北师大三角形证明习题

北师大三角形证明习题（共11篇）

篇1：北师大三角形证明习题

第六课时 6.5 三角形内角和定理的证明

教学目标

1、知识与技能目标

（1）掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。（2）灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。

2、过程与方法

用多种方法证明三角形定理，培养一题多解的能力

1、情感与态度目标

对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用． 教学重点：掌握定理证明的方法 教学难点:添加辅助线 教学准备：多媒体课件 教学过程：

第一环节：情境引入

活动内容：（1）用折纸的方法验证三角形内角和定理．

实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果

（1）（2）（3）（4）

试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，还有其它折法吗？（2）实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。

第二环节：探索新知 活动内容：

① 用严谨的证明来论证三角形内角和定理． ② 看哪个同学想的方法最多？

A D A

E

E B B C

C

D

方法一：过A点作DE∥BC ∵DE∥BC ∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等）∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180° ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)方法二：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．

∵CE∥BA ∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)第三环节：反馈练习活动内容：

（1）△ABC中可以有3个锐角吗？ 3个直角呢？ 2个直角呢？若有1个直角另外两角有什么特点？

（2）△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？（3）∠A=50°，∠B=∠C，则△ABC中∠B=？

（4）三角形的三个内角中，只能有____个直角或____个钝角．（5）任何一个三角形中，至少有____个锐角；至多有____个锐角．（6）三角形中三角之比为1∶2∶3，则三个角各为多少度？（7）已知：△ABC中，∠C=∠B=2∠A。

(a)求∠B的度数；

(b)若BD是AC边上的高，求∠DBC的度数？

第四环节：课堂小结 活动内容：

① 证明三角形内角和定理有哪几种方法？ ② 辅助线的作法技巧.③ 三角形内角和定理的简单应用.第五环节：布置作业

1、第239页随堂练习；第241页习题6.6第1，2，3题

2、创新设计 板书设计：大屏幕 教学反思

篇2：北师大三角形证明习题

一、考点，热点分析：

(1)了解多边形的内角和与外角和公式，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系．了解四边形的不稳定性；

(2)掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，四边形是平行四边形的条件（一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形）．了解中心对称图形及其基本性质；

(3)掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件；

(4)了解等腰梯形同一底上的两底角相等，两条对角线相等的性质，以及同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形的结论

5．进一步认识三角形的有关概念，了解三边之间的关系以及三角形的内角和，了解三角形的稳定性。

6.了解图形的全等，能利用全等图形进行简单的图案设计。

7.经历探索三角形全等条件的过程，掌握两个三角形全等的条件，能应用三角形的全等解决一些实际问题。

8.在分别给出两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形（会写已知、求作和作法，不要求证明）。

二、知识点归纳：

三角形的概念及表示

三角形的基本要素及基本性质三边的关系,三内角的关系三角形的高,中线,角平分线三角形

三角形全等的表示及特征

三角形的全等探索三角形全等的条件三角形全等的应用

三、【例题经典】

三角形内角和定理的证明

例1．如图所示，把图（1）中的∠1撕下来，拼成如图（2）所示的图形，从中你能得到什么结论？请你证明你所得到的结论．

点证：此题是让学生动手拼接，把∠1移至∠2，已知a∥b，根据两直线平行，•同旁内角互补，得到“三角形三内角的和等于180°”的结论，由于此题剪拼的方法很多，证明的方法也很多，注意对学生的引导．

探索三角形全等的条件

例2．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出

下列结论：

①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．

其中正确的结论是_________．

解析：由∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF

可判定△AEB≌△AFC，从而得∠EAB=∠FAC． ∴∠1=∠2，又可证出△AEM≌△AFN．

依此类推得①、②、③

点评：注意已知条件与隐含条件相结合．

全等三角形的应用

例3．（2006年重庆市）如图所示，A、D、F、B在同一直线

上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．

求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．

【解析】（1）因为AE∥BC，所以∠A=∠B．又因AD=BF，所以AF=AD+DF=BF+FD=BD，又因AE=BC，所以△AEF≌△BCD

．（2）因为△AEF≌△BCD，所以∠EFA=∠CDB，所以EF

∥CD．

【点评】根据平行寻求全等的条件，由三角形全等的性质证两直线平行．

利用平行四边形的性质求面积

例4．（2006年河南省）如图，在ABCD中，E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S△ABF=SABCD．

