二项式定理优秀教案

二项式定理优秀教案（精选7篇）

篇1：二项式定理优秀教案

排列、组合、二项式定理·二项式定理的应用·教案

教学目标

1．利用二项式定理及二项式系数的性质解决某些关于组合数的恒等式的证明；近似计算；求余数或证明某些整除或余数的问题等．

2．渗透类比与联想的思想方法，能运用这个思想处理问题． 3．培养学生运算能力，分析能力和综合能力． 教学重点与难点

数学是一门工具，学数学的目的就是为了应用．怎样建立起要解决的问题与数学知识之间的联系（如一个近似计算问题与二项式定理有没有联系，怎样联系），是这节课的难点，也是重点所在．

教学过程设计

师：我们已经学习了二项式定理及二项式系数，请大家用6分时间完成以下三道题：

（1）在（1-x3）（1+x）10的展开式中，x5的系数是多少？（2）求（1+x-x2）6展开式中含x5的项．

（全体学生参加笔试练习）

6分钟后，用投影仪公布以上三题的解答：

（1）原式=（1+x）10-x3（1+x）10，可知x5的系数是（1+x）

（2）原式=[1+（x-x2）]6=1+6（x-x2）+15（x-x2）2+20（x-x2）3+15（x-x2）4+6（x-x2）5+（x-x2）6．

其中含x5的项为：20·3x5+15（-4）x5+6x5=6x5．

师：解（1），（2）两题运用了变换和化归思想，第（2）题把三项式化为二项式，创造了使用二项式定理的条件．

第（3）题的解法是根据恒等式的概念，a，b取任何数时，等式都成立．根据习题结构特征选择a，b的取值．这种用概念解题的思想经常使用．

下面我们看二项式定理的一些应用．

师：请同学们想一想，例1怎样解？

生甲：从结构上观察，则与练习的第（3）题有相似之处，只是组合数的系数成等比数列，是否根据二项式定理令a=1，b=3，即可得到证明．

师：请同学们根据生甲所讲，写出证明．（找一位同学板演）

证明：在（a+b）n的展开式中令a=1，b=3得：

师：显然，适当选取a，b之值是解这一类题的关键，再看练习题． 练习

生乙：这题与例1类比有共同点，仍是组合数的运算，不同点是缺

我考虑如能用二项式定理解，应对原题做以下变换：

师：分析得很透彻．这种敢想、会想精神是每位同学都要培养的．首先是敢字，不要一见题目有些生疏就采取放弃态度；要敢于分析，才能善于分析，将来才敢于创新，善于创新．

请大家把解题过程写在笔记本上．（教师请一名同学板演）

在（a＋b）6的展开式中令a=1，b=3，得

师：解题过程从“在（a+b）6的展开式中令 a=1，b=3”写起就可以了．希望同学们再接再励，完成下个练习．

练习

师：大家议论一下，这道题能用二项式定理来解吗？

生丙：初步观察，与上节课我们学刁的：“在（a＋b）n的展开式

解决．我们注意到组合数代数和的值为余弦值或正弦值，又注意到正项

„）或r=4m＋1（m=0，1，2，„），负项出现在r=4m＋2（m=0，1，2，„）或r=4m＋3（m=0，1，2，„），而虚数单位i有以下性质：

i4m=1，i4m+1=i，i4m+2=-1，i4m+3=-i（m∈Z）． 于是想在（a＋b）n的展开式中令a=1，b=i．

师：分析得有道理，请同学们按生丙同学的意见进行演算．（教师找一位同学板演）

证明：设i是虚数单位，在（a＋b）n的展开式中令a=1，b=i中得：

另一方面，又有

由此得到

根据复数相等定义，有

师：认真分析习题的结构，运用类比与联想的思想方法，可以帮助我们找到解题的思路，下面我们研究二项式定理在数字计算方面的应用．

例2 计算：1.9975（精确到0.001）．

生丁：这道题若用二项式定理计算，必须把1.997看作1+0.997，这样，1.9975=（1+0.997）5．

师：计算简单吗？

生戊：把1.9975化为（2-0.003）5，再展开，由于精确到0.001，不必各项都计算．

师：按生戊所谈的方法，大家在自己的笔记本上计算一下．（教师找一位同学板演）解：1.9975=（2-0.003）5

=25-5×24×0.003+10×23×0.0032-10×22×0.003＋„

由于|T6|＜|T5|＜|T4|≈1.08×10-6，则|T4|＋T5＋T6|＜0.000004． 所以1.9975≈32-0.24+0.000 72≈31.761． 师：1996年全国高考有这样一道应用题：（用投影仪示出，老师读题）

某地现有耕地10 000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％．如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？

