点集拓扑学学习心得

点集拓扑学学习心得（共3篇）

篇1：点集拓扑学学习心得

这学期选修了点集拓扑学，在上课之前我根本不知道这是一门什么样的学科，也不知道什么是拓扑。刚开始学习的时候，我有点不在意，因为第一章前面部分的知识感觉和实变函数前面的知识大同小异。但是学到后面，就觉得并不一样，越来越抽象了。通过查阅资料，以及在后来的学习中，才对点集拓扑学有了进一步的了解。

点集拓扑学是由分析、几何、和代数等许多学科的一些基本概念和问题抽象而成的一个数学分支，是理工科相关专业的一门基础课。它的许多概念、理论、方法广泛的应用与泛函分析、微分几何和微分方程等领域中。通过这门课程的学习可以加强我们对学习了的数学分析、实变函数、常微分方程等课程的理解。因此我们有必要努力学好这一门课程。

在学习中我有几点深刻的体会。第一、这门课程确实很抽象。它不同于我们学习的其他数学课程，如数学分析、高等代数、常微分方程、实变函数等，点击拓扑几乎没有计算的内容，逻辑性强。在学习概念后就是一连串的定理、推论，例子也比较少，且多为证明。所以学习起来就比较枯燥。一开始学习的掉以轻心让我后悔不已。

第二、抽象的概念也是有它形成的基础。点集拓扑学是一门建立在集合论的基础上的一门学科，因此第一章的集合论初步是学习的预备知识。尤其是映射的像和原像的性质，这些性质对刻画拓扑空间中映射的连续性有重要作用。而第二章是全书的理论基础，尤其重要。并且概念和概念之间也是相互联系的。比如度量给出以后，度量空间的相应概念由此产生。开集、邻域的概念形成后，导集、闭集、闭包、内部、边界及其性质大都是借助它们来说明的。因此学习的时候每一个概念都要弄懂。

第三、点集拓扑学中涉及到很多我们已经在其他学科中学习到的知识，因此我们要注意对比分析。序列的极限、函数的连续性是数学分析的基础，其中涉及两个实数的距离。数学分析中绝大多数问题都离不开距离。而点集拓扑学中建立了以距离为出发点的距离空间。数学分析中我们熟知的欧式空间和欧式空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间的连续映射，抽象到拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。数学分析中数列涉及敛散性、连续性、以及极限存在的条件等，而点集拓扑学中序列也涉及到这些内容，但是它们之间存在着异同之处。在拓扑空间中一般不能用点列的收敛来刻画聚点，进而拓扑空间之间的连续映射不能用极限来刻画。作为初学者，我们应该尤其注意这些概念上本质性的问题。

另外，在学习过程中也有些疑问。这学期我们正在学习实变函数论，其中涉及到许多和点集拓扑学相似的结论，以至于我有些混淆。实变函数论老师说在点集拓扑学中成立的有些结论在实变函数论中一定成立，但是在实变函数论中成立的结论在点集拓扑学中不一定成立，我不知道这具体是为什么。感觉这两门课程都比较难，还需要花大量时间去学习。

我们在这一学期其实只学习到这门课程的的一部分内容，我有种接触了这门课程但是完全学得不透彻的感觉。平时的例子很少，也不清楚这门课程的具体应用。大三下期，同学们要不是准备考研，要不

就是准备师范技能，因此对这门课程的重视度不高。因此，如果可以调整课程的开设时间也许学习效果会好一些。

篇2：点集拓扑学学习心得

拓扑学是把那些很朴素但又很基本的图形的集和直观性质，进行数学化的结果。在漫长的历史过程中，人们用很多种数学方法来表达这种几何图形的直观性质，直到康托提出了集合论之后，以集合论为基础，配之以映射概念，拓扑学有了根本性的发展。从欧拉的七桥问题，地图着色问题，Jordan曲线定理：平面上简单闭曲线将平面分成两部分。高斯研究扭结和二重积分的联系等是当时研究的一些孤立问题，而后成为拓扑学的有关问题。再到黎曼发现了多值函数解析函数可转化为闭曲面上的单值函数，并得出闭曲面的拓扑分类。拓扑学都有着很深刻的发展。