【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC．

∵E是DC的中点，∴DE=CE．

∴△AED≌△FEC．

∴S△AED =S△FEC．

∴S△ABF =S四边形ABCE+S△CEF =S四边形ABCE+S△AED =SABCD

会根据条件选择适当方法判定平行四边形

例5．（2005年山东省）如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F•是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）

A．OE=OFB．DE=BFC．∠ADE=∠CBFD．∠ABE=∠CDF

【分析】虽然判别平行四边形可从“边、角、对角线”三个角度来考虑，但此例图中已有对角线，所以最适当方法应是“对角线互相平分的四边形为

平行四边形”．

能利用平行四边形的性质进行计算

例6．（2005年西宁市）如图，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB•的周长为15，AB=6，那么对角线AC+BD=_______

．

【分析】本例解题依据是：平行四边形的对角线互相平分，先求出

AO+BO=9，•再求得AC+BD=18．

四、【考点精练】

（一）、基础训练

1．如图1所示，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=_______．

（1）（2）（3）

2．如图2，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么D•点到直线AB的距离是_______cm．

3．如图3，AD、AF分别是△ABC的高和角平分线，已知∠B=36°，∠C=•76•°，则∠DAF=______度．

4．（2006年烟台市）如图4，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C•落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为______．

（4）（5）（6）

．如图

5，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD•交于点O，•且AO•平分∠BAC，那么图中全等三角形共有________对．

6．（2006年河南省）如图6，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E•是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是________．

7．以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（）

A．1cm，2cm，4cmB．8cm，6cm，4cm

C．12cm，5cm，6cmD．2cm，3cm，6cm

8．（2006年绍兴市）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，•则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（）

A．2对B．3对C．4对D．6对

（7）（8）（9）

9．（2006年德阳市）已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似．•要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边．那么另外两边的长度（单位：cm）分别为（）

A．10，25B．10，36或12，36

C．12，36D．10，25或12，36

10．（2005年黄冈市）如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=

12S△ABC；④EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P

旋转时（点E•不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（）

A．①④B．①②C．①②③D．①②③④

11．如图1，该多边形的内角和为_______度．

(1)(2)(3)

12．如图2，E、F是ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：__________，使四边形AECF是平行四边形．

13．（2006年长沙市）如图3，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是__________（添加一个条件即可）．

14．（2006年扬州市）ABCD的对角线交于点O，下列结论错误的是（）

A．ABCD是中心对称图形B．△AOB≌△COD

C．△AOD≌△BOCD．△AOB与△BOC的面积相等

15．（2005年天津市）如图4，在ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（）

A．7个B．8个C．9个D．11个

16．（2006年广东省）如图5所示，在ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子中一定成立的是（）

A．AC⊥BDB．OA=OCC．AC=BDD．AO=OD

(4)(5)(6)

17．（2006年淄博市）如图6，在△MBN中，BM=6，点A，C，D分别在MB，NB，MN•上，•四边形ABCD为平行四边形，∠NDC=∠MDA，则ABCD的周长是（）

A．24B．18C．16D．1

218．（2006年怀化市）如图7，AB=AC，AD⊥BC，AD=BC，若用剪刀沿AD剪开，•则最多能拼出不同形状的四边形个数是（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

19．如图8，ABCD中，点E、F分别是AD、AB的中点，EF交AC于点G，那么AG：GC的值为（•）

A．1：2B．1：3C．1：4D．2：

(7)(8)(9)

20．（2006年南通市）如图9，ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为（）

A．6mB．12cmC．4cmD．8cm

（二）、能力提升

21．已知：如图，点C、D在线段AB上，PC=PD．请你添加一个条件，•使图中存在全等三角．．

形，并给予证明．所添条件为________．你得到的一对全等三角形是△_______≌△_____．

22．已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，•在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连结AE、CD．

（1）求证：△AGE≌△DAC；

（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连结AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．

23．（2005年大连市）如图，AB∥CD，AB=CD，点B、E、F、D在一条直线上，∠A=∠C，求证：AE=CF．（说明：证明过程中要写出每步的证明依据）．

24．（2006年内江市）如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：

①AB=AC②AD=AE③∠1=∠2④BD=CE．

请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（•

要求写出已知，求证及证明过程）

25．如图，在ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE=CF，求证：BE=DF．

26．（2006年德阳市）如图，已知点M、N分别是ABCD的边AB、DC的中点，•求证：•∠DAN=∠BCM．

27．（2006年临安市）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD•的对角线AC•上的两点，AE=CF．

