线 性 代 数 试 卷

线 性 代 数 试 卷（精选6篇）

篇1：线 性 代 数 试 卷

厦门理工学院继续教育学院20 第 学期期末试卷

线性代数（考试时间：120分钟）

专业 姓名 层次形式 成绩

一、选择题（每小题4分，共16分）1.A，B为三阶方阵，矩阵X满足AXABXBBXAAXBE则().22111(A)X(AB);(B)X(AB)(AB)(C)X(AB)(AB)(D)以上答案都不对.2.11；

A、B、C为n阶方阵，且ABC,A、B、C的列向量组分别为1,2,,n；1,2,,n(A)；

1,2,,n.若

1,2,,n线性相关，则().1,2,,n线性相关;(B)

1,2,,n线性相关；

(C)（A）与(B)都成立；(D)(A)或(B)成立.3.设A,B为三阶矩阵，且r(A3A2E)3，若r(B)2则r(ABB)().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)无法判断． A22334.设三阶矩阵

B22，3，其中,,2,3均为三维行向量，已知A18，2B2，则AB().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)4.二、填空题（每小题4分，共16分）

En10ABOB为n阶非零矩阵，5.设A、，且A的阶梯形为1Da1111b1111c1111n00，则矩阵B的秩=.6.已知，则此行列式的所有代数余子式之和i,j1Aij.1

1A0Tx(1,1)7.已知是1a的一个特征向量，则a.8.为已知A是3阶方阵，1,2,3是三维线性无关的向量.若A112，A223，A313，则A的行列式等于.三、计算下列各题（每小题7分，共28分）

01D1110111110111110111110.9.计算n阶行列式

10.若二次型

1f(x1,x2,x3)2x18x2x32ax1x2222正定，求a的取值范围.411.已知(1,1,1),(1,0,1)，且A.求A.TTT

2A02 030110B002010000

12.已知矩阵X满足AX2BBA2X，求X．

四、解答下列各题（每小题14分，共28分）

2x13x23x3ax1x2x313x4x2(a2)x3a1x2xax12313.求a使方程组1与1有公共解，并求公共解.14.已知二次型

f(x1,x2,x3)XAXx1x32ax1x22x1x32bx2x3T22的秩为2，Tf(x1,x2,x3)(1,1,1)是A的特征向量.（1）求a,b的值；（2）求经正交变换所得的标准型，并写出相应的正交矩阵.3

五.解答下列各题（每小题4分，共12分）

15.设1,2,,t是线性方程组AxO的基础解系，向量满足AbO.证明1,2,,t,线性无关.16.已知A是n阶方阵且可对角化，问BAAE可否对角化？证明你的结论.2 T17.已知A为n阶矩阵.证明方程组AxO与AAxO的解相同.

篇2：线 性 代 数 试 卷

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

选择题部分

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。1．设行列式A.－3 C.1 2．设4阶矩阵A的元素均为3，则r(A)= A.1 C.3 3．设A为2阶可逆矩阵，若A1B.2 D.4 a1a2b1acabc1，112，则111 b2a2c2a2b2c2B.－1 D.3 13A.

2553C. 21A.r=m时，Ax=0必有非零解 C.r

，则A= 251B.25D.23 53 14．设A为m×n矩阵，A的秩为r，则

B.r=n时，Ax=0必有非零解 D.r

2225．二次型f(xl，x2,x3)=x12x23x38x1x312x2x3的矩阵为

1A.081C.04 08212 1230426 631B.001D.4008212 034026 63═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 2

非选择题部分

注意事项：

用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6．设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|2A|=______．

7．设A为2阶矩阵，将A的第1行加到第2行得到B，若B=8．设矩阵A=12，则A=______.34a12a11a12a11，B=，且r(A)=1，则r（B）=______.a21a22a11a21a12a229．设向量α=(1，0，1)T，β=(3，5，1)T，则β－2α=________． 10．设向量α=(3，－4)T，则α的长度||α||=______．

