神外心得

神外心得（精选8篇）

篇1：神外心得

学习十 八 大 精 神 心 得 体 会

新城中心校甲尔坝小学

郭灵英

2012年11月8日上午九时，党的第十八次全国代表大会在人民大会堂隆重召开，我校全体干部、教师集中观看了十八大开幕式及胡总书记代表中共第十七届中央委员会向大会作题为《坚定不移沿着中国特色社会主义道路前进为全面建成小康社会而奋斗》的报告，胡总书记的报告令人振奋，旗帜目标和途径非常明确，对今后进一步推进社会主义建设起到非常重要的作用。党的十八大是我国全面建设小康社会关键时期和深化改革开放、加快转变经济发展方式攻坚时期召开的一次十分重要的大会。胡总书记的十八大报告，思想及其深刻、意义深远。胡总书记的十八大报告是振奋人心的，我们要下更多的功，把十八大报告中精神实质、主旨把握好、领会透，把思想统一到到十八大精神、科学发展观上来，把行动统一到到十八大精神、科学发展观上来。我们要用更加求实、务实的工作态度，正确、认真的来对待我们所从事的工作，更加出色的完成我们的工作。我们要继续保持、发扬学以致用、理论指导实践的精神，深刻领会并用十八大的精神实质、主旨，指导我们的各项实践工作，确保把十八大精神落实到实践工作中，增强我们的工作能力、增强我们解决问题的能力、提升我们的工作效率，促进各项工作。

党的十八大全面回顾、总结过去５年和党的十六大以来的实践、经验，进一步明确今后一个时期的发展目标和宏伟蓝图，进一步动员全党全国各族人民坚定不移沿着中国特色社会主义道路前进，为全面建成小康社会而奋斗；大会选举产生新一届中央委员会和中央纪律检查委员会，意义重大，影响深远。必将有力地指导和激励全党全国人民把中国特色社会主义事业全面推向前进。在全面建设小康社会的伟大征途上，党领导着全国人民一定会赢得新的更大胜利。

深入贯彻落实科学发展观是一项长期艰巨的任务，只有紧紧围绕主题主线，才能牢牢把握机遇、掌握主动，应对一系列极具挑战性的矛盾和困难。必须以更加坚定的决心、更加有力的举措、更加完善的制度来贯彻落实科学发展观，勇于破除那些制约科学发展的体制机制障碍，增强长期发展后劲，为我国现代化建设顺利推进奠定更加坚实的基础。我们要在学习十七届中央委员会的报告的基础上，进一步认真学习贯彻党的十八大精神，在思想上和行动上与新一届党中央保持高度一致，并在党的坚强领导下，以邓小平理论和“三个代表”重要思想为指导，深入贯彻落实科学发展观，坚定不移地走中国特色社会主义发展道路，以更加昂扬的斗志和改革创新的精神，更加信心满怀地向未来。

作为一名教育工作者，自然会关注教育，更关注教育改革。总书记的报告中指出在改善民生和创新管理中加强社会建设。他指出，加强社会建设，必须以保障和改善民生为重点，必须加快推进社会体制改革。他说，这方面的重要任务包括：努力办好人民满意的教育，推动实现更高质量的就业，千方百计增加居民收入，统筹推进城乡社会保障体系建设，提高人民健康水平，加强和创新社会管理。从中，我们看到了党中央对教育的关注和重视，看到了教育的发展前景和发展方向。

为此，如何在教育教学一线深刻领会与落实十八大精神，成了当前我们做教师义不容辞的责任。这就要求我们全体教师在教育教学中去进一步学习、领悟、践行。为推进社会主义建设贡献出我们的一份力量，为教育的发展、国民素质的提高、人民生活富裕多发一份光多发一份热。

篇2：神外心得

外心wài xīn[释义]

①(名)由于爱上了别人而产生对自己的配偶不忠诚的念头。旧时也指臣子勾结外国的`念头。

②(名)三角形三条边的垂直平分线相交于一点;这个点叫做外心。这个点是三角形外接圆的圆心。

篇3：神外心得

高山得林，中国书法家协会理事，国家一级美术师、中国艺术家协会书画研究院理事、北京国博文物鉴定中心书画部副主任，姓闫名冬，字翰墨，法号释演灯，祖籍山西，出生于内蒙古赤峰市林西县，毕业于内蒙古大学艺术学院绘画系。