求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．

28．如图，DB∥AC，且DB=

12AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．

（三）、应用与探究

29．（2006年浙江省）如图，△ABC与△ABD中，AD与BC

相交于O点，∠1=∠2，•请你添加一个条件（不再添加其

它线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD，并给出证明．

你添加的条件是：__________．

30．（2006年江阴市）已知平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上．

（1）若AB=10，AB与CD间距离为8，AE=EB，BF=FC，求△DEF的面积．

（2）若△ADE、△BEF、△CDF的面积分别为5、3、4，求△DEF的面积．

答案：

考点精练

1．95°2．33．20°4．60°5．4对6

7．B8．B9．D10．C

11．答案不唯一，比如：∠A=∠B，△PAC≌△PBD

12．（1）证略（2）连接AF，•则△AEF是等边三角形．证略

13．∵AB∥CD，AB=CD，∠A=∠C，∴△ABE≌△CDF（ASA）•，•

∴AE=CF（全等三角形对应边相等）

14．①②③为题设④为结论，证略

15．∠C=∠D，证略．

例题经典

例2．B

考点精练

1．9002．答案不唯一，如BE=DF等3．答案不唯一，如AB=CD等•

4．D5．C6．C7．D8．D9．B10．D

11．证△ABE≌△CDF（SAS），即可得到BE=•DF

12．证△BCM≌△DAN（SAS），即可得∠DAN=∠BCM

13．（1）根据（•SAS）•证△ADF•≌△CBE

（2）连接BF、DE、DB，•根据对角线互相平分的四边形是平行四边形．

证四边形BEDF是平行四边形即可

14．证四边形BCED是平行四边形即可

篇3：北师大三角形证明习题

1.习题难度模型

鲍建生在对中英两国的课程难度进行比较时,提出了“数学习题课程综合难度模型”。该模型含有五个难度的因素,分别为知识含量、运算水平、背景水平、探究水平和推理水平五个因素,其中因素又分为不同的层次。吴立宝、王建波、曹一鸣认为:习题难度=0.38 **知识水平+0.36 **知识点个数+0.26背景。

2.点数法

点数法主要应用于几何题,把推理的每一个条件或结果算作一点,一个条件推出多个结论或多个条件推出一个结论时,每个条件再加一点。对于图形复杂的情况再增加点数,如:必须做辅助线加两点,由图可知得出条件加一点。使用最终结论处点数和作为证明难度的指标。

3.难度分析

全等三角形的证明是初中几何的重要组成部分,是轴对称图形、四边形的重要基础。对人民教育出版社2013版八年级上第12章第二节全等三角形中例题(L)、练习(按顺序分为练习1到4)和习题(X)的题号(TH)、探究水平(S)、背景(B)、运算(Y)、推理(T)、知识点数量(Z)进行分析,得出每道题的点数(D)和难度(N)。部分题目分析如下:

全等三角形的证明部分的习题各维度中的各个水平比重明显不均,作业分层可能存在问题,在一个维度上水平明显聚集的习题,难度计算可能存在较大误差。

使用SPSS对点数和探究水平、背景、推理、知识点做回归分析,发现探究水平、背景的系数均为负数,也就是探究水平、背景越高习题的点数越低,这明显违背常识,推理与知识点数量系数为正。使用SPSS对点数和难度进行相关分析,发现存在相关性,但相关度为0.384,属于低相关。对点数和其他各项做相关分析,点数与推理水平相关系数为0.645,与知识点个数相关系数为0.773,与探究水平相关系数为0.526,与背景相关系数为0.26,另外知识点与推理水平相关系数为0.748。点数法的计数方法主要受推理水平和知识点数量影响,全等三角形部分的背景对点数影响不足,而探究水平与推理水平的分析方法接近。吴立宝等人的习题难度模型考虑题目的探究水平、知识点数量、背景,鲍建生将证明分为3个层次并不适用于几何证明题。习题3仅比例3,练习1.1多1步,难度却是2.62和1.36,例4的点数是练习1.1的两倍,比练习1.1多了知识点“三角形内角和为180°”,推理步骤“三角形内两对角相等则第三个角也相等”。点数法中应该减少同理可得的点数,习题难度模型在几何部分也要增加推理的层次。

4.习题难度控制

三角形部分的习题,从习题难度模型考虑,难度主要是通过知识点数量、背景的有无来控制,探究水平可能控制不够精细,从点数法考虑,难度主要由推理的长度、知识点数量控制。几何部分复杂的背景较少,在学习勾股定理之后的四边形部分时,计算维度就会明显影响习题的难度,探究水平要在高难度的综合题出现时才会有较大的区分度。全等三角形部分,难度主要由知识点数量、推理长度、背景的有无来控制。

