全等三角形定义与性质

全等三角形定义与性质（通用9篇）

篇1：全等三角形定义与性质

执教老师：xx

教学内容：湘教版数学八年级上册第三单元“全等三角形的性质”

教学目标：

1、在现实情境中，了解全等形的概念及全等三角形的概念及其性质

2、在具体情境中，会使用全等符号“≌”标注两个全等三角形

3、会找出两个全等三角形的对应边和对应角

教学重点：全等三角形的概念及性质

教学难点：找全等三角形对应边和对应角

教学用具：幻灯、全等三角形、剪刀、学具袋

教学过程：

（一）、教学导入

1、问题：在平面内，我们学过哪几种图形的变换？共同的性质是什么？今天我们在它的基础上学习新的内容。

（二）、新授

1、全等形及全等三角形的概念。

A、（幻灯）引出完全重合。

问题：同学们，你能举出生活中完全重合的两个图形的例子吗？

让学生讨论，交流结果，充分肯定学生的思考与发现，教师可列举一些例子。

B、教师归纳

（1）、全等形：能够完全重合的图形。

（2）、全等三角形：能够完全重合的两个三角形。

2、会使用全等符号“≌”标注两个全等三角形和找两全等三角形的对应边和对应角。

A、学生活动：每位同学用剪刀把准备好的全等三角形剪下来，         意见和建议

进一步加深概念的理解。

B、教师活动：将剪好的两个全等三角形贴在黑板上，标上顶点字母。

引出：（1）、△ABC全等于△A′B ′C ′,全等于用“≌”表示，读作“全等于”，记作：△ABC△≌△A′B ′C ′。

（2）、对应顶点：互相重合的顶点。

对应边：互相重合的边。

对应角：互相重合的角。

学生试结合图，在ABC△≌△A′B ′C ′中找出对应顶点、对应边和对应角。

C、师生活动：将叠合的两个三角形其中一块沿任意直线作轴反射，摆出这两个全等三角形不同位置的组合图形，并指出对应元素。

D、(幻灯2)出示习题，学生在练习本上完成，做完后与同学交流，教师查巡学生练习的情况，最后师生归纳找对应角，找对应边的方法。

E、(幻灯3)归纳找对应角、找对应边的方法。

3、全等三角形的性质

A、在各种不同的变换下得到图形中，引导学生发现两个全等三角形的位置发生了变化，但他们的对应边、对应角不变，得出下面两条性质：

性质1：全等三角形对应边相等

性质2：全等三角形对应角相等

B、（幻灯4）找出全等三角形中相等的边与相等的角。

三、巩固练习

教材第71页“练习”

四、总结归纳

1、全等形及全等三角形的基本概念

2、会找全等三角形的对应边与对应角

3、全等三角形的性质

★ 全等三角形教案

★ 全等三角形电子课件

★ 全等三角形的定义

★ 两个三角形全等的条件

★ 三角形的性质教案

★ 三角形中线的性质

篇2：全等三角形定义与性质

复习课的类型很多，但目的都是帮助学生整理和贯通知识。复习课要精讲多练，但又不能把它演变成纯粹的习题课，否则效果甚微，为了能在有限的时间里得到比较有效的复习效果，我们集备组进行了反复的探讨，并结合学生层次和期中复习的综合性，选取从一个简单熟悉的图形出发，通过对它不断地叠加、变形衍生出许多新的问题，而这些问题所反映的知识又是相互联系，体现本章核心结构的，这当然要比给出不同的问题来落实重点知识好得多。另外为了解决抽象思维的不足，我们在课前准备了几何画板动态演示，以便让学生在课堂上能通过直观地观察进行联想，从课堂教学的效果来看，感觉教学设计意图在本次课中基本得到了贯彻，几何画板演示图形的旋转位置变化，不仅加深了学生对动态的理解，而且对动态问题进行静态研究提供了思路。

对一次复习课的探讨和实施过程，让我深切地感受到教师的教学设计意图、预见学生学习的困难情况、课前采取的应对策略、实施教学时对重点和难点的认识等等都直接会影响到一堂课的效果，这些都需要我们在课前进行深入地思考和研讨。

