高一数学 立体几何复习题教学案

高一数学 立体几何复习题教学案（精选6篇）

篇1：高一数学 立体几何复习题教学案

陕西省澄城县寺前中学高一数学教学案：立体几何复习题

1、如图，△A′B′O′为水平放置的△ABO的直观图，由图判断原三角形中AB，BO，BD，OD的大小是（）

A、BO＞AB＞BD＞OD B、AB＞BO＞BD＞OD C、BO＞OD=BD＞AB D、BO＞AB＞BD=OD

2、已知直线a交于一点，则（）

A、面α⊥β

B、α∥β

面α，b

β，c

β，直线a⊥b，直线a⊥c，若b与c相

C、α与β相交或垂直 D、α与β相交或平行

3、若α表示平面，a，b表示直线，给定下列四个命题：①a∥α，a⊥b③a⊥α，a⊥b

b⊥α；②a∥b，a⊥αb∥α④a⊥α，b⊥α

b⊥α；

a∥b。

其中正确命题的序号是___________________。

4、如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点，现有以下结论：

①BC⊥PC； ②OM∥平面APC

③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长 其中正确命题的序号是_____________。

5、在空间四边形ABCD中，AB=AC，DB=DC，则BC与AD的位置关系是_____。

6、已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH∥FG。求证：EH∥BD。

7、如图，已知AB⊥平面BCD，（1）AB与CD是异面直线吗？（2）AB与哪些直线垂直？

（3）若BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？

8、如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F、G分别为AB，PD，PC的中点，求证：AF∥平面PEC。

9、如图，在空间四边形ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB，BD的中点，求证：

A、直线EF∥平面ACD； B、平面EFC⊥平面BCD

篇2：高一数学 立体几何复习题教学案

一、充分认识序言课的重要性，是上好立体几何序言课的前提。

立体几何序言课以课本中的“引言”为主要教学内容，让学生对立体几何这门功课有一个粗略的整体性了解，在学习具体内容之前有一个积极的思想准备。通过序言课的教学，学生明白了立体几何研究的内容及学习立体几何的目的，就能为以后的学习打下一个良好的基础。然而有的老师对序言课却不够重视，把已经十分抽象概括的“引言”进一步抽象概括，开课后草草几句便开始了“平面”的教学。教师急急匆匆，学生稀里糊涂，极易给后继学习带来消极影响。

由此可见，教师在充分认识序言课重要性的前提下，认真组织教学，努力完成序言课的教学任务，对提高立体几何课的教学效益是至关重要的。

二、排除心理障碍，激发学习兴趣，是立体几何序言课的主要任务。

部分学生认为立体几何比平面几何难学，存在畏惧心理；多数学生对能不能学好这门功课信心不足，对怎样学习这门功课心中无数。这种消极心理状态必然会给学习造成消极影响。因此在序言课教学中，应把排除上述心理障碍，激发学生学习立体几何的兴趣作为首先任务。1.尽量引用实例。“引言”中指出，“建造厂房、制造机器、修筑堤坝等，都需要进一步研究空间图形的问题。”为了使学生真正认识到立体几何是一门应用广泛的基础学科，我们在序言课上展示学校教学楼的建筑图纸，学生争相观看，兴趣盎然，并能辨认出：“这就是我们的教学楼！”教者由此指出：“没有立体几何知识，这张图纸是画不出来的。”“同学们能从图纸上看出是我们的教学楼，这说明大家已具有一定的空间想象能力，这正是学习立体几何的基础。有这样好的基础，何愁学不好它？”听到这些鼓励，学生常露出自信的微笑。2.巧用教具、模型。

要求学生自制简单几何体的模型这样在序言课上就可以让学生观看前届学生自制的各种模型。那些自制的模型，有纸质的，有木质的，有用铅丝做的，也有用粘土做的，看颜色，五彩缤纷，望形状，新颖别致。学生看了这些精美的并留有制作者姓名的模型后，赞叹不已，大有“跃跃欲试”之势。

