二项式定理教学设计

二项式定理教学设计（精选8篇）

篇1：二项式定理教学设计

《二项式定理》教学设计

1．教学目标

知识技能：理解二项式定理，记忆二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用．

过程方法：通过从特殊到一般的探究活动，经历“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法，养成合作的意识，获得学习和成功的体验．

情感、态度和价值观：通过对二项式定理的研究，掌握展开式的结构特点，体验数学公式的对称美、和谐美，了解杨辉、牛顿等数学家做出的巨大贡献．

2.教学过程

探索研究二项式定理的内容

从学生比较熟悉的完全平方公式入手，去观察，猜想

02122(ab)2a22abb2C2aC2abC2b

三次方的让学生按照多项式乘法进行运算在合并，不合并之前是几项，为什么？

（分步乘法计数原理）

0312233(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC3abC3ab2C3b

每一项中字母a，b的指数和相同,项的个数有n1项

00每个都不取b的情况有1种，即C4种，所以a4的系数是C4； 11恰有1个取b的情况下有C4种，所以a3b的系数是C4； 22恰有2个取b的情况下有C4种，所以a2b2的系数是C4； 33恰有3个取b的情况下有C4种，所以ab3的系数是C4； 444个都取b的情况下有C4种，所以b4的系数是C4； 0413222344因此(ab)4C4aC4abC4abC4ab3C4b．

归纳、猜想(ab)n

0n1n12n22(ab)nCnaCnabCnabknkkCnabnnCnb(nN)

设问：

（1）将(ab)n展开，有多少项？

（2）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？（3）字母a，b指数和始终是多少？（4）如何确定ankbk的系数？

教师引导学生观察二项式定理，从以下几方面强调：（1）项数规律：n1项；

（2）次数规律：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减至0，同时，字母b的指数由0递增至n；

（3）二项式系数规律：下标为n，上标由0递增至n；

knkk（4）通项：Tk1Cnab指的是第k1项，不是第k项，该项的二项式系k数是Cn

板书以上几点 3.例题处理

51例1：（1）在2x的展开式中

x（1）请写出展开式的通项。（2）求展开式的第4项。

（3）请指出展开式的第4项的系数，二项式系数。

3（4）求展开式中含 x 的项。

课件展示解题过程

自主探究：在12x的展开式中，求第4项，并指出它的二项式系数和系数

7是什么？

独立完成，爬黑板

01合作探究：设n为自然数，化简Cn2nCn2n11Cnk2nk1Cnn

kn

分组讨论，交流想法

4.归纳小结

学生的学习体会与感悟； 教师强调：

（1）主要探究方法：从特殊到一般再回到特殊的思想方法

（2）从特殊情况入手，“观察——归纳——猜想——证明”的思维方法，是人们发现事物规律的重要方法之一，要养成“大胆猜想，严谨论证”的良好习惯．

（3）二项式定理每一项中字母a，b的指数和为n，a的指数从n递减至0同时b的指数由0递增至n，体现数学的对称美、和谐美．二项式系数还有哪些规律呢？希望同学们在课下继续研究、能够有新的发现． 5.作业（1）巩固型作业：

课本36页习题1.3 A组 1、3、4（1）（2）5（2）思维拓展型作业：（查阅相关资料）查阅有关杨辉一生的主要成就。

012探究二项式系数Cn,Cn,Cn,n 有何性质.,Cn3

篇2：二项式定理教学设计

一、教学目标： 1．知识技能：

（1）理解二项式定理的推导-------分步乘法计数原理的使用（2）掌握二项式定理极其简单应用 2．过程与方法

培养学生观察、分析、归纳猜想的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式

二、教学重点、难点

重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式 难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别

三、教学方法：师生互动，讲练结合

四、教 具：多媒体、电子白板

五、教学过程

(一)创设问题情境：

今天是星期二，8天后是星期几?82天后是星期几?8100天后是星期几呢？ 前面两个问题全班所有学生都能回答出来，最后一个问题大家都很迷惑，觉得很复杂，今天我们学习的这节课就是告诉我们如何快速准确知道答案，并且我们不用查日历就能知道未来任何一天是星期几。解决这一问题我们应用的就是二项式定理。

(二)引出问题：二项式定理研究的是(ab)n的展开式。

我们知道(ab)2a22abb2，那么：(ab)3=?(ab)4=?

(ab)100=?

更进一步：(ab)n=？(1)对(ab)2展开式的分析:(ab)2(ab)(ab)展开后其项的形式为：a2,ab,b2

00考虑b，每个都不取b的情况有1种，即c2 ,则a2前的系数为c2 1恰有1个取b的情况有c12种，则ab前的系数为c2 22恰有2个取b的情况有c2 种，则b2前的系数为c2 0222所以(ab)2a22abb2c2ac12abc2b

(2)探究1：推导(ab)3的展开式

(ab)3(ab)(ab)(ab)① 项：

a3

a2b

ab2

b3

013② 系数：C3

C3

C32

C3 0312233③ 展开式(ab)3c3ac3abc3ab2c3b

(3)探究2：仿照上述过程，推导(ab)4的展开式

0432223344(ab)4c4ac14abc4abc4abc4b 0312233与(ab)3c3ac3abc3ab2c3b

0222和(ab)2c2ac12abc2b

一起比较猜想：

0nn12n22knkknn(ab)ncnac1abcab...cab...cnnnnb(nN)

但这种归纳猜想是不完全归纳。

(4)探究3：请分析(ab)n的展开过程，证明猜想

...ab

...b ②系数：C

C

...C

...C ①项：

an

an1b

0n1nnkknknnn0nn12n22knkknn③展开式：(ab)ncnac1bcnab...cnab...cnb(nN)na(三)二项式定理的分析

0nn12n22knkknn(ab)ncnac1bcnab...cnab...cnb(nN)na①项数：共有n1项；

②次数：各项的次数都是n；

k③二项式系数：Cn(k0,1,2,...n)

knkk④ 二项展开式的通项：Tk1Cnab,(k0,1,2,...n)

（四）课堂练习1.写出(1x)n得展开式.2.写出(ab)n得展开式.（五）例题 例1.求(2x1x)6得展开式.（1）强调：对于形式较复杂的二项式，应先化简再展开.（2）针对(2x1x)6得展开式，提出下列问题

思考1：展开式的第二项的系数是多少？

思考2：展开式的第二项的二项式系数是多少？ 思考3：你能否直接求出展开式的第二项？ 思考4：你能否直接求出展开式的常数项？ 引出例2 例2（1）求(12x)7的展开式的第4项的系数和第4项的二项式系数

1

（2）x的展开式中x3的系数

x

（六）小结

（七）作业（提前板书）1.P374,5题

篇3：二项式定理教学设计

一、设计思想

本小节内容在本章中起着承上启下的作用,由于二项式定理与概率理论中的三大概率分别有其内在联系. 本小节是为学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计知识作准备; 又由于二项式系数是一些特殊的组合数,利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式,从而深化对组合数的认识.