11．若向量αl=(1，k)T，α2=(－1,1)T线性无关，则数k的取值必满足______.12．齐次线性方程组xl+x2+x3=0的基础解系中所含解向量的个数为______．

12210013．已知矩阵A=212与对角矩阵D=010相似，则数a=______ 22100a14．设3阶矩阵A的特征值为－1，0，2，则|A|=______．

22215．已知二次型f(x1,x2,x3)=x1正定，则实数t的取值范围是______． x2tx

3三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）

abc16．计算行列式D=2a2a2b2cbac2b.2ccab17．已知向量α=（1，2，k），β=1，，且βαT=3，A=αTβ，求(1)数k的值；(2)A10． 11231231218．已知矩阵A=231，B=00，求矩阵X，使得AX=B.3401019．求向量组α1=(1,0,2,0)T, α2=(－1,－1,－2,0)T, α3=(－3,4,－4,l)T, α4=（－6,14,－6,3）T的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出．

2x3yz020．设线性方程组2xyz1，问：

xyz1═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 3(1)λ取何值时，方程组无解？

(2)λ取何值时，方程组有解？此时求出方程组的解．

00121．求矩阵A=010的全部特征值与特征向量．

1002222．用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=2x12x24x1x38x2x3为标准形，并写出所用的可逆线性变换．

四、证明题（本题7分）

23．设向量组α1，α2线性无关，且β=clα1+c2α2，证明：当cl+c2≠1时，向量组β－α1,β－α2线性无关．

篇3：线 性 代 数 试 卷

考试是学校教学工作的不可缺少的重要环节,组织考试是为了让学生通过这个形式来检验自己的学习成果和检查老师的教学质量。那么,它不仅仅是为了检查学生有没有达到目标而存在的,更是不断完善教学的过程以及对课程进行改进的最佳依据,指导学生更快的调整学习方向,并将获得的考试信息做进一步的加工后进行的反馈,这些就是教学和教务方面的常态,只有这样才能有效的通过考试这个手段真正有效的促进教学。那么,行之有效的试题分析系统就成为教学评价的不可缺少的助手了。实际上,单纯的考试分数并不一定能客观有效的评价学生的真实学习效果,就更难以成为促进教学水平提高的客观依据[1]。科学、量化的试题质量分析系统,能针对试题的内容、难易、结构和题型发现问题,发挥其指导意义。

2 线性回归分析

2.1 回归分析基础

回归分析[2]是确定两种或两种以上变量之间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法,即根据相关关系的具体形态,选择一个合适的数学模型,来近似地表达变量间的平均变化关系。

2.2 变量的设定

我们将考生的总分看作一个随机变量,用X来表示。将考点的得分看作另一个随机变量,用Y来表示。如表1所示,x1,x2,...,xm表示随机变量X的所有可能取值,y1y2,...,yn表示随机变量Y的所有可能取值,aji表示总分为xi且考点分为yj的考生人数或者是该人数占总人数的比例。

2.3 数据的预处理

数据来源是全国自考某门课程的考试成绩,选取了其中的两个考点进行分析,样本容量是714。

为了方便,对于总分X,将其可能区间[0,100]等分为10个小区间,即[0,9]、[10,19]、[20,29]、[30,39]、[40,49]、[50,59]、[60,69]、[70,79]、[80,89]以及[90,100],并依次用0至9进行标识。

对于考点2的得分,利用最小最大规范化[3]对原始得分进行变换,使取值全部落在[0,10]这个范围内,变换也是为了使其结果与总分具有可比性,变换的公式0 ,其中min和max分别是考点得分的最小值和最大值。

经过上述数据的预处理后,两个考点的相关性表见表1和表2,其中表1有11×10个元素,即 (xi,yj,aji) ,i = 1,2,...,10 ;j = 1,2,...,11。表2有10×10个元素,即 (xi,yj,aji) ,i = 1,2,...,10 ;j = 1,2,...,10。这里的aji即为 (xi,yj) 的权数wji。

2.4 数据的分析

从相关性表上可以看出,考点得分变量Y与总分变量X之间存在较为明显的线性关系。因此,我们首先利用线性回归的方法,求出Y对X的回归方程。

对于表1的计算结果,2阶格兰姆矩阵为:

从而,正规方程[4]的形式为Gα = d.

