导数公式

2024-05-17

导数公式（通用14篇）

篇1：导数公式

基本初等函数的导数公式及导数运算法则测试题

一、选择题

1.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于

A.1 B.2

C.3 D.4

[答案] D

[解析] y=[(x+1)2](x-1)+(x+1)2(x-1)

=2(x+1)(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1，

y|x=1=4.

2.若对任意xR，f(x)=4x3，f(1)=-1，则f(x)=()

A.x4 B.x4-2

C.4x3-5 D.x4+2

[答案] B

[解析] ∵f(x)=4x3.f(x)=x4+c，又f(1)=-1

1+c=-1，c=-2，f(x)=x4-2.

3.设函数f(x)=xm+ax的导数为f(x)=2x+1，则数列{1f(n)}(nN*)的前n项和是()

A.nn+1 B.n+2n+1

C.nn-1 D.n+1n

[答案] A

[解析] ∵f(x)=xm+ax的导数为f(x)=2x+1，

m=2，a=1，f(x)=x2+x，

即f(n)=n2+n=n(n+1)，

数列{1f(n)}(nN*)的前n项和为：

Sn=112+123+134+…+1n(n+1)

=1-12+12-13+…+1n-1n+1

=1-1n+1=nn+1，

故选A.

4.二次函数y=f(x)的图象过原点，且它的导函数y=f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y=f(x)的图象的顶点在()

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

[答案] C

[解析] 由题意可设f(x)=ax2+bx，f(x)=2ax+b，由于f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a0，b0，则f(x)=ax+b2a2-b24a，

顶点-b2a，-b24a在第三象限，故选C.

5.函数y=(2+x3)2的导数为()

A.6x5+12x2 B.4+2x3

C.2(2+x3)2 D.2(2+x3)3x

[答案] A

[解析] ∵y=(2+x3)2=4+4x3+x6，

y=6x5+12x2.

6.(江西文，4)若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f(1)=2，则f(-1)=()

A.-1 B.-2

C.2 D.0

[答案] B

[解析] 本题考查函数知识，求导运算及整体代换的`思想，f(x)=4ax3+2bx，f(-1)=-4a-2b=-(4a+2b)，f(1)=4a+2b，f(-1)=-f(1)=-2

要善于观察，故选B.

7.设函数f(x)=(1-2x3)10，则f(1)=()

A.0 B.-1

C.-60 D.60

[答案] D

[解析] ∵f(x)=10(1-2x3)9(1-2x3)=10(1-2x3)9(-6x2)=-60x2(1-2x3)9，f(1)=60.

8.函数y=sin2x-cos2x的导数是()

A.22cos2x- B.cos2x-sin2x

C.sin2x+cos2x D.22cos2x+4

[答案] A

[解析] y=(sin2x-cos2x)=(sin2x)-(cos2x)

=2cos2x+2sin2x=22cos2x-4.

9.(2010高二潍坊检测)已知曲线y=x24-3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()

A.3 B.2

C.1 D.12

[答案] A

[解析] 由f(x)=x2-3x=12得x=3.

10.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为()

A.-15 B.0

C.15 D.5

[答案] B

[解析] 由题设可知f(x+5)=f(x)

f(x+5)=f(x)，f(5)=f(0)

又f(-x)=f(x)，f(-x)(-1)=f(x)

即f(-x)=-f(x)，f(0)=0

故f(5)=f(0)=0.故应选B.

二、填空题

11.若f(x)=x，(x)=1+sin2x，则f[(x)]=_______，[f(x)]=________.

[答案] 2sinx+4，1+sin2x

[解析] f[(x)]=1+sin2x=(sinx+cosx)2

=|sinx+cosx|=2sinx+4.

[f(x)]=1+sin2x.

12.设函数f(x)=cos(3x+)(0<)，若f(x)+f(x)是奇函数，则=________.

[答案] 6

[解析] f(x)=-3sin(3x+)，

f(x)+f(x)=cos(3x+)-3sin(3x+)

=2sin3x++56.

若f(x)+f(x)为奇函数，则f(0)+f(0)=0，

即0=2sin+56，+56=kZ).

又∵(0，)，6.

13.函数y=(1+2x2)8的导数为________.

[答案] 32x(1+2x2)7

[解析] 令u=1+2x2，则y=u8，

yx=yuux=8u74x=8(1+2x2)74x

=32x(1+2x2)7.

14.函数y=x1+x2的导数为________.

[答案] (1+2x2)1+x21+x2

[解析] y=(x1+x2)=x1+x2+x(1+x2)=1+x2+x21+x2=(1+2x2)1+x21+x2.

三、解答题

15.求下列函数的导数：

(1)y=xsin2x;(2)y=ln(x+1+x2);

(3)y=ex+1ex-1;(4)y=x+cosxx+sinx.

[解析] (1)y=(x)sin2x+x(sin2x)

=sin2x+x2sinx(sinx)=sin2x+xsin2x.

(2)y=1x+1+x2(x+1+x2)

=1x+1+x2(1+x1+x2)=11+x2 .

(3)y=(ex+1)(ex-1)-(ex+1)(ex-1)(ex-1)2=-2ex(ex-1)2 .

(4)y=(x+cosx)(x+sinx)-(x+cosx)(x+sinx)(x+sinx)2

=(1-sinx)(x+sinx)-(x+cosx)(1+cosx)(x+sinx)2

=-xcosx-xsinx+sinx-cosx-1(x+sinx)2.

16.求下列函数的导数：

(1)y=cos2(x2-x); (2)y=cosxsin3x;

(3)y=xloga(x2+x-1); (4)y=log2x-1x+1.

[解析] (1)y=[cos2(x2-x)]

=2cos(x2-x)[cos(x2-x)]

=2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](x2-x)

=2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](2x-1)

=(1-2x)sin2(x2-x).

(2)y=(cosxsin3x)=(cosx)sin3x+cosx(sin3x)

=-sinxsin3x+3cosxcos3x=3cosxcos3x-sinxsin3x.

(3)y=loga(x2+x-1)+x1x2+x-1logae(x2+x-1)=loga(x2+x-1)+2x2+xx2+x-1logae.

(4)y=x+1x-1x-1x+1log2e=x+1x-1log2ex+1-x+1(x+1)2

=2log2ex2-1.

17.设f(x)=2sinx1+x2，如果f(x)=2(1+x2)2g(x)，求g(x).

[解析] ∵f(x)=2cosx(1+x2)-2sinx2x(1+x2)2

=2(1+x2)2[(1+x2)cosx-2xsinx]，

又f(x)=2(1+x2)2g(x).

g(x)=(1+x2)cosx-2xsinx.

18.求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)

(1)y=f1x;(2)y=f(x2+1).

[解析] (1)解法1：设y=f(u)，u=1x，则yx=yuux=f(u)-1x2=-1x2f1x.

解法2：y=f1x=f1x1x=-1x2f1x.

