像个‚金‛字。它的底面是正方形，塔身的四面是倾斜着的等腰三角形。两千六百多年前，埃及有位国王，请来一位名子叫法 列士的学者测量金字塔的高度。法列士选择一个晴朗的天气，组织测量队的人来到金字塔前。太阳光给每一个测量队的人和金字塔都投下了长长的影子。当法列士测出自己的 影子等于它自己的身高时，便立即让助手测出金字塔的阴影长度(cb)。他根据塔的底边长度和塔的阴 影长度，很快算出金字塔的高度。你会计算吗？
数学家达兰倍尔错在哪里
传说18世纪法国有名的数学家达兰倍尔有一次拿两个五分硬币往下扔，会出现几种情况呢？情况只有三种：可能两个都是正面；可能一个是正面，一个是背面，也可能两个都是背面。因 此，两个都出现正面的概率是1∶3。你想想，错在哪里？
涡卡诺夫斯基的算术题
一只狗追赶一匹马，狗跳六次的时间，马只能跳5次，狗跳4次的距离和马跳7次的距离相同，马跑了5.5公里以后，狗开始在后面追 赶，马跑多长的距离，才被狗追上？
托尔斯泰的算术题
俄国伟大的作家托尔斯泰，曾出过这样一个题：一组割草人要把二块草地的草割完。大的一块比小的一块大一倍，上午全部人都在大的一块草地割草。下午一半人仍留在大草地上，到傍晚时把草割完。另一半人去割小草地的草，到傍晚还剩下一块，这一块由一个割草人再用一天 时间刚好割完。问这组割草人共有多少人？(每个割草人的割草速度都相同)
马塔尼茨基的算术题
有一个雇主约定每年给工人12元钱和一件短衣，工人 做工到7个月想要离去，只给了他5元钱和一 件短衣。这件短衣值多少钱
多少蜜蜂
公园里有甲、乙两种花，有一群蜜蜂飞来，在甲花上落下1/5，在乙花上落下1/3，如果落在两种花上的蜜蜂的差的三倍再落在花上，那么只剩下一只蜜蜂上下飞舞欣 赏花香，算算这里聚集了多少蜜蜂？
及时梨果
元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱。问：梨果多少价几何？ 此题的题意是：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个。问买梨、果各几个，各付多少钱？
两鼠穿墙
我国古代数学典籍《九章算术》第七章‚盈不足‛中有一道两鼠穿墙问题:今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问何日相逢，各穿几何?
今意是:有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙。大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。问几天后两鼠相遇，各穿几尺?
隔壁分银
只闻隔壁客分银，不知人数不知银，四两一份多四两，半斤一份少半斤。试问各位能算者，多少客人多少银？（注：旧制1斤＝16两，半斤＝8两）
李白打酒
李白街上走，提壶去打酒 遇店加一倍，见花喝一斗； 三遇店和花，喝光壶中酒。试问酒壶中，原有多少酒？
这是一道民间算题。题意是：李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到酒店将壶中酒加一倍，每次遇到花就喝去一斗（斗是古代容量单位，1斗＝10升），这样遇店见花各3次，把酒喝完。问壶中原来有酒多少？ ‚今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？‛
题目的意思就是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个。这些物品的数量至少是多少个？
（注：诗题及题目原文都无‚至少‛二字，但‚孙子问题‛都是些求‚最少‛或者求‚至少‛的问题，否则就会有无数多个答案。所以，解释题目意思时，在语句中加上了‚至少‛二字。）
《孙子算经》解这道题目的‚术文‛和答案是：‚三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百十减之，即得。‛‚答曰：二十三。‛ 这段话的意思是：
先求被3除余2，并能同时被5、7整除的数，这样的数是140； 再求被5除余3，并能同时被3、7整除的数，这样的数是63；