经过计算,正规方程的表达式为由此解得α0= 4.780, α1= 0.523.

于是回归方程为y = 4.780 + 0.523x. 从而y(xmax)= y(9)= 9.486.

另外,考点得分与总分之间的相关系数为:

平均值E(Y)= 7.436 ,故难度系数为

类似地,对于表格2的数据处理结果,回归方程为:

y = -2.739 + 1.178x. 即起步分为-2.739,区分度为1.178。

期望最高分为y(xmax)= y(9)= 7.863. 平均值为E(Y)= 3.251.()

难度系数为. 考点得分与总分之间的相关系数为ρXY= 0.81194.

2.5 结果的解释

上述求解的结果列在表格3中。

本例中的第一考点为判断题,第二考点为算法分析题,通过比较能明显看出第一考点的难度远远低于第二考点。

1) P(难度系数[5])值分析:判断题难度系数为0.2564,远小于算法分析的难度系数0.6749。这主要由于判读题的考查的内容难度较小,并且题目本身带有一定的偶然性,即使总分不高的考生也有机会选对正确的答案;但是算法分析题则不然,它对考生基础知识的掌握的广度和深度都有较高的要求,偶然性的得分概率非常低[6]。

2) α0起评分)值分析[7]:由于两题的难度系数的差异较大,从而导致起评分的差距也相应拉开,判断题的α0>0,表示起评分较高,算法分析题的α0<0表示起评分较低。α0值变化最好在0值附近,过小或者过大都不是理想的结果。

3) y(xmax) (期望最高分)值分析:由于判断题难度比较低,它的y(xmax) 值是9.486接近于10,并且远大于算法分析题的y(xmax) 值7.863,这对于总分较高的考生是有利的。

4) α1(区分度)值分析:算法分析题的区分度α1值为1.178更接近于1,远大于判断题的α1值为0.523,具有更好的区分度,总分较高的考生在此题上和总分较低的考生更容易拉开差距,这与算法分析题难度也有直接的关系,由此可以看出基础知识掌握更加全面和对考点知识理解更深的考生将得到更好的分数[8,9,10]。

5) ρXY(总分相关性)值分析:算法分析题ρXY值为0.81194远大于判断题的ρXY值0.60062,ρXY值越趋近1越好,由此能看出算法分析题和总分的相关性关联度更高,也更能反映出考生对课程知识的掌握程度和广度,可以更加完整的体现考生的总体水平[11,12]。

3 结论

本文利用线性回归模型对试题质量进行分析。所采用的数据选自某年的全国自考统计结果,数据真实有效,因此分析结果具有真实性和科学性。本章从中选取了两种类型的题目,由于数据的不规范性,首先通过最大最小规范化的方法对数据进行先期的预处理。然后从难度系数、起评分、期望最高分、区分度、总分相关性对两种题型进行了分析,最后得出结论:难度系数较大的题目起评分较低,期望最高分也较低,但是具有更好的区分度,同时与总分的相关性也更高。

摘要：现行指标都是根据不同的考生对同一题的答题结果来评价该题的难度、区分度,然后综合各题的难度、区分度得出整个试卷的难度和区分度。但是这些方法忽略了一个重要的问题,就是没有考虑同一考生对不同题间的难易感觉,从而没办法据此得出每个考生对不同知识点的掌握情况,不能据此因材施教。从不同考点的学生考试成绩入手,借助线性回归的数理统计方法,对试卷质量进行分析。提出的线性回归的方法在应用中取得了比较好的效果,为今后更好地编制试题和提高教学质量提供了更加有力的依据和方向。