借助模型还可以帮助学生克服学习习近平面图形时产生的思维定势的消极影响。

例如，在黑板上画出图1，不少学生乍一看认为这是一个平面图形，当教师指出这是一个空间图形的直观图时，有的学生认为小平行四边形凹在后面，有的学生认为小平行四边形凸在前面，因而引起了激烈的争论，但很快意见趋于统一：两种情况都可能存在。接着教师出示用硬纸板做的模型，学生观物思图，看图想物，终于形成了强烈的立体感。然后教师在黑板上画出图2和图3，并用模型示范，学生不仅分清了两种不同的情况，更重要的是感受到了学习立体几何新鲜有趣，就能变“要我学”为“我要学”。3.加强知识联系。

立几知识与学生已掌握的平面几何知识有密切的联系。序言课中有目的地加强这种联系有助于消除学生怕学、厌学的心理障碍，增强学好立体几何的信心。

当教师把模型放上讲台时，学生认出模型中的正方体、圆柱体、圆锥体„„教师指出：“这些几何体在小学大家就已经学过，现在学习立体几何，就是要进一步研究这些几何体的性质。”这样学生就会感到立体几何并不陌生。教师还可以问学生：“两条直线相交有几个交点？两个平面相交有几条交线？”用教具演示后学生很快就能掌握。再问：“几个点可以确定一条直线？几个点可以确定一个平面？”学生会不加思索回答：“两个点可以确定一条直线，两个点也可以确定一个平面。”这时教师用两个指头试图将一块硬纸板顶住，但是无论怎样变化位置总不能成功，引得学生一阵哄笑，不少学生也拿出作业本做试验。教师抓住这一时机告诉学生：“立体几何与平面几何有密切的联系，它们研究的对象虽然不同，但研究的方法和研究的内容（性质、画法、计算和应用）基本相同。”这就能使学生认识到学习立几是学习习近平几的自然延续。

三、引导学生探讨如何学好立体几何是序言课教学的落脚点。

有些老师常在序言课上板着面孔提出要“认真听讲，认真做好作业，课前要预习，课后要复习”的要求，这些自学生跨进校门之日起就听惯了的老调，并没有多少效果。我们的做法是让学生自由讨论，各抒己见。因为通过以上活动，学生对立体几何的兴趣被点燃以后，便自然想到：“我们怎样才能学好立几知识呢？经过讨论以后，教师再归纳得出学好立几的主要方法：①加强与平几知识的联系，注意用对比的方法区别异同，掌握实质；②注意对实物、教具和模型的观察和分析，培养空间想象能力；③自己动手制作模型，以加深对立几知识的理解和应用。为了学好第一章，我们要求学生准备好硬纸板三块（代平面用），竹针或铅丝四根（代直线用），在学习中随时进行模型演示，以逐步建立起空间观念。?

篇3：初中数学几何高效复习策略

“九层之台, 起于累土;合包之木, 生于毫末”。学生优良的素质必须根植于“双基”的沃壤之中。因此, 复习工作必须常抓基础知识和基本技能, 紧扣新课程标准进行教学。

在教学中基础知识习题化 (通过做题来一一回顾知识点) , 变“讲练讲”为“练讲练”, 即讲练倒置, 同时变“一法一题”为“见题想法”, 通过这种改变可以变平淡的知识整理为见题想法 (定义、定理和公式等) , 这样既复习了基础知识, 又深化了学生的认识水平, 提高了解题能力, 培养了创新精神, 同时也大大改变了学生那种基础知识背得很熟, 拿到题目不知道从何下手的现象。

二、紧扣条件, 创设问题情境;巩固知识, 寻找解题的突破口

学生要想顺利的解几何综合题, 就必须要找到解题的关键信息。数学综合题是为了充分发展学生的各种能力。因此, 此类题目中往往都要用到各类数学知识点。几何复习教学中高效率的课堂复习尤为重要, 教师通过创设一定的问题情境, 给学生设置一定的思维障碍, 然后把综合的知识点分散成各个小问题来帮助学生突破综合题的难点, 是几何有效复习的有效途径。学生面对新的、带有挑战性的现实的有趣问题, 需要运用数学的意识, 发挥思维的潜能, 深入的钻研、灵活的运用已有的知识和经验进行创造性的学习, 一般都会产生浓厚的兴趣, 但又会感觉对综合题的解题无从下手。几何复习中紧扣条件把知识点化整为散, 来巩固知识, 最后寻找到解题的突破口的教学方法对全面地培养学生的数学综合能力有着非常大的作用。

三、搞好专题复习, 综合运用知识, 培养学生数学能力

1.专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律, 凸显方法规律, 由简单到复杂, 由特殊到一般, 再由一般到特殊。

下面的一组题, 都是以中点为条件构造全等三角形这一根本解题方法来解决问题的;它在近几年的各类考试中出现的频率比较高;例题的选取从学生认为最熟悉、较简单的问题切入, 由简变难。

案例一:学习目标——以中点为条件构造全等三角形。

例1.已知:如图1, AD为△ABC中BC边上的中线, (AB>AC) .