(2)解法1：设y=f(u)，u=v，v=x2+1，

篇2：导数公式

对两点边值问题,袁利用单元能量法提出了一类超收敛导数校正公式.该文给出了数学证明,理论分析和袁的计算结果一致.

作者：魏继东朱起定 WEI Ji-dong ZHU Qi-ding 作者单位：魏继东,WEI Ji-dong(衡阳师范学院,数学系,湖南,衡阳,421000;湖南师范大学,数学与计算机科学学院,湖南,长沙,410081)

朱起定,ZHU Qi-ding(湖南师范大学,数学与计算机科学学院,湖南,长沙,410081)

篇3：导数公式

对于导数公式表中的三角函数和指数函数的导数推导过程, 很多一线数学教师为了避免大学知识或是担心学生接受不了三角函数和指数函数的导数的推导过程, 就和书本上一样, 只要求学生记住公式、会计算就行.但是, 对于对数学感兴趣的、学有余力的和还要读大学继续深造的这三种学生来说, 他们需要知道公式的推导过程, 增加数学学习兴趣, 锻炼他们严密谨慎的逻辑推理能力, 为大学数学的学习奠定基础.《数学课程标准 (实验稿) 》修订的主要内容是“人人获得良好的数学教育, 不同的人在数学上得到不同的发展”.针对学生发展的差异性, 适当做到因材施教, 满足不同学生的发展需要是必要的.

一、新课程高中数学教材分析

随着新课改的进行, 高中数学教材编排发生了较大的变化, 对学生的要求也做了适当的调整.对于高中所学的基本初等函数的导函数, 新课程人教版高中数学选修1-1中3.2.2和选修2-2中1.2.2只给出了导数公式表, 教师对两个三角函数y=sinx和y=cosx, 指数函数y=ax和对数函数y=logax的导函数没有给出推导过程.对于以上三种函数的导数推导过程要用到大学数学分析上册中的极限

另外, 新课程改革中, 选修2-2中增加了定积分和微积分知识, 这些以前都是大学知识, 可见, 如今高中理科生的数学知识在与大学数学知识接轨.那么, 对于以上三种函数的导数公式的推导过程应该展示给需要知道推导过程的学生, 尽量做到因材施教, 让他们在老师的引导下体验推理过程, 有意义地建构公式的形成过程.由于对数函数的导数推导过程与指数函数的导数推导过程相似, 下面只从正弦函数和指数函数的导数推导过程入手进行推导, 从而让学生体会数学逻辑思维, 体验推理演绎能力.

二、正弦函数和指数函数导数公式推导过程

为了加强高中与大学数学知识的衔接, 可以将大学数学分析中的两个重要极限和极限作为高中阶段证明导函数的引理, 直接应用到推理过程中, 至于它们的证明过程待到大学进行深入探究与学习.

布鲁纳认为:“学习者在一定的问题情境中, 经历对学习材料的亲身体验和发展过程, 才是学习者最有价值的东西.”同样, 为了让不同的人在数学上得到不同的发展, 针对学生发展的差异性, 因材施教, 也应该让学生亲身体验导数公式的推导过程.下面通过导数的定义, 分别来推导三角函数中的正弦函数和指数函数的导数公式.

1. 正弦函数f (x) =sinx的导数公式推导过程

若f (x) =sinx, 则f' (x) =cosx推导过程如下:

2. 指数函数f (x) =ax (a>0, 且a≠1) 的导数公式的推导过程

若f (x) =ax (a>0, 且a≠1) , 则f' (x) =axlna.推导过程如下:

令t=aΔx-1, 则aΔx=t+1, 因为aΔx>0, 所以t+1>0.

即Δx=loga (t+1) , 且当Δx→0时, aΔx→1, aΔx-1→0, 即t→0.所以原极限可以表示为:

三、结语

篇4：关于高中数学导数公式的应用研究

【关键词】高中数学；导数公式；应用研究；函数的思想

在高中对数学导数公式的应用非常广泛，由于在高中理科中，数理化有着相互融合相互渗透的效果，所以在对高中数学导数公式中也可以对物理、化学进行一定的应用，在对高中数学导数公式进行应用中，要求学生们能够有着充分的解题思路，对高中数学导数公式进行一定的推导，能够使得在对问题的解答中将复杂的问题进行一步步的简单化，不仅能够增加学生们在解题中形成的信心，而且还能够促进学生们对高中数学的学习。

一高中数学导数公式在解题中的应用

（一）利用高中数学导数公式对函数切线的求解

1.在导数的几何意义中，曲线在某点的导数值就是曲线在该点的切线斜率，在对函数的应用中，要特别注意函数在某点处可导，曲线就在该点存在切线，但是曲线在该点有曲线，未必就有可导性。

2.例子：函数f（x）在点a处导数的意义，它就是曲线y=f（x）在点坐标P（a，b）处的切线的斜率，在对函数切线进行求解时，假设曲线y=f（x）在点P（a，b）处切线的斜率就是f'（a），则相应的切线方程就是y-b=f'（a）（x-a）。

（二）利用高中数学导数公式对函数的极值的求解

1.在高中数学利用导数对函数值的求解中，能够显现出导数对函数极值求解的应用。

2.例子：求f（x）=x3-12x的极值

解：把函数的定义域为R，f'（x）=3x2-12=3（x+2）（x-2），设f'（x）=0，得到x=±2，当，x>2或x<-2时，，f'（x）>0，所以函数在（负无穷，-2）和（2，正无穷）上是增函数；当-2

（三）利用高中数学导数公式对函数的单调性进行判断

1.在数学坐标系中，对函数的单调性进行判断，可以根据切线上的斜率来判断，当切线的斜率大于零时，就可以准确的判断出单调的递增，当斜率为正时，判断出函数的单调为递增的，当斜率为负时，判断出函数的单调为递减的。通过利用导数对函数的单调性分析中，也可以对函数单调区间问题进行解决。

2.例子：一次函数y=kx-k在R上单调递增，它的图像过第几象限？

解：从一次函数中可以简单的看出函数必过坐标（1，0），所以说函数过第一和第四象限，又因为一次函数是单调递增的，所以k>0，可以分析出函数过第三象限，所以说它的图像过第一，第三，第四象限。

例子：求函数f（x）=x3-3x+1的单调区间

解：当f（x）=x3-3x+1，可以得出f'（x）=3x2-3，当3x2-3=0，即x=±1时，f（x）有极值=3和-1，因为x=2，f（2）=3；x=1，f（1）=-1；x=0，f（0）=1；x=-1，f（-1）=3；x=-2，f（-2）=-1。所以说，函数在（负无穷，-1]单调递增，在[-1，1]单调递减，在[1，正无穷）单调递增。