二、教学过程的成功之处：

1、本节课教学上我采用以引导发现法为主，并以讨论法、演示法相结合，以问题导入，循序渐近，由浅入深，从单一到综合，以逐步提高学生的应用能力。

2、多媒体辅助教学既能够直观、生动地反映图形，增加课堂的容量，又有利于突出重点、分散难点，增强了教学条理性，形象性，更好地提高了课堂效率。

3、教学中以多种形式（组合条件、添加条件、作全等三角形、练习等）强化学生对三角形全等判定的理解，并起到了一定的效果。

4、真正关注到中等偏下的学生，课堂中设计的问题有三分之二是针对这一部分学生，并在课堂中也正是让他们表现的。

5、营造了和谐轻松的课堂氛围，通过动手活动、分组交流归纳总结全等三角形的各种常见形式，这个环节的设计调动了学生的积极性，让每一学生都获得了成功的喜悦。

三、教学过程的遗憾之处：

1、题量过大，课堂时间安排较紧，有些问题落实的还不够深入。

2、出示了几道中考题，虽然学生做了，教师讲了，但没有从题目本身往深处挖掘，对中考命题方向进行研究和探索，仅是为做题而做题。

篇3：“全等三角形”中常见错误与分析

下面列举几种常见的解题错误并进行归纳剖析, 希望能引起同学们的注意.

一、“对应”不准确

例1在△ABC和△DEF中, ∠A=30°, ∠B=70°, AC=5cm;∠D=70°, ∠E=80°, DE=5cm.那么△ABC与△DEF全等吗?为什么?

【错解】△ABC与△DEF全等, 证明如下:在△DEF中, 因为∠D=70°, ∠E=80°, 所以∠F=180°-∠D-∠E=180°-70°-80°=30°.在△ABC中, 因为∠A=30°, ∠B=70°, 所以∠A=∠F, ∠B=∠D.又因为AC=5cm, DE=5cm, 所以AC=DE.所以△ABC≌△DEF (AAS)

【剖析】一对相等的对应边, 它们所对应的角不相等, 不符合AAS的两个三角形全等的判定要求, 所以△ABC与△DEF不全等.

二、误用“直观感觉”当条件

例2如图1, 在△ABC中, AD是它的角平分线, BD=CD.DE、DF分别垂直于AB、AC, 垂足为E、F.

求证:BE=CF.

【错证1】

在Rt△BDE和Rt△CDF中,

因为BD=CD, DE=DF,

所以Rt△BDE≌Rt△CDF (HL) ,

所以BE=CF.

【错证2】

因为AD⊥BC,

所以∠ADB=∠ADC=90°,

证明△ABD≌△ACD (SAS) ,

得AB=AC.

再由△AED≌△AFD (AAS) , 得AE=AF.从而得到:BE=CF.

【剖析】错证1中认为DE=DF, 并直接将其作为条件应用, 因而产生错误;错证2中认为AD⊥BC, 没有经过推理加以说明, 因而也产生了错误.产生上述错误的原因是审题不清, 没有根据条件结合图形找到证题依据.正解如下:

在△AED和△AFD中,

所以△AED≌△AFD (AAS) ,

所以DE=DF.

又因为BD=CD,

所以Rt△BDE≌Rt△CDF (HL) ,

所以BE=CF.

三、误用判定方法

例3如图2, 在四边形ABCD中, AB平行且等于CD, 对角线AC与BD相交于点O.AE⊥BD于E, CF⊥BD于F.

求证:AE=CF.

【错证】因为AE⊥BD, CF⊥BD,

所以∠AEO=∠CFO=90°,

所以AE∥CF,

所以∠OAE=∠OCF.

又因为∠AOE=∠COF,

所以△AOE≌△COF,

所以AE=CF.

【剖析】错解由△AOE和△COF的三个角相等而判定它们全等, 根据是不充分的.仅有三个角相等的两个三角形不一定全等.

例4如图3, D是△ABC中BC边上一点, E是AD边上一点.EB=EC, ∠ABE=∠ACE.求证:∠BAE=∠CAE.

【错证】在△AEB和△AEC中:

所以△AEB≌△AEC (SAS)

所以∠BAE=∠CAE.

【剖析】上解错在证两个三角形全等时用了“SSA”来判定, 这是不正确的, 因为有两条边及其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等.

例5如图4, AC⊥BC, DC⊥EC, AC=BC, DC=EC.

求证:∠D=∠E.

【错证】在△ACE和△BCD中,

因为AC⊥BC, DC⊥EC,

所以∠ACB=∠ECD=90°.

又因为AC=BC, DC=EC,

所以△ACE≌△BCD (SAS) ,

所以∠D=∠E.

【剖析】上面的证明中, 错误地应用了“SAS”.∠ACB与∠ECD并不是那一对三角形的内角.

篇4：全等三角形性质才艺展示

1. 三角形的内角和等于180°；

2. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

例1 如图1-1所示，△ABC中，点P是∠ABC和∠ACB平分线的交点.

（1）请探索∠P与∠A之间的数量关系；

（2）如图1-2所示，若点P是∠ABC的外角和∠ACB的外角平分线的交点，判断你在（1）中探索的结论是否还成立.如果不成立，∠P和∠A又有怎样的关系，说明理由.

