循环小数

循环小数（精选9篇）

篇1：循环小数

什么是纯循环小数_纯循环小数概念

纯循环小数解释

从小数部分第一位开始的循环小数，称为纯循环小数.纯循环小数是从十分位开始循环的小数，如0.33333333...(1/3),0.1428571428571....(1/7)等。顾名思义，纯循环小数就是在纯小数的基础上变成循环小数。

纯循环小数特点

分母只含有2或5的因数的最简分数，可以化为有限小数;

分母中含有2或5以外的因数的最简分数，可以化为循环小数，但不一定是纯循环小数。

若最简分数a/b的分母b只含有2和5以外的质因数(即b的质因数不包括2和5)，则该分数能化为纯循环小数。

纯循环小数概念

整数部分是零的小数，称为纯小数.

循环小数是小数位发生循环的小数,依循环开始的数位,可以分为纯循环小数和混循环小数两种。

混循环小数是从十分位后开始循环的小数,如0.1666666666...(1/6),0.009090909....(1/110)等

知识点

两数相除，如果不能得到整数商，就会出现两种情况：一是除得尽，商的小数位数是有限的，这叫有限小数;二是除不尽，除到小数部分，余数重复出现，商中某些数字也不断重复出现，且商的小数部分是无限的，这叫无限小数。

【循环小数】

(一)循环小数的意义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 如：3.2222这个小数可以记作 23. 5.3272727这个小数可以记作725.3

(二)区分有限小数和无限小数，小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数;小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。循环小数是无限小数的一种，但还有不少循环小数的无限小数。

【循环节】 (1)循环节的意义。一个循环小数的小数部分，依次不断地重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 如：3.33333的循环节是“3” 5.28282828的循环节是“28” 10.051301730173017的循环节是“3017”

(2)循环小数的简写。写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。

(3)纯循环小数和混循环小数的意义

①纯循环小数的意义。循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。

②混循环小数的意义。循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。

【小数的比较】 比较两个小数的大小的时候，先比较它们的整数部分。整数部分大的那个数较大;整数部分相同时，比较它们的小数部分十分位上的数大的那个数较大;十分位上的数相同时，比较百分位 如果两个小数，所有数位上的数都相同，那么这两个小数的大小相等。

[什么是纯循环小数_纯循环小数概念]

篇2：循环小数

循环和循环小数

五年级 王文涛 教学目标：

1、使学生在具体的情境中理解周期的意义，了解许多事物的变化都有周期性，掌握循环小数的周期，并能灵活运用周期变化规律解决实际问题。

2、让学生经历探索循环小数周期的过程，通过教学初步培养学生发现规律，解决实际问题的能力。

3、情感目标： 引导学生从现实的生活经历与体验出发，激发学生学习兴趣。在合作、探究学习中培养学生的协作精神。

教学重点：

循环小数的循环周期的探索，能利用循环周期的规律解决实际问题。

教学难点：

利用循环周期的规律解决实际问题。教学过程：

一、导入课题

在日常生活中有一些按照一定的规律不断重复出现。如人的12生肖、一年有春夏秋冬四个季节、一个星期有七天等等。像这些现象，我们称为“循环”。在数字中也有类似的情况，例如小数3.343434„„的小数部分“3”和“4”在不断的依次重复出现，这样的小数我们把它称为循环小数。这节课我们就一起来探讨循环小数的相关问题。

二、教学新课

1、复习循环小数相关知识 请同学们口答：

什么是循环小数？循环小数的循环节是如何确定的？

循环小数分为哪两类？（纯循环小数和混循环小数）

2、理解循环周期

说明：生活中我们会经常遇到循环现象，如一周只有七天，即日、一、二、三、四、五、六、日、一、二、三、四、五、六反复依次出现，每七天循环一次。还有计算钟点是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、1、2，„„每12小时循环一次。七天循环一次，就说循环周期是7；12个数循环就说循环周期是12。

问：在循环小数3.343434„„中，循环周期是几呢？

学生讨论交流后指名汇报。（因为小数部分的“3”和“4”循环，所以它的循环周期是2.）

请学生找出2.333„„和2.3444„„的循环周期。（两个小数的循环周期分别是1和2）

观察比较这两个循环小数有什么不同？它们的循环周期有什么区别？

思考：循环周期和循环节有什么联系？

学生回答后归纳结论：求一个小数的循环周期就是看循环节的个数是多少。

3、教学例1 18÷11商的小数点后面第2005位数字是几？

问：要想求出问题，我们必须要知道什么？（要先求出18÷11的商）

学生独立计算18÷11，求出商。根据学生汇报板书：18÷11=1.6363„„

问：这是一个什么小数？它的循环周期是几呢？（纯循环小数，循环周期是2）

想：小数点后面2005位数字里会出现多少次“6”和“3”呢？ 学生讨论后发现：只需用2005除以循环周期“2”就可以求出。板书：2005÷2=1002„„1 分析：数到2005位经过了1002个周期，还余一个。想：余下的这一个数代表的是几呢？（代表的是循环周期的第一个数，也就是数字6。）

学生完成解题过程，指名板演。

板书：18÷11商的小数点后面第2005位数字是6。

小结：解决这类题目时首先要求出算式的商，确定循环周期，再看要求的小数位数除以循环周期后所得的余数是几。根据余数和循环周期来确定所要求的数字。

例2、15÷21商的小数点后面第2009位数字是几？ 问：首先要求出什么？再确定什么？ 请学生讨论后独立完成。根据学生反馈板书：

15÷21=0.714285714285„„

问：这个小数是什么小数？混循环小数的循环周期如何确定呢？（确定混循环小数是要注意看清循环节，这个循环小数的循环周期是6.）

问：确定循环周期后下一步干什么？ 学生回答后板书：2009÷6=334„„5 分析：根据计算可知，数到2009位经过了334个周期，还余5个数，沿着周期依次往下数5位的数字是“8”，所以15÷21商的小数点后面第2009位数字是“8”。

