不定方程的解法

不定方程的解法（精选十篇）

不定方程的解法 篇1

一、变量分离方程的积分因子

二、齐次方程的积分因子

三、一阶线性方程的积分因子

四、伯努利方程的积分因子

参考文献

[1]伍卓群, 李勇.常微分方程[M].北京:高等教育出版社, 2004.

[2]高雄, 周之铭, 朱思铭, 等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社, 1993.

一元二次方程的解法 篇2

课题名称

§13、3公式法

课型

新授课

课时安排

1/1

教学目标

1、经历探索一元二次方程的求根公式的过程，掌握公式特点并根据公式会解一元二次方程。

重点、难点

根据公式会解一元二次方程

策略和方法

讲练结合

课前准备

课前预习

配方法

教学媒体

投影仪

教学程序

教学内容

教师活动

学生活动

备注

一、

我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的。因此，如果能用配方法解一般的`一元二次方程aχ+bχ+c=0(a≠0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简洁得多。

你能用配方法解方程aχ+bχ+c=0(a≠0)吗?

小亮是这样做的：

aχ+bχ+c=0(a≠0)

两边都除以a

χ+b/aχ+c/a=0

配方

如果b-4ac≥0

一般的，对于一元二次方程aχ+bχ+c=0(a≠0)，当b-4ac≥0时，它的根是：

上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

公式法实际上是配方法的一般化和程式化，利用他可以更为便捷的解一元二次方程。

公式法的意义在于，对于任意的一元二次方程，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解。他的依据就是配方法。

学生可自主探索求根公式。

牢记公式

二、

例 解方程：χ-7χ-18=0

解：这里a=1，b=-7，c=-18

∵b-4ac=(-7)-4×1×(-18)=121>0

∴

即

随堂练习：

1、用公式法解下列方程：

(1)2χ-9χ+8=0

(2)9χ+6χ+1=0

(3)16χ+8χ=3

2、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长。

作业：习题2.6 1、2

要求学生先找出a，b，c，对b-4ac进行验证，然后代入公式，熟练后可简化步骤

解方程

课后记

根据公式会解一元二次方程

课题名称

§13、3公式法

课型

新授课

课时安排

1/1

教学目标

1、经历探索一元二次方程的求根公式的过程，掌握公式特点并根据公式会解一元二次方程。

重点、难点

根据公式会解一元二次方程

策略和方法

讲练结合

课前准备

课前预习

配方法

教学媒体

投影仪

教学程序

教学内容

教师活动

学生活动

备注

一、

我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的。因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程aχ+bχ+c=0(a≠0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简洁得多。

你能用配方法解方程aχ+bχ+c=0(a≠0)吗?

小亮是这样做的：

aχ+bχ+c=0(a≠0)

两边都除以a

χ+b/aχ+c/a=0

配方

如果b-4ac≥0

直线方程的几种解法 篇3

直线方程是解析几何中最常用的方程,题型和解法也是多样的，这里介绍几种常见的求直线方程的方法.

1 定义法

例1 已知△ABC的顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2）．试求这个三角形三边所在直线方程．

总结：直线方程有四种特殊形式，之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同表现形式，在解具体问题时，根据问题的条件、结论，灵活恰当地选用公式，这样直接写出直线方程的方法即为直接法.另外注意斜率不存在的情况.

2 设方程法

例2 一条直线经过点A（-2，2） ，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线的方程.

3 直线系法

具有某种共同属性的直线的集合，叫做直线系．它的方程叫做直线系方程，方程特点是除含变量x,y以外，还含有待定参数（也称参变量）.

4 代入法

例4 求直线l′:2x-y+1=0关于直线l:x-y-2=0的对称直线方程.

解 设所求的对称直线上任意一点坐标为（x，y）关于直线l的对称点为(x0,y0)，则x

5 参数法

6 几何法

例6 求两点A(3,-5),B(0,-9)连线段的中垂线方程.

解析 可以按常规思路直接法写直线的点斜式方程，但计算比较繁琐，我们可以利用中垂线的几何特征来解此题.