篇4：“线性代数”课程实例教学实践

【关键词】线性代数；实例教学

“线性代数”是高校理工类及经管类专业最重要的公共基础课之一，目的在于培养学生严谨的抽象思维及逻辑思维。使学生初步具有理解逻辑关系、研究抽象事物、认识并利用数形解决问题的能力。因此，国内高校所有理工类和经管类专业均开设了不同水平不同层次的“线性代数”课程.数学作为理工及经管各学科共同使用的一门科学语言，其教学效果的好坏直接影响到其它后继课程的学习，甚至影响到学生一生的学习和工作，虽然“线性代数”在对学生进行素质教育的过程中起着十分重要作用，但是在各个高校内被普遍认为是一门“学习兴趣不高、学习效果不好”的课程。在三本独立学院里，这种状况更是明显.传统的以教师“课堂讲授”为主的教学模式，已经远远不能适应社会对综合型、创新性人才的要求.所以，必须通过教学改革努力提高“线性代数”的教学质量.

联合国科教文组织曾进行过一次广泛的调研，对课堂讲授、实例教学、视频教学等多种模式的教学方法进行效果对比，经过统计分析发现：在学生分析问题和解决问题能力提高及观念培养上，实例教学的效果排名第一；在传授知识和学生所得知识的留存度上，实例教学排名第二，可见，实例教学对当今培养应用技术型人才起着至关重要的作用，尤其是对于“高等数学”，“线性代数”，“概率论与数理统计”等重要的基础课程.下面我以“线性代数”教学为例，提出对“线性代数”教学的几点思考和认识.

1.以实例引入概念增强学生的记忆留存度

数学概念是数学思维的基本单位。学生只有深刻理解数学概念，才能真正掌握线性代数的基本思想方法。矩阵作为线性代数中最重要的概念之一。对它教学形式不容忽视，下面笔者就以矩阵概念的引入为例，通过一个非常著名的“格尼斯堡七桥问题”来引起学生兴趣，18世纪在哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结。城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。

这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。欧拉最后将“七桥问题”就等价于一笔画问题。欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。图的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子.当然

七桥问题也可以作为矩阵概念引入一个特别好的例子，讲七桥写成一个度矩阵的形式，进而引出矩阵的概念，有利于学生对矩阵这个概念的记忆留存度。

2.以实例总结使学生认识线性代数的广泛应用

当前，线性代数的教学偏重自身的理论体系，强调基本定义，定理和基本思想，实际应用讲的较少，应用累的课后习题也是有限，这导致大部分学生不了解线性代数对后续专业课学习的作用，也在很大一部分程度上影响了专业课的学习。所以，线性代数的学习，不单是培养学生的逻辑思维能力，而且更要重视它的广泛应用。以矩阵在密码学中的应用为例，在数学中结合实际应用增加数学的兴趣意识，密码学的相关定义。

最近一些年抗战时期谍战戏很有代表性，因此以抗战戏中传递消息为例说明矩阵在密码学中的具体应用：

例 如果我方想要传递原始消息为“卧底已被捕”。通过查密码本把这一列数写成一个 行 列的矩阵 ，再设计好一个加密密钥矩阵 ，然后加密后的消息通过通信渠形式输出，从而信息员收到加密后的矩阵，信息员再通过矩阵的逆运算 进行解密，进而再对照密码本将明文矩阵译为原始消息“卧底已被捕”。

矩阵的应用不止在密码学中，还有很多具体实际应用，比如，利用矩阵求利润，利用矩阵解决调运问题，利用矩阵解决经济问题，因此可以针对不同的专业可以在授课的过程中有针对性的举些不同的实际例子，以增加学生的对线性代数这门课兴趣和记忆留存度.

在线性代数的教学过程中，实例分析是教学过程中很有效的教学方法，但是不是一朝一夕可以做的好的，需要落实到各个章节各个环节教学的过程中，从而提高学生的学习能力及解决问题的能力.

参考文献：

[1]同济大学数学系.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]李克娥，吴海涛.线性代数[M].武汉：华中科技大学出版社，2013.

[3]潘大勇，陈忠 .教学中学生创新意识和创新精神的培养[L].长江大学学报，2014.