二、高中数学导数应用的价值

在对高中数学导数公式的利用中，要始终坚持函数的思想，能够更方便的去解决问题，由于在高中理科的学习中，都会用到导数的应用，在一些重要的概念中都会用导数来进行表示，在物理的学习中，对远动物体的瞬时速度和加速度都可以用导数来表示。导数公式的应用，是有函数推导出来的过程，运用导数公式推导的过程，也是巩固数学的过程，在对函数进行求解时，要明确的掌握和运用导数的公式，在导数的运用中不仅是在学习中对函数的求解，而且还能在生活中运用，在实际生活中遇到求效率最高，利润最大的问题，这些问题在高中数学导数中可以看做是函数的最大值，把这些问题转换为高中数学函数的问题，进而对变为求函数的最大值的问题，在对高中数学导数公式进行应用，不仅要掌握了解公式导数的概念和方法，而且还会把数学导数与其它的知识进行结合，能够在解决问题中找到合适的办法。

三、对高中数学导数公式应用后的反思

近年来，在高考中，高中数学的导数公式的地位越来越重，它已经成为解决数学问题中必不可少的一种工具，在教学中，要让学生们充分的了解数学的导数公式，要重视课堂的教学，教师们要了解学生们在应用导数公式中出现的各种问题，老师们要针对这些问题，对学生们再一次的进行讲解，能够使得学生们在解决问题中更熟练的应用导数公式，在教学中，要从导数的定义进行讲解，能进一步的增强学生们对导数学习的兴趣，能让学生们了解到不论是在学习中还是在生活中，对导数的应用是非常重要的。

结语：

综上所述，在高中数学中对导数公式的应用是非常重要的，在利用导数进行解决函数的问题中，要始终贯穿函数的思想，可以对函数的单调性，函数的区间，函数的切线，函数的极值进行问题上的解决，在新课标改革的背景下，要培养学生们正确的掌握导数公式的应用，对于导数在解决问题中有着积极的作用，能够为以后导数公式的学习打下了坚实的基础。

【参考文献】

[1]王利，邓鹏.加强高中与大学导数公式知识的衔接[J].教学学习与研究，2012（17）

[2]王彩霞.浅谈三角函数的几种解法[J].中学教学（上），2012（08）

[3]程守权.高效数学课堂的设计意图展现—案例分析“应用导数研究函数的最值”[J].高中数理化，2012（02）

[4]农仕科.关于高中数学导数公式的应用研究[J].教学参谋（解法探究），2014（02）

[5]赵波.谈解答数学题的几种意识[J].中学教学（上），2011（03）

篇5：导数公式

例1.已知函数f(x)alnxax3aR(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)证明:112131nln(n1)(nN*)(3)证明:ln22ln33ln44ln55lnnn1nn2,nN* n(4)证明:ln2ln3ln4ln5lnn1n122324252n22nn2,nN*(5)证明:ln24ln34ln44ln54lnn4(n1)224344454n44nn2,nN* ln22ln32(6)求证:lnn2n12n12232...n22n1n2,nN(7)求证:122114211182...1122nenN

例2.已知函数f(x)lnxx1｡(1)求f(x)的最大值;nnn(2)证明不等式:12nennne1nN*

例3.已知函数fxx2lnx1

(1)当x0时,求证:fxx3;

(2)当nN时,求证:nf1111151 k1k2333...n342nn1

例4.设函数f(x)x2mln(x1)m0

(1)若m12,求f(x)的单调区间;(2)如果函数f(x)在定义域内既有极大值又有极小值,求实数m的取值范围;(3)求证:对任意的nN*,不等式lnn1nn1n3恒成立｡

例5.已知函数f(x)ln(x1)k(x1)1(kR),(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)0恒成立,试确定实数k的取值范围;(3)证明:ln23ln34lnnn1n(n1)4nN,n1.导数与数列不等式的证明收集整理:张亚争联系电话:*** 1 / 2 例6.已知函数f(x)axbc(a0)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为yx1｡ x(1)用a表示出b,c;

(2)若f(x)lnx在[1,)上恒成立,求a的取值范围;(3)证明:1

例7.已知函数f(x)2alnxx21｡

(1)当a1时,求函数f(x)的单调区间及f(x)的最大值;(2)令g(x)f(x)x,若g(x)在定义域上是单调函数,求a的取值范围;111nln(n1)(n1).23n2(n1)3n2n222222(3)对于任意的n2,nN,试比较与的ln2ln3ln4ln5lnnn(n1)*大小并证明你的结论｡

1ln(x1)(x0)x(1)函数f(x)在区间(0,)上是增函数还是减函数?证明你的结论｡

k(2)当x0时,f(x)恒成立,求整数k的最大值;x1(3)试证明:(112)(123)(134)(1n(n1))e2n3(nN*).例8.已知函数f(x)

例9.已知函数fxxalnxa0(1)若a1,求fx的单调区间及fx的最小值;(2)若a0,求fx的单调区间;ln22ln32lnn2n12n1(3)试比较22...2与n2,nN的大小,并证明｡ 23n2n1

例10.已知函数fxlnx,gxxaaR, x(1)若x1时,fxgx恒成立,求实数a的取值范围｡(2)求证:

例11.已知函数fxlnxxax

2ln2ln3lnn1n2,nN 34n1n(1)若函数fx在其定义域上为增函数,求a的取值范围;(2)设an1

篇6：导数知识点

2.求导法则：包括链式法则和乘法法则，其中乘法法则不仅适用于两个函数的求导，还可以用于分解式。

3.反函数求导法则：互为反函数的两个函数的导数之间的关系。

4.隐函数求导法则：如果函数F(x,y)的偏导存在，那么它的两个偏导数可以作为两个未知函数，解出另一个未知函数的偏导数。

5.函数的微分：函数改变量的极限，即函数在某一点处的一阶导数的近似值。

6.高阶导数：如果一个函数在某一点处的导数不为0，那么它至少有一阶导数。

7.微分中值定理：微分中值定理是利用函数差商和导数的关系，推出导数的近似值。

8.洛必达法则：分子和分母的导数都为0时，可以直接用洛必达法则求出极限。

9.函数的单调性：函数的导数大于0，函数单调递增;函数的导数小于0，函数单调递减。

10.函数的极值：函数在某一点附近，导数等于0，但并不意味着函数在该点没有导数，因此不能使用导数判断函数的极值。

篇7：导数应用一例

石志群

13题：求一个正常数a，使得对于|x|≤1的所有x，都有x恒成立。3

1333分析：x≤ +ax等价于3ax-3x+1≥0.令f(x)= 3ax-3x+1，则由对于|x|≤1的所有x，3

13都有x恒成立可知当｜x|≤1时，f(x)≥0恒成立，即f(x)在[-1,1]的最小值都不3

小于0。注意到f(x)在[-1,1]上的最值不是在区间的端点取得，就是在极值点处取得，故有f(-1)≥0且f(1)≥0，从而有-3a+4≥0且3a-2≥0，解得≤a≤。„„„„„„„„„„„„„„„„（1）33

