动点问题与全等三角形

动点问题与全等三角形（精选7篇）

篇1：动点问题与全等三角形

全等三角形动点问题专练

班级：

姓名：

1.已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。

（1）试猜想线段AC与CE的位置关系，并证明你的结论.（2）若将CD沿CB方向平移至图2情形，其余条件不变, 结论AC1⊥C2E还成立吗?请说明理由。

（3）若将CD沿CB方向平移至图3情形，其余条件不变, 结论AC1⊥C2E还成立吗?请说明理由。

AEBCD 图1

AAEEFFBC2C1DC2BC1D

图2 图3 1 / 4

2.如图所示，有一直角三角形△ABC，∠C=900，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动，问P点运动到AC上什么位置时，△ABC才能和△APQ全等？

MQBDCA

3.在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ，CP；

（1）如图1，试说明BQ=CP；（2）若将点P在△ABC外，如图2，其它条件不变，结论依然成立吗？试说明理由。

AQAPPQPBC

BC

/ 4

4.如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN.（1）延长MP交CN于点E（如图2），①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PMPN；（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变.此时PMPN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断PMPN还成立吗？不必说明理由.图1

图2

/ 4

图3

5.在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问：

（1）如图1，在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE=60°；

（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确？

EAAADEDBCFBCEBCDQ

图1

图2

图3

/ 4

篇2：动点问题与全等三角形

辅导班级或学生：辅导时间：周学科：

证明

（一）证明：根据已知的定义、基本事实、定理（包过推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。外角：由△ABC的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角

外角定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

证明几何命题时，表达格式是：首先按题意画出图形，分清命题的条件和结论，结合图形，在‘已知’中写出条件，在‘求证’中写出结论，然后在‘证明’中写出推理过程（添加辅助线要写入证明中）

例题1：证明命题：三角形不共顶点的三个外角的和等于360°

A

2：已知，如图，∠B+∠C+∠D=360°，求证：AB//DE

C

E

3:已知：如图,BC垂直AC于点C，CD垂直AB于点D，∠EBC=∠A，求证：BE//CD

4.命题‘若n是自然数，则代数式(3n+1)(3n+2)+1的值是3的倍数’是真命题还是假命题？如果你认为是假命题，请说明理由；然后认为是真命题，给出证明。

5.如图，在Rt△ABC中, ∠C＝90°，∠A＝30°（1）以直角边AC所在的直线为对称轴，将Rt△ABC作轴对称变换，请在原图上作出变换所得的像。（2）Rt△ABC和它的像组成了什么图形？最准确的判断是（）

（3）利用上面的图形，你能找出直角边BC与斜边AB的数量关系吗？并请说明理由。

全等三角形及判定

（一）能完全的重合的图形称为全等图形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个全等三角形重合时（1）能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点；互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角；‘全等’可用符号‘≌’来表示，如△ABC和△DEF全等，记做‘△ABC≌△DEF’，读做三角形ABC全等于三角形DEF

1．能够完全重合的两个图形叫做

全等图形的特征：全等图形的和都相同． 2．全等三角形.两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

（二）、全等三角形的对应元素及表示

1．平移翻折旋转

A

D

A

BC

B

C

甲

EF

乙

D

D

B

丙

E

C

启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，变化了，•但、都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略． 2．全等三角形的对应元素（说一说）

（1）对应顶点（三个）——重合的（2）对应边（三条）——重合的（3）对应角（三个）——重合的3．寻找对应元素的规律

（1）有公共边的，公共边是；（2）有公共角的，公共角是；（3）有对顶角的，对顶角是；

（4）在两个全等三角形中，最长边对应最长边，最短边对应最短边；最大角对应最大角，最小角对应最小角．

简单记为：（1）大边对应大边，大角对应;

(2)公共边是对应边，公共角是4．“全等”用“”表示，读作“

如图甲记作：△ABC≌△DEF读作：△ABC全等于△DEF 如图乙记作：读作：如图丙记作：读作：

注意：两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．

（三）、全等三角形的性质

课堂探究

活动一：观察下列各组的两个全等三角形，并回答问题：

A

BDB

E E

BCE第（1）题图第（4）题图

B

DB

D

EC

4．如图：△ABC≌△DBF，找出图中的对应边，对应角．

B答：∠B的对应角是，∠C的对应角是，∠BAC的对应角是；DAB的对应边是，AC的对应边是，BC的对应边是 A

5．如下图，ABC≌CDA，并且BCAD，则下列结论错误的是（）

A．12B．ABCDC．BDD．ACDC

6．如下图，ABC≌BAD，若AB6，AC4，BC5，则AD的长为（）

C

A．4B．5C．6D．以上都不对

7．如下图，直角△ABC沿直角边BC所在直线向右平移得到DEF，下列结论错误的是（）A．ABC≌DEFB．DEF90C．ACDFD．ECCF 8．在ABC中，BC，与ABC全等的三角形有一个角为100，则ABC中与这个100角对应相等的角是（A．AB．BC．CD．B或C