篇5：线性代数2011年试卷

一、填空题

1、n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是_____________________________________。

2、设A是3阶可逆矩阵，若A的特征值是1,2,3，则|A|=______________________.3、含有n个未知量的线性方程组德 系数矩阵与增广矩阵的秩都是r，则r ______________

时，方程组有唯一解；则r_____________________ 时，方程组有无穷多解；

3521110

54、设D，其aij元素的代数余子式记做Aij，则13132413-2A11+6A12+2A13+6A14=__________________________

5、二次型

二、选择题

1设A,B为n阶方阵，满足等式AB=0，则必有（）

A、A=0，或B=0;

B、A+B=0;

C、|A|=0或|B|=0;

D、|A|+|B|=0

2、设A,B为n阶方阵，A与B等价，则下列命题中错误的是（）A、若|A|>0,则|B|>0;B、若|A|≠0,则B也可逆;C、若A与E等价，则B与E也等价；D、存在可逆矩阵P,Q，使得PAQ=B.11203

3、齐次线性方程组系数矩阵的行阶梯型矩阵是00132，则自由未知量不能

00006取为（）

A、x4,x5;

B、x2,x3;

C、x2,x4;

D、x1,x3.4若R(1,2,,s)=r，则（）

A、向量 组中任意r-1个向量均线性无关；B、向量组中任意r个向量均线性无关； C、向量组中向量个数必大于r；D、向量组中任意r+1个向量均线性相关。

5、设A为3阶方阵，1，-1，2是它的三个特征值，对应的特征向量依次为

012TTT 1(1,1,0),2(2,0,2),3(0,3,3),令P310，则P-1AP等于（）

302111;

B、;

2A、21122;

D、1;C、11

三、计算题

a101b11、计算行列式01c00100 1d0231

2、求矩阵1121的秩

1344101

3、求A=052的逆

00111131111

4、求向量组1，234的一个极大无关组，并用此极大21353157无关组线性表示其余向量。

5、求非齐次线性方程组2x1x22x33的通解

3x12x24x31123

6、求213的特征值和特征向量

336

篇6：线性代数4试卷及答案

考试时间120分钟

(出卷人：廖磊)试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．若行列式|A|=0，则A中（）A．必有一行全为0 C．有两列成比例

a11a12a22a32a13a33B．行向量组线性相关 D．所有元素全为0

a11a315a112a125a212a225a312a32a13a23，则D1的值为（）a33a23=3，D1=a212．设行列式D=a21a31A．-15 B．-6 C．6 D．15 3．设A，B，C，D均为n阶矩阵，E为n阶单位方阵，下列命题正确的是（）A．若A20，则A0

B．若A2A，则A0或AE C．若ABAC，且A0，则BC

D．若ABBA，则(AB)A2ABB

2224．设A、B为n阶方阵，满足A2=B2，则必有（）A．A=B C．|A|=|B| 1A．0010012010 012 0B．A=-B D．|A|2=|B|2

1B．001D．2311012311 01235．设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（）

1C．20 6.设A，B为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（）．．A.|AB|=|A| |B| C.(A+B)-1=A-1+B-1

7．设2阶矩阵A＝，则A＝()

*

B.(AB)-1=B-1A-1 D.(AB)T=BTAT

A．

B．

C．

D．acb，则d

8．设2阶矩阵A＝A．C．dcb abaA＝（）

dbdbcaca＊

B．

dc

D．

9．设矩阵A＝，则A中()A．所有2阶子式都不为零

B．所有2阶子式都为零 C．所有3阶子式都不为零

D．存在一个3阶子式不为零

10．设1,2是x1x2x312x1x20，的两个解，则（）

1A．12是2x1B．12是2x1C．21是2xxx2x301x20，的解，的解 xx2x301x20xx2x311x20xx2x311x20，的解，的解 1D．22是2x11．设1,2,3,均为n维向量，又1,2,线性相关，2,3,线性无关，则下列正确的是（）