(1) 求证: AB-AC<2AD<AB+AC;

(2) 若AB=8cm, AC=5cm, 求AD的取值范围.

例2.如图2, 已知ΔABC中, AB=AC, E是AB的中点, 延长AB到D, 使BD=BA, 求证:CD=2CE.

例3.如图3, △ABC中, D为BC的中点, ∠EDF=90°, 交AB、AC于E、F两点, 求证:BF+EC>EF.

总结规律, 推广一般。上叙3例, 实际都是以中点为条件构造全等三角形的方法的, 其题干的核心图形部分就是呈中心对称的两个三角形全等这一结论如图4 (虚线部分需要构造) , 从一般到特殊:抛砖引玉, 解决问题。

2.设计专题内容时考虑建立几何模型, 体现思想方法, 让学生驾轻就熟, 化难为易, 化繁为简。

下面以角平分线的性质和判定定理为例, 具体谈建立几何模型在解几何难题中的高效作用。

案例二:学习目标——以角平分线的性质和判定定理为突破口解题

例4.如图 (基本图形) , 四边形ABDC中, 给出三个论断:① AD平分∠BAC, ② ∠BDC+∠BAC=180°, ③ DC=BC, 我们可以得出这三个论断“知二推一”, 即知道任意2个论断都可以推出第三个论断。

“深挖洞, 广积粮”:进一步丰富性质, 若AD平分∠BAC, D是角平分线AD上的任意一点, DE⊥AB, DF⊥AC, , 垂足分别为E、F。则相关结论AB+AC=2AE;AB-AC=2BE ;AB+AC=2AD;cos∠BAD AB - AC=2 BD cos∠ABD;

当图中有关角取特殊角时, 还有更特殊的关于边的结论。比如, 当∠BAC=60°, 90°, 120°时, 分别有有时此图形还会在正方形、圆内接四边形中出现。因此要求学生认识此图形, 并在复杂的图形中分离出此图形, 在证题中快捷运用基础知识证明相关结论。

变形1:变一般四边形为特殊四边形, 如图, 正方形ABCD中, P是对角线 (或其延长线) 上任一点, E为AB上任一点, 连PE, 过P作PF⊥PE, 则PE=PF。同时, 由于对角线BD是角平分线, 根据基本图形, 可得相关结论。如果点E (或F) 与正方形的顶点重合, 还会有基本图形中的所有结论。

变形2:添加外接圆, 四边形ABDC是⊙O的内接四边形, 若D是弧BC的中点, 则此图形完全回到基本图形上来, 丰富的性质也随之而来

变形3:变内角平分线为外角平分线, 如图, △ABC内接于⊙O, 且AB>AC, ①∠BAC的外角平分线交⊙O于E, EF⊥AB, 垂足为F。则②EB=EC, ③BF=AC+AF, 三个论断之间也存在因果关系

变形4:深度运用, 将某些已知条件化“动”为“定”, 化“隐”为“显”。

以原点为圆心作⊙O交坐标轴与A、B、C, D是半圆AC上的一动点, 当D在半圆上运动时, $\frac{DA+DC}{DB}$是否为定值, 若是请求出, 若不是, 请说明理由。

从这里可以看出, 对于模型的把控, 不应当仅限于会用于具有明显模型特征的题目, 对于一些特征并不明显的题目, 要培养学生有能力添加辅助线去挖掘图形当中的隐藏属性。平时只有“深挖洞, 广积粮”, 战时方可有备无患, 胸有成竹。这要求学生对于每一种基本图形的理解要十分深刻, 不仅仅要认识模型, 还要会补全模型, 甚至构造模型来解决问题。

总之, 中考复习给教师提出了更高更多的要求, 要达到理想的复习效果, 教师就必须比平时的教学付出更多的时间和精力, 只有教师站在学科的整体高度上去认真研究教材, 反复推敲, 认真准备, 精心组织, 耐心帮辅, “会当凌绝顶, 一览众山小”。达到“随风潜入夜, 润物细无声”的复习效果。

摘要：初三数学几何总复习阶段, 是教师进行几何教学和学生进行系统学习几何知识的最后阶段。通过新教材总复习, 总结出几点经验:回归课本, 加强“双基”教学, 全面系统复习基础知识;“解题”训练能全面地培养学生的数学综合能力;搞好专题复习, 综合运用知识, 培养学生数学能力。

关键词：数学,中考复习,方法,策略

参考文献

[1]数学学习与研究.东北师范大学出版社, 2010.24.