7 分析结构法

论方程根的数值解法 篇4

1.1 首先确定有根区间

依据零点定理:若在连续, 且, 则方程在区间上至少有一个根。如果在上恒正或恒负, 则此根唯一。而有根区间的确定, 我们选择等步长扫描法。等步长扫描法原理:设h>0是给定的步长, 取x0=a, x1=a+h, 若f (x0) ·f (x1) <0则扫描成功;否则令x0=x1, x1=x0+h, 继续上述方法, 直到成功。如果x1>b则扫描失败。再将h缩小, 继续以上步骤。等步长扫描法算法步骤如下: (求方程f (x) 的有根区间) (1) 输入a, b, h; (2) f0=f (a) ; (3) x=a+h, f1=f (x) , 若x>b输出失败信息, 停机。 (4) 若f1=0。输出x, 已算出方程的一个根, 停机。 (5) 若f0f1<0。输出a, x, 则[a, x]为有根区间, 停机 (6) a=x, 转 (3) 。注:如果对足够小的步长h扫描失败。说明:在[a, b]内无根或在[a, b]内有偶重根。

1.2 确定方程的有根区间后, 我们利用二分法求根的近似值

首先用二分法 (将区间对平分) 求解。令undefined, 若f (a1) f (c1) <0, 则[a1, c1]为有根区间, 否则[c1, b1]为有根区间。记新的有根区间为[a2, b2], 则[a1, b1]⊃[a2, b2]且undefined对[a2, b2]重复上述做法得[a1, b1]⊃[a2, b2]⊃……⊃[an, bn]⫆……且undefined。设所求的根为x*, 则x*∈[an, bn], n=1, 2……即undefined取undefined为方程根的近似解。而对于求方程f (x) =0的根的二分法算法的具体步骤如下:

(1) 输入:有根区间[a, b]的a, b值及精度控制量ε; (2) if f (a) f (b) >0, then返回第一步, 重新输入a, b值else转第三步; (3) while|a-b|>ε时做:1) 令undefined, 计算f (x) ;2) if f (a) , f (x) <0 then [a, b]≜[a, x]; else [a, b]≜[x, b] endwhile; (4) 输出undefined。

例1 判断方程f (x) =x3-x-1, [a, b]=[1,2]根的情况。

解:取h=0.1, 扫描得

undefined

方程的有根区间为[1.3, 1.4] 又 ∵f′ (x) =3x2-1>0, x∈[1.3, 1.4]即f (x) =0在[1.3, 1.4]有唯一根。

2 迭代法

(1) 简单迭代法:

将f (x) 变为另一种等价形式x=φ (x) 选取x*的某一近似值x0∈[a, b], 则按递推关系xk+1=φ (xk) k=0, 1, …产生的迭代序列{xk}。这种方法称为简单迭代法。

(2) 定理1 (压缩映像原理) :

设迭代函数φ (x) 在闭区间[a, b]上满足: (1) x∈[a, b]⇒φ (x) ∈[a, b] (2) φ (x) 满足Lipschitz条件即∀x1, x2∈[a, b], 有|φ (x1) -φ (x2) |≤L|x1-x2|。则 (1) g在[a, b]上存在唯一不动点x*; (2) 任取x0∈[a, b], 由xk+1=φ (xk) 得到的序列{xk} (xk∈[a, b]) 收敛于x*。 (3) k次迭代所得到的近似不动点xk与精确不动点x*有误差。误差估计式:

(3) 简单迭代收敛情况的几何解释。

例2 试用迭代法求方程f (x) =x3-x-1=0在区间 (1, 2) 内的实根.

解:由undefined建立迭代关系undefined, 取初值x0=1.5

计算结果如表1所示:

精确到小数点后五位, 可得undefined但如果由x=x3-1建立迭代公式xk+1=xundefined-1, k=0, 1, 2, …仍取x0=1.5, 则有x1=2.375, x2=12.39, 显然{xk}是发散序列, 其结果越来越大无法求解。

3 Newton迭代法

(1) 牛顿迭代法的定义:设x*是方程f (x) =0的根, 又x0为x*附近的一个值, 将f (x) 在x0附近做泰勒展式undefined其中ξ在x和x0之间。

令x=x*, 则undefined, 略去x*-x0的二次项, 有:f (x0) +x*f′ (x0) -x0f″ (x0) ≈0, 即undefined。

以x1代替x0重复以上的过程, 继续下去得x*的一近似值序列undefined, 这种得到f (x) =0根的近似值的方法称为Newton法, 又叫切线法。

(2) Newton迭代法几何解释。

例3 用Newton法求f (x) =x-cosx=0的近似解。

解:由零点定理, x-cosx=0在undefined内有根。由f′ (x) =1+sinx及Newton迭代公式得

undefined, 取undefined得

undefined

故得x*≈x4=0.739085133

例4 用Newton法计算f (x) =x2-a=0的近似值, 其中undefined。

解:f (x) =x2-a=0其中undefined由f′ (x) =2x及Newton迭代公式得

undefined

取x0=1.5, 则x1=1.41666667, x2=1.414215686, x3=1.414213562, 与undefined的精确值相比, x3是已有十位有效数的近似值。