高山得林成长在教育世家，5岁时即开始随从父亲涉足书坛学习书法，最初从临习颜、柳和魏碑入手，兼习二王，遍观百家所长并吸收其菁华，高山得林擅长魏碑和大小楷，兼精隶、行、草、篆、尤其长于榜书创作，并酷爱霸体书法，基本功扎实，逐渐形成其鲜明独特的笔法和别开生面的艺术风格。其书法作品结体严谨，造型别致，重骨力、求变化、创铸铁之雄风，用笔沉稳雄健，给人以凝重、遒劲、坚毅泼辣之美感，在书法界独树一帜。

高山得林的书法作品被党政机关领导，以国礼品赠送外国领导，并多次被国内外多家馆院和东南亚等国的艺术家，日本、韩国等友好人士收藏。其作品还多次在报刊.杂志和电视媒体上刊登发表和报道。

篇4：神外心得

已知△ABC，P为平面上的点，则

(1)P为外心

(2)P为重心

(3)P为垂心

证明(1)如P为△ABC的外心(图1)，则 PA=PB=PC，(2)如P为△ABC的重心，如图2，延长AP至D，使PD=PA，设AD与BC相交于E点．

由重心性质

∴ 四边形PBDC为平行四边形．

BC和PD之中点．

心．

(3)如图3，P为△ABC的垂心

同理PA⊥AC，故P为△ABC之垂心．

由上不难得出这三个结论之间的相互关系：

∴ △ABC为正三角形．

篇5：神外心得

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。一、三角形的外心

定

义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。ABC的重心一般用字母O表示。性

质：

1.外心到三顶点等距，即OAOBOC。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即ODBC,OEAC,OFAB.3.向量性质：若点O为ABC所在的平面内一点，满足(OAOB)BA(OBOC)CB(OCOA)AC，则点O为ABC的外心。二、三角形的内心

定

义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质： 性

质：

1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。2.三角形的面积＝1三角形的周长内切圆的半径． 23.向量性质：设0,，则向量AP(点P的轨迹过ABC的内心。

AB|AB||AC|AC)，则动 三、三角形的垂心

定

义：三角形三条高的交点叫重心。ABC的重心一般用字母H表示。性

质：

1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AHBC,BHAC,CHAB。2.向量性质：

结论1：若点O为ABC所在的平面内一点，满足OAOBOBOCOCOA，则点O为ABC的垂心。

结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足OABCOBCAOCAB，则点O为ABC的垂心。

22222

2四、三角形的“重心”：

定

义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC的重心一般用字母G表示。

性

质：

1.顶点与重心G的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GA2GD,GB2GE,GC2GF 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即xGxAxBxCyyByC,yGA.334.向量性质：（1）GAGBGC0；（2）PG

篇6：你的他，是否有外心了？

朋友Lilian有一天抱怨：“我男朋友最近好奇怪啊，他原来不喜欢用MSN的，可是最近上班时经常挂在线上，却从不主动跟我打招呼。我跟他说话，他也懒懒的，甚至爱理不理。有时候回家问他，他轻描淡写地说：上班嘛，忙啊!他现在对我也不太热情了，我没有了原本被追的感觉，相反，他把大段的时间放在了上网上，我像件可有可无的衣服。我不知道我们之间是不是出了什么问题，我很想好好跟他沟通，可他总漫不经心地说‘我很好，你不必烦恼。’为此，我很郁闷。”

你有没有过Lilian类似的感受?相爱的两个人，忽然发现，他似乎不再像刚开始的时候那么热衷于追逐你的游戏，也不再热情四射地在你面前表现得兴奋无比，他像一个玩腻了一种玩具的孩子，和你在一起，开始显得心不在焉，答非所问，甚至了无生趣。你明明看见他垂头丧气，他却永远不告诉你他的烦恼；你明明发现他对你变得冷漠，有些话却无从谈起。于是，每天24小时，同一个问号常常折磨你：他是不是有外心了?

是。如果说，你对于感情的理解是两个人之间亲密无间、没有秘密的话。

很多情况下，不需要借助任何证据，女人的直觉告诉我们，他的心是否停留在我们身上，我们也往往为自己敏锐的直觉所烦恼，我们焦虑于两人之间关系的飘忽不定，焦虑于我们的未来，焦虑于自己在他心目中的地位，焦虑于他阴晴冷暖的脸。于是，猜测、疑虑、担心……这些情绪纷至沓来，不停地问自己，问对方，以求一份安心的答案，然而往往事与愿违。

关键时刻，你能读懂男人的语言吗?