[2]张英杰.浅谈课堂教学中如何创设高效数学情境.

[3]杨光伟.基于数学理解的课堂教学问题设计与呈现方式.

篇4：高一数学 立体几何复习题教学案

关键词：单元复习课；教学策略；图形与几何。

G623.5

复习课并不只是已有知识的简单呈现，而是把已经学过的知识整理归纳起来，加深对知识的理解，促进知识之间的联系，使之系统化、

结构化，进而提高学生掌握知识的水平。区别于其他类型的数学课，复习课的具体任务就体现在，知识梳理、查漏补缺、构建知识体系、练习巩固、拓展提升。

新常态背景下的小学数学复习课应体现“以学生的发展为本”的理念。在实际教学中，复习课应该是在教材解读、学情分析的基础上进行精心的设计，要充分调动学生复习的主动性与创造性，通过自主学习、积极互动，努力焕发学生在数学复习课堂中的活力。

目前复习课的现状是教学方式过于单一。有不少老师将复习课上成了练习课，要么分析讲解学生平时的错题，安排密度较大的练习；要么独立完成作业后，组织半节课的讨论交流。复习课上需要练习但不应该只是练习。要知道复习課的重要目标是加深对知识的理解，使之系统化，并在此基础上拓展学生思维。

基于以上认识以及对小学数学图形与几何内容的分析，我们在实际教学中逐步总结出“课前忆—课中析—课后思”这样的三段式实施方法。

一、“课前忆”。让学生在课前积极的回忆、整理本单元学习过的内容，梳理知识间的关系，为复习课做好准备。但由于小学生年龄的特点，学习水平的差异，有些学生自主回忆整理知识的过程没有具体的方法，效果也往往不佳。我们可以适当地给学生提供一些方案进行引导，可以是一些有关联的问题，也可以是一些针对重难点的练习题。例如在复习平面图形面积时，就可以让学生参考这样几个问题进行整理：我们学过的平面图形面积计算公式有哪些？这些公式是怎样推导出来的？推导时共同的想法是什么？能否根据这些公式的推导过程，画出它们的关系图。在这样的指导下，学生们课前整理的内容很充实，不少学生能画出一目了然的知识结构图。这样的“课前忆”不仅效果好，也为下一个环节“课中析”提供了丰富的、宝贵的学习资源。

二、“课中析”。在学生课前对知识进行了初步整理的基础上，课堂上针对存在的难点疑点，组织师生之间、生生之间相互讨论分析，查漏补缺，梳理知识间的关系，将知识结构进一步内化。针对学生错误率较高的题目，也可组织学生评判对错，相互交流解释，精心设计一些有侧重点，层层深入的练习题，使学生在练习中进一步强化知识结构。例如在平面图形面积计算部分，学生出错率很高的一个问题就是用错公式，求三角形、梯形面积时忘记“÷2”，这就可以在“课中析”的过程中让学生主动发现错误，分析错误原因，练习纠正。根据学生的情况，在“课中析”的环节中可以安排一些有拓展性的综合性题目，帮助学生系统的理解、辨析知识，提高拓展学生解决问题的能力。

三、“课后思”。在课后应让学生进行反思总结，巩固复习的内容，完善认知体系；结合适当的练习达到对知识的熟练应用，并能举一反三。老师可根据学生课后反馈的情况，检验复习效果，安排后续教学内容。