稍候，教师问：

谁想出解法了，请讲一讲．

生己：设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷，耕地平均每年至多只能减少x公顷．

十年后耕地亩数：104-10x，十年后总产量：M×（1+22％）（104-10x）． 十年后人口：P×（1＋1％）10，依题意可以得到不等式

师：实际计算时，会遇到（1＋0.01）10的计算问题，请全体同学在笔记本上迅速计算出来．

（教师请一同学板演）

师：真迅速啊！请同学们课下把这道高考题完成．（答案：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷）现在，我们再讨论一个新的问题．

例3 如果今天是星期一，那么对于任意自然数n，经过23n+3＋7n＋5天后的那一天是星期几？

生庚：先将此题转化为数学问题，即本题实际上寻求对于任意自然数n，23n+3+7n＋5被7除的余数．

受近似计算题目启发，23n+3=8n+1=（7＋1）n+1，这样可以运用

数，7n也是7的倍数，最后余数是1加上5，是6了． 师：请同学们在笔记本上完成此题的解答（教师请一名同学板演）

解：由于23n+3＋7n＋5=8n+1＋7n＋5=（7＋1）n+1＋7n+5

则 23n+3＋7n＋5被7除所得余数为6 所以对于任意自然数n，经过23n+3＋7n＋5后的一天是星期日．

师：请每位同学在笔记本上完成这样一个习题：7777-1能被19整除吗？（教师在教室内巡视，3分钟后找学生到黑板板演）解：7777-1=（76+1）77

由于76能被19整除，因此7777-1能被19整除． 师：请生辛谈谈他怎样想到这个解法的？ 生辛：这是个幂的计算问题，可以用二项式定理解决．如果把7777改成（19＋58）77，显然展开式中最后一项5877仍然不易判断是否能被19整除，于是我想到若7777-1能被38，或能被57，或能被76，或能被95整除，必能被19整除，而76与77只差1，故欲证7777-1被19整除，只需证（76+1）77被76整除．得到了以上的解法．

师：二项式定理解决的是乘方运算问题，因此幂的问题可以考虑二项式定理．下面我们解一些综合运用的习题

例4 求证：3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）． 师：仍然由同学先谈谈自己的想法．

生壬：我觉得这道题仍可以用二项式定理解，为了把左式与右式发生联系，将3换成2＋1．

注意到：

① 2n+n·2n-1=2n-1（2＋n）=2n-1（n+2）； ② n≥2，右式至少三项；

这样，可以得到3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）．

生癸：根据题设条件有n∈N，且n≥2．用数学归纳法应当可以证明． 师：由于观察习题时思维起点不同，得到了习题不同解法，生×同学从乘方运算这点考虑，想到二项式定理，生×同学从题设条件n∈N考虑，想到数学归纳法．大家要养成习惯，每遇一题，从不同角度观察思考，得到更多解法，使我们思考问题更全面．

用二项式定理证明，生×同学已经讲清楚了证明过程，大家课下在笔记本上整理好，现在请同学们在笔记本上完成数学归纳法的证明．

（教师请一名同学板演）

证明：①当n=2时，左式=32=9，右式=22-1（2＋2）=2×4=8，显然9＞8．故不等式成立． ②假设n=k（k∈N且k≥2）时，不等式成立，即3k＞2k-1（k＋2），则当n=k＋1时，由于 左式=3k+1=3·3k＞3·2k-1（k＋2）=3k·2k-1＋3·2k． 右式=2(k+1)-1[（k＋1）＋2]=2k（k＋3）=k·2k＋3·2k，则 左式-右式=（3k·2k-1＋3·2k）-（k·2k＋3·2k）=3k·2k-1-2k·2k-1=k·2k-1＞0．

所以 左式＞有式．故当n=k＋1时，不等式也成立． 由①，②不等式对n≥2，n∈N都成立．

师：为了培养综合能力，同学们在笔记本再演算一道习题： 设n∈N且n＞1，求证：

（证明过程中可以运用公式：对n个正数a1，a2，„，an，总有

（教师在教室巡视，过2分钟找一名同学到黑板板演第（1）小题，再过3分钟找另一名同学板演第（2）小题）

师：哪位同学谈一谈此题应怎样分析？

生寅：第（1）小题左式与右式没有直接联系，应把它们分别转化，列前n项的和，由求和公式也能得到2n-1．因此得到证明． 第（2）小题左式与右式也没有直接联系．根据题目给出的公式要

师：根据式子的结构想有关知识和思考方法是分析问题的一种重要方法，要在解题实践中掌握．

本节课讨论了二项式定理主要应用，包括组合数的计算、近似计算、整除和求余数的计算以及与其他数学知识的综合应用．当然，二项式定理的运用不止这些，凡是涉及到乘方运算（指数是自然数或转化为自然数）都可能用到二项式定理．认真分析习题的结构，类比、联想、转化是重要的找到解题途径的思考方法，希望引起同学们的重视．