篇3：动点问题与全等三角形

例1、 (2012年苏州市改装) 如图1, 已知抛物线 (b是实数且b>2)

与x轴的正半轴分别交于点A、B (点A位于点B是左侧) , 与y轴的正半轴交于点C.

请你探索在第一象限内是否存在点Q, 使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似 (全等可看作相似的特殊情况) ?如果存在, 求出点Q的坐标;如果不存在, 请说明理由.

解法探究:

(1) 如图2, 以OA、OC为邻边构造矩形OAQC, 那么△OQC≌△QOA.

(2) 如图3, 以OC为直径的圆与直线x=1交于点Q, 那么∠OQC=90°.

因此△OCQ∽△QOA.

二、因动点探究等腰三角形

(2012年扬州市改装) 如图1, 抛物线y=-x2+2x+3.与坐标轴交于A、B、C三点, 直线l是抛物线的对称轴.在直线l上是否存在点M, 使△MAC为等腰三角形, 若存在, 求出点M的坐标;若不存在, 请说明理由.

解法探究:

设点M的坐标为 (1, m) .在△MAC中, AC2=10, MC2=1+ (m-3) 2, MA2=4+m2.

(1) 如图2, 当MA=MC时, MA2=MC2.解方程4+m2=1+ (m-3) 2, 得m=1.

此时点M的坐标为 (1, 1) .

(2) 如图3, 当AM=AC时, AM2=AC2.解方程4+m2=10, 得 .

此时点M的坐标为 .

(3) 如图4, 当CM=CA时, CM2=CA2.解方程1+ (m-3) 2=10, 得m=0或6.

当M (1, 6) 时, M、A、C三点共线, 所以此时符合条件的点M的坐标为 (1, 0) .

综上, 满足条件点M的坐标为

三、因动点探究直角三角形

例3、 (12年广州市中考改装) 如图, 抛物线 与x轴交于A、B两点 (点A在点B的左侧) , 与y轴交于点C.若直线l过点E (4, 0) , M为直线l上的动点, 当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有.且.只.有.三个时, 求直线l的解析式.

解法探究:

过点A、B分别作x轴的垂线, 这两条垂线与直线l总是有交点的, 即2个点M.以AB为直径的⊙G如果与直线l相交, 那么就有2个点M;如果圆与直线l相切, 就只1个点M.

联结GM, 那么GM⊥l.

在Rt△EGM中, GM=3, GE=5, 所以EM=4.

所以点M1的坐标为 (-4, 6) , 过M1、E的直线l为

根据对称性, 直线l还可以是

四、因动点探究三角形周长及面积的最值

例4、 (2011惠安改装) 如图, 已知抛物线y=-x2-2x+3;与坐标轴交于A, B, C三点, 其顶点为D, 对称轴是直线l, l与x轴交于点H.

(1) 若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点, 求△PBC周长的最小值;

(2) 若E是线段AD上的一个动点 (E与A、D不重合) , 过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F, 交x轴于点G, 设点E的横坐标为m, △ADF的面积为S.

(1) 求S与m的函数关系式;

(2) S是否存在最大值?若存在, 求出最大值及此时点E的坐标;若不存在, 请说明理由.

解法探究:

(1) ∵△PBC的周长为:PB+PC+BC

∵BC是定值, ∴当PB+PC最小时, △PBC的周长最小,

∵点A、点B关于对称轴I对称,

∴连接AC交l于点P, 即点P为所求的点∵AP=BP

∴△PBC的周长最小是:PB+PC+BC=AC+BC

∵A (-3, 0) , B (1, 0) , C (0, 3) ,

∴ ;故△PBC周长的最小值为 .

(2) (1) ∵抛物线y=-x2-2x+3顶点D的坐标为 (-1, 4) ∵A (-3, 0)

∴直线AD的解析式为y=2x+6∵点E的横坐标为m,

(2) S=-m2-4m-3=- (m+2) 2+1;∴当m=-2时, S最大, 最大值为1

此时点E的坐标为 (-2, 3) .