在教学实践中发现，这样的实施方法适用范围较广。教师也可根据学生所处的年龄特点，复习的内容不同，在三段式实施方法的基础上灵活添加一些辅助形式。

对于中高年级的学生来说，学生的学习自主性较强，逻辑思维能力正处于发展阶段，那么就可以围绕一个主题，呈现一组层层递进的问题串，为复习作导向。一般的做法是，先提出最基本问题；然后变式思考；进一步对比分析，归纳总结。这种方式的最大优点是问题性强，学生学习劲头高，能培养学生的综合能力。例如在复习圆的面积时，可出示这样一组问题串：1.已知圆的半径是2厘米，求圆的面积是多少？2.已知圆的直径是8厘米，求圆的面积是多少？3.已知圆的周长是31.4厘米，求圆的面积是多少？通过思考、分析与总结，学生能更加透彻的理解圆面积的计算方法，应用能力也进一步提高。

低年级的学生，他们的自觉性和意志力薄弱，上课注意力集中时间短，无意注意起主要作用，以形象思维为主。对于图形与几何的知识来说，单纯的知识复习必会令学生感到十分枯燥，教师可以在复习课上巧妙设置问题情境，激发学生的复习兴趣。但需要注意的是，如果创设的情境只是出现在课一开始，引入之后再也不涉及这个情境，这样也无法让学生保持一整节课的热情；如果在复习课的每一个环节、每个练习中都设置不同的情境，不断变化的情境让学生容易让学生感到应接不暇。最好是能巧妙设置一个可以多向展开的统一情境，融合到整节课中，学生会十分专注并且轻松愉快地完成整个复习过程。例如在复习长度单位时，就可以构思一个生活情境，巧妙地把毫米、厘米、分米、米、千米等有关知识都融入到这个情境中。在这样的情境中，教师引导学生一边回顾所学的长度单位，一边将这些长度单位放在在一起比较分析，概括它们之间的联系。有了生活中情境作支撑，学生对知识的理解更具体形象，学生的复习过程也充满快乐。

教无定法，我们应该根据复习课的内容选择适合学生的复习策略，但无论采用怎样的形式，都要认真把握复习课的功能，充分发挥学生的自主性，让学生积极主动地参与复习的整个过程。

参考文献：

[1]杨豫晖主编，《义务教育课程标准（2011年版）案例式解读.小学数学》，教育科学出版社2012年版。

[2]吴正宪主编，《小学数学课堂教学策略》，北京师范大学出版社2010年版。

作者简介：

篇5：高一数学 立体几何复习题教学案

Unit Three (Module III)

I. 重点单词

1. 文明 2. 讲座 3. 爆发 4.不幸地

5. 埋葬 6. 主管,负责人 7. 毁坏,摧毁 8. 富有的

9. 商业的 10. 渐渐地 11. 文化的 12. 机构,研究所

13.材料,物质 14. 文献,文件 15. 木制的 16.解决办法

17.担心的,关心的 18. 市民的 19.爆炸

20. 总统 21.共和国 22. 混乱 23.影响

24.推翻 25.形成 26. 重新统一 27.下沉

28.忠实地,忠诚地

II. 重点词组

1. 赢得这次旅行的一个名额感到很幸运

2. 作为……很出名 3. 被活埋

4 被任命为总指挥 5. 每逢雨天

6. 想像做某事 7. 埋在沙子下面的建筑物遗址

8. 阻止某人做某事 9. 被选为加拿大代表

10. 第一个做某事的人 11. 参与做某事

12. 经过保护的一个妇女尸体

13. 使某事取得极大的成功 14. 使某人发狂

15. 本(不)该做某事 16. 影响…….发展

17. 成立时以长安作为其首都

18. 在使用中 19. 设法做成某事

20. 作为……的回报 21. 在接下来的一年中

22. 经过困难的时期/光 23. 接管

24. 处于良好的状况 25. 在(上)船上(机、车上)

26. 纪念 27. 对……关心/担心

28.到……为止

III. 重点原句(注意划线部分)

1. I feel lucky to have won a place on this trip.

2. Next week we are flying to China, and going to Loulan, which is known as China’s Pompeii.

3. Unfortunately, all the people were buried alive, and so was the city.

4. The city was forgotten for many years until the 18th century.

5. Fiorelli was made director of the Pompeii dig.

6. So you didn’t have to step in the mud in the streets on rainy days!

7. It is believed by many people to have been gradually covered over by sandstorms from AD200…

8. Sven found the remains of buildings buried under the sand.

9. Even that didn’t prevent the city from being buried by sand---What a pity!

10. I was so excited to be picked to represent Canada.

11. In 1980 I was involved in discovering the preserved body of a woman.

12. His work has made the discovery of Loulan a huge success.

13. Not only was Rome a city and a republic, but it was also to become the capital of one of the largest empires in history.