分析：无论是图1-1，还是图1-2，都有∠P+（∠PBC+∠PCB）=180°. 要探索∠P与∠A之间的数量关系，应考虑将∠PBC+∠PCB转化，看看能否用∠A的代数式表示.

解：（1）∠P=90°+■∠A，理由如下：

∵ 点P是∠ABC和∠ACB平分线的交点，

∴∠PBC=■∠ABC，∠PCB=■∠ACB.

∴ ∠PBC+∠PCB=■（∠ABC+∠ACB）.

∵ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴ ∠PBC+∠PCB=90°-■∠A.

∵ ∠P+（∠PBC+∠PCB）=180°，

∴ ∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=90°+■∠A.

（2）不成立.∠P=90°-■∠A，理由如下：

∵ 点P是∠DBC和∠ECB平分线的交点，

∴ ∠PBC=■（180°-∠ABC），∠PCB=■（180°-∠ACB）.

∴ ∠PBC+∠PCB=180°-■（∠ABC+∠ACB）.

∵ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴ ∠PBC+∠PCB=90°+■∠A.

∵ ∠P+（∠PBC+∠PCB）=180°，

∴ ∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=90°-■∠A.

例2 如图2-1中，AB∥CD，点P在直线BD上运动.

篇5：全等三角形定义与性质

教学过程大致是：

首先，学生自学。

其次，教师多媒体展示教材上的图案以及制作的一些图案，引导学生识图，检测学生自我建构全等三角形概念的情况。

再次，教师演示一个三角形经平移，翻折，旋转后构成的两个三角形全等。通过教具演示让学生体会对应顶点、对应边、对应角的概念，并以找朋友的`形式练指出对应顶点、对应边、对应角，加强对对应元素的熟练程度。此时给出全等三角形的表示方法，提示对应顶点，写在对应的位置，然后再给出用全等符号表示全等三角形练习，加强对知识的巩固，再给出练习判断哪一种表示全等三角形的方法正确，通过对图形及文字语言的综合阅读，由此去理解“对应顶点写在对应的位置上”的含义。

接下来，通过学生对全等三角形观察，得出全等三角形的性质。并通过练习来理解全等三角形的性质并渗透符号语言推理。

最后教师小结，这节课我们知道了什么是全等形、全等三角形，学会了用全等符号表示全等三角形，会用全等三角形的性质解决一些简单的实际问题。

这节课有几点不足：

1、学生动手活动少，应该在课前就要求学生自制一对全等三角形。这样课堂上好操作，学生体验也深刻了，活而不乱，时间上也是可控的。

2、题目变形应该突出全等三角形的性质这一重点，所练习题的综合度和变化还是不够多。

篇6：全等三角形定义与性质

例1: (2013温州) 如图1, 经过原点的抛物线y=-x2+2mx (m>0) 与x轴的另一个交点为A, 过点P (1, m) 作直线PM⊥x轴于点M, 交抛物线于点B, 记点B关于抛物线对称轴的对称点为C (B、C不重合) 。连接CB, CP。

(1) 当m=3时, 求点A的坐标及BC的长;

(2) 当m>1时, 连接CA, 问m为何值时CA⊥CP?

(3) 过点P作PE⊥PC且PE=PC, 问是否存在m, 使得点E落在坐标轴上?若存在, 求出所有满足要求的m的值, 并定出相对应的点E坐标;若不存在, 请说明理由。

分析:

(1) 当m=3时, 将其代入抛物线的解析式, 并令y=0。解方程得到的非0解就是抛物线与x轴的另一交点A的横坐标。然后, 根据抛物线的解析式, 求出抛物线的对称轴方程, 进而即可得出BC的长;

(2) 过点C作CH⊥x轴于点H (如图2) 并连接AC。由于已知CA⊥CP, 直线PM⊥x轴, 可得∠ACP=∠BCH=90°。然后就可以根据已知条件证明△ACH∽△PCB, 进而根据相似的性质得到然后根据已知条件分别用含有m的代数式表示出BC, CH, BP, 并将这些含有m的代数式代入比例式, 计算可得出m的值;

(3) 存在。本题要分两种情况进行分别讨论, (1) 当m>1时, BC=2 (m-1) , PM=m, BP=m-1;

(2) 当0<m<1时, BC=2 (1-m) , PM=m, BP=1-m;最后再求出满足题意的m值和相对应的点E的坐标。

解: (1) 当m=3时, y=-x2+6x

令y=0得, -x2+6x=0

所以A (6, 0)

当x=1时, 代入抛物线解析式得y=5

所以B (1, 5)