作业 1．课本习题：P253习题三十一：6，7，10； 2．课本习题：P256复习参考题九：15（2）． 3．补充题：

课堂教学设计说明

1．开始练习起着承上启下的作用．这三题既复习了二项式定理及其性质，又考查了数学基本思想，如等价变换、未知转化已知，取特殊值，利于本节课进行，又培养了学生预习复习的学习习惯．

2．只有学生自己动手、动脑、动口才能真正把知识学到手，才能培养思维能力、计算能力、表达能力、分析问题解决问题能力．因此课堂教学一定以学生为主体，体现主体参与．

3．学生的回答不会像教案写的那样标准，教师要因势利导，帮助学生提高分析能力．

篇2：二项式定理优秀教案

http://与第r1项的系数是不同的概念。

三、教学重点、难点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用。

四、教学过程：

（一）复习：

1．二项式定理及其特例：

0n1nrnrrnn

（1）(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)，1rr

（2）(1x)n1CnxCnxxn.rnrr2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnab.（二）新课讲解：

例1（1）求(12x)7的展开式的第四项的系数；（2）求(x)的展开式中x的系数及二项式系数。19x3解：(12x)7的展开式的第四项是T31C7(2x)3280x3，∴(12x)的展开式的第四项的系数是280． 7

（2）∵(x)的展开式的通项是Tr1C9x191r9r()r(1)rC9rx92r，xx∴92r3，r3，333∴x的系数(1)3C984，x3的二项式系数C984．

4例2 求(x3x4)的展开式中x的系数。

分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开。

解：（法一）(x3x4)[(x3x)4]

01C4(x23x)4C4(x23x)34

234C4(x23x)242C4(x23x)43C444，显然，上式中只有第四项中含x的项，33∴展开式中含x的项的系数是C434768

24444（法二）：(x3x4)[(x1)(x4)](x1)(x4)

04132234(C4xC4xC4xC4xC4)04132234(C4xC4x4C4x42C4x43C444)

3433∴展开式中含x的项的系数是C44C44768． 22424

北京英才苑网站

http://4x(2Cm4Cn)x mn2211∴(2Cm4Cn)36，即m2n18，12xm14x展开式中含x2的项的系数为 n22222Cn42m22m8n28n，tCm∵m2n18，∴m182n，∴t2(182n)2(182n)8n8n16n148n612

3715337时，t取最小值，16(n2n)，∴当n448*2但nN，∴ n5时，t即x项的系数最小，最小值为272，此时n5,m8．

例4 已知(x1)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，24x

（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项。

解：由题意：2Cnr822211121Cn()2，即n29n80，∴n8(n1舍去）221r163rrrr1rr8rC80r8 24 ∴Tr1Cx(4)()C8xx1rx4222xrZ①若Tr1是常数项，则163r0，即163r0，∵rZ，这不可能，∴展开

4式中没有常数项； 8r②若Tr1是有理项，当且仅当163r为整数，∴0r8,rZ，∴ r0,4,8，4即展开式中有三项有理项，分别是：T1x4，T535x，T91x2.8256

五、课堂练习：课本第107页练习第5，6题。

六、课堂小结：1．三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性；

2．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性。

七、作业：课本第143页 复习参考题十第12题，补充： 1．已知x3a8的展开式中x的系数是ax19展开式中倒数第四项的系数的2倍，求

a,a,a,a,前n项的和；

12．(xx4)n的展开式中第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中

x

常数项。

篇3：二项式定理的应用

(n∈N).理解二项式定理应注意以下几点.

1.二项式中,a是第一项,b是第二项,顺序不能变;

2.展开式中有n+1项(比指数多1)

;3.是二项式系数;

4.a的指数是降幂,b的指数是升幂,两者指数的和等于n.

5.二项式(a-b)n化为[a+(-b)]n展开.要注意各项的符号规律.

6.注意二项式定理的可逆性.

应用举例

一、进行近似计算

例1求1.056的近似值,使结果精确到0.01.

解:1.056=(1+0.05)6=1+6×0.05+15×0.052+20×0.053+…=1+0.3+0.0375+0.0025+…

其中T4=0.0025<0.01,可不必取了.

所以1.056≈1+0.3+0.0375=1.34.

例2求1.9975=(2-0.003)5精确到0.001的近似值.

解:1.9975=(2-0.003)5=25-5×24×0.003+10×23×0.0032-10×22×0.0033+…

若用Tk表示展开式中第k项的值,显然|T6|<|T5|<|T4|=0.00000108.

故1.9975≈32-0.24+0.00072≈31.761.

二、证明整除性或求余数

例3当n∈N*时,求证:32n+2-8n-9能被64整除.

所以32n+2-8n-9能64整除.

例4 (1992年高考题)求9192除以100所得的余数.

解:因为

所以要求9192被100除所得的余数,只要求992被100除所得余数.

因为能被100整除.

所以只要求+1=-919=-1000+81被100除所得的余数,显然所得余数为81.

例3、例4都是用了拆项技巧用二项式定理的,例4还用了转化思想.