14. The Han Dynasty was founded with Chang’an as its capital city.

15. What is interesting is that the other largest city was Rome.

16. Chinese people managed to travel further, introducing silk, china, etc.

17. In return for silk, China received wine, spices, wool and other goods.

18. In the following hundred years both Rome and China had a difficult time.

【即学即练】

I.单项选择

1. We didn’t expect that Sara was made _____ of the Students’ Union.

A. chairman B. a chairman C. the chairman D. chairmen

2. The noise of the planes taking off and landing time and time again nearly_____ the people around the airport mad.

A. left B. kept C. drove D. caused

3. The visiting guests sent us some of the pictures drawn by the students of theirs schools, and we sent them some of our calligraphy_____.

A. in return B. in turn C. by turn D. for return

4. The general manager has to retire due to his illness. Who do you think will_____ the business?

A. take in B. take up C. take on D. take over

5. Mike woke up to find himself _____ by flowers, which he later found out came from the ______ villages.

A. surrounding; surrounded B. surrounded; surrounding

C. surrounded; surrounded D. surrounding; surrounding

6. We should never forget the days_____ China was invaded and many people were buried_____.

A. when; live B. which; alive

C. when; alive D. which; living

7. The government has taken some measures to prevent more trees from_____.

A. cutting down B. cut down.

C. being cut down D. been cut down

8.Yesterday evening I tried to call you, but I couldn’t get through as the telephone was always in _____.

A. need B. use C. case D. addition

9. Now ______ as a hero for the journey into outer space, Yang Liwei has earned much respect from people all over the world.

A. knowing B. being known

C. known D. having known

10.The government is considering the environment-friendly plan which some scientists would like to see______ soon.

A. to be carried out B. be carried out

C. carrying out D. carried out

11.A cook will be immediately fired if he is found _____ in the kitchen.

A. smoke B. smoking C. to smoke D. smoked

12.The murder was brought in, with his hands _____ behind his back.

A. being tied B. having tied C. to be tied D. tied

13.Either you or the headmaster_____ the prize to these gifted students at the meeting.

A. is handing out B. are to hand out

C. are handing out D. is to hand out

14.One-third of the area _____ covered with green trees. About seventy percent of the trees ______ been planted.

A. are; have B. is; has C. is; have D. are; has

15.Having a trip abroad is certainly good for the old couple, but it remains_____ whether they will enjoy it.

A. to see B. to be seen C. seeing D. seen

II. 单词拼写

1. Many famous buildings such as the Great Wall and the Summer Place can represent the ancient c___________ of China.

2. The garden that was once so beautiful was d___________ in the flood.

3. Since the law of wildlife protection came into effect, the number of the milu deer has grown g_____________ year by year.

4. Manhattan is well known as the c____________ centre of America.

5. He grew up in a w___________ family, so he knows nothing about the life of the poor.

6. Many American p____________ served in Congress before they have the highest political position.

7. The __________(残留物) of lunch were still on the table.

8. He committed the crime under the __________(影响) of a strong passion.

9. The party is in complete ____________(混乱) after its election defeat.

10. There are some _____________(相似处) between the two poets.

11. America ___________( 宣布) war on Japan in 1941.

12._______________(不幸地), Karen got seriously injured in a car accident on her way home.

III. 翻译句子

1.I consider myself______________________________________(很幸运有机会参观印度)

2. __________________________________________(他烟酒不沾), but is still in bad health.

3. 我从公共汽车上下来时，发现钱包被偷了。

When I got off the bus I _________________________.

4.我们能做什么来防止这种疾病的蔓延?

What can we do _______________________?

5.这家图书馆是为了纪念那位科学家而建的。

The library was built _____________________ the scientist

6. Peter 很友好， 作为回报我们给他送了一份漂亮的礼物。

We gave Peter a nice present__________________ his kindness.