(3) Newton迭代法收敛性。

定理2 设函数f (x) ∈C2[a, b], 且满足

(1) f (a) f (b) <0;

(2) f′ (x) ≠0, (x∈[a, b]) ;

(3) f′ (x) 在[a, b]上恒正或恒负。

若初值x0∈[a, b], 且满足f (x0) f″ (x0) >0时, 则由Newton法产生的序列收敛到f (x) =0在[a, b]上的唯一根。

推论:在上述定理3条件下, Newton迭代法具有平方收敛速度。

证明:类似上述定理证明, 一般有undefined, 其中ξn介于xn与x*之间, 则undefined, 故结论成立。

4 割线法

(1) 我们要注意的是:Newton迭代法有一个较强的要求, 即f′ (x) =0且存在。在这点, 我们用弦的斜率来近似的替代f′ (x) 。

设f (x) 在[a, b]上有唯一零点x*, 取x0=a, x1=b, 则过P0 (x0, f (x0) ) 及P1 (x1, f (x1) ) 得弦的方程undefined令y=0, 解得弦与x轴的交点是坐标x2, 即undefined解得undefined, 再由x0, x2计算x3, 依次类推, 得x*的一个近似值序列undefined, 称之为定端点弦截法。

(3) 弦截法收敛定理。

定理3 设f (x) ∈C2[a, b], [a, b]≜[x*-δ, x*+δ], δ为足够小的正数, x*是足够小的正数, x*是f (x) =0的根, 如果undefined, 其中undefined, 则

(1) 由undefined确定的序列{xn}线性收敛到x*

例5 用快速弦截法求解方程xex-1=0在x=0.5附近的根 (ε=10-4) 。

解:取x0=0.5, x1=0.6,

由迭代公式求得下表2

故x*≈0.56714, 满足精度要求。

比较一下以上四种方法:

(1) 二分法方法比较简单, 只要求函数连续即可, 但敛速慢, 一般适用于为其他敛速快的方法提供初始值。

(2) 一般迭代法是数值计算中常用而有效的一种方法。选用这种迭代格式主要是判断它的收敛性以及了解敛速。

(3) 比较常用的Newton法, 其特点是在单根邻近敛速快, 具有至少二阶的敛速, 比一般迭代法敛速快得多, 但Newton法仅具有局部收敛性质。

(4) 初始值选取要求比较苛刻时, 一般可用二分法计算获取初值。当f′ (x) 的计算比较复杂时, 可用割线法求根, 相较而言, 这是一种实用的计算方法。

参考文献

[1]曹璎珞, 曹德欣.计算方法[M].徐州:中国矿业大学出版社, 1994.

[2]杨大地, 谈骏渝.实用数值分析[M].重庆:重庆大学出版社, 2000.

谈谈几种分式方程的特殊解法 篇5

一、一般法

去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程。但要注意,可能会产生增根。所以,必须验根。产生增根的原因:当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解。

例1.解方程：.（2006年·临安市中考题）

分析：在解分式方程的时候，要把分式方程变为整式方程。原方程的两边都要乘最简公分母，在找最简公分母的时候要先把分式方程变形。

解：去分母得2x-5=3(2x-1)，即 2x-5=6x-3。

解之得

检验：当时，最简公分母2x-1≠0。

所以是原方程的解。

评注：在解这个分式方程时一定要注意，方程等号右边的常数3也必须乘最简公分母。

二、换元法

换元法就是恰当地利用换元，将复杂的分式简单化。为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程。

分析本方程若去分母，则原方程会变成高次方程，很难求出方程的

解 设x2＋x=y，原方程可变形为

解这个方程，得y1=－2，y2=1。当y=－2时，x2＋x=－2。

∵Δ＜0，∴该方程无实根；当y=1时，x2＋x=1，

∴ ；经检验，是原方程的根，所以原方程的根是。

三、拆项法

拆项法就是根据分式方程的特点，将组成分式方程的各项或部分项拆项，然后将同分母的项合并使原方程简化。特别值得指出的是，用此法解分式方程很少有增根现象。

解将方程两边拆项，得

即x=－3是原方程的根。

四、因式分解法

因式分解法就是将分式方程中的各分式或部分分式的分子、分母分解因式，从而简化解题过程。

例4.