三、证明组合数恒等式

例5证明:

证明:运用(1+x)n的展开式

设x=1则

评注:此等式可当公式用,注意记忆运用.

证明:在二项式定理中

令a=1,b=i,有

另外把1+i化为三角式,应用棣莫佛定理,有

由①和②,依复数相等的定义,得

评注:组合数恒等式这类命题,都和二项展开式有关.因此,二项式定理是证明组合数恒等式的重要方法.

四、求二项展开式系数的和的值.

例7如果2187,求的值.

分析:要求式子的值,需先求n的值,运用二项式定理,考虑已知等式左端可化简,得关于n的式子,可求n.

所以3n=2187,所以3n=37,所以n=7.

所以取x=0,所以(1-2×0)7=a0,所以a0=1.

再取x=1,则(1-2×1)7=a0+a1+a3+…+a7.

所以-1=a0+a1+a2+a3+…+a7.

又a0=1,所以a1+a2+a3+…+a7=-1-1=-2.

评注:凡涉及二项式系数和的求值题,常对变量取特殊值,如-1,0,1,应由题目的条件来确定.

类题:若,求(a0+a2)2-(a1+a3)2的值,答案:-1.

提示:对变量x取特殊值,令x=1,x=-1代入已知等式.

五、证明不等式

例9设n∈N*,求证:

证明:由二项式定理,得

例10 (2001年高考题)已知i,m,n是正整数,且1

(1)证明:;

(2)证明(1+m)n>(1+n)m,

证明:(1)证明从略.

篇4：二项式定理

1. 求二项展开式中的特定项或特定项的系数

例1 已知在[(x3-12x3)n]的展开式中笫6项为常数项. （1）求[n]；（2）求含[x2]项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.

分析 以“第6项系数为常数项”为突破口，先求[n]，再求含[x2]的项的系数，对于有理项是指[x]的指数为整数的项.

解 （1）通项公式为

[Tr+1=Crnxn-r3(-12)rx-r3=Crn(-12)rxn-2r3].

因为第6项为常数项，

所以[r=5]时，[n-103=0]，即[n=10].

（2）令[10-2r3=2]，得[r=2]，

故含[x2]项的系数是[C210(-12)2=454.]

（3）根据通项公式，由题意知[10-2r3∈Z,0≤r≤10,r∈n.]

令[10-2r3=k(k∈Z),]

则[10-2r=3k,][r=5-32k]，

[∴k]应为偶数，可取2、0、-2，

即[r]可取2、5、8.

所以第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为[C210(-12)2x2]、[C210(-12)2]、[C810(-12)8][x-2].

点拨 要区分展开式中项的系数与二项式系数，二者有本质的区别，二项式系数具有组合数的性质，如[(a+b)n]展开式中，系数最大的项是中间项，但当[a、b]的系数不是1时，项的系数与它们的二项式系数就不等.

2. 二项式系数的性质

例2 已知[(x-2x2)n(x∈N*)]的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.

（1）求展开式中各项系数的和；

（2）求展开式中含[x32]的项；

（3）求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.

解 （1）由题意知，第五项系数为[C4n(-2)4,]笫三项系数为[C2n(-2)2]，则有[C4n(-2)4C2n(-2)2=10]，

化简得 [n2-5n-24=0]，

解得[n=8]或[n=-3]（舍）.

令[x=1]得各项系数的和为（1－2）8＝1.

（2）[Tr+1=Cr8(x)8-r(-2x2)r=][Cr8(-2)rx8-r2-2r]，

令[8-r2-2r=32]，则[r=1]，

故展开式中含[x32] 的项为[T2=-16x32].

（3）设展开式中的第[r]项、第[r+1]项、第[r+2]项的系数绝对值分别为[Cr-182r-1、Cr82r、Cr+182r+1].

若第[r+1]项的系数绝对值最大，

则[Cr-182r-1≤Cr82r,Cr+182r+1≤Cr82r,]解得[r=5]，

又[T6]的系数为负，

故系数最大的项为[T7=1792.]

由[n=8]知，笫5项二项式系数最大，[T5=1120x-6.]

点拨 1. 根据二项式系数的性质，[n]为奇数时，中间两项的二项式系数最大；[n]为偶数时，中间一项的二项式系数最大.

2. 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不同，求展开式中系数最大项的步骤是：先假定第[r+1]项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式组并解此不等式组求得.

3. 二项式系数和或各项的系数和

例3 [(2-x)8]展开式中不含[x4]项的系数和为（ ）

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

分析 不含[x4]项的系数有8个，故可用间接法先求各项系数和及[x4]项的系数，则可求得答案.

解 选B. 展开式的通项公式[Tr+1=Cr828-r(-x)r][=(-1)rCr828-rxr2]，由[r2=4]得[r=8]，则含[x4]项的系数为1. 令[x=1]得展开式所有项系数和为[(2-1)8=1]. 故展开式中不含[x4]项的系数和为1－1＝0.