(2) 过点C作CH⊥x轴于点H (如图2) 并连接AC。

因为∠ACP=∠BCH=90°, 所以∠ACH=∠PCB

又因为∠AHC=∠PBC=90°, 所以,

∵抛物线y=-x2+2mx的对称轴为直线x=m, 其中m>1,

又∵B, C关于对称轴对称, ∴BC=2 (m-1)

∵点B (1, 2m-1) , 点P (1, m) , ∴BP=m-1

又∵点A (2m, 0) , 点C (2m-1, 2m-1)

∴H (2m-1, 0) , ∴AH=1, CH=2m-1,

(3) ∵B, C不重合, ∴m≠1

(1) 当m>1时, BC=2 (m-1) , PM=m, BP=m-1

(i) 若E点在x轴上 (如图2)

∴根据三角形全等证得△BPC≌△MEP,

∴代入得2 (m-1) =m,

∴可求得m=2, 此时点E的坐标是 (2, 0) ;

(ii) 若点E在y轴上 (如图3) ,

过点P作PN⊥y轴于点N。

此时点E的坐标是 (0, 4) ;

(2) 当0<m<1时, BC=2 (1-m) , PM=m, BP=1-m

(i) 若点E在x轴上 (如图4) ,

∴根据三角形全等证得△BPC≌△MEP,

(ii) 若点E在y轴上 (如图5) ,

过点P作PN⊥y轴于点N,

∴1-m=1, ∴m=0 (舍去) ,

综上所述, 当m=2时, 点E的坐标是 (2, 0) 或 (0, 4) ,

通过例题的分析与解答, 我们对这种问题有了新的认识和了解, 对解决抛物线与相似三角形包括全等三角形问题找到了有效的解题途径, 为今后解决同类问题起到抛砖引玉的作用。

摘要：二次函数的图像抛物线与三角形的结合是代数与平面几何生成的综合性问题的一种重要形式, 这类问题以抛物线为背景, 探索是否存在一些点, 使其构成的某些特殊图形, 如常见的等腰三角形, 等边三角形, 直角三角形, 相似三角形, 全等三角形等这类问题在近几年的中考中占了很大的比例, 常常作为中考的压轴试题。

关键词：中考试题,抛物线,相似 (全等) 三角形

参考文献

[1]2012、2013年中考压轴题最后冲刺分类训练.

篇7：全等三角形定义与性质

（一）地位和作用

本课为湘教版八年级上册第二章第五节《全等三角形》第一课时所教授的内容，在三角形的相关知识中具有重要的地位和作用：它是探究三角形全等条件的基础，是证明线段相等、角相等的重要依据，也是渗透对应思想的重要一课，同时为学生之后学习三角形相似奠定基础，而学生之前已经学习了三角形和图形平移、旋转、翻折的基础知识，因此，该课在有关三角形的知识结构中具有承上启下的作用.

（二）教学目标

1.知识与技能：（1）理解全等图形、全等三角形的概念及全等三角形的表示方法；（2）能熟练找出全等三角形的对应顶点、对应边和对应角；（3）掌握全等三角形的对应边、对应角相等的性质，并能运用该性质进行简单的几何推理.

2.过程与方法：（1）让学生经历观察、猜想、合情说理、归纳总结的过程，获取全等三角形的基础知识；（2）让学生观察、分析图形变换的规律，寻找全等三角形经过图形变换后的对应关系，提高学生的识图能力和简单的几何推理能力，积累数学活动经验.

3.情感态度与价值观：（1）通过引导学生观察图形的平移、旋转、翻折过程，培养其运动观点；（2）通过引导学生观察图形变换及亲自动手操作，发展其空间观念，培养其几何直观；（3）通过组织学生经历观察、分析、交流、讨论的过程，培养其独立思考和团队合作的意识与能力.

（三）教学重难点

1.重点：探究全等三角形的性质，准确辨认全等三角形的对应元素.

2.难点：运用全等三角形的性质进行简单的推理和计算.

二、教学设计

（一）教法选择

本课属于几何类新知课，教法上我们拟采用新知课的四环节教学模式进行设计：第一环节“问题导入”，旨在设疑激趣；第二环节“新知探究”，重点是合情归纳；第三环节“变式应用”，重点是图形变换；第四环节“总结升华”，重点是应用思维导图沟通新旧知识间的联系.

（二）教学内容的考量因素

1.基础性.学习三角形全等，是之后学习三角形相似的基础，因此，在课中渗透对应思想至关重要.

2.关联性.全等三角形与图形变换息息相关，图形变换就是一种全等变换，所以在运用全等三角形解决问题时，常常可以通过图形变换来寻找或构造全等三角形.