这个结果有何用呢？现在该考虑极值点了！

2411，注意到 ≤a≤，所以∈[-1,1]，为极值333a3a3a

11‘点，考虑f(x)在两侧的符号可知f(为最小值。3a3a

1113由)＝3a·)－3 · ＋1≥0解得 3a3a3a由f(x)=9ax-3=0得x=‘214a„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（2）3

4由（1）、（2）可知，a=.3

从这个题目的思维过程我们可以得到哪些启示呢？

篇8：导数公式

低渗透油藏由于启动压力梯度的影响, 压力导数曲线具有典型的特征, 即出现“上翘”[1,2]。但是, 由于断层的影响, 压力导数曲线也会出现“上翘”[3,4]。因此, 仅仅从压力及压力导数曲线的“上翘”很难辨别出启动压力梯度和断层的影响。如果对该“上翘”识别错误, 相应的试井解释模型选择就会错误, 解释结果就大相径庭了, 所以如何对该“上翘”的类型进行识别, 在试井解释过程中是十分重要和迫切的。为此, 本文利用二阶导数法研究了启动压力梯度和断层引起的压力导数曲线“上翘”的识别问题, 这对正确地进行试井解释和减少试井解释的多解性具有重要意义。

1 考虑启动压力梯度影响的二阶导数计算理论基础

考虑无限大地层中心一口井, 假设井以定产量

式 (3) 中,

2 考虑断层影响的二阶导数计算理论基础

考虑直线断层附近有一口井, 假设井以定产量生产, 同时考虑井筒储集效应和表皮效应的影响。当井底压力未受断层影响时, 有[6]

利用镜像反映原理, 当井底压力受断层的影响之后, 有

式 (5) 中, d为井到断层的距离, m。

当井底压力未受断层影响时, 对式 (4) 变形并对tD/CD求导得:

对式 (6) 两边取对数, 然后对lg (tD/CD) 求导得:

当井底压力受断层影响之后, 对式 (5) 变形并对tD/CD求导得:

对式 (8) 两边取对数, 然后对lg (tD/CD) 求导得:

3 压力导数曲线“上翘”类型的识别

建立考虑启动压力梯度影响的渗流模型进行模拟计算, 选取参数为:渗透率为3.0mD, 井筒储集系数为0.02m 3/MPa, 表皮系数为-2.5, 启动压力梯度为0.02MPa。图1为模拟计算的曲线示意图。

从图1中可以看出, 启动压力梯度的存在增大了流体的渗流阻力, 井底的压力变化速度加快, 随着时间的增加, 压力和压力导数曲线的数值逐渐增大, 且压力导数曲线数值高于0.5, 压力和压力导数曲线发生“上翘”, 表现出类似于达西渗流存在不渗透边界的情形, 同时二阶导数曲线的数值也逐渐增大, 但介于0和0.5之间, 二阶导数曲线也发生“上翘”, 这一特点也可以从式 (1) 、式 (2) 和式 (3) 中看出来。

为了分析启动压力梯度大小对压力曲线、压力导数曲线和二阶导数曲线的影响, 取不同的启动压力梯度进行模拟计算。图2为模拟计算的压力及其导数曲线, 图3为模拟计算的二阶导数曲线。从图2和图3中可以看出, 启动压力梯度越大, 压力曲线、压力导数曲线和二阶导数曲线的数值越大, 其偏离达西渗流曲线的幅度也越大, 这一特点也可以从式 (1) 、式 (2) 和式 (3) 中看出来。

建立考虑断层影响的渗流模型进行模拟计算, 选取参数为:渗透率为3.0mD, 井筒储集系数为0.005m 3/MPa, 表皮系数为-2.0, 井到断层的距离为10.0m。图4为模拟计算的曲线示意图, 从图4中可以看出, 当井距断层的距离比较远时, 在压力传播到断层之前, 若地层内流体流动达到径向流, 在压力导数曲线上表现为一水平直线段;当压力传播到断层后, 受断层的影响, 井底压力变化速度加快, 表现为压力和压力导数曲线发生“上翘”;当系统达到总的径向流动以后, 压力导数曲线表现出另一水平直线段, 这一点可以从式 (6) 和式 (8) 中看出来。与启动压力梯度影响的二阶导数曲线不同, 断层影响前后, 二阶导数曲线的数值为0, 受断层的影响, 在二阶导数曲线上出现“凸起”, 这一点可以从式 (7) 和式 (9) 中看出来。

为了分析断层距离对压力曲线、压力导数曲线和二阶导数曲线的影响, 取不同的断层距离进行模拟计算。图5为模拟计算的压力及其导数曲线, 图6为模拟计算的二阶导数曲线。从图5中可以看出, 井到断层的距离越近, 压力导数曲线发生“上翘”的时间越早;从图6中可以看出, 井到断层的距离越近, “凸起”出现的时间也越早。

通过二者影响在二阶导数曲线上的明显差别, 可以对实际测试中遇到的类似情况进行正确的识别。

4 结论

(1) 启动压力梯度在压力导数曲线上引起的“上翘”与断层在压力导数曲线上引起的“上翘”十分相似, 仅从压力及压力导数曲线上很难对其进行有效的识别。

(2) 受启动压力梯度的影响, 随着时间的增加, 压力曲线、压力导数曲线和二阶导数曲线发生“上翘”, 启动压力梯度越大, “上翘”的幅度越大。

(3) 受断层的影响, 压力导数曲线发生“上翘”, 二阶导数曲线上出现“凸起”, 井到断层的距离越近, “上翘”和“凸起”出现的时间越早。

(4) 二阶导数法可以对上述两种不同类型的“上翘”进行有效的识别, 同时该方法特征明显, 简单易用。

参考文献

[1]李凡华, 刘慈群.含启动压力梯度的不定常渗流的压力动态分析.油气井测试, 1997;6 (1) :1—4

[2]郭永存, 卢德唐, 曾清红, 等.有启动压力梯度渗流的数学模型.中国科学技术大学学报, 2005;35 (4) :492—498

[3]赵秀才, 衣艳静, 姚军.两夹角不渗透断层对油井压力及压力导数的影响研究.断块油气田, 2005;12 (6) :41—43

[4]张公社.试井解释中识别直线断层的新方法.江汉石油学院学报, 1994;16 (4) :58—63

[5]程时清, 徐论勋, 张德超.低速非达西渗流试井典型曲线拟合法.石油勘探与开发, 1996;23 (4) :50—54

[6]刘能强.实用现代试井解释方法.北京:石油工业出版社, 2007:15—40

篇9：高中数学中导数公式的应用分析

关键词：高中数学；导数公式；应用

导数是一种比较特殊的函数，在它的应用中始终贯穿了函数的思想，利用导数研究函数是多种多样的，例如函数的连续性、单调性、函数的极值等。导数作为高等数学的基础，是一种强有力的工具，它在解决函数问题的过程中提供了新的思路和方法，可以使问题得到快速的解决.导数是微积分的最为基础概念，是微积分的核心概念之一。