例3、8÷11商的小数点后面135个数字之和是多少？ 问：要解决这道题目，首先我们要知道什么？（先要确定商的循环周期）

请学生计算出8÷11的商，确定它的循环周期。根据学生反馈板书：8÷11=0.7272„„，循环周期是2.问：下一步求什么？（求出135里面有多少个循环周期）135÷2=67„„1，有67个循环周期还余1，这个余数1表示第135位数字是7.分析：在135位数字里面有67个循环周期，也就是有135个“7”和“2”和第135位数字“7”。那么我们只要求出135个135个“7”和“2”与第135位数字“7”的和就可以解决问题了。

板书：67×（7+2）+7=610 所以8÷11商的小数点后面135个数字之和是610.三、巩固练习1、9÷11商的小数点后面第3002位数字是几？

2、22÷7商的小数点后面2009个数字之和是几？

四、全课总结

今天学习的是什么？你有什么收获？

五、布置作业． 1、1÷7的商小数点后第1999个数字是几？ 2、2÷13的商的小数点后面2000位各位上的数字和是多少？

3、3÷14的商是个混循环小数，这个商的小数点后第100位上

的数字是几？ 4、9÷13的商的小数点后面第1999位数字是几？这1999个数

篇3：“循环小数”教学建议

一、充分创设情境, 激发兴趣, 感悟“循环”

为了有效达成教学目标, 教师可以通过呈现生活中依次不断重复出现的现象激发学生的兴趣。

1. 故事引入。

从前有座山, 山上有座庙, 庙里有个老和尚, 老和尚对小和尚说:从前有座山, 山上有座庙, 庙里有个老和尚, 老和尚对小和尚说:从前有座山, 山上有座庙, 庙里有个老和尚……让学生接着说下去。追问:这个故事讲得完吗?为什么?

2. 听节奏悟规律。

如, 哒、哒哒, 哒、哒哒, 哒、哒哒…… (让学生也说一些自己想到的“节奏”)

3. 说一说生活中哪些现象也是

依次不断地重复出现的。 (每一年春夏秋冬的交替;每一天日出日落的交替;每一周周一到周日的交替等。)

二、设计挑战性活动, 认识循环小数

为了丰富学生的感性认识, 解决教学中的重点和难点, 把握余数和商的关系, 发现它们之间的规律, 教师应该多提供一些具有挑战性的素材, 调动学生的积极性, 让学生用眼观察、动口交流、动脑思考, 逐步抽象出“循环小数 (无限小数) 、有限小数”的本质特征。

1. 猜猜看, 激发欲望。

教学例8时, 可以先让学生观察主题图, 然后提出问题:“王鹏跑400米只用75秒, 平均每秒跑多少米?”学生根据路程、速度和时间的关系列出算式:400÷75, 让全班学生猜一猜, 能除尽吗?学生有的说能“除尽”, 有的则说“除不尽”, 众说纷纭, 于是让学生动手算一算, 发现这样的小数 (余数和商反复出现) 过去从未见过, 随之引出“用什么样的小数来表示除不尽的商”。这样, 不仅为学生创设了一个主动探究和追求成功的情境, 体现数学自身的乐趣, 还激发了学生强烈的探究兴趣。

2. 比一比, 谁的发现多。

教学例9。学生分组进行计算竞赛, 想一想, 你发现了什么。

计算: (1) 28÷18; (2) 78.6÷11。 (要求将竖式详细写出来。)

3. 分析比较, 揭示概念。

观察第 (1) 、 (2) 题竖式, 想一想:商和余数有哪些特点?如果再除下去, 商和余数将会怎样变化?引导学生对感知的事物进行分析, 概括商和余数出现的规律:余数重复出现, 商也重复出现。 (板书:28÷18=1.5555555……78.6÷11=7.14545454545……) 通过比较第 (1) 、 (2) 题对“依次”、“不断”、“重复”从感性认识到理性认识, 逐步抽象出循环小数这个概念。

4. 看书学习, 理解概念。

教师可以先设问:什么叫循环小数?让学生先带着问题看书学习, 并联系例题的解答过程, 理解“依次”、“不断”、“重复”等重点词语, 然后结合观察两道除法算式, 再次认识“除尽”和“除不尽”两种情况, 从而使学生对小数的认识从有限小数扩展到无限小数, 指出循环小数是无限小数, 最后, 引导学生观察分类。

三、仔细辨析, 巩固概念

(1) 分析下面各数, 哪些是循环小数, 哪些不是循环小数。

篇4：“循环小数”教学设计

苏教版义务教育六年制小学数学第九册“循环小数”。

教学目标：

1．使学生理解循环小数、有限小数、无限小数的意义，掌握循环小数的两种表示方法，会判断循环小数、有限小数、无限小数。

2．培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，提高学生的观察、分析和抽象概括能力，激发学生的探究欲望。

教学设计：

一、创设情境。激趣引新

1．口算。(练习十二第5题)

请同学们在3分钟内直接写出答案，然后同桌之间交换互查。

2．先找规律，再填空。

(1)

(2)4、3、7、4、3、7、______、______、______……

①指名口答。

②说一说你是怎样想的?如果再写下去会是什么?

3．引新。

从刚才练习的题目可以看出，它们都有依次不断重复出现的图案或数字，你能给它起一个名字吗?(揭示：循环)在数学王国里也有这样的知识，你们想不想了解?

二、自主探索。实现创造

1．循环小数的意义认识。

(1)分组进行计算比赛，看谁先算出下面两题的商。

①32÷6②2．7÷11

a．学生独立完成，并指名板演。

b．当学生发现问题不再算下去时，教师及时引导学生观察这两个算式，并让学生进行小组讨论：“你们能从中发现哪些数学知识或现象吗?”

c．学生交流。

d．猜一猜：如果继续除下去，商会是什么?算一算：你的想法对吗?

e．你能说一说这是为什么吗?