有时候，我们很想和他好好沟通，却发现常常南辕北辙，你能明白对方的真实想法和情绪吗?1“宝贝，别闹!”你的猜测：你烦我了?!他的真实想法：“让我办完这件事，我们好好亲热。”2“没事，真的!”你的猜测：你不需要我了。他的真实想法：相信我，我能一个人应付，我不想让你担心。3“随便，都行。”你的猜测：你对我们现在相处的生活很失望吗?!他的真实想法：你做的什么都好吃，被你宠着我喜欢。4“对不起，我很忙，我回头再联系你。”你的猜测：我真的不如你的工作重要?他的真实想法：对不起，我现在很烦，不要再念经了，让我躲一下。5“好久没有旅游了，我们去度假吧!”你的猜测：哈，怎么忽然那么好?他一定发生什么事情了。他的真实想法：我最近压力比较大，只是想你陪我一起放松，我俩好久没有单独在一起了。6“我们养个宠物吧!”你的猜测：你好有爱心哦，你怎么知道我喜欢小狗狗?他的真实想法：亲爱的，我们最近好像疏远了，其实我更需要的是你。7“结婚?拜托，我现在不想考虑这个问题。”你的猜测：你什么时候才想结婚呢?他的真实想法：其实我只是不想和你结婚而已。8“这只是我和我哥们儿之间的事情，你为什么要知道呢?”你的猜测：为什么不让我知道?我在你心目中就如此没有地位吗?他的真实想法：这是我自己的事情，我想先自己解决，不想让你烦恼。9“亲爱的，我们省着点花吧。”你的猜测：天，连钱都不舍得给我花了．你是不是想着退路了?他的真实想法：为我们的将来多考虑点吧，我是真的想长长久久和你在一起。10“我现在就想要你。”你的猜测：是不是对于你，我只是一个性爱工具?他的真实想法：亲爱的，你太美了，你让我控制不住，此刻，我只想和你一起快乐。

他偏离你，是出于什么原因?

当你的男人不再专注你的时候，有以下一些可能：

A．他习惯于你们之间比爱情更多的生活，你们的粘连已经走向亲情，他喜欢在你面前表现真实的自己，他开始放松自己。

B、他偶尔对漂亮女生动心，就像你看男模看得忘记吃饭一样，可是用不了多久，他总能回过神来，大可不必为此紧张，不然就太糗了。

C、他最近工作压力很大，他在乎你们的未来，在乎自己能否给你一个温暖幸福的家。他在努力。

D．他碰到一些烦心事，可是他觉得自己一定能搞定，不想让你为他担心，他只是需要一个人安静思考、处理事情的时间和空间。

面对男人的“偏离”，我们可以做的有很多。

1．关心自己的情绪和生活，关注自己的快乐，做一件自己一直想做而没时间做的事情。

2．多和朋友在一起，和她们分享单身生活的美好和自由。

3、告诉你的爱人：亲爱的，我最在乎的是你的感受，你如果不快乐，我会很担心。

4．给爱人一些不经意的关心和意外的惊喜，让他感觉到，最了解他、关心他的人是你。

女人总抱怨对方没有给自己安全感，只是我们恰恰忘了自己给自己安全感。当他偏离你的时候，你还是你，你还能快乐地生活，你还能理性地思考，你还能乐观地面对感情。能给我们快乐的。只有我们自己啊。

所以，如果不牵涉到外遇问题，你的男人有“外心”，说到底，还是一件很正常的事情，它无法动摇我们快乐的生活和对爱的看法，只要我们真心愿意，我们的情绪由我们自己左右。

如果你的男人符合以下这些特征，那么，他大概是有“心事”了。

冷漠：他经常忘记你的所托，不喜欢交谈，表情变得贫乏。

逃避：他不愿讨论将来，高频率加班，经常一个人抽闷烟。

厌烦：你的责怪他不愿意解释，经常说“我要一个人静一静”。

敷衍：每次用的理由都一样，你的任何决定他都没有意见。

忘我：沾枕头就打呼噜，经常答非所问，经常忘记时间，永远有做不完的工作。

殷勤：比任何时候都对你好，而且没理由，以至你觉得自己一下子掉进蜜缸里，经常做一些以前不屑做的“肉麻”事。

性欲：突然减退或高涨，前戏越来越短，半途而废，变得粗暴。

篇7：神外心得

一、引例联想

（2012浙江调研）如图，在圆O中，若弦AB=3，弦AC=5，则AO·BC的值是（）

A. -8B. -1C. 1D. 8

一般解法：取BC的中点D，连接AD，OD，则有OD⊥BC，

AD=12（AB+AC），BC=AC-AB，

AO·BC=（AD+DO）·BC=AD·BC+DO·BC=AD·BC

=12（AB+AC）（AC-AB）=12AC2-12AB2=12（52-32）=8，

所以正确答案选D.

本题求解的关键和难点是向量之间的线性转化，解题的策略是将两个无关联的向量转化为两个目标基向量，通过数量积运算得到结果.