导数作为一种重要而又有效的数学工具，在解决函数问题时非常方便。在具体的数学问题中有着广泛的应用。通过导数的解决函数问题的过程中，要重视对基础知识的理解，要努力熟练掌握导数的有关知识，进一步加深对大学数学知识的理解和认识。导数是两个无穷小变量比的极限，反映函数的变化率。同时，高中数学导数公式集中反映了导数公式应用思想。在结合课改和高中生身心发展现状时，要培养学生的辩证思想和掌握导数的变化趋势，这对于应用导数公式解决高中生日常数学难题，具有积极地指导作用。

参考文献

1 李小强.例谈导数在高中数学中的简单应用[J].读写算：教育教学研究，2011，（32）：128-128

篇10：导数的定义

如果一个函数f(x)在某个区间I上有f'(x)(即二阶导数)>0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：

f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f'(x)<0成立，那么上式的不等号反向。

2、意义

(1)斜线斜率变化的速度

(2)函数的凹凸性。

二阶导数是比较理论的、比较抽象的一个量，它不像一阶导数那样有明显的几何意义，因为它表示的是一阶导数的变化率。在图形上，它主要表现函数的凹凸性，直观的说，函数是向上突起的，还是向下突起的。

篇11：2014高考导数

bex1

（全国新课标I卷，21）设函数f(x)aelnx，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的xx

切线方程为ye(x1)2

（I）求a,b；

（II）证明：f(x)1

（全国新课标II卷，21）已知函数f(x)exex2x

（I）讨论f(x)的单调性；

（II）设g(x)f(2x)4bf(x)，当x0时，g(x)0，求b的最大值；（III）已知1.414221.4143，估计㏑2的近似值（精确到0.001）（福建卷，20）已知函数f(x)exax（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线yf(x)在点A处的切线斜率为-1

（I）求a的值及函数f(x)的极值；

（II）证明：当x0时，xe；

（III）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x(x0,)时，恒有xce

23（安徽卷，18）设函数f(x)1(1a)xxx，其中a0 2x2x

（I）讨论f(x)在其定义域上的单调性；

（II）当x0,1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值

（广东卷，21）设函数f(x)1

(x2xk)2(x2xk)3222,其中k2

（I）求函数f(x)的定义域D（用区间表示）；

（II）讨论函数f(x)在D上的单调性；

篇12：高二导数教案

【教材】北京师范大学出版社《数学》选修1-1

【教材分析】

“导数与函数的单调性”是北师大版普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1第四章《导数应用》第一节的内容。本节的教学内容是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础。

函数的单调性是函数极为重要的性质。在高一学生利用函数单调性的定义、函数的图像来判断函数的单调性，通过本节课学习，利用导数来判断函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。同时，为下一节学习利用导数研究函数的极值、最值有重要的帮助。因此，学习本节内容具有承上启下的作用。

【学生学情分析】

由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多(尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言)，充分体现了导数解决问题的优越性。虽然函数单调性的概念在高一学过，但现在可能已忘记;因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是学生刚学习的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点。

【教学目标】

1.知识与能力：

会利用导数解决函数的单调性及单调区间。

2.过程与方法：

通过利用导数研究单调性问题的探索过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。

3.情感态度与价值观：

通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，同时通过学生动手、观察、思考、总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。通过导数研究单调性的步骤的形成和使用，使得学生认识到利用导数解决一些函数(尤其是三次、三次以上的多项式函数)的问题，因而认识到导数的实用价值。

【教学重点和难点】

对于本节课学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由特殊到一般、数到形、直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。

教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。

教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。

【教学设计思路】

现代教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本节可从单调性与导数的关系的发现到应用都有意识营造一个较为自由的空间，让学生能主动的去观察、猜测、发现、验证，积极的动手、动口、动脑，使学生在学知识同时形成思想、方法。

整个教学过程突出了三个注重：

1、注重学生参与知识的形成过程，体验应用数学知识解决简单数学问题的乐趣。

2、注重师生、生生间的互相协作、共同提高。

3、注重知能统一，让学生获得知识同时，掌握方法，灵活应用。

根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：

一是能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间;

二是掌握判断函数单调性的方法;

三是能由导数信息绘制函数大致图像。

【教法预设】

1.教学方法的选择：

为在课堂上，突出学生的主体地位，本节课拟运用“问题--- 解决”课堂教学模式，采用启发式、讲练结合的教学方法。通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。

2.教学手段的利用：

本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。

【学法预设】

为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法：

1.合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题;

2.自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动;

3.探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。

【课时安排】 1 课时

【教学准备】

多媒体(画出函数① ② ③ 在同一个坐标系下的图像);并写出以下四个函数：① ，

② ，③ ，

④

【教学过程】

一、新课引入：

1.函数增减性的定义是什么?

2.导数的定义是什么?

学生活动：思考以前学习过的数学知识，说出两个问题的概念的要点来。

设计意图：引导学生理解函数的单调性概念及导数的概念

板书课题：导数与函数的单调性

二、新课教学：

1.探究函数的导数与函数的单调性的关系

显示多媒体(出示3个函数的解析式及图像)引导学生观察并回答以下问题：

①这3个函数图像都是直线，其斜率分别是多少?其值有何特点?单调性如何?

②分别求出这3 个函数的导数?并观察其导数值有何特点?

板书：

①函数，其直线斜率K=1，其导数值 0

②函数，其斜率K=2，其导数值

③函数，其斜率K=-3，其导数值

学生思考并归纳总结

①每一条直线的斜率值等于该函数的导数值。

②函数的导数值大于零时，其函数为单调递增;函数的导数值小于零时，其函数为单调递减。

显示多媒体(出示4个函数的解析式)：引导学生完成以下问题：

①在不同坐标系下分别做出这4个函数的图像?

②分别求出这4个函数的导数?

设计意图：让各小组学生观察导数的符号与函数图像有何联系并交流、讨论总结。

学生活动：学生思考并举手，教师指定一个学生上台作图。再指定一个学生上台求出函数的导数。

a 作图(略)

b 4个函数的导数是：

① ② ③ ④

引导学生思考并提出以下问题：

①每一个函数在某一点的切线斜率值是否等于该函数在该点处的导数值?

②同一个函数在每一点处的切线的斜率值有何特点?它与该函数的单调性有何联系呢?

③同一个函数的单调性与该函数的导数值有何联系呢?

设计意图：从具体的函数出发，让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的过程，让学生在老师的引导下自主学习和探索总结出曲线的切线的斜率与导数的关系及曲线函数的导数与曲线的单调性之间的关系。让学生经历观察、分析、归纳、发现曲线的单调性也与函数的导数符号有关。

板书：

抽象概括：一般地，函数y=f(x)在某个区间(a,b)内

⑴如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f(x)在这个区间(a,b)内单调递增;

⑵如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f(x)在这个区间(a,b)内单调递减。

注意：

①正确理解 “ 某个区间 ”的含义，它必是定义域内的某个子区间。

②如果在某个区间内恒有f′(x)=0 ,则 f(x) 为常数函数。

2.例题讲解：

例1：求函数的单调递增区间与递减区间。

分析：

根据上面结论，我们知道函数的单调性与函数导数的符号有关。因此，可以通过分析导数的符号求出函数的单调区间。

解：引导学生回答问题并同时板书。

①函数的定义域是什么?其导数如何求?