二、教学目标

1. 理解和掌握二项式定理,运用开展式中的通项公式求展开式中的指定项和二项式系数及项系数等.

2. 提高学生的归纳推理能力和树立由特殊到一般的归纳意识.

3. 运用启发引导学生的教学方法.

三、教学重点

1. 二项式定理及结构特征:

2. 展开式的通项公式 Tr + 1= Crnan - rbr,其中 r = 0,1,…,n 表示展开式中第 r + 1 项.

3. 当 a = 1,b = x 时,得公式:

四、教学难点

1. 展开式中某 一 项 的 二 项 式 系 数 与 该 项 的 系 数 的区别;

2. 通项公式的灵活应用.

五、教学过程

1. 课程导入

师: 在初中,我们学过两个重要公式,即

那么,将( a + b)4,以至于( a + b)5,( a + b)6……展开后,它的各项是什么呢?

2. 讲授新课

师: 不妨,我们来研究一下这两式的特点,看它们的展开式是否有什么规律可循?

即等号右边的展开式的每一项,是从每个括号里任取一个字母的乘积,因而各项的次数相同.

这样看来,( a + b)4的展开式应有下面形式的各项:

a4,a3b,a2b2,ab3,b4.

这些项在展开式中出现的次数,也就是展开式中各项的系数是什么呢?

生: ( 讨论)

( a + b)4= ( a + b) ( a + b) ( a + b) ( a + b) .

在上面4个括号中:

每个都不取b的情况有一种,取C04种,所以a4的系数是C04;

恰有1个取b的情况有C14种,所以a3b的系数是C14;

恰有2个取b的情况有C24种,所以a2b2的系数是C24;

恰有3个取b的情况有C34种,所以ab3的系数是C34;

4个都取b的情况有C44种,所以b4的系数是C44.

师: 也就是说,

依此类推,对于任意正整数n,上面的关系也是成立的.

此公式所表示的定理,我们称为二项式定理,右边的多项式做( a + b)n的二项展开式,它一共有n + 1项,其中各项系数Crn( r = 0,1,2,…,n) 叫做二项式系数,式中的Crnan - rb叫做二项展开式的通项,用Tr + 1表示,即通项为展开式的第r + 1项: Tr + 1= Crnan - rbr.

另外,在二项式定理中,如果设a = 1,b = x,则得到

师: 下面我们结合几例来熟练此定理.

分析只需设a = 1,b = 1 /x,用二项式定理展开即可.

分析可先将括号内的式子化简,整理,然后再利用二项式定理.

3. 课时小结:

1要掌握二项式定理及其通项公式;

2灵活运用通项公式求出指定项.

六、教学反思

篇4：《二项式定理》教学设计与思考

1. 知识与技能

（1）能利用组合数的方法证明二项式定理;

（2）理解并掌握二项式定理，并能简单应用.

2. 过程与方法

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力以及化归意识与知识迁移能力，体会从简单到复杂的思维方式，并形成从特殊到一般的归纳.

3. 情感、态度与价值观

培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，感受数学史.

二、教学重点、难点

重点：探究并归纳用组合数的方法得到展开式的形成过程，并由此得到二项式定理.

難点：1. 展开式中的项的特点;2. 展开式中各项系数的确定.

三、教学设想

为了突破难点、突出重点，我采用化归的思想将二项式展开过程化归到熟悉的（a+b）2，（a+b）3，设计展开（a+b）4，进而探究（a+b）10，引出课题，启发引导学生采用分组合作探究的形式分析、解决问题.

四、教学过程设计

1. 数学史

屏幕展示科学家牛顿，陈述二项式定理是他在数学史上的第一个发现，引出课题.

2. 创设情境

设计问题串，创设情境，引出二项式定理的推导过程.

问题1：大家可能会问，二项式定理是用来研究什么的？

二项式定理就是用来研究（a+b）n（n∈N*）是如何展开的.

问题2：（a+b）2等于什么？

问题3：快速计算（a+b）3，并回答你是用什么方法得到的.

问题4：用同样的方法可以快速展开（a+b）10吗？

我们要展开（a+b）10就须要知道（a+b）9，要展开（a+b）9就须要知道（a+b）8 ……

这个过程是相当复杂的，那么我们就来研究怎样能够更快地展开（a+b）n.现在如果你是牛顿，你会怎么想（应该从这里面寻找一个规律）？

引出寻找一个新的方法，快速展开（a+b）n，保证后面能选取最便捷的方法，并且运用该方法准确、快速地得到答案.

3. 教授新课

寻找规律。请大家思考一下：第一，我们从什么地方开始寻找规律？第二，这个展开式虽然很复杂，但是只要我们能够抓住几个关键环节就可以把展开式轻松展开，那么，这几个关键环节是什么？

我们要找一个规律，这个规律肯定是n∈N*，只要在这个范围内什么样的式子都成立.所以我们可以从简单的式子入手，以此类推.第二，虽然展开的式子很复杂，但是只要我们抓住这几条：（1）展开后有多少项;（2）各单项式的形式;（3）各单项式的系数.

这节课我们将从这三个方面来重点研究问题.首先，让我们对（a+b）2的展开式的形成过程重新进行分析. 2ab这一项是ab与ba合并同类项之后形成的.接下来，用新的思想重新考虑系数2是怎样形成的，引出应该从ab这一项是怎样形成的去考虑.ab这一项的形成可以看做：从这两个因式中选择一个因式，让其中一个出现a，另一个出现b. 对于一个因式来说，它里面要么出现a，要么出现b，且只能出现一个. 因此，出现a了就不能出现b;出现b了就不能出现a .事实上，以谁为研究对象都可以，在这里，我们不妨以b为研究对象，所以引出二项式定理从始至终以b作为研究对象.