点拨 1. “赋值法”普遍适用于恒等式，对形如[(ax+b)n、][(ax2+bx+c)m(a,b∈R)]的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令[x=1]即可；对形如[(ax+by)n,(a,b∈R)]的式子求其展开式各项系数之和，只需令[x=y=1]即可.

2. 若[f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn]，则 [f(x)]展开式中各项系数之和为[f(1)]，奇数项系数之和为[a0+a2+a4+…=f(1)+f(-1)2]，偶数项系数之和为[a1+a3+a5+…=f(1)-f(-1)2.]

4. 整除或求余问题

例4 （1）求证：[4×6n+5n+1-9]是20的倍数[(n∈N)]；

（2）今天是星期一，再过3100天是星期几？

分析 （1） 将[6n]化为[(5+1)n,5n+1]化为[5(4+1)n]利用二项式定理展开，提取公因数20. （2）3100 被7除余几，关键是如何产生7.可考虑[3100=950=(7+2)50;][250=4×816=4×(7+1)16].

[∴3100]被7除余数是4，故再过3100天是星期五.

点拨 用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者前面）一、二项就可以了，同时，要注意余数的范围，[a=cr+b],其中余数[b∈[0,r),r]是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换.

5. 综合问题

例5 [(1+x+x2)1(x-1x)6]的展开式中的常数项为 .

分析 应重点考虑多项式[1+x+x2]中的每一项与[(x-1x)6]的展开式中的哪些项之积为常数.

解 [(x-1x)6]的展开式中的通项为

[Tr+1=Cr6x6-r(-1x)r=(1-)rCr6x6-2r].

令[6-2r=0], 得[r=3],[T4=(-1)3C36]；

令[6-2r=-1], 得[r=72]（舍）.

令[6-2r=－2], 得[r=4],[T5=(-1)4C46x-2.]

[(1+x+x2)1(x-1x)6]的展开式中的常数项为[1×(-C36)+C46=-5].

点拨 解答本题时易犯的错误有：一是误以为所求的常数项为1与[(x-1x)6] 的展开式中的常数项之积，从而造成错解，出现错误的原因是对两个多项式之积出现常数的情况估计不足. 二是把[(x-1x)6]全部展开，运算繁琐，浪费时间，造成潜在丢分，出现这种现象的原因是不能灵活运用所学知识来解决问题.

【专题训练十三】

1. [(x+ax)5(x∈R)]展开式中[x3]的系数为10，则系数[a]等于（ ）

A. [-1] B. [12] C. 1 D. 2

2. 已知[(x2+1x)n]的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中[x]的系数为（ ）

A. 5 B. 10 C. 20 D. 40

3. [(1-3x+2y)n]的展开式中不含[y]的项的系数和为（ ）

A. [2n] B. [-2n] C. [(-2)n] D. 1

4. 已知[(1+x)+(1+x)2+⋯+(1+x)n=a0+a1x][+a2x2+⋯+anxn]，若[a1+a2+⋯+an-1=29-n]，则[n=]（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

5. 已知[(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+⋯+(1+x)8][=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8],则[a0+a1+a2+⋯][+a8]= .

6. 在[(x+34y)20]的展开式中，系数为有理数的项共有 项.

7. 在[(1-2x)6]的展开式中，含[x2]项的系数为 ；所有项系数的和为 .

8. 在[(x2-1x3)n]的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 .

9. 已知[{an}]是首项为1，公比为2的等比数列，则[a1C0n+a2C1n+a3C2n+⋯+an+1Cnn]等于 . （用含[n]的代数式表示）

10. 在[(2x-1)5]的展开式中，设各项系数之和为[a]，偶数项的二项式系数之和为[b]，各项系数的绝对值之和为[c]，则[a+b+c]= .

11. 已知数列[{an}(n∈N*)]是首项为[a1]，公比为[q]的等比数列.

（1）求和：[a1C02-a2C12+a3C22;][a1C03-a2C13-][a3C23-a4C33.]

（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数[n]的一个结论，并加以证明.

12. 若[(x+12x4)n]展开式中前三项系数成等差数列.

（1）求展开式中含[x]的一次幂的项；

（2）求展开式中所有含[x]的有理项；

（3）求展开式中系数最大的项.