在解法中我们可以发现AO·BC=12AC2-12AB2，而AO·BC=AO·（AC-AB）

=AO·AC-AO·AB，则AO·AC-AO·AB=12AC2-12AB2，于是从结构形式上希望有AO·AB=12AB2，AO·AC=12AC2发生，从而猜想性质：已知O是△ABC外心，则AO·AB=12AB2；AO·AC=12AC2；同理BO·BA=12BA2，BO·BC=12BC2；CO·CA=12CA2，CO·CB=12CB2.

二、性质证明

证明：如图，过O作OD⊥AB于点D，则AD=12AB且AB·DO=0，过O作OE⊥AC于点E，则AE=12AC且AC·EO=0，

AO·AB=（AD-OD）·AB=AD·AB+DO·AB=12AB·AB=12AB2，

同理AO·AC=12AC2；BO·BA=12BA2，BO·BC=12BC2；CO·CA=12CA2，CO·CB=12CB2.

该性质结构对称，记忆方便，而且看到这种结构能立刻条件反射，联想到用该性质，从而启发解题手段，例如引例可联想用性质解法如下：AO·BC=AO·（AC-AB）=AO·AC-AO·AB=12AC2-12AB2=12（52-32）=8，显然方便快捷.

三、应用举例

例1如图，在圆O中，若△ABC是圆O的内接三角形，且AB=4，M是BC边BC的中点，AO·AM=5，则AC=.

解：联想性质AO·AM=AO·12（AB+AC）=12AB·AO+12AC·AO

=14AB2+14AC2，则14×42+14AC2=5，解得AC=2.

评注：原答案提供的解法为：过O作OD⊥AB于点D，则AD=12AB且AB·DO=0，过O作OE⊥AC于点E，则AE=12AC且AC·EO=0，AO·AM=AO·12（AB+AC）=12AB·AO+12AC·AO

=14AB2+14AC2，即14×42+14AC2=5，故AC=2.显然用性质解题方向明确，过程简捷，运算迅速.

例2已知O是△ABC外心，AB=AC，若AO=3mAB-nAC，且9m-3n=4，则cosA=.

解：因为O是△ABC外心，AB=AC，由对称性可知3m=-n又9m-3n=4，

则m=29，从AO=23AB+23AC，联想性质得AO·AB=23AB2+23AC·AB

即12AB2=23AB2+23AC·AB，即12c2=23c2+23c2cosA，故cosA=-14.

评注：原答案采用的是性质证明过程中所用方法，比较繁琐，显然先用对称性求出m，n，再联想性质构造数量积，得到方程，容易达到解题目的.

例3已知O是△ABC外心，AB=2a，AC=2a，∠BAC=120°，若AO=xAB+yAC，则x+y的最小值为.

解：由AO=xAB+yAC，联想性质得

AO·AB=xAB2+yAB·ACAO·AC=xAB·AC+yAC2，

得方程组4a2x-2y=2a2-2x+4ya2=2a2解方程组得x=2a2+13a2y=a2+23，所以x+y=2a2+13a2+a2+23=43+13（a2+1a2）≥43+23a2·1a2=2即当a=1时，x+y取得最小值2.

评注：本题亦可以A为原点，以AC边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，则C（2a，0），B（-a，3a），O（1a，33（2a+1a））.由AO=xAB+yAC，得（1a，33（2a+1a））=（-ax，3ax）+（2ay，0）解得x=23+13a2，y=23+13a2，再利用基本不等式求出答案.而此法先用性质构造构造数量积，得到方程组，解出x，y后再利用基本不等式求解，显然该法解题方向明确，方法固化，容易入手.

四、类题演练

演练1设点O是△ABC三边的垂直平分线的交点，且AC2-2AC+AB2=0，则BC·AO的取值范围是.

解析：由AC2-2AC+AB2=0得AB2=2AC-AC2，则0

演练2已知O是△ABC外心，AB=1，AC=2，且AO=xAB+4-x8AC（x∈R且x≠0），则三角形ABC的边BC长为.

解析：联想性质，将等式AO=xAB+4-x8AC两边同时与AC数量积，得12AC2=xAB·AC+4-x8AC2，即x8AC2=xAB·AC，即x8×22=x·1×2cosA解得cosA=14，再由余弦定理得BC=2，故答案为2.

演练3已知O是锐角△ABC的外心，且∠A=θ，若cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO，则m=（用θ表示）.