(2)你认为这两题的商应该怎样写呢?(指名口答，教师板书)

(3)引导概括：你发现这样的小数有什么特点?你能为这样的小数起一个名字吗?(学生回答后，完善课题)

(4)同桌交流对循环小数的认识。

2．练一练：下面几个数中是循环小数的有()。

①4．2②3．222……③3．08787……

④5．7676⑤5．7676……⑥9．4208208……

⑦3．1415926……

(口答并说一说理由)

3．认识循环小数的简便写法。

(1)像以上这些循环小数还有一些特殊的写法，你知道吗?(学生交流并试一试)

(2)在练习中选两个你喜欢的循环小数，并用这种方法写一写。

4．理解小数的分类。

(1)小组讨论：两个数相除如果得不到整数商，会有几种情况?

(2)出示相应算式。

①0．666÷0．2=3．33

②17÷16=1．0625

③1．4÷0．3=4．66……

④15÷7=2．142857142857……

(3)指名说一说，根据商的这两种情况，小数可以分成哪两类?

(4)师生交流，整理板书。

5．独立完成书上的“练一练”。

三、运用新知。拓展提高

1．发展练习：判断下列各题中哪些是有限小数．哪些是无限小数，哪些是循环小数，思考并提出问题。

3．1415926……0．652652……4．1777……

5．333334．8686……0．00707……

(学生独立练习，然后师生讨论交流，介绍无限不循环小数)

2．思考：8．2763763……小数部分第80位上的数是几?

(学生独立分析，小组合作交流)

四、质疑问难。谈论收获

通过今天的学习，你有什么收获?

[评析]

为了体现新的课程观、教材观、教学观和学习观，本节课创设了开放的问题情境，通过计算比赛，让学生自己发现问题并提出问题，初步感知了无限小数、循环小数的数学现象，激起了学生强烈的探究欲望。教师为学生提供了一个思考与合作、交流与创新的空间，创设了一个主动探索和追求成功的意境，充分调动了学生的积极性，使他们主动参与到知识的形成过程中，自主体验探究与成功的乐趣。这样既培养了学生的创造性思维，又让不同的学生学习了不同的数学，享受到了成功的喜悦。

篇5：循环小数教案

教学内容：人教版小学数学五年级上册第27～28页例8和例9 教学目标：

[知识与技能]1．使学生初步认识循环小数，掌握循环小数的读写方法及简便记法，能用循环小数表示除法的商及应用相关知识解决一些实际问题。

2、培养学生的观察、分析、理解、合作学习和概括能力，以及敢于质疑和独立思考的习惯。

[过程与方法]让学生经历自主探究、合作学习的过程，体会猜想、验证的探究规律的过程，培养学生的探究精神和意识。

[情感与价值观]通过创设生活情境，使学生发现数学与生活的密切联系。能在学习过程中获得成功体验，培养学生积极的数学情感，激发学生的学习兴趣。

教学重点：理解循环小数的特点，掌握循环小数的简便记法。教学难点：找循环小数的特点

教学准备：多媒体课件，视频展示台。教学过程：

一、创设情景，引入课题

师：我们这节课来探索一些有趣的规律。先听老师带来的一个故事，看你能从这个故事中发现什么规律？

（教师讲故事：从前有座山，山上有座庙，庙里住着老和尚和小和尚，老和尚给小和尚讲故事。讲的什么呢？老和尚说：从前有座山，山上有座庙，庙里住着老和尚和小和尚，老和尚给小和尚讲故事。讲的什么呢？老和尚说„„）师：聪明的同学们：这个故事有什么特点？ 生：这个故事总是在重复同一个内容……

师：不错！大家已经发现这个故事的一个特点了。板书：按照一定顺序依次重复

师：谁能根据这个特点接着老师的故事继续往下讲？ 让几个学生继续讲这个重复的故事。

师：照这样讲下去，你发现这个故事还有一个什么特点？

引导学生讨论后回答：像这样重复下去，这个故事永远也讲不完，所以故事后面用的“省略号”。

随学生的回答板书：依次不断的重复。

师：像这样有意思的依次不断重复出现，不仅仅出现在故事中，在我们平时接触到的一些自然现象或生活也有，哪些现象也是按照一定顺序依次不断重复进行着的呢？

生举例。多媒体展示：四季循环、红绿灯、白天黑夜交替出现等。师：像这样“依次不断重复出现”的现象叫做“循环”。多媒体展示：循环。

师：大家的推理能力可真强。不但我们的生活中存在循环现象，计算中也会遇到一些循环现象。这就是我们今天要一起来探究的新知。

二、互动新授

1、教学例8（1）出示主题图，获取数学信息。

师：同学们，盼望已久的校运动会终于举行了。我们的好朋友王鹏参加的是400米跑，他果然不负重望获得了冠军。谁能说一说，王鹏获得冠军的成绩？

（王鹏用了75秒跑完400米）大家把王鹏的成绩和自己比一下，觉得他跑得快吗？

师；王鹏跑得真快啊，那么大家能根据王鹏的成绩提一个数学问题吗？（平均每秒跑多少米？）

（2）让学生独立列式，后全班反馈。

引导学生观察图意后，列出算式400÷75。

2、认识循环小数

（1）.初步认识循环小数。师：请同学们用竖式计算，（同时请一位学生把400÷75的竖式列在黑板上。）看计算过程中你发现了什么？出现这个问题的原因是什么？师指导学生检查是不是因为计算上的错误导致除不尽。

全班讨论发现：除不尽不是我们计算上的错误，而是本身就除不尽，就象刚才的故事，讲也讲不完。

师：你们怎么能肯定会永远除不完。让学生充分发表意见。

引导学生发现：当余数重复出现时，商就要重复出现；商是随余数重复出现才重复出现的。师：猜想一下，如果继续除下去，商会是多少？它的小数部分的第4位商是多少？第5位呢？