【参考答案】

1. D 2. B 3. C 4. A 5. 502 6. 6 7. 60；1 8. 7 9. [3n] 10. 260

11. （1）[a1(1-q)2],[a1(1-q)3] （2）[a1C0n-a2C1n+][a3C2n+⋯+(-1)nan+1Cnn][=a1(1-q)n]

12. （1）[358x]

（2）[x4]，[358x,1256x2]

篇5：二项式定理优秀教案

§16.1 计数原理1—乘法原理（分步计数原理）

一、问题引入

常见船上悬挂有红、蓝、白三种颜色的旗帜，代表了不同的信号、不同的含义，随着排列顺序不同、悬挂数目不同，能表达多少种不同的信号？

路上有10盏路灯，为了节能，关闭其中三盏灯有多少种关法？如果三盏灯还要不相邻，又有多少种关法？

这便是我们这一章节主要要学习、讨论的内容，先从最基本的计数原理讲起．

二、教学过程

1、（1）参照《课本》P49图，讨论从A到B的不同走法情况．

答：

（2）从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

2、乘法原理

①一般地，如果做成一件事情要分为n个步骤，而完成其中每一步骤又有若干种不同方法，则做成这件事情的方法总数，可以用分步计数原理得到． 乘法原理：如果完成一件事需要n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，„„，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2m3mn种不同的方法． ②注意：m1、m2、mn对应的都是完成每一相应步骤的方法数，必须所有步骤都完成后，整件事情才算

完成．

例

1、（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？（3）4名同学争夺跑步项目的前三名，有多少种可能？（4）4名同学中选3人分别报名跑步、跳高、跳远三个项目，有多少种报名方法？（5）3封信投4个邮箱，几种投法？（6）四种型号电视机搞促销，3个顾客各选购一台，几种选法？（7）四台不同型号电视机搞促销呢？（8）5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座

例

2、（1）a1a2a3b1b2b3b4c1c2展开后共有多少项？（2）540的不同正约数有多少个？

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例

3、已知x1,2,3,4,5，y3,4,5,6，则Mx,y共可以表示多少个不同的点？多少个第2象限点？多少个不在直线yx上的点？

例

4、（1）0、1、2、3、4、5能组成多少四位数？

（2）0、1、2、3、4、5能组成多少无重复数字的四位数？（3）0、1、2、3、4、5能组成多少无重复数字的四位奇数？（4）1、2、3、4、5能组成多少无重复数字的三位偶数？

例

5、（1）已知A0,1,2,3，若a,b,cA，且a,b,c互不相等，则可表示的所有一元二次方程ax2bxc0有多少？

（2）若a1,2,3,5，b1,2,3,5，则能表示多少条不同的直线ybx？ a22（3）若a3,4,5，b0,2,7,8，r1,8,9，可表示多少不同的圆xaybr2？

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§16.2 排列

一、教学过程

1、排列：一般地，从n个元素中取出m（mn）个元素，按照一定次序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 特点：元素顺序不同，对应了不同的情况． 如果问题3中改为选取2人充当主持而不分正副，则还是排列问题吗？

2、如何判断两个排列是否相同？ 答：判断元素是否相同；排列顺序是否相同． 例

1、判断下列问题是否排列问题：

（1）从1，2，3，5中任取两个不同的数相减（除），可得多少种不同的结果？（2）从1，2，3，5中任取两个不同的数相加（乘），可得多少种不同的结果？（3）有12个车站，共需要准备多少种普通票？（4）在（3）中共有多少种不同的票价？

（5）某班有50名同学，假期约定每2人通一次信，共需写信多少封？（6）把（5）中写信问题改为会面，共需通电话多少次？（7）把（5）中通信换成互赠照片，共需准备照片多少张？

3、排列数 从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Pnm表示． 注：关于排列数的计算，Pn1表示n个元素里选取1个元素排成一列的情况，即n个元素选1个元素的选法，所以Pn1n，至于其他情况，有如下分析．

4、排列数公式：一般地，排列数Pnm可以按从n个不同元素中取出m个元素依次填入m个空位来考虑． Pnmnn1n2nm1 共m项

例

2、用排列数表示nmnm1nm15，其中m,nN，mn．

5、全排列

①n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列． 这时，排列数公式中的mn，即有 

Pnnnn1n2321 这就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积． ②正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示． 规定，0!1． ③Pnnn!为了保证全排列mn时也能成立，我们规定0!1．

例3、1!2!3!4!5!100!的个位数字是多少？

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例

4、解方程：（1）n3!1m1 

（2）P23n10Pn

3（3）5P9m3mP10n2!3

nn1n例

5、求证：PmnPmPm1．

例

6、从0，1，2，3，4中选取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中比200大的三位数有几个？

例7、15支球队进行双循环赛，即每队都要与其余各队在主客场分别比赛1场，共进行多少场比赛？（如改为单循环赛呢？）

例8、10个人排队，按以下要求有多少种不同排法？（1）任意排成一排；

（2）排成两排，每排5人；（3）甲不在队首；

（4）甲乙丙必须在奇数位上；

（5）甲在奇数位上，乙丙在偶数位上；（6）甲乙丙三人必须在一起；

（7）甲乙丙三人必须在一起，丙又在甲乙中间；（8）甲乙丙三人中任意两人不排在一起；（9）甲始终坐在乙的右侧．

例9、5男5女共10个同学排成一行，（1）女生都排在一起，有几种排法？（2）女生与男生相间，有几种排法？

（3）任何两个男生都不相邻，有几种排法？（4）5名男生不排在一起，有几种排法？

（5）男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？（6）5名男生坐在一起，男生甲在乙的右侧，有几种排法？