函数的定义域是，其导数值是：

②若时，的范围是什么?若时，的范围又是什么?

当或时，，因此，在这两个区间上，函数是增加的;

当时，，因此，在这个区间上，函数是减少的。

所以，函数的递增区间为和 ;

递减区间为。

③讨论函数单调性的一般步骤是什么?

板书：

a 求函数的导数。

b 讨论单调区间，解不等式，解集为增区间;解不等式，解集为减区间。

c 得出结论。

设计意图：通过实例让学生掌握利用函数的导数符号来判定函数单调性的方法及过程;进一步让学生体会利用导数工具解决函数的单调性问题以及它的简便性。

3.课堂练习：

教材第83页练习题1、2

4.课堂小结：

篇13：导数公式

一、函数的导数在经济学的应用范围分析

1．产量变化函数分析

产品产量的增加带动着单位成本的增加的同时，在经济学中可以称之为产量变化分析，如果产量发生了变化，那么相应的产品也会发生着很大的变化．例如，单位产品的每个月的产量和利益收入之间的函数导数之间的关系为:L(x)=400-20x，求解出当每一个月的产量为5 t,10 t,20 t时的产量利益

答:产量变化的概念是:产量利益和全部利益函数之间的一个导数，表示出产品产量为X吨的时候，全部利益的一个变化情况，根据题目中交代的数据，可知以下情况:

L(x)=400-20x，则:当x为5,10,20时，

当每一个月产品的产量为5吨时，如果在多生产1吨的产量的话，利益将会减少100元，当每一个月的产量为10吨时，如果在多生产1吨的话，利益将增加100元，当每月的产量为20吨时，利益保持不变．

2．产量弹性函数分析

弹性函数主要是对两个变量之间的某一个变量在变化时所进行的一种变化，该函数主要显示出两个变量中另一个变量在相应的进行数值变化着，因此，可以说弹性函数主要是描写了一个变量对另一个变量之间所进行的相对应的一种变化数值．加入设弹性函数关系为Y=400-4x，在这个函数关系中Y为产品的需要数，产品的单价为x，笔者主要通过这个函数关系来分析弹性数值的一个变化．笔者通过对这个弹性函数的关系进行了理论意义上的一个深层次的解析，在解析过程中发现当产品的单价x在降低的时候，产品的需要数量Y就会发生很大的变化，即如果单位对产品的价格做一系列的改动，那么相应的利益也会发生很大的变化，因此，笔者认为产量弹性函数对产量的增加变动直接影响到产量价格的变化．当产量随着价格的变化而发生变化时，单位的效益也发生着大面积的变化．综上所述，产品产量价格的变化对产品在市场上的需求产生一定的影响，同时对生产的产地也会带来相应的影响，这些影响主要表现为:使得提供原材料地方进行生产方式的调价或者变化;从而促使当地的产品生产率获得更大的提高，从而为产品提供出更好的生产空间;企业在制造、生产时可以及时的获得市场经济中适合销售的高质量产品．因此通过对产量变化函数和产量弹性函数之间的一个分析，对单位产品价格的变化影响效益的增加有着很重要的实践作用．

二、函数的偏导数在经济学中的应用分析

1．产品边际生产效益

笔者在实践中采用W=W(H,M)来表示出单位生产某一种产品的生产函数，在这个函数中产品的产量为W,H为单位在产品生产中具体投入的劳动力情况，M为单位生产启动资金，因此单位在生产中投入的劳动力H具体情况的产品边际生产效益就是W(H,M)所对应的H的偏导数为W'(H,M),W'(H,M)偏导数主要含义是资金M和单位产品劳动力H在相同的情况下如果在多投入一定的单位产品劳动力时W(H,M)发生的变化范围，因此W'(H,M)偏导数是单位产品产量中W(H,M)对单位生产启动资金M的一个产品边际生产效益，即在单位投入一定生产劳动力H和启动资金M在相同点的情况下同时投入一定的产品启动资金是对单位产品W(H,M)之间的一个变化数值的范围．

2．产品边际效益的需要

X,Y两种不一样的产品的边际需要量为X1,Y1，价格分别为X2,Y2，产品边际效益需求量的函数为X1=X1·(X1·X2),Y1=Y1·(Y1·Y2),X和Y这两种不一样的产品的边际效益的需要量为X1和Y1关于X2和Y2的一种偏导数的方式来表达，此时产品X的边际效益的需要量X1的各种变化范围和Y产品的边际效益需要量之间发生着相应的数值范围内的变化，当这两个不相同的产品中有一个产品的价格有变化，都将使得其中一个产品的边际效益需要量减少，则另一个需要量增加，所以这两个产品的边际效益的需要量是可以相互取代的，当两个不相同的产品中价格在降低的同时，他们两者的产品需要量都会增加，因此边际效益的需要量是可以互相进行补助的．因此，研究单位产品的边际效益的需要量为经济学以后的发展提供着重要的作用．

结束语

在本篇文章中，笔者通过以上这些方法来阐述了函数的导数和偏导数在经济学中的应用范围，该解决方式在数学领域的发展中起到了很重要的促进作用，从而发挥了经济学科在高等数学学科中越来越重要的知识实践性作用，因此，数学中的函数的导数和偏导数在经济学中的应用范围为经济学管理专业的学生以后的学习提供了很大的发展和思维空间，已经成为了经济学科发展的一个不可少的知识内容．

参考文献

[1]刘双.多元函数连续性、偏导数和可微性关系的研究[J].才智,2014(2).

[2]龚江涛.函数的导数与偏导数在经济学中的应用浅析[J].魅力中国,2014(4).

篇14：函数与导数

1. 函数及其表示、初等函数的基本性质，包括定义域、值域（最值）、图象、单调性、奇偶性、周期性等.

例1 函数[f(x)=1xln(x2-3x+2+-x2-3x+4)]的定义域为（）

A. [(-∞,-4]⋃[2,+∞)] B. [(-4,0)⋃(0,1)]

C. [[-4,0)⋃(0,1]] D. [[-4,0)⋃(0,1)]

解析函数的定义域必须满足条件

[x≠0,x2-3x+2≥0,-x2-3x+4≥0,x2-3x+2+-x2-3x+4>0,⇒x∈[-4,0)⋃(0,1).]

故答案为D.

点拨本题要把四个约束条件列出，在最后解不等式的时候要求思维缜密，否则会出现漏掉4这个根的情况.

例2 设函数[f(x)=x-1x]．对任意[x∈1,+∞]，[f(mx)+mf(x)<0]恒成立，则实数[m]的取值范围是 .