解 将各分式的分子、分母分解因式，得

∵x－1≠0，∴两边同乘以x－1，得

检验知，它们都是原方程的根。所以，原方程的根为x1=－1，x2=0。

五、配方法

配方法就是先把分式方程中的常数项移到方程的左边，再把左边配成一个完全平方式，进而可以用直接开平方法求解。

∴x2±6x＋5=0，

解这个方程，得x=±5，或x=±1。

检验知，它们都是原方程的根。所以，原方程的根是x1=5，x2=－5，x3=1，x4=－1。

六、运用各自通分法

例7.解方程：。

分析：此方程如果直接去分母，得一元三次方程，不易解答。观察此方程可以发现，分子均相同，分母按大小排列依次相差2，所以此方程可采用特殊的方法来解。

解：移项，得：方程两边通分，得：

即

方程的两边同乘(y-2)(y-4)(y-6)(y-8)，得：-2(y-6)(y-8)=-2(y-2)(y-4)

即y2-14y+48=y2-6y=8

解之得y=5

经检验,y=5是原方程的解。

∴原方程的解为y=5。

曲线方程的几种常用解法 篇6

一、直接法

根据动点所满足的几何关系, 利用解析几何中的一些基本定理和公式, 直接列出动点的坐标 (x, y) 所满足的方程。

例1.线段AB与CD互相垂直平分于O, |AB|=2a, |CD|=2b, 动点P满足|PA|·|PB|=|PC|·|PD|, 求动点P的轨迹方程。

解:以AB的中点O为原点, 直线AB为x轴, 建立直角坐标系, 如图, 设点P (x, y) , 则A (-a, 0) , B (a, 0) , C (0, -b) , D (0, b) 。

由题设知点P所满足的条件为|PA|·|PB|=|PC|·|P D|。

由两点间的距离公式, 得

评注:建立适当的坐标系, 甚为重要, 如本例中建立的直角坐标系, 运算量不大, 反之, 如果坐标系建立的不恰当, 运算量会大大增加, 很可能得不到正确结果。

二、代入法

如果动点C与G之间满足某些关系, 先写出C与G之间的坐标关系, 并用G的坐标表示C的坐标, 而后代入C的坐标所满足的关系式, 并化简整理, 即得所求方程。

例2.已知点A (1, 3) 和直线l:2x+3y=6, 点B在直线l上运动, 点P是有向线段AB的分点, 且AP∶PB=1∶2, 求点P的轨迹方程。

解:设P (x, y) , B (a, b) , 则。

由定比分点的坐标公式, 得

又B (a, b) 在直线2x+3y=6上, 代入, 得点P的轨迹方程为6x+9y-28=0。

三、参数法

当动点P中的坐标x, y之间的关系不能直接找出来时, 可通过设某一参数代替, 最后消去参数, 即得所求方程。

例3.过定点A (a, b) 任作互相垂直的两条直线l1与l2, 且l1与x轴交于M点, l2与y轴交于N点, 求线段MN的中点P的轨迹方程。

解: (1) 当l1不平行于y轴时, 设l1的斜率为k1, 依题意, 得k1≠0。

在 (1) 中, 令y=0, 得M点的横坐标为,

在 (2) 中, 令x=0, 得N点的纵坐标为。

设MN的中点P的坐标为 (x, y) , 则

消去k1, 得

(2) 当l1平行于y轴时, MN的中点为) , 其坐标满足方程 (3) 。

浅谈一元二次方程的解法 篇7

(一) 直接开平方法

直接开平方法就是通过直接开平方求解一元二次方程。用直接开平方法解形式如: (x-m) 2=n (n≥0) 的方程, 其解为x=±√n+m。

例1.解方程 (3x+1) 2=7 分析:此方程显然用直接开平方法即可。

解:∵ (3x+1) 2=7

∴3x+1=±√7

∴x= (-1±√7) /3

∴原方程的解为x1= (√7-1) /3或x2= (-√7-1) /3

例2.解方程9x2-24x+16=11 分析:方程左边是完全平方式 (3x-4) 2, 右边=11>0, 所以此方程也可用直接开平方法解。

解:∵9x2-24x+16=11

∴ (3x-4) 2=11

∴3x-4=±√11

∴x= (4±√11) /3

∴原方程的解为x1= (4+√11) /3或x2= (4-√11) /3

(二) 配方法

配方法就是把方程配成一个完全平方式, 再用直接开平法求解, 配方时, 方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方。