Key: I. 1~5 ACADB 6~10 CCBCD 11~15 BDDCB

II. 1 civilization 2 destroyed 3gradually 4 commercial 5 wealthy

6 presidents 7 remains 8 influence 9 confusion 10 similarities

11 declared 12 Unfortunately/Unluckily

篇6：高一数学 立体几何复习题教学案

第二十三讲 几何不等式

平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面积在许多情形下会呈现不等的关系．由于这些不等关系出现在几何问题中，故称之为几何不等式．

在解决这类问题时，我们经常要用到一些教科书中已学过的基本定理，本讲的主要目的是希望大家正确运用这些基本定理，通过几何、三角、代数等解题方法去解决几何不等式问题．这些问题难度较大，在解题中除了运用不等式的性质和已经证明过的不等式外，还需考虑几何图形的特点和性质．

几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式．下面先给出几个基本定理．

定理1 在三角形中，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边．

定理2 同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．

定理3 在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，反之亦然．

定理4 三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶点距离之和．

定理5 自直线l外一点P引直线l的斜线，射影较长的斜线也较长，反之，斜线长的射影也较长．

说明 如图2-135所示．PA，PB是斜线，HA和HB分别是PA和PB在l上的射影，若HA＞HB，则PA＞PB；若PA＞PB，则HA＞HB．事实上，由勾股定理知

PA2-HA2=PH2=PB2-HB2，所以

PA2-PB2=HA2-HB2．

从而定理容易得证．

定理6 在△ABC中，点P是边BC上任意一点，则有

PA≤max｛AB，AC｝，当点P为A或B时等号成立．

说明 max｛AB，AC｝表示AB，AC中的较大者，如图2-136所示，若P在线段BH上，则由于PH≤BH，由上面的定理5知PA≤BA，从而

PA≤max｛AB，AC｝．

同理，若P在线段HC上，同样有PA≤max｛AB，AC｝．

例1 在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明：PB＞PC(图2-137)．

证 在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，由定理3知，∠AMB＞∠AMC，所以∠AMC＜90°．

过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．如果H在线段MC内部，则

BH＞BM=MC＞HC．

如果H在线段MC的延长线上，显然BH＞HC，所以PB＞PC．

例2 已知P是△ABC内任意一点(图2-138)．

(1)求证：

＜a＋b＋c；

(2)若△ABC为正三角形，且边长为1，求证：

PA+PB＋PC＜2．

证(1)由三角形两边之和大于第三边得

PA＋PB＞c，PB＋PC＞a，PC＋PA＞b．把这三个不等式相加，再两边除以2，便得

又由定理4可知

PA＋PB＜a＋b，PB＋PC＜b＋c，PC+PA＜c＋a．

把它们相加，再除以2，便得

PA＋PB＋PC＜a＋b＋c．

所以

(2)过P作DE∥BC交正三角形ABC的边AB，AC于D，E，如图2-138所示．于是

PA＜max｛AD，AE｝＝AD，PB＜BD＋DP，PC＜PE＋EC，所以

PA＋PB＋PC＜AD＋BD＋DP＋PE＋EC

=AB＋AE＋EC=2．

例3 如图2-139．在线段BC同侧作两个三角形ABC和DBC，使得AB=AC，DB＞DC，且AB＋AC=DB＋DC．若AC与BD相交于E，求证：AE＞DE．

证 在DB上取点F，使DF=AC，并连接AF和AD．由已知2DB＞DB+DC

=AB+AC=2AC，所以 DB＞AC．

由于DB＋DC=AB＋AC=2AC，所以

DC＋BF=AC=AB．

在△ABF中，AF＞AB-BF=DC．

在△ADC和△ADF中，AD=AD，AC=DF，AF＞CD．

由定理3，∠1＞∠2，所以

AE＞DE．

例4 设G是正方形ABCD的边DC上一点，连结AG并延长交BC延长线于K，求证：

分析 在不等式两边的线段数不同的情况下，一般是设法构造其所

为边的三角形．

证 如图2-140，在GK上取一点M，使GM=MK，则

在Rt△GCK中，CM是GK边上的中线，所以

∠GCM=∠MGC．

而∠ACG=45°，∠MGC＞∠ACG，于是

∠MGC＞45°，所以

∠ACM=∠ACG＋∠GCM＞90°．

由于在△ACM中∠ACM＞∠AMC，所以AM＞AC．故

例5 如图2-141．设BC是△ABC的最长边，在此三角形内部任选一点O，AO，BO，CO分别交对边于A′，B′，C′．证明：

(1)OA′＋OB′＋OC′＜BC；

(2)OA′＋OB′+OC′≤max｛AA′，BB′，CC′｝．

证(1)过点O作OX，OY分别平行于边AB，AC，交边BC于X，Y点，再过X，Y分别作XS，YT平行于CC′和BB′交AB，AC于S，T．由于△OXY∽△ABC，所以XY是△OXY的最大边，所以