3.拓展性.全等三角形是几何图形由线、角的开放图形到封闭图形的过渡，研究范围可拓展到对图形形状、周长、面积的多元探究，因此在教学素材的选取上，我们拟选择平移、旋转、翻折三种图形变换作为变式教学的载体，将全等三角形的概念和性质融合在具体的问题中，通过问题解决培养学生的识图能力和计算说理能力，进而突破教学的重、难点.当然，对于本文所呈现的教学设计，我们还可以根据学情的不同做适当的删减.若学生基础好，整体水平高，可选择梯度大的问题进行教学；若学生基础薄弱，整体水平较低，可选择坡度缓的问题进行教学.变式教学的宗旨是更精确地因材施教，让不同层次的学生都能得到相应的发展.

（三）教学过程

1.问题导入：设疑激趣，操作导入

在“问题导入”环节，让学生观察、猜测老师手中的纸片有几张（看似只有一张，但又似乎不止一张；图片形状如图1所示），使学生的直觉与教师的提问暗示产生冲突，在这似是而非的情境中，学生的探究兴趣被激发，而全等图形“完全重合”的概念已巧妙地隐含在这个猜测游戏中.

问题1：猜猜老师手中的纸片有几张？

2.新知探究：合情说理探究法

在“新知探究”环节设计两个小问.第一小问引导学生从整体角度观察全等图形与全等三角形的特点，使之从中发现两组图形“完全重合”的共性；第二小问引导学生从微观元素观察全等三角形的对应点、对应边、对应角的关系，进而运用“合情说理”进行新知归纳.

问题2：（1）观察老师手中的两组图形（见图2、图3），说说它们有什么共同特点？（2）若老师将图3中的两张图片重叠在一起，请观察这两个三角形，说说它们有哪些对应关系？

★引导学生归纳全等三角形的概念及性质.

（1）全等图形定义.能够完全重合的两个图形叫做全等图形.

（2）全等三角形的概念及性质.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.表示：用符号“”连结，如△ABC△DEF，读作“△ABC全等于△DEF”.点的对应与线的对应分别如图4、图5.全等三角形的性质如图6.

3.变式应用：几何变式中的“图形变换”变式

在这个环节，共设计四个问题，从问题3到问题6.

问题3安排一组根据图形变换设计的变式图，由平移（沿BC边平移，点B的对应点E分别在BC边上、在BC的顶点C处、在BC的延长线上，见图7、图8、图9）→旋转（绕△ABC的顶点A旋转，旋转角分别小于∠BAC、等于∠BAC、大于∠BAC，见图10、图11、图12）→翻折（沿BC边翻折，沿过点B的任意一条直线如BF、BD翻折，分别见图13、图14、图15）；

问题4选取平移变换所得的图7进行问题设计，设计思路是由找对应边、对应角→已知一个角求对应角→已知两个角求其余角→已知一条边求对应边→用字母变式线段的长度（由特殊到一般）→找与BE（平移距离）相等的线段（问题由封闭到开放）；

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问题5选取旋转变换所得的图10进行问题设计，设计思路是由找对应边、对应角→已知一个角求角→已知两个角求角→找与∠1（旋转角）相等的角；

问题6选取轴对称变换所得的图13进行问题设计，设计思路是由找对应相等的线段→找等腰三角形→判定线的位置关系→已知垂线段求面积问题，问题设计由浅入深、层次推进.

设计以上4个问题，旨在引导学生通过观察图形变换，培养识图能力，进一步探究图形在变换过程中蕴含的变化规律和数量关系.

问题3：请同学们运用图形的平移、旋转、翻折规律，分析下列图形分别是经过了怎样的变换得到的.

问题4：如图7，将与△重合的△沿边向右平移至如图所示的位置，指出图中的对应边、对应角.

变式1：若∠A=100°，则∠D=________.

变式2：若∠A=100°，∠B=40°，你能求出图中哪些角？

变式3：若AB=5cm，则DE=_______.

变式4：若BC=acm，将△DEF由点B出发，沿BC平移bcm，你能用a、b的代数式表示哪些线段长度？

变式5：连接AD，图中与BE相等的线段有_______.

问题5：如图10，将与△重合的△绕点旋转至如图所示的位置，指出图中的对应边、对应角.

变式1：若∠B=50°，你能求出哪个角，它的值是多少？_______.

变式2：若∠B=50°，∠C=30°，你能求出图中的哪些角？

变式3：图中与∠1相等的角是_______.

问题6：将与△重合的△沿翻折至如图13所示的位置，并连结，请找出图中对应相等的线段.

变式1：请写出图中所有的等腰三角形.

变式2：试判定AD与BC的位置关系，并说明理由.

变式3：若OA=2cm，BC=5cm，你能求出哪些量？

★经过以上变式应用教学，可引导学生归纳全等三角形性质的以下应用.