以上都是以抛物线为载体的代数几何综合题, 综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、配方法等数学方法;考查了代数计算能力、几何空间想象能力、函数与方程思想、数形结合思想、转化化归思想、分类讨论思想等综合运用.因此在学习过程中不能仅仅停留对知识的理解及掌握, 要形成解题技能及提高能力, 更要进行归纳总结形成数学方法、思想.

摘要：与二次函数为背景的中考综合题是热点题型, 且灵活多变, 与三角形相结合既熟悉又重要。经常从三角形的形状、关系及最值加于考查.

关键词：二次函数,动点,探究,相似三角形,等腰三角形,直角三角形.

参考文献

《数学新课程标准》商务印书馆

《2012年挑战中考数学》马学斌等华东师范大学出版社

《2010全国中考数学考试评价报告》华东师范大学出版社

篇4：动点问题与全等三角形

全等三角形中的探索题，是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的问题.由于这类问题的知识覆盖面大，综合性强，方法灵活，再加上题意新颖，要求同学们必须具有扎实的基础知识和较强的数学能力，才能顺利解题.

一、条件探索型

条件探索型题，是指给出问题的结论，但没有给出或部分给出题目的条件，要求给出或补充使问题结论成立的条件.解这类题采取的策略是执果索因，首先要从结论出发，考虑结论成立时所要满足的条件，从而得到答案.

例1 如图1所示，已知CE⊥AB，DF⊥AB，点E、F分别为垂足，且AC∥BD.请补充一个条件，使这两个三角形全等，并给出证明.

图1

分析： 根据三角形全等的定义及判定，可知题中没有对应边相等，因此可补充一组对应边相等.

解：补充一个条件：AC=BD（或AE=BF或CE=DF或AF=BE），可使△CEA≌△BDF.下面以AC=BD为例证明如下：

因为CE⊥AB， DF⊥AB，

所以∠CEA=∠DFB=90°.

因为AC∥BD，所以∠A=∠B.

又因为AC=BD，

所以△ACE≌△BDF（AAS）.

评注：解条件探索型的问题，采用的是“逆向思维”的方法，解此类问题需要同学们有扎实的基本功及灵活处理问题的能力.

二、结论探索型

结论探索型题，这类问题的基本特征是给出条件而无结论或结论的正确与否需要确定.解这类问题通常先假定其结论存在，再进行计算、推理，若能推导出符合条件的结论，则表示结论存在；若推出矛盾的结果，则结论就不存在.

例2 用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A逆时针方向旋转.

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时，如图2-1所示，通过观察或测量BE、CF的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论；

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时，如图2-2所示，你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.

分析： （1）根据题意可得△ABE≌△ACF，因此BE=CF；（2）可用理由（1）的方法证明.

解：（1）BE=CF.

证明：在△ABE和△ACF中，

因为∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，

所以∠BAE=∠CAF.

因为AB=AC，∠B=∠ACF=60°，

所以△ABE≌△ACF（ASA）.所以BE=CF.

（2）BE=CF仍然成立.

根据三角形全等的判定定理，同样可以证明△ABE≌△ACF.BE和CF是它们的对应边，所以BE=CF.

评注： 本题要求在三角尺的位置变化中，悟出其内在的变化规律，作出猜想并加以证明，对思维能力要求较高，突出了对探索、归纳、推理能力的考查.

三、规律探索型

规律探索型题是指在一定条件下，需探索发现有关对象所具有的规律性或不变性的问题，其解决问题的方法是通过观察、归纳、类比、分析等思维方法，概括出具有一般性的规律或结论，然后给出证明.

例3 如图3-1，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN.

探究：（1）线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明.

（2）若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其他条件不变，再探索线段BM、MN、NC之间的关系.在图3-2中画出图形，并说明理由.

图3-2

分析：（1）根据题意，分析、观察，寻找三者的等量关系，可得BM+NC=MN.

（2）根据题意，可以把点M、N特殊化，探讨BM、MN、NC之间的关系.

解：（1）BM+CN=MN.

证明：如图3-1所示，延长AC至M1，使CM1=BM，连接DM1.

因为∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，

所以∠ABD=∠ACD=∠DCM1=90°.

因为BD=CD，

所以Rt△BDM≌Rt△CDM1.

所以∠MDB=∠CDM1，DM=DM1.

所以∠MDM1=（120°-∠MDB）+∠CDM1=120°.