解析显然[m≠0]，由于函数[f(x)=x-1x]对[x∈1,+∞]是增函数，

则当[m>0]时，[f(mx)+mf(x)<0]不恒成立，因此[m<0]．

当[m<0]时，函数[h(x)=f(mx)+mf(x)]在[x∈1,+∞]是减函数，

因此当[x=1]时，[h(x)]取得最大值[h(1)=m-1m]，

于是[h(x)=f(mx)+mf(x)<0]恒成立等价于[h(x)(x∈1,+∞)]的最大值小于[0]，

即[h(1)=m-1m<0]，解[m-1m<0m<0]得[m<-1]．

于是实数[m]的取值范围是[(-∞,-1)]．

点评值域或最值问题的考查多以恒成立的形式出现，难度较高．把恒成立问题转化为最值问题是解决这类问题的核心思想，也是高中数学的重要转化思想之一，同学们在二轮复习中还需多加练习．

例3 定义在[R]上的函数[y=f(x)]是减函数，且函数[y=f(x-1)]的图象关于（1，0）成中心对称，若[s、t]满足不等式[f(s2-2s)≤-f(2t-t2)]，则当[1≤s≤4]时，[ts]的取值范围是（）[来源:Zxxk. Com]

A. [-14,1] B. [-14,1]

C. [-12,1] D. [-12,1]

解析因为[y=f(x)]的图象可由函数[y=f(x-1)]的图象向左平移一个单位得到，又因函数[y=f(x-1)]的图象关于（1，0）成中心对称，所以[y=f(x)]的图象关于（0,0）成中心对称，即[y=f(x)]是奇函数.

[∵][y=f(x)]是减函数，[y=f(x)]是奇函数，

[∴][f(s2-2s)≤-f(2t-t2)][⇒][s2-2s≥t2-2t].

令[g(x)=x2-2x]，则[g(s)≥g(t)]，又[1≤s≤4,]

结合[g(x)=x2-2x]的图象可知[2-s≤t≤s].

原问题转化为[1≤s≤4,2-s≤t≤s,]求[ts]的取值范围. 由线性规划知识可知，答案为D.

点拨由条件“函数[y=f(x-1)]的图象关于（1，0）成中心对称”推出[y=f(x)]是奇函数是一个难点. 同学们在二轮复习中要多揣摩平移在其中的应用. 另外，利用二次函数的图象得到[s、t]的关系，转化为线性规划问题体现了数形结合思想在解函数题中的重要性.

例4 若实数[a、b、c]满足[2a+2b=2a+b,][2a+2b+][2c=2a+b+c,]则[c]的最大值是 .

解析令[x=2a]，[y=2b]，则[x+y=xy]，由均值不等式[xy=x+y≥2xy]知，[xy≥4]（当且仅当[x=y]时等号成立）.

由[2a+2b+2c=2a+b+c,]

得[2c=2a+2b2a+b-1=x+yxy-1=xyxy-1=1+1xy-1]，

又有[xy≥4]，所以[1<2c≤43]，

即可得[c]的最大值为[2-log23.]

点拨解题的关键是对指数式[2a]和[2b]进行换元和用已知变量表示未知变量. 而不能自觉地利用换元和利用函数求最值的思想，不能使用均值不等式等，是本题出错的主要原因.

2. 函数模型及其应用、函数的零点定理

例5 函数[f(x)=sinx-lgx]的零点的个数是 .

解析问题转化为[y=sinx]和[y=lgx]图象的交点个数.

点拨若展开直接求解，问题将复杂化. 化零点个数为图象交点个数，转化为我们熟悉的函数图象进行解答. 当然，有关零点的存在性问题及个数问题的研究方案很多，如单调性法、换元法等.

例6 如图，矩形[ABCD]内接于由函数[y=x、][y=1-x、y=0]图象围成的封闭图形，其中顶点[C、D]在[y=0]上，求矩形[ABCD]面积的最大值.

解设[A]点坐标为[(x,x)],[x∈(0,3-52)],则[B(1-x,x)]，由图可得[1-x>x].

记矩形[ABCD]的面积为[S]，易得

[S=AB⋅AD=(1-x-x)x=-(x)3-(x)2+x.]

令[t=x,t∈(0,5-12)]，得[S=-t3-t2+t.]

所以[S′=-3t2-2t+1=-(3t-1)(t+1)]，

令[S′=0]，得[t=13或t=-1].

因为[t∈(0,5-12)]，所以[t=13].

[S′、S]随[t]的变化情况如下表：

由上表可知，当[t=13]，即[x=19]时， [S]取得最大值为[527]，所以矩形[ABCD]面积的最大值为[527].

点拨正确建立函数模型并应用模型解决最优化问题是高考中不可忽视的重点. 本题主要是帮助大家经历根据问题的条件和要求建立函数的解析式及确定定义域再研究函数的变化状态的思维过程.

3. 导数的几何意义与导数对函数性质的刻画，以及以此为主要手段的不等式的证明、参数范围的讨论、实际应用等问题

例7 在平面直角坐标系[xOy]中，已知点[P]是函数[f(x)=ex(x>0)]的图象上的动点，该图象在[P]处的切线[l]交[y]轴于点[M]，过点[P]作[l]的垂线交[y]轴于点[N]，设线段[MN]的中点的纵坐标为[t]，则[t]的最大值是 .

解析设[P(x0,ex0),]则[l:y-ex0=ex0(x-x0),]

[∴M(0,(1-x0)ex0).]

过点[P]作[l]的垂线[y-ex0=-e-x0(x-x0),]

[∴N(0,ex0+x0e-x0).]

[∴t=12[(1-x0)ex0+ex0+x0e-x0]=ex0+12x0(e-x0-ex0),]

[t=12(ex0+e-x0)(1-x0),]

所以[t]在[(0,1)]上单调递增、在[(1,+∞)]单调递减，

[∴x0=1时,tmax=12(e+1e).]

点拨导数的考点之一是导数的几何意义——切线的斜率，相应的，过图象上点[(x0,y0)]切线公式[y-y0=f(x0)(x-x0)]要能熟练应用. 现在高考题对导数考查的难度越来越大，一题出现多处求导很常见，要求大家真正做到把导数作为解决切线问题、单调性极值问题、最值问题的常用方法.

例8 函数[f(x)=axm⋅(1-x)n]在区间〔0,1〕上的图象如图所示，则[m、n]的值可能是（）

A. [m=1,n=1] B. [m=1,n=2]

C. [m=2,n=1] D. [m=3,n=1]

解析代入验证.

当[m=1,n=2]，[f(x)=ax(1-x)2=a(x3-2x2+x)]，

则[f(x)=a(3x2-4x+1)]，由[f(x)=a(3x2-4x+1)][=0]可知[x1=13, x2=1]，结合图象可知，函数应在[(0,13)]上递增，在[(13,1)]上递减，即在[x=13]取得最大值，由[f(13)=a×13⋅(1-13)2=12]，知[a]存在. 故选B.