解析：联想性质，将等式cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO两边同时与AB数量积，得cosBsinCAB2+cosCsinBAC·AB=2mAO·AB，即cosBsinCc2+cosCsinBbccosA=mc2，即m=cosBsinC+cosCsinB·bccosA=cosBsinC+cosCsinB·sinBsinCcosA=cosB+cosAcosCsinC=-cos（A+C）+cosAcosCsinC=sinAsinCsinC=sinA=sinθ，故答案为sinθ.

由以上几例可知，用三角形外心的这个向量性质解题的本质是构造数量积，将向量等式转化为数量等式，将问题转化到三角形的边.同时题目条件本身就能预示解题方向，启发解题手段，在以后的解题中同学们应多加尝试.

（作者：刘正祥，江苏省阜宁中学）

在近两年的各种高考调研卷、模拟卷中经常出现一类与三角形外心有关的向量问题，解决此类问题一般可分为两种思路：一种是利用平面向量基本定理转化来优化计算，二是通过建立坐标系，用平面向量的坐标来解决.但用思路一有时出现的向量较多，不知怎么转化，解题缺乏方向性；用思路二有时不好建系.本文就针对这类问题提出如何应用三角形外心的一个向量性质来有效、快速破解问题.

一、引例联想

（2012浙江调研）如图，在圆O中，若弦AB=3，弦AC=5，则AO·BC的值是（）

A. -8B. -1C. 1D. 8

一般解法：取BC的中点D，连接AD，OD，则有OD⊥BC，

AD=12（AB+AC），BC=AC-AB，

AO·BC=（AD+DO）·BC=AD·BC+DO·BC=AD·BC

=12（AB+AC）（AC-AB）=12AC2-12AB2=12（52-32）=8，

所以正确答案选D.

本题求解的关键和难点是向量之间的线性转化，解题的策略是将两个无关联的向量转化为两个目标基向量，通过数量积运算得到结果.

在解法中我们可以发现AO·BC=12AC2-12AB2，而AO·BC=AO·（AC-AB）

=AO·AC-AO·AB，则AO·AC-AO·AB=12AC2-12AB2，于是从结构形式上希望有AO·AB=12AB2，AO·AC=12AC2发生，从而猜想性质：已知O是△ABC外心，则AO·AB=12AB2；AO·AC=12AC2；同理BO·BA=12BA2，BO·BC=12BC2；CO·CA=12CA2，CO·CB=12CB2.

二、性质证明

证明：如图，过O作OD⊥AB于点D，则AD=12AB且AB·DO=0，过O作OE⊥AC于点E，则AE=12AC且AC·EO=0，

AO·AB=（AD-OD）·AB=AD·AB+DO·AB=12AB·AB=12AB2，

同理AO·AC=12AC2；BO·BA=12BA2，BO·BC=12BC2；CO·CA=12CA2，CO·CB=12CB2.

该性质结构对称，记忆方便，而且看到这种结构能立刻条件反射，联想到用该性质，从而启发解题手段，例如引例可联想用性质解法如下：AO·BC=AO·（AC-AB）=AO·AC-AO·AB=12AC2-12AB2=12（52-32）=8，显然方便快捷.

三、应用举例

例1如图，在圆O中，若△ABC是圆O的内接三角形，且AB=4，M是BC边BC的中点，AO·AM=5，则AC=.

解：联想性质AO·AM=AO·12（AB+AC）=12AB·AO+12AC·AO

=14AB2+14AC2，则14×42+14AC2=5，解得AC=2.

评注：原答案提供的解法为：过O作OD⊥AB于点D，则AD=12AB且AB·DO=0，过O作OE⊥AC于点E，则AE=12AC且AC·EO=0，AO·AM=AO·12（AB+AC）=12AB·AO+12AC·AO

=14AB2+14AC2，即14×42+14AC2=5，故AC=2.显然用性质解题方向明确，过程简捷，运算迅速.

例2已知O是△ABC外心，AB=AC，若AO=3mAB-nAC，且9m-3n=4，则cosA=.

解：因为O是△ABC外心，AB=AC，由对称性可知3m=-n又9m-3n=4，

则m=29，从AO=23AB+23AC，联想性质得AO·AB=23AB2+23AC·AB

即12AB2=23AB2+23AC·AB，即12c2=23c2+23c2cosA，故cosA=-14.

评注：原答案采用的是性质证明过程中所用方法，比较繁琐，显然先用对称性求出m，n，再联想性质构造数量积，得到方程，容易达到解题目的.

例3已知O是△ABC外心，AB=2a，AC=2a，∠BAC=120°，若AO=xAB+yAC，则x+y的最小值为.