又因为∠MDN=60°，所以∠M1DN=∠MDN=60°.又DN=ND，所以△MDN≌△M1DN.所以MN=NM1=NC+CM1=BM+NC.

（2）NC-BM=MN.

证明：如图3-2所示，在CN上截取CM1=BM，连接DM1.

因为∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°.

所以∠DBM=∠DCM1=90°.

因为BD=CD，

所以Rt△BDM≌Rt△CDM1.

所以∠BDM=∠CDM1，DM=DM1.

因为∠BDM+∠BDN=60°，

所以∠CDM1+∠BDN=60°.

所以∠M1DN=∠BDC-（∠CDM1+∠BDN）=120°-60°=60°.

所以∠M1DN=∠MDN.

因为ND=ND，所以△MDN≌△M1DN.

所以MN=NM1=NC-CM1=NC-BM.

评注：解规律探索型题，可以根据题意把问题特殊化，得到结论后，再证明结果的正确性.当然，这样得到的结果也有可能是错误的.另外，本题中的问题（1）是为问题（2）作铺垫，提供解题的方向，而探索、猜想、得出结论才是题目的重点和难点.因此，要正确地审题、分析、归纳，然后探索出结果.

四、存在探索型

存在探索型题，一般是在确定的条件下判断某个数学对象是否存在.解决这类问题的策略是先假设需要探索的对象存在，从条件和假设出发进行运算、推理，若出现矛盾，则否定存在；如果不出现矛盾，则肯定存在.

例4 如图4所示，DE是△ABC的中位线，AF∥BC，在射线AF上是否存在点G使△EGA与△ADE全等？若存在，请先确定点G，再证明这两个三角形全等；若不存在，请说明理由.

分析：由于DE是△ABC的中位线，可得∠EAG=∠AED.过点E作AB的平行线，交AF于点G，可得∠AEG=∠EAD.从而可得△EGA≌△ADE.

解：存在.

过点E作AB的平行线，交AF于点G.

因为DE是△ABC的中位线，

所以DE∥BC.

又因为AF∥BC，所以DE∥AF.

所以∠EAG=∠AED.

因为EG∥AB，所以∠AEG=∠EAD.

又因为AE=AE，所以△EGA≌△ADE.

篇5：动点问题与全等三角形

问题1有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等吗?

解法甲认为,两边一夹角,既“边角边”可证两三角形全等.

乙认为,两边一对角,既“边边角”不可证两三角形全等.

综上,似乎甲乙说法各有道理,争论的关键是“两边一角”中的“一角”是两边的夹角还是一边的对角,题中未加说明,因此是错误的.我们知道,两边分别对应相等的两个三角形不一定全等,那么在什么情况下,它们会全等呢?

采用分类讨论法:

①若这两个三角形均为直角三角形,显然它们全等.(HL)

②若这两个三角形均为锐角三角形,可证它们全等.

③若这两个三角形均为钝角三角形,它们也全等.

先证明②,证法如下:

已知:如图,△ABC,△A1B1C1均为锐角三角形,AB=A1B1,BC=B1C1,∠C=∠C1.求证:△ABC≌△A1B1C1.

证明分别过点B,B1作BD⊥CA于点D,B1D1⊥C1A1于点D1.

则∠BDC=∠B1D1C1=90°,

∴△BCD≌△B1C1D1,

∴BD=B1D1.

∵AB=A1B1,

∴Rt△BDA≌Rt△B1D1A1(HL).

∴∠A=∠A1.

又∵∠C=∠C1,BC=B1C1,

∴△ABC≌△A1B1C1(AAS)

同理可证③(过程略).

其实我们可以借助尺规作图加以直观解释.

例如图1中,

已知AB=AB,AC=AD,∠B=∠B.而△ABC不全等于△ABD.理由很明显,前者为钝角三角形,后者为锐角三角形.特别指出,当AC,AD均与BD上的高AH重合时,Rt△ABC≌Rt△ABD(HL).综上边边角(SSA)不能证明两三角形全等,其中渗透了分类的数学思想.

二、问题应用

问题2为了绿化校园,学校准备在一三角形空地上种植草皮,已知该三角形空地两边长为15米、13米,第三边上的高为12米,您能计算出这块空地的面积吗?

分析该题缺少图形,因此三角形的形状具有不确定性,对学生的数学建模提出了更高的要求.

甲同学:如图2,

乙同学:如图3,

探究甲的解法具有普遍性,大多数学生由于思维定式,认为高一般都在三角形(锐角三角形)的内部,于是得面积为84平方米;乙的解法通常不易想到,高在三角形(钝角三角形)的外部,往往被忽视,于是得面积为24平方米.