（1）全等变换.平移、旋转、轴对称都是全等变换.

（2）对应关系.图形位置：通过图形形状确定对应关系；符号位置：通过字母位置确定对应关系.

（3）数量和位置.平移：对应点的连线相等且平行（或共线）；对应边相等且平行（或共线）；对应角相等.旋转：对应边相等；对应角相等；对应边的夹角等于旋转角.翻折：对应点的连线被对称轴垂直平分；对应边相等；对应角相等.

4.总结升华：思维导图归纳法

在这个环节，用三个小问引导学生回顾本节课的学习内容，沟通新旧知识间的联系，强化图形变换在全等三角形中的应用，在图形变换变式应用中掌握平移、旋转、翻折的特征.

问题7：通过本节课的学习，你掌握了哪些新的知识？这些新知与哪些旧知之间有紧密联系？通过问题解决，你从中收获了什么？

在本环节，我们主要想运用思维导图归纳法（见图16），帮助学生整理整节课的内容框架，归纳出有关线段中隐含的数量与位置关系以及有关角中隐含的数量关系，再以此为基础去研究图形形状和图形面积等问题.

（责编 白聪敏）

篇8：教你证明三角形全等

一般地, 应根据题设并结合图形, 先确定两个三角形已知相等的边或角, 然后按照判定公理或定理, 寻找还缺少的条件。其基本思路是:

1.有两边对应相等, 找夹角对应相等或第三边对应相等, 前者利用SAS判定, 后者利用SSS判定。

2.有两角对应相等, 找夹边对应相等或任一等角的对边对应相等, 前者利用ASA判定, 后者利用AAS判定。

3.有一边和该边的对角对应相等, 找另一角对应相等, 利用AAS判定。

4.有一边和该边的邻角对应相等, 找夹等角的另一边对应相等或另一角对应相等, 前者利用SAS判定, 后者利用AAS或ASA判定。

例1如图1所示, 已知AB=AC, AD=AE, ∠1=∠2.求证:∠B=∠C.

分析:要证明∠B=∠C, 只要证明∠B、∠C分别所在的■ABD和■ACE全等。在这两个三角形中, 有两边对应相等 (AB=AC, AD=AE) , 只要再证明∠BAD=∠CAE或BD=CE即可显然由题设容易证明

证明:由∠1=∠2, 得:∠1+∠BAC=∠2+∠CAB.

在△ABD和△ACE中,

例2如图2所示, 已知∠A=∠B, AE=BF, ∠C=∠D.求证:AC=BD.

分析:要证明AC=BD, 只要证明AC、BD所在的△ACF和△BDE全等。在这两个三角形中, 有两角对应相等 (∠A=∠B, ∠C=∠D) , 只需再证明CF=DE或AF=BE就可。显然, 由题设证明AF=BE更方便。

证明:由AE=BF, 得AE+EF=BF+FE, 即AF=BE.

在■ACF和■BDE中,

例3如图3所示, 已知△ABC中, D、E分别是AB、AC的中点, CF∥AB交DE的延长线于点F.求证:AB=2CF.

分析:要证明AB=2CF, 注意到D是AB的中点 (AB=2AD) , 那么只需证明CF=AD, 即需证明△CFE和△ADE全等。在这两个三角形中, 有一边和该边的邻角对应相等 (CE=AE, ∠CEF=∠AED) , 只需再证明EF=ED或∠1=∠A或∠F=∠2即可显然由题设证明或更方便。

证明:由CF∥AB, 得∠1=∠A.

在△CFE和△ADE中,

∵D是AB的中点, 即AB=2AD,

例4如图4所示, 已知△ABC中, ∠ACB=90°, ∠CBA=45°, E为AC上的一点, 延长BC到点D, 使CD=CE, 求证:BE⊥AD.

分析:要证明BE⊥AD, 需延长BE交AD于F, 证明∠AFE=90°, 即证明∠1+∠2=90°.又∵∠3+∠4=90°, ∠2=∠3, 那么需证明∠1=∠4, 即应考虑∠1、∠4所在的△ACD和△BCE全等。在这两个三角形中, 有一边和该边的邻角对应相等 (CD=CE, ∠ACD=∠BCE=90°) , 只要再证明∠CA=CB或∠D=∠3即可。显然, 证明CA=CB更方便。

证明:延长BE交AD于点F, 由∠ACB=90°, ∠CBA=45°, 得∠CAB=∠CBA=45°, 从而有:CA=CB.

在△ACD和△BCE中,

∴∠1+∠2=90°, 从而有:∠AFE=90°.

篇9：全等三角形的教学策略

策略一: 全等三角形要突出“对应”

在全等三角形中,快速准确地找出对应顶点、对应角、对应边是解决全等三角形相关问题的关键,可从三方面入手.

