分块矩阵在解题中的灵活应用

1 分块矩阵的性质

定义1:分块矩阵的初等行 (列) 变换是指下列三种变换:

Ⅰ、调换分块矩阵的i, j两行 (列) , 记作[i, j]。

Ⅱ、用一个可逆矩阵P左 (右) 乘分块矩阵的第i行 (列) , 记作[i (P) ]。

Ⅲ、用一个可逆矩阵P左 (右) 乘分块矩阵的第i行 (列) 后加到第j行 (列) , 记作[i (P) +j]。

性质1:分块矩阵是可逆的, 且逆矩阵为分块初等矩阵。

性质2:分块单位矩阵 (即单位矩阵经分块后得到的分块矩阵) 经过一次分块矩阵的初等行 (列) 变换所得到的矩阵仍为分块初等矩阵。

2 分块矩阵在求逆矩阵时的重要应用

定理1:设A、B、C分别是m×m, n×n, n×m矩阵, A、B均可逆, 则

例1:求下式的逆矩阵:

3 分块矩阵在非齐次线性方程组求解时的重要应用

定义2:如果E是一个n阶非奇异阵E= (eij) , i.j=1, 2, 3, ……n, 将E进行分块, , 其中A, B, C, D分别是p×p, q×q, q×p, p×q矩阵, p+q=n, 若B是非奇异阵, 那么一定可以找到一个上三角分块阵, 使得F·, 其中G=A-D B-1 C, 且G是非异阵。

结合定理1及定义2, 用于求解非齐次线性方程组, 就会起到化繁为简、方便快捷的效果。

例2:求解下列非齐次线性方程组:

解:上式可写成矩阵方程为A X=B

摘要：从分块矩阵的性质出发, 说明分块矩阵在高等代数解题中有着重要作用, 结合逆矩阵及非齐次线性方程组的求解予以具体说明。

关键词：分块矩阵,逆矩阵,初等变换,非齐次方程组

参考文献

[1] 张禾瑞.高等代数[M].北京:高等教育出版社, 1999.

[2] 巫永萍.分块矩阵的初等变换在分块矩阵中的应用[J].龙岩师专学报, 2004, 22 (6) .