A．1,2,3线性相关 B．1,2,3线性无关 C．1可由2,3,线性表示 D．可由1,2线性表示

12．设向量1(a1,b1,c1),2(a2,b2,c2),1(a1,b1,c1,d1),2(a2,b2,c2,d2)，则下列命题中正确的是（）

A．若1,2线性相关，则必有1,2线性相关

B．若1,2线性无关，则必有1,2线性无关 C．若1,2线性相关，则必有1,2线性无关 D．若1,2线性无关，则必有1,2线性相关

13．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax＝0有非零解的充分必要条件是()A．A的列向量组线性相关

B．A的列向量组线性无关 C．A的行向量组线性相关

D．A的行向量组线性无关

14．设α1，α2，α3，α4为向量空间V的一个基，则V的维数=（A．1 B．2 C．3

D．4 15.设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误．．的是（）A.AB

B.秩（A）=秩（B）C.存在可逆阵P，使P-1AP=B

D.E-A=E-B

16．正交矩阵的行列式为（）A．0 B．+1 C．-1

D．±1 17．矩阵A＝的非零特征值为()A．

4B．

3C．

2D．1

18．当矩阵A满足A2=A时，则A的特征值为（）A．0或1 B．±1 C．都是0

D．都是1）19．二次型A．0 C．2 f(x,y,z)xy2.2的正惯性指数p为（）

B．1 D．3

22220.设有二次型f(x1,x2,x3)x1x2x3,则f(x1,x2,x3)（）

A.正定 C.不定

B.负定 D.半正定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

a1b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3=_____________.a3b321．若aibi0,i1,2,3,则行列式a2b1a3b112322．三阶行列式D222，则A11A12A13__________.4513A=0121423.设,B=10012,则AB=__________.01114中元素9的代数余子式A32=____________ 1624．行列式234925.若k1120,则k=___________.26．设A，B均为n阶矩阵，(AB)E，则(BA)=__________.a11x1a12x2a13x3027．若齐次线性方程组a21x1a22x2a23x30有非零解，则其系数行列式的值为

axaxax032233331122______________.128.设矩阵A=232t423，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=____________.5129．设矩阵A=0002010，矩阵B=A-E，则矩阵B的秩r(B)=______________.130.已知A有一个特征值-2,则B=A2+2E必有一个特征值___________.31.方程组x1x2x30的通解是___________.T

T32.已知向量α=（2，1，0，3），β=（1，-2，1，k），α与β的内积为2，则数k=____________.33.设向量α=（b,12,12）T为单位向量，则数b=______________.34．设AX0为一个4元齐次线性方程组，若1,2,3为它的一个基础解系，则秩（A）=_________.35．已知某个3元非齐次线性方程组Ax＝b的增广矩阵A经初等行变换化为：，若方程组无解，则a的取值为

．

36．已知3维向量(1,3,1)T,(1,2,4)T，则内积(,)=____________.37.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则2B=___________.38.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则2B=___________.12121010339.矩阵A=所对应的二次型是___________.T40．设3元实二次型f(x1,x2,x3)XAX经正交变换化成的标准形为f3y1，则矩阵

2A的特征值为_________.三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）

***241.计算四阶行列式的值.42．设A=301214,B=10012,求矩阵0AB.143.已知矩阵A=10011130，B=10201110，4（1）求A的逆矩阵A-1；（2）解矩阵方程AX=B.44．设A=311100210111022,求A1.45.设1A=001,B=00120023,且A,B,X满足(E-B1A)TBTXE.求X,X1.46．求向量组1=（1，2，1，3），2=（4，-1，-5，-6），3=（1，-3，-4，-7）的秩和其一个极大线性无关组.47．设向量组1(1,1,0)，2(2,4,1)，3(1,5,1)，4(0,0,1)，求该向量组的秩，并判断其线性相关性。

x12x24x332x22x3348．求线性方程组2x2x6x3231817，2的通解.49.设矩阵A=（1）求矩阵A的特征值与对应的全部特征向量.（2）判定A是否可以与对角矩阵相似，若可以，求可逆矩阵P和对角矩阵，使得P-1AP=.50．已知二次型f(x1，x2，x3)＝2x1＋3x2＋3x3＋2ax2x3通过正交变换可化为标准形f＝y1＋2y2＋5y3，求a． 22222

2四、证明题（本大题10分）

51.设1,2,3是齐次方程组A x =0的基础解系.证明：

11,212，3123一定是Ax =0的基础解系．

52．设A，B均为正交矩阵，且AB，试证AB0.