然后求被7除余2，并能同时被3、5整除的数，这样的数是30。于是，由140＋63＋30=233，得到的233就是一个所要求得的数。但这个数并不是最小的。
再用求得的‚233‛减去或者加上3、5、7的最小公倍数‚105‛的倍数，就得到许许多多这样的数： ｛23，128，233，338，443，„｝
从而可知，23、128、233、338、443、„都是这一道题目的解，而其中最小的解是23。
篇3：名题巧解真有谬误吗
臧老师在分析中认为:从题中条件“甲、乙、丙、丁四个人分23个鸡蛋。甲要求得1/3……”不难看出,要分的是23个鸡蛋,甲要求得1/3,只能分得23个鸡蛋的1/3,不言而喻,应把“23个鸡蛋”看作单位“1”。笔者认为,这里“要分的是23个鸡蛋”没错,“甲要求得1/3”也没错,错就错在“甲要求得1/3”中的13并非是指“23个鸡蛋”的1/3。
题中条件说明了三点:(1)四个人要分完23个鸡蛋,(2)不打破其中任何一个鸡蛋,(3)四个分到的数量各占1/3、1/4、1/6、5/24(但未明确指出单位“1”是什么)。此名题妙就妙在隐藏了1/3、1/4、1/6、5/24的真实单位“1”。初读此题,皆以为“23个鸡蛋”就是单位“1”,因为这是四个人要分的鸡蛋数。其实不然,这里真正要平均分的数量被隐藏起来了,因为,所以甲、乙、丙、丁四人要分的鸡蛋总数并非是1/3、1/4、1/6、5/24这四个分数的单位“1”。那么该题中单位“1”究竟是多少个鸡蛋呢?我们不妨这样求出单位(个)。可见,这里1/3、1/4、1/6、5/24的单位“1”应该是24个鸡蛋,而非23个鸡蛋。
那么到底甲、乙、丙、丁四个人分到的鸡蛋数量各占23个鸡蛋的几分之几呢?
篇4：拥抱经典与名题对话
一、几何证明
从相似图形的性质入手，涉及平行线分线段成比例定理、切线长定理、割线长定理、相交弦定理等等，主要证明一些反映圆与直线关系的问题.
例1(2011年高考天津卷文科13)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF=CF=2,AF∶FB∶BE=4∶2∶1.若CE与圆相切,则线段CE的长为.
解析：AF=4x,BF=2x,BE=x,则由相交弦定理得:DF2=AF·FB,即8x2=2,即x2=14,由切割线定理得:CE2=EB·EA=7x2=74,所以CE=72.
例2（2010年江苏）如图，AB是圆O的直径，D为圆上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C.若DA=DC，求证：AB=2BC.
解析：本题主要考查三角形、圆的有关知识.
连接OD、BD.
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°,AB=2OB.
∵DC是圆O的切线，
∴∠CDO=90°.
又∵DA=DC,∴∠A=∠C,
∵△ADB≌△CDO,
∴AB=CO,即2OB=OB+BC，得OB=BC.
故AB=2BC.
二、矩阵与变换
本专题通过平面图形的变换讨论二阶方阵的运算及有关概念，并以变换和映射的观点理解线性方程组的意义，展示矩阵的作用.
例1已知矩阵A=12-14,向量α=74.
(1)求A的特征值λ1、λ2和特征向量α1、α2；
(2)计算A5α的值.
解： (1)矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ-1-21λ-4
=λ2-5λ+6=0，
得λ1=2,λ2=3,
当λ1=2时,解得α1=21 ,
当λ2=3时，解得α2=11.
(2)由α=mα1+nα2得
2m+n=7m+n=4，m=3,n=1.
A5α=A5(3α1+α2)
=3(A5α1)+A5α2
=3(λ51α1)+λ52α2
=3×2521 +
3511
=435339.
例2已知曲线y=1x，将它绕坐标原点顺时针旋转45°，求旋转后的曲线方程.
解：设点P(x0,y0)为曲线y=1x上任意一点，旋转后对应点Q(x,y)，故有
cos45° sin45°－sin45°cos45°
x0y0=xy，
即x=x0cos45°+y0sin45°y=－x0sin45°+y0cos45°
解得x0=22(x－y)y0=22(x+y),
又y0=1x0，
得x22－y22=1即所求曲线方程.
变式1已知曲线y=1x，将它绕坐标原点逆时针旋转45°，求旋转后的曲线方程.
（提示： cos(－45°)sin(－45°)－sin(－45°)cos(－45°)
x0y0=xy
变式2试求曲线y=1x的焦点坐标和准线方程.
（提示: 双曲线x22－y22=1的焦点坐标分别为F1(－2,0)和F2(2,0),准线方程为直线x=±1，对以上元素绕坐标原点再逆时针方向旋转45°得即y=1x的焦点坐标和准线方程.）
三、坐标系与参数方程
本专题是解析几何、平面向量、三角函数等内容的综合运用和进一步深化.一方面注意体会极坐标系和参数方程对于有些问题的解决过程会更加简洁.另一方面，我们学习本专题时要感受普通方程是基础，一般涉及关于极坐标或参数方程的问题时，通常应转化为普通方程解决.
例1 坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=3-22ty=5+22t（t为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=25sinθ.
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3,5)，求|PA|+|PB|.
解:（1）由ρ=25sinθ，得x2+y2-25y=0,
即x2+(y-5)2=5.
（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(3-22t)2+(22t)2=5，
即t2-32t+4=0.
由于Δ=(32)2-4×4=2>0，故可设t1,t2是上述方程的两实根，
所以t1+t2=32t1t2=4,又直线l过点P（3，5）,
而点P在圆C外，故由上式及t的几何意义得：
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=32.
四、不等式选讲
本专题介绍了一些重要的不等式及它们的证明、数学归纳法及简单运用，特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，明确要求会用数学归纳法证明贝努利不等式、会运用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值.
例1设x、y、z满足x2+2y2+3z2=3，求s=x+2y+3z的最大值.
解:由s=x+2y+3z=1·x+2·2y+3·3z
根据柯西不等式，得1·x+2·2y+3·3z
≤12+(2)2+(3)2·x2+2y2+3z2=32.
变式训练设x+y+z=1,求F=2x2+3y2+z2的最小值.
例2已知a,b,c∈R，证明不等式：a2+4b2+9c2≥2ab+3ac+6bc．
证明：因为 a2+4b2≥4ab ①，
4b2+9c2≥12bc ②，
a2+9c2≥6ac ③
①②③式两边相加，得2a2+8b2+18c2≥4ab+6ac+12bc
即a2+4b2+9c2≥2ab+3ac+6bc，故不等式成立．
变式训练设x,y,z为正数，证明：2(x3+y3+z3)≥x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y)．（提示：x3+y3≥x2y+xy2)
例3设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.
(1)若a=-1，解不等式f(x)≥3;
(2)如果x∈R,f(x)≥2,求a的取值范围.
解析：（1）当a=-1时，f(x)=|x-1|+|x+1|≥3
①若x≥1，则x-1+x+1≥3,即x≥32,∴x≥32;
②若-1≤x<1,则1-x+x+1≥3,无解；
③若x<-1,则1-x-x-1≥3,即x≤-32,∴x≤-32;
综上所述，不等式的解集为{x|x≥32,或x≤-32}.
（2）由题意知，要使对任意的x∈R，不等式恒成立，只需f(x)=|x-1|+|x-a|的最小值恒大于等于2即可.
因|x-1|+|x-a|的几何意义为数轴上的任意一点P（x）与两定点A、B之间运动时，|PA|+|PB|最小值为|a-1|，
即|a-1|≥2,
从而a的取值范围为(-∞,-1］∪［3,+∞).
（作者：徐进文，江苏省赣榆县城头高级中学)
篇5：重温圆的名题,体验数学文化
我们对圆很熟悉, 无处不见圆, 无时不有圆.用圆、玩圆, 我国好多成语有圆字, 如“没有规矩, 不成方圆”, “人有悲欢离合, 月有阴晴圆缺”.民间活动也有用圆表示的习俗, 如圆圆的五环, 孕育奥运精神, 牵动全球, 连通世界;哥伦布绕地球一圈, 发现地球是圆的.国际上有圆桌会议, 与会者围圆桌而坐, 共同协商, 平等交流.圆是最基本的图形, 也是最简单的曲线.我们知道, 小学讲圆的周长、面积、对称性.中学也讲圆, 主要讲圆的几何性质, 圆的方程, 圆与直线、圆与圆的位置关系等.可是, 我们没看到人类研究圆的任何活动, 察觉不到人在圆中的痕迹.事实上, 自古至今, 人类对圆给予了充分的关注和研究, 研究发现太阳、地球都是圆的, 求地球半径、周长, 求圆周率、面积, 化圆为方、欧拉圆, 拿破仑四等分圆等, 都深深地打上人类活动的烙印, 体现了人类对圆的执着、对圆的热情, 反映着人类对圆的欣赏, 平面中最美的图形是圆, 立体图形中最美的是球.我们会发现, 在人类的研究过程中, 圆成为数学模型, 去刻划、描述天体物体的运动规律, 其中也给予我们许多经典的历史名题, 展示了人类在圆的研究过程中巧妙的思维方式和思维方法, 重温这些圆的历史名题, 既能学习前人绝妙的思维, 又能继承人类的探索精神, 既让我们惊叹人类对圆的执着热爱, 又能让我们欣赏圆的美及与世界的和谐, 滋润于数学文化丰富的营养.
1早期天体研究, 提出经典名题
毕达哥拉斯认为, 最美的平面图形是圆.古时候, 很多人猜测地球是圆的.泰勒斯认为, 地球乃是浮在水面上的一块圆盘.亚里士多德 (公元前384-前322) 从月蚀推测地球是圆的.他在《论天》中明确写道:在月蚀时, 它的外线总是弯曲的:既然月蚀是由于地球插入 (太阳与月亮) 其间, 那么, 它外线的那种形状就应是地球的表面所造成的, 所以, 地球必定是圆球形[2].公元前320, 欧几里得的《几何原本》里用圆去描述球, 半圆绕着直径旋转一周而回到初始位置时, 这样描绘的形状就是球.古希腊学者埃拉托色尼认为, 太阳离地球很远, 太阳光应平行地照在地球上, 而地球上有的地方有影子, 有的地方没有影子, 这就说明地球是圆的.那么地球的周长、半径是多少.这是早期数学家努力去解决的问题.
埃拉托色尼是第一个验证地球是圆的, 并准确计算地球周长[3].如图1, 希伦 (S) 在亚里山大 (A) 的正南方, 点O是地球的球心.仲夏的某天, 太阳在希伦S的正天顶上, 太阳能映在水井里;同一时刻, 在亚里山大城A测得的太阳光对铅垂线ON的角, 即∠PAN是7.5°, 一般认为太阳光线AP, SQ是平行的. 因此, ∠QON=∠PAN=7.5°, 7.5°是360°的
10世纪时, 中亚细亚阿尔·波罗尼曾创造一个简洁而非常有新意的方法, 来计算地球半径.如图2, 用现代的记号表示是:R= (R+h) cos α, 即有
公元10世纪, 阿拉伯的比鲁尼在三角学方面造诣很深, 也曾创造性地给出了测量地球半径的方法.首先用带有刻度的正方形ABCD测出山高,
再在山顶T处悬挂一直径为SP可以转动的圆环MPNS, 如图3, 从山顶T观测地平线上一点I, 测得俯角∠OTI=α.由于
且 HG=HI, 得IT=HT+HG, 从而算出地球半径
2数学家与化圆为方
尺规作图三大问题中有化圆为方的问题.有人指出, 化圆为方可以转化为正多边形尺规作图问题.如果把圆能化为正多边形, 而正多边形容易化为正方形了.似乎为化圆为方的尺规作图提供了思路.正多边形的尺规作图成最有诱惑力的问题.正多边形尺规作图与费尔马数还有紧密关系.后来, 高斯研究了正十七边形的尺规作图问题并成功解决.也有人认为, 若弓形能化为三角形面积, 那么也能化圆为方.在这样的研究思路中, 出现了希波克拉底的半月形和阿基米德皮刀匠形这两个最有名的问题.
2.1希波克拉底与半月形
用圆规、直尺化圆为方即作一正方形, 使其面积等于给定圆形的面积.三等分角即三等分弧.公元前430, 享有盛名的希波克拉底, 利用圆的特征把曲线面积化为直线形面积的方法, 把两个半月形的面积化为三角形的面积.如图4, 等腰直角三角形ABC, 以AB, BC, AC为直径分别作三个半圆, 整个图形除去以AB直径的半圆, 得到两个半月形.利用毕达哥拉斯定理得到, AB为直径的半圆的面积等于BC为直径的半圆面积与AC为直径的半圆的面积之和, 各自除去AB为直径的半圆上弦BC、AC所对的弓形面积, 则直角三角形ABC的面积等于两个半月形的面积.
2.2阿基米德与皮匠刀形
如图5, 阿基米德首先研究并提出命题:大半径圆内含两个相切的小半圆.三个半圆间的曲线图形, 即皮匠刀形, 面积等于两个小半圆公切线长为直径的圆的面积.
由圆与圆的面积比等于其半径平方之比及AB2=AN2+BN2+2ANBN=AN2+BN2+2PN2易证命题正确.
伟大的数学家阿基米德对圆的研究给予了极大的关注, 用圆内接正n方形和圆的外切正n边形来估算, 如图6.其《圆的度量》中研究认为, 圆的面积等于一直角三角形的面积, 此直角三角形的两条直角边分别等于圆的半径和圆周;圆的面积与其直径上的正方形面积之比, 近似地等于11∶14.圆周比直径的三倍大, 所大部分小于直径的
3开普勒巧妙求圆的面积
圆的面积历来是人们非常关心的问题.开普勒对圆进行深入的研究, 把半径为r的圆分割为无数个相同的微小扇形, 每个微小的扇形近似看作小等腰三角形, 无数个小等腰三角形的底边△xi构成圆周.于是, 圆的面积就是
4拿破仑四等分圆
尺规作图深受数学家及广大数学爱好者的喜欢, 有人提出单规作图.以军事、政治才能显赫于世的法国著名皇帝和统帅拿破仑, 对单规四等分圆颇有兴趣, 传说曾在马背上哼出了只用圆规四等分圆的妙法, 具体作法为:
1) 如图9, 在⊙O上任取一点A, 以R为半径, 自点A起, 顺次截取, 弧AB, BC, CD相等.
2) 分别以A, D为圆心, 以AC为半径作弧交于点E.
3) 以A为圆心, OE为半径作弧交⊙O于G, H两点, 则A, G, D, H四点即为⊙O的四等分点.
其合理性证明于下:
连AC, DC和AE, OE, 易见AD是⊙O的直径, 且∠DAC=30°.
在Rt△ACD中, 可知
在Rt△AOE中, 算出
5数学家与共点圆
从古到今, 五点圆、九点圆等共点圆问题一直受到大家的关注, 经久不衰.由此而引出了欧拉圆、泰勒圆、Miquel圆、费尔巴哈圆、或庞斯莱圆等.还提出了泰勒斯定理、五圆定理、Miquel定理.当然, 最有名的还数九点圆, 它是一个著名的几何学问题.
5.1欧拉圆
欧拉圆又叫做九点圆、费尔巴哈圆、或庞斯莱圆, 如图10, 拖动三角形ABC任一顶点, 三边的中点、三高的垂足、顶点与垂心连线的中点共是九点总在同一个圆上.公元1882年, K.W.费尔巴哈证明了三角形的九点圆与其内切圆及旁切圆之间存在充满魅力的关系, 证明了三角形的九点圆同时切于三角形的内切圆和它的三个旁切圆.[5]
5.2Miquel圆
如图11, 在任意五角星ABCDE中, AJF, △BGF, △CGH, △DHI, △EIJ的外接圆依次相交于点N, M, O, L, K.那么, 五点N, M, O, L, K共圆.即就是圆定理, 此圆称为Miquel圆.
近代很多人对它感兴趣.张景中教授、江泽民先生等也对五点共圆感兴趣.张景中教授在《计算机怎样解几何题》给出了证法, 江泽民先生还特意向张景中院士请教.在出席澳门回归一周年庆典时, 江先生向澳门某中学的学生给了这道五点共圆题.这一下又引起很多人的兴趣.对五个点共圆的证明, 著名数学家丘成桐说, 我也要想半小时才行.毕竟是历史名题, 曾有很多人关注过, 自然在一些书中, 单墫的《数学名题词典》第429页, 就能找到答案.
5.3数学家Louis Brand与八点圆
1994年, 数学家Louis Brand提出了八点圆呢.在四边形ABCD中, AC⊥BD, E, F, G, H分别为AB, BC, CD, DA的中点, 由E, F, G, H向对边作垂线, 垂足分别是K, L, M, N, 于是E, F, G, H, K, L, M, N八点共圆, 如图12.
5.4阿波罗尼奥斯问题
生于公元前255年的阿波罗尼奥斯, 在专著《论相切》中提出了一个著名的问题:给定三个元素, 点、直线或圆, 求作一圆通过三点 (若为三点) , 或与给定的各直线或圆相切.
过不在同一直线上三点作圆, 或作一圆与三条两两相交的直线相切, 即作三角形外接圆、作三角形内切圆, 都是其中的问题.公元4世纪, 希腊学者Pappus研究过《论相切》, 把阿波罗尼奥斯提出的问题划分为10种情况, 记述详尽.
对于作一圆与另外三个圆相切的问题, 极为复杂, 此即就是阿波罗尼奥斯问题.从公元前200一直到17世纪都使许多数学家为之绞尽脑汁.韦达 (1540-1603) 在其专著《Apollonius问题》, 牛顿 (1643-1727) 在《广义算术》中都进行了较深入的研究.后来, 蒙根 (Monge) 、高斯等数学家也进行深入研究, 给出了众多的解法.
日本的寺阪英孝、我国的沈康身先生对这三个圆的位置关系进行细致的研究.他们把“作一圆与另外三个圆相切的问题”给出了极其有趣的分类, 用相交 (记J) 、相切 (记Q) 、相离 (记L) 各种不同的排列形式去考虑.因而, 三个圆的位置关系共有10种:
①LLL ②JJJ ③QQQ ④LJQ ⑤LLJ ⑥LLQ ⑦QQJ ⑧QQL ⑨JJQ ⑩JJL
每种情况义可分为若干子目.日本的寺阪英孝把阿波罗尼奥斯问题分为49个子目, 我国的沈康身先生把上面分类进行改编, 增补为51个子目, 这种分类是否详尽无遗?沈康身先生还认为有待进一步深入探索.具体对阿波罗尼奥斯问题的研究, 可翻阅文[1].
参考文献
[1]沈康身.历史数学名题赏析[M].上海:上海教育出版社, 2002, 588-597, 649-656.
[2]史宁中.数学思想概论[M].长春:东北师范大学出版社, 2009, 29-32.
[3]鲁品越.西方科学历程及其理论透视[M].北京:中国人民大学出版社, 1992, 69.
[4][美]T.帕帕斯.数学趣闻集锦[M].张远南, 等译.上海:上海教育出版社, 1998, 77, 145-146.
[5]单墫.数学名题词典[M].南京:江苏教育出版社, 2002, 428-445, 956-971.
[6][英]斯科特.数学史[M].侯德润, 等译.桂林:广西师范大学出版社, 2002, 110.
[7]波尔德.著名几何问题及其解法:尺规作图的历史[M].北京:高等教育出版社, 2008, 29-44.
[8]龚德行, 张维忠.圆的文化意义[J].中学数学教学参考, 2004, (11) .