如例3与例4都是考察ASA,例4比例3增加了知识点“三角形内角和”和推理步骤“三角形内两对角相等则第三个角也相等”;习题11比例3增加了知识点“两直线平行内错角相等”及相应的证明步骤;练习3.2比例3增加了情境。

5.小结与建议

对教材全等三角形证明部分的习题整理发现,习题难度模型并不适用于全等证明这样的维度偏向明显的章节,可以结合点数法来考虑几何部分的习题难度,增加同一难度的习题数量或调整习题难度。

该研究不足在于:选择全等三角形证明一节的教材习题,范围较小,由于条件限制,没有对学生进行测试以获取实践的正确率,来确定点数法和难度模型的效果。后续可以对点数法进行优化,修改现有难度模型以适应不同知识模块。

摘要：通过控制习题难度,可以向不同学生提供不同水平的习题,符合因材施教与循序渐进的原则。使用习题难度模型和点数法对全等三角形的证明一节的习题进行分析,发现习题难度模型适用性不强,可以与点数法结合来控制习题难度。

篇4：北师大三角形证明习题

曾老师设计的教案中，第一部分是让学生运用猜想、图形剪拼、测量、归纳等方法发现这样一个结论：“三角形的内角和是180°”，第二部分教学内容就是运用演绎方法证明结论（教学过程如下）。

“（二）运用演绎方法证明结论

师：三角形的内角和确实是180°，如何用我们学过的数学知识来证明这个结论呢？

生：对于直角三角形，可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形（图略）。长方形四个角是直角，其内角和为90°×4=360°，这样每个直角三角形的内角和为180°。对于锐角和钝角三角形，我还没想出来。

生：对于非直角三角形，可以在内部作一条高，将其分成两个直角三角形（图略）。这样两个直角三角形的内角和为360°，减去高与底边所成的两个直角的度数，就得到所求的非直角三角形的内角和为180°。……

师：嗯，非常好！这样，我们就成功地证明了‘三角形的内角和为180°’这个非常重要的数学结论。”

事实上，这个被教师称为“成功的证明”并不是用演绎推理方法进行的“证明”，其“证明”过程中存在着两个值得商榷的问题。

一、 “长方形的内角和是360°”是怎么得到的

证明过程中用到了“长方形的内角和是360°”这个结论，这个结论是怎么得到的？

一般地，“四边形的内角和是360°”是通过将四边形用对角线分成两个三角形，再由“三角形内角和是180°”推导出来的。因为长方形是四边形，所以内角和是360°（当然也可直接将长方形分成两个三角形进行推导）。人教版教材在“三角形内角和”的教学中还安排了这样一个练习：“根据三角形内角和是180°，你能求出下面的四边形和正六边形的内角和吗？”由此可知，小学中求多边形内角和确实以“三角形内角和是180°”为依据。这样一来，证明过程就会有“循环证明”之嫌。好在长方形是特殊的四边形，教师可以不用“三角形内角和是180°”为依据，而是可以根据它的定义“有一个角是直角的平行四边形是矩形（长方形）”及平行线的某些性质（例如同旁内角互补）推导出长方形四个角都是直角，从而得到了“长方形内角和是360°”的结论，但是“平行线的性质”是初中数学的教学内容，并不是四年级小学生所掌握的知识，论证过程中不好应用。曾老师也许考虑到了这一点，因此提出了另一种说法，认为长方形四个角都是直角是“默认为正确的而不加以证明，相当于平面几何中的公理”。为了证明需要，就把“长方形四个角都是直角”当作“公理”而不加以证明，并且把它当作演绎推理的依据，这样处理不是很妥当。其实，即使把“长方形四个角都是直角”当作“公理”，仅用小学数学中的一些知识，要用演绎法来证明“三角形的内角和是180°”也是做不到的。

二、 两个完全一样的直角三角形为什么可以拼成一个长方形

学生在开始“证明”时就提出：“可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形。”这正是“证明结论”的关键。然而，正是这句话出了问题。试想在还不知道直角三角形的内角和是180°时，怎么能知道这样两个直角三角形一定能拼成一个长方形呢？