学生思考后回答：如果继续除下去，无论是哪一位，只要余数重复出现25，它的商也就重复出现3。

师：是这样的吗？我们可以接着往下除来看看。学生验证略。

师：那么我们怎样表示400÷75的商呢？

引导学生说出：因为这种算式是永远除不尽的。可以用省略号来表示永远除不尽的商。教师随学生的回答板书：400÷75＝5.333„

接着引导学生发现我们以后碰到类似的除法，列竖式时没有必要继续除下去，只要除到余数出现了重复就不除了，但在写商时要把重复出现的数字至少写两次再打省略号。

师：我们刚刚说依次不断重复的现象也叫做循环，像5.333„这样小数，在计算中是不是经常出现呢？

（2）进一步认识循环小数。

师：通过刚才的探究，我们发现两个数相除会出现除不尽的现象，而且这种现象中还蕴涵着某种规律。那么这种想象是否普遍呢？我们再通过一些练习来加以验证。

1）出示例9

28÷18

学生先独立计算，然后在小组内讨论 分析商，懂得特点。

指出，像5.333„，1.555„这样的小数就是循环小数。多媒体出示课题：循环小数，并板书。

2）计算中如果出现了重复现象，会不会还有其他的情形呢？出示78.6÷11，师生共同列式计算，然后观察竖式，在小组内讨论，教师在视频展示台上出示写有讨论问题的卡片，如：

①这个算式能不能除尽？ ②它的商会不会循环？

③如果循环,它是怎样循环的？

（学生计算、讨论、交流，大约控制在3分钟，然后组织全班汇报，学生的意见可能出现以下两种）

生1：我们小组认为这个算式不能除尽，但它的商不会循环。师：为什么？

生1：因为它不像例1那样连续出现数字“3”。78．6÷11 生2：我们小组认为这里的商不能除尽，而且会循环。师：说说你们这样猜测的原因？

生2：因为我发现有数字“4”和“5”的重复。

师：大家觉得他们的猜测正确吗？请你们（指生1）这组的同学继续除下去，看商的小数部分会不会重复出现4、5。

学生计算后证实会重复出现4、5。那么7.14545„也是循环小数。师：比较5.333„和7.14545„，你觉得这两个循环小数有什么不同？ 生：前一个循环小数是一个数字循环，后一个循环小数是两个数字循环。师：请同学们用循环小数的方式标出这个算式的商。指导学生写出78.6÷11=7.14545„

师：你觉得这样的算式除到哪一位就可以不除了呢？ 指导学生说出，只要余数重复了，就可以不除了。师：为什么？

引导学生说出：因为像这样的算式余数循环，商也会跟着循环。师（指着5.333„，7.14545„）：对了！像5.333„，7.14545„这样的小数都是循环小数。

教师：观察这些循环小数，说说它们有什么共同之处？引导学生观察、讨论后，指导学生说出：都是从小数部分的某一位起，都有一个数字或几个数字依次不断地重复出现。

师：这样的小数叫做循环小数。（教师出示课题）3）师：你能像这样写出几个循环小数吗？ 进行写循环小数比赛，时间：20秒。学生写后，组织全班交流。

3、学习用简便记法表示循环小数，认识有限小数和无限小数 师：我们认识了这么多循环小数，你们认为写循环小数麻烦吗？其实循环小数还有更简便的记法。你能创造出一种更简便的记法吗？先让学生把这些循环小数中循环的数字用你喜欢的方式标出来吗？学生自主活动，并让几名学生在黑板上的循环小数上进行标示。

师：同学们很会动脑筋，想出了这么多的办法，然后介绍循环小数的简便记法。教师边指边介绍：这些在小数部分依次不断重复的一个或几个数字，可以用这样的方式把它写出来。如5.3333„可以写作5.3，7.14545„可以写作7.145。这就



是用循环节表示循环小数，如果同学们对循环节有兴趣，可以看一看教材第28页的阅读材料。学生一起看大屏幕。

三、巩固练习：课件出示。

四、课堂小结

篇6：循环小数教案

一.创设情境，生成问题

今天，老师来给你们讲一个有趣的故事：“从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，他对小和尚说”，故事是这样的：从前有座山，……(这个故事讲不完，重复)师：哪位同学能接着往下讲？

指名继续讲故事。

师：怎么不讲了？（这个故事讲不完）师：为什么呢？（因为这个故事总是不断地重复说这几句话，）

师：说得真好，那如果老师让这位同学不断地重复，一直讲下去，不叫停止，想一想，他要讲多少遍？（要讲无数遍）

师：像这样讲的遍数是“有限的”还是“无限的”？（无限的）

师：是的，我们听、讲这个故事的时候，总是有顺序依次地说四句话，“从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，他对小和尚说”，然后依次不断的重复出现。像这样“依次不断的重复”的现象我们可以用一个什么词来表示？（板书：循环）

其实在日常生活中，也有许多像这样有意思的循环现象，想一想谁还能举出一些例子？

二、自主探索,获取新知

1、师谈活引入新课: 我班男生400米谁跑得最快?成绩如何?和“王鹏”比比,(出示例题)。全班齐笔算王鹏平均每秒跑了多少米?(指名一生板演)。

2、初步感受循环小数的特点。

观察竖式,你发现了什么?(组织学生小组内交流)可能发现:

1、余数总是“25”。

2、继续除下去,永远也除不完。

3、商的小数部分总是重复出现“3”。

师:你们怎么能肯定会永远除不完,商的小数部分总是重复出现“3”?让学生充分发表意见,明确余数一旦重复出现,商也就重复出现。

师:那么商如何表示呢?