接着分析ab这一项，ab可以看做是从两个因式中选出一个因式出现b，有C21种可能性，剩下的因式自然就出现a，则只有一种可能，因此我们始终以b为研究对象，就得到了2ab.接下来用同样的思想来探索a2，可以看做从两个因式中选0个因式出现b。因此，对它来说应该是C20a2;最后一项，从两个因式中选出2个，让它们都出现b，就有了C22b2这一项.

如此，我们用组合数的方法重新定义了我们所认识的（a+b）2，那么接下来再用同样的方法探索一下（a+b）3具体会出现哪些项（按b的升幂的顺序写出每一项），每一项的形成过程是什么（请学生回答）.强调在以b为研究对象的前提下，在每一项的形成过程中产生了相应项的系数，而系数是用组合数定义的，这是我们最关心的.根据刚才的规律，可以快速推出（a+b）4，利用组合数的思想写出系数C40、C41、C42、C43、C44.

现在，以（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4作为最基本的研究对象，你能不能从中找到一些规律？还是从我们所说的三点总结，即项数、项数特点、项数系数的特点.学生讨论，并将讨论的结果与大家一起分享.

注意：在讨论的过程中，从项数特点上渗透通项，从每一项的形成过程得到每一项的系数，而且按照b的升幂的顺序列出每一项，既简洁又可体现数学里的对称美.

从三个方面来寻找规律，从简单到复杂，用归纳推理的思想猜测出二项式定理，进而对其证明.

表明二项式定理的特点：

（1） Tk+1=Cnkan-kbk k=0，1，2…n.

（2）每个式子都有n次，a降幂，b升幂.

（3）共有n+1项.

（4）Cn0、Cn1…Cnk…Cnn叫做二项式系数.

（5）用加号连接.

4.课堂巩固

例1：求（2-）6的展开式.

从本例总结出一个二项式展开式的某一项的二项式系数和系数是两个不同的概念.

例2：（1）求（1+2x）7的展开式4项的系数.

（2）求（x+）9的展开式x3的系数.

本例题中体现了二项式展开式的通项的作用，强调重点内容：Tk+1=Cnkan-kbk k=0，1，2…n.

（1）为二项展开式中的第k+1项.

（2）利用通项可以求出二项展开式中某些特殊的项：如常数项，含x的n次幂的项，某项的系数等.

学习了公式，要学会正用、逆用，还要学会变形用.

例3：化简（x-1）4+4（x-1）3+6（x-1）2+4（x-1）+1.

5.课堂小结

请大家思考：

（1）本节课新学习的基本知识点;

（2）本节课新知识点的得出用了什么思想方法？

让学生回顾知识形成过程，梳理思路，自我归纳总结.

6.作业

（1）在二项式定理中，如果设a=1，b=x，则得到什么公式？

（2）试写出（1+b）n的展开式.

五、设计思考

篇5：二项式定理教学反思

汾口中学

叶轶群

《二项式定理》这节内容我采用以知识点 “问题串”的形式引导学生自主探究的教学方法，在循序渐进中以小问题带动大问题，环环相扣，将知识点落实。而学生在自主讨论中，初步认识二项式定理是初中多项式乘法的继续，初步掌握展开式的规律，充分而有效地训练了学生的思维。

整节课在学生讨论探究中进行，通过一连串层层递进的问题，引导学生掌握展开式形成的规律，比如：(问题1：请在多项式中圈出能得到(a+b)4展开式中的项a4 b0的单项式a：(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)---------问题2：请在多项式中用不同颜色的笔标出得到(a+b)4展开式中的项a3 b的单项式a和b(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)------------问题3：请你用组合的观点来探究(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)展开式中的项a2 b2的系数)以上三个问题由浅入深，由简单到复杂，引导学生体验(a+b)4展开式中的特殊项得来的过程，通过学生自己用笔动手圈注和问题“你是如何做到标注时不重复无遗漏的？”的引导，让学生自己体验的到这些特殊的项需要两个步骤：先取b再取a，进而可以轻而易举的把对特殊项的探究的方法转移到计数原理上来。然后马上引

导学生完成问题4：类比以上探究项a4b0和a3b 及a2b2构成规律的方法，请你写出(a+b)4 二项展开式的每一项（把展开式按照a的降幂,b的升幂进行排列）(a+b)4 ＝ ____。

在这个过程中非常具有挑战性问题的引入能使学生产生新奇感，激发了学生的学习兴趣和积极性．进一步把这一研究方法推广到展开式的每一项，从而得到(a+b)4二项展开式，又把这一问题往前推进了一步，引导学生找出展开式的通项，进而推广到一般情形。

教学中我特别注重运用通项意识，凡涉及到展开式的项及其系数等问题，常是先写出其通项公式，然后再据题意进行求解。但也有意外出现，对于二项式定理的逆运用，上课过程中重视不够，以为学生在推导展开式的同时也能够推导它的逆公式，所以在上课过程中一笔带过，导致作业中的问题比较多，基于此，在另一个班级的教学中，我决定把这个知识点跟展开式的推导融为一体来落实知识点。

本节课的亮点：

1、从“特殊出发、发现规律、猜想结论、逻辑证明”的科学方法，带给学生积极的情感体验和无尽的思考．数学思想、方法和数学文化得到了较好的体现．

2、课堂小结顺其自然地引导学生把握知识之间的内在本质联系，引导学生用扩展、深化等方式提出新问题，并用问题链引向课外或后续课程。

3、掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理

有机结合起来，教学过程中，学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发他们发现一般性问题的解决方法

4、本节课教学，我采用“问题――探究”的教学模式，以“问题链”组织课堂教学，让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．

本节课不足之处：

1、我认为在师生互动环节中再多一些效果会更好。但是我认为这样面对学生的展示课,难以操作.因为让学生自主学习,必须课前作充分的准备,学生带着问题到课堂上进行汇报和交流,师生共同释疑、纠错.否则,对于有一定难度的数学课。