1. 从全等三角形几何语言书写规则入手. 全等三角形用几何语言表示时,通常要求把表示对应顶点的字母书写在对应的位置上. 依据书写规则,对应位置的字母就是对应顶点的字母,对应位置两个字母所表示的线段就是对应线段. 我们不仅要求学生能这样规范地书写几何语言,而且要让学生能从几何语言中快速准确地判断出全等三角形对应顶点、对应角、对应边.

例1已知△ABD≌△CDB,若AB = 4,AD = 5,BD = 6,∠ABD = 30°,则CB =_____,CD =_____,∠CDB=_____.

分析依据全等三角形几何语言书写规则,△ABD中A,B,D的对应顶点分别为C,D,B,边AB的对应边是CD,边AD对应边是CB,边BD的对应边是DB,∠ABD的对应角是∠CDB,解答自然就解决了.

2. 直观观察法. 依据全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等,对应角相等”,可以得出以下直观判断方法,判断对应顶点、对应角的方法: ( 1) 一对最小的角是对应角,一对最大的角是对应角; ( 2) 有公共角的,公共角是对应角;( 3) 有对顶角的,对顶角是对应角; ( 4) 对应边所对的角是对应角. 对应角的顶点即为对应顶点. 判定对应边的方法为: ( 1) 一对最短的边是对应边,一对最长的边是对应边;( 2) 有公共边的,公共边是对应边; ( 3) 对应角所对的边是对应边.

3. 图形变换法. 全等图形都是通过平移、翻折或旋转变换而得到的,全等三角形也不例外,如果我们能依据图形,找出两全等三角形是通过什么变换而得到的,自然就可以快速准确找出对应顶点、对应角、对应边了. 现以下面三幅图为例说说变换法找对应.

图( 1) 是将△ABC沿AF向下平移而得到△DEF,所以顶点A的对应点是D,顶点B的对应点E,顶点C的对应点是F. 图 ( 2) 是△ABC绕点A顺时针旋转∠BAD而得到△ADE,所以顶点A的对应点是A,顶点B的对应点是D,顶点C的对应点是E. 图( 3) 是将△ABC先左右翻折,再向左平移一定的距离而得到△DFE,所以顶点A的对应点是D,顶点B的对应点是F,顶点C的对应点是E. 有了对应点,对应线段和对应角自然就知道了. 理解了全等三角形是怎样变换而来的,我们就能快速准确地找到对应顶点、对应角、对应边了.

策略二: “学”会三角形全等的直接条件、间接条件以及如何将间接条件转化为直接条件

所谓三角形全等的直接条件就是: 给出的已知条件正好是两三角形对应边或对应角相等,直接用来证明三角形全等就可以了. 而间接条件是指: 给出的已知条件不是两三角形对应边或对应角相等,而是要通过一步、两步或多步推理,转而得到两三角形对应边相等或对应角相等的条件. 间接条件可通过推理转化为证明两三角形全等的直接条件.通过下面例题来区分直接条件与间接条件.

例2如图,∠A = ∠B,∠1 =∠2,EA = EB.

证明: △EAC≌△EBD.

其中∠A = ∠B,EA = EB就是要证两三角形的对应角和对应边,所以是直接条 件; 而∠1,∠2并不是△EAC和△EBD的内角,所以∠1 = ∠2不是直接条件,而是间接条件,但可以通过一步简单推理: 因为∠1 = ∠2,所以∠1 + ∠BEC = ∠2 + ∠BEC,所以∠AEC = ∠BED. 将∠1 =∠2这个间接条件转化为直接条件∠AEC = ∠BED.

在间接条件中,可将间接条件分为简单间接条件和复杂间接条件. 所谓简单间接条件就是跟直接条件联系紧密,往往可通过一步或两步简单推理就能转化为直接条件. 在证三角形全等中,常见的简单间接条件主要有以下几种:

1. 角平分线,角平分线这一间接条件可推导出一对对应角相等

例3已知: 如图,OA平分∠BOC,OB = OC. 求证: AB = AC.

分析因为OA平分∠BOC,所以∠BOA = ∠COA,将角平分线这一间接条件转化为证明三角形全等的直接条件.

2. 中点( 中线)

例4如图,O是AB的中点,∠A = ∠B,△AOC与△BOD全等吗?为什么?

分析因为O是AB的中点,所以OA = OB,将O是AB的中点这一间接条件转化为证明三角形全等的直接条件.

3. 垂直

例5如图,AC⊥AB,BD⊥AB,CE⊥DE,CE = DE. 求证: AC + BD= AB.