3、总结概括循环小数的意义

出示:28÷18 78.6÷11

先计算,再说一说这些商的特点。(请生板演计算结果)

学生讨论后,指名汇报,教师抓住学生回答: 如

1、小数部分,位数无限(或者除不尽)。

2、有的是一个数字不断重复出现,有的是两个……。学生小结循环数的意义。

4、巩固练习:下列哪些是循环小数?

0.999… 52.52525… 4.1677… 3.212121… 3.1415926… 学生评议。

5、自学介绍简便记法

如5.333…还可以写作5.3、0.24545还可以写作7.145,请学生把前面判断题中的循环小数用简便记法写一写。(请学生板演),同座互相检查,大家交流订正,在这个过程中,鼓励学生质疑。

6、理解有限小数和无限小数的意义。师:想一想,两个数如果不能得到整数商,所得的商会有哪些情况?请举例说明? 学生小组讨论,汇报。

三、学生小结

篇7：循环小数

特点?

生：我发现这道除法题除不尽，商总是重复出现“3”。

师：为什么会重复出现“3”呢?

生：因为余数重复出现“2”了，所以……。

师：这么说，32÷6的商里有多少个“3”呢?

生：有无数个“3”。

师：既然是有无数个，可以怎样表示呢?

生：我认为可以用省略号表示无数个“3”。

(板书：32÷3=5.33 ……)

2、出示2.7÷11，让学生除到商是五位小数时停笔。

师：想一想，如果继续除下去，商会怎样?

生：商里会依次不断地重复出现“4”和“5”。

师：你是怎么想出来的呢?

生：因为余数重复出现“5”和“6”，所以商就会重复出现“4”和“5”。

师：是不是这样的情况呢?继续除除看。

师：谁能说出这道题的商。

生：2.7÷11等于0.24545等等。

师：“等等”用什么符号表示?能不能不写省略号?为什么?

生：不能不写省略号。因为只有写上省略号，才能表示商后面还有很多45。

师：(出示下面一组题)能说出省略号表示的意思吗?

2÷9=0.222 ……

5÷12=0.4166 ……

9÷55=0.16363 ……

【让学生在尝试练习中认识循环小数，引导学生发现当两个数相除出现循环小数时商和余数的规律。这就重视了让学生掌握知识形成的过程，有利于学生今后的再学习。】

3、概括。

师：象这些小数，就是我们今天要学习的“循环小数”(板书课题)。谁能说一说什么叫“循环小数”?

生：一个小数，几个数字重复出现。

生：一个小数，几个数字依次不断地重复出现。

生：一个小数，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现。

【注：画横线部分，是教师逐步板书内容】

师：你们认为哪些同学说的最好?最请同学们看看书上写的与×××同学刚才说的还有什么不同?

生：书上多了“小数部分”这几个字。

师：书上为什么要强调从“小数部分”的某一位起呢?

生：这就是说循环小数是从“小数部分”而不是从整数部分的`某一位起，一个数字或者几个数字依次不段地重复出现。

4、判断。

师：请同学们判断下面哪几个数是循环小数?为什么?(小黑板出示)

0.999 ……

5.02727 ……

6.416416 ……

3.21212121

3.1415926 ……

0.547745 ……

学生判断后，教师组织讨论。

⑴ 师：3.21212121师循环小数吗?

生：不是。

师：小数部分的“21”这两个数字不是依次重复出现三次吗?为什么不是循环小数呢?

生：虽然“21”重复地出现了三次，但没有“不断地”重复出现，所以它不是循环小数，它是有限小数。

⑵ 师：3.1415926 ……是无限小数吗?

生：是。

师：是循环小数吗?为什么?

生：因为小数部分没有出现一个或几个相同的数字，所以……。

⑶ 师：在0.547745 ……这个小数中，“5”、“4”、“7”这三个数字已重复出现两次，它是不是循环小数呢?为什么?

生：虽然“5”、“4”、“7”这三个数字重复地出现，但没有依次地重复出现，所以它也不是循环小数。

【结合实例，帮助学生理解循环小数的意义，加深学生认识循环小数。这种抽象的文字概念，学生并不能靠读几遍就理解的，要联系实际，逐字逐句地讨论它的意义。】

㈡ 循环节

师：(指板)“5.333 ……”中不断重复出现的数字是哪一个?(3)

在“0.24545 ……”中依次不断出现的数字是哪几个?”(4、5)在循环小数中依次不断重复出现的数字有个名字：我们把它叫做循环节。

师：想一想，什么叫做循环节呢?请你找出以上判断题中循环小数的循环节。(教师指数，学生回答)

(当教师指第⑷小题时)

生：这个数的循环节是“21”。

师：对吗?

生：不对，因为这个数不是循环小数，所以它没有循环节。

师：对的，循环节只有在循环小数里才出现，如果不是循环小数也就没有循环节。

㈢ 循环小数的简便记法

1、讲解。

师：循环小数一般的写法是把循环节写出两边或者三遍，然后写上省略号。

不过这样写比较麻烦，简便写法是只写出一个循环节，然后在循环节的首位和末位数字上各记一个小圆点，这个点叫做循环点。例如：0.245。读作：零点二四五，四五循环。

2、练习。

⑴ 写出 5.33 ……的简便写法。

⑵ 写出判断题中循环小数的简便写法

㈣ 纯循环小数和混循环小数

1、引导

师：比较一下：“3.67”和“3.267”这两个循环小数的循环节的位置有什么不

同?