解：由AO=xAB+yAC，联想性质得

AO·AB=xAB2+yAB·ACAO·AC=xAB·AC+yAC2，

得方程组4a2x-2y=2a2-2x+4ya2=2a2解方程组得x=2a2+13a2y=a2+23，所以x+y=2a2+13a2+a2+23=43+13（a2+1a2）≥43+23a2·1a2=2即当a=1时，x+y取得最小值2.

评注：本题亦可以A为原点，以AC边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，则C（2a，0），B（-a，3a），O（1a，33（2a+1a））.由AO=xAB+yAC，得（1a，33（2a+1a））=（-ax，3ax）+（2ay，0）解得x=23+13a2，y=23+13a2，再利用基本不等式求出答案.而此法先用性质构造构造数量积，得到方程组，解出x，y后再利用基本不等式求解，显然该法解题方向明确，方法固化，容易入手.

四、类题演练

演练1设点O是△ABC三边的垂直平分线的交点，且AC2-2AC+AB2=0，则BC·AO的取值范围是.

解析：由AC2-2AC+AB2=0得AB2=2AC-AC2，则0

演练2已知O是△ABC外心，AB=1，AC=2，且AO=xAB+4-x8AC（x∈R且x≠0），则三角形ABC的边BC长为.

解析：联想性质，将等式AO=xAB+4-x8AC两边同时与AC数量积，得12AC2=xAB·AC+4-x8AC2，即x8AC2=xAB·AC，即x8×22=x·1×2cosA解得cosA=14，再由余弦定理得BC=2，故答案为2.

演练3已知O是锐角△ABC的外心，且∠A=θ，若cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO，则m=（用θ表示）.

解析：联想性质，将等式cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO两边同时与AB数量积，得cosBsinCAB2+cosCsinBAC·AB=2mAO·AB，即cosBsinCc2+cosCsinBbccosA=mc2，即m=cosBsinC+cosCsinB·bccosA=cosBsinC+cosCsinB·sinBsinCcosA=cosB+cosAcosCsinC=-cos（A+C）+cosAcosCsinC=sinAsinCsinC=sinA=sinθ，故答案为sinθ.

由以上几例可知，用三角形外心的这个向量性质解题的本质是构造数量积，将向量等式转化为数量等式，将问题转化到三角形的边.同时题目条件本身就能预示解题方向，启发解题手段，在以后的解题中同学们应多加尝试.

（作者：刘正祥，江苏省阜宁中学）

在近两年的各种高考调研卷、模拟卷中经常出现一类与三角形外心有关的向量问题，解决此类问题一般可分为两种思路：一种是利用平面向量基本定理转化来优化计算，二是通过建立坐标系，用平面向量的坐标来解决.但用思路一有时出现的向量较多，不知怎么转化，解题缺乏方向性；用思路二有时不好建系.本文就针对这类问题提出如何应用三角形外心的一个向量性质来有效、快速破解问题.

一、引例联想

（2012浙江调研）如图，在圆O中，若弦AB=3，弦AC=5，则AO·BC的值是（）

A. -8B. -1C. 1D. 8

一般解法：取BC的中点D，连接AD，OD，则有OD⊥BC，

AD=12（AB+AC），BC=AC-AB，

AO·BC=（AD+DO）·BC=AD·BC+DO·BC=AD·BC

=12（AB+AC）（AC-AB）=12AC2-12AB2=12（52-32）=8，

所以正确答案选D.

本题求解的关键和难点是向量之间的线性转化，解题的策略是将两个无关联的向量转化为两个目标基向量，通过数量积运算得到结果.

在解法中我们可以发现AO·BC=12AC2-12AB2，而AO·BC=AO·（AC-AB）

=AO·AC-AO·AB，则AO·AC-AO·AB=12AC2-12AB2，于是从结构形式上希望有AO·AB=12AB2，AO·AC=12AC2发生，从而猜想性质：已知O是△ABC外心，则AO·AB=12AB2；AO·AC=12AC2；同理BO·BA=12BA2，BO·BC=12BC2；CO·CA=12CA2，CO·CB=12CB2.

二、性质证明

证明：如图，过O作OD⊥AB于点D，则AD=12AB且AB·DO=0，过O作OE⊥AC于点E，则AE=12AC且AC·EO=0，

AO·AB=（AD-OD）·AB=AD·AB+DO·AB=12AB·AB=12AB2，

同理AO·AC=12AC2；BO·BA=12BA2，BO·BC=12BC2；CO·CA=12CA2，CO·CB=12CB2.

该性质结构对称，记忆方便，而且看到这种结构能立刻条件反射，联想到用该性质，从而启发解题手段，例如引例可联想用性质解法如下：AO·BC=AO·（AC-AB）=AO·AC-AO·AB=12AC2-12AB2=12（52-32）=8，显然方便快捷.