2、本节课教学过程中还不够生动有趣。正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调，课本上先给出一个(a+b)4用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式，再用数学归纳法证明，因为证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以课必然上得累赘，学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看，记也感到吃力，又怎能发挥主体作用？

篇6：二项式定理教学反思

黄慧莹

二项式定理是初中学过的多项式乘法的继续，是排列组合知识的具体运用，定理的证明是计数原理的应用．

本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．

本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫．再以为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体．教学过程中，让学生充分体会到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现解决一般问题的方法．教学中我特别注重运用通项意识凡涉及到展开式的项及其系数等问题，常是先写出其通项公式，然后再据题意进行求解．

本节课的亮点：引入作了项数问题，明确每一项的很好的铺垫，数学思想、方法和数学文化得到了较好的体现．引导学生运用计数原理来解决特征，为后续学习作准备．二项式系数的对称美，“特殊出发、发现规律、猜想结论、逻辑证明”的科学方法，二项式指数推广到负整数指数，有没有三项式定理，都带给学生积极的情感体验和无尽的思考．

不足之处：学生在数学课堂中的参与度不够．我认为,像这样面对新学生的展示课,难以操作.因为让学生自主学习,必须课前作充分的准备,学生带着问题到课堂上进行汇报和交流,师生共同释疑、纠错.否则,对于有一定难度的数学课,在课堂上先自主、合作、探究，再来答疑、解惑，就没有足够的时间了.即使可以操作, 自主、合作、探究也是走走过场, 没有实际效果.语文与数学有不同特点,在数学课堂上如何让学生讨论、思考值得深入研究．

篇7：二项式定理教学反思（热门7篇）

首先感谢市教育局各位专家领导给予高度评价，并提出宝贵意见和建议。你们的肯定将激励我在教育事业上勇往直前，我会走得更好，走的更远。你们的建议会让我不断的反省自己，改正自己，完善自己。反思后则奋进，存在问题就整改，发现问题则深思，找到经验就升华。我要牢记你们所说的话“应该向专家型教师学习，向这个方向努力！”

上班已有六年时间，带了两轮的高中数学，在知识方面我严格要求自己，勤思多问，“教然后而知困”，不断发现陌生的自己，促使自己拜师求教，书海寻宝，不断的提高自己的专业素质。在教学技能方面也是严格按照学校的要求多听课、多请教、多反思；备好每一堂课，上好每一堂课；课后做好反思，注意课堂中的每一个细节；同时也大胆的尝试和实践一些新的教学手段、思路和方法，形成和完善自己独有的教学风格。

学习的过程是新旧知识互相碰撞的过程，旧知识不断被新知识所补充所完善。通过学习者不断的思维，才能把新的知识内化，来完善原有的知识结构。对于数学教学而言，教会学生思维才是根本，无论教师的讲解多么精彩，思维活动过程是任何人无法替代的。

在本节课的教学设计中，我很好的把握了重点和难点，通过简单例子反复强调二项展开式的特点和通项公式的特点及功能，学生的理解很轻松。对于例题的选择也是结合近几年的高考特点由浅入深，总体的设计还比较满意。但在上课的过程中忽视了一个很重要的因素――学生。我班是一个文科普班，数学基础不是很好，虽然是复习课，但仍有部分学生跟没学过一样，我在讲课过程中语速过快，一部分学生没能跟上。因此在今后的教学中，一定要多关注学生的原有知识水平和个性差异，灵活机动地随机处理课堂上的问题，把学生出现的错误当成是一种珍贵的教学资源，并加以合理利用。同时也要认真观察学生的微妙变化和反应情况，随机的调整教课的速度，让每个学生都能消化吸收。今后我要在讲课中多下功夫，多收集好的教学方法，教案；多积累典型的例题；认真研究考试大纲，把握教学的重点和难点，上好每一堂课。在其他细节方面，我将以最快的速度去改进、完善。

最后再次感谢各位领导！我将争取早日成为一名优秀的数学教师。

篇2：二项式定理教学反思

6月20日下午我和安阳实验中学高二（17）班的同学共同完成了本节课的课堂实录，感悟反思如下：

本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题�D�D探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、联系组合问题、总结规律、应用规律四个阶段。让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程。

本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫。再以为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依。

教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体。教学过程中，让学生充分体会到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现解决一般问题的方法。教学中我特别注重区分系数与二项式系数及运用通项意识凡涉及到展开式的项及其系数等问题，常是先写出其通项公式，然后再据题意进行求解。

例1展开式中第三项的是______。

第三项的系数是______

第三项的二项式系数是______

例2（2）求展开式中x3的系数，则______。

解析：由通项公式，得，

由，解得。

本节课的亮点：

引入组合问题，为归纳项数，项得次数，项的形式及项的系数作了很好的铺垫，数学思想、方法和数学文化得到了较好的体现。引导学生运用计数原理来解决特征，为后续学习作准备。二项式系数的对称美，“特殊出发、发现规律、猜想结论、”的科学方法，都带给学生积极的情感体验和无尽的思考。

不足之处：

学生在数学课堂中的参与度不够。我认为，像这样面对新学生的录像课，难以操作。因为让学生自主学习，必须课前作充分的准备，学生带着问题到课堂上进行汇报和交流，师生共同释疑、纠错。否则，对于有一定难度的数学课，在课堂上先自主、合作、探究，再来答疑、解惑，就没有足够的时间了。即使可以操作，自主、合作、探究也是走走过场，没有实际效果。语文与数学有不同特点，在数学课堂上如何让学生讨论、思考值得深入研究。

总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性。重视学生的参与过程，问题引导，师生互动。重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯。

篇3：二项式定理教学反思

汾口中学 叶轶群

《二项式定理》这节内容我采用以知识点 “问题串”的形式引导学生自主探究的教学方法，在循序渐进中以小问题带动大问题，环环相扣，将知识点落实。而学生在自主讨论中，初步认识二项式定理是初中多项式乘法的继续，初步掌握展开式的规律，充分而有效地训练了学生的思维。

整节课在学生讨论探究中进行，通过一连串层层递进的问题，引导学生掌握展开式形成的规律，比如：(问题1：请在多项式中圈出能得到(a+b)4展开式中的项a4 b0的单项式a：(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b) (a＋b)--------- 问题2：请在多项式中用不同颜色的笔标出得到(a+b)4展开式中的项a3 b的单项式a和b