生：“3.67”的循环节是从小数部分的第一位就开始的;而“3.267”的循环节不是从小数部分第一位开始的。

篇8：循环农业与循环经济

循环农业可以合理利用资源,促进可持续发展。它的作用发挥的很好[3]。第一,充分利用太阳能以实现农业生产的物质转化。利用绿色植物的光合作用来不断提高太阳能的转化率,加速物流和能流在生态系统中的传递,以不断提高农业生产力。第二,开发农村潜在能源。解决农村能源问题要结合当地实际,利用多种方法,除采用供电、供煤等途径外,还建造沼气池,使用节柴灶,利用太阳能、风能、水能、地热能等,改变靠砍树来解决烧饭燃料问题的做法。第三,提高生物能的利用率和废弃物的循环转化。这里的废弃物主要是指作物秸秆、人畜粪便、杂草、菜屑等。对于这些废弃物,以前传统的方法是焚烧或作为肥料肥田,这是一种浪费。如果用作物秸秆等来发展畜牧业,再用牲畜粪便制沼气,这样既为农村提供了饲料和能源,又为农业生产增加了肥源。第四,防治各类污染与杜绝资源浪费,使农业生产拥有一个良好的生态环境。第五,保护、合理利用自然资源。要保护森林,防止水土流失,保护耕地和各种生物。

循环农业有五种发展模式[4]。一是“四位一体”型发展模式。此模式是把沼气池、畜(禽)舍、厕所和日光温室结合起来,实现同步产气、积肥,种植、养殖一体,取得物流、能流的综合效益,既可以使食品达到绿色标准,提高经济效益,又可以减少污染,提高环境质量。二是农业副产物再利用型发展模式。该模式是将农业生产过程中的副产物,通过一些处理方法变为有用的资源,实现农业副产物资源化,消除缓解对环境的污染和生态破坏,保障农业可持续发展。三是立体复合型发展模式。这种模式利用自然生态系统中各生物的特点,形成一个在空间上多层次和时间上多序列的产业结构,能使处于不同生态层的各生物种群在系统中各得其所,既充分利用太阳能、水分、土地资源和矿物质,又形成一个良好的生态环境,从而建立一个产业结构,获得较高的经济效益和生态效益。四是农业生态恢复型发展模式。该模式采用了生物方法与工程方法相结合的办法,保持农业生态系统良好的物质和能量循环,达到人与自然协调发展。五是农村庭院型发展模式。这个模式就是利用农村家庭庭院的生态环境和资源条件,建立高效农户生态系统,以种植业、养殖业为主,以加工业为辅,通过经营种植业、养殖业和技术密集型加工业,从而形成一个无废弃物的循环式结构。

这些模式在很多地区有所实践,并取得了较好的经济效益和社会效益。但是各地差异较大,地域和资源不同,所以没有统一的发展模式。目前,陕西某些地区探索四种循环农业模式[5]。“猪—沼—菜”模式。利用猪粪发酵产生的沼气来给大棚加温、增光和做饭烧水,用沼液、沼渣喷洒浇灌蔬菜,大棚菜的内在品质和经济效益都有很大提高。“猪—沼—苕”模式。猪粪经沼气池发酵后产生沼气用于做饭点灯,沼液和沼渣作为红苕等种植业肥料,秸秆作为饲料养猪,形成“种植—养畜—粪便—沼气—肥料—种植”的生态循环型产业链条。“猪—沼—果”模式。利用桑叶养蚕,之后的蚕渣喂猪,猪粪排入沼气池发酵,沼气用于蚕室的加温、照明或者用于做饭点灯,沼液、沼渣可以喷洒浇灌桑树、果树,生产出无公害产品。“黄姜纤维—食用菌—纤维碳”模式。主要是用黄姜提取皂素后的废弃纤维或稻草等农作物秸秆为主要基料,采用大棚技术调控环境条件,培养生产平菇等食用菌,菌渣生产纤维碳或做农田肥料。这些模式在提高农民收入,改善农民经济状况方面很有作用。同时也保护了农村的环境,使资源得到合理利用并且充分实现了可持续发展[5]。

伴随循环农业的是循环经济。循环经济实质上是一种生态经济,是遵循生态学和经济学原理及其发展规律,运用系统工程的方法,实现经济发展过程中物质和能量循环再利用的一种新型的经济发展模式,即“资源—产品—消费—再生资源—再生产品”的物质循环流动。循环经济是运用生态学规律来指导经济活动,它以资源的高效利用和循环利用为核心,按照“减量化、再利用、再循环”的3S原则,把所有物资和能源进行递次和回路循环使用,在发展经济的同时把经济活动对自然环境的破坏尽可能地降到最低程度[2]。循环经济是符合可持续发展道路的一种全新发展模式。它使经济活动按照自然生态系统规律,使整个生产和消费的过程和经济系统基本上不产生或者只产生很少的废物。其特征是实现农业产业链物质和能量梯次闭路循环利用,使其对自然环境的影响减少到尽可能小的程度,从根本上协调人类和自然的关系,转变农业增长方式和农产品消费方式,促进农业的可持续发展[6]。

与传统经济相比,循环经济具有三个重要特点:一是循环经济可以充分提高资源和能源的利用率,最大程度地减少废物排放,保护生态和环境;二是循环经济将经济增长、社会进步和环境保护目标纳入一个统一的发展模式,实现社会、经济与环境的“三赢”发展;三是循环经济可以在不同层面上将生产和消费纳入一个有机的可持续发展整体[3]。

循环经济在国外、尤其是德国、日本和美国实践得很好[6]。德国的具体措施是:制定一些法规以规范循环经济的正常运行。设立一些中介组织,发挥其沟通协调能力,使循环经济顺畅进行。同时,培养公众的环保意识,提高公民对循环经济的认可度参与度。日本的做法是:构建循环经济发展法律体系,为了循环经济发展提供法律基础。建立循环经济发展技术系统,保障循环经济的可行性。企业承担生产者责任,并加以引导和规范。公众有强烈的环境理念,促进循环经济发展。美国的行动是设立循环经济法来约束各类主体的活动。引导公众循环消费,并有实质性成果。政府在调节经济时注重充分利用现有资源。