321、AB0121104210011110123200***021460

2

322、（A,E）=11

11300………………………..3分 110……….………………….1分 001001211………………………2分 311………………………..1分 111002010000112111121121010

01000221101001000021101001000011212012111011

1112……2分

所以A112112…………………………………………1分

12

23、令A=（1,2,3)=131000499184156134………………………….2分 7155………………………………………………….2分 1010004900150………………………………………………………….2分 0所以向量组1,2,3的秩为2………………………………………….2分 极大线性无关组为1,2或1,3或2,3……………………….2分

124、(A,b)0212020242222242633………………………………………………..2分 313303021041033……………………………………2分 2010001021003………………………………………………………….1分 20所以非齐次方程的一般解为

x12x33xx322……………………………………………

1分

所以齐次方程组的一个特解为*0320…………………………..1分

2x2x13对应的齐次方程组为得基础解系为11…………….2分 x2x31所以原方程组的通解为*k11,其中k1为任意常数………………….1分

25、（1）项式AE8172=（1)(9)

所以特征值11,29…………………………………………………..1分

7当11时，AE1711010

即x1x2，所以特征向量为1………………………………..1分

1对应特征值11全部特征向量为k11，k为任意非零常数………..1分

当29时，A9E11717017 07即x17x2，所以得到对应的特征向量2………………………..1分 1对应特征值29的全部特征向量为k22，k2为任意非零常数……….1分（2）因为矩阵A有两不同的特征值1和9,(或者说存在两个线性无关的特征向量

1,2),所以矩阵A可以对角化……………………………………………..2分

可逆矩阵P=(1,2),即1091P=171,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分

10．．．．．．．．．．．．．．．１分 ．9且有P1AP0

2６、，所以对角矩阵为0证明：首先，1,2,3 的个数与所给的基础解系1,2,3个数相同，都为３，即

n-r=3………………………………………………………………………1分 其次A1A10,A2A(12)0,A3A(123)0

所以，1,2,3都是方程组Ax =0的解………………………………………2 最后，根据提设条件可以写出矩阵等式

1(1,2,3)=(1,2,3)0011011………………………………………2分 11110111把它记为BAP.因为标出矩阵的行列式P00=10…….1分

P是可逆矩阵………………………………………………………..1分 所以，r(B)r(A)3，这说明1,2,3线性无关………………………

2分

所以，1,2,3必是Ax =0的基础解系……………………………………….1分

***104021000213分 21、解：D=002=

00012100210002***0215154分

3分 =0001=00022、解：(1)A1E100100100011112210111111020111211000100100100100010112211211112121110010001分 11 001 00010010112分 11211A211A1112分 1BXA1(2）AXB方程两边同时左乘2X211211,得 A1AXAB2分

1311100111504422321223分 3

23、解： EBATBXEB(EBTA)TXEBAXE3分

T2X001200020001T1200020001112000120003分 10120X10011200020004分 112101210

24、解：令A145006603分

01110111121

011000013分 1所以向量组的秩为3。因为未知数的个数大于向量组的秩，所以向量组线性相关。……4分 200

25、解：f的矩阵为A03a

……2分

0a3203a0a3(2)3aa3先求A的特征值，AE00

(2)(69a)0

……（1）

……2分 22由已知，二次型可通过正交变换可化为标准形f＝y1＋2y2＋5y3，得 矩阵A的特征值为1，2，5。

……2分

将λ1=1代入（1）式，得

(21)(16*19a)0a2.4分

四、证明题

26、证：由已知可知

AATE

BBTE

……2分

AT2222ABAAABEABBBAB TTTTT

BTATBBTATBABB

……4分 再由AB，又正交阵的行列式为1

……1分 不妨设A1，则B1

则 ABAB，故AB0