OA′＜max｛OX，OY｝≤XY．

又△BXS∽△BCC′，而BC是△BCC′中的最大边，从而BX也是△BXS中的最大边，而且SXOC′是平行四边形，所以

BX＞XS=OC′．

同理

CY＞OB′．

所以

OA′＋OB′＋OC′＜XY＋BX＋CY=BC．

所以

OA′＋OB′+OC′=x·AA′+y·BB′＋z·CC′

≤(x+y+z)max｛AA′，BB′，CC′｝

=max｛AA′，BB′，CC′｝

下面我们举几个与角有关的不等式问题．

例6 在△ABC中，D是中线AM上一点，若∠DCB＞∠DBC，求证：∠ACB＞∠ABC(图2-142)．

证 在△BCD中，因为∠DCB＞∠DBC，所以BD＞CD．

在△DMB与△DMC中，DM为公共边，BM=MC，并且BD＞CD，由定理3知，∠DMB＞∠DMC．在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且∠AMB＞∠AMC，由定理3知，AB＞AC，所以

∠ACB＞∠ABC．

说明 在证明角的不等式时，常常把角的不等式转换成边的不等式．

证 由于AC＞AB，所以∠B＞∠C．作∠ABD=∠C，如图2

即证BD∠CD．因为△BAD∽△CAB，即 BC＞2BD．

又 CD＞BC-BD，所以

BC＋CD＞2BD＋BC-BD，所以 CD＞BD．

从而命题得证．

例8 在锐角△ABC中，最大的高线AH等于中线BM，求证：∠B＜60°(图2-144)．

证 作MH1⊥BC于H1，由于M是中点，所以

于是在Rt△MH1B中，∠MBH1=30°．

延长BM至N，使得MN=BM，则ABCN为平行四边形．因为AH为最ABC中的最短边，所以

AN=BC＜AB，从而

∠ABN＜∠ANB=∠MBC=30°，∠B=∠ABM+∠MBC＜60°．

下面是一个非常著名的问题——费马点问题．

例9 如图2-145．设O为△ABC内一点，且

∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P为任意一点(不是O)．求证：

PA＋PB+PC＞OA+OB+OC．

证 过△ABC的顶点A，B，C分别引OA，OB，OC的垂线，设这三条垂线的交点为A1，B1，C1(如图2-145)，考虑四边形AOBC1．因为

∠OAC1=∠OBC1=90°，∠AOB=120°，所以∠C1=60°．同理，∠A1=∠B1=60°．所以△A1B1C1为正三角形．

设P到△A1B1C1三边B1C1，C1A1，A1B1的距离分别为ha，hb，hc，且△A1B1C1的边长为a，高为h．由等式

S△A1B1C1=S△PB1C1+S△PC1A1＋S△PA1B1

知

所以 h=ha＋hb＋hc．

这说明正△A1B1C1内任一点P到三边的距离和等于△A1B1C1的高h，这是一个定值，所以

OA＋OB＋OC=h=定值．

显然，PA＋PB＋PC＞P到△A1B1C1三边距离和，所以

PA＋PB＋PC＞h=OA＋OB＋OC．

这就是我们所要证的结论．

由这个结论可知O点具有如下性质：它到三角形三个顶点的距离和小于其他点到三角形顶点的距离和，这个点叫费马点．

练习二十三

1．设D是△ABC中边BC上一点，求证：AD不大于△ABC中的最大边．

2．AM是△ABC的中线，求证：

3．已知△ABC的边BC上有两点D，E，且BD=CE，求证：AB＋AC＞AD＋AE．

4．设△ABC中，∠C＞∠B，BD，CE分别为∠B与∠C的平分线，求证：BD＞CE．

5．在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，求证：

AB+CF≥AC＋BE．

6．在△ABC中，AB＞AC，AD为高，P为AD上的任意一点，求证：

PB-PC＞AB-AC．

7．在等腰△ABC中，AB=AC．

(1)若M是BC的中点，过M任作一直线交AB，AC(或其延长线)于D，E，求证：2AB＜AD+AE．