三、应用举例

例1如图，在圆O中，若△ABC是圆O的内接三角形，且AB=4，M是BC边BC的中点，AO·AM=5，则AC=.

解：联想性质AO·AM=AO·12（AB+AC）=12AB·AO+12AC·AO

=14AB2+14AC2，则14×42+14AC2=5，解得AC=2.

评注：原答案提供的解法为：过O作OD⊥AB于点D，则AD=12AB且AB·DO=0，过O作OE⊥AC于点E，则AE=12AC且AC·EO=0，AO·AM=AO·12（AB+AC）=12AB·AO+12AC·AO

=14AB2+14AC2，即14×42+14AC2=5，故AC=2.显然用性质解题方向明确，过程简捷，运算迅速.

例2已知O是△ABC外心，AB=AC，若AO=3mAB-nAC，且9m-3n=4，则cosA=.

解：因为O是△ABC外心，AB=AC，由对称性可知3m=-n又9m-3n=4，

则m=29，从AO=23AB+23AC，联想性质得AO·AB=23AB2+23AC·AB

即12AB2=23AB2+23AC·AB，即12c2=23c2+23c2cosA，故cosA=-14.

评注：原答案采用的是性质证明过程中所用方法，比较繁琐，显然先用对称性求出m，n，再联想性质构造数量积，得到方程，容易达到解题目的.

例3已知O是△ABC外心，AB=2a，AC=2a，∠BAC=120°，若AO=xAB+yAC，则x+y的最小值为.

解：由AO=xAB+yAC，联想性质得

AO·AB=xAB2+yAB·ACAO·AC=xAB·AC+yAC2，

得方程组4a2x-2y=2a2-2x+4ya2=2a2解方程组得x=2a2+13a2y=a2+23，所以x+y=2a2+13a2+a2+23=43+13（a2+1a2）≥43+23a2·1a2=2即当a=1时，x+y取得最小值2.

评注：本题亦可以A为原点，以AC边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，则C（2a，0），B（-a，3a），O（1a，33（2a+1a））.由AO=xAB+yAC，得（1a，33（2a+1a））=（-ax，3ax）+（2ay，0）解得x=23+13a2，y=23+13a2，再利用基本不等式求出答案.而此法先用性质构造构造数量积，得到方程组，解出x，y后再利用基本不等式求解，显然该法解题方向明确，方法固化，容易入手.

四、类题演练

演练1设点O是△ABC三边的垂直平分线的交点，且AC2-2AC+AB2=0，则BC·AO的取值范围是.

解析：由AC2-2AC+AB2=0得AB2=2AC-AC2，则0

演练2已知O是△ABC外心，AB=1，AC=2，且AO=xAB+4-x8AC（x∈R且x≠0），则三角形ABC的边BC长为.

解析：联想性质，将等式AO=xAB+4-x8AC两边同时与AC数量积，得12AC2=xAB·AC+4-x8AC2，即x8AC2=xAB·AC，即x8×22=x·1×2cosA解得cosA=14，再由余弦定理得BC=2，故答案为2.

演练3已知O是锐角△ABC的外心，且∠A=θ，若cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO，则m=（用θ表示）.

解析：联想性质，将等式cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO两边同时与AB数量积，得cosBsinCAB2+cosCsinBAC·AB=2mAO·AB，即cosBsinCc2+cosCsinBbccosA=mc2，即m=cosBsinC+cosCsinB·bccosA=cosBsinC+cosCsinB·sinBsinCcosA=cosB+cosAcosCsinC=-cos（A+C）+cosAcosCsinC=sinAsinCsinC=sinA=sinθ，故答案为sinθ.

由以上几例可知，用三角形外心的这个向量性质解题的本质是构造数量积，将向量等式转化为数量等式，将问题转化到三角形的边.同时题目条件本身就能预示解题方向，启发解题手段，在以后的解题中同学们应多加尝试.

篇8：神外心得

摘 要：本文修正了中心型圆锥曲线内接三角形外心的一个性质，提出并解决了三个问题。首先分析了以往错误推理的原因，接着修正了中心型圆锥曲线三角形外心的一个性质，在此基础上，探索了具有上述性质的中心型圆锥曲线内接三角形面积最值的存在性。本文的研究对于中心型圆锥曲线的教学有较好的借鉴和指导作用。

关键词：中心型圆锥曲线；椭圆；双曲线；内接三角形

一、提出问题

笔者首先就张敬坤在《数学通讯》期刊中的“圆锥曲线内接三角形外心的一组性质”（以下简称“例文”）进行了研究。例文研究了三种圆锥曲线内接三角形外心的一个性质，并且基于反证法得到了圆锥曲线内接三角形外心的一组结论：