例

10、用1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字的七位数中，若2，4，6次序一定，有多少种不同的七位数？如改为1，3，5，7次序一定呢？2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

§16.3 计数原理2—加法原理（分类计数原理）

一、教学过程

1、加法原理

如果完成一件事有n类的办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，„„，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2m3mn种不同的方法．

2、注意

①各类方法间相互独立，通过每一类方法都能完成整件事； ②分类时，确定一个分类的标准，不重复不遗漏； ③分类时要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性；分步时要注意“步”与“步”之间的连续性． 例

1、给定数字0，1，2，3，4，5，每个数字最多用一次，（1）可以组成多少个自然数？（2）可以组成多少个奇数？（3）可以组成多少个四位偶数？

（4）可以组成多少个比2300大的四位数？（5）可以组成多少个比240135大的数？（6）可以组成多少个能被5整除的四位数？（7）可以组成多少个能被25整除的四位数？

例

2、在3000和8000之间，有多少个无重复数字的奇数？

例

3、某天课程表排入数学、物理、化学、语文、英语、体育各一节，（1）体育不排第一节，也不排第三节，几种不同排法？（2）第一节不排体育，第三节不排数学，有多少种不同的排法？

二、课后练习

1、将a、b、c、d、e、f六个不同元素排成一列，其中a不排在首位，b不排在末位，有几种排法？

2、从9本不同的书中取出6本排在书架上，满足下列条件之一，分别有几种方法？（1）某一本书必须排在左端或右端；（2）某一本书不能排在两端；

（3）某两本书，A不能排在左端，B不能排在右端．2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

§16.4 组合

一、教学过程

1、组合：一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的次序有关，而组合与元素的次序无关．

2、如何判断两个组合是否相同？ 元素相同（不管元素的次序是否相同）

3、组合数 从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示． 1注：关于排列数的计算，Cn表示n个元素里选取1个元素的情况，即n个元素选1个元素的选法，所100nPn1n；Cn1；Cn以Cn表示n个元素里一个都不选的选法数，显然Cn表示n个元素里选取n个元素的选法数，显然，Cnn1，至于其他情况，有如下分析． Pnmnn1n2n!nm1

4、组合数公式：Cm，其中mn． m!m!nm!Pmmn例

1、解方程：CCC．

m1m1m例

2、证明：CnCn1．

n

15、组合的应用题

例

3、现从5位男同学、4位女同学中选出5名代表，（1）男甲、女A都必须当选，有几种选法？

（2）男甲必须当选，女A不能当选，有几种选法？（3）至少有一个女同学当选，有几种选法？（4）最多有三个女同学当选，有几种选法？

例

4、要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？（1）A、B、C三人必须入选；（2）A、B、C三人不能入选；（3）A、B、C三人只有一人入选；（4）A、B、C三人至少一人入选；（5）A、B、C三人至多二人入选．2n2n12n2 2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

例

5、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？

（3）甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？

例

6、（1）某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷．现从这11人中选出4人排版、4人印刷，有几种不同的选法？

（2）由13个人组成的课外活动小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，3个人既会唱歌，也会跳舞，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？

6、组合数的性质 ①性质

1、CnmCnnm mm1m1CnCn②性质

2、Cn1 例

7、计算：CC

例

8、解方程：

x12x283C17Cn（1）C17

（2）Cn

n3n12n3C21例

9、求值：（1）C338（2）C2nnnn；3Cn1

例

10、计算：

***6C4C5C6C7C8C9C6C7C8C9C7C8C9（1）C4；（2）C5；（3）C52C6

13m12C32C4CmCm例

11、证明：C211 1315810 2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

§16.5 二项式定理

一、教学过程

1、二项式定理： ①一般地，对于任意正整数n有 abn0n01n112n22nrrnrn11n1n0nCnabCnabCnabCnabCnabCnab ②右边的多项式叫做ab的二项展开式，它一共有n1项，其中各项的系数Cnr（r0，1，2，）叫做二项式系数，式中的Cnranrbr叫做二项展开式的通项，它是二项展开式中的第r1项，用Tr1表示，即 rnrrTr1Cnab． n例