为了方便，笔者借助图形来说明问题。

假设△ＡＢＣ和△ＣＤＡ是两个完全一样的直角三角形，其中∠Ｂ=∠D=90°，∠２＝∠４，∠１＝∠３，ＢＣ＝ＤＡ，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＣ＝ＣＡ，把这两个三角形如图所示拼起来，如果能拼成一个长方形，那么必须满足条件：∠１＋∠２＝90°，∠３＋∠４＝90°。由于∠２＝∠４，∠１＝∠３，所以就有∠１＋∠４＝90°，∠２＋∠３＝90°。由此可知，当你说“可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形”时，已经应用了直角三角形的内角和是180°”这个结论。这样一来，证明过程就形成了这样一个怪圈：先默认直角三角形的内角和是180°，否则它的两个锐角就不能拼成一个直角）→它的两个锐角可以拼成一个直角→两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形→长方形内角和是360°→每个直角三角形的内角和是180°。显然，用这样的方法来证明“三角形的内角和是180°”是错误的。这种“证明”方法的实质是用直角三角形的两个锐角拼一拼，而且没有任何理由就认定了这两个锐角拼成了一个直角，这根本不是在用“演绎方法”证明“直角三角形的内角和是180°”。再以此结论为依据来证明“非直角三角形的内角和也是180°”就失去了意义。像这种错误的“证明”也并不鲜见，例如在《中小学数学》2009年第12期中刊登的《“三角形内角和”一课的教学现象分析与思考》一文中也是用这种方法证明的，在公开发表的这些文章影响下，估计这样的错误证法还会在课堂教学中出现，对此教师应该予以足够重视。

要证明“三角形的内角和是180°”是需要以平行线的性质为基础的，在初中数学教材中，应用平行线的性质很容易用演绎推理的方法证明这个结论（证明略）。华东师大的张奠宙教授曾在《小学教学》（数学版）2011年第3期中指出：“要证明三角形内角和的定理，平行公理无论如何是绕不过去的。”显然，学生在未掌握平行线性质的情况下，要用演绎推理的方法来证明“三角形内角和是180°”是不可能的，而事实上也是没有必要的。《数学课程标准（实验稿）》第24页对这一内容提出的教学目标是了解“三角形内角和是180°”，与四年级下册数学教材（人教版）配套的《教师教学用书》第135页上对这一内容提出的教学目标是知道“三角形的内角和是180°”。有些教师在实际教学中总是喜欢拔高教学目标，例如对于“三角形内角和”这一教学内容，不仅要学生“知道三角形内角和是180°”，而且还要求他们用演绎推理的方法来证明，这样做有时真的会“弄巧成拙”。

文中不妥之处敬请各位老师批评指正。

（浙江省杭州师范大学初等教育学院 310036）

篇5：北师大三角形证明习题

一．选择题（共8小题，共40分）

1．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）

A． 7cm B． 3cm C． 7cm或3cm D． 8cm

2．在等腰三角形ABC中∠A=40°，则∠B=（）

A． 70°B． 40° C． 40°或70°D． 40°或100°或70°

3．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（）

A． 68° B． 32° C． 22° D． 16°

4.到三角形三边距离相等的点是（）

A.三条垂直平分线的交点B.三条高线的交点

C.三条中线的交点D.三条角平分线的交点

5．下列说法中，正确的个数是（）

①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；

②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；

③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；

④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．

A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个

6．利用基本尺规作图，下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是（）

A． 已知斜边和一锐角 B． 已知一直角边和一锐角

C． 已知斜边和一直角边 D． 已知两个锐角

7．在下列命题中，逆命题错误的是（）

A． 相等的角是对顶角

B． 到线段两端距离线段的点在这条线段的垂直平分线上

C． 全等三角形对应角相等

D． 角平分线上的点到这个角两边的距离相等

8．（1997•贵阳）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB边的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，△BEC的周长是14cm，BC=5cm，则AB的长是（）

A． 14cmB． 9cmC． 19cmD． 12cm

二．填空题（共4小题，4×4’=16’）

9．用反证法证明三角形中至少有一个角不小于60°，第一步应假设____________________．

10．命题：“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是_______________ ____________________________________________________________________________．

11．（2011•资阳）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE 相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=__________度．

12．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A=60°，若AD=1，则△ABC的面积为__________．

三．解答题（共4小题，共44分）

13．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上． 求证：（1）△ABD≌△ACD；

（2）BE=CE．

篇6：全等三角形的证明练习题

1、如图所示，AB=AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不可能是（）

A、∠B=∠CB、AD=AEC、∠ADC=∠AEBD、DC=BE

AC

A

D

BCEAODBCEF

第1题图第2题图第3题图

2、如图所示，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF； ②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，AC=DF，∠C=∠F； ④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E； 其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）

A、1组B、2组C、3组D、4组

3、如图所示，AC=AD，BC=BD，那么全等三角形由（）

A、1对B、2对C、3对D、4对

4、如图，△ABC≌△ADE，∠B=28°，∠E=95°，∠EAB=20°，则∠°

BA

C

C

AEDBDCDFABE

第4题图第5题图第6题图

5、如图，△AOC≌△BOD，那么下列结论错误的有

① ∠C=∠D② ∠2=∠1③ AO=DO④ AC=BD6、已知△ABC≌△EBF，AB⊥CE，ED⊥AC；

（1）对应相等的边有，；

（2）对应相等的角由，；

（3）若AB=5，BC=3，在7、如图，AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC，求证ED=BC；

ADCBE8、如图，已知点C在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，求证∠5=∠6；

D

3AE

A9、如图，已知AB∥CD，AD∥BC，求证AB=CD；

B10、如图，∠ACB=90°，AM⊥MN，BN⊥MN，AC=BC，求证MN=AM+BN；

A

篇7：北师大三角形证明习题

第Ⅰ卷（选择题，共30分）

共4 页 第1页

11、“两直线平行，内错角相等”的逆命题是，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=

13、如图1-Z-10是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大的正方形E的面积是.14、等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角是

三、解答题（共40分）

17、（12分）已知：如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．若∠1＝60°，AE=1．

(1)求∠

2、∠3的度数；

(2)求长方形纸片ABCD的面积S．

图1-Z-10 图1-Z-9

D

三、解答题

29.已知：如图10，AB=AC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形

.图10

30.已知：如图11，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=的平分线，求证：CD=

∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB

21DB

.2

图1

131.已知三角形的三边分别是n2+n，n+

和n2+n+(n＞0)，求证：这个三角形是直角三角形.22

32.如图12，△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，求证：AD平分∠BA

C.图12

33.如图13，以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边△ABD，连结DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=2，求BE的长

.图1

3参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共36分）

一、选择题（每小题4分，共36分）

第Ⅱ卷（非选择题，共64分）

二、填空（第小题4分，共24分）

10、30，12，60，等边；

11、内错角相等，两直线平行；

12、95°；

13、47；

14、20°或80°；

15、解析：∵

垂直平分是△

于点的角平分线，于点，∴

.在Rt△和Rt△中，∴ △又

是△

≌△（HL），∴

.垂直平分

.的角平分线，∴

三、解答题（共40分）

16、解析:如图，延长由△在△

是角平分线，∴

中，∵

交

于点,于点，可以得出△2，∴

.是△的中位线,≌

∴

()=＝×

31.517、(1)∠2=∠3=60°(2)S=

318、(1)在△ACD和△CBF中，AC=CB，∠ACD=∠CBF（已知△ABC等边三角形），CD=BF（已知），所以△ACD≌△CBF（SAS）

(2)D在BC的中点处时，符合条件。理由如下：

由（1）知：△ACD≌△CBF∴AD=CF，∠CAD=∠BCF

篇8：教你证明三角形全等

一般地, 应根据题设并结合图形, 先确定两个三角形已知相等的边或角, 然后按照判定公理或定理, 寻找还缺少的条件。其基本思路是:

1.有两边对应相等, 找夹角对应相等或第三边对应相等, 前者利用SAS判定, 后者利用SSS判定。

2.有两角对应相等, 找夹边对应相等或任一等角的对边对应相等, 前者利用ASA判定, 后者利用AAS判定。

3.有一边和该边的对角对应相等, 找另一角对应相等, 利用AAS判定。

4.有一边和该边的邻角对应相等, 找夹等角的另一边对应相等或另一角对应相等, 前者利用SAS判定, 后者利用AAS或ASA判定。

例1如图1所示, 已知AB=AC, AD=AE, ∠1=∠2.求证:∠B=∠C.

分析:要证明∠B=∠C, 只要证明∠B、∠C分别所在的■ABD和■ACE全等。在这两个三角形中, 有两边对应相等 (AB=AC, AD=AE) , 只要再证明∠BAD=∠CAE或BD=CE即可显然由题设容易证明

证明:由∠1=∠2, 得:∠1+∠BAC=∠2+∠CAB.

在△ABD和△ACE中,

例2如图2所示, 已知∠A=∠B, AE=BF, ∠C=∠D.求证:AC=BD.