提炼参见图1,问题1中∠B相等,所以AH不变;反之问题2中,AH不变,则也可以推出∠B相等.因此问题2是“两边一对角”的应用,故渗透了分类的思想.

三、结束语

在三角形全等中“两边一角”先要分类,“边边角”通常不能证明三角形全等,“对应”两字不可少.在对学生解题过程的反思与分析中,蕴藏着巨大的命题效益和解题效益.通过对学生的解题错误和解题方法的分析,不仅可以得到更成熟的解法,而且可能会找到问题的来源并发散该问题,使学生更深更牢地掌握及运用.

摘要：苏科版初中数学八年级上册第一章全等三角形中第三节——三角形的全等的条件.在三角形的全等证明中一般有“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”四种证法,特别在直角三角形中还有“HL”证法.本文从学生在两边一角中易错题入手,并加以辩证统一,再讲了其应用,最后加以变式和发散,文中一直贯穿分类讨论法.

篇6：“全等三角形”测试卷

1. 如图,△ABC≌△DEF,AC∥DF,则∠C的对应角为( ).

A. ∠F B. ∠AGE C. ∠AEF D. ∠D

2. 如图所示,AB∥CD,AD⊥DC,AE⊥BC交BC于E,∠DAC=35°,AD=AE,则∠B等于( ).

A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°

3. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图,则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是 ( ).

A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS

4. 下列各组条件中,能判定△ABC≌△DEF的是( ).

A. AB=DE,BC=EF,∠A=∠D

B. ∠A=∠D,∠C=∠F,AC=EF

C. AB=DE,BC=EF,△ABC的周长=△DEF的周长

D. ∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F

5. 下列结论错误的是( ).

A. 全等三角形对应边上的高相等

B. 全等三角形对应边上的中线相等

C. 两个直角三角形中,斜边和一个锐角对应相等,则这两个三角形全等

D. 两个直角三角形中,两个锐角相等,则这两个三角形全等

6. 要测量河两岸相对的两点A、B的距离,先在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A、C、E在同一条直线上,如图,可以得到△EDC≌△ABC,所以ED=AB, 因此测得ED的长就是AB的长,判定的理由是( ).

A. SAS B. ASA

C. SSS D. HL

二、填空题(每小题4分,共20分)

7. 撑上支撑后的自行车能稳稳地停在地上,是因为三角形具有 ________ 性.

8. 如图,DE⊥AB,DF⊥AC,AE=AF,请找出一对全等的三角形:________.

9. 如图,AD、A′D′分别是锐角三角形ABC和锐角三角形A′B′C′中BC、B′C′边上的高,且AB=A′B′、AD=A′D′.若使△ABC≌△A′B′C′,请你补充条件 _______.(填写一个你认为适当的条件即可)

10. 如图,幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子(BC=EF),左边滑梯的高度AC等于右边滑梯水平方向的长度DF,则∠ABC+ ∠DFE=_______°.

11. 如图所示,点P是△ABC内一点,PD⊥BC于点D,PE⊥AC于点E,PF⊥AB于点F,PD=PE=PF.若∠A=70°,∠BPC=_______.

三、解答或证明(本大题共56分)

12.(6分)如图,已知AB=AD,BC=DC,AC、BD相交于点E,由这些条件写出4个你认为正确的结论(不再添辅助线,不再标注其他字母).

13.(7分)如图,AB=DC,AC=DB,求证:AB∥CD.

14.(7分)如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠1=∠2.

求证:AD⊥BC,BD=DC.

15.(7分)如图,已知BE⊥AD,CF⊥AD,且BE=CF.请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线?请说明你判断的理由.

16.(8分)如图,太阳光线AC与A′C′是平行的,同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗?说说你的理由.

17.(9分)(1)如图1,A,B,C,D在同一直线上,AB=CD,DE∥AF,且DE=AF,求证: △AFC≌△DEB.

(2)如果将BD沿着AD边的方向平行移动,如图2,如图3时,其余条件不变,结论是否成立?如果成立,请予以证明;如果不成立,请说明理由.

18.(10分)已知△ABC中,AB=AC,D、E是BC边上的点,将△ABD绕点A旋转,得到△ACD′,连结D′E.

(1)如图1,当∠BAC=120°,∠DAE=60°时,求证:DE=D′E.