1、求1的二项展开式．

x14

1例

2、求2x的二项展开式．

x6

12例

3、（1）求xa的二项展开式的中间项；

1（2）求x的展开式中第四项的系数及二项式系数；

x91（3）求2x的展开式中x3的系数及二项式系数；

x912（4）求x的二项展开式中x的系数．

x8

x3例

4、（1）求的二项展开式中的常数项；

x31（2）求3x的二项展开式中的常数项；

x2（3）求x4的二项展开式中的有理项；

x15（4）若x2的二项展开式中x3的系数为，求a的值．

ax2691516

2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

1例

5、已知x4的二项展开式中，前三项系数成等差数列，求二项展开式中的所有有理项．

2xn

1例

6、（1）设x2的展开式中含有非零常数项，求正整数n的最小值；

2xn（2）若x2xnxn1ax3bx2cx2n（nN，n3）且a:b3:2，求n．

例

7、计算：

1n12n2rnrn（1）2nCn； 2Cn21Cn21Cn01n1nCnCnCn（2）Cn；

12n1n4Cn2n1Cn2nCn（3）12Cn；

例

8、求5051被7除所得的余数．

二、二项式系数性质： nrn1、观察二项式系数表，探究规律 ①每一行中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等； ②每一行两端都是1，其余位置的每一个数都等于它“肩上”两个数的和； ③每一行中，二项式系数先是逐渐增大至最大，然后逐渐减小，越靠近中间越大，左右对称．

2、一般地，二项式系数有如下两个性质： ①性质

1、ab的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等； 这一性质可直接由公式CnmCnnm得到． ②性质

2、ab的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n． 1n1n将ab1分别代入ab和它的二项展开式中，即有2nCn0CnCnCn． nnn

例

8、求证：在ab的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

篇6：勾股定理逆定理教案

威县二中 田利功

教学目标

一、知识与技能：

1．掌握直角三角形的判别条件． 2.熟记一些勾股数．

3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．

二、过程与方法: 1．用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想．

2.通过对Rt△判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于 探索的创新精神．

三、情感态度与价值观: 1．通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望． 2.通过对勾股定理逆定理的探究；培养学生学习数学的兴趣和创新精神．

教学重点：探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题、互逆定理，原定理、逆定理的有关概念及关系．

教学难点：归纳、猜想、应用勾股定理逆定理的结论．

教具准备 多媒体课件．

教学过程 教学活动 活动1复习旧知 1.直角三角形有哪些性质? 2.一个三角形，满足什么条件是直角三角形？ 我们是否可以不用角,而用三角形三边的关系 来判断是否为直角三角形呢? 教学活动 活动2合作探究

1.古埃及人曾用打绳结的方法得到直角。观察得到三角形的三边存在什么数量关系。

2.动手画一画下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：

2.5，6，6.5； 6，8，10。（1）这三组数都满足a2b2c2吗？

（2）画出图形,它们都是直角三角形吗？

3.通过上面的活动提出猜想。如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形。

4.互逆命题的理解。上面猜想得到勾股定理的逆命题。教学活动 活动3合作探究

1.勾股定理逆命题的证明。学生通过合作探究，进行勾股定理逆命题的证明。得到勾股定理的逆定理。

例题1.已知三角形ABC，三边分别为a,b,c，满足a+b=c 求证：三角形ABC为直角三角形。

2.探究互逆定理。

22教学活动 活动3合作探究

1.勾股定理逆定理的应用。学生通过合作探究掌握勾股定理的两个应用。

例2： “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后位于点Q,R处,且相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

例3.已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积?

教学活动 活动3课堂小结

1、任何一个命题都有

_____，但任何一个定理未必都有

__

篇7：勾股定理的逆定理教案

活动1(1)总结直角三角形有哪些性质．(2)一个三角形，满足什么条件是直角三角形?

设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力．

师生行为学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆．

本活动，教师应重点关注学生：①能否积极主动地回忆，总结前面学过的旧知识；②能否“温故知新”．

生：直角三角形有如下性质：(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余，(3)两直角边的平方和等于斜边的平方：(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．

师：那么，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?

生：有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形．

生：如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形．

师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b斜边c具有一定的数量关系即a2＋b2＝c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢?我们来看一下古埃及人如何做?

二、讲授新课

活动2问题：据说古埃及人用下图的`方法画直角：把一根长蝇打上等距离的13个结，然后以3个结，4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．

这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5．有下面的关系“32＋42＝52”．那么围成的三角形是直角三角形．

画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，有下面的关系，“2.52＋62＝6.52，画出的三角形是直角三角形吗?换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm．再试一试．

设计意图：由特殊到一般，归纳猜想出“如果三角形三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就为直免三角形的结论，培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法．

师生行为让学生在小组内共同合作，协手完成此活动．教师参与此活动，并给学生以提示、启发．在本活动中，教师应重点关注学生：①能否积极动手参与．②能否从操作活动中，用数学语言归纳、猜想出结论．③学生是否有克服困难的勇气．

生：我们不难发现上图中，第(1)个结到第(4)个结是3个单位长度即AC＝3；同理BC＝4，AB＝5．因为32＋42＝52．我们围成的三角形是直角三角形．

生：如果三角形的三边分别是2.5cm，6cm，6.5cm．我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5cm的边所对的角是直角，并且2.52＋62＝6.52．

再换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm的三角形，目标可以发现8.5cm的边所对的角是直角，且也有42＋7.52＝8.52．

是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢?