第三课时集合的运算

第三课时集合的运算（共9篇）

篇1：第三课时集合的运算

1.1.3集合的基本运算(第一课时)【学习目标】

1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.3.能使用Ｖenn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.【预习指导】

阅读教材并思考下列问题： 1.集合有哪些基本运算？

2.各种运算如何用符号和Ｖenn图来表示.3.集合运算与实数的运算有何区别与联系.【自主尝试】

1.设全集Ux|1x10,且xN,集合A3,5,6,8,B4,5,7,8,求AB,AB,CU(AB).2.设全集Ux|2x5,集合Ax|1x2,Bx|1x3,求AB,AB,CU(AB).3.设全集Ux|2x6且xZ,Ax|x24x50,Bx|x21,求AB,AB,CU(AB).【典型例题】

1.已知全集Ux|x是不大于30的素数,A,B是U的两个子集,且满足A(CUB)5,13,23,B(CUA)11,19,29,(CUA)(CUB)3,7,求集合A,B.1 / 4

2.设集合Ax|x23x20,Bx|2x2ax20,若ABA,求实数a的取值集合.3.已知Ax|2x4,Bx|xa ① 若AB,求实数a的取值范围； ② 若ABA,求实数a的取值范围；

③ 若AB且ABA,求实数a的取值范围.4.已知全集U2,3,a22a3,若Ab,2,CUA5,求实数a和b的值.【课堂练习】

1.已知全集U0,1,2,4,6,8,10,A2,4,6,B1,则(CUA)B（）A 0,1,8,10

B 1,2,4,6

C 0,8,10

D 

2.集合A1,4,x,Bx2,1且ABB,则满足条件的实数x的值为（）A 1或０

B 1,０,或

2C ０,2或－2

D 1或2 3.若A0,1,2,B1,2,3,C2,3,4则(AB)(BC)＝（）A 1,2,3

B

2,3

C

2,3,4

D 1,2,4

4.设集合Ax|9x1,Bx|3x2则AB（）Ax|3x1

Bx|1x2

Cx|9x2

Dx|x1 【尝试总结】

你能对本节课的内容做个总结吗？ 1.本节课我们学习过哪些知识内容? 2.集合的运算应注意些什么?

【达标检测】

/ 4

一、选择题

1.设集合Mx|x2n,nZ,Nx|x2n1,nN则MN是

（）A 

B M

C Z

D 0 2.下列关系中完全正确的是

（）A aa,b

B Cb,aa,b

D

a,ba,ca

b,aa,c0

3.已知集合M1,1,2,2,Ny|yx,xM,则MN是（）A M

B 1,4

C 1

D 

4.若集合A,B,C满足ABA,BCC,则A与C之间的关系一定是（）A AC

B CA

C AC

D CA

5.设全集Ux|x4,xZ,S2,1,3,若CuPS,则这样的集合Ｐ共有()A ５个

B ６个

C ７个

D８个

二、填空题

6.满足条件1,2,3A1,2,3,4,5的所有集合A的个数是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.7.若集合Ax|x2,Bx|xa,满足AB2则实数a＝＿＿＿＿＿＿.8.集合A0,2,4,6,CUA1,3,1,3,CUB1,0,2,则集合B＝＿＿＿＿＿.9.已知U1,2,3,4,5,A1,3,5,则CUU＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.10.对于集合A,B,定义ABx|xA且B,A⊙B=(AB)(BA), 设集合M1,2,3,4,5,6,N4,5,6,7,8,9,10,则Ｍ⊙Ｎ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.三、解答题

11.已知全集UxN|1x6,集合Ax|x26x80,B3,4,5,6(1)求AB,AB,(2)写出集合(CUA)B的所有子集.3 / 4

12.已知全集Ｕ＝Ｒ,集合Ax|xa,Bx|1x2,且A(CUB)R,求实数a的取值范围

113.设集合Ax|3x2px50,Bx|3x210xq0,且AB求

3AB.4 / 4

篇2：第三课时集合的运算

编号：

时间：

1.1.3集合的基本运算(第二课时)

编写人：张现军

审核人：马发展

【学习目标】

1.进一步巩固集合的三种运算.2.灵活运用集合的运算,解决一些实际问题.【典型例题】

1.已知集合Ax|x215x500,Bx|ax10,若AB,求a的值.2.已知集合Ax|2axa3,Bx|x1或x5,若AB,求a的取值范围.3.已知集合Ax|x23x40,Bx|2x2ax20若ABA,求a的取值集合.4.有54名学生,其中会打篮球的有36人,会打排球的人数比会打篮球的多4人,另外这两种球都不会的人数是都会的人数的四分之一还少1,问两种球都会打的有多少人.【课堂练习】

1.设集合MxZ|3x2,NnZ|1n3,则MN（）A C 0,1

B

D

1,0,1 1,0,1,2

0,1,2

2.设Ｕ为全集,集合MU,NU且NM则（）A CUNCUM

B MCUN

/ 3

高一数学学科导学练

编号：

时间：

C CUNCUM

D CUMCUN

x33.已知集合Mx|0,Nx|x3,则集合x|x1是

（）x1A NM

B NM

C CU(MN)

D CU(MN)

4.设A菱形,B矩形,则AB＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.5.已知全集U2,4,a2a1,Aa1,2,CUA7则a＿＿＿＿＿＿＿.【达标检测】

一、选择题

1.满足1,3A1,3,5的所有集合A的个数（）A 3

B 4

C 5

D 6 2.已知集合Ax|2x3,Bx|x1或x4,则AB

（）A x|x3或x4

B x|-1

C x|3x4

D x|-2x1

3.设集合Sx|x23,Tx|axa8,STR,则a的取值范围是（A 3a1

B 3a1

C a3或a1

D a3或a1

4.第二十届奥运会于2００８年８月８日在北京举行,若集合A参加北京奥运会比赛的运动员B参加北京奥运会比赛的男运动员, C参加北京奥运会比赛的女运动员,则下列关系正确的是()A AB

B BC

C ABC

D BCA

5.对于非空集合Ｍ和Ｎ,定义Ｍ与Ｎ的差MNx|xM且xN,那么 Ｍ－(Ｍ－Ｎ)总等于（）A Ｎ

B Ｍ

C MN

D MN

/ 3)高一数学学科导学练

编号：

时间：

二.填空题

(x,y)|x+2y=7,B(x,y)|xy1,则AB＿＿＿＿＿＿＿.6.设集合A7.设Ux|x是不大于10的正整数,Ax|x220,xN,则CUA＿＿＿＿.8.全集Ｕ＝Ｒ,集合Xx|x0,Ty|y1,则CUT与CUX的包含关系是＿＿.9.设全集Ux|x是三角形,Ax|x是锐角三角形,Bx|x是钝角三角形,则C（）=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.UAB10.已知集合My|y=-2x+1，xRNy|yx2,xR,则MN＝＿＿＿.三.解答题

11.已知Ax|x2axa2190,Bx|x25x60,Cx|x22x80 ①.若ABAB,求a的值.②.若ACC,求a的值.12.设U=R,M={x|x1},N={x|0x5},求CUMCUN.13.设集合Ax|(x2)(xm)0,mR,Bx|x25x60,求AB,AB.课后作业： 课后反思：

篇3：集合运算的一次难忘“旅程”

题目已知集合A={x|-1

这是我在“集合与常用逻辑用语”单元复习课上的一道例题, 学生解题速度较快, 有三种解法展示如下:

方法1:因为A∩B=B可得, 可以用数轴表示来分析, 则有

∴0

方法2:因为A∩B=B可得, 可以用数轴表示来分析, 则有

∴0≤m≤5.

方法3:因为A∩B=B可得

当时, 则有2m-1≥m+1, ∴m≥2.

∴0≤m<2.

综上可知m的取值范围是m≥0.

三种不同的结果, 孰是孰非?通过对比学生明白了问题所在.平时老师给题目, 今天可否由同学们出题目?大家可否通过这道题的变化改编出一些题目考考其他同学?一石击起千层浪, 同学们的热情与踊跃简直超乎我的想象, 都想把自己的成果展现出来, 经归类整理如下:

变式1:已知集合A={x|-1

变式2:已知集合A={x|-1

变式3:已知集合A={x|x≥6或x≤-1}, B={x|2m-1

变式4:已知集合A={x|-1

变式5:已知集合A={x|-1

变式6:已知集合, B={x|2m-1

变式7:已知集合, B={x|2m-1

变式8:已知集合A={x|-1

变式9:已知集合A={x|-1

变式10:已知集合A={x|-1

变式11:已知集合A={x|-1

变式12:已知集合A={x|-1

篇4：集合的运算性质及应用

1 性质的给出及证明

证明 集合B除了必含有am+1，am+2，…，an这n-m个元素外，还可以含有a1，a2，…，am这

m个元素中t个（t=0，1，2，…，m），所以集合B相当于在集合{a1，a2，…，am}的每个子集中添加am+1，am+2，…，an这n-m个元素而得到的，因此集合B的个数相当于求{a1，a2，…，am}的子集数，故集合B有2m个.

性质6 M{a1，a2，…，an}，且M∩{a1，a2，…，am}≠（m≤n），则这样的集合M有2n-m个.

证明 因为M∩{a1，a2，…，am}≠，不妨设M∩{a1，a2，…，am}={a1，a2，…，ak}，其中

k≤m，可知集合M中必含有元素a1，a2，…，ak且不含有元素ak+1，ak+2，…，am，另外M中还可以含有am+1，am+2，…，an这n-m个元素中t个（t=0，1，2，…，n-m.），所以集合M相当于在

{am+1，am+2，…，an}的每个子集中添加a1，a2，…，ak这k个元素而得到的，因此集合M的个数相当于求{am+1，am+2，…，an}的子集数，故集合M有2n-m个.

性质7 满足A∪B={a1，a2，…，an}的有序集合对（A，B）有3n组.

证明 记M={a1，a2，…，an}.

（1）当A=时，由A∪B=M，知B=M，这样的（A，B）只有1组.

（3）同理当A只含有M中2个元素时，（A，B）有22C2n组.

……

当A=M时，（A，B）有2nCnn组，由分类计数原理知，（A，B）共有

1+21C1n+22C2n+…+2nCnn=（1+2）n=3n组.

性质8 若A，B{a1，a2，…，an}=U，且满足A∩B={a1，a2，…，ak}（k≤n），则有序集合对（A，B）有3n-k组.

证明 由条件知A，B中都必须含有a1，a2，…，ak这k个元素，记M={ak+1，ak+2，…，an}，M中有t=n-k个元素，下面就A中其它元素（但必在M中）的个数进行讨论.

（1）当A含M中零个元素时，A={a1，a2，…，ak}，A只有1个，即C0t个，

由A∩B={a1，a2....ak}，知B中除了a1，a2，…，ak这k个元素之外，B还可以含M中

若干个元素，B的个数相当于M的子集数，因此B有2t个，由分步计数原理知这样的有序集合对（A，B）有C0t2t组.

（2）当A含有M中1个元素时，A有C1t个，因A∩B={a1，a2，…，ak}，这时B中可含有

M中其它任何元素（除A所含的）若干个，所以B有2t-1个子集，由分步计数原理知有序集合对（A，B）有C1t2t-1组.

（3）同理当A只含有M中2个元素时，有序集合对（A，B）有C2t2t-2组.

当A含有M全部元素时，（A，B）有20Ctt组，

……

由分类计数原理知，有序集合对（A，B）共有

C0t2t+C1t2t-1+C2t2t-2+…+Ctt20=Ctt2t+Ct-1t2t-1+Ct-2t2t-2+…+C0t20=（1+2）t=3t组，即有序集合对（A，B）共有3n-k组.

2 性质的应用

例1 已知B={xx2-x=0}，则满足A∩B=A的集合A有个.

解 因为B={xx2-x=0}={0，1}，由性质1知：A∩B=AAB={0，1}，而B有4个子集，即A有4个.

点评 当题设中有A∩B=A，A∪B=B时，要注意用上述性质1，2把条件等价转化.

例2 已知M={yy=x2+1，x∈R}，N={yy=x+1，x∈R}，那么M∩N=，M∪N=.

解 因为y=x2+1y≥1，所以M={yy≥1}，又因为y=x+1y∈R，所以N=R，MN，由性质1，2知M∩N=M;M∪N=N.

点评 熟练地运用性质1，2可以化简集合的运算，提高解题的速度及准确性.

点评 已知集合A∩B，确定集合对（A，B）时，注意用性质8.

篇5：第三课时集合的运算

知识与技能1．理解并集的概念及其并集的性质；2．会求已知两个集合的并集；

3．初步会求集合的运算的综合问题；.过程与方法：体会并集中的元素与原来的集合之间的关系

情感态度与价值观：提高学生的分析解决问题的能力

教学重点：求集合的并集

教学难点：集合的综合应用

教学过程：

一、激趣导学：

二、质疑讨论：

1．并集的定义：

一般地，_________________________________________________，称为集合A与集合B的并集(unionset)记作__________读作“___________”.交集的定义用符号语

言表示为：__________________________________交集的定义用图形语言表示

为：_________________________________

注意： 并集（A∪B）实质上是A与B的所有元素所组成的集合，但是公共元素在同一个集

合中要注意元素的互异性.2．并集的常用性质：

（1）A∪A = A；（2）A∪= A；（3）A∪B = B∪A；

（4）(A∪B)∪C =A∪(B∪C)；（5）AA∪B，BA∪B 3．集合的并集与子集：

思考:A∪B=A，可能成立吗？A∪CUA是什么集合？

结论： A∪B = B  AB

三、反馈矫正：

例1． 根据下面给出的A、B，求A∪B

①A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}；②A={y|y=x2-2x}，B={x||x|≤3}；

③A={梯形}，B={平行四边形}．

例2． 已知全集U=R，A={x|-4≤x<2}，B=(-1，3)，P={x|x≤0，或x≥

求： ①(A∪B)∩P②(CUB)∪P③(A∩B)∪(CUP)．

例3：已知集合A={y|y=x-1，x∈R}，B={y|y=x2-1，x∈R}，C={x|y=x+1，y≥3}，求(AC)B.例4：已知集合A={x|x2-1=0 }，B={x|x2-2ax+b=0}，A∪B=A，求a，b的值或a,b所满足的条件

分析：由于A∪B=A，可知：B  A，而A={1，-1}，从而顺利地求出实数a，b满足的值或范围．

例5：若A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，C={x|x2+2x-8=0}， 5}，2

（1）若A∪B=A∩B，求a的值；（2）A∩B，A∩C=，求a的值．

四、巩固迁移

1.设A=(-1，3]，B=[2，4），求A∪B；

2.已知A={y|y=x2-1}，B={y|x2=-y+2} 求A∪B； 3.写出阴影部分所表示的集合：

U

A图1

U

BA

C图

24.集合U={1，2，3，4，5，6}，B={1，4}A={2，3，5}

求：CU(AB)与(CUA)(CUB)．

5.若集合P={1，2，4，m}，Q={2，m}，满足P∪Q={1，2，4，m}，求实数m的值组成的集合．

篇6：对数与对数运算第三课时教案

授课人：

吴艳云

地点：高一（17）

时间：2012/10/17 课题：2.2.1对数与对数运算（3）教学目标

1.知识与技能：推导对数换底公式，培养学生分析、综合解决问题的能力，培养学生数学应用意识和科学分析问题的精神和态度。

2.过程与方法：让学生经历推导对数换底公式的过程，归纳整理本节所学知识。

3.情感态度与价值观：通过对数运算法则，对数换底公式的学习，培养学生探究意识，培养学生严谨的思维品质，感受对数的广泛应用。

重点：对数的运算性质，换底公式，对数恒等式及其应用 难点：正确使用对数的运算性质和换底公式 教学过程

一、情景设置

（1）对数的运算性质公式有哪些？

（2）y13(1001)x（人口增长问题），当y18时，x是多少？

二、换底公式

logab= logcblogcaa(a>0且a1,c>0且c1,b>0)证明：设

logb=，则ab，两边取以c为底的对数可得：

logcalogb，即logalogb

ccc

logcblogclog即logbalogaccba

通常取以10为底，或者取e为底

三、换底公式的应用

1解决情景（2）

2求证下列等式（1）logab=3例题讲解

m1m（2）lognb=logb

aanlogba例1 求下列各式的值

（1）log89log

32（2）

3logablogclogdloga

bcdlg9lg32lg32lg252lg35lg210解：（1）原式= 3lg8lg3lg2lg33lg2lg33

（2）原式=

练习求lgblgclgdlga1 lgalgblgclgdlog225log4log9的值

35实际问题的应用 例2（教材例5）

解：（1）lg20lg0.001lg20lg103lg2034.3

答：这是一次约为4.3级的地震（2）设5级、7.6级地震的最大振幅分别为

、

125lg1lg02.6lg2lg12.6lg2102.6

则7.6lg2lg01



212102.6398

答：7.6级地震的最大振幅约是5级地震最大振幅的398倍。

1例3（教材例6）

解：设生物机体内碳14的含量为1，经过一年后的残留量为x，经t年后残留量为76.7％

57301(1)x 则 2tx0.767(2)由（1）得x1215730代入(2)得

12t57300.767

即

tlog10.767 57302t5730log10.76757302lg0.7672193 1lg2所以王堆古墓是近2200年前的遗址。

四、对数恒等式

（1）xlogax（a>0且a1，xＲ）任何一个实数x都可以表示成对数形式 a（2）axloga（a>0且a1，>0）任何一个正实数都可以表示成指数形式

求下列各式中的x

1（1）（2）logx（3）log1x3

2321log113解：（1）xlog12

333x2

（2）（3）两题由学生预习教材70—72页之后完成

五、小节：1学习换底公式及推导公式和对数恒等式 会用换底公式解决实际问题

六、作业不置：

篇7：第三课时集合的运算

知识目标：

进一步利用分数加、减、乘、除法解决日常生活中的实际问题。

能力目标：发展学生的应用意识。

情感目标：体会数学与生活的联系。

【教学重点】

利用方程解决与分数运算有关的实际问题。通过画线段图解决问题，渗透数形结合的数学思想和方法。

【教学难点】

学生估算意识的培养和解决问题的策略研究。

【教学准备】

教具：课件

学具：学生搜集到生活中的关于“节约”的资料。

【教学过程】

一、情境导入，引旧突新。

情境谈话：同学们，十七大的召开使我们看到了国家的进步发展，同时也看到了国家在又好又快的发展的同时倡导大力建设节约型社会。对于我们小学生能做些什么呢？（引导学生进入熟悉的生活的节约情境中来。）我们共同来看看小刚家是怎么做的。

（电脑出示）小刚家八月份用水14吨，九月份比八月份节约了1/7，九月份用水多少吨？引导学生画图帮助解决（学生在已有的知识经验基础上很容易会解决出这一问题。）

二、创设探索空间，发现解题路径。

1 搭建探索数学问题的平台（独立思考）

出示例题：如果条件和问题交换一下位置，你能知道，八月份用水量吗？

小刚家九月份用水12吨，比八月份节约了1/7，八月份用水多少吨？

（1）引导估算。引导学生估算时提示学生简单地说出估算的依据。

（2）引导学生发现，数量关系没有变，只是未知数发生了变化，学生根据已有的经验即可把未知条件用字母x来表示。

2．鼓励学生探索和交流，让学生充分经历运用数量关系式列方程解应用题的探索过程，培养学生迁移的能力，提高学生自主探索数学规律的能力

组织小组讨论交流，通过交流使学生看到不同的数量关系列出的不同方程。

培养了学生解题多样化的能力，同时也强化了乘法分配律在解答实际问题的作用。

3．全班汇报交流。

教师进行鼓励性评价，并引导学生在数学语言的叙述中，强化数学迁移的理念，提高探索能力。

引导学生评价，学生除了会把未知数带入原方程理解，还要引导学生用前面估算的结果进行检验。强化学生的估算意识。

三、碰撞平台，质疑创新

教师鼓励质疑并引导学生提出不理解的地方或意见观点不同方法。

四、搭建应用平台，增强应用意识，体现数学价值。

继续以课前的情境为载体，分别以：

1、基本练、（1）提高计算能力解决更多的生活问题；完成课后练一练第一题和第四题，任选两题。（2）巩固新知完成练一练第二题为学生树立学习数学的信心

2、综合练。以生活中的节约小窍门为情境设计练习题

（1）“节约用水”从身边的小事做起,峰峰家从自家的马桶水箱做起,在水箱中放入了一块砖头,.原来马桶的水箱每次用水是50立方分米,现在比原来节约了1/3,你知道放入多大的砖头吗?

（2）空调控温节电窍门。

教室空调设置28度用电10千瓦/小时，如果控温正负一度可节电2/5。现在设置26度。可节电多少？

3、发展练。业界人士预测，将成为中国的电子机票年. 国际航空运输协会日前大胆地制定了一个时间表：今年电子机票要占有1/2的市场，争取实现4/5，而底，将完全实现电子机票。电子机票正对传统的纸张机票进行一次深刻的变革.那么电子机票究竟可以节约多少呢?

某航空公司20电子机票的成本为17.52亿元,比纸制机票节约了31/250.

从你的数学信息资料中你还能解决哪些问题。

五、学生小结，升华情感。

谈谈本课的收获。

【板书设计】

分数混合运算（三）

小刚家九月份用水12吨，比八月份节约了1/7，八月份用水多少吨？

学生画线段图

板书解题过程

【教学反思】

首先我对教材进行反思，这一节课的内容，包括三方面：一、用方程解决分数运算的实际问题；二、分数混合运算式题；三、解方程。本节课讲第一节课时用方程解决分数运算的实际问题。要突破的难点就是从有分数的句子入手，利用线段图找到基本的等量关系，一定要理解“比八月份节约了1／7”是和谁比？是谁的1／7呢？利用线段图来理解。教材前后呼应，先估算，最后进行检验。

篇8：分类解析集合运算中的易错题

一、忽视集合中代表元素的属性

集合一般采用{x|x满足条件P}这种形式来描述, 其中x表示集合中的代表元素, P表示集合中元素所满足的公共属性, 其中的x有一定的意义, 在解决集合相关问题时, 第一步应该优先考虑集合代表元素是指什么?而不少部分学生解题时容易忽略这一点, 以致造成错解。

例1.设A={y|y=x2+1, x∈R}, B={y|y=x, x∈R}, 则A与B的关系是 ()

错解:联立y=x2+1与y=x, 得x2-x+1=0, 因方程无解, 故选C。

错因剖析:错解没有注意集合的代表元素是什么, 误认为集合A与B的代表元素指“点”。认真分析集合A与B, 易知集合A中的y是指函数y=x2+1的函数值, 集合B中的y是指函数y=x的函数值。

正解:由题化简得, A={y|y≥1}, B=R, 故有A哿B。因此, 答案选A。

点评:对于集合中代表元素的属性, 学生比较容易混淆。如, N={y|y=x2+1, x∈R}是指函数y=x2+1的函数值的取值范围, M={x|y=x2+1, x∈R}}是指函数y=x2+1的自变量的取值范围, P={ (x, y) |y=x2+1, x∈R}是指函数y=x2+1图象上的点或方程y=x2+1的解构成的集合, 这三者要加以对比区别。

二、忽视集合中元素特征

对于一个给定的集合, 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性, 统称集合中元素特征的三要素。学生学习时对集合元素的特征理解不深, 所以解题时常常出现错误, 特别是对互异性和无序性理解不深刻, 导致失误。

例2.已知A={1, 2, 3, a}, B={3, a2}, A∪B=A, 求实数a的值。

错因剖析:解法错在没有理解集合元素的互异性, 不注意检验, 没将不合题意的结果舍去。

三、忽视空集的讨论

空集是一个特殊的集合, 它不含任何元素, 是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集, 在解决有关A∩B=Φ, A∪B=Φ, A哿B等集合问题时, 易忽视空集的情况而漏解。

例3.已知集合A={x|x2-3x-10≤0}, 集合B={x|p+1≤x≤2p-1}, 若B哿A, 求实数p的取值范围。

剖因剖析:上述解答忽视了“空集是任何集合的子集”这一结论, 即B=Φ时, 符合题设。

四、忽视隐含条件

篇9：第三课时集合的运算

解不等式是一项基础能力，广泛应用在集合运算、函数、线性规划等有关问题中.

★一元二次不等式ax2+bx+c>0（或ax2+bx+c<0）（a≠0）的解法

先求根，然后结合函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象得到结论. 求根过程中优先考虑因式分解，如有困难再求判别式.口诀：“同号两根之外，异号两根之间.”

★绝对值不等式xa）（a>0）的解法

① x

② x>ax2>a2x>a或x<-a；

③ f（x）

含有多个绝对值符号的不等式，可用“按零点分区间讨论去绝对值”的方法来解.

★一元高次不等式的解法——标根法

① 因式分解：将一元高次不等式化为：（x-x1）（x-x2）·…·（x-xn）>0（或<0）的形式，并使每一个因式中x的系数为正.

② 画出曲线：先将每一个因式的根标在数轴上，再从最大根的右上方依次通过数轴上代表各根的点画曲线.如果数值相同的根出现偶数次，则曲线到达该点后弹回，不穿过数轴；如果数值相同的根出现奇数次，则曲线可以通过该点.口诀：“奇穿过偶弹回.”

③ 写出解集：根据所绘制曲线呈现的f（x）的符号变化情况，写出不等式的解集.

★分式不等式的解法

① 移项：使不等式右边为0（标准化）；

② 通分：使每一个因式中最高次项的系数为正（因式化）；

③ 求解：用标根法，求解时注意分母不能为零.（注：必修不作要求）

★其他函数不等式的解法

通法：以函数定义域为前提，统一函数名，利用函数单调性求解.

【提醒】

① 解分式不等式时，不能简单地在不等式两边同时乘以分母来化简，要注意讨论分母的正负情况，如果分母为负，乘以分母时不等式符号需要改变.

② 在解函数型不等式时，首先要使得所求解函数有意义，然后利用好函数图象及其单调性求解.

③ 含有参数的一元二次不等式问题是一类非常重要的常考题型，解答时要先依据常规思路求出两根，再结合二次函数图象确定开口方向求解. 莫忘二次项系数为0时是一次函数的情况，解答结果要写成区间或集合的形式.

【自查题组】

（1） 不等式ax2-ax-1<0 的解集为R ，则实数a的取值范围为 .

（2） 不等式>1的解集为 .

（A） {xx>4}

（B） {xx>或x<-3}

（C） {xx<-3或x>4}

（D） {xx>-2或x<-3}

（3） 不等式2x-1-x<1的解集是 .

（4） 不等式log （2x-3）（x2-3）>0的解集是 .

（5） 若不存在整数x满足不等式（kx-k2-4）（x-4）<0，则实数k的取值范围是 .

知识要点： 集合的表示与运算

★集合的概念：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性的特征

解题中要注意互异性包含的暗示，如集合{a，2}隐含条件a≠2.

★集合的表示方法：列举法、描述法

要注意描述法中代表元素的形式和意义，如{xy=}，{yy=}，{（x，y）y=}分别表示函数y=定义域、值域和点集的集合.

★分清两类关系

① 元素与集合的关系，用∈或表示；

② 集合与集合的关系，用（子集），？芴或？奂（真子集），=（相等）表示.

★最特殊的集合——空集“”

① 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

② 进行集合的交、并、补运算时，不要忘了集合本身和空集的特殊情况. 如A∩B=，要注意A=或B=这两种极端情况.

【提醒】

集合语言是高中数学的基础，近年以集合语言为基础的抽象表示、符号表示在高考考题中的分量逐年增多，应加强对这类数学语言的理解和掌握.

① 碰到用描述法表示的集合时，首先要看清集合中代表元素的形式，其次看它满足的性质，明白其表示的意义. 注意元素与集合是一种相对关系.

② 解决集合运算问题时，要善于借助数轴或韦恩图这些图示工具对集合进行分析和求解，同时不要遗漏边界值、空集等易被忽略的情况.

【自查题组】

（6） 若集合A={x+y=cc∈R}，B={x2+y2=r2r>0}，则集合A∩B的子集的个数是 .

（A） 1 （B） 2 （C） 4 （D） 1或2或4

（7） 设A={1，2，3}，B={xxA}，则下列关系表述正确的是 .

（A） A∈B （B） AB （C） A？勐B （D） AB

（8） 已知集合A={-1，1}，B={xmx=1}，且A∪B=A，则m的值为 .

（A） 1 （B） -1 （C） 1或-1 （D） 1或-1或0

（9） 已知集合A={xx=2n-1，n∈Z}，B={xx2-4x≤0}，则A∩B= .

（A） {1} （B） {x1

（10） 对于集合M，N，定义M-N={xx∈M且xN}，M？茌N=（M-N）∪（N-M），设A={yy=3x，x∈R}，B={yy=-（x-1）2+2，x∈R}，则A？茌B=

.

（A） [0，2） （B） （0，2]

（C） （-∞，0]∪（2，+∞） （D） （-∞，0）∪[2，+∞）

知识要点：简易逻辑

★命题的否定与否命题

对“pq”型命题来说，“pq”的否定是pq，否命题是pq.

非“pq”型命题无否命题概念，对于命题的否定p掌握以下常考模式即可：

① 全称命题p：？坌x∈M，p（x），p的否定p：？埚x∈M，p（x）；

② 特称命题p：？埚x∈M，p（x），p的否定p：？坌x∈M，p（x）；

③ 命题“p或q”的否定是“p且q”，命题“p且q”的否定是“p或q” .

★判断命题充分性与必要性的三个要点

① 首先要明确哪个作为条件、哪个作为结论，然后根据定义判断：由条件可推出结论时，则条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件时，则条件是结论成立的必要条件.

解题时先根据题目中的问题判断哪个是条件、哪个是结论，然后把条件放前面、结论放后面：条件结论，判断为充分条件；若条件？坩结论，则判断为必要条件.

② 很多与字母有关的判断问题，可以从找寻条件和结论的联系入手，然后结合集合间的包含关系来理解和判断.

若AB，则x∈A是x∈B的充分条件，x∈B是x∈A的必要条件；

【参考答案】

（1） {a-4

（2） C

（3） {x0

（4） {xx∈（，2）∪（2，+∞）}

（5） {k1≤k≤4} 【当k>0时，可得x-（x-4）<0，由于=k+≥4，则4

当k=0时，显然存在整数x满足题意.

当k<0时，x-（x-4）>0，由于=k+≤-4，显然也存在整数x满足题意.

综上所述，解得{k1≤k≤4}】

（6） A 【一定要清楚集合A与集合B中元素的形式和意义不同，所以交集为空集，而空集的子集仍然为空集，所以答案为A】

（7） A 【要分清集合和元素的相对性. B集合应这样理解：它的元素是A集合的子集，如{1}，{2}，{3}，{1，2}，{2，3}，{1，3}，{1，2，3}和空集，所以应选A】

（8） D 【不要漏掉B为空集的情况】

（9） C

（10） C

（11） C

（12） A

（13） C 【利用集合间的包含关系，找出必要条件的选项，符合条件的只有C】

（14） C 【由题意得： f=f-φ=kπ， “f（x）是偶函数”φ=kπ，所以f=f- f（x）是偶函数，答案选C】

（15） B 【“便宜没好货”即“便宜”“没好货”，它的逆否命题为：“好货”“不便宜”，据此判断，答案为B】

若BA，则x∈A是x∈B的必要条件，x∈B是x∈A的充分条件；

若A=B，则x∈A是x∈B（或x∈B是x∈A）的充要条件.

可以记为“大是小必要，小是大充分”.

③ 对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，可利用原命题与逆否命题等价的性质，即ABBA来判断.

【提醒】

简易逻辑作为高中逻辑判断的理论基础，有助于我们加强对概念、定理和性质等命题的理解和认识.学习时应注意形式化的语言的书写，如写原命题、否命题、逆命题、逆否命题四种命题形式或含有全称量词、特称量词的命题的否定形式等. 命题的充分性和必要性的判断是一个重要的考点，应注意审题，找出联系，分清条件和结论，善于运用集合工具.

【自查题组】

（11） 命题“若xA则y∈B”的否命题是 .

（A） 若xA，则yB （B） 若y∈B，则xA

（C） 若x∈A，则yB （D） 若yB，则xA

（12） 已知命题p：？埚n∈N ，2n>1000，则p为 .

（A） ？坌n∈N ，2n≤1000 （B） ？坌n∈N ，2n>1000

（C） ？埚n∈N ，2n≤1000 （D） ？埚n∈N ，2n<1000

（13） “不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是

.

（A） m> （B） 0

（C） m>0 （D） m>1

（14） 已知函数f（x）=cos（x+φ），则“f=f-”是“f（x）是偶函数”的 .

（A） 充分不必要条件 （B） 必要不充分条件

（C） 充要条件 （D） 既不充分也不必要条件

（15） 人们常说“便宜没好货”，这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的 .

（A） 充分条件 （B） 必要条件

（C） 充分必要条件 （D） 既非充分也非必要条件

（C） （-∞，0]∪（2，+∞） （D） （-∞，0）∪[2，+∞）

知识要点：简易逻辑

★命题的否定与否命题

对“pq”型命题来说，“pq”的否定是pq，否命题是pq.

非“pq”型命题无否命题概念，对于命题的否定p掌握以下常考模式即可：

① 全称命题p：？坌x∈M，p（x），p的否定p：？埚x∈M，p（x）；

② 特称命题p：？埚x∈M，p（x），p的否定p：？坌x∈M，p（x）；

③ 命题“p或q”的否定是“p且q”，命题“p且q”的否定是“p或q” .

★判断命题充分性与必要性的三个要点

① 首先要明确哪个作为条件、哪个作为结论，然后根据定义判断：由条件可推出结论时，则条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件时，则条件是结论成立的必要条件.

解题时先根据题目中的问题判断哪个是条件、哪个是结论，然后把条件放前面、结论放后面：条件结论，判断为充分条件；若条件？坩结论，则判断为必要条件.

② 很多与字母有关的判断问题，可以从找寻条件和结论的联系入手，然后结合集合间的包含关系来理解和判断.

若AB，则x∈A是x∈B的充分条件，x∈B是x∈A的必要条件；

【参考答案】

（1） {a-4

（2） C

（3） {x0

（4） {xx∈（，2）∪（2，+∞）}

（5） {k1≤k≤4} 【当k>0时，可得x-（x-4）<0，由于=k+≥4，则4

当k=0时，显然存在整数x满足题意.

当k<0时，x-（x-4）>0，由于=k+≤-4，显然也存在整数x满足题意.

综上所述，解得{k1≤k≤4}】

（6） A 【一定要清楚集合A与集合B中元素的形式和意义不同，所以交集为空集，而空集的子集仍然为空集，所以答案为A】

（7） A 【要分清集合和元素的相对性. B集合应这样理解：它的元素是A集合的子集，如{1}，{2}，{3}，{1，2}，{2，3}，{1，3}，{1，2，3}和空集，所以应选A】

（8） D 【不要漏掉B为空集的情况】

（9） C

（10） C

（11） C

（12） A

（13） C 【利用集合间的包含关系，找出必要条件的选项，符合条件的只有C】

（14） C 【由题意得： f=f-φ=kπ， “f（x）是偶函数”φ=kπ，所以f=f- f（x）是偶函数，答案选C】

（15） B 【“便宜没好货”即“便宜”“没好货”，它的逆否命题为：“好货”“不便宜”，据此判断，答案为B】

若BA，则x∈A是x∈B的必要条件，x∈B是x∈A的充分条件；

若A=B，则x∈A是x∈B（或x∈B是x∈A）的充要条件.

可以记为“大是小必要，小是大充分”.

③ 对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，可利用原命题与逆否命题等价的性质，即ABBA来判断.

【提醒】

简易逻辑作为高中逻辑判断的理论基础，有助于我们加强对概念、定理和性质等命题的理解和认识.学习时应注意形式化的语言的书写，如写原命题、否命题、逆命题、逆否命题四种命题形式或含有全称量词、特称量词的命题的否定形式等. 命题的充分性和必要性的判断是一个重要的考点，应注意审题，找出联系，分清条件和结论，善于运用集合工具.

【自查题组】

（11） 命题“若xA则y∈B”的否命题是 .

（A） 若xA，则yB （B） 若y∈B，则xA

（C） 若x∈A，则yB （D） 若yB，则xA

（12） 已知命题p：？埚n∈N ，2n>1000，则p为 .

（A） ？坌n∈N ，2n≤1000 （B） ？坌n∈N ，2n>1000

（C） ？埚n∈N ，2n≤1000 （D） ？埚n∈N ，2n<1000

（13） “不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是

.

（A） m> （B） 0

（C） m>0 （D） m>1

（14） 已知函数f（x）=cos（x+φ），则“f=f-”是“f（x）是偶函数”的 .

（A） 充分不必要条件 （B） 必要不充分条件

（C） 充要条件 （D） 既不充分也不必要条件

（15） 人们常说“便宜没好货”，这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的 .

（A） 充分条件 （B） 必要条件

（C） 充分必要条件 （D） 既非充分也非必要条件

（C） （-∞，0]∪（2，+∞） （D） （-∞，0）∪[2，+∞）

知识要点：简易逻辑

★命题的否定与否命题

对“pq”型命题来说，“pq”的否定是pq，否命题是pq.

非“pq”型命题无否命题概念，对于命题的否定p掌握以下常考模式即可：

① 全称命题p：？坌x∈M，p（x），p的否定p：？埚x∈M，p（x）；

② 特称命题p：？埚x∈M，p（x），p的否定p：？坌x∈M，p（x）；

③ 命题“p或q”的否定是“p且q”，命题“p且q”的否定是“p或q” .

★判断命题充分性与必要性的三个要点

① 首先要明确哪个作为条件、哪个作为结论，然后根据定义判断：由条件可推出结论时，则条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件时，则条件是结论成立的必要条件.

解题时先根据题目中的问题判断哪个是条件、哪个是结论，然后把条件放前面、结论放后面：条件结论，判断为充分条件；若条件？坩结论，则判断为必要条件.

② 很多与字母有关的判断问题，可以从找寻条件和结论的联系入手，然后结合集合间的包含关系来理解和判断.

若AB，则x∈A是x∈B的充分条件，x∈B是x∈A的必要条件；

【参考答案】

（1） {a-4

（2） C

（3） {x0

（4） {xx∈（，2）∪（2，+∞）}

（5） {k1≤k≤4} 【当k>0时，可得x-（x-4）<0，由于=k+≥4，则4

当k=0时，显然存在整数x满足题意.

当k<0时，x-（x-4）>0，由于=k+≤-4，显然也存在整数x满足题意.

综上所述，解得{k1≤k≤4}】

（6） A 【一定要清楚集合A与集合B中元素的形式和意义不同，所以交集为空集，而空集的子集仍然为空集，所以答案为A】

（7） A 【要分清集合和元素的相对性. B集合应这样理解：它的元素是A集合的子集，如{1}，{2}，{3}，{1，2}，{2，3}，{1，3}，{1，2，3}和空集，所以应选A】

（8） D 【不要漏掉B为空集的情况】

（9） C

（10） C

（11） C

（12） A

（13） C 【利用集合间的包含关系，找出必要条件的选项，符合条件的只有C】

（14） C 【由题意得： f=f-φ=kπ， “f（x）是偶函数”φ=kπ，所以f=f- f（x）是偶函数，答案选C】

（15） B 【“便宜没好货”即“便宜”“没好货”，它的逆否命题为：“好货”“不便宜”，据此判断，答案为B】

若BA，则x∈A是x∈B的必要条件，x∈B是x∈A的充分条件；

若A=B，则x∈A是x∈B（或x∈B是x∈A）的充要条件.

可以记为“大是小必要，小是大充分”.

③ 对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，可利用原命题与逆否命题等价的性质，即ABBA来判断.

【提醒】

简易逻辑作为高中逻辑判断的理论基础，有助于我们加强对概念、定理和性质等命题的理解和认识.学习时应注意形式化的语言的书写，如写原命题、否命题、逆命题、逆否命题四种命题形式或含有全称量词、特称量词的命题的否定形式等. 命题的充分性和必要性的判断是一个重要的考点，应注意审题，找出联系，分清条件和结论，善于运用集合工具.

【自查题组】

（11） 命题“若xA则y∈B”的否命题是 .

（A） 若xA，则yB （B） 若y∈B，则xA

（C） 若x∈A，则yB （D） 若yB，则xA

（12） 已知命题p：？埚n∈N ，2n>1000，则p为 .

（A） ？坌n∈N ，2n≤1000 （B） ？坌n∈N ，2n>1000

（C） ？埚n∈N ，2n≤1000 （D） ？埚n∈N ，2n<1000

（13） “不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是

.

（A） m> （B） 0

（C） m>0 （D） m>1

（14） 已知函数f（x）=cos（x+φ），则“f=f-”是“f（x）是偶函数”的 .

（A） 充分不必要条件 （B） 必要不充分条件

（C） 充要条件 （D） 既不充分也不必要条件

（15） 人们常说“便宜没好货”，这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的 .

（A） 充分条件 （B） 必要条件

（C） 充分必要条件 （D） 既非充分也非必要条件