但是中国仍然是传统农业占据主导的社会,所以循环农业需要我们公众的关注和参与。从传统农业向循环农业转变需要一些条件,而这些条件在中国不是很具备。首先,发展模式的转变就很困难,很多地区资源贫瘠,人口众多,为了解决吃饭问题而依赖传统农业。另外,循环农业投入资金较大,技术成本较高。对于贫困的农户来说,可达到性较弱。其次,中国的法律制度不健全,没有规范循环经济发展的保障。其他的支持措施也不到位,循环农业仅在小范围内开展。最后,农民的循环经济意识不强,没有很高的积极性和主动性[7]。

在中国发展循环经济才是我们的选择。循环农业可以使环境、资源、社会得到良性协调发展,循环经济可以使生态、经济、社会三方共赢。在如今资源极度缺乏的情况下,我们发展循环经济可以解决很多的资源、能源问题,可以增加各方主体的经济效益,也可以保护我们生存的环境。

参考文献

[1]魏传超,陈娟娟.当前中国农业循环经济发展障碍性因素分析[J].资源环境与发展,2007,(2).

[2]张昌蓉,薛惠锋.循环经济动力机制的系统分析[J].西北农业大学学报,2008,(9).

[3]张翠英.循环农业发展模式与对策调研报告[J].滦南县农业服务中心,2006,(8).

[4]史小红.循环农业及发展模式研究[J].河南教育学院学报,2007,(4).

[5]循环农业转变农民增收方式——陕西省旬阳县探索四种循环农业新模式[N].农民日报,2008-09.

[6]刘星.发展循环经济的国际比较及对中国的启示[J].现代商贸工业,2008,(9).

篇9：“循环小数”教学纪实与反思

教学内容：人教版六年制小学数学五年级上册第三单元“小数除法”中的“循环小数”。

教材分析：

“循环小数”是在学生学习了小数除法的意义、小数除法的计算及商的近似值的基础上进行教学的。这部分内容概念较多，又比较抽象，是教学的一个难点。课本的例7，是教学从某一位起、一个数字重复出现的情况，为认识循环小数提供了感性材料。例8通过计算两道除法式题，呈现了除不尽时商的两种情况：一种是从某位起重复某个数字;另一种是从某位起几个数字依次不断重复出现。由此引出循环小数的概念并介绍循环小数的简便记法。接着教材用“想一想”的方式组织学生讨论“两个数相除，如果不能得到整数商，所得到的商会有哪些情况” 。由此引出有限小数和无限小数的概念。以前学生对小数概念的认识仅限于有限小数，学习了循环小数以后，小数概念的内涵进一步扩展了，学生认识到除了有限小数以外，还有无限小数，循环小数就是一种无限小数。

教学目标：

根据教学内容和学生特点，确定教学目标如下：

1.让学生在探索的过程中，初步理解循环小数、有限小数、无限小数的意义;能正确地区分有限小数和无限小数;了解循环节的概念和循环小数的简便记法。

2.进一步培养学生发现规律的能力，提高他们的观察、分析、比较、抽象、概括等能力。

3.使学生感受到数学规律美、简洁美，让学生在学习过程中获得成功体验的乐趣。

教学重、难点：

1.认识循环小数，正确使用循环小数表示商。

2.理解产生循环小数的原因。

教学过程：

一 、巧激兴趣，揭示主题

师：同学们，你们知道一年有哪几个季节？

生：春季、夏季、秋季、冬季。

生：这四个季节循环交替……

师：对，每年都重复出现这四个季节，也可以说循环出现。（板书：循环。）

师：生活中这样循环的自然现象还有哪些？

生：一日、一周、一月……

师：同学们说得太对了！生活是一场周而复始的循环，从黎明到黄昏，从周一到周日，从年初到年末……其实，循环现象不仅在生活中常见，在我们数学学习中更常见，这节课我们就来共同学习循环小数。（板书课题。）

【在儿童的精神世界中，有一种强烈的需要，就是希望自己是一个发现者、探究者。为此我从生活实际出发，让学生感受生活中的循环现象，从而激发起学生强烈的研究兴趣，主动去探究。】

二、自主学习，探索新知

1.预习汇报。

师：同学们，通过预习你对循环小数有哪些了解？

（生根据预习自由汇报。）

师：循环小数是怎样产生的？我们怎样用它来表示商呢？这节课我们在预习的基础上继续研究循环小数。

【学生在预习时，对循环小数已有了初步的感知，通过汇报更激发继续深入探究循环小数的愿望。】

2.继续探究，认识循环小数。

（师出示例7的主题图，生读题后独立列式计算。）（要求：结果要除到百分位以后。）

（生初步体会产生循环的原因。）

（师出示自学提示：①你的计算结果和以前的计算结果有什么不同之处？

②商和余数有什么变化规律？

学生计算后，在小组内探究，并把探究的结果进行汇报。）

生：虽然商的精确程度不同，但商不是准确数，而是近似数。

生：余数重复出现25，而商重复出现3，一直写下去，永远也写不完。

师小结：余数重复出现25，而商重复出现3，你们用慧眼得出了重大的发现，老师祝贺你们。那么算式的结果该怎么写呢？在等号后面，多写一个重复的数字3，然后点上省略号，表示后面还有很多3。

3.深入探究，认识循环小数。

（1）提出学习任务。

师：400÷75的商的小数部分不断重复出现数字“3”，这是一种偶然现象吗？请从下面的题中选择2道题，列竖式进行计算。

28÷18      78.6÷11      10.1÷3     1.5÷7

（2）学生独立完成后，师通过实物投影展示学生的计算过程。

28÷18=1.555……       78.6÷11=7.14545……

10.1÷3=3.3666……    1.5÷7=0.2142857142857……

（3）进一步理解循环产生的原因。

师：观察投影展示的各个算式，你有什么发现？

生：第一题的商从小数部分的第一位起，不断重复数字5;后三道题的商，都是从小数的第二位起，不断重复45、6、和142857。

师：产生这样的数的原因是什么呢？

生：第一题的余数10重复出现，每次添0后除以18，总是商5，第二题余数5、6依次重复出现，每次添0后除以11，商分别是4、5。

…………

【学生学习知识不是一个简单的接受过程，而应是一个发现的过程，一个创造的过程。学生只有通过自己的实践、比较、思索、发现，才能真正对学习内容产生兴趣，进而领悟，内化为自己所有。】