拓扑学是几何学的分支,且是与欧氏几何不同的分支。研究对象是一般的几何图形（拓扑空间），即研究几何图形的拓扑性质，而且对应的欧氏几何图形在正交变换下的不变性和不变量。拓扑学研究更一般的图形在弹性变形下的不变性和不变量，在而在近代拓扑学发展为几个重要的分支：点集拓扑；代数拓扑；微分拓扑；几何拓扑。当然我们所学的是点集拓扑学。何为点集拓扑？既是数学的拓扑学的一个分支，它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质（这些是在学习点集拓扑的第一次课的内容）。

这些内容充分的给我们这些学生一个整体结构，让我们对于拓扑学产生深刻的印象和兴趣，因此我们虽然还未深入拓扑学就已经被它的、吸引住了。然后，对于拓扑学的更深入学习，发现其中里面有很多内容在以前的学习都已经学习过，里面的很多定义定理在以前学习的课程中都有，虽然叙述方式不一样，但其中内容是一致的，而且有些内容会在学习《实变函数》中有着具体的应用和阐述证明。这充分的说明点集拓扑在对于高等数学的融入和镶嵌有着很深的影响。

点集拓扑学不同于数学专业的其他课程，如数学分析、高等代数、微分方程等课程，几乎没有计算之类的内容，逻辑性强，内容抽象；而且基本概念是比较多的，对于学习者是比较困难的，在教材里，介绍了一些概念之后，接着是一连串的定理及冗长的证明，例子少，教材中出现的例子也比较抽象。不过老师在课上把基本概念和以前学过的基本概念和实例相联系区别。在教学中渗透一些具体的实例，这样激发我们的学习兴趣，有利于学生对基本概念方法和原理的理解，使得基本的概念不显得空洞，有声有色。

点集拓扑学的概念、理论和方法已经广泛地渗透到现代数学、自然科学以及社会科学的许多领域，并且有了日益重要的应用，因此学习点集拓扑学的基本知识，不仅是为了学习现代数学提供必要的基础知识，而且能从较高观点去观察、分析数学各科的内容，加深对这些内容的认识和理解。由于拓扑的一些基本概念对于初学者来说是比较抽象的，因此有必要结合线性空间及数学分析的一些原理进行区别与联系，从而起到事半功倍的效果。另外把，点集拓扑学实用性更明显的一些，微积分，方程，图论等等联系起来的话，学习者感到更踏实一些。

还有数学这种东西数学这种东西也是分流派，用不同的方法来学习数学，所形成的“气场”也是完全不同的，如果你被动的陷入无尽的题海中，而且工作之后，毕业不了几年，大部分的数学知识都会遗忘，并且会被你定义为一无是处，毫无用途。

篇3：点集拓扑课堂教学的几点体会

一、增强趣味性, 激发学生学习兴趣

兴趣是学习的动力。对于本科阶段的学生来说, 兴趣仍然是很重要的。在这几年的教学中, 我们发现学生们普遍存在的一个疑问就是为什么要学数学, 学数学到底有什么用。在很多学生看来, 数学不但枯燥乏味, 而且不像物理、化学、计算机等专业有用。因此在学习的时候往往感到很茫然, 劲头不足, 只是为了学习而学习。有的学生甚至认为平时听不听课也无所谓, 只要考试前突击一下, 考试及格就可以了。时间一长, 不但影响学生的成绩, 而且使得教学只流于形式, 学生的综合素质也不断下降。因此, 有必要为学生解答好这些问题, 激发学生对学习的兴趣, 使学生能够以饱满的热情投入到学习中去。

数学发展到今天, 已经成为自然科学中一门重要的基础性学科, 对自然科学诸领域有着深刻而广泛的影响, 在培养学生的创新精神和思维能力等方面也起到重要作用[1,2,3]。然而, 由于课程本身的特点以及一些客观原因, 使得我们在教学中对理论知识的讲解相当重视, 但对这些知识在实践中的应用或与实际问题的联系则讲解得偏少。时间一长, 使得学生感到所学的东西不但枯燥, 而且不知有何作用, 似乎只是在为学习而学习。这就要求教师在课堂上或课下有意识地与学生多进行交流活动, 同时结合课程本身, 向学生讲解数学各分支的背景知识、在实践中的应用及一些趣味性话题等。下面我们结合点集拓扑的教学谈两点体会。

第一, 要重视绪论部分的讲解。绪论是对课程的整体性概括。一般来说, 绪论中包括了本课程的起源、发展历程、在本课程发展中起到重要作用的典型问题等内容。讲好绪论对于学生明确学什么, 为什么学和怎么学很有帮助。因此, 在课程开始的时候, 我们都要对绪论作一个较为详细的介绍。一方面, 让学生对本课程有一个较为全面的了解与认识, 另一方面, 通过对本课程中一些典型问题和趣味问题的讲解, 激发学生对本课程的兴趣。如在点集拓扑中, 我们从一笔画问题、哥尼斯堡七桥问题、地图着色问题等入手, 通过分析, 逐步引出点集拓扑的研究内容, 及其与微分几何的区别与联系等。这些都是很典型的实际问题, 也很有趣, 容易引起学生的兴趣。在此基础上, 我们再对这门课程的起源、发展史等作一个全面的介绍, 学生就很乐意接受。这样既让学生学到了知识, 又达到了激发学生学习兴趣的目的。

第二, 在课程中间穿插一些趣味性话题, 有利于活跃课堂气氛, 提高学生学习的积极性。但这样的话题不能随意选取, 要与课程本身有一定关联, 以实现与课堂的自然衔接。如在集合论中, 会讲到罗素悖论。罗素悖论本身比较抽象, 但它有一个通俗的版本, 就是理发师问题[4]。这样的问题学生听得懂, 也乐意听, 感觉有意思。先从这样的问题入手, 在此基础之上, 再讲罗素悖论的起因, 以及由此引发的数学危机等。这样不但激发了学生学习的兴趣, 同时也让学生对集合论有了更深层次的理解与认识。

实际上, 数学兼具美与实用的性质。数学本身具有美感, 但数学这门学科能够屹立数千年不倒, 并得到蓬勃发展, 除自身美感之外, 更重要的还在于它的实用性, 在于其对社会发展的不可替代的推动作用。数学家L.Bers的一句话[5]很好地阐释了数学之于社会的作用:“社会十分尊重数学, 这可能不是因为这个学科的内在美, 而是因为数学是社会极其需要的一种艺术。”很平常的一句话, 道出了数学在人类社会中所占的地位及其重要性。因此, 我们在讲课时要多注意将理论知识与实际问题相结合, 让学生体会所学课程的应用, 这样将有利于学生以积极的心态去学习。

二、恰当的举例可以使抽象的内容形象化, 起到事半功倍的效果

相对于大一大二所学过的数学分析、线性代数而言, 拓扑学是一门相当抽象的数学分支, 理论性很强。因此学生在初次接触到这门课时一方面感觉比较抽象, 另一方面感到比较枯燥乏味, 兴趣不大。在教学中我们发现, 某些课堂上定理讲得比较多, 学生在一开始听得还比较认真, 但到后面发现定理一个接一个, 注意力就会下降。根据学生的反映, 结合课程本身, 我们在课堂上要尽可能地引入一些直观、具体的实例, 结合实例解释抽象的问题。这在很多时候都收到了很好的效果。如在讲度量子空间时, 用到如下结论[6]:设X=X1×X2为度量空间X1与X2的度量积空间, x= (x1, x2) ∈X。则对任意的ε>0有

其中, B (x, ε) 表示积空间X中以点为中心, 以ε为半径的球形邻域;Bi (xi, ε) (i=1, 2) 表示X的坐标空间Xi中以xi为中心, 以ε为半径的球形邻域。

这个公式看起来很抽象。当把这一公式写在黑板上时, 学生的第一反应是:“为什么?怎么得来的?”我对学生说:对于这个公式, 我们可以直接证明, 即证明一个集合中的点都包含在另一个集合之中。当然这是理论上的, 学生仍然有疑问:到底这个公式有着什么样的含义呢?于是, 我们给出了下面一个例子。

考虑欧氏平面R2。设x= (x1, x2) 为R2中任一点, ε>0为一正的实数。则B (x, ε) 为R2中以为中心, 以ε为半径的开圆盘K, 而Bi (xi, ε) (i=1, 2) 则为坐标直线上以xi为中心, 长度为2ε的开区间。于是, B1 (x1, ε) ×B2 (x2, ε) 与分别为中心在点x, 边长为的正方形, 它们实际上是开圆盘的外切正四边形与内接正四边形。如下图所示。

由图可以看出, 公式 (*) 所表示的含义实际上就是:以x为中心, 以ε为半径的开圆盘一定包含它的内接正四边形, 同时还包含于它的外切正四边形之中。这在几何上很显然是成立的。从这个示例我们可以看出, 在形式上看起来很抽象复杂的问题, 换个角度来看或许就很容易理解了。

三、注意与数学分析中对应概念及其性质的区别与联系

数学分析中所讨论的空间是n维欧氏空间Rn·n=2时为欧氏平面, n=3时即为我们所熟知的3维空间。欧氏空间实际上是度量空间的一个特例。将欧氏空间再推广即得到拓扑空间。因此, 拓扑学中所讨论的问题有许多都与数学分析中的相关问题是平行的。对这些问题, 它们有相同之处, 也有区别。如在数学分析中和拓扑学中, 我们都讨论序列。但对于序列的性质, 它在不同空间中其实是有很大差别的。如在欧氏空间中, 序列如果收敛则它的极限必定是唯一的, 但在一般的拓扑空间中, 收敛序列的极限则不一定是唯一的, 也就是说, 如果一个序列收敛它的极限可能不止一个。这是一个很有趣的现象, 出现这一现象的原因则是由于所处空间的拓扑不同。另一方面, 由于度量空间也可以看作拓扑空间, 因此也自然有许多共同之处。如“常值序列均收敛”、“一个序列如果收敛, 则它的任一子序列也必然收敛”等, 这些性质不管是在欧氏空间还是在一般的拓扑空间中都是成立的。在平时的教学中, 多鼓励学生去发现这些共性与不同之处, 不但可以激发学生的学习兴趣, 也可以让学生体会到本课程与其他课程之间的联系。

文中所写仅为本人在教学实践中的一点心得体会。限于本人能力及经验, 如有不足之处恳请各位专家予以批评指正。本文的目的在于“抛砖引玉”, 以使我们在教学实践中不断总结好的教学经验及各种行之有效的教学方法, 以此促进我们教学水平的不断提高与进步。

参考文献

[1]崔丽英.浅谈如何提高大学数学课堂教学质量[J].中国西部科技, 2011, 10 (27) .

[2]夏国坤, 孔林涛.大学数学教学与学生创新能力培养[J].中国轻工教育, 2004, (9) .

[3]张清年, 叶晓枫.大学数学教育在创新人才培养中的地位和作用[J].华北水利水电学院学报 (社科版) , 2011, 27 (4) .

[4]从山.集合与悖论——谈“集合”的定义问题[J].安徽电力职工大学学报, 2003, 8, (4) .

[5]张顺燕.数学的源与流[M].北京:高等教育出版社, 2003.