(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b) (a＋b)

(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b) (a＋b)

(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b) (a＋b)

(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b) (a＋b)------------ 问题3：请你用组合的`观点来探究(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b) (a＋b)展开式中的项a2 b2的系数) 以上三个问题由浅入深，由简单到复杂，引导学生体验(a+b)4展开式中的特殊项得来的过程，通过学生自己用笔动手圈注和问题“你是如何做到标注时不重复无遗漏的？”的引导，让学生自己体验的到这些特殊的项需要两个步骤：先取b再取a，进而可以轻而易举的把对特殊项的探究的方法转移到计数原理上来。然后马上引

导学生完成问题4：类比以上探究项a4b0和a3b 及a2b2构成规律的方法， 请你写出 (a+b)4 二项展开式的每一项（把展开式按照a的降幂,b的升幂进行排列）(a+b)4 ＝ ____ 。

在这个过程中非常具有挑战性问题的引入能使学生产生新奇感，激发了学生的学习兴趣和积极性．进一步把这一研究方法推广到展开式的每一项，从而得到(a+b)4二项展开式，又把这一问题往前推进了一步，引导学生找出展开式的通项，进而推广到一般情形。

教学中我特别注重运用通项意识，凡涉及到展开式的项及其系数等问题，常是先写出其通项公式，然后再据题意进行求解。但也有意外出现，对于二项式定理的逆运用，上课过程中重视不够，以为学生在推导展开式的同时也能够推导它的逆公式，所以在上课过程中一笔带过，导致作业中的问题比较多，基于此，在另一个班级的教学中，我决定把这个知识点跟展开式的推导融为一体来落实知识点。

本节课的亮点：

1、从“特殊出发、发现规律、猜想结论、逻辑证明”的科学方法，带给学生积极的情感体验和无尽的思考．数学思想、方法和数学文化得到了较好的体现．

2、课堂小结顺其自然地引导学生把握知识之间的内在本质联系，引导学生用扩展、深化等方式提出新问题，并用问题链引向课外或后续课程。

3、掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理

有机结合起来，教学过程中，学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发他们发现一般性问题的解决方法

4、本节课教学，我采用“问题�D�D探究”的教学模式，以“问题链”组织课堂教学，让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．

本节课不足之处：

1、我认为在师生互动环节中再多一些效果会更好。但是我认为这样面对学生的展示课,难以操作.因为让学生自主学习,必须课前作充分的准备,学生带着问题到课堂上进行汇报和交流,师生共同释疑、纠错.否则,对于有一定难度的数学课。

2、本节课教学过程中还不够生动有趣。正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调，课本上先给出一个(a+b)4用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式，再用数学归纳法证明，因为证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以课必然上得累赘，学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看，记也感到吃力，又怎能发挥主体作用？

总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯。

篇4：二项式定理教学反思

下午在安庆一中高二(6)班上了一节数学展示课，课堂学生的反应和专家的点评，都让我受益匪浅，主要体会如下：

1、学生能机积极配合，情绪高涨。据了解,高二(6)班学生基础较好，整体素质较高。由于是新老师,学生不了解我的教学风格,开头几分钟,学生的积极性还没有完全调动起来,但随着时间的推进,课堂氛围不断进入高潮。在遇到疑难问题时,只要我稍加点拨,都能立即化解。特别是最后一道天津高考题,具有挑战性,需要较高的逆向思维水平,但一名学生在很短的时间内就看出了它的结构特点,作出了完整的回答,使学生和听课老师眼睛一亮。加上我及时总结的“数感、式感和图感”又让学生耳目一新，增添了课堂色彩。

2、数学思想、方法和数学文化得到了较好的体现。孙主任点评中的“课堂教学要有高贵和丰满的学科气质”，我认为对数学课堂来说，就是要体现数学思想、方法和数学文化，让数学课堂有“数学味”。课堂中，提到的数学的两重性“直觉与逻辑”，牛顿的“没有大胆的猜想就没有伟大的发现”，二项式系数的对称美，“特殊出发、发现规律、猜想结论、逻辑证明”的科学方法，二项式指数推广到负整数指数，有没有三项式定理，反例C62就不是偶数等等，都带给学生积极的情感体验和无尽的思考。“真诚、深刻、丰富”是课堂永恒的追求。

3、基本技巧和基本方法可能没有很好落实。本节课的教学重点是二项式定理的探求过程,而简单的应用则次之。基于这种想法,我在引导发现定理上花的时间较多,证明过程多媒体详细展示,但最后没有点到“还可以用数学归纳法证明”是一个疏忽。同时对将(p-q)7展开这种问题没有书写示范，以致不少学生书写不规范或弄错，板演的学生就有好几处错误,我也没有详细板书订正。我想,好在还有第二节课的加强,先让学生对此内容有点兴趣,再去强化运算的正确性也不迟。

4、课堂上如何放手让学生自主学习。多位专家评课中提到数学课堂上如何放手让学生自主学习,这也是新课程大力倡导的。我认为,像这样面对新学生的展示课,难以操作。因为让学生自主学习,必须课前作充分的准备,学生带着问题到课堂上进行汇报和交流,师生共同释疑、纠错。否则,对于有一定难度的数学课,在课堂上2先自主、合作、探究，再来答疑、解惑，就没有足够的时间了。即使可以操作,自主、合作、探究也是走走过场,没有实际效果。语文与数学有不同特点,在数学课堂上如何实施自主学习值得深入研究。

5、数学教师要不断提高专业水平和人文素养。范梅南有一句名言：教学就是“即兴创作”,依托的是教师的文化底蕴和精神修养。对数学教师来说,我认为是专业水平和人文素养。专业水平可以帮助你确定有梯度的思维目标,创设有价值的思维情景;人文素养可以帮助你确定良好的情感目标,营造积极的情感情景。速度、效果、体验是判别有效课堂的三要素，其中就蕴涵着对学生探索精神、创新精神的唤醒和弘扬，创新能力的发展和提升，创造型人格的生成与确立。数学教师要多读点文学作品，打造有诗意的数学课堂。 反思一：二元一次方程组的解法教学反思