用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) , 首先要项, 即常数c移到方程右边得ax2+bx=-c;再化二次项系数为1:x2+b/ax=-c/a;然后方程两边同时加上一次项系数的一半的平方:x2+b/ax+ (b/2a) 2=-c/a+ (b/2a) 2;此时方程左边成为一个完全平方式: (x+b/2a) 2=-c/a+ (b/2a) ²。当b²-4ac≥0时, x+b/2a=±√ (-c/a) + (b/2a) ²∴x=﹛-b±[√ (b²-4ac) ]﹜/2a。

故此, x=﹛-b±[√ (b²-4ac) ]﹜/2a即为配方法求解一元二次方程的求根公式。

例1.用配方法解方程3x2-4x-2=0

解:将常数项移到方程右边3x2-4x=2, 将二次项系数化为1:x2- (4/3) x=2/3方程两边都加上一次项系数一半的平方:x2- (4/3) x+ (4/6) 2=2/3+4/6) 2

配方: (x-4/6) 2=2/3+4/6) 2

直接开平方得:x-4/6=±√[2/3+ (4/6) ²]

∴x=4/6±√[2/3+ (4/6) ²]

∴原方程的解为x=4/6+√ (10/9) , x=4/6-√ (10/9) 。

即:x=2/3+√ (10/9) 或x=2/3-√ (10/9) 。

(三) 公式法

用公式法解一元二次方程时, 首先要化成一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) 。在公式法解一元二次方程中, △=b²-4ac称为根的判别式。当△>0方程有两个不相等的实数根, △=0方程有两个相等的实数根, △<0方程没有实数根。

所以, 当b2-4ac≥0时, 求解一元二次方程可直接用求根公式x=[-b±√ (b2-4ac) ]/ (2a) , 代入各项系数a, b, c的值得方程的根。一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想。公式法是解一元二次方程的万能方法。

例1.用公式法解方程2x²-x=1

解:将方程化为一般形式:2x²-x-1=0

∴a=2, b=-1, c=-1

又b²-4ac= (-1) ²-4×2× (-1) =9>0

∴x=[ (-b±√ (b²-4ac) ]/ (2a) , 代入各项系数a, b, c的值。

∴原方程的解为x=1或x=-1/2。

例2:用公式法解方程:4x²-3x+2=0

解:∵a=4, b=-3, c=2

∴b²-4ac= (-3) ²-4×4×2=9-32=-23<0

在实数范围负数不能开平方, 所以方程无实数根。

(四) 因式分解法

一元二次方程不是通过开方降次, 而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式, 再使这两个一次式分别等于0, 从而实现降次。这两个一元一次方程所得到的根, 就是原方程的两个根。这种解法称为一元二次方程的因式分解法。用因式分解法解下列方程: (x-2) ²=2-x

解: (x-2) ²=2-x移项得 (x-2) ²+x-2=0, 因式分解得 (x-2) (x-2+1) =0

∴所以x-2=0或x-1=0

∴x1=4, x2=-2是原方程的解。

二、结论与讨论

一个不定积分题的解法探究 篇8

求不定积分的方法有:直接积分法、凑微分法、第二类换元积分法、分部积分法.求积分的难易程度取决于对这些方法运用的灵活程度, 在教学中常遇到一些典型的积分, 例如, 通过对不定积分的解题方法进行研究, 以这个积分为例给出它的多种解法, 这些解题方法对求其他积分题也有很大的帮助.

二、解法探究

解法1一般地, 对于∫f (sinx, cosx) dx类型的积分, 采用万能代换令, 化为分式有理函数积分, 用部分分式法分解为若干个真分式的代数和, 可以求出该积分, 但是方法非常繁琐, 一般不用这种解法 (略) .

移项除以2, 得:

解法3分子分母同乘以cosx-sinx.

解法4分子分母同乘以sinx+cosx.

解法7将原积分化为, 只要求出这个积分即可.

三、结语

从不定积分的不同解法中, 不断领悟解题要领, 在高等数学教学中坚持下去, 就可以做到“举一反三、触类旁通”之效, 本文给出的解法权作抛砖引玉, 与同行交流学习.