分析:要证明AC=BD, 只要证明AC、BD所在的△ACF和△BDE全等。在这两个三角形中, 有两角对应相等 (∠A=∠B, ∠C=∠D) , 只需再证明CF=DE或AF=BE就可。显然, 由题设证明AF=BE更方便。

证明:由AE=BF, 得AE+EF=BF+FE, 即AF=BE.

在■ACF和■BDE中,

例3如图3所示, 已知△ABC中, D、E分别是AB、AC的中点, CF∥AB交DE的延长线于点F.求证:AB=2CF.

分析:要证明AB=2CF, 注意到D是AB的中点 (AB=2AD) , 那么只需证明CF=AD, 即需证明△CFE和△ADE全等。在这两个三角形中, 有一边和该边的邻角对应相等 (CE=AE, ∠CEF=∠AED) , 只需再证明EF=ED或∠1=∠A或∠F=∠2即可显然由题设证明或更方便。

证明:由CF∥AB, 得∠1=∠A.

在△CFE和△ADE中,

∵D是AB的中点, 即AB=2AD,

例4如图4所示, 已知△ABC中, ∠ACB=90°, ∠CBA=45°, E为AC上的一点, 延长BC到点D, 使CD=CE, 求证:BE⊥AD.

分析:要证明BE⊥AD, 需延长BE交AD于F, 证明∠AFE=90°, 即证明∠1+∠2=90°.又∵∠3+∠4=90°, ∠2=∠3, 那么需证明∠1=∠4, 即应考虑∠1、∠4所在的△ACD和△BCE全等。在这两个三角形中, 有一边和该边的邻角对应相等 (CD=CE, ∠ACD=∠BCE=90°) , 只要再证明∠CA=CB或∠D=∠3即可。显然, 证明CA=CB更方便。

证明:延长BE交AD于点F, 由∠ACB=90°, ∠CBA=45°, 得∠CAB=∠CBA=45°, 从而有:CA=CB.

在△ACD和△BCE中,

∴∠1+∠2=90°, 从而有:∠AFE=90°.

篇9：证明三角形角平分线定理的六法

定理：在ΔABC中，∠A的平分线AD交BC边于点D，则： 。

证明：

一、构造平行线法

如图，过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，

∴ ∵ AD平分∠A ∴ ∠BAD=∠CAD

∵AD∥CE ∴ ∠E=∠BAD ∠ACE=∠CAD ∴ ∠E=∠ACE

∴AC=AE ∴

二、构造相似三角形法

如图，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，

过点C作CF⊥AD于F，则BE∥CF，∴ΔBDE∽ΔCDF

∴ ∵ ∠BAD=∠CAD，∠AEB=∠AFC=90°

∴ΔAEB∽ΔAFC ∴ ∴

三、面积法

如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，

∵ ∠BAD=∠CAD ∴ DE=DF ∴

∴ 又∵ΔABD和ΔACD同高

∴ ∴

四、构造圆法

如图，作ΔABC的外接圆，延长AD交圆于点E，

连接BE、CE，∵ ∠BAD=∠CAD ∴ BE=CE

∴∠EBD=∠BAE ∠AEB=∠BED ∴ ΔAEB∽ΔBED

∴ 同理ΔAEC∽ΔCED ∴

∴ ∴

五、应用正弦定理

如图，∵ ∠BAD=∠CAD ∴ sin ∠BAD=sin∠CAD

∵∠BDA+∠CDA=180° ∴ sin∠BDA=sin（180°-∠CDA）=sin∠CDA

在ΔABD中， （1）；在ΔACD中， （2）

（1）÷（2） ∴

六、解析法

如图，以点A为坐标原点，AD为x轴建立平面直角坐标系，设AB=m，AC=n，∠BAD=∠CAD=

则点B的坐标为（mcos ，msin ），点C的坐标为（ncos ，-nsin ）

设直线BC为： y=kx+b 则

解之得： b= -

∴ 直线BC为： y= x-- ∴ 点D的坐标为（ ，0）

篇10：北师大三角形证明习题

3、在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关

系是.4、已知⊿ABC中，∠A = 900，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC

5、在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，AB的垂直平分线交AC与D，则∠DBC的度

数为．

6、Rt⊿ABC中，∠C=90º，∠B=30º，则AC与AB两边的关系是，7、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为6，则其底边上的高是。

8、如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=MA.9、如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.10、如图△ABC中，AF平分∠BAC交BC于F，FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，求证：AF垂直平分DE.A

DE11、如图

1、图2，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，（1）在图1中，AC与BD相等吗？请说明理由