“解二元一次方程组”是“二元一次方程组”一章中很重要的知识，占有重要的地位。通过本节课的教学，使学生会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，了解“消元”思想。

教学后发现，大部分学生能掌握二元一次方程组的解法，教学一开始给出了一个二元一次方程组。提问：含有两个未知数的方程我们没有学习过怎样解，那么我们学过解什么类型的方程？答：一元一次方程。提问：那可怎么办呢？这时，学生通过交流，教师只要略加指导，两种方法自然得出，这其中也体现了化归思想。有个别同学在选择方法上：是用代入法还是加减法，很犹豫，解答起来速度较慢。这时，教师通过让学生对未知数系数为一的方程组，与未知数系数都不为一的方程组的对比，自行体会出如何选择解方程组的方法。

在课堂上设置小组交流这一环节，交流的内容有对新知识的探究、对问题的理解、计算方法及体会、学生相互纠错等。同时，要避免满堂交流，没有目的的交流，教师要给予必要的引导，让学生有价值有目标的交流，关注每个学生的参与情况，并给以指导。通过学生学习小组交流，增强了每个学生的参与意识，同时通过解释、推断和对自己思想进行口头和书面的表达加深理解，学生之间的合作交流，不仅是使学生获取必要的学科知识，对于提高每个学生的口头表达能力及数学语言的规范及交际能力、合作意识的培养起到了很大的作用。

本堂课最大的特点是，利用一个方程组引出了两种解法，直观对比，并归纳总结出化归思想，使学生在脑子中直接形成了知识网络和解题思想，取得了较好的效果。但是，仍然需要练习进行巩固提高。

反思二：二元一次方程组的解法教学反思

解二元一次方程组的基本思路是消元，即消去一个未知数，转化成一元一次方程求解。消元的方法是代入法和加减法，平时，学生都是循规蹈矩，按部就班地用代入法或加减法解一次方程组。而实际上二元一次方程组系数间的特点是丰富多彩的，消元的方法也很多。在牢牢掌握两种基本消元方法之后，再进行探索特殊方程组特殊的解法，将能大大开阔学生的思路，激活学生的思维。

于是在学习了代入法和加减法消元之后，我设计了这节探究课。本节课实际上是一节复习课，通过对几种类型题进行探究后，让学生知道代入法和加减法的作用不仅仅是消元，还能简化方程组，即使消元，也是灵活多变，技巧性很强的。启发学生把已经掌握的知识，经过再挖掘，不但能巩固已学知识，而且能获得许多的技巧，提高他们的思维能力。

首先我以两道古代应用问题的解决让学生先复习回顾二元一次方程组的两种解法，同时由第二道题所列的方程组引导学生学会观察方程组的特点通过加减法将方程组化简，再通过代入或加减法求方程组的解，学生反思解题带给自己的启示，不仅简化了方程组的解法，还拓展了解题思路，培养学生一题多解的能力。接下来的巧解难题和触类旁通都可以通过这种巧代入或巧加减将看似较复杂或较麻烦的问题简单化，调动了学生的学习兴趣，满足了学生的探究欲望，发挥了学生的主体作用。

反思本节课，我觉得有以下几点：

1、本节课灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有学生的独立思考和讨论，调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主体作用。

2、本节课还注重了数学思想方法在课堂中的渗透。拓宽了学生的知识面，培养了学生的发散思维能力和创新能力。

3、在整个教学教程中，由课题引入到问题解决至始至终向学生渗透数学应用意识，培养了学生应用数学的能力，揭示了数学源于生活，又高于生活。这样教学不仅使学生理解了学习内容，而且使学生掌握了学习的方法，更好地利用所学知识解决问题。

此外本节课还存在诸多的不足之处：

1.在提出问题的时候，学生的思考时间较少，只有程度较好的学生思考出来，大部分学生都还在思考中。

2.欠缺对“学困生”的关注，没能用更好的语言激发他们。

3.没能让每位学生都有足够的时间发表自己的观点。

4.没能进行很好的知识延伸和拓展。

5.还应更注重细节，讲究规范，强调反思。

反思三：二元一次方程组的解法教学反思

本节课是华东师大版七年级数学下册第七章《二元一次方程组》中第二节的第四课时，它是在学习了代入消元法和加减消元法的基础上进行学习的。能够灵活熟练地掌握加减消元法，在解方程组时会更简便准确，也是为以后学习用待定系数法求一次函数、二次函数关系式打下了基础，特别是在联系实际，应用方程组解决问题方面，它会起到事半功倍的效果。

我所任教的初一（2）班学生基础比较好，他们已经具备了一定的探索能力，也初步养成了合作交流的习惯。大多数学生的好胜心比较强，性格比较活泼,他们希望有展现自我才华的机会，但是对于七年级的乡镇中学的学生来说，他们独立分析问题的能力和灵活应用的能力还有待提高，很多时候还需要教师的点拨和引导。因此，我遵循学生的认识规律，由浅入深，适时引导，调动学生的积极性，并适当地给予表扬和鼓励，借此增强他们的自信心。

本课时充分利用了学生原有生活经验中的替代思想，迁移到数学中，形成消元思想。通过生活事例让学生亲身经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，让学生在实践中体验、理解和掌握数学知识，使知识的发现过程融于有趣的活动中。待学生通过巩固练习积累感性经验后，又将加减法程序化，归纳出解题步骤，使之更具操作性，促进学生由方法向技能的转化。本节课的亮点是重视知识的发现过程，在教学过程中，通过设置适当的问题情境，给学生有充分的从事数学活动的时间与空间，让他们积极参与、自主探索，整个课堂教学时时处处立足于让学生先看、先思、先做、先说，符合新课改的以学生为本的理念。将设未知数列一元一次方程的求解过程与二元一次方程组相比较，可让学生在复习旧知的同时，新知识得以掌握。

篇5：二项式定理教学反思

二项式定理是初中学过的多项式乘法的继续，是排列组合知识的具体运用，定理的证明是计数原理的应用。

本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段.让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程。

本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫.再以为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依。

教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体.教学过程中，让学生充分体会到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现解决一般问题的方法.教学中我特别注重运用通项意识凡涉及到展开式的项及其系数等问题，常是先写出其通项公式，然后再据题意进行求解。