参考文献

[1]同济大学数学教研室.高等数学 (上册, 第四版) [M].北京:高等教育出版社.1996.12.

浅谈平面方程的五类解法 篇9

习题[1]: 求通过点P ( 2, 0, - 1) , 且又通过直线的平面方程。

一、由平面上一点与平面的方位向量决定平面的方程

二、由平面上一点与平面的法向量决定平面的方程

解: 由可知平面过点 M ( - 1, 0, 2) 以及平行于向量= { 2, - 1, 3} , 由于平面过点P ( 2, 0, - 1) , 所以= { - 3, 0, 3} , 则= { - 1, - 5, - 1} , 取所求平面的法向量= { 1, 5, 1} , 得所求平面的方程为 ( x - 2) + 5y + ( z) + 1 = 0, 即x + 5y + z - 1 = 0。

总结: 要求平面的方程可以从已知条件中找到平面上一点M0 ( x0, y0, z0) 和平面的法向量= { A, B, C} , 然后由平面的点法式方程A ( x -x0) + B ( y - y0) + C ( z - z0) = 0 经过化简得到平面的一般方程。也可以先设出所求平面的点法式方程A ( x - x0) + B ( y - y0) + C ( z - z0) = 0, 由于已知平面过P点, 那么要求平面的方程只需要求平面的法向量={ A, B, C} , 要求{ A, B, C} 只需在已知条件中再找出满足平面方程的两个条件就可得到A: B: C的比值, 这样就可得到平面的点法式方程。

三、直接求得平面的一般方程

总结: 设出所求平面的一般方程Ax + By + Cz = 0, 其中有A, B, C, D四个量未知, 从已知条件中只要找到三个条件, 就可得到A: B: C: D的比值, 那么就可得到平面的一般方程。

四、利用平面束理论求平面的方程

解: 把直线的标准方程。设所求平面方程为l ( x + 2y + 1) + m ( 3y + z - 2) = 0, 其中l, m为不全为零的实数。因为平面过P点, 所以l ( 2 + 2 × 0 + 1) +m[3 × 0 + ( - 1) - 2] = 0, 得l = m, 即l: m = 1: 1, 所以所求平面方程为 ( x + 2y + 1) + ( 3y + z - 2) = 0 即x + 5y + z - 1 = 0。

总结: 利用平面束理论求平面的方程是一类非常重要的方法, 通常可以简化计算。

五、利用轨迹与方程理论求平面的方程

总结: 利用轨迹与方程理论求平面的方程, 关键是要列出满足题意的等价关系。

总之, 在求解有关平面方程的题目时, 可以从这五个大的方向中任选一个方向来寻找解题思路, 这样就可以使学生从纷繁复杂的知识点中抽离出来, 使学生能够尽快找到解题方法。

摘要：根据平面的方程的相关知识, 以一道求平面方程的题目为例, 总结了求平面的方程的五类解题方法, 并从中总结出了一些规律, 从而能帮助学生更快的找到求平面的方程相关题目的解题思路。

关键词：平面的方程,总结,解题方法

参考文献

[1]吕林根, 许子道.解析几何 (第四版) [M].北京:高等教育出版社, 2006.

[2]黄莉.空间过点与直线的平面方程的求法[J].职大学报, 2014, 09:73

一阶线性非齐次微分方程的解法探悉 篇10

关键词：非齐次线性微分方程常数变易法变量代替法

引言

微积分中研究变量的各种函数及函数的微分与积分.这里讨论了一阶线性非齐次微分方程的几种解法。

一、一阶线性非齐次微分方程的基本概念

定义1[1]：一阶线性微分方程dy1dx=P（x）y+Q（x）（1） ，（P（x），Q（x）在考虑区间上是x连续函数） ，若Q（x）=0，（1）变为dy1dx=P（x）y（2）， （2）稱为一阶齐次线性微分方程.若Q（x）≠0，（1）称为一阶非齐次线性微分方程。

二、一阶线性非齐次微分方程的解法及例题分析

（一） 常数变易法

1.常数变易法概念[2]