分析AC⊥AB,BD⊥AB,可以轻松推导出∠A = ∠B. 将垂直这一间接条件转化为证明三角形全等的直接条件.

4. 同角或等角的余角( 补角) 相等

例6如图,∠ABC = 90°,AB = BC,D为AC上一点,分别过A,C作BD的垂线,垂足分别为E,F. 求证: EF + AE = CF.

分析本题的关键是利用同角的余角相等,因为∠ABC = 90°,CF⊥BD,所以∠ABE + ∠CBE = 90°,∠BCF + ∠CBE = 90°,所以∠ABE =∠BCF. 同角或等角的余角( 补角) 相等这一间接条件需要我们去发现,并能熟练的将其转化为证明三角形全等的直接条件.

5. 共一部分角

例7如图,已知∠BAD = ∠EAC,AB =AE,AC = AD,求证: △ABC≌△ADE.

分析∠BAD和∠EAC并不是△ABC和△ADE的内角,所以不能直接用来证明三角形全等,但仔细观察一下,∠DAC是两三角形内角∠BAC和∠DAE的公共部分,分别将∠BAD和∠EAC加上∠DAC正好转化为两三角形的内角. 因为∠BAD = ∠EAC,所以∠BAD + ∠DAC = ∠EAC + ∠DAC,即: ∠BAC = ∠DAE. 共一部分角这一间接条件转化为直接条件是每名同学必须学会的,解题时常常会遇到.

6. 共一部分边

例8如图,点C,F在AD上,且AF =DC,∠B = ∠E,∠A = ∠D,你能证明AB =DE吗?

分析已知条件中AF与DC显然不是△ABC与△DEF的边,所以AF = DC是间接条件,不能直接运用,观察不难发现FC是线段AF与DC的公共部分,分别将AF和DC减去FC就能得到直接条件AC = DF. 共一部分边这一间接条件转化为直接条件也是每名同学必须学会的,解题时常常会遇到.

7. 两线平行

例9已知: 如图,点E,F在CD上,且CE = DF,AE = BF,AE∥BF.

1求证: △AEC≌△BFD;

2你还能证得其他新的结论吗?

分析AE∥BF跟三角形全等并没有直接关系,所以是间接条件,因为AE∥BF,所以∠AEC = ∠BFD,很快将平行转化为了对应角相等. 两直线平行的三个性质中“两直线平行,内错角相等”和“两直线平行,同位角相等”用得比较多,而“两直线平行,同旁内角互补”在三角形全等中用得比较少.

复杂间接条件指的是与要证的全等三角形没有直接联系,而与其他全等三角形有关,通过证明其他三角形全等,再依据全等三角形的性质来转化为要证的全等三角形对应边或对应角相等.

策略三: “做”好三角形全等的基本图形的研究与隐含条件挖掘

由于全等三角形都是通过平移、翻折或旋转变换而得到的,知道全等三角形的变换过程和基本图形,对我们解题是大有裨益的. 尤其要让学生理解基本图形( 图形很多,有代表性的为基本图形) 中隐含的条件. 这些隐含条件往往是解题的关键所在.

1. 共边型全等三角形

共边型全等三角形有两个基本图形,如图 ( 1) 、图( 2) ,图( 1) 是将△ABC左右翻折而得到,两三角形在公共边BC的同一侧,图( 2) 是将

△ABC旋转后再平移而得到,两三角形在公共边AC的两侧,无论是图( 1) 还是图( 2) ,共边型全等三角形隐含的条件是公共边相等. 即图( 1) 中BC = BC,图( 2) 中AC = AC.

2. 共一部分边型全等三角形

共一部分 边型全等三角形主要也是两个基本图形,图( 3) 是分离型,给出的已知条件往往是CE = FB,我们一定要快速推导出EF = BC; 图( 4) 是重叠型,给出的已知条件往往是AE = CF,我们也要快速推导出AF = CE. 这些隐含条件往往是解题的关键所在.

3. 共角型全等三角形

如图( 5) 就是共角型全等三角形的基本图形,△AEC可由△AFB翻折得到,共角型全等三角形隐含的条件是∠A = ∠A.

4. 共一部分角型全等三角形

共一部分角型全等三角形主要也有两个基本图形,部分重叠型 ( 如图( 6) ) 和分离型( 如图( 7) ) ,在图( 6)中,有两种给已知条件的方式,一是已知∠BAD = ∠EAC,我们要快 速推出∠BAC = ∠EAD; 二是反过来已知∠BAC = ∠EAD,我们也能快速推出∠BAD = ∠EAC. 对于图( 7) 我们也有类似的结论.

5. 对顶角型全等三角形

对顶角型全等三角形是比较简单的,隐含的条 件就是对 顶角相等,即∠AOB = ∠COD.