定比分点

定比分点（精选三篇）

定比分点 篇1

双连不等式是不等式组的一种表达形式, 在解双连不等式时一般是利用解不等式组的方法来求解.若能灵活运用定比分点公式求解则十分简洁, 事半功倍.

设, 则

, 其中P内分时, λ>0;P外分时, λ<0;P与P1重合时, λ=0;P与P2重合时, λ不存在.

例1解不等式.

解:设, 3对应于数轴上的三点, P1, P, P2且P内分所成比为λ,

或, 所以原不等式的解集为:

例2二次函数的图象过点, (-1, 0) 且有对一切x都成立, 求f (x) .

解:设对应数轴上的三点, P1, P, P2, P内分所成比为λ, 因为时, 其图象都不过点 (-1, 0) , 所以, 过点.所以λ=1, 即.

例3 x∈R, 求证:.

证明: (1) 当cosx=1时, sinx=0, 原不等式成立.

(2) 当sinx=-1时, cosx=0, 原不等式成立.

(3) 当sinx≠-1且cosx≠0时, 设, 3对应数轴上的三点P1, P, P2且P内分所成比为λ, 因, 所以点P在P1, P2之间, 故成立.

例4已知, 求证:不等式解集为φ.

证明:设对应于数轴上的三点P1, P, P2且P内分所成比为λ.

例5设, 求证:.

证明:当时, 原不等式成立;

当, 1对应于数轴上的三点P1, P2, P3, P, 分所成比为λ

下学期 5.5 线段的定比分点 篇2

一.教学目标

1.理解点P分有向线段所成的比λ的含义，能确定λ的正负号;

2.掌握有向线段的定比分点和中点的坐标公式，并能熟练运用这两个公式解决实际问题;

3.向学生渗透数形结合的思想，培养学生的思维能力，发现事物间的变化规律.

二.教学重点线段的定比分点和终点的坐标公式的应用.

教学难点用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ>0还时λ<0.

三.教学具准备

投影仪，直尺.

四.教学过程

1.设置情境

已知线段 的两个端点 、， 为线段 所在直线上任一点，由共线向量知识，必有 .我们能否解决这样的问题，(1)已知 及 、，求P点坐标 ;(2)已知 、及 ，求 值.

本节课就来讨论上述两个问题，(板书课题――线段的定比分点)

2.探索研究

(1)师：请同学们回忆叙述向量的加、减、实数与向量的积的坐标运算法则.

生：两个向量的和(差)的坐标，等于这两个向量的相应的坐标的和(差);实数与向量的积的坐标，等于这个实数与这个向量的相应坐标的积.

师：已知直线l上两点 、，在直线l上取不同于 、的任一点P，则P点的位置有哪几种情形?

生：有三种情形，P在 之间;P在 的延长线上，P在 的延长线上.

师：请得很好，下面我们就P在直线 上的三种情况给出定义：

设 、是直线l上的两点，点P是l上不同于 、的任意一点，若存在一个实数 使 ，则 叫做点P分有向线段 所成的比.

你能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量方向确定 的取值范围吗?(启发学生从向量的方向上考虑)

生：当P在 之间时， 与 方向相同，所以 ;当点P在 的延长线上时， ;若点P在 的延长线上时，同理可得 .

下面我们利用平面向量的坐标运算推导定比分点坐标公式

师：设 ， ，P分 所成的比为 ，如何求P点的坐标呢?

(按以下思路引导学生进行思考)

师：设 ，你能用坐标表示等式 吗?

生：

师：由两个向量相等的条件，可以得出什么结论呢?

生：

师：对!这就是线段 的定比分点P的坐标公式，特别地，当 时，得中点P的坐标公式：

(2)例题分析

【例1】 已知两点 ， ，求点 分 所成的比 及y的值.

解：由线段的定比分点坐标公式得

【例2】 如图所示， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ，D是边AB的中点，G是CD上的`一点，且 ，求点G的坐标.

解：∵D是AB的中点

∴点D的坐标为

∵

∴

由定比分点坐标公式可得G点坐标为：

即点G的坐标为 ，也就是 的重心的坐标公式.

3.演练反馈(投影)

(1)如图所示，点B分有向线段 的比为 ，点C分有向线段 的比为 ，点A分有向线段 的比为 .

(2)连结A(4，1)和B(-2，4)两点的直线，和x轴交点的坐标是 ，和y轴交点的坐标是 .

(3)如图所示， 中，AB的中点是D(-2，1)，AC的中点是E(2，3)，重心是G(0，1)，求A、B、C的坐标.

参考答案：(1) ;(2)(6，0)、(0，3);(3)用三角形基法作图得：A(0，5)，B(-4，-3)，C(4，1)

4.总结提炼

(1)定比分点的几种表达方式：

……向量式

……坐标式

……公式形式

(2)中点公式，重心公式要熟记.

(3)定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法.

五.板书设计

1.定比分点的定义

(1)内分点 3.例1

(2)外分点

a.

b.

2.分点坐标公式 4.演练反馈

a. 5.总结提炼

定比分点公式的几个推论及应用 篇3

定比分点公式在教材中主要用于求点的坐标.在此笔者不再多述,下面谈谈该公式的几个推论及其在不等式的证明、解不等式和求函数的值域三方面的应用.

一、推论

1.显然,当λ>0时,因为点P为线段P1P2的内分点,所以设x1

结论1:设有两个实数x1、x2且x10时,有的值在x1与x2之间.

换言之得,结论1':当λ>0时,有.

2.由结论1'可推得

结论2:形如g(x)的不等式与不等式f(x)0.

事实上,在上述不等式的定义域内任意取一值m,令f(m)=a,g(m)=b,λ(m)=λ,显然λ>0,则由结论1'可知:,又由m的任意性易得结论2成立.

3.由结论1'亦可推得

结论3:形如(λ(x)>0,a∈R,b∈R)的函数,值域为{y|A

事实上,A0,所以(由结论1')总有A<,即A

二、应用

(一)、应用于不等式的证明

例1设b、d为正数,的值在与之间.

证明:因为b≠0,

所以

令,由结论1知:的值在与之间.

例2已知a、b、m都是正数,并且a

证明:因为b≠0,所以

(二)、应用于解不等式

例3解下列不等式:(1)

解(1)不等式化为

当x=3时,无解;

当x≠3时,令,由结论2可知,原不等式与不等式1-1,所以原不等式的解为-13.

(2)不等式化为

当x=0时,无解;

当x≠0时,令λ(x)=x4>0,由结论2可知,原不等式与不等式同解x2+x+1>x+1,解得或,

所以原不等式的解为或.

(3)不等式化为

显然x=1是原不等式的解;

当x≠1时,令λ(x)=(x-1)2>0,由结论2可知,原不等式与不等式5≤x同解,所以原不等式的解为x=1或x≥5.

(三)、应用于求函数的值域

当x=-1时,y=1;

当x>-1时,令,由结论3可知:1≤y<3,

所以函数的值域为{y|1≤y<3}.

摘要：高中数学中学到了定比分点公式，该公式在教材中主要用于求点的坐标，文中阐述了该公式的几个推论，并进行了简单地论证；重点论述了几个推论在不等式的证明、解不等式和求函数的值域三方面的应用。