（2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达力2的位置，请问AC与BD还相等吗？为什么？

BB

C

D

D OOC

图2　图

112、如图，在△ABC中，AB=AC、D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且CE=BD，连结DE交BC于F。（1）猜想DF与EF的大小关系；（2）请证明你的猜想。

13、如图2-5所示．在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQ⊥AD于Q． 求证：BP=2PQ．

14、在⊿ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC，与∠ACB的角平分线交于点E，与∠ACB的外角平分线交于点F

15.(1)

6x16x

12x2(2)2x12x 4

4(3)5(x2)86(x1)7(4)52(x3)6x4

(5)2x135x121

2x

3(7)

13

x1(8)(9)12x3x

5x4x1

(6)x22x1

2

2x1x30

(10)123x

4

216、（1a最小值是（）A、1B、2C、4D、6

（2）关于x

5个整数解，则a的取值范围是（）

（3）若不等式组

x22m的解集为x＜2m－2,则m的取值范围是（）

xm0

B．m≥

2C．m＞2

D．m＜2

A．m≤2

（4）已知关于x的不等式组

x2＞0的整数解共有4个，则a的最小值为（）

xa0

A.2B.2.1C.3D.117、如图 直线l1：yk1b与直线l2：yk2x在同一平面直角坐标系中的图像如图所 示，则关于x的不等式k2xk1xb的解集为_______________

篇11：北师大三角形证明习题

5一．选择题

1．已知ab，下列不等式中错误的是（）

A．azbzB．acbcC．2a2bD．4a4b2、不等式x5的解集是（）

355D．x 33A．x15B．x15C．x

3、把不等式组 x2 的解集表示在数轴上，正确的是（）x

1A、B、C、D、4、已知三角形的两边长分别是3、5，则第三边a的取值范围是（）

A、2≤a≤ 8B、2a8C、a2D、a85、“x的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是()

A．2x－3≤8;B．2x－3≥8;C．2x－3＜8;D．2x－3＞86、不等式2x13x3的正整数解的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2x1

37、的解集是（）x10

A x2Bx1C1x2D无解

8、无论x取什么数，下列不等式总成立的是（）

A.x+5＞0B.x+5＜0C.x2＜0D.x2≥09、在平面直角坐标系内，点P（m3，m5）在第四象限，则m的取值范围是（）

A、5m3B、3m5C、3m5D、5m

3x

410、不等式组的解集是x4，那么m的取值范围是（）xm

A．m4B．m4C．m4D．m

4二．填空题

11、用适当的符号表示：m的2倍与n的差是非正数：

12、已知a、b两个实数在数轴上的对应点如下图所示：请你用“”或“”完成填空：

（1）ab ；（2）

；（3）ab0；

13、一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y<0时，x的取值

范围是当y 3时，x的取值范围是

14、用“＜”、“＞”号填空：

如果x＜y，则3x－1________3y－1；

如果a＞b，则1－a________1－b．

15、已知关于x的不等式(1a)x2的解集为x

三、解答题

16、解下列不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来

（1）3x294x（2）

x103（3）12x53（4）xx13213题图 2，则a的取值范围是_____ 1axx1≤1；

32-2-

17、已知y12x3,y2x3当x取何值时，（1）y1y2,(2)y1y218、小明准备用21元钱买笔和笔记本，已知每枝笔3元，每个笔记本2.2元，他买了2个笔记本，请你帮她算一算，他还可能买几枝笔？

19．已知如图5，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，DC＝6求BD的长。

图

520、有一箱苹果分给若干个小朋友，如果每人分5个，则还剩12个，如果每个人分8个，则有一个小朋友分不到8个，求这箱苹果的个数与小朋友的人数。

21、当k满足条件__________时，不等式（k-4）x<4-k的解集为x>-1。

22、.已知x关于的不等式组无解,52x1,则a的取值范围是__xa0.23.一次函数y=(3-m)x+m的图像经过第一，二，四象限，则m应为_____.24.若不等式2x<4的解集都能使关于x的一次不等式（a-1）x

25、一个两位数，它的十位数字比个位数字大1，且这个两位数大于30小于42。则这个两位数是。

26、如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．

（1）求证：DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证： ME=BD．

27、如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．

（1）求证：CF=DG；

（2）求出∠FHG的度数．

2y53yt

27、关于y的不等式组yty7的整数解是3,2,1,0,1，求参数t的取值范围..36

228、某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共3500辆，其中变速车保管费是每辆一次0.5元，一般车的保管费是每辆0.3元。

（1）若设一般车辆停放的数为x，总保管费收入为y，写出y与x 的关系式