(2)如图2,当DE=D′E时,∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系?请写出,并说明理由.

参考答案

1. A 2. C 3. A 4. C 5. D 6. B 7. 稳定.

8. Rt△ADE≌Rt△ADF;解析:由题意,可得AE=AF,∠AED=∠AFD=90°,结合AD= AD可以得到Rt△ADE≌Rt△ADF.

9. BC=B′C′(答案不唯一);解析:这是一道开放性问题.

10. 90° 11. 125°

12. 答案不唯一,如,△AED≌△AEB,△CDE≌△CBE,△ADC≌△ABC,DE=BE, ∠DAE=∠BAE等等.

13. 分析:要证AB ∥CD,只需 ∠ABC= ∠DCB,要证 ∠ABC= ∠DCB,只需 △ABC ≌ △DCB.

15. AD是△ABC的中线.

理由如下:在Rt△BDE和Rt△CDF中,∵BE=CF,∠BDE=∠CDF,

∴Rt△BDE≌Rt△CDF. ∴BD=CD.

故AD是△ABC的中线.

18.(1)证明:如图1,

理由:如图2

篇7：教你证明三角形全等

一般地, 应根据题设并结合图形, 先确定两个三角形已知相等的边或角, 然后按照判定公理或定理, 寻找还缺少的条件。其基本思路是:

1.有两边对应相等, 找夹角对应相等或第三边对应相等, 前者利用SAS判定, 后者利用SSS判定。

2.有两角对应相等, 找夹边对应相等或任一等角的对边对应相等, 前者利用ASA判定, 后者利用AAS判定。

3.有一边和该边的对角对应相等, 找另一角对应相等, 利用AAS判定。

4.有一边和该边的邻角对应相等, 找夹等角的另一边对应相等或另一角对应相等, 前者利用SAS判定, 后者利用AAS或ASA判定。

例1如图1所示, 已知AB=AC, AD=AE, ∠1=∠2.求证:∠B=∠C.

分析:要证明∠B=∠C, 只要证明∠B、∠C分别所在的■ABD和■ACE全等。在这两个三角形中, 有两边对应相等 (AB=AC, AD=AE) , 只要再证明∠BAD=∠CAE或BD=CE即可显然由题设容易证明

证明:由∠1=∠2, 得:∠1+∠BAC=∠2+∠CAB.

在△ABD和△ACE中,

例2如图2所示, 已知∠A=∠B, AE=BF, ∠C=∠D.求证:AC=BD.

分析:要证明AC=BD, 只要证明AC、BD所在的△ACF和△BDE全等。在这两个三角形中, 有两角对应相等 (∠A=∠B, ∠C=∠D) , 只需再证明CF=DE或AF=BE就可。显然, 由题设证明AF=BE更方便。

证明:由AE=BF, 得AE+EF=BF+FE, 即AF=BE.

在■ACF和■BDE中,

例3如图3所示, 已知△ABC中, D、E分别是AB、AC的中点, CF∥AB交DE的延长线于点F.求证:AB=2CF.

分析:要证明AB=2CF, 注意到D是AB的中点 (AB=2AD) , 那么只需证明CF=AD, 即需证明△CFE和△ADE全等。在这两个三角形中, 有一边和该边的邻角对应相等 (CE=AE, ∠CEF=∠AED) , 只需再证明EF=ED或∠1=∠A或∠F=∠2即可显然由题设证明或更方便。

证明:由CF∥AB, 得∠1=∠A.

在△CFE和△ADE中,

∵D是AB的中点, 即AB=2AD,

例4如图4所示, 已知△ABC中, ∠ACB=90°, ∠CBA=45°, E为AC上的一点, 延长BC到点D, 使CD=CE, 求证:BE⊥AD.

分析:要证明BE⊥AD, 需延长BE交AD于F, 证明∠AFE=90°, 即证明∠1+∠2=90°.又∵∠3+∠4=90°, ∠2=∠3, 那么需证明∠1=∠4, 即应考虑∠1、∠4所在的△ACD和△BCE全等。在这两个三角形中, 有一边和该边的邻角对应相等 (CD=CE, ∠ACD=∠BCE=90°) , 只要再证明∠CA=CB或∠D=∠3即可。显然, 证明CA=CB更方便。

证明:延长BE交AD于点F, 由∠ACB=90°, ∠CBA=45°, 得∠CAB=∠CBA=45°, 从而有:CA=CB.

在△ACD和△BCE中,

∴∠1+∠2=90°, 从而有:∠AFE=90°.