本节课的亮点：引入作了项数问题，明确每一项的很好的铺垫，数学思想、方法和数学文化得到了较好的体现.引导学生运用计数原理来解决特征，为后续学习作准备.二项式系数的对称美，“特殊出发、发现规律、猜想结论、逻辑证明”的`科学方法，二项式指数推广到负整数指数，有没有三项式定理，都带给学生积极的情感体验和无尽的思考。

不足之处：学生在数学课堂中的参与度不够.我认为,像这样面对新学生的展示课,难以操作.因为让学生自主学习,必须课前作充分的准备,学生带着问题到课堂上进行汇报和交流,师生共同释疑、纠错.否则,对于有一定难度的数学课,在课堂上先自主、合作、探究，再来答疑、解惑，就没有足够的时间了。即使可以操作，自主、合作、探究也是走走过场，没有实际效果. 语文与数学有不同特点,在数学课堂上如何让学生讨论、思考值得深入研究。

总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性.重视学生的参与过程，问题引导，师生互动.重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯。

篇6：二项式定理教学反思

首先感谢市教育局各位专家领导给予高度评价，并提出宝贵意见和建议。你们的肯定将激励我在教育事业上勇往直前，我会走得更好，走的更远。你们的建议会让我不断的反省自己，改正自己，完善自己。反思后则奋进，存在问题就整改，发现问题则深思，找到经验就升华。我要牢记你们所说的话“应该向专家型教师学习，向这个方向努力！”

上班已有六年时间，带了两轮的高中数学，在知识方面我严格要求自己，勤思多问，“教然后而知困”，不断发现陌生的自己，促使自己拜师求教，书海寻宝，不断的提高自己的专业素质。在教学技能方面也是严格按照学校的要求多听课、多请教、多反思；备好每一堂课，上好每一堂课；课后做好教学反思，注意课堂中的每一个细节；同时也大胆的尝试和实践一些新的教学手段、思路和方法，形成和完善自己独有的教学风格。

学习的过程是新旧知识互相碰撞的过程，旧知识不断被新知识所补充所完善。通过学习者不断的思维，才能把新的知识内化，来完善原有的知识结构。对于数学教学而言，教会学生思维才是根本，无论教师的讲解多么精彩，思维活动过程是任何人无法替代的。

在本节课的教学设计中，我很好的把握了重点和难点，通过简单例子反复强调二项展开式的特点和通项公式的特点及功能，学生的理解很轻松。对于例题的选择也是结合近几年的高考特点由浅入深，总体的设计还比较满意。但在上课的过程中忽视了一个很重要的因素——学生。我班是一个文科普班，数学基础不是很好，虽然是复习课，但仍有部分学生跟没学过一样，我在讲课过程中语速过快，一部分学生没能跟上。因此在今后的教学中，一定要多关注学生的原有知识水平和个性差异，灵活机动地随机处理课堂上的问题，把学生出现的错误当成是一种珍贵的教学资源，并加以合理利用。同时也要认真观察学生的微妙变化和反应情况，随机的调整教课的速度，让每个学生都能消化吸收。今后我要在讲课中多下功夫，多收集好的教学方法，教案；多积累典型的例题；认真研究考试大纲，把握教学的重点和难点，上好每一堂课。在其他细节方面，我将以最快的速度去改进、完善。

最后再次感谢各位领导！我将争取早日成为一名优秀的数学教师。

篇7：二项式定理教学反思

下午在安庆一中高二（6）班上了一节数学展示课，课堂学生的反应和专家的点评，都让我受益匪浅，主要体会如下：

1、学生能机积极配合，情绪高涨。据了解，高二（6）班学生基础较好，整体素质较高。由于是新老师，学生不了解我的教学风格，开头几分钟，学生的积极性还没有完全调动起来，但随着时间的推进，课堂氛围不断进入高潮。在遇到疑难问题时，只要我稍加点拨，都能立即化解。特别是最后一道天津高考题，具有挑战性，需要较高的逆向思维水平，但一名学生在很短的时间内就看出了它的结构特点，作出了完整的回答，使学生和听课老师眼睛一亮。加上我及时总结的“数感、式感和图感”又让学生耳目一新，增添了课堂色彩。

2、数学思想、方法和数学文化得到了较好的体现。孙主任点评中的“课堂教学要有高贵和丰满的学科气质”，我认为对数学课堂来说，就是要体现数学思想、方法和数学文化，让数学课堂有“数学味”。课堂中，提到的数学的两重性“直觉与逻辑”，牛顿的“没有大胆的猜想就没有伟大的发现”，二项式系数的对称美，“特殊出发、发现规律、猜想结论、逻辑证明”的科学方法，二项式指数推广到负整数指数，有没有三项式定理，反例C62就不是偶数等等，都带给学生积极的情感体验和无尽的思考。“真诚、深刻、丰富”是课堂永恒的追求。

3、基本技巧和基本方法可能没有很好落实。本节课的教学重点是二项式定理的探求过程，而简单的应用则次之。基于这种想法，我在引导发现定理上花的时间较多，证明过程多媒体详细展示，但最后没有点到“还可以用数学归纳法证明”是一个疏忽。同时对将（p—q）7展开这种问题没有书写示范，以致不少学生书写不规范或弄错，板演的学生就有好几处错误，我也没有详细板书订正。我想，好在还有第二节课的加强，先让学生对此内容有点兴趣，再去强化运算的正确性也不迟。

4、课堂上如何放手让学生自主学习。多位专家评课中提到数学课堂上如何放手让学生自主学习，这也是新课程大力倡导的。我认为，像这样面对新学生的展示课，难以操作。因为让学生自主学习，必须课前作充分的准备，学生带着问题到课堂上进行汇报和交流，师生共同释疑、纠错。否则，对于有一定难度的数学课，在课堂上2先自主、合作、探究，再来答疑、解惑，就没有足够的时间了。即使可以操作，自主、合作、探究也是走走过场，没有实际效果。语文与数学有不同特点，在数学课堂上如何实施自主学习值得深入研究。

篇8：《二项式定理》教学设计与思考

1. 知识与技能

( 1) 能利用组合数的方法证明二项式定理;

(2) 理解并掌握二项式定理, 并能简单应用.