现用常数变易法来求（1）解。由（2）是分离变量，得dy1y=P（x）dx积分得ln|y|=∫P（x）dx+c1（c1是任意常数）。由对数定义得y=±ec1e∫P（x）dx，令±ec1=c得y=ce∫P（x）dx，这是（2）的通解，令y=c（x）e∫P（x）dx（3），得dy1dx=dc（x）1dx=e∫P（x）dx+c（x）P（x）e∫P（x）dx（4），由（1）（3）（4）得dc（x）1dx=Q（x）e-∫P（x）dx，即c（x）=∫Q（x）e-∫P（x）dxdx+c（c是任意常数），将上式代入（4），得到方程（1）通解y=e∫P（x）dx∫Q（x）e-∫P（x）dxdx+c，这将常数变易为待定函数的方法，称常数变易法。

2.伯努利微分方程概念

定义2[3]：形如dy1dx=P（x）y+Q（x）yn方程，称为伯努利微分方程，这里P（x），Q（x）为x连续函数，n≠0，1是常数，对于y≠0，用y-n乘上式两边，得y-ndy1dx=y1-nP（x）+Q（x），引入变量变换z=y1-n，得dz1dx=（1-n）y-ndy1dx由此得dz1dx=（1-n）P（x）z+（1-n）Q（x）（5），这是线性微分方程，可按常数变异法求（5）的通解.n>0时，还有解y=0。

（二）变量代替法

1.变量代替法概念[4]

设y=u（x）v（x）是方程（1）的解，其中u（x）为（2）特解，将y′=u′（x）v（x）+u（x）v′（x）代入（1），得u′（x）v（x）+u（x）v′（x）=P（x）u（x）v（x）+Q（x）

即[u′（x）-P（x）u（x）]+u（x）v′（x）=Q（x）

因u（x）是（2）特解，有u′（x）-P（x）u（x）=0，得u（x）=e∫P（x）dx

对u（x）v′（x）=Q（x）积分，得v（x）=∫Q（x）e-∫P（x）dxdx+c

所以（1）通解为y=e∫P（x）dx∫Q（x）e-∫P（x）dxdx+c

2.变量代替法例题分析

求y′-21x+1y=（x+1）512

解：设y=uv是原方程的解，且u是对应齐次方程特解。

把y′=u′v+uv′代入原方程即得[u′-21x+1u]v+uv′=（x+1）512

由u′-21x+1u=0，得u=（x+1）2由uv′=（x+1）512，得v=213（x+1）312+c

故通解为y=（x+1）2[213（x+1）312+c]

（三）分项可积组合法

1.分项可积组合法概念[5]

该方法是用观察凑微分，把方程左边一些项组合成两个函数乘积的导数，再求解。即用适当函数f（x）乘原方程两端，把（1）化为f（x）dy1dx=P（x）f（x）y+Q（x）f（x），于是d[f（x）y]1dx=Q（x）f（x），所以f（x）y=∫Q（x）f（x）dx。

2.分项可积组合法例题分析

求y′+2x1x2+1y=4x21x2+1

解：原方程两端同乘以x2+1，有（x2+1）y′+2xy=4x2，即[（x2+1）y]′=4x2，通解为（x2+1）y=413x3+c。

3.利用积分因子转化为可积组合法

用观察法困难时，可先求积分因子u（x）或u（y），在原方程两端同乘u（x）或u（y），把方程左边一些项组合为两个函数之积的导数。

由（1）设N（x，y）=1，M（x，y）=-P（x）y

1）若11NM1y-N1x=φ（x）则u（x）=e∫φ（x）dx

2）若11MM1x-N1y=φ（y）则u（y）=e∫φ（y）dx

4.利用积分因子转化为可积组合法例题分析

求解y′+ycosx=e-sinx.

解：设N（x，y）=1，M（x，y）=ycosx

有N1x=0，M1y=cosx及11NM1y-N1x=cosx，

得到u（x）=e∫cosxdx=esinx

原方程两端同乘esinx，得esinxy′+ycosxesinx=1，即esinxy=x+c

（四）简捷解法

1.简捷解法定理

定理[6]：若一阶线性非齐次微分方程具有如下的形状：

F（x）dy1dx+F′（x）y=Q（x），它通解为： y=11F（x）∫Q（x）dx

证明：将原方程化为d[F（x）y]=Q（x）dx，两边积分得F（x）y=∫Q（x）dx即y=11F（x）∫Q（x）dx

2.简捷解法例题分析

求解lnxdy1dx+y1x=xlnx

解：利用定理有

y=11lnx∫xlnxdx=11lnx[x212lnx-112∫xdx]=x2112-114lnx+c1lnx