点拨极值与单调性是导数的第二个应用，本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图象. 当然，题干中的“可能是”意味着代入检验是此题作为选择题的解题方案，极值的位置是检验的标准. 明确每个题目的考点，做到“小题小做”，是同学们在二轮复习中要不断加强的考试技巧.

例9 已知函数[f(x)=lnx-12ax2-2x(a<0).]

（Ⅰ）若函数[f(x)]在定义域内单调递增，求[a]的取值范围；

（Ⅱ）若[a=-12]且关于[x]的方程[f(x)-12x+b]在[[1,4]]上恰有两个不相等的实数根，求实数[b]的取值范围；

（Ⅲ）设各项为正的数列[{an}]满足：[a1=1,an+1=lnan+an+2,n∈N*.]求证：[an≤2n-1].

解（Ⅰ）[f(x)=-ax2+2x-1x(x>0).]

依题意[f(x)≥0]在[x>0]时恒成立，即[ax2+2x-1≤0]在[x>0]恒成立.

则[a≤1-2xx2=(1x-1)2-1]在[x>0]恒成立，即[a≤((1x-1)2-1)min][(x>0).]

当[x=1]时，[(1x-1)2-1]取最小值[-1,]

∴[a]的取值范围是[(-∞,-1].]

（Ⅱ）[a=-12,f(x)-12x+b⇔14x2-32x+lnx-b=0.]

设[g(x)=14x2-32x+lnx-b(x>0).]

则[g(x)=(x-2)(x-1)2x.]列表：

∴[g(x)]极小值[=g(2)=ln2-b-2]，

[g(x)]极大值[=g(1)=-b-54]，又[g(4)=2ln2-b-2,]

[∵]方程[g(x)]=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.

则[g(1)≥0,g(2)<0,g(4)≥0,]得[ln2-2

（Ⅲ）设[h(x)=lnx-x+1,x∈[1,+∞)]，则[h(x)=][1x-1≤0,]

[∴h(x)]在[[1,+∞)]为减函数，且[h(x)max=h(1)=0,]故当[x≥1]时有[lnx≤x-1.]

[∵a1=1.]假设[ak≥1(k∈N*),]

则[ak+1=lnak+ak+2>1,]故[an≥1(n∈N*),]

从而[an+1=lnan+an+2≤2an+1.]

[∴1+an+1≤2(1+an)≤⋯≤2n(1+a1).]

即[1+an≤2n]，∴[an≤2n-1.]

点拨本题考查幂函数的导数、对数函数的导数、函数的单调性与实根分布等基础知识，考查化归转化等数学思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查考生分析问题解决问题的能力．本题第一问，是一个中规中矩的常规试题，只要考生基本功扎实，解决起来困难不大；第二问利用函数的单调性画出大致的图像，得到实根分布的充要条件；第三问就需要考生有较高的分析问题解决问题的能力了，利用导数证明不等式的基本思路是通过构造函数转化为研究这个函数的单调性和区间端点值或最值问题，在证明过程中，还要进行不等式的放缩，如果考生缺乏这样的思想意识，不能自觉地朝这个方向思考，要顺利地完成这一问的解答是不可能的．本题能有效地区分不同思维层次的考生，是一道设计十分优秀的试题．

【专题训练一】

1. 设直线[x=t]与函数[f(x)=x2、g(x）=lnx]的图象分别交于点[M、N]，则当[|MN|]达到最小时[t]的值为（）

A. 1 B. [12] C. [52] D. [22]

2. 从如图所示的正方形[OABC]区域内任取一个点[M(x,y)]，则点[M]取自阴影部分的概率为( )

A. [12] B. [13] C. [14] D. [16]

3. 设偶函数[f(x)]对任意[x∈R]，都有[f(x+3)][=-1f(x)]，且当[x∈[-3,-2]]时，[f(x)=4x]，则[f(107.5)]=( )

A. 10 B. [110] C. -10 D. [-110]

4. 函数[y=f(x)]是函数[y=f(x)]的导函数，且函数[y=f(x)]在点[P(x0,f(x0))]处的切线为[l:y=g(x)][=f(x0)(x-x0)+f(x0),][F(x)=f(x)-g(x)]，如果函数[y=f(x)]在区间[[a,b]]上的图象如图所示，且[a

A. [F(x0)=0,x=x0]是[F(x)]的极大值点

B. [F(x0)=0,x=x0]是[F(x)]的极小值点

C. [F(x0)≠0,x=x0]不是[F(x)]极值点

D. [F(x0)≠0,x=x0]是[F(x)]极值点

5. 已知函数[f(x)]的导函数为[f(x)]，且满足[f(x)=][2xf(1)+lnx]，则[f(1)=]（）

A. [-e] B. -1 C. 1 D. [e]

6. 设[0

A. [(-∞,0)]B. [(0,+∞)]

C. [(-∞,loga3)]D. [(loga3,+∞)]

7. 设[a、b、c]为实数，[f(x)＝(x＋a)(x2＋bx＋c)]，[g(x)＝(ax＋1)(cx2＋bx＋1)]. 记集合[S＝{x|f(x)＝0,][x∈R}]，[T＝{x|g(x)＝0，x∈R}]. 若[|S|、|T|]分别为集合[S、T]的元素个数，则下列结论不可能的是（）

A. [|S|＝1且|T|＝0] B. [|S|＝1且|T|＝1]

C. [|S|＝2且|T|＝2] D. [|S|＝2且|T|＝3]

8. 已知函数[f(x)=ex+alnx]的定义域是[D]，关于函数[f(x)]给出下列命题：①对于任意[a∈(0,+∞)]，函数[f(x)]是[D]上的减函数；②对于任意[a∈(-∞,0)]，函数[f(x)]存在最小值；③对于任意[a∈(0,+∞)]，使得对于任意的[x∈D]，都有[f(x)>0]成立；④对于任意[a∈(-∞,0)]，函数[f(x)]有两个零点. 其中正确命题有（）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

9. 已知R上可导函数[f(x)]的图象如图所示，则不等式[(x2-2x-3)f(x)>0]的解集为（）

A. [(-∞,-2)⋃(1,+∞)]

B. [(-∞,-2)⋃(1,2)]

C. [(-∞,-1)⋃(-1,0)⋃(2,+∞)]

D. [(-∞,-1)⋃(-1,1)⋃(3,+∞)]

10. 已知函数[f(x)=2x-1(x≤0),f(x-1)+1(x>0),]把函数[g(x)=f(x)-x]的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）

A. [an=n(n-1)2(n∈N*)]

B. [an=n(n-1)(n∈N*)]

C. [an=n-1(n∈N*)]

D. [an=2n-2(n∈N*)]

11. 已知[F(x)=f(x+12)-1]是R上的奇函数，[an=f(0)+f(1n)+f(2n)+⋯+f(n-1n)+f(1)(n∈N*),]则数列[{an}]的通项公式为 .