师小结：你们观察得仔细，回答得精彩。确实是，由于相同余数的重复出现，导致了商的相同数字重复出现。endprint

4.概括循环小数的概念。

看这些算式的商，你发现了什么？

28÷18=1.555……       78.6÷11=7.14545……

10.1÷3=3.3666……    1.5÷7=0.2142857142857……

生：小数部分都有一个或几个数字依次不断地重复出现。

生：不一定从第一位起就重复，有可能从某一位开始。

生：小数的位数都是无限的。

…………

师小结：真是慧眼！像这样，一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。

（大屏幕出现。）

师：大声地告诉老师，什么样的小数是循环小数。

【教师没有直接给予学生答案，而是让学生通过观察，小组探究交流来发现。充分体现了学生在课堂中的主体地位。】

5.学习循环节及简便记法。

师：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫什么？怎样写循环小数比较简便？下面请同学们自由读书34页上半部分内容。

（生自学后汇报。）

师：同学们，根据我们的学习，你对循环小数有了更多的了解，你能出两道关于循环小数的习题吗？

（生在小组内出题并解答，然后展示给大家。）

【这一教学环节留给了学生创作的空间，充分发挥了学生的创造力，培养学生的创新意识。通过自己编题活动，使学生将所学知识运用于生活，使学生体验成就感，让不同的学生在数学上得到不同的发展。】

课堂练习：做一做的1、2题。

（生独立完成，并汇报。）

师小结：在计算时可以根据余数的情况，尽早地判定循环小数，并用简单写法表示得数。

6.认识有限小数和无限小数。

师：同学们，通过我们刚才的学习，你认为两个数相除的结果，会有哪些情况？

同桌讨论后汇报：

生：商是整数。

生：商是小数。

生：商是循环小数。

【教师在积极引导学生探索知识的同时，应该给他们留出足够的思维活动空间，让学生有展示自己的机会，使每个学生的能力都得到发展。学生在讨论中，悟出新知，从而激发了学生的思维和自主探究的兴趣，培养了学生的学习意识。】

师小结：两个数相除，可能除尽，也可能永远除不尽。能除尽，小数位数是一定的，这样的小数叫有限小数;如果除不尽，小数部分位数是无限的，就是无限小数。循环小数也是无限小数。（并板书。）

三、巩固练习

1.判断题。

（1）3.1415926……是循环小数。…………（  ）

（2）4.323232是循环小数。……………… （  ）

（3）无限小数是循环小数。……………… （  ）

（4）两个数相除，除不尽时，商一定是循环小数。（  ）

（5）循环小数都是无限的。……………… （  ）

（6）8.476……是循环小数。………………（  ）

2.填空题。

（1）一个小数，从小数部分的某一位起，（  ）或（  ）依次不断地（  ）出现，这样的小数叫做（  ）。

（2）在3.82，5.6，0.35，0.002，2.75，3.2727……中是有限小数的是（  ），是循环小数的数（  ）。

（3）8.375375……可以写作（  ）。

3.写出下面各循环小数的近似值（保留三位小数）。

0.3333……≈ 13.67373……≈

8.534534……≈ 4.888……≈

四、小结

师：这节课你的收获是什么？

反思：

“循环小数”是学生在学习小数除法过程中的一个难点。本节课在教学设计上力求让学生成为学习的主体，学生通过计算、观察、比较、交流等学习活动经历知识的形成过程，让学生成为知识的发现者、研究者、探索者。

1.关注学生已有的知识经验——为学生架起知识迁移的桥梁。

我们都知道，学生在学习新的知识之前，并不是没有任何基础的，每个孩子的知识起点是不同的。如果教师能很好地了解孩子们的知识储备，合理设计教学过程，这样的教学会起到事半功倍的作用。本课在引入课题时候，让学生从熟悉的生活现象中初步感知循环的特点，然而学生的认识也仅仅是停留在感知阶段，当让学生说生活中的循环现象时，这恰好真实地反映了学生当前对知识的认知程度。我从这个环节很好地了解自己的学生，适时地调整自己的教学设计。

2.注重学生发展——给学生提供自主合作的空间。

形成概念是概念教学中至关重要的一步，这个过程应该通过学生自主探索去完成，用自己的头脑亲自去发现事物或形的本质属性或规律，进而获得新概念。如果在教学方式上总是以教师“告诉”为主让学生“占有”新概念，置学生于被动地位，使思维呈依赖性。久而久之学生没有了探索的热情，而只是一味地等待老师把结果告知。在给循环小数概念定义时，要结合学生的心理特征，运用列举的方式，抓住概念中的关键词引导学生逐个理解之后，再对要点进行概括，从而使学生对循环小数概念有了一个全面、完整的认识。

3.关注概念的外延和内涵——让学生在练习中巩固、内化。

从认识的过程来说，形成概念是从感性认识上升到理性认识的过程，巩固概念则是识记概念和保持概念的过程，是加深理解和灵活运用概念的过程，即从一般到个别的过程。好的练习设计能够起到巩固、延伸的作用。教学新知后的练习，都紧紧围绕循环小数等概念的内涵和外延有针对性地开展，便于学生加深对概念的理解。

当然数学概念多而抽象，容易混淆或遗忘。学生对概念的掌握也不是一次就能完成的，需要由具体到抽象，再由抽象到具体的多次反复。但是在概念的生成阶段就给予一定的策略与方法，相信这样的尝试总是会进步的。