结论1：椭圆内接三角形外心不会与其中心重合。

结论2：双曲线内接三角形外心不会与其中心重合。

结论3：抛物线内接三角形外心不会与其焦点重合。

事实上，经由图形直观地分析以及严格数学论证，我们发现例文给出的结论1和结论2是错误的，仅有结论3是正确的。

本文试图探讨有中心的圆锥曲线，如椭圆和双曲线（以下称中心型圆锥曲线）的内接三角形外心的性质。

我们首先以椭圆为例，通过图形直观分析椭圆内接三角形外心的特征。

设椭圆O：（a>b>O），以椭圆中心O为圆心，以半径a>r>b作圆，则圆O与椭圆必有四个交点A，B，C，D，则上述任意三个点组成的椭圆内接三角形的外心就是椭圆的中心O，如图1所示。易知，△ABC为直角三角形，其外心与椭圆的中心重合。

根据以上事实，本文提出并探讨以下问题：

Q1：对于中心型圆锥曲线，例文看似严密论证的不足之处在哪里？

Q2：中心型圆锥曲线的内接三角形外心与其中心是否能够重合？

Q3：中心型圆锥曲线的内接三角形外心与其中心重合时（下面简称满足（Q2）），内接三角形面积的最大（小）值是否存在？

二、分析问题

1.探究例文的问题所在

我们仔细分析例文后，发现其问题所在：例文在推理中用到△ABC的外心O在△ABC各边的中垂线上，在没有仔细论证的情况下，想当然认为是图2中的情形，认为OD斜率与BC斜率的乘积为-1。事实上，由于O点与D点重合，OD的斜率是不存在的。而例文的证明以OD⊥BC为前提条件，这对于图1情形来说，显然是不妥当的。由此，我们得到问题Q1的结论。

结论1：例文的论证不足之处在于，使用可能不存在的图形来论证，所以得出了错误的结论。

由结论1可得，在探索一个问题时，仅靠直观分析是不够的，还应以严格的推理为基础。

2.探索中心型圆锥曲线的内接三角形外心的性质

实际上，上述四组解刚好对应着图1中的A，B，C，D四个点。任意取3点可以构成一个三角形，记为△ABC，则此△ABC为直角三角形。根据直角三角形的性质有：斜边AC的中点就是△ABC的外心，即O（0，0）。

由上面的分析可知，对于任意一个椭圆来说，一定存在内接三角形，使得该三角形外心与椭圆的中心重合，且该三角形为直角三角形。

需要注意的是，由于b对于双曲线O：（图3），我们同理可得类似的结论：

对于任意一个双曲线来说，一定存在内接三角形，使得该三角形外心与双曲线的中心重合，且该三角形为直角三角形。类似可知，该直角三角形的顶点不能落在双曲线的顶点上。

综上，我们得到中心型圆锥曲线内接三角形外心的性质特征：

结论2：对于任意一个中心型圆锥曲线来说，一定存在内接三角形，使得该三角形外心与这个圆锥曲线椭圆的中心重合，且该三角形为直角三角形。

3.探究满足（Q2）的中心型圆锥曲线内接三角形面积最大（小）值是否存在

因此，当θ=，时有S→∞，故不存在最大值；当θ→∞，π，2π时，S→0，故不存在最小值。综上所述，我们得到下面的结论：

结论3：满足条件（Q2）的中心型圆锥曲线内接三角形中，椭圆内接三角形面积存在最大值ab，不存在最小值（可以无限趋于0）；双曲线内接三角形面积不存在最大值（可以趋于无穷大），也不存在最小值（可以无限趋于0）。

三、结论

本文分析中心型圆锥曲线内接三角形外心的性质，提出并解决了三个问题（Q1，Q2和Q3）。

首先指出例文的错误在于根据一个不存在的图形进行推理（解决了Q1）；其次，我们证明了对于任意一个中心型圆锥曲线，一定存在内接三角形，使得该三角形外心与这个圆锥曲线椭圆的中心重合，且该三角形为直角三角形（解决了Q2）；最后，我们证明了满足条件（Q2）的中心型圆锥曲线内接三角形中，椭圆内接三角形面积存在最大值ab，不存在最小值（可以无限趋于0）；双曲线内接三角形面积不存在最大值（可以趋于无穷大），也不存在最小值（可以无限趋于0）（解决了Q3）。

本文的研究对于中心型圆锥曲线的教与学都具有较好的指导与借鉴意义。

参考文献：

张敬坤.圆锥曲线内接三角形外心的一组性质[J].数学通讯，2009（20）：30-31.