2. 过程与方法

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程, 培养学生观察、分析、概括的能力以及化归意识与知识迁移能力, 体会从简单到复杂的思维方式, 并形成从特殊到一般的归纳.

3. 情感、态度与价值观

培养学生的自主探究意识、合作精神, 体验二项式定理的发现和创造历程, 感受数学史.

二、教学重点、难点

重点:探究并归纳用组合数的方法得到展开式的形成过程, 并由此得到二项式定理.

难点:1. 展开式中的项的特点;2. 展开式中各项系数的确定.

三、教学设想

为了突破难点、 突出重点, 我采用化归的思想将二项式展开过程化归到熟悉的 ( a+b) 2, ( a+b) 3, 设计展开 ( a+b) 4, 进而探究 ( a+b) 10, 引出课题, 启发引导学生采用分组合作探究的形式分析、解决问题.

四、教学过程设计

1. 数学史

屏幕展示科学家牛顿, 陈述二项式定理是他在数学史上的第一个发现, 引出课题.

2. 创设情境

设计问题串, 创设情境, 引出二项式定理的推导过程.

问题1:大家可能会问, 二项式定理是用来研究什么的?

二项式定理就是用来研究 ( a+b) n ( n∈N*) 是如何展开的.

问题2: ( a+b) 2等于什么?

问题3:快速计算 ( a+b) 3, 并回答你是用什么方法得到的.

问题4:用同样的方法可以快速展开 ( a+b) 10吗?

我们要展开 ( a+b) 10就须要知道 ( a+b) 9, 要展开 ( a+b) 9就须要知道 ( a+b) 8……

这个过程是相当复杂的, 那么我们就来研究怎样能够更快地展开 ( a+b) n.现在如果你是牛顿, 你会怎么想 ( 应该从这里面寻找一个规律) ?

引出寻找一个新的方法, 快速展开 ( a+b) n, 保证后面能选取最便捷的方法, 并且运用该方法准确、快速地得到答案.

3. 教授新课

寻找规律。 请大家思考一下:第一, 我们从什么地方开始寻找规律?第二, 这个展开式虽然很复杂, 但是只要我们能够抓住几个关键环节就可以把展开式轻松展开, 那么, 这几个关键环节是什么?

我们要找一个规律, 这个规律肯定是n∈N*, 只要在这个范围内什么样的式子都成立.所以我们可以从简单的式子入手, 以此类推.第二, 虽然展开的式子很复杂, 但是只要我们抓住这几条: ( 1) 展开后有多少项; ( 2) 各单项式的形式; ( 3) 各单项式的系数.

这节课我们将从这三个方面来重点研究问题. 首先, 让我们对 ( a+b) 2的展开式的形成过程重新进行分析. 2ab这一项是ab与ba合并同类项之后形成的. 接下来, 用新的思想重新考虑系数2 是怎样形成的, 引出应该从ab这一项是怎样形成的去考虑.ab这一项的形成可以看做:从这两个因式中选择一个因式, 让其中一个出现a, 另一个出现b. 对于一个因式来说, 它里面要么出现a, 要么出现b, 且只能出现一个. 因此, 出现a了就不能出现b;出现b了就不能出现a .事实上, 以谁为研究对象都可以, 在这里, 我们不妨以b为研究对象, 所以引出二项式定理从始至终以b作为研究对象.

接着分析ab这一项, ab可以看做是从两个因式中选出一个因式出现b, 有C21种可能性, 剩下的因式自然就出现a, 则只有一种可能, 因此我们始终以b为研究对象, 就得到了2ab.接下来用同样的思想来探索a2, 可以看做从两个因式中选0 个因式出现b。 因此, 对它来说应该是C20a2;最后一项, 从两个因式中选出2 个, 让它们都出现b, 就有了C22b2这一项.

如此, 我们用组合数的方法重新定义了我们所认识的 ( a+b) 2, 那么接下来再用同样的方法探索一下 ( a+b) 3具体会出现哪些项 ( 按b的升幂的顺序写出每一项) , 每一项的形成过程是什么 ( 请学生回答) .强调在以b为研究对象的前提下, 在每一项的形成过程中产生了相应项的系数, 而系数是用组合数定义的, 这是我们最关心的.根据刚才的规律, 可以快速推出 ( a+b) 4, 利用组合数的思想写出系数C40、C41、C42、C43、C44.

现在, 以 ( a+b) 2, ( a+b) 3, ( a+b) 4作为最基本的研究对象, 你能不能从中找到一些规律? 还是从我们所说的三点总结, 即项数、项数特点、项数系数的特点.学生讨论, 并将讨论的结果与大家一起分享.

注意:在讨论的过程中, 从项数特点上渗透通项, 从每一项的形成过程得到每一项的系数, 而且按照b的升幂的顺序列出每一项, 既简洁又可体现数学里的对称美.

从三个方面来寻找规律, 从简单到复杂, 用归纳推理的思想猜测出二项式定理, 进而对其证明.

表明二项式定理的特点:

( 2) 每个式子都有n次, a降幂, b升幂.

(3) 共有n+1项.

( 4) Cn0、Cn1…Cnk…Cnn叫做二项式系数.

(5) 用加号连接.

4.课堂巩固

例1:求的展开式.

从本例总结出一个二项式展开式的某一项的二项式系数和系数是两个不同的概念.

例2: ( 1) 求 ( 1+2x) 7的展开式4 项的系数.

(2) 求的展开式x3的系数.x

本例题中体现了二项式展开式的通项的作用, 强调重点内容:Tk+1=Cnkan-kbkk=0, 1, 2…n.

( 1) 为二项展开式中的第k+1 项.

( 2) 利用通项可以求出二项展开式中某些特殊的项:如常数项, 含x的n次幂的项, 某项的系数等.

学习了公式, 要学会正用、逆用, 还要学会变形用.

例3:化简 (x-1) 4+4 (x-1) 3+6 (x-1) 2+4 (x-1) +1.

5.课堂小结

请大家思考:

( 1) 本节课新学习的基本知识点;

( 2) 本节课新知识点的得出用了什么思想方法?

让学生回顾知识形成过程, 梳理思路, 自我归纳总结.

6.作业

( 1) 在二项式定理中, 如果设a=1, b=x, 则得到什么公式?

( 2) 试写出 ( 1+b) n的展开式.

五、设计思考